ગણિતમાં સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શું છે. મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

નંબર મોડ્યુલસ aમૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર છે એ(a).

આ વ્યાખ્યા સમજવા માટે, ચાલો ચલને બદલીએ aકોઈપણ સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે 3 અને તેને ફરીથી વાંચવાનો પ્રયાસ કરો:

નંબર મોડ્યુલસ 3 મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર છે એ(3 ).

તે સ્પષ્ટ થાય છે કે મોડ્યુલ સામાન્ય અંતર કરતાં વધુ કંઈ નથી. ચાલો મૂળથી બિંદુ A( સુધીનું અંતર જોવાનો પ્રયાસ કરીએ. 3 )

મૂળથી બિંદુ A સુધીનું અંતર( 3 ) 3 (ત્રણ એકમો અથવા ત્રણ પગલાં) ની બરાબર છે.

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ બે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ઊભી રેખાઓ, ઉદાહરણ તરીકે:

નંબર 3 નું મોડ્યુલસ નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: |3|

નંબર 4 નું મોડ્યુલસ નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: |4|

નંબર 5 નું મોડ્યુલસ નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: |5|

અમે નંબર 3 નું મોડ્યુલસ શોધી કાઢ્યું અને જાણવા મળ્યું કે તે 3 ની બરાબર છે. તેથી અમે તેને લખીએ છીએ:

આના જેવું વાંચે છે: "નંબર ત્રણનું મોડ્યુલસ ત્રણ છે"

હવે ચાલો નંબર -3 નું મોડ્યુલસ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ. ફરીથી, આપણે વ્યાખ્યા પર પાછા આવીએ છીએ અને તેમાં નંબર -3 ને બદલીએ છીએ. માત્ર એક બિંદુને બદલે એઅમે ઉપયોગ કરીએ છીએ નવો મુદ્દો બી. પૂર્ણવિરામ એઅમે પહેલાથી જ પ્રથમ ઉદાહરણમાં ઉપયોગ કર્યો છે.

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ - 3 મૂળથી એક બિંદુ સુધીનું અંતર છે બી(—3 ).

એક બિંદુથી બીજા બિંદુનું અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી. તેથી, કોઈપણ મોડ્યુલ નકારાત્મક સંખ્યા, અંતર હોવાથી, નકારાત્મક પણ નહીં હોય. નંબર -3 નું મોડ્યુલસ નંબર 3 હશે. મૂળથી બિંદુ B(-3) સુધીનું અંતર પણ ત્રણ એકમો જેટલું છે:

આના જેવું વાંચે છે: "માઈનસ ત્રણનું મોડ્યુલસ ત્રણ છે."

સંખ્યા 0 નું મોડ્યુલસ 0 ની બરાબર છે, કારણ કે સંકલન 0 સાથેનો બિંદુ મૂળ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે. મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર O(0)શૂન્ય બરાબર:

"શૂન્ય મોડ્યુલ શૂન્ય બરાબર»

અમે તારણો દોરીએ છીએ:

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી;
સકારાત્મક સંખ્યા અને શૂન્ય માટે, મોડ્યુલસ એ સંખ્યાની બરાબર છે, અને નકારાત્મક સંખ્યા માટે - વિરોધી સંખ્યા;
વિરોધી સંખ્યાઓ છે સમાન મોડ્યુલો.

વિરોધી સંખ્યાઓ

માત્ર ચિહ્નોમાં ભિન્ન હોય તેવી સંખ્યાઓ કહેવાય છે વિરુદ્ધ. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ −2 અને 2 વિરોધી છે. તેઓ માત્ર ચિહ્નોમાં અલગ પડે છે. નંબર −2 માં બાદબાકીનું ચિહ્ન છે, અને 2 માં વત્તાનું ચિહ્ન છે, પરંતુ આપણે તે જોઈ શકતા નથી, કારણ કે વત્તા, જેમ આપણે પહેલા કહ્યું હતું, પરંપરાગત રીતે લખાયેલું નથી.

વિરોધી સંખ્યાઓના વધુ ઉદાહરણો:

વિરોધી સંખ્યાઓ સમાન મોડ્યુલો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો −2 અને 2 માટે મોડ્યુલો શોધીએ

આકૃતિ બતાવે છે કે મૂળથી બિંદુઓ સુધીનું અંતર A(−2)અને B(2)સમાન રીતે બે પગલાંઓ સમાન.

શું તમને પાઠ ગમ્યો?
અમારી સાથે જોડાઓ નવું જૂથ VKontakte અને નવા પાઠ વિશે સૂચનાઓ પ્રાપ્ત કરવાનું પ્રારંભ કરો

>> ગણિત: નંબર મોડ્યુલ (રસ)

મૂળ O થી બિંદુ M (- 6) નું અંતર 6 એકમ સેગમેન્ટ્સ (ફિગ. 63) જેટલું છે. 6 નંબરને -6 નંબરનું મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે.

તેઓ લખે છે: |-6|=6.

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ શરૂઆતથી અંતર (એકમ સેગમેન્ટમાં) છે સંકલનબિંદુ A (a).

નંબર 5 નું મોડ્યુલસ 5 બરાબર છે, કારણ કે બિંદુ B (5) મૂળથી 5 દૂર છે સિંગલ સેગમેન્ટ્સ.

તેઓ લખે છે: |5|=5.

નંબર O નું મોડ્યુલસ 0 ની બરાબર છે, કારણ કે સંકલન 0 સાથેનો બિંદુ મૂળ O સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તેમાંથી 0 એકમ વિભાગો દ્વારા દૂર કરવામાં આવે છે (જુઓ. ફિગ. 63). તેઓ લખે છે: |0I=0.

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી. સકારાત્મક અને શૂન્ય માટે તે સંખ્યાની બરાબર છે, અને નકારાત્મક માટે તે વિરુદ્ધ સંખ્યાની બરાબર છે. વિરોધી સંખ્યાઓ સમાન મોડ્યુલો ધરાવે છે: I-aI = |a|.

? સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શું છે?

ધન સંખ્યા અથવા શૂન્યનું મોડ્યુલસ કેવી રીતે શોધવું?

નકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ કેવી રીતે શોધવું?

શું કોઈપણ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે?

TO 934. દરેક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શોધો: 81, 1.3; -5.2;
અનુરૂપ સમાનતાઓ લખો.

935. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો |x|, જો x= -12.3;

936. મૂળથી દરેક બિંદુઓ સુધીનું અંતર (એકમ સેગમેન્ટમાં) શોધો: A (3.7), B (- 7.8), C (- 200),

937. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

938. બિંદુ A મૂળથી ડાબી બાજુએ 5.8 એકમ આવેલું છે, અને બિંદુ B જમણી બાજુએ 9.8 એકમ આવેલું છે. દરેક બિંદુનું સંકલન શું છે? દરેક કોઓર્ડિનેટનું મોડ્યુલસ શું છે?

939. શોધો:
a) નકારાત્મક સંખ્યા જેનું મોડ્યુલસ 25 છે; ; 7.4;

b) ધન સંખ્યા જેનું મોડ્યુલસ 12 છે; 1; ; 3.2.

