યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા શેડ્યૂલ 2019 સત્તાવાર FIPI - હાઇસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે તમામ વિષયો માટે સમાયોજિત ટેબલ. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા યોજવાનો ક્રમ મુખ્ય અને અનામત દિવસો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શાળાના સ્નાતકો કે જેઓ સફળતાપૂર્વક પરીક્ષા પાસ કરતા નથી, વધારાની પરીક્ષાઓ પણ આપવામાં આવે છેપાનખર સમયગાળો . શેડ્યૂલનું એડજસ્ટમેન્ટયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આયોજન 2019 ચાલી રહ્યું છે ફેડરલ સંસ્થાશિક્ષણશાસ્ત્રના પરિમાણો મંજૂર ધોરણો અને પદ્ધતિઓ અનુસાર, જેના પરિણામે શેડ્યૂલનું અંતિમ અને સત્તાવાર અંતિમ સંસ્કરણ રચાય છે. નવીનતમ ફેરફારોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા શેડ્યૂલ

-2019FIPI પરીક્ષાની શરૂઆતના 2 મહિના પહેલા પ્રકાશિત થાય છે. જો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના દિવસો એકરુપ હોય, તો વિદ્યાર્થીએ અનામત દિવસે પરીક્ષા આપવા આવવું આવશ્યક છે. ઉપરાંત, માન્ય કારણ અથવા માંદગી માટે ગેરહાજરીના કિસ્સામાં અનામત તારીખનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા દરમિયાન ઉલ્લંઘનની ઓળખ કરવામાં આવી હોય, તો તમારે ડિલિવરી પોઇન્ટ પર સીધી કમિશનને ફરિયાદ સબમિટ કરવી આવશ્યક છે. આ કિસ્સામાં, વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટેના પરિણામો રદ થઈ શકે છે અને રિઝર્વ ડે માટે ફરીથી લેવાનું નક્કી કરવામાં આવે છે. રિઝર્વ ડે પર વારંવાર ઉલ્લંઘન થાય તો ફરીવાર લેવાનો નિર્ણયયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી

પ્રાદેશિક કેન્દ્ર દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે, અથવા સપ્ટેમ્બર સુધી મુલતવી રાખવામાં આવે છે. અત્યાર સુધી, બેવડા ઉલ્લંઘન માટે કોઈ દાખલો નથી.

• યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2019 માં વહેલું પાસ થવું તે લોકો માટે પ્રદાન કરવામાં આવે છે જેઓ:
• લશ્કરમાં ભરતી;
• વિદેશી યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ;
• સારવાર માટે મોકલવામાં આવે છે;

રમતગમતની સ્પર્ધાઓ, ઓલિમ્પિક્સ, સ્પર્ધાઓ માટે રજાઓ;

06/05/2019 – સામાજિક અભ્યાસ.

06/07/2019 – ભૌતિકશાસ્ત્ર અને સાહિત્યમાં.

06/09/2019 - રશિયન ભાષા.

06/13/2019 – અંગ્રેજી, જર્મન, જીવવિજ્ઞાન.

06/19/2019 – રસાયણશાસ્ત્ર અને ઇતિહાસ.

09/05/2019 - રશિયન ભાષા.

09/08/2019 – ગણિત.

અનામત દિવસો

04/10/2019 – ઇતિહાસ, અંગ્રેજી, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, ભૂગોળ.

04/12/2019 – ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, સાહિત્ય, સામાજિક અભ્યાસ, જર્મન અને અન્ય વિદેશી ભાષાઓ.

04/14/2019 – રશિયન અને ગણિત.

06/20/2019 – ભૂગોળ અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન.

06/21/2019 – સાહિત્ય, રસાયણશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર. સામાજિક અભ્યાસમાં.

06/22/2019 – જીવવિજ્ઞાન, વિદેશી ભાષા, ઇતિહાસમાં. .

06/23/2019 - અંગ્રેજીમાં ફરીથી લો.

06/28/2019 – ગણિત, બંને સ્તરો (વ્યાવસાયિક અને મૂળભૂત).

06/29/2019 - રશિયન ભાષા.

09/16/2019 - બધી વસ્તુઓ.

આ શેડ્યૂલ પ્રારંભિક છે; અંતિમ મંજૂર સંસ્કરણ પ્રકાશિત થાય તે પહેલાં ફેરફારો કરવામાં આવી શકે છે. પરીક્ષા આયોજિત કરવાના નિયમોમાં ફેરફાર તેમજ શિક્ષણ મંત્રાલયની ભલામણો અનુસાર ફેરફારો કરવામાં આવી રહ્યા છે.

. ટૂંકા વિરામ સાથે પણ, મગજ મહત્વપૂર્ણ તાર્કિક સાંકળો ભૂલી શકે છે.

