સંભાવના વ્યાખ્યા દ્વારા કન્વર્જન્સ. સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો

સિદ્ધાંત સંભાવના કન્વર્જન્સ પ્રમેય

સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો

રેન્ડમ ચલ અને સંભાવના વિતરણના સિક્વન્સનું કન્વર્જન્સ

1.1.1.1 કન્વર્જન્સ રેન્ડમ ચલો

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ અને તેમાં ઉલ્લેખિત રેન્ડમ વેરીએબલ સાથે સંભાવના જગ્યા હોવા દો. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ચલોના ક્રમના નીચેના પ્રકારના કન્વર્જન્સને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ સંભવિતતામાં રેન્ડમ ચલમાં કન્વર્જ થાય છે જો કોઈ હોય તો

આ પ્રકારના કન્વર્જન્સને નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: , અથવા.

રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ સંભાવના 1 (અથવા લગભગ ચોક્કસપણે) સાથે રેન્ડમ ચલમાં કન્વર્જ થાય છે જો

એટલે કે, જો બધા સિવાય, કદાચ, શૂન્ય સંભાવનાના અમુક સમૂહમાંથી (). અમે સંભાવના 1 સાથે કન્વર્જન્સને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશું: , અથવા. સંભાવના 1 સાથે કન્વર્જન્સ એ સંભાવના માપના સંદર્ભમાં લગભગ દરેક જગ્યાએ કન્વર્જન્સ છે.

નોંધ કરો કે કન્વર્જન્સ એ બીજગણિત ઘટના છે જેને તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

ચાલો આપણે અમુક પ્રમેય ઘડીએ જે લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સ માટે માપદંડ સ્થાપિત કરે છે.

પ્રમેય 1.1. જો અને માત્ર જો કોઈ માટે

અથવા, સમાન શું છે,

પ્રમેય 1.2. જો પંક્તિ

કોઈપણ માટે કન્વર્ઝ, પછી

તે બતાવી શકાય છે કે કન્વર્જન્સ કન્વર્જન્સનો સમાવેશ કરે છે (આ (1.1) થી અનુસરે છે).

પ્રમેય 1.3. જો, પછી એક અનુગામી છે જેમ કે માટે.

કન્વર્જન્સ અને કન્વર્જન્સ વચ્ચેનું જોડાણ નીચેના પ્રમેય દ્વારા સ્થાપિત થાય છે.

પ્રમેય 1.4. (મોનોટોનિક કન્વર્જન્સ પર લેવી) ત્યાં રહેવા દો એકવિધ ક્રમબિન-નકારાત્મક રેન્ડમ ચલો: સમાન મૂલ્ય સુધી મર્યાદિત ગાણિતિક અપેક્ષાઓ રાખવાથી: . પછી ક્રમ સંભાવના 1 સાથે કેટલાક રેન્ડમ ચલ c, અને સાથે કન્વર્જ થાય છે

પ્રમેય 1.5. (ડોમિનેટેડ કન્વર્જન્સ પર લેબેસગ્યુ) ચાલો અને એવા જથ્થાઓ બનો કે જ્યાં મર્યાદિત ગાણિતિક અપેક્ષા ધરાવતું બિન-નકારાત્મક રેન્ડમ ચલ છે. પછી રેન્ડમ ચલ પણ મર્યાદિત ગાણિતિક અપેક્ષા ધરાવે છે અને

રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ એવરેજ ક્રમ સાથે રેન્ડમ ચલમાં કન્વર્જ થાય છે જો

અમે આવા કન્વર્જન્સને સૂચવીશું. જ્યારે તેઓ સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ વિશે વાત કરે છે અને તેને સૂચિત કરે છે. સામાન્યકૃત ચેબીશેવ અસમાનતાના આધારે, કન્વર્જન્સ અનુસરે છે. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ, અને ખાસ કરીને કન્વર્જન્સથી લગભગ ચોક્કસપણે, ક્રમના કન્વર્જન્સને સૂચિત કરતું નથી. આમ, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ એ ત્રણેનું સૌથી નબળું કન્વર્જન્સ છે જે આપણે ધ્યાનમાં લીધું છે.

એક ક્રમ સંભાવનામાં મૂળભૂત હોવાનું કહેવાય છે (લગભગ ચોક્કસપણે, ઓર્ડરની સરેરાશ પર) જો કોઈ હોય તો

પ્રમેય 1.6. (કોચી કન્વર્જન્સ માપદંડ) તે કોઈપણ અર્થમાં હોવા માટે (સંભાવનામાં, લગભગ ચોક્કસપણે, ક્રમની સરેરાશ પર) તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે અનુરૂપ અર્થમાં ક્રમ મૂળભૂત હોય.

1.1.1.2 વિતરણનું નબળું કન્વર્જન્સ

એવું કહેવાય છે કે રેન્ડમ વેરીએબલનું પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન નબળા રીતે રેન્ડમ ચલના વિતરણમાં કન્વર્જ થાય છે જો, કોઈપણ સતત બાઉન્ડેડ ફંક્શન માટે

અમે નબળા કન્વર્જન્સને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશું: . નોંધ કરો કે કન્વર્જન્સ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. વિપરીત સાચું નથી, જોકે માટે નબળા સંકલનસંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો સમાવેશ થાય છે.