940. મોડ્યુલસ ધરાવતી બધી સંખ્યાઓ લખો:

941. તે જાણીતું છે કે IAI=7. શું બરાબર છે | -a|?

942. બે સંખ્યાઓમાંથી, જેનું મોડ્યુલસ વધારે છે તે પસંદ કરો:

પી 943. સંખ્યાઓ વચ્ચે, ની જોડી સૂચવો: a) વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ; b) પારસ્પરિક સંખ્યાઓ.

944. મૌખિક રીતે ગણતરી કરો:

945. કયો નંબર જમણી બાજુએ સ્થિત છે: -2 અથવા -1; -બીટ -7; 0 અથવા -4.2; -15 કર્યું?

એમ 946. આકૃતિ 64a શંકુ દર્શાવે છે. શંકુનો આધાર એક વર્તુળ છે, અને બાજુની સપાટીનો વિકાસ એક ક્ષેત્ર છે (જુઓ. ફિગ. 64, બી). શંકુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો જો આધારની ત્રિજ્યા eTo 3 સે.મી. છે, અને બાજુની સપાટીનો વિકાસ એ કાટકોણ ધરાવતો સેક્ટર છે, તો આ સેક્ટરની ત્રિજ્યા 12 સે.મી. છે. તેમાં કોઈ વધારાનો ડેટા છે સમસ્યા નિવેદન?

947. k ની કિંમત શોધો જો - k છે -3.5; 6.8;
948. સમીકરણ ઉકેલો:
949. નીનાએ સ્ટોરમાં 4.8 રુબેલ્સ ખર્ચ્યા. કેટલા પૈસાઓલ્યા દ્વારા ખર્ચવામાં આવ્યો, જો તે જાણીતું છે કે નીનાએ ખર્ચ કર્યો:
a) 0.3 ઘસવું. વધુ ઓલ્યા;
b) 0.5 ઘસવું દ્વારા. ઓછા ઓલ્યા;
c) ઓલ્યા કરતા 2 ગણા વધુ;

ડી) ઓલ્યા કરતા 1.5 ગણું ઓછું;
e) ઓલ્યાએ શું ખર્ચ્યું;
f) ઓલ્યાએ શું ખર્ચ્યું;
g) ઓલ્યાએ જે ખર્ચ કર્યો તેમાંથી 0.2; ઓલ્યા ખર્ચ્યા;
h) ઓલ્યાએ જે ખર્ચ કર્યો તેના 25%;
i) 25% દ્વારા વધુમાં, શું

j) ઓલ્યાએ શું ખર્ચ્યું તેના 125%?

950. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

951. સંકલન રેખા પર એવા નંબરોને ચિહ્નિત કરો કે જેના મોડ્યુલ 3 ની બરાબર છે; 8; 1; 3.5; 5.

952. બે સંખ્યાઓમાંથી, મોટા મોડ્યુલસ સાથેની એક પસંદ કરો:

953. પ્રથમ ક્ષેત્રનો વિસ્તાર એ બીજા ક્ષેત્રનો વિસ્તાર છે. તે શું સમાન છે ચોરસબીજું ક્ષેત્ર, જો પ્રથમ ક્ષેત્ર 12.6 હેક્ટર છે?

954. ઇવાનોવ પુરસ્કાર સેર્ગીવ પ્રાઇઝના 75% છે. જો ઇવાનોવ પુરસ્કાર 73.2 રુબેલ્સ હોય તો સેર્ગીવ પુરસ્કાર શું છે?

955. ટ્રકની ઝડપ પેસેન્જર કાર જેટલી જ હતી. જો ટ્રકની સ્પીડ કારની સ્પીડ કરતા 22 km/h ઓછી હોય તો કારની સ્પીડ શોધો.

956. પ્રથમ ખેતરમાં કપાસની ઉપજ બીજા ખેતરમાં કપાસની ઉપજ કરતાં 12.5% ઓછી છે. જો બીજા ખેતરમાં 28 ક્વિન્ટલ પ્રતિ હેક્ટર હોય તો પ્રથમ ખેતરમાં કપાસની ઉપજ કેટલી છે?

957. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો

N.Ya.Vilenkin, A.S. ચેસ્નોકોવ, S.I. શ્વાર્ટ્સબર્ડ, વી.આઈ. ઝોખોવ, ગ્રેડ 6 માટે ગણિત, પાઠ્યપુસ્તક ઉચ્ચ શાળા

શાળાના બાળકો માટે ઓનલાઈન મદદ, 6ઠ્ઠા ધોરણ માટે ગણિત ડાઉનલોડ, કેલેન્ડર અને વિષયોનું આયોજન

પાઠ સામગ્રી પાઠ નોંધોસહાયક ફ્રેમ પાઠ પ્રસ્તુતિ પ્રવેગક પદ્ધતિઓ ઇન્ટરેક્ટિવ તકનીકો પ્રેક્ટિસ કરો કાર્યો અને કસરતો સ્વ-પરીક્ષણ વર્કશોપ, તાલીમ, કેસ, ક્વેસ્ટ્સ હોમવર્ક વિવાદાસ્પદ મુદ્દાઓ રેટરિકલ પ્રશ્નોવિદ્યાર્થીઓ પાસેથી ચિત્રો ઓડિયો, વિડિયો ક્લિપ્સ અને મલ્ટીમીડિયાફોટોગ્રાફ્સ, ચિત્રો, ગ્રાફિક્સ, કોષ્ટકો, આકૃતિઓ, રમૂજ, ટુચકાઓ, ટુચકાઓ, કોમિક્સ, દૃષ્ટાંતો, કહેવતો, ક્રોસવર્ડ્સ, અવતરણો ઍડ-ઑન્સ અમૂર્તજિજ્ઞાસુ ક્રિબ્સ પાઠ્યપુસ્તકો માટે લેખોની યુક્તિઓ મૂળભૂત અને અન્ય શબ્દોનો વધારાનો શબ્દકોશ પાઠ્યપુસ્તકો અને પાઠ સુધારવાપાઠ્યપુસ્તકમાં ભૂલો સુધારવીપાઠ્યપુસ્તકમાં એક ટુકડો અપડેટ કરવો, પાઠમાં નવીનતાના તત્વો, જૂના જ્ઞાનને નવા સાથે બદલીને માત્ર શિક્ષકો માટે સંપૂર્ણ પાઠ કૅલેન્ડર યોજનાએક વર્ષ માટે પદ્ધતિસરની ભલામણોચર્ચા કાર્યક્રમો સંકલિત પાઠ

સૌથી વધુ એક મુશ્કેલ વિષયોવિદ્યાર્થીઓ માટે, આ મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલી રહ્યું છે. ચાલો પહેલા જાણીએ કે આ શું સાથે જોડાયેલ છે? શા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, મોટાભાગના બાળકો બદામ જેવા ચતુર્ભુજ સમીકરણો તોડે છે, પરંતુ આ સાથે તે શ્રેષ્ઠથી દૂર છે? જટિલ ખ્યાલમોડ્યુલમાં આટલી બધી સમસ્યાઓ કેવી રીતે આવે છે?

