ઉકેલ. ચાલો આપણે ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ: A - "પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત છે", H i - "પસંદ કરેલ ભાગ i-th સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયો છે", i = 1, 2, 3 પૂર્વધારણા H 1, H 2, H 3 ફોર્મ સંપૂર્ણ જૂથનથી સંયુક્ત ઘટનાઓ. શરતે
P(H 1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H 3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H 2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

સૂત્ર મુજબ સંપૂર્ણ સંભાવના(1.11) ઘટના A ની સંભાવના બરાબર છે
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
રેન્ડમ પર પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.036 છે.

ધારો કે અગાઉના ઉદાહરણની શરતો હેઠળ, ઇવેન્ટ A પહેલેથી જ આવી છે: પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તે પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ બેયસના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.
અમે સંભાવનાઓનું વિશ્લેષણ માત્ર પ્રારંભિક, ઘટનાઓની સંભાવનાઓના પ્રાથમિક મૂલ્યો સાથે શરૂ કર્યું. પછી એક પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવ્યો (એક ભાગ પસંદ કરવામાં આવ્યો), અને અમને પ્રાપ્ત થયો વધારાની માહિતીઅમને રસ હોય તેવી ઘટના વિશે. આ નવી માહિતી સાથે, અમે અગાઉની સંભાવનાઓને સુધારી શકીએ છીએ. સમાન ઘટનાઓની સંભાવનાઓના નવા મૂલ્યો પહેલેથી જ પૂર્વધારણાઓ (ફિગ. 1.5) ની પોસ્ટરીઓરી (પ્રયોગ પછીની) સંભાવનાઓ હશે.

પૂર્વધારણા પુનઃમૂલ્યાંકન યોજના
ઘટના A ને માત્ર H 1 , H 2 , …, H n ( અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ) એક સાથે મળીને સાકાર થવા દો. અમે પૂર્વધારણાઓની પૂર્વ સંભાવનાઓને P(H i) તરીકે અને ઘટના A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n ની શરતી સંભાવનાઓ દર્શાવી છે. જો પ્રયોગ પહેલેથી જ હાથ ધરવામાં આવ્યો હોય અને તેના પરિણામે ઘટના A બની હોય, તો અનુમાનની પાછળની સંભાવનાઓ શરતી સંભાવનાઓ P(H i |A), i = 1, 2,…, n હશે. અગાઉના ઉદાહરણના સંકેતમાં, P(H 1 |A) એ સંભાવના છે કે પસંદ કરેલ ભાગ જે ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે તે પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયું હતું.
અમને H k |A ઘટનાની સંભાવનામાં રસ છે. ગુણાકારના સૂત્રો (1.5) અને (1.6) નો ઉપયોગ કરીને તેની સંભાવના બે રીતે શોધી શકાય છે:
P(AH k) = P(H k) P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

ચાલો આ સૂત્રોની જમણી બાજુઓ સમાન કરીએ
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

તેથી પૂર્વધારણા H k ની પાછળની સંભાવના બરાબર છે

છેદ ઘટના A ની કુલ સંભાવના ધરાવે છે. કુલ સંભવિતતા સૂત્ર (1.11) અનુસાર P(A) ને બદલે તેનું મૂલ્ય બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:
(1.12)
ફોર્મ્યુલા (1.12) કહેવાય છે બેઝ સૂત્ર અને તેનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓનું પુનઃ અંદાજ કરવા માટે થાય છે.
અગાઉના ઉદાહરણની શરતોમાં, અમે સંભવિતતા શોધીશું કે ખામીયુક્ત ભાગ પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયો હતો. ચાલો આપણે જાણીતી શરતોને એક કોષ્ટકમાં મૂકીએ પૂર્વ સંભાવનાઓઉકેલ પ્રક્રિયા દરમિયાન ગણતરી કરાયેલ P(H i) શરતી સંભાવનાઓ P(A|H i) ની પૂર્વધારણા સંયુક્ત સંભાવનાઓ P(AH i) = P(H i) P(A|H i) અને પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓ P(H k |A) સૂત્ર (1.12), i,k = 1, 2,…, n (કોષ્ટક 1.3) નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. .

કોષ્ટક 1.3 - પૂર્વધારણાઓનું પુનઃમૂલ્યાંકન

ઉદાહરણ નંબર 3. ત્યાં ત્રણ સરખા urns છે; પ્રથમ કલશમાં બે સફેદ અને એક કાળા દડા છે; બીજામાં - ત્રણ સફેદ અને એક કાળો; ત્રીજા ભાગમાં બે સફેદ અને બે કાળા બોલ છે. પ્રયોગ માટે, એક કલશ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલ સફેદ છે.
ઉકેલ.ત્રણ પૂર્વધારણાઓ ધ્યાનમાં લો: H 1 - પ્રથમ કલશ પસંદ થયેલ છે, H 2 - બીજો કલશ પસંદ થયેલ છે, H 3 - ત્રીજો કલશ પસંદ થયેલ છે અને ઘટના A - દોરવામાં આવી છે. સફેદ બોલ.
કારણ કે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર પૂર્વધારણાઓ સમાન રીતે શક્ય છે

આ પૂર્વધારણાઓ હેઠળ ઘટના A ની શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે:
કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

ઉદાહરણ નંબર 4. પિરામિડમાં 19 રાઇફલ્સ છે, જેમાંથી 3 ઓપ્ટિકલ સાઇટ્સ સાથે છે. શૂટર, ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલથી શૂટિંગ કરી શકે છે, તે 0.81 ની સંભાવના સાથે લક્ષ્યને હિટ કરી શકે છે, અને 0.46 ની સંભાવના સાથે ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલથી શૂટિંગ કરી શકે છે. શૂટર રેન્ડમ રાઇફલનો ઉપયોગ કરીને લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.અહીં પ્રથમ ટેસ્ટ અવ્યવસ્થિત રીતે રાઇફલ પસંદ કરી રહી છે, બીજો લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરવાનો છે. નીચેની ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લો: A - શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે; એચ 1 - શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ લેશે; એચ 2 - શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ લેશે. અમે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે

ઉદાહરણ નંબર 5. 2 સફેદ અને 3 કાળા દડા ધરાવતા કલશમાંથી, બે દડા રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને 1 સફેદ બોલ કલશમાં ઉમેરવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.અમે A. ઇવેન્ટ H 1 દ્વારા "એક સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે" ઘટનાને સૂચિત કરીએ છીએ - બે સફેદ દડા રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે; એચ 2 - બે કાળા બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવ્યા હતા; H 3 - એક સફેદ બોલ અને એક કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો. પછી પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ આગળ મૂકવામાં આવે છે

ઉદાહરણ નંબર 6. લક્ષ્ય પર બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. પ્રથમ શોટ પર હિટની સંભાવના 0.2 છે, બીજા પર - 0.6. એક હિટ સાથે લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના 0.3 છે, બે સાથે - 0.9. લક્ષ્યનો નાશ થશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. ઘટના A - લક્ષ્યનો નાશ થવા દો. આ કરવા માટે, તે બેમાંથી એક શોટથી મારવા અથવા ગુમ થયા વિના સળંગ બે શોટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવા માટે પૂરતું છે. ચાલો પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકીએ: H 1 - બંને શોટ લક્ષ્યને ફટકારે છે. પછી P(H 1) = 0.2 · 0.6 = 0;12. H 2 - કાં તો પ્રથમ વખત અથવા બીજી વખત ચૂકી ગઈ હતી. પછી P(H 2) = 0.2 · 0.4 + 0.8 · 0.6 = 0.56. પૂર્વધારણા H 3 - બંને શોટ ચૂકી ગયા હતા - ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી, કારણ કે લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના શૂન્ય છે. પછી શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે: લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના, જો બંને સફળ શોટ કરવામાં આવે તો, P(A|H 1) = 0.9 છે, અને લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના, જો માત્ર એક સફળ શોટ P(A|H) હોય 2) = 0.3. પછી કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર લક્ષ્યના વિનાશની સંભાવના સમાન છે.

વ્યવહારમાં, સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી ઘટનાઓમાંની એક સાથે રુચિની ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવી જરૂરી છે. નીચેના પ્રમેય, જે સંભવિતતાના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેયનું પરિણામ છે, તે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રઆવી ઘટનાઓની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે. આ સૂત્રને કુલ સંભાવના સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

દો એચ 1 , એચ 2 , … , એચ n છે nજોડી પ્રમાણે અસંગતસંપૂર્ણ જૂથ બનાવતી ઘટનાઓ:

1) બધી ઘટનાઓ જોડી પ્રમાણે અસંગત છે: H i ∩ હજ= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) તેમનું સંયોજન જગ્યા બનાવે છે પ્રાથમિક પરિણામોડબલ્યુ:

આવી ઘટનાઓ ક્યારેક કહેવાય છે પૂર્વધારણાઓઘટના બનવા દો એ, જે ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જો કોઈ એક ઘટના બને એચહું( i = 1, 2, … , n). પછી પ્રમેય સાચો છે.

કાર્યનું લક્ષ્ય:કુલ સંભાવના સૂત્ર અને બેયસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કુશળતા વિકસાવો.

કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા

ઘટનાની સંભાવના એ, જે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક થાય તો જ થઈ શકે છે B x, B 2,..., B p,એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવવું એ ઘટના A ની અનુરૂપ શરતી સંભાવના દ્વારા આ દરેક ઘટનાઓની સંભાવનાના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે:

આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે કુલ સંભાવના સૂત્ર.

પૂર્વધારણાઓની સંભાવના. બેઝ સૂત્ર

ઘટના દો એઅસંગત ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાને આધીન થઈ શકે છે V b 2,..., V p,એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવવું. આમાંથી કઈ ઘટનાઓ બનશે તે અગાઉથી જાણી શકાતું ન હોવાથી, તેને પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. ઘટના બનવાની સંભાવના એકુલ સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત:

ચાલો ધારીએ કે એક પરીક્ષણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જેના પરિણામે એક ઘટના બની હતી એ. તે કેવી રીતે બદલાય છે તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે (તે ઘટનાને કારણે એપહેલેથી જ આવી ગયું છે) પૂર્વધારણાઓની સંભાવના. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાઓની શરતી સંભાવનાઓ જોવા મળે છે

આ સૂત્રમાં, અનુક્રમણિકા / = 1.2

આ સૂત્રને બેયસનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે (અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે જેમણે તે મેળવ્યું હતું; 1764 માં પ્રકાશિત). બેયસનું સૂત્ર અમને પૂર્વધારણાઓ બન્યા પછી તેની સંભાવનાઓને ફરીથી આંકવાની મંજૂરી આપે છે જાણીતું પરિણામપરીક્ષણ જે ઘટનામાં પરિણમ્યું એ.

કાર્ય 1.ફેક્ટરી ચોક્કસ પ્રકારના ભાગનું ઉત્પાદન કરે છે, દરેક ભાગમાં 0.05 ની સંભાવના સાથે ખામી હોય છે. ભાગનું નિરીક્ષણ એક નિરીક્ષક દ્વારા કરવામાં આવે છે; તે 0.97 ની સંભાવના સાથે ખામીને શોધી કાઢે છે, અને જો કોઈ ખામી શોધી શકાતી નથી, તો તે ભાગમાંથી પસાર થાય છે તૈયાર ઉત્પાદનો. વધુમાં, નિરીક્ષક ભૂલથી એવા ભાગને નકારી શકે છે જેમાં ખામી નથી; આની સંભાવના 0.01 છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો: A - ભાગ નકારવામાં આવશે; બી - ભાગ નકારવામાં આવશે, પરંતુ ખોટી રીતે; સી - ભાગ ખામી સાથે તૈયાર ઉત્પાદનમાં પસાર કરવામાં આવશે.

ઉકેલ

ચાલો પૂર્વધારણાઓને સૂચિત કરીએ:

એન= (એક પ્રમાણભૂત ભાગ નિરીક્ષણ માટે મોકલવામાં આવશે);

એન=(નિરીક્ષણ માટે બિન-માનક ભાગ મોકલવામાં આવશે).

ઘટના A =(ભાગ નકારવામાં આવશે).

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી આપણે સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ

એક ભાગ ખોટી રીતે નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના છે

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે એક ભાગ ખામી સાથે સમાપ્ત ઉત્પાદનમાં સમાવવામાં આવશે:

જવાબ:

કાર્ય 2.ત્રણ કોમોડિટી નિષ્ણાતોમાંથી એક દ્વારા ઉત્પાદન પ્રમાણભૂતતા માટે તપાસવામાં આવે છે. ઉત્પાદન પ્રથમ વેપારી સુધી પહોંચે તેવી સંભાવના 0.25, બીજી - 0.26 અને ત્રીજી - 0.49 છે. પ્રથમ વેપારી દ્વારા ઉત્પાદનને પ્રમાણભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવે તેવી સંભાવના 0.95 છે, બીજા દ્વારા - 0.98, અને ત્રીજા દ્વારા - 0.97. બીજા નિરીક્ષક દ્વારા પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનની તપાસ કરવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

એલ. =(ઉત્પાદન ચકાસણી માટે/મા વેપારી પાસે જશે); / = 1, 2, 3;

B =(ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત ગણવામાં આવશે).

સમસ્યાની શરતો અનુસાર, સંભાવનાઓ જાણીતી છે:

શરતી સંભાવનાઓ પણ જાણીતી છે

Bayes ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંભાવના શોધીએ છીએ કે પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન બીજા નિરીક્ષક દ્વારા તપાસવામાં આવે છે:

જવાબ:“0.263.

કાર્ય 3. બે મશીનો એવા ભાગો બનાવે છે જે સામાન્ય કન્વેયર પર જાય છે. પ્રથમ મશીન પર બિન-માનક ભાગ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના 0.06 છે, અને બીજા પર - 0.09. બીજા મશીનની ઉત્પાદકતા પ્રથમ કરતા બમણી છે. એસેમ્બલી લાઇનમાંથી બિન-માનક ભાગ લેવામાં આવ્યો હતો. સંભાવના શોધો કે આ ભાગ બીજા મશીન દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો.

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

એ. =(કન્વેયરમાંથી લેવામાં આવેલ ભાગ /મી મશીન દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો); / = 1.2;

IN= (લેવામાં આવેલ ભાગ બિન-માનક હશે).

શરતી સંભાવનાઓ પણ જાણીતી છે

કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

બેયસ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંભવિતતા શોધીએ છીએ કે પસંદ કરેલ બિન-માનક ભાગ બીજા મશીન દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો:

જવાબ: 0,75.

કાર્ય 4.અમે બે એકમો ધરાવતા ઉપકરણનું પરીક્ષણ કરી રહ્યા છીએ, જેની વિશ્વસનીયતા અનુક્રમે 0.8 અને 0.9 છે. ગાંઠો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નિષ્ફળ જાય છે. ઉપકરણ નિષ્ફળ થયું. આને ધ્યાનમાં લેતા, પૂર્વધારણાઓની સંભાવના શોધો:

• a) માત્ર પ્રથમ નોડ ખામીયુક્ત છે;
• b) માત્ર બીજો નોડ ખામીયુક્ત છે;
• c) બંને ગાંઠો ખામીયુક્ત છે.

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

ડી = (7 મી નોડ નિષ્ફળ જશે નહીં); i = 1,2;

ડી - અનુરૂપ વિપરીત ઘટનાઓ;

એ= (પરીક્ષણ દરમિયાન ઉપકરણની નિષ્ફળતા હશે).

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: P(D) = 0.8; આર(એલ 2) = 0,9.

વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓની મિલકત દ્વારા

ઘટના એઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન આશ્રિત ઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરા અને સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ, અમને મળે છે

હવે આપણે પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

જવાબ:

કાર્ય 5.ફેક્ટરીમાં, બોલ્ટ ત્રણ મશીનો પર બનાવવામાં આવે છે, જે અનુક્રમે બોલ્ટની કુલ સંખ્યાના 25%, 30% અને 45% ઉત્પાદન કરે છે. મશીન ટૂલ ઉત્પાદનોમાં, ખામીઓ અનુક્રમે 4%, 3% અને 2% છે. ઇનકમિંગ પ્રોડક્ટમાંથી રેન્ડમલી લેવામાં આવેલ બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

4 = (રેન્ડમ લેવામાં આવેલ બોલ્ટ i-th મશીન પર બનાવવામાં આવ્યો હતો); i = 1, 2, 3;

IN= (રેન્ડમ લેવામાં આવેલ બોલ્ટ ખામીયુક્ત હશે).

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી, શાસ્ત્રીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

ઉપરાંત, શાસ્ત્રીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે શરતી સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

જવાબ: 0,028.

કાર્ય 6.ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ 0.25 ની સંભાવનાઓ સાથે ત્રણમાંથી એક પક્ષનું છે; 0.5 અને 0.25. સર્કિટ દરેક બેચ માટે વોરંટી સેવા જીવનની બહાર કામ કરશે તેવી સંભાવના 0.1 છે; 0.2 અને 0.4. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ સર્કિટ તેની વોરંટી અવધિની બહાર કામ કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

4 = (રેન્ડમલી આકૃતિ પરથી લેવામાં આવેલ છે મી પક્ષ); i = 1, 2, 3;

IN= (એક અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ સર્કિટ વોરંટી અવધિની બહાર કામ કરશે).

સમસ્યાની શરતો અનુસાર, પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી છે:

શરતી સંભાવનાઓ પણ જાણીતી છે:

કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

જવાબ: 0,225.

કાર્ય 7.ઉપકરણમાં બે બ્લોક્સ છે, જેમાંથી દરેકની સેવાક્ષમતા ઉપકરણના સંચાલન માટે જરૂરી છે. આ બ્લોક્સ માટે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.99 અને 0.97 છે. ઉપકરણ નિષ્ફળ થયું છે. સંભાવના નક્કી કરો કે બંને એકમો નિષ્ફળ ગયા.

ઉકેલ

ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

ડી = ( z-બ્લોકનિષ્ફળ જશે); i = 1,2;

એ= (ઉપકરણ નિષ્ફળ જશે).

