તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરીના ગુણધર્મો. "તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ"

પાઠ 4
પ્રાકૃતિક સૂચક સાથે ડિગ્રી

ગોલ: કમ્પ્યુટિંગ કૌશલ્યો અને જ્ઞાનની રચનાને પ્રોત્સાહન આપો, કમ્પ્યુટિંગ અનુભવ પર આધારિત ડિગ્રી વિશે જ્ઞાનનો સંચય; 10 ની શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને મોટી અને નાની સંખ્યાના લેખનનો પરિચય આપો.

પાઠ પ્રગતિ

I. મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

શિક્ષક પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરે છે પરીક્ષણ કાર્ય, દરેક વિદ્યાર્થી વિકાસ માટે ભલામણો મેળવે છે વ્યક્તિગત યોજનાકમ્પ્યુટિંગ કુશળતા સુધારણા.

પછી વિદ્યાર્થીઓને ગણતરીઓ કરવા અને નામ વાંચવા માટે કહેવામાં આવે છે પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓડિગ્રીના સિદ્ધાંતના નિર્માણમાં કોણ ફાળો આપે છે:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

કી:

કમ્પ્યુટર અથવા એપીપ્રોજેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને, વૈજ્ઞાનિકો ડાયોફેન્ટસ, રેને ડેસકાર્ટેસ, સિમોન સ્ટેવિનના ચિત્રો સ્ક્રીન પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓને આ ગણિતશાસ્ત્રીઓના જીવન અને કાર્ય વિશેની ઐતિહાસિક માહિતી, જો ઈચ્છા હોય, તો તૈયાર કરવા આમંત્રિત કરવામાં આવે છે.

II. નવી વિભાવનાઓ અને ક્રિયાની પદ્ધતિઓની રચના.

વિદ્યાર્થીઓ તેમની નોટબુકમાં નીચેના અભિવ્યક્તિઓ લખે છે:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

એશરતો

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

nગુણક

5. એ∙ એ∙ … ∙ એ;

nગુણક

વિદ્યાર્થીઓને પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે કહેવામાં આવે છે: "આ રેકોર્ડ્સને વધુ સઘન રીતે કેવી રીતે રજૂ કરી શકાય જેથી તેઓ "અવલોકનક્ષમ" બને?

પછી શિક્ષક વાતચીત કરે છે નવો વિષય, વિદ્યાર્થીઓને સંખ્યાની પ્રથમ શક્તિના ખ્યાલ સાથે પરિચય કરાવે છે. વિદ્યાર્થીઓ ચેસના શોધક, શેઠ અને રાજા શેરમ વિશે પ્રાચીન ભારતીય દંતકથાનું નાટ્યકરણ તૈયાર કરી શકે છે. મોટી અને નાની માત્રા લખતી વખતે 10 ની શક્તિઓના ઉપયોગ વિશે વાર્તા સાથે વાતચીત સમાપ્ત કરવી જરૂરી છે અને વિદ્યાર્થીઓને ભૌતિકશાસ્ત્ર, તકનીકી અને ખગોળશાસ્ત્ર પરના ઘણા સંદર્ભ પુસ્તકો ધ્યાનમાં લેવા માટે ઓફર કરે છે, તેમને આવા જથ્થાના ઉદાહરણો શોધવાની તક આપે છે. પુસ્તકોમાં.

III. કુશળતા અને ક્ષમતાઓની રચના.

1. કસરતનો ઉકેલ નંબર 40 ડી), e), f); 51.

ઉકેલ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓ તારણ આપે છે કે તે યાદ રાખવું ઉપયોગી છે: ડિગ્રી c નકારાત્મક આધારજો ઘાતાંક સમાન હોય તો તે ધન છે અને જો ઘાતાંક બેકી હોય તો નકારાત્મક છે.

2. કસરત નંબર 41, 47 નો ઉકેલ.

IV. સારાંશ.

શિક્ષક વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓના કાર્યની ટિપ્પણી કરે છે અને તેનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

ગૃહકાર્ય: ફકરો 1.3, નંબર 42, 43, 52; વૈકલ્પિક: ડાયોફન્ટસ, ડેસકાર્ટેસ, સ્ટેવિન પર અહેવાલો તૈયાર કરો.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

ડાયોફેન્ટસ- એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી (ત્રીજી સદી). તેમના ગાણિતિક ગ્રંથ "અંકગણિત" (13 માંથી 6 પુસ્તકો) નો એક ભાગ સાચવવામાં આવ્યો છે, જ્યાં સમસ્યાઓનો ઉકેલ આપવામાં આવે છે, તેમાંથી મોટા ભાગના કહેવાતા "ડિયોફેન્ટાઇન સમીકરણો" તરફ દોરી જાય છે, જેનો ઉકેલ તર્કસંગત હકારાત્મકમાં માંગવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ (ડિયોફેન્ટસમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોતી નથી).