મારા મતે, આ બધી મુશ્કેલીઓ મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સ્પષ્ટ રીતે ઘડવામાં આવેલા નિયમોના અભાવ સાથે સંકળાયેલી છે. તેથી, નક્કી ચતુર્ભુજ સમીકરણ, વિદ્યાર્થી ખાતરીપૂર્વક જાણે છે કે તેણે પહેલા ભેદભાવપૂર્ણ સૂત્ર, અને પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર છે. જો સમીકરણમાં મોડ્યુલસ જોવા મળે તો શું કરવું? જ્યારે સમીકરણ મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ અજાણ્યું હોય ત્યારે અમે કેસ માટે જરૂરી ક્રિયા યોજનાનું સ્પષ્ટ વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરીશું. અમે દરેક કેસ માટે ઘણા ઉદાહરણો આપીશું.

પરંતુ પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ મોડ્યુલ વ્યાખ્યા. તેથી, સંખ્યાને મોડ્યુલો કરો aઆ નંબર પોતે જો કહેવાય છે aબિન-નકારાત્મક અને -એ, જો નંબર a શૂન્ય કરતાં ઓછું. તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

|a| = a જો a ≥ 0 અને |a| = -a જો a< 0

વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ ભૌમિતિક અર્થમાંમોડ્યુલ, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા ચોક્કસ બિંદુને અનુલક્ષે છે સંખ્યા અક્ષ- તેણીને સંકલન તેથી, મોડ્યુલ અથવા સંપૂર્ણ મૂલ્યસંખ્યા એ આ બિંદુથી સંખ્યા અક્ષના મૂળ સુધીનું અંતર છે. અંતર હંમેશા હકારાત્મક સંખ્યા તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આમ, કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ ધન સંખ્યા છે. માર્ગ દ્વારા, આ તબક્કે પણ, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ મૂંઝવણમાં આવવા લાગે છે. મોડ્યુલમાં કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, પરંતુ મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરવાનું પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક સંખ્યા હોય છે.

હવે ચાલો સીધા સમીકરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

1. ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો |x| = c, જ્યાં c એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આ સમીકરણ મોડ્યુલસ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

બધા વાસ્તવિક સંખ્યાઓચાલો તેને ત્રણ જૂથોમાં વહેંચીએ: તે શૂન્ય કરતાં વધુ, જે શૂન્ય કરતા ઓછા છે, અને ત્રીજો જૂથ નંબર 0 છે. ચાલો આકૃતિના રૂપમાં ઉકેલ લખીએ:

(±c, જો c > 0

જો |x| = c, પછી x = (0, જો c = 0

(જો સાથે મૂળ નથી< 0

1) |x| = 5, કારણ કે 5 > 0, પછી x = ±5;

2) |x| = -5, કારણ કે -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, પછી x = 0.

2. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = b, જ્યાં b > 0. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે મોડ્યુલમાંથી છૂટકારો મેળવવો જરૂરી છે. અમે તેને આ રીતે કરીએ છીએ: f(x) = b અથવા f(x) = -b. હવે તમારે દરેક પરિણામી સમીકરણોને અલગથી હલ કરવાની જરૂર છે. જો મૂળ સમીકરણમાં b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, કારણ કે 4 > 0, પછી

x + 2 = 4 અથવા x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, કારણ કે 11 > 0, પછી

x 2 – 5 = 11 અથવા x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 કોઈ મૂળ નથી

3) |x 2 – 5x| = -8, કારણ કે -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = g(x). મોડ્યુલના અર્થ અનુસાર, આવા સમીકરણમાં ઉકેલો હશે જો તેની જમણી બાજુ શૂન્ય કરતાં મોટી અથવા બરાબર હોય, એટલે કે. g(x) ≥ 0. પછી આપણી પાસે હશે:

f(x) = g(x)અથવા f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. આ સમીકરણમાં મૂળ હશે જો 5x – 10 ≥ 0. અહીંથી આવા સમીકરણોનો ઉકેલ શરૂ થાય છે.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. ઉકેલ:

2x – 1 = 5x – 10 અથવા 2x – 1 = -(5x – 10)

3. અમે O.D.Z ને જોડીએ છીએ. અને ઉકેલ, અમને મળે છે:

મૂળ x = 11/7 O.D.Z. સાથે બંધબેસતું નથી, તે 2 કરતા ઓછું છે, પરંતુ x = 3 આ સ્થિતિને સંતોષે છે.

જવાબ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને હલ કરીએ:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. ઉકેલ:

x – 1 = 1 – x 2 અથવા x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 અથવા x = 1 x = 0 અથવા x = 1

3. અમે ઉકેલ અને O.D.Z.ને જોડીએ છીએ:

માત્ર મૂળ x = 1 અને x = 0 યોગ્ય છે.

જવાબ: x = 0, x = 1.

4. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = |g(x)|. આ સમીકરણ બે સમકક્ષ છે નીચેના સમીકરણો f(x) = g(x) અથવા f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. આ સમીકરણ નીચેના બે સમકક્ષ છે:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 અથવા x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 અથવા x = 4 x = 2 અથવા x = 1

જવાબ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. અવેજી પદ્ધતિ (ચલ રિપ્લેસમેન્ટ) દ્વારા ઉકેલાયેલા સમીકરણો. આ પદ્ધતિઉકેલો સમજાવવા માટે સૌથી સરળ છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. તો, ચાલો આપણે મોડ્યુલસ સાથે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપીએ:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. મોડ્યુલસ પ્રોપર્ટી x 2 = |x| દ્વારા 2, તેથી સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. ચાલો બદલીએ |x| = t ≥ 0, તો આપણી પાસે હશે:

t 2 – 6t + 5 = 0. ઉકેલવું આપેલ સમીકરણ, આપણને તે t = 1 અથવા t = 5 મળે છે. ચાલો બદલી પર પાછા આવીએ:

|x| = 1 અથવા |x| = 5

x = ±1 x = ±5

જવાબ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ:

x 2 + |x| – 2 = 0. મોડ્યુલસ પ્રોપર્ટી x 2 = |x| દ્વારા 2, તેથી

|x| 2 + |x| – 2 = 0. ચાલો બદલીએ |x| = t ≥ 0, પછી:

t 2 + t – 2 = 0. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને t = -2 અથવા t = 1 મળે છે. ચાલો બદલી પર પાછા આવીએ:

|x| = -2 અથવા |x| = 1

કોઈ મૂળ નથી x = ± 1

જવાબ: x = -1, x = 1.

6. સમીકરણોનો બીજો પ્રકાર એ "જટિલ" મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો છે. આવા સમીકરણોમાં એવા સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં "મોડ્યુલની અંદર મોડ્યુલો" હોય છે. આ પ્રકારના સમીકરણો મોડ્યુલના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

1) |3 – |x|| = 4. આપણે બીજા પ્રકારના સમીકરણોની જેમ જ કાર્ય કરીશું. કારણ કે 4 > 0, પછી આપણને બે સમીકરણો મળે છે:

3 – |x| = 4 અથવા 3 – |x| = -4.

હવે ચાલો દરેક સમીકરણમાં મોડ્યુલસ x વ્યક્ત કરીએ, પછી |x| = -1 અથવા |x| = 7.

