આ ફોર્મની સંખ્યાઓનું નામ છે, ક્યાં અને - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, a એ એક વિશિષ્ટ પ્રકારની સંખ્યા છે, જેનો વર્ગ બરાબર છે, એટલે કે. . જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ બહુપદી પરના સમાન નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

;

;

.

સમાનતાનો અર્થ છે કે અને.

પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ ફક્ત "વાસ્તવિક" ગણતા હતા કુદરતી સંખ્યાઓ, પરંતુ બે સહસ્ત્રાબ્દી પૂર્વેની વ્યવહારિક ગણતરીઓમાં. વી પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને પ્રાચીન બેબીલોનઅપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ પહેલેથી જ કરવામાં આવ્યો છે. આગળ મહત્વપૂર્ણ તબક્કોસંખ્યાની વિભાવનાના વિકાસમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પરિચય થયો - આ ચીની ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા બે સદીઓ પૂર્વે કરવામાં આવ્યું હતું. 3જી સદીમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થતો હતો. ઈ.સ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસ, જેઓ તેમના પરના ઓપરેશનના નિયમો પહેલાથી જ જાણતા હતા અને 7મી સદીમાં. ઈ.સ આ સંખ્યાઓનો ભારતીય વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો જેમણે આવી સંખ્યાઓની તુલના દેવા સાથે કરી હતી. નકારાત્મક સંખ્યાઓની મદદથી એકીકૃત રીતે જથ્થામાં ફેરફારોનું વર્ણન કરવું શક્ય હતું. પહેલેથી જ 8 મી સદીમાં. ઈ.સ તે જાણવા મળ્યું હતું કે નું વર્ગમૂળ હકારાત્મક સંખ્યાબે અર્થો છે - સકારાત્મક અને નકારાત્મક, અને વર્ગમૂળ ઋણ સંખ્યાઓમાંથી કાઢી શકાતા નથી: આવી કોઈ સંખ્યા નથી.

16મી સદીમાં અભ્યાસના સંબંધમાં ઘન સમીકરણોનકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવા માટે તે જરૂરી હોવાનું બહાર આવ્યું. ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર (જુઓ બીજગણિતીય સમીકરણ) ઘન અને વર્ગમૂળ ધરાવે છે. આ સૂત્ર એવા કિસ્સામાં વિશ્વસનીય રીતે કાર્ય કરે છે જ્યારે સમીકરણમાં એક વાસ્તવિક મૂળ હોય (ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ માટે), અને જો તેમાં ત્રણ વાસ્તવિક મૂળ હોય (ઉદાહરણ તરીકે, ), તો પછી ચિહ્ન હેઠળ વર્ગમૂળનકારાત્મક સંખ્યા હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તે બહાર આવ્યું છે કે સમીકરણના આ ત્રણ મૂળનો માર્ગ નકારાત્મક સંખ્યાના વર્ગમૂળને કાઢવાની અશક્ય કામગીરી દ્વારા દોરી જાય છે.

"એક અથવા બીજા ગણિતશાસ્ત્રીની ઇચ્છા ઉપરાંત અને તેની વિરુદ્ધ પણ, કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ગણતરીમાં ફરીથી અને ફરીથી દેખાય છે, અને માત્ર ધીમે ધીમે, જેમ જેમ તેમના ઉપયોગના ફાયદાઓ શોધવામાં આવે છે, શું તેઓ વધુને વધુ વ્યાપક બને છે." એફ. ક્લેઈન