નીચે પ્રમાણે માપવાના સંદર્ભમાં લેબેસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને સ્થિતિ (1.2) ફરીથી લખી શકાય છે

સંભવિત ઘનતા ધરાવતા રેન્ડમ ચલ માટે, નબળા કન્વર્જન્સનો અર્થ છે કોઈપણ બાઉન્ડેડ ફંક્શન માટે કન્વર્જન્સ

જો આપણે વિતરણ કાર્યો અને અનુરૂપ અને વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તો નબળા કન્વર્જન્સનો અર્થ થાય છે

રેન્ડમ ચલ X 1, X 2 ના સિક્વન્સ , . . ., એક્સ એન, . . ., ચોક્કસ રમ આપવામાં આવે છે સંભાવના જગ્યારેન્ડમ ચલ માટે X,નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત: જો કોઈ હોય તો
ગણિતમાં વિશ્લેષણમાં, આ કન્વર્જન્સને માપમાં કન્વર્જન્સ કહેવામાં આવે છે. એન. થી ઇ. બહાર વહે છે વિતરણમાં સંકલન.
વી. આઇ. બિટ્યુત્સ્કોવ.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ. 1977-1985.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "સંભવિતતામાં એકરૂપતા" શું છે તે જુઓ:

- ... વિકિપીડિયા

સંભાવના એક સાથે કન્વર્જન્સ, રેન્ડમ ચલ X1, X2,ના ક્રમનું કન્વર્જન્સ. . ., એક્સ પી. . ., રેન્ડમ ચલ X માટે ચોક્કસ સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત, નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત: (અથવા એ.એસ.), જો B ગાણિતિક... ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ચલોના કન્વર્જન્સનો એક પ્રકાર. વિષયવસ્તુ 1 વ્યાખ્યા 2 નોંધો ... વિકિપીડિયા

ગણિતમાં, કન્વર્જન્સનો અર્થ એ છે કે અનંત ક્રમ અથવા અનંત શ્રેણીનો સરવાળો અથવા અયોગ્ય અભિન્નમર્યાદા છે. વિભાવનાઓ મનસ્વી ક્રમ, શ્રેણી અને સંકલન માટે અર્થપૂર્ણ છે: ક્રમની મર્યાદા... ... વિકિપીડિયા

આ શબ્દના અન્ય અર્થ છે, કન્વર્જન્સ જુઓ. ફંક્શનનો ક્રમ લગભગ દરેક જગ્યાએ એક મર્યાદા ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે જો પોઈન્ટનો સમૂહ કે જેના માટે કોઈ કન્વર્જન્સ નથી તેનું માપ શૂન્ય હોય. વિષયવસ્તુ 1 વ્યાખ્યા 1.1 ટર્મ ... વિકિપીડિયા

આ શબ્દના અન્ય અર્થ છે, કન્વર્જન્સ જુઓ. કાર્યાત્મક પૃથ્થકરણમાં કન્વર્જન્સ, સંભાવના સિદ્ધાંત અને સંબંધિત શાખાઓમાપી શકાય તેવા કાર્યો અથવા રેન્ડમ ચલોના કન્વર્જન્સનો પ્રકાર. વ્યાખ્યા સાથે જગ્યા દો... ... વિકિપીડિયા

- (સંભાવના દ્વારા) વિધેયાત્મક વિશ્લેષણ, સંભાવના સિદ્ધાંત અને સંબંધિત શાખાઓમાં, આ માપી શકાય તેવા કાર્યો (રેન્ડમ ચલ) નું એક પ્રકાર છે જે માપ (સંભાવનાની જગ્યા) સાથે જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા: જગ્યાને માપવા દો... ... વિકિપીડિયા

એક ગાણિતિક ખ્યાલ જેનો અર્થ થાય છે કે કેટલાક ચલ જથ્થોમર્યાદા છે. આ અર્થમાં, તેઓ ક્રમ, શ્રેણી, અનંત ઉત્પાદન, સતત અપૂર્ણાંક, એક અભિન્ન, વગેરેની વાત કરે છે. શ્રેણીનો ખ્યાલ ઉદ્ભવે છે... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ સમાન... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

સામાન્ય સિદ્ધાંત એ છે કે સંયુક્ત ક્રિયારેન્ડમ પરિબળો કેટલાક ખૂબ તરફ દોરી જાય છે સામાન્ય શરતોપરિણામે લગભગ તકથી સ્વતંત્ર. સંખ્યા વધે તેમ તેની સંભાવના સાથે રેન્ડમ ઘટનાની ઘટનાની આવર્તનનું કન્વર્જન્સ... ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

પુસ્તકો

• સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા 360 થી વધુ સમસ્યાઓ અને કસરતો, બોર્ઝિખ ડી.. સૂચિત માર્ગદર્શિકામાં સમસ્યાઓ છે વિવિધ સ્તરોમુશ્કેલીઓ. જો કે, મુખ્ય ભાર મધ્યમ જટિલતાના કાર્યો પર છે. આ ઈરાદાપૂર્વક વિદ્યાર્થીઓને પ્રોત્સાહિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે...
• સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા. 360 થી વધુ કાર્યો અને કસરતો, બોર્ઝિખ ડીએ. સૂચિત માર્ગદર્શિકામાં વિવિધ સ્તરની જટિલતાના કાર્યો છે. જો કે, મુખ્ય ભાર મધ્યમ જટિલતાના કાર્યો પર છે. આ ઈરાદાપૂર્વક વિદ્યાર્થીઓને પ્રોત્સાહિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે...

ભવિષ્યમાં, આપણે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના ડેરિવેટિવ્ઝ અને ઇન્ટિગ્રલ્સ સાથે વ્યાપકપણે કામ કરવું પડશે. બંને કામગીરી - ભિન્નતા અને એકીકરણ - ધારે છે, જેમ કે જાણીતું છે, ચોક્કસ ક્રમના જથ્થાનું એક મર્યાદામાં કન્વર્જન્સ. પરંતુ રેન્ડમ ચલો માટે કે જે નિર્ધારિત રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ તેમના સંભવિત વિતરણો દ્વારા, એક મર્યાદામાં કન્વર્જન્સની વિભાવના (અને તે દ્વારા સાતત્ય, ભિન્નતા, અખંડિતતાની વિભાવનાઓ રેન્ડમ કાર્યો)નો એ જ અર્થ હોઈ શકતો નથી જે વિશ્લેષણમાં તેમાં મૂકવામાં આવ્યો છે. રેન્ડમ ચલોના ક્રમ માટે, મર્યાદામાં કન્વર્જન્સની માત્ર સંભવિત વ્યાખ્યા શક્ય છે, જે, માર્ગ દ્વારા, વ્યાખ્યાને પસંદ કરવામાં વધુ વૈવિધ્યસભર શક્યતાઓ ખોલે છે. રેન્ડમ ફંક્શન્સના કહેવાતા એર્ગોડિક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવા માટે સંભવિત કન્વર્જન્સ પણ આવશ્યક છે, જેને આપણે આગળના વિભાગમાં સંબોધિત કરીશું.