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી, વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓની મિલકત અનુસાર, અમે મેળવીએ છીએ: DD) = 1-0.99 = 0.01; ડીડી) = 1-0.97 = 0.03.

ઘટના એત્યારે જ થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક ઘટના D અથવા A 2.તેથી આ ઘટના ઘટનાઓના સરવાળા જેટલી છે એ= ડી + એ 2 .

સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરાના પ્રમેય દ્વારા આપણે મેળવીએ છીએ

Bayes ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંભાવના શોધીએ છીએ કે ઉપકરણ બંને એકમોની નિષ્ફળતાને કારણે નિષ્ફળ ગયું છે.

જવાબ:

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ કાર્ય 1.ટેલિવિઝન સ્ટુડિયોના વેરહાઉસમાં પ્લાન્ટ નંબર 1 દ્વારા ઉત્પાદિત 70% પિક્ચર ટ્યુબ છે; બાકીની પિક્ચર ટ્યુબનું ઉત્પાદન પ્લાન્ટ નંબર 2 દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. વોરંટી સર્વિસ લાઇફ દરમિયાન પિક્ચર ટ્યુબ નિષ્ફળ ન જાય તેવી સંભાવના ફેક્ટરી નંબર 1 ની પિક્ચર ટ્યુબ માટે 0.8 અને ફેક્ટરી નંબર 2 ની પિક્ચર ટ્યુબ માટે 0.7 છે. પિક્ચર ટ્યુબ વોરંટી સેવા જીવન બચી ગયું. તે પ્લાન્ટ નંબર 2 દ્વારા ઉત્પાદિત કરવામાં આવી હોવાની સંભાવના શોધો.

કાર્ય 2.ભાગો ત્રણ મશીનોમાંથી એસેમ્બલી માટે પ્રાપ્ત થાય છે. તે જાણીતું છે કે 1 લી મશીન 0.3% ખામી આપે છે, 2જી - 0.2%, 3જી - 0.4%. જો 1લી મશીનમાંથી 1000 ભાગો, 2જીમાંથી 2000 અને 3જી મશીનમાંથી 2500 પાર્ટ મળ્યા હોય તો એસેમ્બલી માટે ખામીયુક્ત ભાગ મેળવવાની સંભાવના શોધો.

કાર્ય 3.બે મશીનો સમાન ભાગોનું ઉત્પાદન કરે છે. પ્રથમ મશીન પર ઉત્પાદિત ભાગ પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના 0.8 છે, અને બીજા પર - 0.9. બીજા મશીનની ઉત્પાદકતા પ્રથમની ઉત્પાદકતા કરતાં ત્રણ ગણી વધારે છે. બંને મશીનોમાંથી ભાગો મેળવતા કન્વેયરમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ભાગ પ્રમાણભૂત હશે તેની સંભાવના શોધો.

કાર્ય 4.કંપનીના વડાએ ત્રણમાંથી બે પરિવહન કંપનીઓની સેવાઓનો ઉપયોગ કરવાનું નક્કી કર્યું. પ્રથમ, બીજી અને ત્રીજી પેઢીઓ માટે કાર્ગોની અકાળે ડિલિવરીની સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.05 જેટલી છે; 0.1 અને 0.07. કાર્ગો પરિવહનની સલામતી પરના ડેટા સાથે આ ડેટાની તુલના કર્યા પછી, મેનેજર નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે પસંદગી સમકક્ષ હતી અને તેને લોટ દ્વારા બનાવવાનું નક્કી કર્યું. મોકલેલ કાર્ગો સમયસર પહોંચાડવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.

કાર્ય 5.ઉપકરણમાં બે બ્લોક્સ છે, જેમાંથી દરેકની સેવાક્ષમતા ઉપકરણના સંચાલન માટે જરૂરી છે. આ બ્લોક્સ માટે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.99 અને 0.97 છે. ઉપકરણ નિષ્ફળ થયું છે. બીજું એકમ નિષ્ફળ ગયું હોવાની સંભાવના નક્કી કરો.

કાર્ય 6. એસેમ્બલી શોપ ત્રણ મશીનોમાંથી ભાગો મેળવે છે. પ્રથમ મશીન 3% ખામી આપે છે, બીજું - 1% અને ત્રીજું - 2%. જો દરેક મશીનમાંથી અનુક્રમે 500, 200, 300 ભાગો પ્રાપ્ત થયા હોય તો એસેમ્બલીમાં બિન-ખામીયુક્ત ભાગ દાખલ થવાની સંભાવના નક્કી કરો.

કાર્ય 7.વેરહાઉસ ત્રણ કંપનીઓ પાસેથી ઉત્પાદનો મેળવે છે. તદુપરાંત, પ્રથમ કંપનીનું ઉત્પાદન 20% છે, બીજી - 46% અને ત્રીજી - 34%. તે પણ જાણીતું છે કે પ્રથમ કંપની માટે બિન-માનક ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 5% છે, બીજી માટે - 2% અને ત્રીજા માટે - 1%. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમ પર પસંદ કરેલ ઉત્પાદન બીજી કંપની દ્વારા બનાવવામાં આવે છે જો તે પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવે છે.

કાર્ય 8.ખામીને કારણે ફેક્ટરી ઉત્પાદનોમાં ખામી એ 5% છે, અને તેના આધારે નકારવામાં આવેલા લોકોમાં એઉત્પાદનો 10% કિસ્સાઓમાં ખામીયુક્ત છે આર.અને ખામીઓથી મુક્ત ઉત્પાદનોમાં એ, ખામી આર 1% કિસ્સાઓમાં થાય છે. ખામીનો સામનો કરવાની સંભાવના શોધો આરબધા ઉત્પાદનોમાં.

કાર્ય 9.કંપની પાસે 10 નવી કાર અને 5 જૂની કાર છે જે અગાઉ સમારકામ હેઠળ હતી. નવી કાર માટે યોગ્ય કામગીરીની સંભાવના 0.94 છે, જૂની કાર માટે - 0.91. રેન્ડમલી પસંદ કરેલી કાર યોગ્ય રીતે કામ કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

સમસ્યા 10.બે સેન્સર સામાન્ય કોમ્યુનિકેશન ચેનલમાં સિગ્નલ મોકલે છે, જેમાં પ્રથમ સેન્સર બીજા કરતા બમણા સિગ્નલ મોકલે છે. પ્રથમ સેન્સરથી વિકૃત સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના 0.01 છે, બીજાથી - 0.03. માં વિકૃત સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના કેટલી છે સામાન્ય ચેનલજોડાણો?

સમસ્યા 11.ઉત્પાદનોની પાંચ બેચ છે: 8 ટુકડાઓની ત્રણ બેચ, જેમાંથી 6 પ્રમાણભૂત અને 2 બિન-માનક છે, અને 10 ટુકડાઓની બે બેચ છે, જેમાંથી 7 પ્રમાણભૂત છે અને 3 બિન-માનક છે. બેચમાંથી એક રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે, અને આ બેચમાંથી એક ભાગ લેવામાં આવે છે. લેવાયેલ ભાગ પ્રમાણભૂત હશે તેની સંભાવના નક્કી કરો.

સમસ્યા 12.એસેમ્બલર સરેરાશ 50% ભાગો પ્રથમ છોડમાંથી, 30% બીજા છોડમાંથી અને 20% ત્રીજા છોડમાંથી મેળવે છે. પ્રથમ છોડનો એક ભાગ ઉત્તમ ગુણવત્તાનો હોવાની સંભાવના 0.7 છે; બીજા અને ત્રીજા ફેક્ટરીઓના ભાગો માટે, અનુક્રમે 0.8 અને 0.9. અવ્યવસ્થિત રીતે લેવાયેલ ભાગ ઉત્તમ ગુણવત્તાનો હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંભાવના શોધો કે ભાગ પ્રથમ પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પાદિત કરવામાં આવ્યો હતો.

સમસ્યા 13.વાહનોની કસ્ટમ્સ તપાસ બે નિરીક્ષકો દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે. સરેરાશ, 100 કારમાંથી, 45 પ્રથમ ઇન્સ્પેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે. સંભાવના છે કે નિરીક્ષણ દરમિયાન કાર અનુરૂપ કસ્ટમ નિયમો, અટકાયતમાં લેવામાં આવશે નહીં, પ્રથમ નિરીક્ષક માટે 0.95 અને બીજા માટે 0.85 છે. એવી સંભાવના શોધો કે જે કાર કસ્ટમ નિયમોનું પાલન કરે છે તેને અટકાયતમાં લેવામાં આવશે નહીં.

સમસ્યા 14.ઉપકરણને એસેમ્બલ કરવા માટે જરૂરી ભાગો બે મશીનોમાંથી આવે છે જેનું પ્રદર્શન સમાન છે. એસેમ્બલી માટે પ્રમાણભૂત ભાગ મેળવવાની સંભાવનાની ગણતરી કરો જો મશીનોમાંથી એક પ્રમાણભૂતનું સરેરાશ 3% ઉલ્લંઘન આપે છે, અને બીજું - 2%.