પરિણામી વિરોધાભાસને સમજાવવા માટે, 1545માં ઇટાલિયન બીજગણિતશાસ્ત્રી જી. કાર્ડાનોએ સંખ્યાઓની રજૂઆતની દરખાસ્ત કરી નવી પ્રકૃતિ. તેણે બતાવ્યું કે સમીકરણોની એક સિસ્ટમ, જેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેમાં ફોર્મના ઉકેલો છે, તમારે ફક્ત સામાન્ય બીજગણિતના નિયમો અનુસાર આવા અભિવ્યક્તિઓ પર કાર્ય કરવા માટે સંમત થવાની જરૂર છે અને માની લો કે . કાર્ડનોએ આવા જથ્થાઓને "શુદ્ધપણે નકારાત્મક" અને તે પણ "સોફિસ્ટિકલી નેગેટિવ" કહ્યા, તેમને નકામું માન્યું અને તેનો ઉપયોગ ન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. વાસ્તવમાં, આવી સંખ્યાઓની મદદથી જથ્થાને માપવાના પરિણામ અથવા આ જથ્થામાં ફેરફારને વ્યક્ત કરવું અશક્ય છે. પરંતુ પહેલેથી જ 1572 માં, ઇટાલિયન બીજગણિતશાસ્ત્રી આર. બોમ્બેલી દ્વારા એક પુસ્તક પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાં આવા નંબરો પર અંકગણિત કામગીરી માટેના પ્રથમ નિયમો સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા, તેમાંથી ઘનમૂળના નિષ્કર્ષણ સુધી. "કાલ્પનિક સંખ્યાઓ" નામ 1637 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઅને ફિલસૂફ આર. ડેસકાર્ટેસ અને 1777માં 18મી સદીના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક. - એલ. યુલરે પ્રથમ અક્ષરનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કર્યું ફ્રેન્ચ શબ્દઇમેજિનેર (કાલ્પનિક) સંખ્યા દર્શાવવા માટે (એક "કાલ્પનિક" એકમ); કે. ગૌસ (1831)ને કારણે આ પ્રતીક સામાન્ય ઉપયોગમાં આવ્યું.

17મી સદી દરમિયાન. કાલ્પનિકોની અંકગણિત પ્રકૃતિ અને તેમને ભૌમિતિક અર્થઘટન આપવાની શક્યતા વિશે ચર્ચા ચાલુ રહી.

જટિલ સંખ્યાઓ પર કામગીરી કરવાની તકનીક ધીમે ધીમે વિકસિત થઈ. 17મી અને 18મી સદીના વળાંક પર. બાંધવામાં આવ્યું હતું સામાન્ય સિદ્ધાંતમી ડિગ્રીના મૂળ પ્રથમ નકારાત્મકમાંથી, અને પછી કોઈપણ જટિલ સંખ્યાઓમાંથી, તેના આધારે નીચેનું સૂત્રઅંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી એ. મોવરે (1707)

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે બહુવિધ ચાપના કોસાઇન્સ અને સાઇન માટે સમાનતા પણ મેળવી શકો છો. એલ. યુલરે 1748 માં એક નોંધપાત્ર સૂત્ર મેળવ્યું

,

જે એક સાથે જોડાયેલ છે ઘાતાંકીય કાર્યત્રિકોણમિતિ સાથે. યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે સંખ્યાને કોઈપણ જટિલ ઘાતમાં વધારી શકો છો. તે રસપ્રદ છે, ઉદાહરણ તરીકે, તે. તમે જટિલ સંખ્યાઓના સાઇન અને કોસાઇન શોધી શકો છો, આવી સંખ્યાઓના લઘુગણકની ગણતરી કરી શકો છો, એટલે કે. જટિલ ચલના કાર્યોનો સિદ્ધાંત બનાવો.

"કાલ્પનિક જથ્થાઓ સાથેની ગણતરીઓમાંથી મેળવેલા પરિણામોની ચોકસાઈ પર કોઈને શંકા નથી, જો કે તે માત્ર બીજગણિતીય સ્વરૂપો અને વાહિયાત જથ્થાના ચિત્રલિપિ છે." પી. કાર્નોટ

18મી સદીના અંતમાં. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જે. લેગ્રેન્જ એવું કહેવા સક્ષમ હતા કે ગાણિતિક વિશ્લેષણ હવે કાલ્પનિક જથ્થાઓ દ્વારા જટિલ નથી. જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે રેખીય સમસ્યાઓના ઉકેલો વ્યક્ત કરવાનું શીખ્યા. વિભેદક સમીકરણોસતત ગુણાંક સાથે. આવા સમીકરણો જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં સામગ્રી બિંદુપ્રતિરોધક વાતાવરણમાં. અગાઉ પણ, સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી જે. બર્નૌલીએ પૂર્ણાંકોની ગણતરી માટે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કર્યો હતો.

જોકે 18મી સદી દરમિયાન. જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી છે, સહિત લાગુ સમસ્યાઓ, કાર્ટોગ્રાફી, હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, વગેરે સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ હજી સુધી આ સંખ્યાઓના સિદ્ધાંત માટે સખત તાર્કિક સમર્થન મળ્યું નથી. તેથી, ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક પી. લેપ્લેસ માનતા હતા કે કાલ્પનિક સંખ્યાઓની મદદથી મેળવેલા પરિણામો માત્ર એવા સૂચનો છે જે પ્રત્યક્ષ પુરાવા દ્વારા પુષ્ટિ કર્યા પછી જ વાસ્તવિક સત્યના પાત્રને પ્રાપ્ત કરે છે.