ચાલો, સરળતા માટે, વિચાર કરીને શરૂ કરીએ વિવિધ પ્રકારોરેન્ડમ ચલોના ક્રમનું એક (નોન-રેન્ડમ) નંબર a.

સંભવિત કન્વર્જન્સનો એક પ્રકાર એ સરેરાશ ચોરસ (rms) માં કન્વર્જન્સ છે, જેનો અર્થ છે કે સરેરાશ શૂન્ય પર જાય છે ચોરસ વિચલનપર નંબર a થી

જે ફોર્મમાં લખેલ છે

હોદ્દો 1. i. m બનેલું છે પ્રારંભિક અક્ષરો અંગ્રેજી નામઆ મર્યાદા (મધ્યમ ચોરસમાં મર્યાદા). આ પ્રકારના કન્વર્જન્સનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં સૌથી યોગ્ય છે કે જ્યાં વ્યક્તિએ ચતુર્ભુજ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે (ખાસ કરીને, જેઓ ઊર્જાસભર અર્થ) રેન્ડમ ચલોના સંયોજનો.

સમાનતા (19.1) દેખીતી રીતે સૌથી મર્યાદિત અને ત્યારથી સરેરાશ મૂલ્યની મર્યાદિતતાને ધારે છે. (19.1) માં કૌંસમાં બાદબાકી અને ઉમેરીને, અમે આ સમાનતાને અલગ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:

પરંતુ બે બિન-ઋણાત્મક જથ્થાઓના સરવાળાની મર્યાદા હોઈ શકે છે શૂન્ય બરાબર, માત્ર જો બંને પદોની મર્યાદા શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે.

આમ, અર્થના ક્રમની મર્યાદા છે અને વિચલનની મર્યાદા શૂન્ય છે.

એ માટે સંભવિત કન્વર્જન્સનો બીજો પ્રકાર - સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ (ver. માં) - નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

જ્યાં, હંમેશની જેમ, કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાનું છે હકારાત્મક સંખ્યા. આ કિસ્સામાં તેઓ લખે છે

સમાનતા (19.2) નો અર્થ છે કે મનસ્વી રીતે સંકુચિત અંતરાલની બહાર ક્યાંક અથડાવાની સંભાવના મર્યાદામાં શૂન્ય બની જાય છે. તેની મનસ્વી નાનકડીતાને લીધે, આનો અર્થ એ થાય છે કે રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા . જો કે, તે આનાથી બિલકુલ અનુસરતું નથી કે a એ ક્રમની મર્યાદા છે અને તે D શૂન્ય તરફ વળે છે. વધુમાં, તેઓ N ને વધારવા સાથે અમર્યાદિત રીતે વૃદ્ધિ કરી શકે છે અથવા કોઈપણ N માટે અનંત પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિન-નકારાત્મક હોઈ શકે છે અને કોચીના નિયમ અનુસાર વિતરિત કરી શકે છે:

કોઈપણ માટે, પરની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે, જ્યારે મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી. તે જ સમયે, સામાન્યકરણ સ્થિતિ હંમેશા સંતુષ્ટ છે:

તેથી ખાતે વલણ ધરાવે છે. જો કે, તે ચકાસવું મુશ્કેલ નથી કે કોઈપણ N માટે અને અનંત છે.

સંભાવનામાં કન્વર્જન્સને કાયદાના અર્થમાં ઘણીવાર કન્વર્જન્સ કહેવામાં આવે છે મોટી સંખ્યામાં. અવ્યવસ્થિત ચલોને અત્યંત સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં સ્થિરાંકોનો એવો ક્રમ હોય કે

જો બધા સમાન હોય (a ની સમાન હોય), તો આ સમાનતા (19.2) માં જાય છે, એટલે કે, તેનો અર્થ એ થાય છે કે તે સંભાવનામાં a અથવા તફાવતમાં કન્વર્જ થાય છે - a સંભાવનામાં શૂન્યમાં કન્વર્જ થાય છે.

સંભવિતતામાં કન્વર્જન્સને સામાન્ય કન્વર્જન્સથી સ્પષ્ટ રીતે અલગ પાડવું જોઈએ

ખરેખર, પ્રયોગમૂલક સંખ્યાઓ - મૂલ્યોના વર્તન અંગે ગાણિતિક રીતે કંઈપણ સાબિત કરી શકાતું નથી. માત્ર સંબંધિત નિવેદનો સૈદ્ધાંતિક ખ્યાલો, મૂળ સ્વયંસિદ્ધમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંભાવનાની વિભાવના સહિત. સંભાવના કન્વર્જન્સમાં, અમે એ હકીકત વિશે નથી વાત કરી રહ્યા છીએ કે a for , પરંતુ એ હકીકત વિશે કે ઘટનાની સંભાવના એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે. અનુભવ સાથેના આ નિવેદનનું જોડાણ "માપન સ્વયંસિદ્ધ" માં સમાયેલું છે, જે મુજબ સંભાવનાને સંબંધિત આવર્તન દ્વારા માપવામાં આવે છે.

પરીક્ષણોની પૂરતી લાંબી શ્રેણીમાં, સિસ્ટમોના પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા જોડાણમાં, વગેરેમાં પ્રશ્નમાં રેન્ડમ ઘટનાની ઘટના.

મુદ્દાના આ મૂળભૂત પાસાને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો સંભવિતતાના સિદ્ધાંતના અમુક મર્યાદા પ્રમેય પર ધ્યાન આપીએ, જે હેઠળ સંયુક્ત સામાન્ય નામમોટી સંખ્યાઓનો કાયદો, એટલે કે કેસ સંબંધિત પ્રમેય પર જ્યારે (19.2) માં N રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ હોય

અમે N પરીક્ષણોની શ્રેણી કરીએ છીએ, તેમના પરિણામો લઈએ છીએ અને સરેરાશ (19.3) ની ગણતરી કરીએ છીએ. પછી આપણે એ જોવા માટે જોઈએ છીએ કે ત્યાં કોઈ ઇવેન્ટ છે કે નહીં (ચાલો તેને BN ઇવેન્ટ કહીએ).