અજ્ઞાત અને તેની ડિગ્રી (છઠ્ઠા સુધી), સમાન નિશાની દર્શાવવા માટે, ડાયોફન્ટસે અનુરૂપ શબ્દોના સંક્ષિપ્ત સંકેતનો ઉપયોગ કર્યો હતો. વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પણ શોધાયેલ છે અરબી લખાણડાયોફન્ટસ દ્વારા “અંકગણિત” ના 4 વધુ પુસ્તકો. ડાયોફન્ટસના કાર્યો પી. ફર્મટ, એલ. યુલર, કે. ગૌસ અને અન્યોના સંશોધન માટે પ્રારંભિક બિંદુ હતા.

ડેસકાર્ટેસ રેને (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી, પ્રાચીન સમયથી આવ્યા હતા ઉમદા કુટુંબ. તેણે અંજુની જેસુઈટ સ્કૂલ લા ફ્લેચેમાં તેમનું શિક્ષણ મેળવ્યું. શરૂઆતમાં ત્રીસ વર્ષનું યુદ્ધસૈન્યમાં સેવા આપી, જે તેણે 1621 માં છોડી દીધી; ઘણા વર્ષોની મુસાફરી પછી, તેઓ નેધરલેન્ડ ગયા (1629), જ્યાં તેમણે એકાંત વૈજ્ઞાનિક અભ્યાસમાં વીસ વર્ષ ગાળ્યા. 1649 માં, આમંત્રણ દ્વારા સ્વીડિશ રાણીસ્ટોકહોમ ગયા, પરંતુ ટૂંક સમયમાં મૃત્યુ પામ્યા.

ડેકાર્ટેસે પાયો નાખ્યો વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, ઘણા આધુનિક બીજગણિત સંકેતો રજૂ કર્યા. ડેસકાર્ટેસે ચલ માટે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સંકેતો રજૂ કરીને નોટેશન સિસ્ટમમાં નોંધપાત્ર સુધારો કર્યો
(એક્સ, ખાતે,z...) અને ગુણાંક ( એ, b, સાથે...), તેમજ ડિગ્રી હોદ્દો ( એક્સ 4 , એ 5...). ડેકાર્ટેસનું સૂત્રોનું લેખન લગભગ આધુનિક લોકોથી અલગ નથી.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, ડેકાર્ટેસની મુખ્ય સિદ્ધિ તેમણે બનાવેલી સંકલન પદ્ધતિ હતી.

સ્ટેવિન સિમોન (1548-1620) - ડચ વૈજ્ઞાનિક અને એન્જિનિયર. 1583 થી તેણે લીડેન યુનિવર્સિટીમાં ભણાવ્યું, 1600 માં તેણે લીડેન યુનિવર્સિટીમાં એક એન્જિનિયરિંગ સ્કૂલનું આયોજન કર્યું, જ્યાં તેણે ગણિત પર પ્રવચન આપ્યું. સ્ટીવિનની કૃતિ "ટિથે" (1585) ને સમર્પિત છે દશાંશ સિસ્ટમમાપો અને દશાંશ અપૂર્ણાંક, જે સિમોન સ્ટીવિને યુરોપમાં ઉપયોગમાં લીધા.

આ પાઠમાં આપણે સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીશું. અમે માત્ર મૂળભૂત ગુણધર્મની જ સમીક્ષા કરીશું નહીં, પણ તેમને પરિમેય સંખ્યાઓમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું તે પણ શીખીશું. અમે ઉદાહરણો ઉકેલીને મેળવેલા તમામ જ્ઞાનને એકીકૃત કરીશું.

સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

પ્રથમ બે ગુણધર્મો ઉમેરાના ગુણધર્મો છે, પછીના બે ગુણાકારના ગુણધર્મો છે. પાંચમી મિલકત બંને કામગીરીને લાગુ પડે છે.

આ મિલકતોમાં કંઈ નવું નથી. તેઓ પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણાંક સંખ્યા બંને માટે માન્ય હતા. તેઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે પણ સાચા છે અને આપણે આગળ અભ્યાસ કરીશું તે સંખ્યાઓ માટે સાચા હશે (ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ).

ક્રમચય ગુણધર્મો:

શરતો અથવા પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી પરિણામ બદલાતું નથી.

સંયોજન ગુણધર્મો:, .

બહુવિધ સંખ્યાઓ ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

વિતરણ મિલકત:.

મિલકત બંને કામગીરીને જોડે છે - ઉમેરણ અને ગુણાકાર. ઉપરાંત, જો તેને ડાબેથી જમણે વાંચવામાં આવે, તો તેને કૌંસ ખોલવાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે, અને જો તેની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો તેને દૂર કરવા માટેનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર.