FIPI તરફથી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2019 શેડ્યૂલ દર્શાવે છે કે જાન્યુઆરીમાં સઘન તૈયારી શરૂ કરવી જરૂરી છે. આપણા દેશમાં દરેક શાળાના બાળકોએ એકીકૃત પરીક્ષાઓ આપવી જરૂરી છે.રાજ્ય પરીક્ષાઓ , જે શાળામાં મેળવેલ જ્ઞાનનું સ્તર દર્શાવે છે અને તેનો આધાર બને છેવધુ વિકાસ શિક્ષણ - યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ. આવી મહત્વપૂર્ણ ઘટના માટે લાંબી તૈયારીની જરૂર હોય છે, અને તેથી દરેક વિદ્યાર્થી અગાઉથી શેડ્યૂલ શોધવાનો પ્રયત્ન કરે છે 2017.

એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાઓ

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2017ની વિશેષતાઓ 2017 સુધી, પરીક્ષણો જ્ઞાન પરીક્ષણનું મુખ્ય સ્વરૂપ હતું. 2016 યુનિફોર્મમાંપરીક્ષણ પ્રશ્નો

પ્રથમ, બે માટે ફરજિયાત પરીક્ષાઓત્રીજો ઉમેરવામાં આવે છે - તે ઇતિહાસ બનવો જોઈએ. સાચું, ત્રીજી આઇટમનું નામ હજી સુધી નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થયું નથી, પરંતુ શરૂઆતમાં શૈક્ષણિક વર્ષઆ માહિતી પહેલાથી જ જાહેર કરવામાં આવશે. એટલે કે, તમારે રશિયન ભાષા, ગણિત અને, સંભવત,, ઇતિહાસ લેવો પડશે - વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે જાણીતું હશે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા તારીખ 2017.

બીજું, RAO ( રશિયન એકેડેમીશિક્ષણ)નો પરિચય આપવાનો આગ્રહ રાખે છે બિંદુ સ્કેલનિબંધ ગ્રેડ. થી આજેનિબંધનું મૂલ્યાંકન માત્ર બે માપદંડો અનુસાર કરવામાં આવ્યું હતું: પાસ અથવા ફેલ. આ, રશિયન એકેડેમી ઑફ એજ્યુકેશનના પ્રતિનિધિઓના જણાવ્યા મુજબ, વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને નકારાત્મક રીતે અસર કરે છે અને તે વિદ્યાર્થીઓને લાભ આપે છે જેઓ સાહિત્યનો અભ્યાસ કરવામાં ખૂબ આળસુ છે - "A" કરતાં નિબંધમાં "પાસ" મેળવવું ખૂબ સરળ છે. "

ત્રીજે સ્થાને, ચાલુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પરિણામોપ્રમાણપત્ર પરના ગ્રેડ પણ પ્રભાવિત કરશે. માટે ઉચ્ચ સ્કોર શાળા વિષયો, ઉચ્ચ અંતિમ ગ્રેડરાજ્ય પરીક્ષા માટે.

ચોથું, જો સ્કોર કરેલા પોઈન્ટ થ્રેશોલ્ડ લેવલ સુધી ન પહોંચે, તો વિદ્યાર્થીઓને વધુ બે વાર યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા ફરીથી આપવાની તક આપવામાં આવશે. જો વિદ્યાર્થી કોઈ કારણસર તેણે મેળવેલા પોઈન્ટથી સંતુષ્ટ ન હોય તો રિટેક લેવાનું પણ શક્ય બનશે.

તેથી પર શાળાના બાળકો માટે એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાએક વૈકલ્પિક પરીક્ષા પણ લેવાની છે. જ્યાં સુધી વિદ્યાર્થીને પરિણામ સંતોષકારક ન લાગે ત્યાં સુધી તેઓ ઘણી વખત લઈ શકાય છે.

2017 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટેની તારીખો

2017 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સમયપત્રકમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે - પ્રારંભિક અને મુખ્ય પરીક્ષાઓ.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટેનો પ્રારંભિક સમયગાળો

• ભૂગોળ, કોમ્પ્યુટર સાયન્સ અને આઈસીટી

• રશિયન ભાષા / ફરજિયાત વિષય

• ઇતિહાસ, રસાયણશાસ્ત્ર

• ગણિત / ફરજિયાત વિષય

• ભૂગોળ, સાહિત્ય

• વિદેશી ભાષાઓ(મૌખિક પરીક્ષા)

• વિદેશી ભાષાઓ, જીવવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર

• સામાજિક અભ્યાસ, સાહિત્ય

આગામી સપ્તાહથી, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા યાદીમાં સમાવિષ્ટ તમામ પરીક્ષાઓ માટે અનામત સમય શરૂ થાય છે.

• અનામત: ભૂગોળ, રસાયણશાસ્ત્ર, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને ICT, વિદેશી ભાષાઓ (મૌખિક), ઇતિહાસ

• અનામત: વિદેશી ભાષાઓ, સાહિત્ય, ભૌતિકશાસ્ત્ર, સામાજિક અભ્યાસ, જીવવિજ્ઞાન

• અનામત: રશિયન ભાષા, ગણિત બી, પી

• વિદેશી ભાષા, ઇતિહાસ, સામાજિક અભ્યાસ (અનામત)

• વિદેશી ભાષા (મૌખિક), ભૂગોળ, ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન (અનામત).