સમસ્યા 15.વેઇટલિફ્ટિંગ કોચે ગણતરી કરી હતી કે આપેલ વેઇટ કેટેગરીમાં ટીમ પોઈન્ટ મેળવવા માટે, એથ્લેટે 200 કિગ્રાનો બાર્બેલ દબાવવો જોઈએ. ઇવાનોવ, પેટ્રોવ અને સિદોરોવ ટીમમાં સ્થાન મેળવવા માટે દોડી રહ્યા છે. તાલીમ દરમિયાન, ઇવાનોવે 7 કેસોમાં આ પ્રકારનું વજન ઉપાડવાનો પ્રયાસ કર્યો, અને તેમાંથી 3 માં તેને ઉપાડ્યો. પેટ્રોવ 13 માંથી 6 કેસમાં ઉપાડી ગયો અને સિદોરોવને સફળતાપૂર્વક બાર્બલ ઉપાડવાની 35% તક છે. કોચ રેન્ડમલી ટીમ માટે એક એથ્લેટ પસંદ કરે છે.

• a) પસંદ કરેલ રમતવીર ટીમને સ્કોરિંગ પોઈન્ટ લાવશે તેવી સંભાવના શોધો.
• b) ટીમને કોઈ સ્કોરિંગ પોઈન્ટ મળ્યા નથી. સિદોરોવ દ્વારા કરવામાં આવતી સંભાવના શોધો.

સમસ્યા 16.સફેદ બોક્સમાં 12 લાલ અને 6 વાદળી બોલ છે. કાળામાં 15 લાલ અને 10 વાદળી દડા છે. ડાઇસ ફેંકવું. જો પોઈન્ટની સંખ્યા 3 નો ગુણાંક હોય, તો સફેદ બોક્સમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. જો કોઈપણ અન્ય પોઈન્ટ્સ રોલ કરવામાં આવે છે, તો બ્લેક બોક્સમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. લાલ બોલ દેખાવાની સંભાવના કેટલી છે?

સમસ્યા 17.બે બોક્સમાં રેડિયો ટ્યુબ હોય છે. પ્રથમ બૉક્સમાં 12 લેમ્પ્સ છે, જેમાંથી 1 બિન-માનક છે; બીજામાં 10 લેમ્પ છે, જેમાંથી 1 બિન-માનક છે. પ્રથમ બોક્સમાંથી એક દીવો રેન્ડમ લેવામાં આવે છે અને બીજામાં મૂકવામાં આવે છે. બીજા બૉક્સમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દૂર કરાયેલ લેમ્પ બિન-માનક હશે તેવી સંભાવના શોધો.

સમસ્યા 18.એક સફેદ બોલને બે દડા ધરાવતા કલરમાં નાખવામાં આવે છે, ત્યારબાદ એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. જો દડાની પ્રારંભિક રચના (રંગના આધારે) વિશેની તમામ સંભવિત ધારણાઓ સમાન રીતે શક્ય હોય તો બહાર કાઢેલો બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો.

સમસ્યા 19.પ્રમાણભૂત ભાગને 3 સમાન ભાગો ધરાવતા બૉક્સમાં ફેંકવામાં આવે છે, અને પછી એક ભાગ રેન્ડમ દૂર કરવામાં આવે છે. જો બૉક્સમાં મૂળ રૂપે પ્રમાણભૂત ભાગોની સંખ્યા વિશે તમામ સંભવિત અનુમાન સમાન હોય તો પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.

સમસ્યા 20.રેડિયો સંચારની ગુણવત્તા સુધારવા માટે, બે રેડિયો રીસીવરોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરનાર દરેક રીસીવરની સંભાવના 0.8 છે, અને આ ઘટનાઓ (રીસીવર દ્વારા સિગ્નલ રીસેપ્શન) સ્વતંત્ર છે. જો દરેક રીસીવર માટે રેડિયો સંચાર સત્ર દરમિયાન નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના 0.9 હોય તો સિગ્નલ રિસેપ્શનની સંભાવના નક્કી કરો.

કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા અને બેઝ ફોર્મ્યુલા

ચાલુ આ પાઠઅમે વિચારણા કરીશું મહત્વપૂર્ણ પરિણામ સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેયઅને હલ કરવાનું શીખો લાક્ષણિક કાર્યોઆ વિષય પર. જે વાચકો વિશે લેખ વાંચ્યો છે આશ્રિત ઘટનાઓ, તે સરળ હશે, કારણ કે તેમાં આપણે વાસ્તવમાં કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કરી દીધું છે. જો તમે સર્ચ એન્જિનમાંથી આવ્યા છો અને/અથવા સમજી શકતા નથી સંભાવના સિદ્ધાંત (કોર્સના 1લા પાઠની લિંક), પછી હું પહેલા આ પૃષ્ઠોની મુલાકાત લેવાની ભલામણ કરું છું.

ખરેખર, ચાલો ચાલુ રાખીએ. ચાલો વિચાર કરીએ આશ્રિત ઘટના, જે ફક્ત અસંગતમાંથી એકના અમલીકરણના પરિણામે થઈ શકે છે પૂર્વધારણાઓ , જે ફોર્મ સંપૂર્ણ જૂથ. તેમની સંભાવનાઓ અને અનુરૂપ શરતી સંભાવનાઓને જાણવા દો. પછી ઘટના બનવાની સંભાવના છે:

આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે કુલ સંભાવના સૂત્રો. પાઠ્યપુસ્તકોમાં તે પ્રમેય તરીકે ઘડવામાં આવે છે, જેનો પુરાવો પ્રાથમિક છે: અનુસાર ઘટનાઓનું બીજગણિત, (એક ઘટના બની અને અથવાએક ઘટના બની અનેતે પછી એક ઘટના આવી અથવાએક ઘટના બની અનેતે પછી એક ઘટના આવી અથવા …. અથવાએક ઘટના બની અનેતે એક ઘટના આવી તે પછી). પૂર્વધારણાઓ થી અસંગત છે, અને ઘટના નિર્ભર છે, પછી અનુસાર અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરાનું પ્રમેય (પ્રથમ પગલું)અને આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારનું પ્રમેય (બીજું પગલું):

ઘણા લોકો કદાચ પ્રથમ ઉદાહરણની સામગ્રીની અપેક્ષા રાખે છે =)

જ્યાં તમે થૂંકશો ત્યાં એક કલશ છે:

સમસ્યા 1

ત્યાં ત્રણ સરખા ભંડાર છે. પ્રથમ કલશમાં 4 સફેદ અને 7 કાળા દડા હોય છે, બીજામાં માત્ર સફેદ દડા હોય છે અને ત્રીજામાં માત્ર કાળા દડા હોય છે. એક કલશ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ રેન્ડમ રીતે દોરવામાં આવે છે. આ બોલ કાળો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ: ઘટનાને ધ્યાનમાં લો - અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવશે. આ ઘટનાનીચેનામાંથી એક પૂર્વધારણાના પરિણામે થઈ શકે છે:
- 1 લી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે;
- 2જી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે;
- 3જી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે.

કલશ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યો હોવાથી, ત્રણમાંથી કોઈપણ કલશની પસંદગી સમાન રીતે શક્ય, તેથી:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ઉપરોક્ત પૂર્વધારણાઓ રચાય છે ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ, એટલે કે, શરત મુજબ, કાળો બોલ ફક્ત આ ભઠ્ઠીઓમાંથી દેખાઈ શકે છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, બિલિયર્ડ ટેબલમાંથી આવી શકતો નથી. ચાલો એક સરળ મધ્યવર્તી તપાસ કરીએ:
, ઠીક છે, ચાલો આગળ વધીએ:

પ્રથમ કલશમાં 4 સફેદ + 7 કાળો = 11 બોલ છે, દરેક શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા:
- કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના કે જે આપેલ, કે 1 લી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે.

બીજા કલશમાં માત્ર સફેદ દડા હોય છે, તેથી જો પસંદ કરેલ હોયકાળા બોલનો દેખાવ બની જાય છે અશક્ય: .

અને અંતે, ત્રીજા કલશમાં ફક્ત કાળા દડા હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે અનુરૂપ શરતી સંભાવનાકાળા બોલ કાઢવામાં આવશે (ઘટના વિશ્વસનીય છે).

- અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો:

વિશ્લેષિત ઉદાહરણ ફરીથી સૂચવે છે કે શરતની તપાસ કરવી કેટલું મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો ભઠ્ઠીઓ અને દડાઓ સાથે સમાન સમસ્યાઓ લઈએ - તેમની બાહ્ય સમાનતા હોવા છતાં, ઉકેલની પદ્ધતિઓ સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે: ક્યાંક તમારે ફક્ત ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા, ક્યાંક ઘટનાઓ સ્વતંત્ર, ક્યાંક આશ્રિત, અને ક્યાંક આપણે પૂર્વધારણાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. તે જ સમયે, ઉકેલ પસંદ કરવા માટે કોઈ સ્પષ્ટ ઔપચારિક માપદંડ નથી - તમારે લગભગ હંમેશા તેના વિશે વિચારવાની જરૂર છે. તમારી કુશળતા કેવી રીતે સુધારવી? અમે નક્કી કરીએ છીએ, અમે નક્કી કરીએ છીએ અને અમે ફરીથી નક્કી કરીએ છીએ!