અમે પરિણામી દરેક સમીકરણોને હલ કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે -1< 0, а во втором x = ±7.

જવાબ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. અમે આ સમીકરણને સમાન રીતે હલ કરીએ છીએ:

3 + |x + 1| = 5 અથવા 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 અથવા x + 1 = -2. કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: x = -3, x = 1.

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ પણ છે. આ અંતરાલ પદ્ધતિ છે. પરંતુ અમે તેને પછીથી જોઈશું.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

મોડ્યુલ એ તે વસ્તુઓમાંથી એક છે જેના વિશે દરેક વ્યક્તિએ સાંભળ્યું હોય તેવું લાગે છે, પરંતુ વાસ્તવમાં ખરેખર કોઈ સમજી શકતું નથી. તેથી આજે ત્યાં હશે મહાન પાઠ, મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત.

હું તરત જ કહીશ: પાઠ મુશ્કેલ નહીં હોય. અને સામાન્ય રીતે, મોડ્યુલો પ્રમાણમાં સરળ વિષય છે. "હા, અલબત્ત, તે જટિલ નથી! તે મારા મગજને ઉડાવી દે છે!” - ઘણા વિદ્યાર્થીઓ કહેશે, પરંતુ આ બધી મગજની તૂટફૂટ એ હકીકતને કારણે થાય છે કે મોટાભાગના લોકોના માથામાં જ્ઞાન નથી, પરંતુ એક પ્રકારની વાહિયાત છે. અને આ પાઠનો ધ્યેય વાહિયાતને જ્ઞાનમાં ફેરવવાનો છે :)

થોડો સિદ્ધાંત

તો, ચાલો જઈએ. ચાલો સૌથી મહત્વની વસ્તુથી શરૂઆત કરીએ: મોડ્યુલ શું છે? ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ જ સંખ્યા છે, પરંતુ બાદબાકી ચિહ્ન વિના લેવામાં આવે છે. એટલે કે, ઉદાહરણ તરીકે, $\left| -5 \right|=5$. અથવા $\left| -129.5 \right|=$129.5.

તે સરળ છે? હા, સરળ. તો પછી ધન સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય શું છે? તે અહીં વધુ સરળ છે: હકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ આ સંખ્યાની બરાબર છે: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129.5 \right|=$129.5, વગેરે.

\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]

અન્ય મહત્વપૂર્ણ હકીકત: મોડ્યુલસ ક્યારેય નકારાત્મક નથી. આપણે ગમે તે સંખ્યા લઈએ - તે સકારાત્મક હોય કે નકારાત્મક - તેનું મોડ્યુલસ હંમેશા હકારાત્મક (અથવા છેલ્લા ઉપાય તરીકેશૂન્ય). આ કારણે મોડ્યુલસને ઘણીવાર સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે.

વધુમાં, જો આપણે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યા માટે મોડ્યુલસની વ્યાખ્યાને જોડીએ, તો આપણે તમામ સંખ્યાઓ માટે મોડ્યુલસની વૈશ્વિક વ્યાખ્યા મેળવીએ છીએ. જેમ કે: સંખ્યા ધન (અથવા શૂન્ય) હોય તો સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ સંખ્યાની બરાબર હોય છે, અથવા જો સંખ્યા નકારાત્મક હોય તો વિરુદ્ધ સંખ્યાની બરાબર હોય છે. તમે આને સૂત્ર તરીકે લખી શકો છો:

શૂન્યનું મોડ્યુલસ પણ છે, પરંતુ તે હંમેશા શૂન્યની બરાબર છે. વધુમાં, શૂન્ય એકવચન, જેનો કોઈ વિરોધી નથી.

આમ, જો આપણે $y=\left| ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ x \right|$ અને તેનો ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરો, તમને આના જેવું કંઈક મળશે:

મોડ્યુલસ ગ્રાફ અને સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

આ ચિત્ર પરથી તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે $\left| -m \right|=\left| m \right|$, અને મોડ્યુલસ ગ્રાફ ક્યારેય x-અક્ષની નીચે આવતો નથી. પરંતુ આટલું જ નથી: લાલ રેખા સીધી રેખા $y=a$ને ચિહ્નિત કરે છે, જે હકારાત્મક $a$ માટે, અમને એક સાથે બે મૂળ આપે છે: $((x)_(1))$ અને $(x) _(2)) $, પરંતુ અમે તેના વિશે પછીથી વાત કરીશું :)

સિવાય કેવળ બીજગણિતીય વ્યાખ્યા, ત્યાં ભૌમિતિક છે. ચાલો કહીએ કે સંખ્યા રેખા પર બે બિંદુઓ છે: $((x)_(1))$ અને $((x)_(2))$. આ કિસ્સામાં, અભિવ્યક્તિ $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ એ ફક્ત ઉલ્લેખિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે. અથવા, જો તમે પસંદ કરો છો, તો આ બિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ:

મોડ્યુલસ એ સંખ્યા રેખા પરના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે

આ વ્યાખ્યા પણ સૂચવે છે કે મોડ્યુલસ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે. પરંતુ પૂરતી વ્યાખ્યાઓ અને સિદ્ધાંત - ચાલો વાસ્તવિક સમીકરણો તરફ આગળ વધીએ :)

મૂળભૂત સૂત્ર

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યા ગોઠવી દીધી છે. પરંતુ તે તેને વધુ સરળ બનાવ્યું નહીં. આ મોડ્યુલ ધરાવતા સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા?

શાંત, માત્ર શાંત. ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુઓ સાથે પ્રારંભ કરીએ. આના જેવું કંઈક ધ્યાનમાં લો:

\[\left| x\right|=3\]

તેથી $x$ નું મોડ્યુલસ 3 છે. $x$ શું હોઈ શકે? ઠીક છે, વ્યાખ્યા દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, અમે $x=3$ થી ખૂબ ખુશ છીએ. ખરેખર:

\[\left| 3\જમણે|=3\]

ત્યાં અન્ય નંબરો છે? કેપ એ સંકેત આપે છે કે ત્યાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, $x=-3$ પણ $\left| છે -3 \right|=3$, એટલે કે જરૂરી સમાનતા સંતુષ્ટ છે.

તો કદાચ જો આપણે શોધીએ અને વિચારીએ, તો આપણને વધુ સંખ્યાઓ મળશે? પરંતુ તેને તોડી નાખો: વધુ સંખ્યાઓના. સમીકરણ $\left| x \right|=3$ પાસે માત્ર બે મૂળ છે: $x=3$ અને $x=-3$.