BN ઘટનાની સંભાવનાને માપવા માટે, અમારે N પરીક્ષણોની શ્રેણીની Mની ખૂબ મોટી સંખ્યા કરવી જોઈએ, અને આવી શ્રેણીનો સમૂહ હોવો જોઈએ. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો (19.2) જણાવે છે કે શ્રેણી જેટલી લાંબી બને છે તેટલી સામૂહિક (મોટા N) બને છે, તેટલી એકતાની નજીક હોય છે, એટલે કે, "માપન સ્વયંસિદ્ધ" અનુસાર, મોટી માત્રામાંશ્રેણી BN ની શરૂઆતને અનુરૂપ હશે (મર્યાદામાં - લગભગ તમામ):

આમ, આ એક સંપૂર્ણ અર્થપૂર્ણ નિવેદન છે, પરંતુ તે સ્પષ્ટ સરખામણી સાથે જ બને છે ગાણિતિક ખ્યાલસંબંધિત આવર્તનના પ્રયોગમૂલક ખ્યાલ સાથે સંભાવના. આ વિના, મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો ચોક્કસ પ્રમેય બની રહે છે, તાર્કિક રીતે P મૂલ્ય માટે ચોક્કસ પ્રણાલીનું અનુસરણ કરે છે, જે ડોમેનના એકતા કાર્ય માટે સંપૂર્ણપણે ઉમેરણ, બિન-નકારાત્મક અને સામાન્યકૃત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ઘણીવાર આ પ્રશ્ન, જેને આપણે પહેલાથી જ § 1 માં સ્પર્શ કર્યો છે, તે પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે શૈક્ષણિક સાહિત્યતેના બદલે ગૂંચવણભરી રીતે, સ્પષ્ટ સંકેત વિના કે "માપન સ્વયંસિદ્ધ", સંભવિતતા સિદ્ધાંતના ખ્યાલોને વાસ્તવિક ઘટના સાથે, પ્રયોગ અને પ્રેક્ટિસ સાથે જોડતો નથી. ગાણિતિક સિદ્ધાંતજેમ કે. કુદરતી વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીની વિવિધ સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંતના અમલીકરણની સફળતા માટેનો પાયો મોટી સંખ્યામાંના કાયદામાં ચોક્કસ રીતે નાખવામાં આવે છે તેવા નિવેદનો પર આવી શકે છે. જો આ કિસ્સો હોત, તો તેનો અર્થ તે થાય

પ્રાયોગિક સફળતાનો પાયો એ અમુક અમૂર્ત સ્વયંસિદ્ધિઓનું તાર્કિક પરિણામ છે અને આ ગાણિતિક સ્વયંસિદ્ધ પોતે સૂચવે છે કે પ્રયોગમૂલક જથ્થાઓએ કેવી રીતે વર્તવું જોઈએ.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, અન્ય સ્વયંસિદ્ધોથી શરૂ કરવું શક્ય બનશે - અને અન્ય સંભવિતતા સિદ્ધાંતનું નિર્માણ કરવું, જેના તારણો, તેમાંથી અલગ હોવાને કારણે વર્તમાન સિદ્ધાંત, તેટલું જ તાર્કિક રીતે દોષરહિત અને તેટલું જ બિનજરૂરી હશે વાસ્તવિક ઘટના. અહીં પરિસ્થિતિ વિવિધ સંભવિત ભૂમિતિઓ જેવી જ છે. પરંતુ જલદી કોઈ ગાણિતિક સિદ્ધાંતને માપવાની ચોક્કસ પદ્ધતિઓ સાથે પૂરક બનાવવામાં આવે છે જેની સાથે તે કાર્ય કરે છે, અને તે ભૌતિક સિદ્ધાંત બની જાય છે, પરિસ્થિતિ બદલાય છે. સિદ્ધાંતની સાચીતા અથવા અયોગ્યતા પછી માત્ર તેની તાર્કિક સુસંગતતાનો પ્રશ્ન બનીને અટકી જાય છે, પરંતુ વાસ્તવિક વસ્તુઓ અને ઘટનાઓ સાથે તેના પત્રવ્યવહારનો પ્રશ્ન બની જાય છે. સ્વયંસિદ્ધોના સત્યનો પ્રશ્ન પોતે જ સામગ્રી મેળવે છે, કારણ કે હવે આ પ્રાયોગિક અને સામાન્ય રીતે વ્યવહારુ ચકાસણીને આધિન થઈ શકે છે.

જો કે, આવી ચકાસણી પહેલાં પણ, ભૌતિક સિદ્ધાંતના બંને ભાગો વચ્ચે આંતરિક પત્રવ્યવહાર જરૂરી છે: જથ્થાને માપવા માટેની સ્થાપિત પદ્ધતિઓ તે સમીકરણો સાથે વિરોધાભાસી ન હોવી જોઈએ કે જેના પર સિદ્ધાંતનો ગાણિતિક ભાગ આ જથ્થાઓને ગૌણ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ન્યુટનના ગતિના સમીકરણો ધારે છે કે બળ એક વેક્ટર છે, અને તેથી તે બળને માપવાની રીત સાથે અસંગત છે જે તેને માત્ર તેની દ્રષ્ટિએ જ દર્શાવશે. સંપૂર્ણ મૂલ્ય. કદાચ વાસ્તવમાં બળ એ વેક્ટર નથી, પરંતુ, કહો, એક ટેન્સર છે, પરંતુ તે કેટલી સારી રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે તે અંગેનો આ બીજો પ્રશ્ન છે. ઉદ્દેશ્ય વાસ્તવિકતાઆપેલ ભૌતિક સિદ્ધાંતસામાન્ય રીતે અમે હવે માત્ર એ હકીકત વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ કે ભૌતિક સિદ્ધાંતના ગાણિતિક અને માપન ભાગો વચ્ચેના વિરોધાભાસની હાજરી પ્રાયોગિક રીતે તેના પરિણામોની કોઈપણ ચકાસણી પહેલાં પણ તેને અસમર્થ બનાવે છે.