જો કે, અધિકારનો ઉપયોગ કરવા માટે વહેલી ડિલિવરીદરેક વિદ્યાર્થીને પરીક્ષા આપવાની ઉતાવળ હોતી નથી. તેથી, મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓને 2017 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા શેડ્યૂલના બીજા વિભાગમાં રસ હશે - મુખ્ય સમયગાળો.

• ભૂગોળ, કોમ્પ્યુટર સાયન્સ અને આઈસીટી

• ગણિત B

• ગણિત પી

• સામાજિક વિજ્ઞાન

• ભૌતિકશાસ્ત્ર, સાહિત્ય

• રશિયન ભાષા

• વિદેશી ભાષાઓ, જીવવિજ્ઞાન

• વિદેશી ભાષાઓ (મૌખિક)

• વિદેશી ભાષાઓ (મૌખિક)

• રસાયણશાસ્ત્ર, ઇતિહાસ

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે અનામત દિવસો મંગળવારથી શરૂ થાય છે.

• અનામત: ભૂગોળ, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને ICT

• અનામત: સાહિત્ય, રસાયણશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર, સામાજિક અભ્યાસ

• અનામત: જીવવિજ્ઞાન, ઇતિહાસ વિદેશી ભાષાઓ

• અનામત: વિદેશી ભાષાઓ

• અનામત: ગણિત B, ગણિત P

• અનામત: રશિયન ભાષા

• અનામત: બધા વિષયો માટે

વધારાનો સમયગાળો (સપ્ટેમ્બર)

2017 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાઓ ફરીથી લેવી

મુખ્ય અને અનામત દિવસો ઉપરાંત, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પ્રક્રિયા પોતે ત્રીજા સમયગાળા માટે પણ પ્રદાન કરે છે - એક પુન: લેવા. ફરીથી લેવાનો અધિકાર દરેક વિદ્યાર્થીને આપવામાં આવે છે - બંને જેઓ ન્યૂનતમ થ્રેશોલ્ડ સુધી પહોંચ્યા નથી અને જેઓ ફક્ત તેમના પોતાના પરિણામો સુધારવા અને વધુ પોઈન્ટ મેળવવા માંગે છે. સાચું, સુધારવા માટે પોતાનું સ્તરમાં નોંધપાત્ર આત્મવિશ્વાસની જરૂર પડશે પોતાની તાકાતઅને જ્ઞાન.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પુન: લેવાનું સામાન્ય રીતે સપ્ટેમ્બરમાં થાય છે, મોટેભાગે મહિનાના પહેલા ભાગમાં. જો કે, સંભવિત રિટેક માટેનું શેડ્યૂલ ઓગસ્ટ 2017 સુધીમાં જ જાણી શકાશે.

વધારાના પોઈન્ટ

પરીક્ષાના સ્કોર્સ માટે વધારાના પોઈન્ટ ઉમેરી શકાય છે. તેથી, 10 પોઈન્ટ તેમાં ઉમેરી શકાય છે:

• માત્ર A સાથે પ્રમાણપત્ર માટે;
• શાળાના વિષયોમાં ઓલિમ્પિયાડ્સમાં જીતેલા ઈનામો માટે;
• રમતગમતમાં સિદ્ધિઓ માટે.

પોઈન્ટ્સના સંભવિત વધારાને ધ્યાનમાં રાખીને, યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા લેવા વિશે અગાઉથી વિચારવું યોગ્ય છે: ઓલિમ્પિયાડ્સ અને તમામ વિષયોની સ્પર્ધાઓમાં ભાગ લેવો, માત્ર વિશિષ્ટ વિષયો જ નહીં; તમારા જ્ઞાનના સ્તરમાં વધારો, ઉત્તમ ગ્રેડ માટે પ્રયત્નશીલ; માં ભાગ લેવો રમતગમત જીવનશાળાઓ

a) શું ત્યાં પાંચનો સમાવેશ કરતી મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ છે કુદરતી સંખ્યાઓ, જેમ કે આ પ્રગતિના સૌથી મોટા અને નાના પદોનો સરવાળો 99 બરાબર છે?

b) મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિમાં છ કુદરતી સંખ્યાઓ હોય છે. આ પ્રગતિના સૌથી મોટા અને નાના પદોનો સરવાળો 9 છે. આ પ્રગતિ બનાવે છે તે બધી સંખ્યાઓ શોધો.

c) સરેરાશ અંકગણિત સભ્યોકુદરતી સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ 6.5 છે. જે સૌથી મોટી સંખ્યાસભ્યો આ પ્રગતિમાં હોઈ શકે છે?