સમસ્યા 2

શૂટિંગ રેન્જમાં વિવિધ ચોકસાઈની 5 રાઈફલ્સ છે. આપેલ શૂટર માટે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે અને 0.4. જો શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી રાઇફલમાંથી એક ગોળી ચલાવે તો લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના કેટલી છે?

પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ અને જવાબ.

બહુમતીમાં વિષયોનું કાર્યોપૂર્વધારણાઓ, અલબત્ત, સમાન રીતે સંભવિત નથી:

સમસ્યા 3

પિરામિડમાં 5 રાઇફલ્સ છે, જેમાંથી ત્રણ ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિથી સજ્જ છે. ટેલિસ્કોપિક દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ ફાયરિંગ કરતી વખતે શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના 0.95 છે; ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિનાની રાઇફલ માટે, આ સંભાવના 0.7 છે. જો શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલી રાઇફલમાંથી એક ગોળી ચલાવે તો લક્ષ્યને ફટકો પડશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: આ સમસ્યામાં રાઇફલ્સની સંખ્યા અગાઉના એક જેવી જ છે, પરંતુ ત્યાં ફક્ત બે પૂર્વધારણાઓ છે:
- શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ પસંદ કરશે;
- શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ પસંદ કરશે.
દ્વારા સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા: .
નિયંત્રણ:

ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - શૂટર રેન્ડમ લેવામાં આવેલી રાઇફલ વડે લક્ષ્યને હિટ કરે છે.
શરત દ્વારા: .

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ આપો: 0,85

વ્યવહારમાં, કાર્યને ફોર્મેટ કરવાની ટૂંકી રીત, જેનાથી તમે પણ પરિચિત છો, તે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે:

ઉકેલ: દ્વારા શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા: - અનુક્રમે ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે અને ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ પસંદ કરવાની સંભાવના.

શરતે, - અનુરૂપ પ્રકારની રાઇફલ્સથી લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી રાઇફલ વડે લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો: 0,85

નીચે આપેલ કાર્ય તમારા પોતાના પર હલ કરવાનું છે:

સમસ્યા 4

એન્જિન ત્રણ મોડમાં કાર્ય કરે છે: સામાન્ય, ફરજિયાત અને નિષ્ક્રિય. નિષ્ક્રિય સ્થિતિમાં, તેની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.05 છે, સામાન્ય ઓપરેશન મોડમાં - 0.1, અને ફરજિયાત મોડમાં - 0.7. 70% સમય એન્જિન સામાન્ય મોડમાં અને 20% ફરજિયાત મોડમાં ચાલે છે. ઓપરેશન દરમિયાન એન્જિનની નિષ્ફળતાની સંભાવના શું છે?

માત્ર કિસ્સામાં, હું તમને યાદ કરાવું કે સંભાવના મૂલ્યો મેળવવા માટે, ટકાવારીને 100 વડે વિભાજીત કરવી આવશ્યક છે. ખૂબ કાળજી રાખો! મારા અવલોકનો અનુસાર, લોકો ઘણી વખત કુલ સંભાવના સૂત્રને સંડોવતા સમસ્યાઓની પરિસ્થિતિઓને ગૂંચવવાનો પ્રયાસ કરે છે; અને મેં ખાસ આ ઉદાહરણ પસંદ કર્યું. હું તમને એક રહસ્ય કહીશ - હું લગભગ મારી જાતને મૂંઝવણમાં મૂક્યો છું =)

પાઠના અંતે ઉકેલ (ટૂંકમાં ફોર્મેટ કરેલ)

બેયસના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતી સમસ્યાઓ

સામગ્રી અગાઉના ફકરાની સામગ્રી સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. એક પૂર્વધારણાના અમલીકરણના પરિણામે ઘટના બનવા દો . કોઈ ચોક્કસ પૂર્વધારણા આવી હોવાની સંભાવના કેવી રીતે નક્કી કરવી?

કે જે આપેલતે ઘટના થઈ ચૂક્યું છે, પૂર્વધારણા સંભાવનાઓ ઓવરરેટેડઅંગ્રેજી પાદરી થોમસ બેયસનું નામ પ્રાપ્ત કરેલા સૂત્રો અનુસાર:

- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના;
- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના;
…
- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના.

પ્રથમ નજરમાં તે સંપૂર્ણપણે વાહિયાત લાગે છે - જો પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ પહેલાથી જ જાણીતી હોય તો શા માટે ફરીથી ગણતરી કરવી? પરંતુ હકીકતમાં એક તફાવત છે:

આ પ્રાથમિકતા(અંદાજિત પહેલાંપરીક્ષણો) સંભાવના.

આ પશ્ચાદવર્તી(અંદાજિત પછીપરીક્ષણો) સમાન પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ, "નવા શોધાયેલા સંજોગો" ના સંબંધમાં પુનઃગણતરી - ઘટના એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા ચોક્કસપણે થયું.

ચાલો આ તફાવતને ચોક્કસ ઉદાહરણ સાથે જોઈએ:

સમસ્યા 5

ઉત્પાદનોના 2 બેચ વેરહાઉસ પર પહોંચ્યા: પ્રથમ - 4000 ટુકડાઓ, બીજા - 6000 ટુકડાઓ. પ્રથમ બેચમાં બિન-માનક ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 20% છે, અને બીજામાં - 10%. રેન્ડમ પર વેરહાઉસમાંથી લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંભવિતતા શોધો કે તે છે: a) પ્રથમ બેચમાંથી, b) બીજા બેચમાંથી.

પ્રથમ ભાગ ઉકેલોકુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણતરીઓ એવી ધારણા હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે કે પરીક્ષણ હજુ સુધી ઉત્પાદન કર્યું નથીઅને ઘટના "ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યું"હજી નહિં.

ચાલો બે પૂર્વધારણાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:
- રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન 1લી બેચમાંથી હશે;
- રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન 2જી બેચમાંથી હશે.

કુલ: 4000 + 6000 = 10000 વસ્તુઓ સ્ટોકમાં છે. શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર:
.

નિયંત્રણ:

ચાલો આશ્રિત ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ: - વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હશે.

પ્રથમ બેચમાં 100% - 20% = 80% પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો, તેથી: કે જે આપેલકે તે 1લી પાર્ટીનો છે.

એ જ રીતે, બીજા બેચમાં 100% - 10% = 90% પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો અને - વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના કે જે આપેલકે તે 2જી પાર્ટીનો છે.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના.

બીજો ભાગ. વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદનને પ્રમાણભૂત બનવા દો. આ વાક્ય શરતમાં સીધું જ જણાવવામાં આવ્યું છે, અને તે હકીકત જણાવે છે કે ઘટના થયું.

બેયસ સૂત્રો અનુસાર:

a) - પસંદ કરેલ પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન 1લી બેચની છે તેવી સંભાવના;

b) - પસંદ કરેલ પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન 2જી બેચની છે તેવી સંભાવના.

પછી પુનઃમૂલ્યાંકનપૂર્વધારણાઓ, અલબત્ત, હજુ પણ રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથ:
(પરીક્ષા;-))

જવાબ આપો:

ઇવાન વાસિલીવિચ, જેમણે ફરીથી પોતાનો વ્યવસાય બદલ્યો અને પ્લાન્ટના ડિરેક્ટર બન્યા, અમને પૂર્વધારણાઓના પુનર્મૂલ્યાંકનના અર્થને સમજવામાં મદદ કરશે. તે જાણે છે કે આજે 1લી વર્કશોપમાં 4,000 ઉત્પાદનો વેરહાઉસમાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, અને 2જી વર્કશોપ - 6,000 ઉત્પાદનો, અને તેની ખાતરી કરવા આવે છે. ચાલો માની લઈએ કે બધી પ્રોડક્ટ્સ એક જ પ્રકારની છે અને એક જ કન્ટેનરમાં છે. સ્વાભાવિક રીતે, ઇવાન વાસિલીવિચે પ્રારંભિક રીતે ગણતરી કરી હતી કે તે હવે જે ઉત્પાદનને નિરીક્ષણ માટે દૂર કરશે તે સંભવતઃ 1 લી વર્કશોપ દ્વારા બનાવવામાં આવશે અને મોટે ભાગે બીજા દ્વારા બનાવવામાં આવશે. પરંતુ પસંદ કરેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યા પછી, તે બૂમ પાડે છે: “કેવો સરસ બોલ્ટ! "તે 2જી વર્કશોપ દ્વારા બહાર પાડવામાં આવ્યું હતું." આમ, બીજી પૂર્વધારણાની સંભાવના વધુ પડતી અંદાજવામાં આવે છે સારી બાજુ, અને પ્રથમ પૂર્વધારણાની સંભાવના ઓછી આંકવામાં આવી છે: . અને આ પુનઃમૂલ્યાંકન પાયાવિહોણું નથી - છેવટે, 2જી વર્કશોપ માત્ર વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરતું નથી, પણ 2 ગણું વધુ સારું કામ કરે છે!

