ઉચ્ચ ઓર્ડરની ડી યુ
આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, વિભેદક સમીકરણોમાં વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્સ હોઈ શકે છે.
આવા વિભેદક સમીકરણોમાં એવા ઉકેલો હોય છે જેમાં ઘણા બધા મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંકો હોય છે → ક્રમ શું છે વિભેદક સમીકરણ, એટલે કે 2જા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે બે મનસ્વી સ્થિરાંકો C1 અને C2 હશે, 3જી ક્રમ માટે →C1,C2, અને C3, વગેરે.
આમ, સામાન્ય ઉકેલ ( સામાન્ય અભિન્ન) આવા વિભેદક સમીકરણમાં કાર્ય હશે
.
આવા વિભેદક સમીકરણોના ચોક્કસ સોલ્યુશન મેળવવા માટે, વિભેદક સમીકરણના ક્રમમાં જેટલી પ્રારંભિક શરતો અથવા સામાન્ય ઉકેલમાં કેટલા મનસ્વી સ્થિરાંકો મેળવવામાં આવે છે તેટલી સેટ કરવી જરૂરી છે.
D U માં સંપૂર્ણ તફાવતો. એકીકૃત પરિબળ
ફોર્મના વિભેદક સમીકરણને કુલ વિભેદકોમાં વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે જો તે ડાબી બાજુકેટલાકનો કુલ તફાવત છે સરળ કાર્ય, એટલે કે જો 
, 
. જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિઆવા કાર્યને અસ્તિત્વમાં રાખવા માટે ફોર્મ છે: 
કુલ વિભેદકોમાં વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવા માટે, તમારે કાર્ય શોધવાની જરૂર છે. પછી વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને મનસ્વી સ્થિરાંક C માટે ફોર્મમાં લખી શકાય છે.
વિભેદક સમીકરણ માટે એકીકૃત પરિબળ
આવા ફંક્શન કહેવાય છે, જેના દ્વારા ગુણાકાર પછી વિભેદક સમીકરણ કુલ વિભેદક સમીકરણમાં ફેરવાય છે. જો સમીકરણમાં M અને N વિધેયો સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે અને એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જતા નથી, તો એક સંકલન પરિબળ અસ્તિત્વમાં છે. જો કે, સામાન્ય પદ્ધતિતેને શોધવાનો કોઈ રસ્તો નથી.
માળખું સામાન્ય ઉકેલએલએનડીયુ
રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- આ જે કઈપણ છે પ્રારંભિક બિંદુ(x0, y0, ) , x0∈ , ત્યાં મૂલ્યો C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 છે જેમ કે કાર્ય y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) પ્રારંભિક શરતો y(ને સંતોષે છે. x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .
ફેર નીચેનું નિવેદન(રેખીયના સામાન્ય ઉકેલની રચના પર પ્રમેય નથી સજાતીય સમીકરણ).
જો રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના સમીકરણના તમામ ગુણાંક અંતરાલ પર સતત હોય, અને કાર્યો y1(x), y2(x),..., yn(x) અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની સિસ્ટમ બનાવે છે. , પછી અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
જ્યાં C1,...,Cn એ મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, y*(x) એ અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે.
LNDU 2જી ઓર્ડર
બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો.
y" + py" + qy = f(x) સ્વરૂપનું સમીકરણ, જ્યાં p અને q - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, f(x) - સતત કાર્ય, સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણ કહેવાય છે સતત ગુણાંક.
સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ અસંગત સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલ અને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો છે. સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, અમે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અનિશ્ચિત ગુણાંક, જેમાં એકીકરણ પ્રક્રિયા શામેલ નથી.
ચાલો વિચાર કરીએ જુદા જુદા પ્રકારોસમીકરણ y" + py" + qy = f(x) ની જમણી બાજુઓ.
1) જમણી બાજુએ ફોર્મ F(x) = Pn(x), જ્યાં Pn(x) એ ડિગ્રી n નો બહુપદી છે. પછી y માટે ચોક્કસ સોલ્યુશન ફોર્મમાં શોધી શકાય છે જ્યાં Qn (x) એ Pn (x) ની સમાન ડિગ્રીનો બહુપદી છે અને r એ મૂળની સંખ્યા છે લાક્ષણિક સમીકરણ, શૂન્ય બરાબર.
ઉદાહરણ.સમીકરણ y" – 2y" + y = x+1 નો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.