ઉકેલ.

a) આ પ્રગતિના પ્રથમ અને પાંચમા પદોનો સરવાળો 2 છે a + 4ડીઅને છે સમ સંખ્યા. 99 એ એક વિષમ સંખ્યા હોવાથી, 5 કુદરતી સંખ્યાઓની મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિના સૌથી મોટા અને નાના પદોનો સરવાળો 99 ની બરાબર હોઈ શકતો નથી.

b) આ પ્રગતિના પ્રથમ અને છઠ્ઠા પદોનો સરવાળો 2 છે a + 5ડી= 9. ત્યારથી ડી ડી- કુદરતી સંખ્યા, આપણને મળે છે ડી= 1. પછી a= 2. શોધાયેલ નંબરો: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

c) પ્રગતિનો અંકગણિત સરેરાશ તેના આત્યંતિક શબ્દોના અડધા સરવાળા જેટલો છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએ, 1 થી 12 સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એક પ્રગતિ બનાવે છે, જેની શરતોનો અંકગણિત સરેરાશ 6.5 છે અને પદોની સંખ્યા છે. 12. તેથી, સૌથી મહાન શક્ય જથ્થોસંખ્યાઓ 12 છે.

જવાબ: a) ના; b) 2, 3, 4, 5, 6, 7; c)12.

સ્ત્રોત: એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા - 2014. મુખ્ય તરંગ.

ડાન્સ n

a) શું આ બધી સંખ્યાઓનો સરવાળો 10 જેવો હોઈ શકે?

n, જો આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો 1000 કરતા ઓછો હોય તો?

n, જો આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો 129 છે.

ઉકેલ.

a) હા, તે કરી શકે છે. સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4 એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, અને તેમનો સરવાળો 10 છે.

b) અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે, નીચેની અસમાનતા સાચી છે:

તેથી, આપણે અંકગણિત પ્રગતિ 1, 2, ..., 44 બરાબર 990 n બરાબર 44 નો સરવાળો ક્યાંથી શોધી શકીએ.

c) અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે, નીચે આપેલ સાચું છે:

આમ, સંખ્યા એ સંખ્યા 258 નો વિભાજક છે. જો તો, તેથી, કારણ કે આપણે શોધીએ છીએ કે 129 ના સરવાળા સાથે 3 અને 6 પદોની પ્રગતિ અસ્તિત્વમાં છે: ઉદાહરણ તરીકે, 42, 43, 44 અને 19, 20, 21, 22, 23, 24.

જવાબ: a) હા; b) 44; c) 3, 6.

સ્ત્રોત: ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 04/23/2013. પ્રારંભિક તરંગ. વિકલ્પ 901.

a 1 , a 2 , ..., a 7 બરાબર ત્રણ સંખ્યાઓ 100 વડે વિભાજ્ય છે?

a 1 , a 2 , ..., a 49 બરાબર 11 સંખ્યાઓ 100 વડે વિભાજ્ય છે?

n a 1 , a 2 , ..., a 2nસંખ્યાઓ કરતાં 100 ના વધુ ગુણાંક a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

ઉકેલ.

a) એક યોગ્ય ઉદાહરણ 50 ના પ્રથમ પદ અને 50 ના તફાવત સાથે પ્રગતિ છે. તેના પ્રથમ સાત પદો (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) પૈકી, બરાબર ત્રણ 100 વડે વિભાજ્ય છે.

b) ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ ડી a 1 , a 2 , ..., a n ડી- કુદરતી સંખ્યા. દો mઅને n- કુદરતી સંખ્યાઓ, m > n, gcd( ડી, 100) સૌથી મોટો સૂચવે છે સામાન્ય વિભાજકસંખ્યાઓ ડીઅને 100. અમારી પાસે છે

તેથી, તફાવત a m − a n એ 100 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તફાવત હોય m − n a 1 , a 2 , ..., a n, ... 100 ના ગુણાંક છે, પછી આ ફોર્મની સંખ્યાઓ સાથેના શબ્દો છે જ્યાં q પી k a 1 , a 2 , ..., a n, ... બરાબર એક 100 વડે વિભાજ્ય થશે. જો પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 49 એ ઓછામાં ઓછી 12 સંખ્યાઓ હશે જે 100 ના ગુણાંક છે. જો પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 49 એ 10 થી વધુ સંખ્યાઓ હશે જે 100 વડે વિભાજિત કરી શકાય નહીં. આનો અર્થ એ થયો કે સંખ્યાઓ વચ્ચે કોઈ પ્રગતિ નથી a 1 , a 2 , ..., a 49 ત્યાં બરાબર 11 સંખ્યાઓ છે જે 100 વડે ભાગી શકાય છે.

c) દ્વારા સૂચવો [ x] સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ x x kપ્રગતિની ક્રમિક શરતો a 1 , a 2 , ..., a n, ... બરાબર એક 100 વડે વિભાજ્ય થશે, જ્યાં ડી

તેથી, સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 2nકોઈ વધુ સંખ્યા 100 નો ગુણાંક હશે નહીં. તેવી જ રીતે, સંખ્યાઓ વચ્ચે a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5nસંખ્યાઓ કરતાં ઓછી નહીં 100 ના ગુણાંક હશે. અસમાનતા સંતોષાય છે જો અને માત્ર જો આ સમાનતાને સંતોષવા દો. પછી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત અને 1 કરતા ઓછો છે. આપણને તે અને અર્થ અને ત્યારથી સંખ્યા મળે છે k 100 થી વધુ નથી, તે અનુસરે છે કે પ્રથમ પદ 69 અને તફાવત 1 સાથે પ્રગતિને ધ્યાનમાં લો. પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 132 બરાબર બે એ 100 વડે ભાગી શકાય છે ( a 32 = 100 અને a 132 = 200). નંબરો વચ્ચે a 133 , a 134 , ..., a 330 એ 100 વડે વિભાજ્ય બરાબર એક છે ( a 232 = 300). આ ઉદાહરણ તે દર્શાવે છે n 66 હોઈ શકે છે.