નીચેના બે ગુણધર્મો વર્ણવે છે તટસ્થ તત્વોસરવાળો અને ગુણાકાર માટે: શૂન્ય ઉમેરવા અને એક વડે ગુણાકાર કરવાથી મૂળ સંખ્યા બદલાતી નથી.

વધુ બે ગુણધર્મો જે વર્ણવે છે સપ્રમાણ તત્વોઉમેરા અને ગુણાકાર માટે, વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે; કામ પારસ્પરિક સંખ્યાઓએક સમાન.

આગામી મિલકત: . જો કોઈ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ હંમેશા શૂન્ય જ આવશે.

છેલ્લી મિલકત આપણે જોઈશું: .

સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે વિરોધી સંખ્યા. આ પ્રોપર્ટીમાં ખાસ વિશેષતા છે. ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી અન્ય તમામ મિલકતો અન્યનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતી નથી. અગાઉના રાશિઓનો ઉપયોગ કરીને સમાન મિલકત સાબિત કરી શકાય છે.

વડે ગુણાકાર

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આપણે કોઈ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરીએ તો સામેની સંખ્યા મળશે. આ માટે અમે વિતરણ મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

આ કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે સાચું છે. ચાલો નંબરને બદલે અને બદલે:

કૌંસમાં ડાબી બાજુ પરસ્પર વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે (અમારી પાસે આવી મિલકત છે). હવે ડાબી બાજુએ. જમણી બાજુએ, અમને મળે છે: .

હવે આપણી પાસે ડાબી બાજુ શૂન્ય છે, અને જમણી બાજુએ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. પરંતુ જો બે સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓ પરસ્પર વિરોધી છે. પરંતુ સંખ્યાની માત્ર એક વિરોધી સંખ્યા છે: . તેથી, આ તે છે: .

મિલકત સાબિત થઈ છે.

આવી મિલકત, જે અગાઉના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે, કહેવામાં આવે છે પ્રમેય

શા માટે અહીં કોઈ બાદબાકી અને ભાગાકાર ગુણધર્મો નથી? ઉદાહરણ તરીકે, બાદબાકી માટે કોઈ વિતરક ગુણધર્મ લખી શકે છે: .

પરંતુ ત્યારથી:

• કોઈપણ સંખ્યાને બાદ કરવાથી તેની વિરુદ્ધ સંખ્યાને બદલીને સમકક્ષ વધારા તરીકે લખી શકાય છે:

• ભાગાકારને તેના પરસ્પર દ્વારા ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે:

આનો અર્થ એ છે કે સરવાળા અને ગુણાકારના ગુણધર્મો બાદબાકી અને ભાગાકાર પર લાગુ કરી શકાય છે. પરિણામે, યાદ રાખવાની જરૂર હોય તેવા ગુણધર્મોની સૂચિ ટૂંકી છે.

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ તમામ ગુણધર્મો ફક્ત તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો નથી. અન્ય સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક રાશિઓ, પણ આ બધા નિયમોનું પાલન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેની વિરુદ્ધ સંખ્યાનો સરવાળો શૂન્ય છે: .

હવે આપણે ઘણા ઉદાહરણો હલ કરીને વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીશું.

જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ

ઑબ્જેક્ટના તે ગુણધર્મો જેને આપણે માત્રાત્મક રીતે વર્ણવી શકીએ છીએ, અમુક સંખ્યા સાથે નિયુક્ત કરી શકીએ છીએ, તેને કહેવામાં આવે છે મૂલ્યો: લંબાઈ, વજન, તાપમાન, જથ્થો.

સમાન જથ્થાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સંખ્યા, હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક બંને દ્વારા સૂચવી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારી ઊંચાઈ મીટર છે - અપૂર્ણાંક સંખ્યા. પરંતુ આપણે કહી શકીએ કે તે સે.મી.ની બરાબર છે - આ પહેલેથી જ પૂર્ણાંક છે (ફિગ. 1).

ચોખા. 1. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

બીજું ઉદાહરણ. સેલ્સિયસ સ્કેલ પર નકારાત્મક તાપમાન કેલ્વિન સ્કેલ (ફિગ. 2) પર હકારાત્મક હશે.

ચોખા. 2. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

ઘરની દિવાલ બનાવતી વખતે, એક વ્યક્તિ પહોળાઈ અને ઊંચાઈને મીટરમાં માપી શકે છે. તે આંશિક માત્રામાં ઉત્પાદન કરે છે. તે અપૂર્ણાંક (તર્કસંગત) સંખ્યાઓ સાથે આગળની બધી ગણતરીઓ હાથ ધરશે. અન્ય વ્યક્તિ પહોળાઈ અને ઊંચાઈમાં ઈંટોની સંખ્યામાં બધું માપી શકે છે. માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે પૂર્ણાંકો સાથે ગણતરીઓ હાથ ધરશે.