શુદ્ધ વિષયવાદ, તમે કહો છો? ભાગમાં - હા, તદુપરાંત, બેયસે પોતે અર્થઘટન કર્યું પશ્ચાદવર્તીતરીકે સંભાવનાઓ વિશ્વાસ સ્તર. જો કે, બધું એટલું સરળ નથી - બેયેસિયન અભિગમમાં એક ઉદ્દેશ્ય અનાજ પણ છે. છેવટે, ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના (1લી અને 2જી વર્કશોપ માટે અનુક્રમે 0.8 અને 0.9)આ પ્રારંભિક(apriori) અને સરેરાશઆકારણીઓ પરંતુ, દાર્શનિક રીતે બોલતા, બધું વહે છે, બધું બદલાય છે, સંભાવનાઓ સહિત. તે તદ્દન શક્ય છે કે અભ્યાસ સમયેવધુ સફળ 2જી વર્કશોપએ ઉત્પાદિત પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનોની ટકાવારીમાં વધારો કર્યો (અને/અથવા 1લી વર્કશોપમાં ઘટાડો થયો), અને જો તમે તપાસો મોટી માત્રામાંઅથવા તમામ 10 હજાર ઉત્પાદનો સ્ટોકમાં છે, તો પછી અતિશય અંદાજિત મૂલ્યો સત્યની ખૂબ નજીક હશે.

માર્ગ દ્વારા, જો ઇવાન વાસિલીવિચ બિન-માનક ભાગ કાઢે છે, તો તેનાથી વિપરીત - તે 1 લી વર્કશોપનો વધુ "શંકાસ્પદ" અને બીજાનો ઓછો હશે. હું સૂચું છું કે તમે તમારા માટે આ તપાસો:

સમસ્યા 6

ઉત્પાદનોના 2 બેચ વેરહાઉસ પર પહોંચ્યા: પ્રથમ - 4000 ટુકડાઓ, બીજા - 6000 ટુકડાઓ. પ્રથમ બેચમાં બિન-માનક ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 20% છે, બીજામાં - 10%. રેન્ડમ પર વેરહાઉસમાંથી લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન હોવાનું બહાર આવ્યું છે નથીધોરણ. સંભવિતતા શોધો કે તે છે: a) પ્રથમ બેચમાંથી, b) બીજા બેચમાંથી.

સ્થિતિ બે અક્ષરો દ્વારા અલગ પડે છે, જે મેં બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કરી છે. સમસ્યાનો ઉકેલ આવી શકે છે " સાફ પાટી", અથવા અગાઉની ગણતરીઓના પરિણામોનો ઉપયોગ કરો. નમૂના માં હું હાથ ધરવામાં સંપૂર્ણ ઉકેલ, પરંતુ જેથી કાર્ય નંબર 5, ઇવેન્ટ સાથે કોઈ ઔપચારિક ઓવરલેપ ન થાય "વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન બિન-માનક હશે"દ્વારા દર્શાવેલ છે.

સંભાવનાઓને પુનઃઆંકિત કરવા માટેની બાયસિયન યોજના દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે, અને વિવિધ પ્રકારના સ્કેમર્સ દ્વારા તેનો સક્રિયપણે શોષણ પણ થાય છે. ચાલો ત્રણ-અક્ષરોની સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીને ધ્યાનમાં લઈએ જે ઘરગથ્થુ નામ બની ગઈ છે, જે લોકો પાસેથી થાપણો આકર્ષે છે, માનવામાં આવે છે કે તેનું ક્યાંક રોકાણ કરે છે, નિયમિતપણે ડિવિડન્ડ ચૂકવે છે, વગેરે. શું થઈ રહ્યું છે? દિવસેને દિવસે, મહિનાઓ પછી મહિનાઓ પસાર થાય છે, અને વધુ અને વધુ નવા તથ્યો, જાહેરાતો અને મોંની વાત દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, ફક્ત વિશ્વાસનું સ્તર વધારે છે. નાણાકીય પિરામિડ (ભૂતકાળની ઘટનાઓને કારણે પોસ્ટરીઓરી બેયેસિયન પુનઃપ્રાપ્તિ!). એટલે કે રોકાણકારોની નજરમાં એવી સંભાવના સતત વધી રહી છે "આ એક ગંભીર કંપની છે"; જ્યારે વિપરીત પૂર્વધારણાની સંભાવના ("આ ફક્ત વધુ સ્કેમર્સ છે"), અલબત્ત, ઘટે છે અને ઘટે છે. શું અનુસરે છે, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે. નોંધનીય છે કે કમાયેલી પ્રતિષ્ઠા આયોજકોને ઇવાન વાસિલીવિચથી સફળતાપૂર્વક છુપાવવા માટે સમય આપે છે, જે ફક્ત બોલ્ટના બેચ વિના જ નહીં, પણ પેન્ટ વિના પણ છોડી દેવામાં આવ્યો હતો.

અમે થોડા સમય પછી સમાન રસપ્રદ ઉદાહરણો પર પાછા આવીશું, પરંતુ હવે આગળનું પગલું કદાચ ત્રણ પૂર્વધારણાઓ સાથેનો સૌથી સામાન્ય કેસ છે:

સમસ્યા 7

ત્રણ ફેક્ટરીઓમાં ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પનું ઉત્પાદન થાય છે. પ્રથમ છોડ 30% ઉત્પાદન કરે છે કુલ સંખ્યાલેમ્પ્સ, 2જી - 55%, અને 3જી - બાકીના. 1 લી પ્લાન્ટના ઉત્પાદનોમાં 1% ખામીયુક્ત લેમ્પ હોય છે, 2જી - 1.5%, 3જી - 2%. સ્ટોર ત્રણેય ફેક્ટરીઓમાંથી ઉત્પાદનો મેળવે છે. ખરીદેલ લેમ્પ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પ્લાન્ટ 2 દ્વારા તેનું નિર્માણ થયું હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

નોંધ કરો કે સ્થિતિમાં બેયસ ફોર્મ્યુલા પર સમસ્યાઓ છે જરૂરીત્યાં ચોક્કસ છે શું થયુંઘટના, માં આ બાબતે- દીવો ખરીદવો.

ઘટનાઓ વધી છે, અને ઉકેલતેને "ઝડપી" શૈલીમાં ગોઠવવાનું વધુ અનુકૂળ છે.

એલ્ગોરિધમ બરાબર એ જ છે: પ્રથમ પગલામાં આપણે સંભવિતતા શોધીએ છીએ કે ખરીદેલ દીવો ખામીયુક્ત બનશે.

પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે ટકાવારીઓને સંભાવનાઓમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
- અનુક્રમે 1 લી, 2 જી અને 3 જી ફેક્ટરીઓ દ્વારા દીવો બનાવવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના.
નિયંત્રણ:

એ જ રીતે: - સંબંધિત ફેક્ટરીઓ માટે ખામીયુક્ત દીવો ઉત્પન્ન કરવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:

- ખરીદેલ દીવો ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના.

પગલું બે. ખરીદેલ લેમ્પને ખામીયુક્ત થવા દો (ઘટના બની)

બેયસના સૂત્ર મુજબ:
- ખરીદેલ ખામીયુક્ત દીવો બીજા પ્લાન્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના

જવાબ આપો:

પુનઃમૂલ્યાંકન પછી 2જી પૂર્વધારણાની પ્રારંભિક સંભાવના શા માટે વધી? છેવટે, બીજો છોડ સરેરાશ ગુણવત્તાના લેમ્પ્સ ઉત્પન્ન કરે છે (પ્રથમ વધુ સારું છે, ત્રીજો ખરાબ છે). તો શા માટે વધારો થયો પશ્ચાદવર્તીશું તે શક્ય છે કે ખામીયુક્ત દીવો 2 જી છોડનો છે? આ હવે "પ્રતિષ્ઠા" દ્વારા સમજાવાયેલ નથી, પરંતુ કદ દ્વારા. કારણ કે પ્લાન્ટ નંબર 2 સૌથી વધુ ઉત્પાદન કરે છે મોટી સંખ્યામાલેમ્પ્સ (અડધા કરતાં વધુ), તો પછી અતિશય અંદાજની ઓછામાં ઓછી વ્યક્તિલક્ષી પ્રકૃતિ તાર્કિક છે ("મોટા ભાગે, આ ખામીયુક્ત દીવો ત્યાંથી છે").

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે 1લી અને 3જી પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ અપેક્ષિત દિશાઓમાં વધુ પડતી અંદાજવામાં આવી હતી અને સમાન બની હતી:

નિયંત્રણ: , જે તપાસવાની જરૂર હતી.

માર્ગ દ્વારા, ઓછા અંદાજિત અને વધુ પડતા અંદાજો વિશે:

સમસ્યા 8

IN વિદ્યાર્થી જૂથ 3 લોકો પાસે છે ઉચ્ચ સ્તરતાલીમ, 19 લોકો - સરેરાશ અને 3 - ઓછા. સંભાવનાઓ સફળ સમાપ્તિઆ વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષા અનુક્રમે સમાન છે: 0.95; 0.7 અને 0.4. કેટલાક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષા પાસ કરી હોવાનું જાણવા મળે છે. સંભાવના શું છે કે:

એ) તે ખૂબ જ સારી રીતે તૈયાર હતો;
b) સાધારણ રીતે તૈયાર કરવામાં આવી હતી;
c) નબળી રીતે તૈયાર હતી.

ગણતરીઓ કરો અને પૂર્વધારણાઓનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરવાના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરો.