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. ફંક્શન $f\left(x \right)$ ને મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ $x$ ને બદલે હેંગઆઉટ થવા દો, અને જમણી બાજુએ ટ્રિપલને બદલે અમે મૂકીએ છીએ. મનસ્વી સંખ્યા$a$. અમને સમીકરણ મળે છે:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

તો આપણે આ કેવી રીતે ઉકેલી શકીએ? ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: $f\left(x \right)$ એ મનસ્વી કાર્ય છે, $a$ કોઈપણ સંખ્યા છે. તે. બિલકુલ કંઈપણ! ઉદાહરણ તરીકે:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

ચાલો બીજા સમીકરણ પર ધ્યાન આપીએ. તમે તેના વિશે તરત જ કહી શકો છો: તેની પાસે કોઈ મૂળ નથી. શા માટે? બધું સાચું છે: કારણ કે તે જરૂરી છે કે મોડ્યુલસ નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર હોય, જે ક્યારેય થતું નથી, કારણ કે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે મોડ્યુલસ હંમેશા હકારાત્મક સંખ્યા છે અથવા, આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, શૂન્ય છે.

પરંતુ પ્રથમ સમીકરણ સાથે બધું વધુ મનોરંજક છે. ત્યાં બે વિકલ્પો છે: કાં તો મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ હકારાત્મક અભિવ્યક્તિ છે, અને પછી $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, અથવા આ અભિવ્યક્તિ હજુ પણ નકારાત્મક છે, અને પછી $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. પ્રથમ કિસ્સામાં, આપણું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

અને અચાનક તે તારણ આપે છે કે સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિ $2x+1$ ખરેખર હકારાત્મક છે - તે સંખ્યા 5 ની બરાબર છે. એટલે કે અમે આ સમીકરણને સુરક્ષિત રીતે હલ કરી શકીએ છીએ - પરિણામી મૂળ જવાબનો એક ભાગ હશે:

ખાસ કરીને અવિશ્વાસુ લોકો મળી આવેલ મૂળને બદલવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે મૂળ સમીકરણઅને ખાતરી કરો કે મોડ્યુલસ હેઠળ ખરેખર હકારાત્મક સંખ્યા છે.

હવે ચાલો નકારાત્મક સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિના કિસ્સામાં જોઈએ:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

અરે! ફરીથી, બધું સ્પષ્ટ છે: અમે ધાર્યું કે $2x+1 \lt 0$, અને પરિણામે અમને તે $2x+1=-5$ મળ્યું - ખરેખર, આ અભિવ્યક્તિ શૂન્ય કરતાં ઓછી છે. અમે પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ છીએ, જ્યારે પહેલાથી જ ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે મળેલ રુટ અમને અનુકૂળ કરશે:

કુલ મળીને, અમને ફરીથી બે જવાબો મળ્યા: $x=2$ અને $x=3$. હા, ગણતરીની રકમ ખૂબ જ સરળ સમીકરણ $\left| કરતાં થોડી મોટી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. x \right|=3$, પરંતુ મૂળભૂત રીતે કંઈપણ બદલાયું નથી. તેથી કદાચ સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમનો અમુક પ્રકાર છે?

હા, આવા અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં છે. અને હવે આપણે તેનું વિશ્લેષણ કરીશું.

મોડ્યુલસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવો

ચાલો આપણે $\left| સમીકરણ આપીએ f\left(x \right) \right|=a$, અને $a\ge 0$ (અન્યથા, જેમ આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી). પછી તમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવી શકો છો:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

આમ, મોડ્યુલસ સાથેનું આપણું સમીકરણ બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે, પરંતુ મોડ્યુલસ વિના. આટલી જ ટેકનોલોજી છે! ચાલો કેટલાક સમીકરણો હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો આ સાથે શરૂઆત કરીએ

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

ચાલો જ્યારે જમણી બાજુએ દસ વત્તા હોય ત્યારે અલગથી અને જ્યારે ઓછા હોય ત્યારે અલગથી વિચારીએ. અમારી પાસે છે:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\અંત(સંરેખિત)\]

બસ! અમને બે મૂળ મળ્યા: $x=1.2$ અને $x=-2.8$. સમગ્ર ઉકેલ શાબ્દિક બે લીટીઓ લીધો.

ઠીક છે, કોઈ પ્રશ્ન નથી, ચાલો કંઈક વધુ ગંભીર જોઈએ:

\[\left| 7-5x\જમણે|=13\]

ફરીથી આપણે પ્લસ અને માઈનસ સાથે મોડ્યુલ ખોલીએ છીએ:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\અંત(સંરેખિત)\]

ફરીથી બે લીટીઓ - અને જવાબ તૈયાર છે! મેં કહ્યું તેમ, મોડ્યુલો વિશે કંઈ જટિલ નથી. તમારે ફક્ત થોડા નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર છે. તેથી, અમે આગળ વધીએ છીએ અને ખરેખર વધુ જટિલ કાર્યો સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.

જમણી બાજુના ચલનો કેસ

હવે આ સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

આ સમીકરણ પાછલા તમામ સમીકરણોથી મૂળભૂત રીતે અલગ છે. કેવી રીતે? અને હકીકત એ છે કે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ $2x$ અભિવ્યક્તિ છે - અને આપણે અગાઉથી જાણી શકતા નથી કે તે હકારાત્મક છે કે નકારાત્મક.

આ કિસ્સામાં શું કરવું? પ્રથમ, આપણે એકવાર અને બધા માટે તે સમજવું જોઈએ જો સમીકરણની જમણી બાજુ નકારાત્મક હોય, તો સમીકરણનું કોઈ મૂળ નહીં હોય- આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે મોડ્યુલ નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર હોઈ શકતું નથી.

અને બીજું, જો જમણો ભાગ હજી પણ સકારાત્મક (અથવા શૂન્યની બરાબર) હોય, તો પછી તમે પહેલાની જેમ બરાબર એ જ રીતે કાર્ય કરી શકો છો: ફક્ત મોડ્યુલને વત્તા ચિહ્ન સાથે અલગથી અને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે અલગથી ખોલો.

આમ, અમે મનસ્વી કાર્યો માટે એક નિયમ ઘડીએ છીએ $f\left(x \right)$ અને $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

આપણા સમીકરણના સંબંધમાં આપણને મળે છે:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

ઠીક છે, અમે કોઈપણ રીતે $2x\ge 0$ જરૂરિયાતનો સામનો કરીશું. અંતે, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી મળેલા મૂળને મૂર્ખતાપૂર્વક બદલી શકીએ છીએ અને અસમાનતા ધરાવે છે કે નહીં તે તપાસી શકીએ છીએ.