"અવકાશી પદાર્થોની ગતિનો સિદ્ધાંત." અંતે XVIII - પ્રારંભિક XIX વી. જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન મેળવવામાં આવ્યું હતું. ડેન જી. વેસલ, ફ્રેન્ચમેન જે. અર્ગન અને જર્મન કે. ગૌસે સ્વતંત્ર રીતે જટિલ સંખ્યાને બિંદુ તરીકે રજૂ કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી.સંકલન વિમાન . પાછળથી તે બહાર આવ્યું કે કોઈ સંખ્યાને બિંદુ દ્વારા નહીં, પરંતુ મૂળથી આ બિંદુ પર જતા વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરવું તે વધુ અનુકૂળ છે. આ અર્થઘટન સાથે, જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી વેક્ટર પરની સમાન ક્રિયાઓને અનુરૂપ છે. વેક્ટરને માત્ર તેના કોઓર્ડિનેટ્સ અને , પણ તેની લંબાઈ અને x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે તે જે કોણ બનાવે છે તેના દ્વારા પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, અને નંબર ફોર્મ લે છે

, જેને જટિલ સંખ્યાનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાને જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. સંખ્યાને દલીલ કહેવામાં આવે છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે જો , મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી, પરંતુ જ્યારે તે નાં ગુણાંક સુધી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અગાઉ ઉલ્લેખિત યુલર સૂત્ર તમને ફોર્મમાં સંખ્યા લખવા માટે પરવાનગી આપે છે (એક જટિલ સંખ્યાનું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ). ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવો ખૂબ જ અનુકૂળ છે. તે સૂત્ર અનુસાર ઉત્પન્ન થાય છે

જટિલ સંખ્યાઓના ભૌમિતિક અર્થઘટનથી જટિલ ચલના કાર્યોથી સંબંધિત ઘણી વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું શક્ય બન્યું અને તેમની એપ્લિકેશનનો વિસ્તાર વિસ્તૃત થયો. તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે જટિલ સંખ્યાઓ ઘણા મુદ્દાઓમાં ઉપયોગી છે જ્યાં તેઓ સમતલ પરના વેક્ટર દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા જથ્થા સાથે વ્યવહાર કરે છે: જ્યારે પ્રવાહી પ્રવાહનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓ.

રશિયન અને સોવિયેત વૈજ્ઞાનિકોએ જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં મોટો ફાળો આપ્યો. N. I. Muskhelishvili એ સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંત, M. V. Keldysh અને M. A. Lavrentyev - aero- and hydrodynamics, N. N. Bogolyubov અને V. S. Vladimirov - સમસ્યાઓ પર કામ કર્યું. ક્વોન્ટમ થિયરીક્ષેત્રો

જટિલ સંખ્યા સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો.

સંખ્યાત્મક સમૂહો. સંખ્યાની વિભાવનાને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે.

ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક સંખ્યાની વિભાવના છે. આ વિભાવના વિકાસના લાંબા માર્ગમાંથી પસાર થઈ છે, નવી સામગ્રી સાથે સમૃદ્ધ છે.

ઐતિહાસિક રીતે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ વ્યવહારમાં ઉદભવેલી પ્રથમ હતી અને વિજ્ઞાનમાં દાખલ કરવામાં આવી હતી, જે જથ્થાની ગણતરી માટેનું સાધન છે. વ્યક્તિગત વસ્તુઓ. તેઓ રચે છે અનંત સમૂહ, જે સૂચવવામાં આવે છેએન.

પછી તે દરમિયાન નકારાત્મક સંખ્યાઓ દાખલ કરવી જરૂરી બની વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓવ્યક્તિ (ફરજની વિભાવના). નકારાત્મક પૂર્ણાંકો, કુદરતી સંખ્યાઓ અને સંખ્યા 0 સાથે મળીને, અનંત સમૂહ Z બનાવે છે.

પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાત, તેમજ ગણિતની આંતરિક જરૂરિયાતો, તેની તાર્કિક વિકાસ, સેટની અપૂરતીતા દર્શાવે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓવિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

ઉદાહરણ તરીકે,

આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.