ઉકેલ:અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં Y = ex (C1 + C2x) સ્વરૂપ છે. કારણ કે લાક્ષણિક સમીકરણ k2 – 2k + 1 = 0 ના મૂળમાંથી કોઈ નથી શૂન્ય બરાબર(k1 = k2 = 1), પછી આપણે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ જ્યાં A અને B અજાણ્યા ગુણાંક છે. આ સમીકરણમાં બે વાર તફાવત અને " અને "ને બદલીને, આપણે –2A + Ax + B = x + 1 શોધીએ છીએ.
પર ગુણાંકની સમાનતા સમાન ડિગ્રીસમાનતાની બંને બાજુએ x: A = 1, –2A + B = 1, – આપણે A = 1, B = 3 શોધીએ છીએ. તેથી, ચોક્કસ ઉકેલ આપેલ સમીકરણતેનું સ્વરૂપ = x + 3 છે, અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ y = ex (C1 + C2x) + x + Z છે.
2) જમણી બાજુએ ફોર્મ f(x) = eax Pn(x) છે, જ્યાં Рn (x) એ ડિગ્રી n નો બહુપદી છે. પછી ફોર્મમાં એક ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો જોઈએ જ્યાં Qn(x) એ Pn (x) ની સમાન ડિગ્રીનો બહુપદી છે અને r એ a ની સમાન લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે. જો a = 0, તો f(x) = Pn (x), એટલે કે, કેસ 1 થાય છે.
સતત ગુણાંક સાથે LOD.
વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો
વાસ્તવિક સ્થિરાંકો ક્યાં છે.
સમીકરણ (8) નો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, અમે આ કરીએ છીએ. અમે સમીકરણ (8) માટે લાક્ષણિક સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ: (9)
ચાલો સમીકરણ (9) ના મૂળ હોઈએ અને તેમની વચ્ચે ગુણાકાર હોઈ શકે. નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:
એ) - વાસ્તવિક અને અલગ. સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ હશે;
b) લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ વાસ્તવિક છે, પરંતુ તેમની વચ્ચે ગુણાંક છે, એટલે કે. , પછી સામાન્ય ઉકેલ હશે
c) જો લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ જટિલ હોય (k=a±bi), તો સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ હોય છે.
સામાન્ય માળખું 2જી ઓર્ડર LDE માટે ઉકેલો
રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
અંતરાલ પરના આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ n મનસ્વી સ્થિરાંકો C1,..., Cn અને સંતોષકારક પર આધાર રાખીને કાર્ય y = Φ(x, C1,..., Cn) છે. નીચેની શરતો:
- કોઈપણ માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોસ્થિરાંકોના C1,..., Cn ફંક્શન y = Φ(x, C1,..., Cn) એ પરના સમીકરણનો ઉકેલ છે;
− પ્રારંભિક બિંદુ (x0, y0, ) , x0∈ ગમે તે હોય, ત્યાં મૂલ્યો C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 છે જેમ કે કાર્ય y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) સંતોષે છે પ્રારંભિક શરતો y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
આવા સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની રચના નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
પ્રમેય 1. અસંગત સમીકરણ (1) ના સામાન્ય ઉકેલને આ સમીકરણના અમુક ચોક્કસ ઉકેલના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. y કઅને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ
પુરાવો. આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે સરવાળો (3)
સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ છે.
ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે ફંક્શન (3) એ સમીકરણ (1) નો ઉકેલ છે. તેના બદલે અવેજી ખાતેસમીકરણ (1) માં સરવાળો હશે:
કારણ કે – એ સમીકરણ (2) નો ઉકેલ છે, સમીકરણ (4) ના પ્રથમ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય સમાન છે. કારણ કે y કસમીકરણ (1) નો ઉકેલ છે, પછી બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ (4) બરાબર છે f(x). તેથી, સમાનતા (4) એક ઓળખ છે. આમ, પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત થાય છે.
ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે અભિવ્યક્તિ (3) એ સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ છે, એટલે કે. ચાલો સાબિત કરીએ કે તેમાં સમાવિષ્ટ મનસ્વી સ્થિરાંકો પસંદ કરી શકાય છે જેથી કરીને પ્રારંભિક શરતો (5)
નંબરો ગમે તે હોય x 0, y 0,અને (જો માત્ર એવા ક્ષેત્રો જ્યાં કાર્ય કરે છે a 1, a 2અને f(x)સતત).