જવાબ: a) હા, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિ 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; b) ના; c) 66.

a) શું એવી કોઈ પ્રગતિ છે જેમાં સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 7 બરાબર ત્રણ સંખ્યાઓ 36 વડે વિભાજ્ય છે?

b) શું એવી કોઈ પ્રગતિ છે જેમાં સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 30 બરાબર 9 સંખ્યાઓને 36 વડે ભાગી શકાય છે?

c) જેના માટે સૌથી વધુ કુદરતી nતે નંબરો વચ્ચે તે ચાલુ કરી શકે છે a 1 , a 2 , ..., a 2nસંખ્યાઓ કરતાં 36 ના વધુ ગુણાંક a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

ઉકેલ.

a) યોગ્ય ઉદાહરણ એ પ્રથમ પદ 18 અને તફાવત 18 સાથેની પ્રગતિ છે. તેના પ્રથમ સાત પદો (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126)માંથી બરાબર ત્રણ 36 વડે વિભાજ્ય છે.

b) ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ ડીઅંકગણિત પ્રગતિ તફાવત a 1 , a 2 , ..., a n, .... શરત પરથી તે અનુસરે છે ડી- કુદરતી સંખ્યા. દો mઅને n- કુદરતી સંખ્યાઓ, m > n, gcd( ડી, 36) સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક સૂચવે છે ડીઅને 36. અમારી પાસે છે

તેથી, તફાવત a m − a nજો અને માત્ર જો તફાવત હોય તો 36 વડે ભાગી શકાય છે m − nજો અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો વચ્ચે હોય તો તે So વડે વિભાજ્ય છે a 1 , a 2 , ..., a n, ... 36 ના ગુણાંક છે, પછી આ ફોર્મની સંખ્યાઓ સાથેના શબ્દો છે જ્યાં q- પ્રથમ પદની સંખ્યા, a નો ગુણાંક પીબધા બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો દ્વારા ચાલે છે. તેથી, કોઈપણ વચ્ચે kપ્રગતિની ક્રમિક શરતો a 1 , a 2 , ..., a n, ...બરાબર એક 36 વડે ભાગી શકાય છે. જો પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 30 એ ઓછામાં ઓછી 10 સંખ્યાઓ હશે જે 36 ના ગુણાંક છે. જો પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 30 એ 36 વડે ભાગી શકાય તેવી 8 સંખ્યાઓથી વધુ નહીં હોય. આનો અર્થ એ થયો કે સંખ્યાઓ વચ્ચે કોઈ પ્રગતિ નથી a 1 , a 2 , ..., a 30 બરાબર 9 સંખ્યાઓ 36 વડે વિભાજ્ય છે.

c) દ્વારા સૂચવો [ x] સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ x- સૌથી મોટો પૂર્ણાંક ઓળંગતો નથી x. બિંદુ b માં શું સાબિત થયું હતું તે મુજબ) કોઈપણ વચ્ચે kપ્રગતિની ક્રમિક શરતો a 1 , a 2 , ..., a n, ... બરાબર એક 36 વડે વિભાજ્ય થશે, જ્યાં ડી- અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

તેથી, સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 2nકોઈ વધુ સંખ્યાઓ 36 ના ગુણાંકમાં રહેશે નહીં. તેવી જ રીતે, સંખ્યાઓ વચ્ચે a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n 36 ના ગુણાંક સંખ્યાઓ કરતા ઓછા નહીં હોય. અસમાનતા સંતોષાય છે જો અને માત્ર જો આ સમાનતાને સંતોષવા દો. પછી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત અને 1 કરતા ઓછો છે. આપણને તે અને અર્થ અને ત્યારથી સંખ્યા મળે છે k 36 થી વધુ નથી, તે અનુસરે છે કે પ્રથમ પદ 27 અને તફાવત 1 સાથે પ્રગતિનો વિચાર કરો. પછી સંખ્યાઓ વચ્ચે a 1 , a 2 , ..., a 46 બરાબર બે એ 36 વડે ભાગી શકાય છે ( a 10 = 36 અને a 46 = 72). નંબરો વચ્ચે a 47 , a 48 , ..., a 115 એ 36 વડે વિભાજ્ય બરાબર એક છે ( a 82 = 108). આ ઉદાહરણ બતાવે છે કે n 23 હોઈ શકે છે.