જથ્થાઓ પોતે ન તો પૂર્ણાંક છે કે ન તો અપૂર્ણાંક, ન તો નકારાત્મક કે હકારાત્મક. પરંતુ સંખ્યા કે જેની સાથે આપણે જથ્થાના મૂલ્યનું વર્ણન કરીએ છીએ તે પહેલેથી જ એકદમ ચોક્કસ છે (ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક). તે માપન સ્કેલ પર આધાર રાખે છે. અને જ્યારે આપણે વાસ્તવિક મૂલ્યોથી આગળ વધીએ છીએ ગાણિતિક મોડેલ, પછી અમે ચોક્કસ પ્રકારની સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ

ચાલો ઉમેરા સાથે પ્રારંભ કરીએ. શરતોને આપણા માટે અનુકૂળ હોય તેવી કોઈપણ રીતે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે અને ક્રિયાઓ કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે. જો વિવિધ ચિહ્નોની શરતો સમાન અંકમાં સમાપ્ત થાય છે, તો પછી તેમની સાથે પ્રથમ કામગીરી કરવી અનુકૂળ છે. આ કરવા માટે, ચાલો શરતોને સ્વેપ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન છેદફોલ્ડ કરવા માટે સરળ.

વિરોધી સંખ્યાઓ શૂન્ય સુધી ઉમેરે છે. સમાન દશાંશ પૂંછડીઓ સાથેની સંખ્યાઓ બાદબાકી કરવી સરળ છે. આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ વધારાના વિનિમયાત્મક કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, તમે મૂલ્યની ગણતરી કરવાનું સરળ બનાવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની અભિવ્યક્તિ:

પૂરક દશાંશ પૂંછડીઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે સરળ છે. સંપૂર્ણ અને સાથે અપૂર્ણાંક ભાગોમાંમિશ્ર નંબરો સાથે અલગથી કામ કરવું અનુકૂળ છે. નીચેના અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે અમે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો ગુણાકાર તરફ આગળ વધીએ. સંખ્યાઓની જોડી છે જેનો ગુણાકાર કરવો સરળ છે. વિનિમયાત્મક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવી શકો છો જેથી કરીને તેઓ અડીને હોય. ઉત્પાદનમાં ઓછાની સંખ્યા તરત જ ગણી શકાય છે અને પરિણામની નિશાની વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકાય છે.

આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

જો પરિબળોમાંથી શૂન્ય બરાબર, પછી ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

પારસ્પરિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે, અને એક વડે ગુણાકાર કરવાથી ઉત્પાદનના મૂલ્યમાં ફેરફાર થતો નથી. આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

ચાલો ઉપયોગ કરીને એક ઉદાહરણ જોઈએ વિતરણ ગુણધર્મો. જો તમે કૌંસ ખોલો છો, તો દરેક ગુણાકાર સરળ છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરી.
 દશાંશનો ઉમેરો અને બાદબાકી.
1. દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની સંખ્યાને સમાન કરો.
2. ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો દશાંશઅંકો દ્વારા અલ્પવિરામ હેઠળ અલ્પવિરામ.
 દશાંશનો ગુણાકાર.
1. અલ્પવિરામ પર ધ્યાન આપ્યા વિના ગુણાકાર કરો.
2. અલ્પવિરામના ગુણાંકમાં, જમણી બાજુથી જેટલા અંકો છે તેટલા બધા પરિબળોને અલગ કરો
દશાંશ બિંદુ પછી એકસાથે.
 દશાંશ વિભાજન.
1. ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં, અલ્પવિરામને દશાંશ બિંદુ પછી જેટલા અંકો છે તેટલા અંકોથી જમણી તરફ ખસેડો
વિભાજક માં.
2. આખા ભાગને વિભાજીત કરો અને અવશેષમાં અલ્પવિરામ મૂકો. (જો આખો ભાગ વિભાજક કરતાં ઓછું, તે
ભાગાંક શૂન્ય પૂર્ણાંકોથી શરૂ થાય છે)
3. વિભાજન ચાલુ રાખો.
હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ.
ધન અને ઋણ સંખ્યાઓનો ઉમેરો અને બાદબાકી.
a – (– c) = a + c
અન્ય તમામ કેસોને સંખ્યાના ઉમેરા તરીકે ગણવામાં આવે છે.
 બે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉમેરો:
1. “–” ચિહ્ન સાથે પરિણામ લખો;
2. અમે મોડ્યુલો ઉમેરીએ છીએ.
 સાથે નંબરો ઉમેરી રહ્યા છે વિવિધ ચિહ્નો:
1. મોટા મોડ્યુલનું ચિહ્ન મૂકો;
2. મોટા મોડ્યુલમાંથી નાનાને બાદ કરો.
 હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.
1. વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરતી વખતે, પરિણામ ચિહ્ન સાથે લખવામાં આવે છે
માઈનસ
2. જ્યારે સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો સમાન ચિહ્નોપરિણામ ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે
વત્તા
સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે કામગીરી.
સરવાળો અને બાદબાકી.
1. અપૂર્ણાંકને માં કન્વર્ટ કરો સામાન્ય છેદ.
2. અંશ ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો, પરંતુ છેદને યથાવત રાખો.
અંશને અંશ દ્વારા અને છેદને છેદ વડે ગુણાકાર કરો (જો શક્ય હોય તો ઘટાડો).
વિભાજક (બીજા અપૂર્ણાંક)ને "ફ્લિપ કરો" અને ગુણાકાર કરો.
વિભાગ.
ગુણાકાર.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ પાડવો.
38
5 = 38: 5 = 7(બાકી 3) = 7
3
5
મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવી.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=