તો ચાલો સમીકરણ પોતે જ હલ કરીએ:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\અંત(સંરેખિત)\]

સારું, આ બેમાંથી કયું મૂળ $2x\ge 0$ જરૂરિયાતને સંતોષે છે? હા બંને! તેથી, જવાબ બે નંબરો હશે: $x=(4)/(3)\;$ અને $x=0$. તે ઉકેલ છે :)

મને શંકા છે કે કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી જ કંટાળો આવવા લાગ્યા છે? સારું, ચાલો એક વધુ જટિલ સમીકરણ જોઈએ:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

જો કે તે દુષ્ટ લાગે છે, હકીકતમાં તે હજુ પણ "મોડ્યુલસ ઇક્વલ્સ ફંક્શન" સ્વરૂપનું સમાન સમીકરણ છે:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

અને તે બરાબર એ જ રીતે હલ થાય છે:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-(x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \જમણે), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

અમે અસમાનતા સાથે પછીથી વ્યવહાર કરીશું - તે કોઈક રીતે ખૂબ દુષ્ટ છે (હકીકતમાં, તે સરળ છે, પરંતુ અમે તેને હલ કરીશું નહીં). હમણાં માટે, પરિણામી સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરવો વધુ સારું છે. ચાલો પ્રથમ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ - આ તે છે જ્યારે મોડ્યુલને વત્તા ચિહ્ન સાથે વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે:

\[(x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-(x)^(3))\]

ઠીક છે, તે કોઈ વિચારસરણી નથી કે તમારે ડાબેથી બધું એકત્રિત કરવાની જરૂર છે, સમાન લાવવી અને શું થાય છે તે જુઓ. અને આ થાય છે:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-(x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\અંત(સંરેખિત)\]

અમે તેને બહાર કાઢીએ છીએ સામાન્ય ગુણકકૌંસમાંથી $((x)^(2))$ અને અમને ખૂબ જ સરળ સમીકરણ મળે છે:

\[(x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

\[(x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

અહીં અમે ઉપયોગ કર્યો મહત્વપૂર્ણ મિલકતઉત્પાદન, જેના માટે અમે મૂળ બહુપદીનું પરિબળ બનાવ્યું છે: જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર છે.

હવે બીજા સમીકરણ સાથે બરાબર એ જ રીતે વ્યવહાર કરીએ, જે માઈનસ ચિહ્ન સાથે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીને મેળવવામાં આવે છે:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \જમણે)=0. \\\અંત(સંરેખિત)\]

ફરીથી એ જ વસ્તુ: ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય. અમારી પાસે છે:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

સારું, અમને ત્રણ મૂળ મળ્યા: $x=0$, $x=1.5$ અને $x=(2)/(3)\;$. સારું, આમાંથી કયો સેટ અંતિમ જવાબમાં જશે? આ કરવા માટે, યાદ રાખો કે અસમાનતાના સ્વરૂપમાં અમારી પાસે વધારાની અવરોધ છે:

આ જરૂરિયાતને કેવી રીતે ધ્યાનમાં લેવી? ચાલો ફક્ત મળેલા મૂળને બદલીએ અને તપાસ કરીએ કે આ $x$ માટે અસમાનતા છે કે નહીં. અમારી પાસે છે:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\અંત(સંરેખિત)\]

આમ, રૂટ $x=1.5$ અમને અનુકૂળ નથી. અને જવાબમાં ફક્ત બે મૂળ હશે:

\[(x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ કિસ્સામાં પણ કંઈ જટિલ નહોતું - મોડ્યુલો સાથેના સમીકરણો હંમેશા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. તમારે ફક્ત બહુપદી અને અસમાનતાઓની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે. તેથી, અમે વધુ જટિલ કાર્યો તરફ આગળ વધીએ છીએ - ત્યાં પહેલેથી જ એક નહીં, પરંતુ બે મોડ્યુલો હશે.

બે મોડ્યુલ સાથેના સમીકરણો

અત્યાર સુધી આપણે ફક્ત સૌથી વધુ અભ્યાસ કર્યો છે સરળ સમીકરણો- ત્યાં એક મોડ્યુલ હતું અને બીજું કંઈક. અમે આ "કંઈક બીજું" અસમાનતાના બીજા ભાગમાં મોકલ્યું છે, મોડ્યુલથી દૂર, જેથી અંતે બધું $\left| ફોર્મના સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ અથવા તેનાથી પણ સરળ $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

પણ કિન્ડરગાર્ટનસમાપ્ત - કંઈક વધુ ગંભીર ધ્યાનમાં લેવાનો સમય છે. ચાલો આના જેવા સમીકરણોથી શરૂઆત કરીએ:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

આ "મોડ્યુલસ ઇક્વલ્સ મોડ્યુલસ" સ્વરૂપનું સમીકરણ છે. મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ બિંદુઅન્ય શરતો અને પરિબળોની ગેરહાજરી છે: ડાબી બાજુએ માત્ર એક મોડ્યુલ, જમણી તરફ એક વધુ મોડ્યુલ - અને વધુ કંઈ નથી.

કોઈ હવે વિચારશે કે આપણે અત્યાર સુધી જે અભ્યાસ કર્યો છે તેના કરતાં આવા સમીકરણો ઉકેલવા વધુ મુશ્કેલ છે. પરંતુ ના: આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે વધુ સરળ છે. અહીં સૂત્ર છે:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

બધા! અમે તેમાંથી એકની આગળ વત્તા અથવા બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકીને સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા કરીએ છીએ. અને પછી અમે પરિણામી બે સમીકરણો હલ કરીએ છીએ - અને મૂળ તૈયાર છે! કોઈ વધારાના પ્રતિબંધો નથી, કોઈ અસમાનતા નથી, વગેરે. તે ખૂબ જ સરળ છે.

ચાલો આ સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

પ્રાથમિક, વોટસન! મોડ્યુલોનું વિસ્તરણ:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

ચાલો દરેક કેસને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\અંત(સંરેખિત)\]

પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી. કારણ કે $3=-7$ ક્યારે છે? $x$ ના કયા મૂલ્યો પર? "$x$ શું છે? તમે પથ્થરમારો છો? ત્યાં બિલકુલ $x$ નથી," તમે કહો છો. અને તમે સાચા હશો. અમે એક સમાનતા મેળવી છે જે ચલ $x$ પર આધારિત નથી, અને તે જ સમયે સમાનતા પોતે જ ખોટી છે. તેથી જ ત્યાં કોઈ મૂળ નથી :)

બીજા સમીકરણ સાથે, બધું થોડું વધુ રસપ્રદ છે, પણ ખૂબ જ સરળ છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બધું શાબ્દિક રીતે બે લીટીઓમાં હલ કરવામાં આવ્યું હતું - અમે રેખીય સમીકરણથી અન્ય કંઈપણની અપેક્ષા રાખી નથી :)

પરિણામે, અંતિમ જવાબ છે: $x=1$.

તો કેવી રીતે? મુશ્કેલ? અલબત્ત નહીં. ચાલો કંઈક બીજું અજમાવીએ:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

ફરીથી આપણી પાસે $\left| ફોર્મનું સમીકરણ છે f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. તેથી, અમે તરત જ તેને ફરીથી લખીએ છીએ, મોડ્યુલસ ચિહ્નને છતી કરીએ છીએ:

\[(x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \જમણે)\]

કદાચ કોઈ હવે પૂછશે: "અરે, શું બકવાસ છે? શા માટે “પ્લસ-માઈનસ” જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિ પર દેખાય છે અને ડાબી બાજુએ નથી? શાંત થાઓ, હું હવે બધું સમજાવીશ. ખરેખર, સારી રીતે આપણે આપણા સમીકરણને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવું જોઈએ:

પછી તમારે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે, બધી શરતોને સમાન ચિહ્નની એક બાજુ પર ખસેડો (કારણ કે સમીકરણ, દેખીતી રીતે, બંને કિસ્સાઓમાં ચોરસ હશે), અને પછી મૂળ શોધો. પરંતુ તમારે સંમત થવું આવશ્યક છે: જ્યારે "વત્તા અથવા ઓછા" ત્રણ શરતો પહેલાં દેખાય છે (ખાસ કરીને જ્યારે આ શરતોમાંથી એક ચતુર્ભુજ અભિવ્યક્તિ), જ્યારે "વત્તા અથવા ઓછા" ફક્ત બે શબ્દોની સામે દેખાય છે ત્યારે આ પરિસ્થિતિ કરતાં વધુ જટિલ લાગે છે.