જવાબ: a) હા, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિ 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; b) ના; c) 23.

· કાર્ય પ્રોટોટાઇપ ·

a) કરી શકે છે એસબરાબર 8?

b) કરી શકો છો એસસમાન 1?

એસ.

ઉકેલ.

a) અંક 8 એ અંકગણિતની પ્રગતિના સતત ચાર પદોનો સરવાળો છે. ઉદાહરણ તરીકે, 8 = − 1 + 1 + 3 + 5.

b) નંબર 1 ને પ્રથમનો સરવાળો થવા દો kપ્રથમ પદ સાથે અંકગણિત પ્રગતિની શરતો એઅને તફાવત ડી. પછી

સંખ્યાનો અર્થ થાય છે k- વિભાજક 2, જે સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે

c) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ શબ્દોનો સમાવેશ કરતી અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો છે. જો આપણે આ પ્રગતિની તમામ શરતોને તેમના વિરોધીઓ સાથે બદલીએ, તો આપણને 2 નો સમાવેશ કરતી અંકગણિત પ્રગતિ મળે છે. nસભ્યો, જેનો સરવાળો - છે n

અગાઉના ફકરામાં અમે તે બતાવ્યું હતું એસ 1 ની સમાન ન હોઈ શકે. તેવી જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે એસ−1 ની બરાબરી કરી શકાતી નથી. નંબર એસ 0 ની બરાબર હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિ −1 માટે; 0; 1. આમ, એસ−1 અને 1 સિવાય કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્ય લઈ શકે છે.

જવાબ: a) હા; b) ના; c) −1 અને 1 સિવાય કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્યો.

સ્ત્રોત: ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 05/08/2014. પ્રારંભિક તરંગ, અનામત દિવસ. વિકલ્પ 1.

a) કરી શકે છે એસબરાબર 9?

b) કરી શકો છો એસસમાન 2?

c) તે લઈ શકે તેવા તમામ મૂલ્યો શોધો એસ.

ઉકેલ.

a) સંખ્યા એ અંકગણિતની પ્રગતિના સતત છ પદોનો સરવાળો છે. ઉદાહરણ તરીકે,

b) સંખ્યાને પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પદોનો સરવાળો થવા દો અને પછી

આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા એ વિભાજક છે, જે સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે

c) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ શબ્દોનો સમાવેશ કરતી અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો છે. જો આપણે આ પ્રગતિની તમામ શરતોને તેમના વિરોધીઓ સાથે બદલીએ, તો આપણને એક અંકગણિત પ્રગતિ મળે છે જેમાં એવા શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે જેનો સરવાળો બરાબર છે

અગાઉના ફકરામાં, અમે બતાવ્યું કે તે સમાન નથી, અમે બતાવી શકીએ છીએ કે તે સમાન નથી, ઉદાહરણ તરીકે, તે પૂર્ણાંક મૂલ્યો લઈ શકે છે

જવાબ: a) હા; b) ના; c) અને સિવાય કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્યો

સ્ત્રોત: ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 05/08/2014. પ્રારંભિક તરંગ, અનામત દિવસ. વિકલ્પ 2.

· કાર્ય પ્રોટોટાઇપ ·

a) શું આ ક્રમના સભ્યોની બનેલી લંબાઈ 5 ની કોઈ અંકગણિત પ્રગતિ છે?

b) શું અંકગણિત પ્રગતિ કરવી શક્ય છે? અનંત લંબાઈઆ નંબરોમાંથી?

c) શું પ્રગતિમાં 2013 સભ્યો હોઈ શકે છે?

ઉકેલ.

a) ક્રમને ધ્યાનમાં લો: તે જોવાનું સરળ છે કે આ તફાવત સાથેની પ્રગતિ છે

b) એક અનંત અંકગણિત પ્રગતિ થવા દો, જેની તમામ શરતો આપેલ ક્રમના સભ્યો છે. ચાલો, નિશ્ચિતતા માટે, આ પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ સમાન હોય અને આ પ્રગતિનો તફાવત સમાન હોય, પછી આપણે કુદરતી રીતે લઈએ કે પછી આપણને મળે છે કે આનો અર્થ એ છે કે આપણી પ્રગતિની મુદત નકારાત્મક છે, પરંતુ આ હોઈ શકતું નથી.

c) નીચેની અંકગણિત પ્રગતિને ધ્યાનમાં લો: ...; તે સ્પષ્ટ છે કે આ દરેક અપૂર્ણાંક આ ક્રમના સભ્ય છે.

જવાબ: a) હા; b) ના; c) હા.