1
.
+
અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
અપૂર્ણાંકને ઘટાડવો - અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો.
6
7
6
7. ટૂંકમાં:
30:5
35:5 =
30
35 =
ઉદાહરણ તરીકે:
30
35 =
.
1.
અપૂર્ણાંકના છેદને અવિભાજ્યમાં તોડો
ગુણક
અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. સમાન પરિબળોને પાર કરો.
3. પ્રથમના છેદમાંથી બાકી રહેલા પરિબળો
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરો અને આ રીતે લખો
બીજા અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ, અને
બીજા અપૂર્ણાંકથી પ્રથમ અપૂર્ણાંક સુધી.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો
તેના વધારાના ગુણક દ્વારા.
9
20 =
35
80 +
મિશ્ર સંખ્યાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી.
આખા ભાગો અને અપૂર્ણાંક ભાગોને અલગથી ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો.
"ખાસ" કેસો:
"કન્વર્ટ" 1 ને અપૂર્ણાંકમાં જેની અંશ અને

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
1 લો અને તેને એક અપૂર્ણાંકમાં "વળાંક" કરો જેનો અંશ અને
છેદ આપેલ અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન છે.
1 લો અને અંશમાં છેદ ઉમેરો.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
અનુવાદ કરો મિશ્ર સંખ્યાઓવી અયોગ્ય અપૂર્ણાંકઅને ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરો.
મિશ્ર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7

બદામશિન્સકાયા ઉચ્ચ શાળા №2

પદ્ધતિસરનો વિકાસ

ગણિતમાં
6ઠ્ઠા ધોરણમાં

"સાથે ક્રિયાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ»

તૈયાર

ગણિત શિક્ષક

બાબેન્કો લારિસા ગ્રિગોરીવેના

સાથે. બદમશા
2014

પાઠ વિષય:« તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરી».

પાઠનો પ્રકાર :

જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણનો પાઠ.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:

હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના નિયમો વિશે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનો સારાંશ અને વ્યવસ્થિતકરણ;

કસરત દરમિયાન નિયમો લાગુ કરવાની ક્ષમતાને મજબૂત બનાવવી;

સ્વતંત્ર કાર્ય કુશળતા વિકસાવો;

વિકાસશીલ:

વિકાસ કરો તાર્કિક વિચારસરણી, ગણિત ભાષણ,કમ્પ્યુટિંગ કુશળતા; - ઉકેલો પર હસ્તગત જ્ઞાન લાગુ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો લાગુ સમસ્યાઓ; - તમારી ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરવી;

ઉછેર:

ઉછેર જ્ઞાનાત્મક રસવિષય માટે.

સાધન:

કાર્યોના પાઠો સાથેની શીટ્સ, દરેક વિદ્યાર્થી માટે સોંપણીઓ;

ગણિત. 6ઠ્ઠા ધોરણ માટે પાઠયપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/

N.Ya. વિલેન્કીન, વી.આઈ. ઝોખોવ, એ.એસ. ચેસ્નોકોવ, S. I. શ્વાર્ટ્સબર્ડ. - એમ., 2010.

પાઠ યોજના:

સંસ્થાકીય ક્ષણ.

મૌખિક રીતે કામ કરો

વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમોની સમીક્ષા કરવી. જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર કાર્યો ઉકેલવા

ટેસ્ટ ચાલી રહી છે

પાઠનો સારાંશ. હોમવર્ક સેટ કરી રહ્યું છે

પ્રતિબિંબ

પાઠ પ્રગતિ

સંસ્થાકીય ક્ષણ.

શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ તરફથી શુભેચ્છાઓ.

પાઠના વિષય, પાઠ માટે કાર્યની યોજનાની જાણ કરો.

આજે આપણી પાસે છે અસામાન્ય પાઠ. આ પાઠમાં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવાના તમામ નિયમો અને સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવાની ક્ષમતા યાદ રાખીશું.