નોંધ્યું છે કે અમે તેને તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ 
, ક્યાં y 1, y 2સમીકરણ માટે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો (2), અને સી 1અને સી 2મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, આપણે સમાનતા (3) ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ. પછી, શરત (5) ના આધારે, અમારી પાસે એક સિસ્ટમ હશે
.
સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાંથી તે નક્કી કરવું જરૂરી છે સી 1અને સી 2. ચાલો સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ
(6)
સિસ્ટમ નિર્ધારક 
- ઉકેલો માટે Wronski નિર્ણાયક છે 1 પરઅને 2 પરબિંદુ પર આ વિધેયો શરત દ્વારા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી, Wronski નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી સિસ્ટમ (6) પાસે છે માત્ર નિર્ણય સી 1અને સી 2, એટલે કે આવા અર્થો છે સી 1અને સી 2જેના પર સૂત્ર (3) સમીકરણનો ઉકેલ નક્કી કરે છે (1) આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.
આમ, જો સજાતીય સમીકરણ (2) નો સામાન્ય ઉકેલ જાણીતો હોય, તો અસમાન સમીકરણ (1) ને એકીકૃત કરતી વખતે મુખ્ય કાર્ય કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાનું છે. y ક.
સ્થિર ગુણાંક અને જમણી બાજુ સાથે રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો ખાસ પ્રકાર. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.
કેટલીકવાર એકીકરણનો આશરો લીધા વિના સરળ ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે. આ માં થાય છે ખાસ કેસોજ્યારે કાર્ય f(x)વિશિષ્ટ દેખાવ ધરાવે છે.
ચાલો સમીકરણ કરીએ, (1)
જ્યાં પીઅને qવાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને f(x)વિશિષ્ટ દેખાવ ધરાવે છે. ચાલો સમીકરણ (1) માટે આવી ઘણી શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.
દો જમણો ભાગસમીકરણ (1) ઉત્પાદન છે ઘાતાંકીય કાર્યબહુપદી માટે, એટલે કે જેવો દેખાય છે 
, (2)
જ્યાં nth ડિગ્રીનો બહુપદી છે. પછી નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:
આંકડો - મૂળ નથીલાક્ષણિક સમીકરણ 
.
આ કિસ્સામાં, ફોર્મ (3) માં ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો આવશ્યક છે.
તે બહુપદીના રૂપમાં પણ n-મી ડિગ્રી, ક્યાં A 0, A 1, …, A nગુણાંક નક્કી કરવાના છે.
તેમને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ અને .
અવેજીમાં y ક, અને સમીકરણ (1) માં અને પરિબળ દ્વારા બંને બાજુઓને ઘટાડીને આપણી પાસે હશે:
અહીં nમી ડિગ્રીની બહુપદી છે, – (n-1)મી ડિગ્રીની બહુપદી, અને – (n-2)મી ડિગ્રીની બહુપદી છે.
આમ, સમાન ચિહ્નની ડાબી અને જમણી બાજુએ બહુપદીઓ છે n-મી ડિગ્રી. સમાન ડિગ્રી પર સમાન ગુણાંક એક્સ(અજાણ્યા ગુણાંકની સંખ્યા બરાબર છે), અમે ગુણાંક નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ A 0, A 1, ..., A n.
જો સમીકરણ (1) ની જમણી બાજુ ફોર્મ ધરાવે છે:
રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણ માટે n-પ્રથમ ક્રમ
y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + એક- 1 (x) y" + એક(x)y = f(x),
જ્યાં y = y(x) - નથી જાણીતું કાર્ય, a 1(x),a 2(x), ..., એક- 1(x), એક(x), f(x) - જાણીતું, સતત, વાજબી:
1) જો y 1(x) અને y 2(x) એ અસંગત સમીકરણના બે ઉકેલો છે, પછી કાર્ય
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ;
2) જો y 1(x) એક અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ, અને y 2(x) એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ છે, પછી કાર્ય
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - બિન-સમાન સમીકરણનો ઉકેલ;
3) જો y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - nરેખીય સ્વતંત્ર નિર્ણયોસજાતીય સમીકરણ, અને ych(x) - મનસ્વી નિર્ણયઅસંગત સમીકરણ,
પછી કોઈપણ માટે પ્રારંભિક મૂલ્યો
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
અભિવ્યક્તિ
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
કહેવાય છે સામાન્ય નિર્ણયરેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણ n-મો ઓર્ડર.