સ્ત્રોત: એ. લારીન: તાલીમ વિકલ્પ નંબર 22.

a) શું એવી કોઈ પ્રગતિ છે કે જેના માટે અને અલગ કુદરતી સંખ્યાઓ છે?

b) શું એવી કોઈ પ્રગતિ છે કે જેના માટે અને અલગ કુદરતી સંખ્યાઓ છે?

c) જે સૌથી નાનું મૂલ્યઅપૂર્ણાંક લઈ શકે છે જો તે જાણીતું હોય અને તે અલગ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

ઉકેલ.

a) એક યોગ્ય ઉદાહરણ અનુક્રમે પ્રગતિ અને છે. આ પ્રગતિઓ માટે અમારી પાસે છે અને

b) ચાલો ધારીએ કે આવી પ્રગતિઓ અસ્તિત્વમાં છે. પછી સંખ્યાઓમાંથી એક અથવા 1 કરતાં ઓછી નથી, અને બીજી 1 કરતાં મોટી છે. આનો અર્થ થાય છે કાં તો અને , અને તેથી, તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ.

c) ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતો દ્વારા અને અનુક્રમે સૂચિત કરીએ. તે શરતને અનુસરે છે કે સંખ્યાઓ બંને કુદરતી અને પૂર્ણાંકો છે અને નહીં શૂન્ય બરાબર. અમારી પાસે છે:

અપૂર્ણાંકના છેદ અને ધન છે, અને આ અપૂર્ણાંકોના અંશ સમાન નિશાની. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ અને સમાન ચિહ્ન છે, એટલે કે, ક્યાં તો , અથવા બંને કિસ્સાઓમાં આપણે તે મેળવીએ છીએ

જો પ્રગતિ અને અનુક્રમે પ્રગતિ છે, તો અને આ ઉદાહરણ બતાવે છે કે અપૂર્ણાંકનું સૌથી નાનું શક્ય મૂલ્ય છે

જવાબ: a) હા, ઉદાહરણ તરીકે, અને તે મુજબ; b) ના; c) 2.

· કાર્ય પ્રોટોટાઇપ ·

વધતી અંકગણિત પ્રગતિમાં કુદરતી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.

a) શું એવી પ્રગતિ છે જેના માટે?

b) શું એવી પ્રગતિ છે જેના માટે?

c) જે ઉચ્ચતમ મૂલ્યકામ સ્વીકારી શકો તો?

ઉકેલ.

a) અનુક્રમે પ્રગતિ અને યોગ્ય ઉદાહરણ છે. આ પ્રગતિઓ માટે અમારી પાસે છે

b) ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતો દ્વારા અને અનુક્રમે સૂચિત કરીએ. પછી

જો , તો પછી આપણે વિરોધાભાસ પર આવ્યા, કારણ કે શરત અનુસાર અને

c) પહેલાની જેમ, અમે અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતો અને અનુક્રમે દર્શાવીએ છીએ. પછી, શરત દ્વારા અને બિંદુ b માં જે સાબિત થયું હતું તે દ્વારા, અમારી પાસે છે: તેથી,

જો પ્રગતિ અને પ્રગતિ છે અને અનુક્રમે, પછી

આ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે ઉત્પાદનનું સૌથી મોટું સંભવિત મૂલ્ય છે

જવાબ: a) હા, ઉદાહરણ તરીકે, અને તે મુજબ; b) ના; c) 98.

ડાન્સ nવિવિધ કુદરતી સંખ્યાઓ જે અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે

a) શું આ બધી સંખ્યાઓનો સરવાળો 14 થઈ શકે?

b) સૌથી મોટું મૂલ્ય શું છે n, જો આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો 900 કરતા ઓછો હોય તો?

c) બધું શોધો શક્ય મૂલ્યો n, જો આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો 123 છે.

ઉકેલ.

a) હા, તે કરી શકે છે. સંખ્યાઓ 2, 3, 4, 5 એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, તેમનો સરવાળો 14 છે.

b) ચાલો a- પ્રથમ સભ્ય, ડી- તફાવત, n- પ્રગતિની શરતોની સંખ્યા, પછી તેમનો સરવાળો સમાન છે, પદોની સંખ્યા સૌથી મોટી હોવા માટે, પ્રથમ પદ અને તફાવત સૌથી નાનો હોવો જોઈએ. તેમને 1 ની બરાબર થવા દો, પછી શરત દ્વારા સૌથી મહાન કુદરતી ઉકેલઆ અસમાનતા n= 41. આ પરિણામ પ્રગતિ સાથે પ્રાપ્ત થાય છે

c) અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે અમારી પાસે છે:

આમ, પ્રગતિની શરતોની સંખ્યા nસંખ્યા 246 નો વિભાજક છે. જો પછી ડાબી બાજુ 246 થી વધુ: તેથી, કારણ કે આપણે શોધીએ છીએ કે 123 ના સરવાળા સાથે ત્રણ અને છ પદોની પ્રગતિ અસ્તિત્વમાં છે: ઉદાહરણ તરીકે, 40, 41, 42 અને 3, 10, 17, 24, 31, 38.

નોકરીનો પ્રકાર: 11

શરત

નતાશાને 300 પેપર ક્રેન્સ બનાવવાની જરૂર છે. દરરોજ તે પાછલા દિવસ કરતા વધુ ક્રેન્સ બનાવે છે. પહેલા દિવસે નતાશાએ 6 ક્રેઈન બનાવી. જો આખું કામ 15 દિવસ લે તો છેલ્લા દિવસે કેટલી ક્રેન્સ બનાવવામાં આવી?