તેથી, સંખ્યાઓનો નવો વિસ્તૃત સમૂહ બનાવવાની જરૂર હતી, જેમાં સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુ માટે ત્યાં હશે. સંખ્યાત્મક મૂલ્યઅને જેમાં x ફોર્મનું કોઈપણ સમીકરણ n = એ. આવા સમૂહને વાસ્તવિક અથવા કહેવામાં આવે છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓઆર.

દરેક પાછલા સમૂહ આગામી એકમાં સમાયેલ છે:

વિજ્ઞાન અને પ્રેક્ટિસના વિકાસે રજૂ કરેલા સમૂહ Rની અપૂરતીતા દર્શાવી છે. આ સમૂહ પર સૌથી સરળ સમીકરણ વણઉકેલ્યું છે.

આનાથી છુટકારો મેળવવા માટે નોટબંધી દાખલ કરવામાં આવી હતી

પરિણામી સંખ્યા i ને કાલ્પનિક એકમ કહેવામાં આવતું હતું.

ઐતિહાસિક માહિતી.

1545 - ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીGirolamo Cardanoઘન સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, મેં આકસ્મિક રીતે પ્રથમ વખત કાલ્પનિક સંખ્યાઓ મેળવી

1748 - રશિયન ગણિતશાસ્ત્રીલિયોનાર્ડ યુલર ગુણોત્તર મળ્યો e ix = cos x + i∙sin x

1803 - ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીલાઝારે નિકોલસ કાર્નોટજટિલ સંખ્યાનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો.

1835 - જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીકાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસજટિલ સંખ્યાના અસ્તિત્વને સમર્થન આપે છે.

વ્યાખ્યા. કાલ્પનિક એકમ i એક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ -1 છે.

વ્યાખ્યા . જટિલ સંખ્યાa + i∙b સ્વરૂપની સંખ્યા છે, જ્યાં a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નંબર a કહેવાય છેજટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ, b - જટિલ સંખ્યાનો કાલ્પનિક ભાગ. (પણ હું નથી!!!)

ત્યાં બે ખાસ કિસ્સાઓ છે:

વ્યાખ્યા. ફોર્મમાં નંબર લખવોa + i∙b કહેવાય છેજટિલ સંખ્યા લખવાનું બીજગણિત સ્વરૂપ.

વ્યાખ્યા . બે જટિલ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છેસમાન , જો તેમના કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક ભાગો સમાન હોય.

વ્યાખ્યા . જટિલ સંખ્યા a - i∙b કહેવાય છેજટિલ જોડાણજટિલ સંખ્યા a + i∙b માટે.

વ્યાખ્યા . જટિલ સંખ્યાઓ a + i∙b અને - a - i∙b કહેવામાં આવે છેવિરુદ્ધ.

જટિલ સંખ્યાઓ પર કામગીરી

વી બીજગણિત સ્વરૂપરેકોર્ડ

1. ઉમેરો.

નિયમ . બીજગણિત સંકેતમાં બે જટિલ સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક ભાગો ઉમેરવાની જરૂર છે.

(a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. બાદબાકી.

નિયમ . બીજગણિત સંકેતમાં બે જટિલ સંખ્યાઓને બાદ કરવા માટે, તમારે અનુક્રમે તેમના કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક ભાગોને બાદ કરવાની જરૂર છે.

(a 1 + ib 1) - (a 2 + ib 2) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. ગુણાકાર.

નિયમ . બીજગણિતીય સંકેતમાં બે જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમને પદ દ્વારા પદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને તેમને બીજગણિત સંકેત પર લાવવાની જરૂર છે.

(a 1 + ib 1 ) ∙ (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. વિભાગ.

નિયમ . એક જટિલ સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે બંને સંખ્યાઓને વિભાજકના જટિલ સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે.

સોંપણીઓ.

1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યાઓ સમાન છે?

0.3 + 0.2i

0.3 - 0.2i

0.6 + 0.4i

1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા વાસ્તવિક છે? કેવળ કાલ્પનિક?

2+0i

0+2i

3 - 5i

4+2i

1. આપેલ જટિલ સંખ્યાઓના તમામ સંયોજકો અને વિરોધી શોધો.

ચાલો તમને યાદ અપાવીએ જરૂરી માહિતીજટિલ સંખ્યાઓ વિશે.