કાર્ય વાસ્તવિકતાની નજીક છે અને ખાસ કરીને પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટે બુદ્ધિગમ્ય છે, જ્યાં શિક્ષકને કોઈ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીની ક્ષમતાઓ વિશે વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ જ્ઞાન નથી. આ કિસ્સામાં, પરિણામ તદ્દન અનપેક્ષિત પરિણામોનું કારણ બની શકે છે. (ખાસ કરીને 1લા સેમેસ્ટરની પરીક્ષાઓ માટે). જો નબળી રીતે તૈયાર થયેલો વિદ્યાર્થી ટિકિટ મેળવવા માટે પૂરતો નસીબદાર હોય, તો શિક્ષક તેને સારો વિદ્યાર્થી ગણે અથવા તો મજબૂત વિદ્યાર્થી, જે ભવિષ્યમાં સારા ડિવિડન્ડ લાવશે (અલબત્ત, તમારે "બાર વધારવા" અને તમારી છબી જાળવી રાખવાની જરૂર છે). જો કોઈ વિદ્યાર્થી 7 દિવસ અને 7 રાત અભ્યાસ કરે છે, ખેંચે છે અને પુનરાવર્તન કરે છે, પરંતુ તે ફક્ત કમનસીબ હતો, તો પછી આગળની ઘટનાઓસૌથી ખરાબ રીતે વિકાસ કરી શકે છે - અસંખ્ય મુલીગન્સ અને નાબૂદીની અણી પર સંતુલન સાથે.

કહેવાની જરૂર નથી કે પ્રતિષ્ઠા એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ મૂડી છે; તે કોઈ સંયોગ નથી કે ઘણા કોર્પોરેશનો તેમના સ્થાપક પિતાના નામ ધરાવે છે, જેમણે 100-200 વર્ષ પહેલાં વ્યવસાયનું નેતૃત્વ કર્યું હતું અને તેમની દોષરહિત પ્રતિષ્ઠા માટે પ્રખ્યાત થયા હતા.

હા, બાયસિયન અભિગમ અંદર ચોક્કસ હદ સુધીવ્યક્તિલક્ષી, પરંતુ... જીવન આ રીતે કામ કરે છે!

ચાલો અંતિમ ઔદ્યોગિક ઉદાહરણ સાથે સામગ્રીને એકીકૃત કરીએ, જેમાં હું ઉકેલની અત્યાર સુધીની અજાણી તકનીકી જટિલતાઓ વિશે વાત કરીશ:

સમસ્યા 9

પ્લાન્ટની ત્રણ વર્કશોપ સમાન પ્રકારના ભાગોનું ઉત્પાદન કરે છે, જે એસેમ્બલી માટે સામાન્ય કન્ટેનરમાં મોકલવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે પ્રથમ વર્કશોપ 2 વખત ઉત્પાદન કરે છે વધુ વિગતોબીજી વર્કશોપ કરતાં, અને ત્રીજી વર્કશોપ કરતાં 4 ગણી વધારે. પ્રથમ વર્કશોપમાં ખામી દર 12% છે, બીજામાં - 8%, ત્રીજામાં - 4%. નિયંત્રણ માટે, એક ભાગ કન્ટેનરમાંથી લેવામાં આવે છે. તે ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે? 3જી વર્કશોપ દ્વારા કાઢવામાં આવેલ ખામીયુક્ત ભાગનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઇવાન વાસિલીવિચ ફરીથી ઘોડા પર છે =) ફિલ્મનો અંત સુખદ હોવો જોઈએ =)

ઉકેલ: સમસ્યા નંબર 5-8થી વિપરીત, અહીં એક પ્રશ્ન સ્પષ્ટપણે પૂછવામાં આવ્યો છે, જે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. પરંતુ બીજી બાજુ, સ્થિતિ થોડી "એનક્રિપ્ટેડ" છે, અને સરળ સમીકરણો કંપોઝ કરવાની શાળાની કુશળતા અમને આ કોયડો ઉકેલવામાં મદદ કરશે. સૌથી નાનું મૂલ્ય “x” તરીકે લેવું અનુકૂળ છે:

ત્રીજા વર્કશોપ દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોનો હિસ્સો બનવા દો.

શરત મુજબ, પ્રથમ વર્કશોપ ત્રીજા વર્કશોપ કરતાં 4 ગણું વધુ ઉત્પાદન કરે છે, તેથી 1 લી વર્કશોપનો હિસ્સો છે.

વધુમાં, પ્રથમ વર્કશોપ બીજા વર્કશોપ કરતાં 2 ગણા વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે, જેનો અર્થ છે કે બાદમાંનો હિસ્સો: .

ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:

આમ: - કન્ટેનરમાંથી દૂર કરવામાં આવેલ ભાગ અનુક્રમે 1લી, 2જી અને 3જી વર્કશોપ દ્વારા બનાવવામાં આવી હોવાની સંભાવના.

નિયંત્રણ:. વધુમાં, શબ્દસમૂહને ફરીથી જોવાથી નુકસાન થશે નહીં “તે જાણીતું છે કે પ્રથમ વર્કશોપ 2 વખત ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે બીજા કરતાં વધુવર્કશોપ અને ત્રીજી વર્કશોપ કરતા 4 ગણી મોટી"અને ખાતરી કરો કે પ્રાપ્ત સંભાવના મૂલ્યો ખરેખર આ સ્થિતિને અનુરૂપ છે.

શરૂઆતમાં, કોઈ 1લી અથવા 2જી વર્કશોપનો હિસ્સો “X” તરીકે લઈ શકે છે - સંભાવનાઓ સમાન હશે. પરંતુ, એક અથવા બીજી રીતે, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ પસાર થઈ ગયો છે, અને ઉકેલ ટ્રેક પર છે:

શરતમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
- સંબંધિત વર્કશોપ માટે ખામીયુક્ત ભાગ બનાવવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- કન્ટેનરમાંથી રેન્ડમલી કાઢી નાખવામાં આવેલ ભાગ બિન-માનક હોવાનું બહાર આવવાની સંભાવના.

પ્રશ્ન બે: 3જી વર્કશોપ દ્વારા કાઢવામાં આવેલ ખામીયુક્ત ભાગનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે? આ પ્રશ્નધારે છે કે ભાગ પહેલેથી જ દૂર કરવામાં આવ્યો છે અને તે ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અમે બેયસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
- ઇચ્છિત સંભાવના. સંપૂર્ણપણે અપેક્ષિત - છેવટે, ત્રીજી વર્કશોપ માત્ર ભાગોનું સૌથી નાનું પ્રમાણ જ નહીં, પણ ગુણવત્તામાં પણ આગળ વધે છે!

વિભાગના શિક્ષક દ્વારા સંકલિત ઉચ્ચ ગણિતઇશ્ચાનોવ ટી.આર. પાઠ નંબર 4. કુલ સંભાવના સૂત્ર. પૂર્વધારણાઓની સંભાવના. બેઝ સૂત્રો.

સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી
કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા
પ્રમેય. ઘટના A ની સંભાવના, જે સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બને તો જ થઈ શકે છે, તે ઘટના A ની અનુરૂપ શરતી સંભાવના દ્વારા આ દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલી છે:

.
આ સૂત્રને "કુલ સંભાવના સૂત્ર" કહેવામાં આવે છે.

પુરાવો.શરત મુજબ, ઘટના A થઈ શકે છે જો અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક થાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટના A ની ઘટનાનો અર્થ થાય છે એકની ઘટના, પછી ભલે તે અસંગત ઘટનાઓમાંથી કોઈ પણ હોય. ઘટના A ની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે વધારાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ
. (*)
તે દરેક શરતોની ગણતરી કરવાનું બાકી છે. આપણી પાસે રહેલી આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય દ્વારા
.
આ સમાનતાઓની જમણી બાજુઓને સંબંધ (*) માં બદલીને, અમે કુલ સંભાવના માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 1.ભાગોના બે સેટ છે. પ્રથમ સેટનો ભાગ પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના 0.8 છે અને બીજો 0.9 છે. રેન્ડમ પર લેવાયેલ ભાગ (રેન્ડમ પર લીધેલા સમૂહમાંથી) પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. ચાલો આપણે ઘટના A દ્વારા દર્શાવીએ "એકસ્ટ્રેક્ટ કરેલ ભાગ પ્રમાણભૂત છે."
ભાગ કાં તો પ્રથમ સેટ (ઇવેન્ટ) અથવા બીજા (ઇવેન્ટ)માંથી મેળવી શકાય છે.
પ્રથમ સેટમાંથી ભાગ લેવામાં આવે તેવી સંભાવના છે.
બીજા સમૂહમાંથી ભાગ લેવામાં આવે તેવી સંભાવના છે.
શરતી સંભાવનાકે પ્રથમ સેટમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ કાઢવામાં આવશે, .
શરતી સંભાવના કે પ્રમાણભૂત ભાગ બીજા સમૂહમાંથી દોરવામાં આવશે .
ઇચ્છિત સંભાવના કે જે રેન્ડમ પર કાઢવામાં આવેલ ભાગ પ્રમાણભૂત છે, કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર, તે બરાબર છે