ઉકેલ

તે શરતને અનુસરે છે કે પેપર "ક્રેન" ની સંખ્યામાં દરરોજ સમાન સંખ્યામાં વધારો થયો છે. પેપર "ક્રેન" ની સંખ્યા દરરોજ એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, જેમાં પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ 6 ની બરાબર છે. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેના સૂત્ર મુજબ, આપણી પાસે છે

a_1+a_2+a_3+...a_(15)= \frac(a_1+a_(15))(2)\cdot15= 300,

6+a_(15)=40,

a_(15)=40-6=34.

છેલ્લા દિવસે નતાશાએ 34 કાગળની "ક્રેન" બનાવી

જવાબ આપો

નોકરીનો પ્રકાર: 11
વિષય: અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

શરત

કોલ્યાને 350 ગુલાબ છોડો રોપવાની જરૂર છે. દરરોજ તે પાછલા દિવસની તુલનામાં સમાન સંખ્યામાં છોડો રોપે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે 8 ગુલાબની ઝાડીઓ વાવી હતી. જો તમામ કામમાં 20 દિવસનો સમય લાગે તો છેલ્લા દિવસે કેટલી ઝાડીઓ વાવવામાં આવી?

ઉકેલ

તે સ્થિતિને અનુસરે છે કે રોપાયેલા ગુલાબ છોડોની સંખ્યામાં દરરોજ સમાન સંખ્યામાં વધારો થયો છે. દરરોજ વાવેલા ગુલાબની સંખ્યા અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, જેમાં પ્રથમ શબ્દ 8 છે. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ a_1+a_2+a_3+...a_(20)= \frac(a_1+a_(20))(2)\cdot20= 350,

8+a_(20)=35,

a_(20)=35-8=27.

છેલ્લા દિવસે કોલ્યાએ 27 ગુલાબની ઝાડીઓ વાવી હતી.

જવાબ આપો

સ્ત્રોત: “ગણિત. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2017ની તૈયારી. પ્રોફાઇલ સ્તર" એડ. એફ. એફ. લિસેન્કો, એસ. યુ.

નોકરીનો પ્રકાર: 11
વિષય: અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

શરત

ટાઇલરને 320 એમ 2 ટાઇલ્સ મૂકવી આવશ્યક છે. જો તે આયોજન કરતા દરરોજ 6 m2 વધુ મૂકે છે, તો કામ 12 દિવસ વહેલા પૂર્ણ થશે. કેટલું નક્કી કરો ચોરસ મીટરદરરોજ ટાઇલ્સ નાખવાની યોજના ધરાવે છે.

પ્રવેશ સ્તર

અંકગણિત પ્રગતિ. વિગતવાર સિદ્ધાંતઉદાહરણો સાથે (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે છે સંખ્યા ક્રમ, જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તે વધુ સમજવામાં આવ્યો હતો. વ્યાપક અર્થમાં, અનંત સંખ્યાના ક્રમની જેમ. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિની મી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો "વ્યક્તિગતીકરણ" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ આ સૂત્ર- ચાલો તેણીને લાવીએ સામાન્ય દૃશ્યઅને અમને મળે છે:

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં શરતોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને શરતમાં સંખ્યાઓ આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં ઉકેલવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તેને શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના જાણીતા અને આપેલ પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે સળંગ મૂલ્યો, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને તેમને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે ફક્ત એક જ સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, બધા સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" - કાર્લ ગૌસ દ્વારા સરળતાથી પોતાના માટે અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું.

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેનું કાર્ય પૂછ્યું: "બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરો (અન્ય સ્રોતો અનુસાર) થી લઈને." શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે પણ સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડી સમાન છે, અમે તે મેળવીએ છીએ કુલ રકમસમાન છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારી જાતે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

વાસ્તવમાં, અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર 3જી સદીમાં પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને સૌથી વધુ મોટા પાયે બાંધકામતે સમય - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ બતાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

IN આ કિસ્સામાંપ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોકની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. સમજાયું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લોગ સંગ્રહ કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ટોચનું સ્તરઅગાઉના એક કરતાં એક ઓછો લોગ સમાવે છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કિસ્સામાં
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ બેકી સંખ્યા, છેલ્લી સંખ્યા.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ કે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. મધ્યમ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ અમુક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

ફોર્મ્યુલા nમી પદ

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રીકાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમનો સરવાળો અને છેલ્લી તારીખસમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી 3જાનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ જોડી કેટલી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
બધાનો સરવાળો શોધો ડબલ ડિજિટ નંબરો, ગુણાંક.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

ખૂબ જ સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે માંની જેમ જ સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અગાઉનું કાર્ય:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો ઠ્ઠી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ:. શોધો:.
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને આવેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ વધી શકે છે () અને ઘટી રહી છે ().

ઉદાહરણ તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધી શકે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.