આ દૃષ્ટિકોણથી, મોટી સંખ્યાનો કાયદો અન્ય - તાર્કિક રીતે સમકક્ષ - સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયથી માત્ર તેમાં જ અલગ પડે છે, જે નીચેનામાંથી જોવામાં આવશે, તે ખાસ કરીને સ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટપણે સુસંગતતા દર્શાવે છે. ગાણિતિક વ્યાખ્યાસંભાવના અને તેને માપવાની આવર્તન પદ્ધતિ. તે બતાવે છે કે આવર્તન "માપન સ્વયંસિદ્ધ" ગાણિતિક સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરતું નથી, પરંતુ બાદમાં, અલબત્ત, આ "સ્વયંતિ" ને બદલી શકતું નથી અને કરી શકતું નથી.

મોટી સંખ્યાના કાયદાના સ્વરૂપમાં વિવિધ પ્રમેયનો પુરાવો સામાન્ય રીતે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરે છે, જે 1846માં તેમના નિબંધમાં સાબિત થાય છે. એક રેન્ડમ વેરીએબલને મર્યાદિત ભિન્નતા હોવા દો ચેબીશેવની અસમાનતા

જણાવે છે કે

જો, ખાસ કરીને, , તો અસમાનતા (19.4) સ્વરૂપ લે છે

જો કે અસમાનતાઓ (19.4) અને (19.5) માત્ર P નો ખૂબ જ રફ અંદાજ આપે છે (જો વિતરણ કાયદો જાણીતો હોય તો વધુ સચોટ અંદાજ મેળવી શકાય છે), તે સૈદ્ધાંતિક બાંધકામો માટે ખૂબ જ ઉપયોગી અને મહત્વપૂર્ણ છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે ચેબીશેવની અસમાનતામાં N રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ (19.3) હોય છે, અસમાનતા (19.5) ચેબીશેવના પ્રમેયને સાબિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે, જે તદ્દન છે. સામાન્ય અભિવ્યક્તિમોટી સંખ્યામાં કાયદો. જેમ કે, જો સમાન રીતે બંધાયેલ ભિન્નતા (D C) ધરાવતા જોડીવાઇઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ છે, તો

ખરેખર,

ચેબીશેવની અસમાનતા અનુસાર

જ્યાંથી પ્રમેય (19.6) વિપરીત ઘટનાની સંભાવના માટે અનુસરે છે, એટલે કે સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ

ચેબીશેવના પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ પોઈસનનું પ્રમેય છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ હોઈએ જે પરીક્ષણના પરિણામને ઠીક કરે છે અથવા 0 એ પરીક્ષણ દરમિયાન ઘટના A ની ઘટના અથવા બિન-ઘટના અનુસાર . પછી

અને ચેબીશેવનું પ્રમેય આપે છે

આ પોઈસનનું પ્રમેય છે. પણ વધુ ખાસ કેસ- ક્યારે . પછી આપણે બર્નૌલીના પ્રમેય પર આવીએ છીએ, જે મોટી સંખ્યાના કાયદાની પ્રથમ રચનાઓમાંની એક છે:

ચાલો આ પર અટકીએ સૌથી સરળ સ્વરૂપકાયદો પ્રમેય (19.8) દર્શાવે છે કે પરીક્ષણોની વધતી સંખ્યા સાથે એન સંબંધિત આવર્તનઘટના A, એટલે કે, પ્રયોગમૂલક જથ્થો સંભાવના k માં કન્વર્જ થાય છે - ઘટના A ની સંભાવના. જો આવું ન હોત, તો પછી સંબંધિત આવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાને માપવાનું અર્થહીન હશે. પરંતુ આ આવું હોવાથી, પછી બંને (N પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં ઘટના A ની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન પર આધારિત) અને P (જૂથમાં ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન પર આધારિત) બંને સંભાવનાઓને માપવાની આવર્તન પદ્ધતિ પરીક્ષણોની M શ્રેણી)ને ગાણિતિક સિદ્ધાંતના પૂરક તરીકે સ્વીકારી શકાય છે, કારણ કે તે તેનો વિરોધાભાસ કરતું નથી. આ પછી, પરિણામી ભૌતિક સિદ્ધાંત વાસ્તવિક આંકડાકીય કાયદાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે કેમ તે પ્રાયોગિક રીતે પૂછવું અને પરીક્ષણ કરવું પહેલેથી જ શક્ય છે.

તે વિચિત્ર છે કે પ્રમેય (19.8) ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ કરવા માટે, એટલે કે, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ માટે

તે જરૂરી છે કે આ કન્વર્જન્સ ફક્ત માટે જ થાય છે (ઓછી-સંભાવનાની ઘટનાઓની સંબંધિત આવર્તન નાની હોવી જોઈએ).

ચાલો હવે જ્યારે બધું એ હોય ત્યારે કેસ માટે ચેબીશેવનું પ્રમેય લખીએ. પછી

અને પ્રમેય સ્વરૂપ લે છે

જે માપમાં અંકગણિત સરેરાશ નિયમનો આધાર છે. વ્યક્તિઓ a થી મોટા પ્રમાણમાં વિચલિત થઈ શકે છે, પરંતુ સંભાવના સાથે અમારી પાસે a છે આ થાય છે કારણ કે જ્યારે સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે રેન્ડમ વિચલનોવ્યક્તિગત શરતોને વળતર આપવામાં આવે છે અને મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં વિચલન ખૂબ જ નાનું હોય છે.

a થી વિચલનો હોઈ શકે છે રેન્ડમ ભૂલોમાપ. પરંતુ જો માપન દરમિયાન વાંચન ચોકસાઈ ઓછી ન હોય, એટલે કે ત્યાં છે પદ્ધતિસરની ભૂલ, સ્કેલ ડિવિઝનની કિંમત સાથે સંકળાયેલ છે, તો પછી ચોકસાઈ કોઈપણ N માટે ઓછી નથી, તેથી તે અર્થહીન છે, મોટી સંખ્યાના કાયદાને અપીલ કરે છે, આ કિસ્સામાં , કારણે ઓછી ભૂલ સાથે a નું મૂલ્ય મેળવવાનો પ્રયત્ન કરવો. ત્યાં એકદમ વ્યાપક ગેરસમજ છે કે અંકગણિત સરેરાશ તમને નીચેથી મર્યાદિત માપન ચોકસાઈને ઓળંગવાની પરવાનગી આપે છે અને કહો કે, પેનલ એમીટરનો ઉપયોગ કરીને, માઇક્રોએમ્પ્સ માટે વર્તમાન વાંચન સચોટ છે.