અમારા પાઠનું સૂત્ર હશે ચિની કહેવત:

“મને કહો અને હું ભૂલી જઈશ;

મને બતાવો અને હું યાદ કરીશ;

મને તે કરવા દો અને હું સમજીશ."

હું તમને પ્રવાસ પર આમંત્રિત કરવા માંગુ છું.

જગ્યાની મધ્યમાં જ્યાં સૂર્યોદય સ્પષ્ટ દેખાતો હતો, ત્યાં એક સાંકડો, નિર્જન દેશ ફેલાયેલો છે - એક સંખ્યા રેખા. તે ક્યાંથી શરૂ થયું તે અજ્ઞાત છે અને તે ક્યાં સમાપ્ત થયું તે અજ્ઞાત છે. અને આ દેશની વસ્તી ધરાવનાર પ્રથમ હતા કુદરતી સંખ્યાઓ. કઈ સંખ્યાઓને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે અને તે કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે?

જવાબ:

સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4,…..વસ્તુઓની ગણતરી કરવા અથવા સૂચવવા માટે વપરાય છે સીરીયલ નંબરવચ્ચે એક અથવા બીજી વસ્તુ સજાતીય વસ્તુઓ, કુદરતી કહેવાય છે (એન ).

મૌખિક ગણતરી

88-19 72:8 200-60

જવાબો: 134; 61; 2180.

તેમાંની સંખ્યા અસંખ્ય હતી, પરંતુ દેશ, પહોળાઈમાં નાનો હોવા છતાં, લંબાઈમાં અનંત હતો, જેથી એકથી અનંત સુધી બધું જ ફિટ થઈ ગયું અને પ્રથમ રાજ્ય, કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ બનાવ્યો.

કોઈ કાર્ય પર કામ કરવું.

દેશ અસાધારણ રીતે સુંદર હતો. તેના સમગ્ર પ્રદેશમાં ભવ્ય બગીચાઓ આવેલા હતા. આ ચેરી, સફરજન, આલૂ છે. અમે હવે તેમાંથી એક પર એક નજર નાખીશું.

દર ત્રણ દિવસે 20 ટકા વધુ પાકેલી ચેરી હોય છે. 9 દિવસ પછી આ ચેરીમાં કેટલા પાકેલા ફળ હશે, જો નિરીક્ષણની શરૂઆતમાં તેના પર 250 પાકેલા ચેરી હોય?

જવાબ: આ ચેરી પર 9 દિવસમાં 432 પાકેલા ફળો આવશે (300;360;432).

સ્વતંત્ર કાર્ય.

પ્રથમ રાજ્યના પ્રદેશ પર કેટલીક નવી સંખ્યાઓ સ્થાયી થવા લાગી, અને આ સંખ્યાઓ, કુદરતી રાશિઓ સાથે મળીને, એક નવું રાજ્ય બનાવ્યું, અમે કાર્યને હલ કરીને શોધીશું.

વિદ્યાર્થીઓ પાસે તેમના ડેસ્ક પર કાગળની બે શીટ્સ છે:

1. ગણતરી કરો:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7.5:(-0.5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52.7+42.7 4)-6x1/3

1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

વ્યાયામ:તમારો હાથ ઉપાડ્યા વિના ક્રમમાં બધી કુદરતી સંખ્યાઓને જોડો અને પરિણામી અક્ષરને નામ આપો.

પરીક્ષણના જવાબો:

5 68 15 60

72 6 20 16

પ્રશ્ન:આ પ્રતીકનો અર્થ શું છે? કઈ સંખ્યાઓને પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે?

જવાબો: 1) ડાબી બાજુએ, પ્રથમ રાજ્યના પ્રદેશમાંથી, નંબર 0 સ્થાયી થયો, તેની ડાબી બાજુએ -1, તેનાથી પણ આગળ ડાબી બાજુ -2, વગેરે. જાહેરાત અનંત આ સંખ્યાઓ, કુદરતી સંખ્યાઓ સાથે મળીને, એક નવી વિસ્તૃત સ્થિતિ, પૂર્ણાંકોનો સમૂહ બનાવે છે.

2) કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ અને શૂન્યને પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ( ઝેડ ).

જે શીખ્યા તેનું પુનરાવર્તન.

1) અમારી પરીકથાનું આગલું પૃષ્ઠ મંત્રમુગ્ધ છે. ચાલો, ભૂલો સુધારીને, તેને નિરાશ કરીએ.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

જવાબો:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36:6

2) ચાલો વાર્તા સાંભળવાનું ચાલુ રાખીએ.