ફોર્મની જમણી બાજુઓ સાથે સતત ગુણાંક સાથે અસંગત વિભેદક સમીકરણોના આંશિક ઉકેલો શોધવા માટે:
પીકે(x)exp(a x)cos( bx) + પ્ર m(x)exp(a x)પાપ( bx),
જ્યાં પીકે(x), પ્ર m(x) - ડિગ્રીના બહુપદી kઅને mતદનુસાર, ચોક્કસ સોલ્યુશન બનાવવા માટે એક સરળ અલ્ગોરિધમ છે, જેને કહેવાય છે પસંદગી પદ્ધતિ.
પસંદગી પદ્ધતિ, અથવા અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ, નીચે મુજબ છે.
સમીકરણ માટે જરૂરી ઉકેલ આ રીતે લખાયેલ છે:
(પ્ર(x)exp(a x)cos( bx) + પ્ર(x)exp(a x)પાપ( bx))xs,
જ્યાં પ્ર(x), પ્ર(x) - ડિગ્રીના બહુપદી આર= મહત્તમ( k, m) સાથે અજ્ઞાતગુણાંક
પીઆર , pr- 1, ..., પી 1, પી 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
આમ, સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, વ્યક્તિએ જોઈએ
અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો (લાક્ષણિક સમીકરણ લખો, લાક્ષણિક સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો l 1, l 2, ... , ln, લખો મૂળભૂત સિસ્ટમઉકેલો y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
અસંગત સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધો ych(x);
સામાન્ય ઉકેલ માટે અભિવ્યક્તિ લખો
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
વિશિષ્ટ જમણી બાજુ સાથે સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.
ફોર્મનું વિભેદક સમીકરણ (1)
જ્યાં , f એ જાણીતું કાર્ય છે, જેને સતત ગુણાંક સાથે nth ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે. જો , તો સમીકરણ (1) ને સજાતીય કહેવાય છે, અન્યથા - અસંગત.
અચળ ગુણાંક સાથે અને વિશેષ સ્વરૂપની જમણી બાજુ સાથેના રેખીય અસંગત સમીકરણો માટે, એટલે કે, વિધેયોના સરવાળો અને ઉત્પાદનોનો સમાવેશ થાય છે, અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દ્વારા ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકાય છે. વિશિષ્ટ ઉકેલનો પ્રકાર લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ પર આધાર રાખે છે. નીચે ખાસ જમણી બાજુ સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણના આંશિક ઉકેલોના પ્રકારોનું કોષ્ટક છે.
જટિલ વિમાન. જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ અને દલીલ. દલીલનો મુખ્ય અર્થ. ભૌમિતિક અર્થ
જટિલ સંખ્યાઓ ફોર્મમાં લખાયેલ છે: a+ bi. અહીં a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને i છે કાલ્પનિક એકમ, એટલે કે i 2 = –1. સંખ્યા aને એબ્સીસા કહેવામાં આવે છે, અને b એ જટિલ સંખ્યા a+ bi નો ઓર્ડિનેટ છે. બે જટિલ સંખ્યાઓ a+ bi અને a – bi ને સંયોજક જટિલ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક રજૂઆતજટિલ સંખ્યાઓ. વાસ્તવિક સંખ્યાઓસંખ્યા રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
અહીં, બિંદુ A નો અર્થ નંબર -3 છે, બિંદુ B નો અર્થ નંબર 2 છે, અને O નો અર્થ શૂન્ય છે. તેનાથી વિપરીત, જટિલ સંખ્યાઓ પર બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે સંકલન વિમાન. આ હેતુ માટે, અમે બંને અક્ષો પર સમાન ભીંગડા સાથે લંબચોરસ (કાર્ટેશિયન) કોઓર્ડિનેટ્સ પસંદ કરીએ છીએ. પછી જટિલ સંખ્યા a+ bi બિંદુ P દ્વારા abscissa a અને ordinate b (આકૃતિ જુઓ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. આ સંકલન પ્રણાલીને જટિલ વિમાન કહેવામાં આવે છે.
જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ વેક્ટર OP ની લંબાઈ છે જે કોઓર્ડિનેટ (જટિલ) પ્લેન પર જટિલ સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જટિલ સંખ્યા a+ bi નું મોડ્યુલસ | a+ bi | અથવા અક્ષર r અને સમાન છે:
સંયુક્ત જટિલ સંખ્યાઓ સમાન મોડ્યુલસ ધરાવે છે. __
જટિલ સંખ્યાની દલીલ એ અક્ષ OX અને વેક્ટર OP વચ્ચેનો ખૂણો છે જે આ જટિલ સંખ્યાને રજૂ કરે છે. તેથી, tan = b/a.