બીજી પરિસ્થિતિ પણ શક્ય છે: માપેલ જથ્થો પોતે રેન્ડમ (અવાજ પ્રવાહ, વગેરે) હોઈ શકે છે. પછી આપણે ખાતરી કરી શકીએ કે જ્યારે, એટલે કે, અંકગણિતનો અર્થ વલણ ધરાવે છે ગાણિતિક અપેક્ષારેન્ડમ ચલ.

રેન્ડમ ચલને માપવાના પરિણામોની પરસ્પર સ્વતંત્રતાની સ્થિતિ માટે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેના માપન સમયના પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા અંતરાલોમાં લેવામાં આવે છે. જો કે, મોટી સંખ્યાના કાયદાને માન્ય રાખવા માટે, આ સ્વતંત્રતાની સ્થિતિ પોતે જ જરૂરી નથી, કારણ કે ચેબીશેવની અસમાનતા માટે જ જરૂરી છે. અમે વધુ માટે રોકાઈશું નહીં સામાન્ય પ્રમેયઅને જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો પર કે જેના હેઠળ મોટી સંખ્યાનો કાયદો અંકગણિતના સરેરાશ માટે માન્ય છે, કારણ કે આ શરતો જથ્થા સાથે સંબંધિત છે અને તેથી સંકુચિત પરિસ્થિતિઓ કરતાં વ્યવહારમાં ઓછી રસપ્રદ છે, પરંતુ વ્યક્તિગત શરતો સાથે સંબંધિત છે.

1909માં ઇ. બોરેલ (પછીથી સામાન્ય સ્વરૂપ- એફ.પી. કેન્ટેલી, પછી એ.એન. કોલમોગોરોવ) મોટી સંખ્યામાં કાયદા કરતાં વધુ મજબૂત નિવેદન સાબિત થયું હતું. બર્નૌલીના પ્રમેય દ્વારા

બોરેલ (મોટી સંખ્યામાં મજબૂત કાયદો) અનુસાર

એટલે કે, નિશ્ચિતતા સાથે, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, "લગભગ ચોક્કસપણે," સંબંધિત આવર્તનની તેની મર્યાદા સંભાવના છે. સંબંધિત આવર્તન દ્વારા સંભાવનાને માપવા માટે આ એક વધુ નક્કર આધાર છે.

(19.9) ના આધારે, અમે સંભવિત કન્વર્જન્સનો બીજો પ્રકાર રજૂ કરી શકીએ છીએ - મોટી સંખ્યાના મજબૂત કાયદાના અર્થમાં કન્વર્જન્સ, જેને સંભાવના સાથે કન્વર્જન્સ અથવા લગભગ ચોક્કસપણે કન્વર્જન્સ પણ કહેવામાં આવે છે:

(19.10)

સંક્ષિપ્તમાં આ તરીકે લખી શકાય છે

કેટલીકવાર, વ્યાખ્યા (19.10) ના સંબંધમાં, મૂંઝવણ એ હકીકતને કારણે ઊભી થાય છે કે તેમાં રેન્ડમ ચલોના ક્રમની સામાન્ય મર્યાદા શામેલ છે. એવું લાગે છે કે આપણે અહીં ઉપર આપેલા નિવેદનથી પીછેહઠ કરી રહ્યા છીએ કે રેન્ડમ ચલોના કન્વર્જન્સનો માત્ર સંભવિત અર્થ હોઈ શકે છે. પરંતુ તે બરાબર તે વિશે છે અમે વાત કરી રહ્યા છીએઅને માં આ બાબતે. ક્રમની વિવિધ અનુભૂતિઓમાં, સામાન્ય અર્થમાં a સાથે એકરૂપ થવાની સંભવિત અનુભૂતિઓ પણ છે. તે બતાવી શકાય છે કે આવી અનુભૂતિઓના સમૂહમાં ચોક્કસ સંભાવના છે પી. કન્વર્જન્સનો લગભગ ચોક્કસપણે અર્થ થાય છે કે આ સંભાવના, એટલે કે, રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના, એક સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અનુભૂતિઓ સામાન્ય અર્થમાં અનુક્રમની તમામ સંભવિત અનુભૂતિઓના સમૂહને "લગભગ એક્ઝોસ્ટ" કરે છે આમ, (19.10) માં આપણે કન્વર્જન્સની સંભવિત વ્યાખ્યામાંથી ક્યાંય આગળ વધતા નથી, જો કે હવે આપણી પાસે નથી. સંભાવનાની મર્યાદાને ધ્યાનમાં રાખીને (જેમ કે સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ થાય છે), અને સંભાવના એ એક મર્યાદા છે.

ચાલો આપણે લગભગ નિશ્ચિતપણે કન્વર્જન્સ માટેની બે શરતો રજૂ કરીએ. તેમાંથી એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે

જો કે, વ્યવહારમાં આ સ્થિતિ ક્યારેય ચકાસી શકાતી નથી. બીજી - મજબૂત પર્યાપ્ત સ્થિતિ - તે છે

કે કોઈપણ માટે શ્રેણી એકરૂપ થવી જોઈએ

અન્ય પૂરતી શરતોઅને સામાન્ય રીતે, સંભવિત કન્વર્જન્સને લગતા મુદ્દાઓની વિગતવાર ગાણિતિક ચર્ચા પુસ્તકો (પ્રકરણ 3) અને (પ્રકરણ 1) માં મળી શકે છે.

સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ (ચેબીશેવની અસમાનતાના આધારે) સંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો સમાવેશ કરે છે, અને જો દરેક વ્યક્તિ ચોક્કસ મૂલ્યમાં લગભગ એકસરખી રીતે બંધાયેલ હોય, તો તેનાથી વિપરીત, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. લગભગ ચોક્કસપણે કન્વર્જન્સ સંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો પણ સમાવેશ કરે છે, પરંતુ સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ નથી; તે જ સમયે, સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ લગભગ ચોક્કસપણે કન્વર્જન્સનો સમાવેશ કરતું નથી.

અનુકૂલન એલ્ગોરિધમ્સમાં અમલીકરણ ઢાળ અથવા તેના અંદાજોનો સમાવેશ થાય છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે રેન્ડમ પ્રક્રિયા. પરિણામે, વેક્ટર્સ પણ રેન્ડમ છે અને કન્વર્જન્સનો સામાન્ય ખ્યાલ, જે આપણને અભ્યાસક્રમોથી જાણીતો છે, તે તેમને સીધો લાગુ પડતો નથી. ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને § 2.15 માં વપરાય છે. તેથી, કન્વર્જન્સની નવી વિભાવનાઓને સામેલ કરવી જરૂરી છે, જે સામાન્ય રીતે નહીં, પરંતુ સંભવિત અર્થમાં સમજાય છે.

આવા કન્વર્જન્સના ત્રણ મુખ્ય પ્રકાર છે: સંભાવના કન્વર્જન્સ, સરેરાશ ચોરસ કન્વર્જન્સ અને લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સ.

રેન્ડમ વેક્ટર માટે સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, જો સંભાવના કે કોઈપણ ધોરણ માટે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અથવા, ટૂંકમાં, જો

. (3.29)

સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ, અલબત્ત, જરૂરી નથી કે રેન્ડમ વેક્ટરનો દરેક ક્રમ સામાન્ય અર્થમાં k માં કન્વર્જ થાય. વધુમાં, કોઈપણ વેક્ટર માટે આપણે એવો દાવો કરી શકતા નથી કે સામાન્ય કન્વર્જન્સ થાય છે.

રેન્ડમ વેક્ટર સરેરાશ સ્ક્વેર પર રૂપાંતરિત થાય છે, જો વર્ગના ધોરણની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય તરફ વળે છે, એટલે કે જો

. (3.30)

સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ સંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો સમાવેશ કરે છે, પરંતુ તે દરેક રેન્ડમ વેક્ટર માટે સામાન્ય કન્વર્જન્સ પણ સૂચિત કરતું નથી. સરેરાશ ચોરસમાં કન્વર્જન્સ બીજા ક્રમની ક્ષણના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલું છે, જેની ગણતરી તદ્દન સરળ રીતે કરવામાં આવે છે, અને વધુમાં, તેનો સ્પષ્ટ ઊર્જાસભર અર્થ છે. આ સંજોગો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કન્વર્જન્સના આ ખ્યાલના પ્રમાણમાં વ્યાપક ઉપયોગને સમજાવે છે. પરંતુ હકીકત એ છે કે બંને પ્રકારના કન્વર્જન્સમાં આપેલ રેન્ડમ વેક્ટર સામાન્ય અર્થમાં શૂન્યમાં કન્વર્જ થવાની સંભાવના ક્યારેક અસંતોષનું કારણ બને છે. છેવટે, અમે હંમેશા અમલીકરણ ઢાળ સાથે કાર્ય કરીએ છીએ અને તેના અનુરૂપ રેન્ડમ વેક્ટર, અને તે ઇચ્છનીય છે કે મર્યાદા રેન્ડમ વેક્ટરના ક્રમ માટે ચોક્કસપણે અસ્તિત્વમાં છે જે આપણે હવે અવલોકન કરી રહ્યા છીએ, અને અમલીકરણના પરિવારને અનુરૂપ રેન્ડમ વેક્ટરના ક્રમના પરિવાર માટે નહીં. , જે આપણે ક્યારેય જોઈ શકતા નથી.

આ ઈચ્છા સાકાર થઈ શકે છે જો આપણે લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સની વિભાવના, અથવા, સમાન શું છે, સંભાવના એક સાથે કન્વર્જન્સ.

રેન્ડમ વેક્ટર હોવાથી, સામાન્ય અર્થમાં ક્રમનું કન્વર્જન્સ આ રીતે ગણી શકાય રેન્ડમ ઘટના. રેન્ડમ વેક્ટરનો ક્રમ લગભગ ચોક્કસપણે k પર કન્વર્જ થાય છે, અથવા સંભાવના સાથે જો સામાન્ય કન્વર્જન્સની સંભાવના એકની બરાબર હોય, એટલે કે જો

(3.31)

તે અનુસરે છે કે, શૂન્યની સમાન સામાન્ય સંભાવના ધરાવતા રેન્ડમ વેક્ટરના અનુભૂતિના સમૂહને અવગણવાથી, આપણી પાસે સામાન્ય કન્વર્જન્સ છે. અલબત્ત, કન્વર્જન્સનો દર અમલીકરણ પર આધાર રાખે છે અને રેન્ડમ છે.

અનુકૂલન ગાણિતીક નિયમોનું કન્વર્જન્સ સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત અથવા વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમોની સ્થિરતાની સમકક્ષ છે. આ સિસ્ટમોની સ્થિરતાને સંભવિત અર્થમાં સમજવી આવશ્યક છે: સંભાવનામાં, સરેરાશ ચોરસમાં અને લગભગ ચોક્કસપણે (અથવા સંભાવના એક સાથે). સંભવિત સ્થિરતા એ સ્થિરતા સિદ્ધાંતનો પ્રમાણમાં નવો વિભાગ છે, જે હવે સઘન રીતે વિકસિત થઈ રહ્યો છે.

માટે સાબિત થાય છે વિવિધ શરતોસરેરાશ પરિણામોની સંભાવનામાં સંકલન મોટી સંખ્યામાંકેટલાક સ્થિર મૂલ્યો માટે અવલોકનો.  