ચાલુ મફત સ્થાનોસંખ્યા રેખામાં અપૂર્ણાંક 2/5 ઉમેરવામાં આવ્યા હતા; −4/5; 3.6; −2,2;... અપૂર્ણાંકો, પ્રથમ વસાહતીઓ સાથે મળીને, પછીની વિસ્તૃત સ્થિતિની રચના કરે છે - તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ. ( પ્ર)

1) કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

2) શું કોઈપણ પૂર્ણાંક, દશાંશ અપૂર્ણાંક એક તર્કસંગત સંખ્યા છે?

3) બતાવો કે કોઈપણ પૂર્ણાંક, કોઈપણ દશાંશ અપૂર્ણાંક એક તર્કસંગત સંખ્યા છે.

બોર્ડ પર કાર્ય: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

જવાબો:

1) એક સંખ્યા જે ગુણોત્તર તરીકે લખી શકાય છે , જ્યાં a પૂર્ણાંક છે અને n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, તેને તર્કસંગત સંખ્યા કહેવામાં આવે છે .

2) હા.

3) .

હવે તમે પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક, હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને શૂન્ય સંખ્યા પણ જાણો છો. આ બધી સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે, જેનો રશિયનમાં અનુવાદ થાય છે " મનને આધીન."

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

હકારાત્મક શૂન્યનકારાત્મક

સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક

ભવિષ્યમાં ગણિતનો (અને માત્ર ગણિત જ નહીં) સફળતાપૂર્વક અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે નિયમોને સારી રીતે જાણવાની જરૂર છે. અંકગણિત કામગીરીસાઇન નિયમો સહિત તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે. અને તેઓ ખૂબ જ અલગ છે! તે મૂંઝવણમાં લાંબો સમય લેશે નહીં.

શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.

ગતિશીલ વિરામ.

શિક્ષક:કોઈપણ કામ માટે વિરામ જરૂરી છે. ચાલો આરામ કરીએ!

ચાલો પુનઃપ્રાપ્તિ કસરતો કરીએ:

1) એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ -

એકવાર! ઉઠો, તમારી જાતને ઉપર ખેંચો,

બે! ઉપર વાળો, સીધા કરો,

ત્રણ! તમારા હાથની ત્રણ તાળીઓ,

માથાના ત્રણ હકાર.

ચાર એટલે પહોળા હાથ.

પાંચ - તમારા હાથ લહેરાવો. છ - તમારા ડેસ્ક પર શાંતિથી બેસો.

(બાળકો ટેક્સ્ટની સામગ્રી અનુસાર શિક્ષકને અનુસરીને હલનચલન કરે છે.)

2) ઝડપથી ઝબકવું, તમારી આંખો બંધ કરો અને પાંચની ગણતરી માટે ત્યાં બેસો. 5 વખત પુનરાવર્તન કરો.

3) તમારી આંખો ચુસ્તપણે બંધ કરો, ત્રણની ગણતરી કરો, તેમને ખોલો અને અંતર જુઓ, પાંચની ગણતરી કરો. 5 વખત પુનરાવર્તન કરો.

ઐતિહાસિક પાનું.

જીવનમાં, પરીકથાઓની જેમ, લોકોએ ધીમે ધીમે તર્કસંગત સંખ્યાઓ "શોધ" કરી. શરૂઆતમાં, વસ્તુઓની ગણતરી કરતી વખતે, કુદરતી સંખ્યાઓ ઊભી થઈ. શરૂઆતમાં તેમાંના થોડા હતા. શરૂઆતમાં, ફક્ત 1 અને 2 શબ્દો "સોલોઇસ્ટ", "સૂર્ય", "એકતા" લેટિન "સોલસ" (એક) માંથી આવે છે. ઘણી જાતિઓ પાસે અન્ય સંખ્યાઓ ન હતી. "3" ને બદલે તેઓએ "એક-બે" કહ્યું, "4" ને બદલે તેઓએ "બે-બે" કહ્યું. અને તેથી છ સુધી. અને પછી "ઘણું" આવ્યું. બગડેલી વસ્તુઓનું વિભાજન કરતી વખતે અને જથ્થાને માપતી વખતે લોકો અપૂર્ણાંકમાં આવ્યા હતા. અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, દશાંશની શોધ કરવામાં આવી હતી. તેઓ 1585 માં ડચ ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા યુરોપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા.

સમીકરણો પર કામ

તમે સમીકરણો ઉકેલીને અને આપેલ કોઓર્ડિનેટને અનુરૂપ અક્ષર શોધવા માટે સંકલન રેખાનો ઉપયોગ કરીને ગણિતશાસ્ત્રીનું નામ શોધી શકશો.

1) -2.5 + x = 3.5 2) -0.3 x = 0.6 3) y – 3.4 = -7.4

4) – 0.8: x = -0.4 5)a · (-8) =0 6)m + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

જવાબો:

6 (C) 4)2 (B)

-2 (T) 5) 0 (I)

-4(E) 6)4(H)

સ્ટીવિન - ડચ ગણિતશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયર (સિમોન સ્ટીવિન)

ઐતિહાસિક પાનું.