જટિલ સંખ્યાસ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે a + દ્વિ, ક્યાં a, bવાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને i- કહેવાતા કાલ્પનિક એકમ, એક પ્રતીક જેનો ચોરસ -1 બરાબર છે, એટલે કે i 2 = –1. નંબર aકહેવાય છે વાસ્તવિક ભાગ, અને નંબર b - કાલ્પનિક ભાગજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિ. જો b= 0, પછી તેના બદલે a + 0iતેઓ સરળ રીતે લખે છે a. તે જોઈ શકાય છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે ખાસ કેસજટિલ સંખ્યાઓ.

જટિલ સંખ્યાઓ પરની અંકગણિત ક્રિયાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જેવી જ છે: તે એકબીજા દ્વારા ઉમેરી, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે. સરવાળા અને બાદબાકી નિયમ મુજબ થાય છે ( a + દ્વિ) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± ડી)i, અને ગુણાકાર નિયમને અનુસરે છે ( a + દ્વિ) · ( c + di) = (એસી – bd) + (જાહેરાત + પૂર્વે)i(અહીં તેનો ઉપયોગ થાય છે i 2 = –1). સંખ્યા = a – દ્વિકહેવાય છે જટિલ જોડાણથી z = a + દ્વિ. સમાનતા z · = a 2 + b 2 તમને એક જટિલ સંખ્યાને બીજી (શૂન્ય સિવાયની) જટિલ સંખ્યા દ્વારા કેવી રીતે વિભાજીત કરવી તે સમજવાની મંજૂરી આપે છે:

(ઉદાહરણ તરીકે, .)

જટિલ સંખ્યાઓ અનુકૂળ અને દ્રશ્ય ધરાવે છે ભૌમિતિક રજૂઆત: સંખ્યા z = a + દ્વિકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે ( a; b) ચાલુ કાર્ટેશિયન પ્લેન(અથવા, જે લગભગ સમાન વસ્તુ છે, એક બિંદુ - આ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરનો અંત). આ કિસ્સામાં, બે જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો અનુરૂપ વેક્ટરના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે (જે સમાંતરગ્રામ નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે). પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરની લંબાઈ ( a; b) બરાબર છે. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે મોડ્યુલજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિઅને | દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z| આ વેક્ટર x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે બનાવે છે તે કોણ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગણાય છે) કહેવાય છે. દલીલજટિલ સંખ્યા zઅને Arg દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z. દલીલ વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ માત્ર 2 ના ગુણાંકવાળા મૂલ્યના ઉમેરા સુધી π રેડિયન (અથવા 360°, જો ડિગ્રીમાં ગણવામાં આવે તો) - છેવટે, તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળની આસપાસ આવા ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ વેક્ટરને બદલશે નહીં. પરંતુ જો લંબાઈનો વેક્ટર આરએક ખૂણો બનાવે છે φ x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે ( આર cos φ ; આરપાપ φ ). અહીંથી તે બહાર આવ્યું છે ત્રિકોણમિતિ સંકેતજટિલ સંખ્યા: z = |z| · (કારણ કે (આર્ગ z) + iપાપ (આર્ગ z)). આ ફોર્મમાં જટિલ સંખ્યાઓ લખવી ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે, કારણ કે તે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. જટિલ સંખ્યાઓનો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવો ખૂબ જ સરળ છે: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (કારણ કે (આર્ગ z 1 + Arg z 2) + iપાપ (આર્ગ z 1 + Arg z 2)) (બે જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તેમના મોડ્યુલોનો ગુણાકાર થાય છે અને તેમની દલીલો ઉમેરવામાં આવે છે). અહીંથી અનુસરો મોઇવરના સૂત્રો: z n = |z|n· (કારણ કે( n· (આર્ગ z)) + iપાપ( n· (આર્ગ z))). આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, જટિલ સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ ડિગ્રીના મૂળ કેવી રીતે કાઢવા તે શીખવું સરળ છે. nમું મૂળનંબર z માંથી સત્તાઓ- આ એક જટિલ સંખ્યા છે ડબલ્યુ, શું w એન = z. તે સ્પષ્ટ છે કે , અને , ક્યાં kસમૂહમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે (0, 1, ..., n– 1). આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં હંમેશા બરાબર છે nમૂળ nજટિલ સંખ્યાની મી ડિગ્રી (પ્લેન પર તેઓ નિયમિતના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે n-ગોન).