આમ, અનુક્રમ /t(/m)> n 1 એ સંભાવનામાં મૂળભૂત છે, અને તેથી, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ માટેના કૌચી માપદંડ મુજબ, ત્યાં એક રેન્ડમ ચલ અસ્તિત્વમાં છે, જે / (/), સૂચવવામાં આવે છે, જેમ કે  

ચેબીશેવની અસમાનતા. સંભાવના અને તેના ગુણધર્મોમાં કન્વર્જન્સ. ચેબીશેવ સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યામાં કાયદો.  

વિતરણ અને તેના ગુણધર્મોમાં કન્વર્જન્સ. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ સાથે જોડાણ. સાતત્ય પ્રમેય. લાક્ષણિક કાર્યો.  

ટિપ્પણી. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ - u(Qv) y (P0) જ્યારે N -> oo થી અનુસરતું નથી  

આવું શા માટે છે તે જોવા માટે, ચાલો કહીએ કે તમે કિંમત/કમાણી ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને સ્ટીલ કંપનીઓની તુલના કરો છો અને ગ્રૂપમાંની એક ફર્મે તાજેતરમાં ગયા વર્ષે હડતાલને કારણે ખૂબ જ ઓછો નફો કર્યો હતો. જો તમે કમાણીને સામાન્ય બનાવતા નથી, તો પેઢી સેક્ટરની તુલનામાં વધુ પડતી મૂલ્યવાન દેખાશે, કારણ કે બજાર કિંમત એ અપેક્ષા પર આધારિત હોવાની સંભાવના છે કે મજૂરીની મુશ્કેલીઓ, મોંઘી હોવા છતાં, ભૂતકાળની વાત છે. જો તમે તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન ચુકાદાઓ બનાવવા માટે કિંમત/વેચાણ બહુવિધનો ઉપયોગ કરો છો અને તેની ઉદ્યોગ સરેરાશ સાથે સરખામણી કરો છો, તો તમે ધારો છો કે વહેલા કે પછી પેઢીના નફાનું માર્જિન ઉદ્યોગની સરેરાશમાં ફેરવાઈ જશે.  

ઘણી વાર, નિયોક્લાસિકલ ગ્રોથ મોડલની કન્વર્જન્સ પૂર્વધારણાને એક દેશના પ્રદેશોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. જો કે ટેક્નોલોજી વિકાસ, પસંદગીઓ વગેરેના સંદર્ભમાં પ્રદેશો વચ્ચે તફાવત હોઈ શકે છે, આ તફાવતો દેશો વચ્ચેના તફાવતો કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછા નોંધપાત્ર હશે. તેથી, પ્રદેશો વચ્ચે સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સની સંભાવના દેશો વચ્ચેની તુલનામાં નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે. જો કે, પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે પ્રદેશોનો ઉપયોગ કરતી વખતે સંપૂર્ણ સંકલનનિયોક્લાસિકલ વૃદ્ધિ મોડેલની એક મહત્વપૂર્ણ પૂર્વશરતનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવ્યું છે - બંધ અર્થતંત્ર. તે સ્પષ્ટ છે કે પરિબળોની હિલચાલ માટે સાંસ્કૃતિક, ભાષાકીય, સંસ્થાકીય અને ઔપચારિક અવરોધો એક દેશના પ્રદેશોના જૂથ માટે ઓછા નોંધપાત્ર છે. જો કે, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે પરિબળ ગતિશીલતાના કિસ્સામાં પણ અને, આમ, મૂળ મોડેલની ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન, બંધ અર્થતંત્રના ગતિશીલ ગુણધર્મો અને મુક્ત અર્થતંત્ર સાથે  

મર્યાદિત અસર સાથેનો પ્રવાહ પાલ્મા પ્રવાહ k-th ક્રમનો એર્લાંગ પ્રવાહ પેરામીટર સાથે k-th ક્રમનો Erlang વિતરણ કાયદો I નોર્મલાઇઝ્ડ એર્લાંગ ફ્લો k-th ક્રમના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની સમાન રીતે વિતરિત શરતો માટે રેન્ડમ ચલોના કન્વર્જન્સની સંભાવના બાદની અસર માપવા સામાન્ય વિતરણ સામાન્ય વળાંક ગૌસીયન વળાંક ગૌસ કે.એફ. ચેબીશેવ પી.એલ.  

અહીં plim એ સંભાવનાની મર્યાદા છે; છેલ્લી સ્થિતિમાં તીર વિતરણમાં સંપાત સૂચવે છે.  

ફટૌના લેમ્મા પરથી તે અનુસરે છે કે આ પ્રક્રિયા (બિન-નકારાત્મક) સુપરમાર્ટિંગેલ છે, અને તેથી, કન્વર્જન્સ પર ડુબના પ્રમેય દ્વારા (જુઓ 3b, પ્રકરણ III), સંભાવના સાથે એક અસ્તિત્વમાં છે અને લિમ Zt(- ઝૂ) મર્યાદિત છે.  

વિશેષ રસતેમાંથી એકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે ઘનતાની અંદાજિત મિલકત. પૃષ્ઠો (1993) દર્શાવે છે કે આરએનએસ અલ્ગોરિધમ જે સમાપ્ત થાય છે સંપૂર્ણ ગેરહાજરીતાલીમના અંતે વિજેતા ચેતાકોષના પડોશીઓ, કન્વર્જ થાય છે, જે કન્વર્જન્સને અનુરૂપ છે શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ gynoparametric ક્વોન્ટાઇઝેશન અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્પર્ધાત્મક તાલીમ. આ કાર્યના લેખક દર્શાવે છે કે ક્વોન્ટાઇઝેશન પછી, ચેતાકોષો સારી રીતે રજૂ કરે છે સ્વતંત્ર ફ્રેમપ્રારંભિક ઘનતાનું પુનઃનિર્માણ કરવા માટે, એમ ધારીને કે દરેક ચેતાકોષ તેના વોરોનોઈ ડોમેનની આવર્તન દ્વારા અંદાજિત સંભવિતતા દ્વારા ભારિત છે. પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ચેતાકોષો પર્યાપ્ત રીતે ભારિત છે, પરિણામ દર્શાવે છે કે પ્રારંભિક ડેટા પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે, અને જો ચેતાકોષોની સંખ્યા અનંત તરફ વળે તો પરિણામ પોતે જ સચોટ છે.