શિક્ષક:

વિજ્ઞાનના વિકાસમાં ભૂતકાળને જાણ્યા વિના, તેના વર્તમાનને સમજવું અશક્ય છે. લોકો આપણા યુગ પહેલા પણ નેગેટિવ નંબરો સાથે ઓપરેશન કરવાનું શીખ્યા હતા. ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કલ્પના કરી હકારાત્મક સંખ્યાઓ"ગુણધર્મો" તરીકે, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ "દેવા" તરીકે. આ રીતે ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી બ્રહ્મગુપ્ત (7મી સદી) એ હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે કામગીરી કરવા માટે કેટલાક નિયમો નક્કી કર્યા છે:

"બે મિલકતોનો સરવાળો મિલકત છે"

"બે દેવાનો સરવાળો દેવું છે"

"મિલકત અને દેવાનો સરવાળો તેમના તફાવત જેટલો છે,"

"બે અસ્કયામતો અથવા બે દેવાનું ઉત્પાદન મિલકત છે," "અસ્કયામતો અને દેવુંનું ઉત્પાદન દેવું છે."

મિત્રો, કૃપા કરીને પ્રાચીન ભારતીય નિયમોનો આધુનિક ભાષામાં અનુવાદ કરો.

શિક્ષકનો સંદેશ:

વિના જીવન કેવી રીતે ન હોઈ શકે સૂર્ય ગરમી,

શિયાળાના બરફ વિના અને ફૂલોના પાંદડા વિના,

ગણિતમાં ચિહ્નો વિના કોઈ ઓપરેશન નથી!

બાળકોને અનુમાન કરવા માટે કહેવામાં આવે છે કે કઈ ક્રિયા ચિહ્ન ખૂટે છે.

વ્યાયામ. ખૂટતું પાત્ર ભરો.

− 1,3 2,8 = 1,5

1. − 1,2 1,4 = − 2,6

   3,2 (− 8) = − 0,4

   1 (− 1,7) = 2,7

   − 4,5 (− 0,5) = 9

જવાબો: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

સ્વતંત્ર કાર્ય(શીટ પરના કાર્યોના જવાબો લખો):

સંખ્યાઓની સરખામણી કરો

તેમના મોડ્યુલો શોધો

શૂન્ય સાથે સરખામણી કરો

તેમનો સરવાળો શોધો

તેમના તફાવત શોધો

કામ શોધો

ભાગ શોધો

વિરોધી સંખ્યાઓ લખો

આ સંખ્યાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

10) તેમની વચ્ચે કેટલા પૂર્ણાંકો સ્થિત છે

11) તેમની વચ્ચે સ્થિત તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.

મૂલ્યાંકન માપદંડ: બધું યોગ્ય રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું - "5"

1-2 ભૂલો - “4”

3-4 ભૂલો - “3”

4 થી વધુ ભૂલો - "2"

વ્યક્તિગત કાર્યકાર્ડ દ્વારા(વધુમાં).

કાર્ડ 1. સમીકરણ ઉકેલો: 8.4 – (x – 3.6) = 18

કાર્ડ 2. સમીકરણ ઉકેલો: -0.2x · (-4) = -0,8

કાર્ડ 3. સમીકરણ ઉકેલો: =

કાર્ડ્સના જવાબો :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

રમત "પરીક્ષા".

દેશના રહેવાસીઓ ખુશીથી રહેતા, રમતો રમ્યા, સમસ્યાઓ, સમીકરણો ઉકેલ્યા અને પરિણામોનો સરવાળો કરવા માટે અમને રમવા માટે આમંત્રણ આપ્યું.

વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડમાં આવે છે, એક કાર્ડ લે છે અને સાથે લખેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે વિપરીત બાજુ.

પ્રશ્નો:

1. બેમાંથી કઈ ઋણ સંખ્યા મોટી ગણવામાં આવે છે?

2. નકારાત્મક સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવા માટેનો નિયમ ઘડવો.

3. નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટેનો નિયમ ઘડવો.

4. વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે એક નિયમ બનાવો.

5. વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવા માટે એક નિયમ બનાવો.

6. ઋણ સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે નિયમ ઘડવો.

7. વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે એક નિયમ બનાવો.

8. સંકલન રેખા પર સેગમેન્ટની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

9. કઈ સંખ્યાઓને પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે?

10. કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

સારાંશ.

શિક્ષક:આજે હોમવર્કસર્જનાત્મક હશે:

"આપણી આસપાસ સકારાત્મક અને નકારાત્મક નંબરો" સંદેશ તૈયાર કરો અથવા પરીકથા લખો.

« પાઠ માટે આભાર !!!"