પરંતુ કંઈપણ આપણને મૂળ સમીકરણને નીચે પ્રમાણે લખતા અટકાવતું નથી:

શું થયું? કંઈ ખાસ નથી: તેઓએ ફક્ત ડાબી બાજુ બદલી અને જમણી બાજુકેટલાક સ્થળોએ. એક નાની વસ્તુ જે આખરે આપણું જીવન થોડું સરળ બનાવશે :)

સામાન્ય રીતે, વત્તા અને બાદબાકી સાથેના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે આ સમીકરણને હલ કરીએ છીએ:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\અંત(સંરેખિત)\]

પ્રથમ સમીકરણ $x=3$ અને $x=1$ છે. બીજો સામાન્ય રીતે ચોક્કસ ચોરસ છે:

\[(x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \જમણે))^(2))\]

તેથી, તેનું માત્ર એક જ મૂળ છે: $x=1$. પરંતુ આપણે આ મૂળ પહેલાથી જ મેળવી લીધું છે. આમ, અંતિમ જવાબમાં માત્ર બે સંખ્યાઓ જ જશે:

\[(x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

મિશન પરિપૂર્ણ! તમે શેલ્ફમાંથી પાઇ લઈ શકો છો અને તેને ખાઈ શકો છો. તેમાંના 2 છે, તમારી વચ્ચેનો છે :)

મહત્વપૂર્ણ નોંધ. ઉપલબ્ધતા સમાન મૂળમોડ્યુલના વિસ્તરણ માટેના વિવિધ વિકલ્પોનો અર્થ એ છે કે મૂળ બહુપદીઓ ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે, અને આ પરિબળોમાં ચોક્કસપણે એક સામાન્ય હશે. ખરેખર:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\અંત(સંરેખિત)\]

મોડ્યુલ ગુણધર્મો પૈકી એક: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (એટલે કે ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ ઉત્પાદન સમાનમોડ્યુલ્સ), તેથી મૂળ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારી પાસે ખરેખર એક સામાન્ય પરિબળ છે. હવે, જો તમે બધા મોડ્યુલો એક બાજુએ એકત્રિત કરો છો, તો તમે આ પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકો છો:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\અંત(સંરેખિત)\]

સારું, હવે યાદ રાખો કે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર છે:

\[\left[ \begin(align) & \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

આમ, બે મોડ્યુલ સાથેનું મૂળ સમીકરણ બે સરળ સમીકરણો સુધી ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે જેના વિશે આપણે પાઠની શરૂઆતમાં જ વાત કરી હતી. આવા સમીકરણો શાબ્દિક રીતે બે લીટીઓમાં ઉકેલી શકાય છે :)

આ ટિપ્પણી બિનજરૂરી રીતે જટિલ અને વ્યવહારમાં અયોગ્ય લાગે છે. જો કે, વાસ્તવમાં તમને ઘણું બધું મળી શકે છે જટિલ કાર્યો, જેનું આજે આપણે વિશ્લેષણ કરી રહ્યા છીએ તેના કરતાં. તેમાં, મોડ્યુલોને બહુપદી સાથે જોડી શકાય છે, અંકગણિત મૂળ, લઘુગણક, વગેરે. અને આવી પરિસ્થિતિઓમાં, ઘટાડવાની તક સામાન્ય ડિગ્રીકૌંસની બહાર કંઈક મૂકીને સમીકરણો ખૂબ જ ઉપયોગી હોઈ શકે છે :)

હવે હું બીજું સમીકરણ જોવા માંગુ છું, જે પ્રથમ નજરમાં ઉન્મત્ત લાગે છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ તેના પર અટકી જાય છે, જેઓ વિચારે છે કે તેઓ મોડ્યુલોની સારી સમજ ધરાવે છે.

જો કે, આ સમીકરણ આપણે અગાઉ જોયું તેના કરતાં હલ કરવાનું વધુ સરળ છે. અને જો તમે સમજો છો કે શા માટે, તો તમને બીજી યુક્તિ મળશે ઝડપી ઉકેલમોડ્યુલો સાથે સમીકરણો.

તેથી સમીકરણ છે:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

ના, આ કોઈ ટાઈપો નથી: તે મોડ્યુલો વચ્ચેનો વત્તા છે. અને આપણે એ શોધવાની જરૂર છે કે બે મોડ્યુલનો સરવાળો શુન્ય બરાબર છે :)

કોઈપણ રીતે સમસ્યા શું છે? પરંતુ સમસ્યા એ છે કે દરેક મોડ્યુલ હકારાત્મક સંખ્યા છે, અથવા, આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, શૂન્ય છે. જો તમે બે હકારાત્મક સંખ્યાઓ ઉમેરશો તો શું થશે? દેખીતી રીતે ફરીથી હકારાત્મક સંખ્યા:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

છેલ્લી પંક્તિ તમને એક વિચાર આપી શકે છે: જો દરેક મોડ્યુલ શૂન્ય હોય તો માત્ર મોડ્યુલોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે:

અને મોડ્યુલ શૂન્યની બરાબર ક્યારે છે? માત્ર એક કિસ્સામાં - જ્યારે સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય:

\[(x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

આમ, અમારી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે કે જેના પર પ્રથમ મોડ્યુલ શૂન્ય પર રીસેટ થાય છે: 0, 1 અને −1; તેમજ બે બિંદુઓ કે જેના પર બીજા મોડ્યુલને શૂન્ય પર રીસેટ કરવામાં આવે છે: −2 અને 1. જો કે, અમને બંને મોડ્યુલને એક જ સમયે શૂન્ય પર રીસેટ કરવાની જરૂર છે, તેથી મળેલી સંખ્યાઓમાંથી આપણે તે પસંદ કરવાની જરૂર છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ છે. બંને સેટ. દેખીતી રીતે, આવી માત્ર એક જ સંખ્યા છે: $x=1$ - આ અંતિમ જવાબ હશે.

ક્લીવેજ પદ્ધતિ

ઠીક છે, અમે પહેલાથી જ સમસ્યાઓનો સમૂહ આવરી લીધો છે અને ઘણી બધી તકનીકો શીખી છે. શું તમને લાગે છે કે આટલું જ છે? પણ ના! હવે આપણે અંતિમ તકનીક પર ધ્યાન આપીશું - અને તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ. અમે મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોને વિભાજીત કરવા વિશે વાત કરીશું. આપણે પણ શું વાત કરીશું? ચાલો થોડા પાછળ જઈએ અને કેટલાક સરળ સમીકરણ જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે આ:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આવા સમીકરણને કેવી રીતે હલ કરવું, કારણ કે તે $\left| ફોર્મનું પ્રમાણભૂત બાંધકામ છે. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. પરંતુ ચાલો આ સમીકરણને જરા જુદા ખૂણાથી જોવાનો પ્રયત્ન કરીએ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે કોઈપણ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ સંખ્યાની બરાબર હોઈ શકે છે, અથવા તે આ સંખ્યાની વિરુદ્ધ હોઈ શકે છે:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

વાસ્તવમાં, આ અસ્પષ્ટતા સમગ્ર સમસ્યા છે: મોડ્યુલસ હેઠળની સંખ્યા બદલાતી હોવાથી (તે ચલ પર આધાર રાખે છે), તે અમને સ્પષ્ટ નથી કે તે હકારાત્મક છે કે નકારાત્મક.

પરંતુ જો તમને શરૂઆતમાં આ સંખ્યા સકારાત્મક હોવાની જરૂર હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે $3x-5 \gt 0$ - આ કિસ્સામાં અમને મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ હકારાત્મક નંબર મેળવવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે, અને અમે આ ખૂબ જ મોડ્યુલસથી સંપૂર્ણપણે છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ:

આમ, આપણું સમીકરણ રેખીય સમીકરણમાં ફેરવાઈ જશે, જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે:

સાચું છે, આ બધા વિચારો માત્ર $3x-5 \gt 0$ ની શરત હેઠળ જ અર્થપૂર્ણ છે - અમે પોતે જ આ આવશ્યકતા રજૂ કરી છે જેથી કરીને મોડ્યુલને સ્પષ્ટપણે જાહેર કરવામાં આવે. તેથી, ચાલો આ સ્થિતિમાં મળેલા $x=\frac(5)(3)$ને બદલીએ અને તપાસો:

તે તારણ આપે છે કે જ્યારે ઉલ્લેખિત મૂલ્ય$x$ અમારી જરૂરિયાત પૂરી થઈ નથી, કારણ કે અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને અમારે તે શૂન્ય કરતાં સખત રીતે વધારે હોવું જરૂરી છે. ઉદાસી :(

પરંતુ તે ઠીક છે! છેવટે, બીજો વિકલ્પ $3x-5 \lt 0$ છે. તદુપરાંત: $3x-5=0$ પણ કેસ છે - આ પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, અન્યથા ઉકેલ અધૂરો રહેશે. તેથી, કેસ $3x-5 \lt 0$ ને ધ્યાનમાં લો:

દેખીતી રીતે, મોડ્યુલ માઈનસ ચિહ્ન સાથે ખુલશે. પરંતુ પછી તે ઉદભવે છે વિચિત્ર પરિસ્થિતિ: મૂળ સમીકરણમાં ડાબી અને જમણી બંને બાજુએ સમાન અભિવ્યક્તિ વળગી રહેશે:

મને આશ્ચર્ય થાય છે કે $5-3x$ $5-3x$ની સમકક્ષ શું $x$ અભિવ્યક્તિ હશે? કેપ્ટનની સ્પષ્ટતા પણ આવા સમીકરણોથી તેની લાળ પર ગૂંગળાવી નાખશે, પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ: આ સમીકરણ એક ઓળખ છે, એટલે કે. તે ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચું છે!

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ $x$ અમને અનુકૂળ રહેશે. જો કે, અમારી પાસે મર્યાદા છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જવાબ એક નંબર નહીં, પરંતુ સંપૂર્ણ અંતરાલ હશે:

છેલ્લે, એક વધુ કેસ ધ્યાનમાં લેવાનો બાકી છે: $3x-5=0$. અહીં બધું સરળ છે: મોડ્યુલસ હેઠળ શૂન્ય હશે, અને શૂન્યનું મોડ્યુલસ પણ શૂન્યની બરાબર છે (આ વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે):

પરંતુ પછી મૂળ સમીકરણ $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

જ્યારે અમે $3x-5 \gt 0$ નો કેસ ધ્યાનમાં લીધો ત્યારે અમે ઉપર આ રુટ પહેલેથી જ મેળવી લીધું છે. તદુપરાંત, આ રુટ એ સમીકરણ $3x-5=0$ છે - આ તે મર્યાદા છે જે આપણે જાતે મોડ્યુલ રીસેટ કરવા માટે રજૂ કરી છે :)

આમ, અંતરાલ ઉપરાંત, અમે આ અંતરાલના અંતમાં પડેલી સંખ્યાથી પણ સંતુષ્ટ થઈશું:

મોડ્યુલો સમીકરણોમાં મૂળનું સંયોજન

કુલ અંતિમ જવાબ: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ મોડ્યુલસ સાથેના એકદમ સરળ (આવશ્યક રીતે રેખીય) સમીકરણના જવાબમાં આવી વાહિયાત જોવી બહુ સામાન્ય નથી , ખરેખર?

બીજું કંઈક વધુ મહત્વનું છે: અમે મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કર્યું છે! અને આ અલ્ગોરિધમ નીચેના પગલાંઓ સમાવે છે:

સમીકરણમાં દરેક મોડ્યુલસને શૂન્યમાં સમાન કરો. આપણને અનેક સમીકરણો મળે છે;
આ બધા સમીકરણો ઉકેલો અને સંખ્યા રેખા પરના મૂળને ચિહ્નિત કરો. પરિણામે, સીધી રેખાને કેટલાક અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે, જેમાંના દરેક મોડ્યુલો અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે;
દરેક અંતરાલ માટે મૂળ સમીકરણ ઉકેલો અને તમારા જવાબો ભેગા કરો.

બસ! ફક્ત એક જ પ્રશ્ન બાકી છે: પગલું 1 માં મેળવેલા મૂળનું શું કરવું? ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે બે મૂળ છે: $x=1$ અને $x=5$. તેઓ નંબર લાઇનને 3 ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરશે:

પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરવી

તો અંતરાલો શું છે? તે સ્પષ્ટ છે કે તેમાંના ત્રણ છે:

સૌથી ડાબે: $x \lt 1$ — એકમ પોતે અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ નથી;
કેન્દ્રીય: $1\le x \lt 5$ - અહીં અંતરાલમાં એકનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ પાંચનો સમાવેશ થતો નથી;
સૌથી જમણે: $x\ge 5$ - પાંચ ફક્ત અહીં શામેલ છે!

મને લાગે છે કે તમે પહેલાથી જ પેટર્નને સમજો છો. દરેક અંતરાલમાં ડાબા છેડાનો સમાવેશ થાય છે અને જમણી બાજુનો સમાવેશ થતો નથી.

પ્રથમ નજરમાં, આવી એન્ટ્રી અસુવિધાજનક, અતાર્કિક અને સામાન્ય રીતે અમુક પ્રકારની ઉન્મત્ત લાગે છે. પરંતુ મારા પર વિશ્વાસ કરો: થોડી પ્રેક્ટિસ પછી, તમે જોશો કે આ અભિગમ સૌથી વિશ્વસનીય છે અને સ્પષ્ટપણે મોડ્યુલો ખોલવામાં દખલ કરતું નથી. દર વખતે વિચારવા કરતાં આવી યોજનાનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે: વર્તમાન અંતરાલનો ડાબો/જમણો છેડો આપો અથવા તેને આગલા એકમાં "ફેંકો".