ઉદાહરણ 2.પ્રથમ બોક્સમાં 20 રેડિયો ટ્યુબ છે, જેમાંથી 18 પ્રમાણભૂત છે; બીજા બૉક્સમાં 10 દીવા છે, જેમાંથી 9 પ્રમાણભૂત છે. બીજા બૉક્સમાંથી એક દીવો રેન્ડમ લેવામાં આવે છે અને પ્રથમમાં મૂકવામાં આવે છે. પ્રથમ બોક્સમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલ લેમ્પ પ્રમાણભૂત હશે તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.ચાલો આપણે A દ્વારા "પ્રથમ બૉક્સમાંથી પ્રમાણભૂત દીવો દૂર કરવામાં આવે છે" ઘટનાને સૂચિત કરીએ.
બીજા બૉક્સમાંથી, કાં તો પ્રમાણભૂત દીવો (ઇવેન્ટ) અથવા બિન-માનક લેમ્પ (ઇવેન્ટ) દૂર કરી શકાય છે.
બીજા બૉક્સમાંથી પ્રમાણભૂત દીવો દૂર કરવામાં આવે તેવી સંભાવના છે .
બીજા બૉક્સમાંથી બિન-માનક દીવો દૂર કરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના છે
શરતી સંભાવના કે પ્રમાણભૂત દીવો પ્રથમ બૉક્સમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે, જો કે પ્રમાણભૂત દીવો બીજા બૉક્સમાંથી પ્રથમમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યો હોય, તે બરાબર છે.
શરતી સંભાવના કે પ્રમાણભૂત દીવો પ્રથમ બૉક્સમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે, જો કે બિન-માનક લેમ્પ બીજા બૉક્સમાંથી પ્રથમમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યો હોય, તે બરાબર છે.
કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર, પ્રથમ બોક્સમાંથી પ્રમાણભૂત દીવો દૂર કરવામાં આવશે તેવી આવશ્યક સંભાવના, બરાબર છે

પૂર્વધારણાઓની સંભાવના. બેઝ સૂત્રો

ધારો કે ઘટના A સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી અસંગત ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાને આધિન બની શકે છે. આમાંથી કઈ ઘટનાઓ બનશે તે અગાઉથી જાણી શકાતું ન હોવાથી, તેને પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. ઘટના A ની સંભાવના કુલ સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ચાલો ધારીએ કે એક પરીક્ષણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જેના પરિણામે ઘટના A આવી હતી તે નક્કી કરવા માટે ચાલો આપણે અમારું કાર્ય સેટ કરીએ કે કેવી રીતે પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ બદલાઈ ગઈ છે (એ ઘટના એ પહેલેથી જ આવી છે તે હકીકતને કારણે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે શરતી સંભાવનાઓ શોધીશું

ચાલો પહેલા શરતી સંભાવના શોધીએ. ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા આપણી પાસે છે

.

ફોર્મ્યુલા (*) નો ઉપયોગ કરીને અહીં P(A) ને બદલીને, આપણને મળે છે

એ જ રીતે, સૂત્રો વ્યુત્પન્ન થાય છે જે બાકીની પૂર્વધારણાઓની શરતી સંભાવનાઓ નક્કી કરે છે, એટલે કે કોઈપણ પૂર્વધારણાની શરતી સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

પરિણામી સૂત્રો કહેવામાં આવે છે બેઝ સૂત્રો(અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે જેમણે તેમને તારવ્યા હતા; 1764 માં પ્રકાશિત). બેયસના સૂત્રો અમને પરિક્ષણના પરિણામ પછી અનુમાનની સંભાવનાઓને પુનઃઆંકિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે ઘટના A જાણીતી બને છે.

ઉદાહરણ.ફેક્ટરી વર્કશોપ દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગો તેમની પ્રમાણભૂતતા તપાસવા માટે બેમાંથી એક નિરીક્ષકને મોકલવામાં આવે છે. ભાગ પ્રથમ નિરીક્ષકને મળે તેવી સંભાવના 0.6 છે, અને બીજાને - 0.4. પ્રથમ નિરીક્ષક દ્વારા યોગ્ય ભાગને પ્રમાણભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવશે તેવી સંભાવના 0.94 છે, અને બીજા દ્વારા - 0.98. ચકાસણી પર માન્ય ભાગ પ્રમાણભૂત હોવાનું જણાયું હતું. સંભવિતતા શોધો કે પ્રથમ નિરીક્ષકે આ ભાગ તપાસ્યો.
ઉકેલ.ચાલો A ​​દ્વારા એ ઘટના દર્શાવીએ કે યોગ્ય ભાગ પ્રમાણભૂત તરીકે ઓળખાય છે. બે ધારણાઓ કરી શકાય છે:
1) ભાગ પ્રથમ નિરીક્ષક દ્વારા તપાસવામાં આવ્યો હતો (પૂર્વધારણા);
2) ભાગ બીજા નિરીક્ષક દ્વારા તપાસવામાં આવ્યો હતો (પૂર્તિકલ્પના). અમે ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ કે ભાગ પ્રથમ નિરીક્ષક દ્વારા બેઇઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવ્યો હતો:

સમસ્યા પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમારી પાસે છે:
(ભાગ પ્રથમ નિરીક્ષક સુધી પહોંચે તેવી સંભાવના);
(સંભવ છે કે ભાગ બીજા નિરીક્ષક સુધી પહોંચશે);
(પ્રથમ નિરીક્ષક દ્વારા યોગ્ય ભાગને પ્રમાણભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવશે તેવી સંભાવના);
(બીજા નિરીક્ષક દ્વારા યોગ્ય ભાગને પ્રમાણભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવશે તેવી સંભાવના).
જરૂરી સંભાવના

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરીક્ષણ પહેલાં પૂર્વધારણાની સંભાવના 0.6 હતી, પરીક્ષણ પરિણામ જાણીતું થયા પછી, આ પૂર્વધારણાની સંભાવના (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, શરતી સંભાવના) બદલાઈ અને 0.59 ની બરાબર થઈ. આમ, બેયસના સૂત્રના ઉપયોગથી વિચારણા હેઠળની પૂર્વધારણાની સંભાવનાને વધુ પડતો અંદાજ આપવાનું શક્ય બન્યું.

વ્યવહારુ સામગ્રી.
1. (4) એસેમ્બલરને પ્લાન્ટ નંબર 1 દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોના 3 બોક્સ અને પ્લાન્ટ નં. 2 દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોના 2 બોક્સ પ્રાપ્ત થયા. પ્લાન્ટ નંબર 1નો એક ભાગ પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના 0.8 છે, અને તે પ્લાન્ટ નંબર 2માંથી 0.9 છે, રેન્ડમ એસેમ્બલરે રેન્ડમલી પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી ભાગ લીધો. પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.
પ્રતિનિધિ 0.84.
2. (5) પ્રથમ બોક્સમાં 20 ભાગો છે, જેમાંથી 15 પ્રમાણભૂત છે; બીજામાં 30 ભાગો છે, જેમાંથી 24 પ્રમાણભૂત છે; ત્રીજા ભાગમાં 10 ભાગો છે, જેમાંથી 6 પ્રમાણભૂત છે. રેન્ડમ લેવામાં આવેલ બોક્સમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ભાગ પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના શોધો.
પ્રતિનિધિ 43/60.
3. (6) ટેલિવિઝન સ્ટુડિયોમાં 4 કાઈનસ્કોપ્સ છે. કિનેસ્કોપ વોરંટી સેવા જીવનનો સામનો કરશે તેવી સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.8 જેટલી છે; 0.85; 0.9; 0.95. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ કાઇનેસ્કોપ વોરંટી અવધિનો સામનો કરશે.
પ્રતિનિધિ 0.875.
4. (3) એથ્લેટ્સના જૂથમાં 20 સ્કીઅર્સ, 6 સાઇકલ સવારો અને 4 દોડવીરોનો સમાવેશ થાય છે. લાયકાત ધોરણને પૂર્ણ કરવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે: સ્કીઅર માટે - 0.9, સાયકલ સવાર માટે - 0.8. અને દોડવીર માટે - 0.75. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ રમતવીર ધોરણને પૂર્ણ કરશે તેવી સંભાવના શોધો.
પ્રતિનિધિ 0.86.
5. (C) સફેદ બોક્સમાં 12 લાલ અને 6 વાદળી બોલ છે. કાળામાં 15 લાલ અને 10 વાદળી દડા છે. ડાઇસ ફેંકવું. જો પોઈન્ટની સંખ્યા 3 નો ગુણાંક હોય, તો સફેદ બોક્સમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. જો કોઈપણ અન્ય પોઈન્ટ્સ રોલ કરવામાં આવે છે, તો બ્લેક બોક્સમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. લાલ બોલ દેખાવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ:
બે પૂર્વધારણાઓ શક્ય છે:
– ડાઇસ ફેંકતી વખતે, પોઈન્ટની સંખ્યા જે 3 નો ગુણાંક છે તે દેખાશે, એટલે કે. અથવા 3 અથવા 6;
– ડાઇસ ફેંકતી વખતે, પોઈન્ટ્સની એક અલગ સંખ્યા દેખાશે, એટલે કે. અથવા 1 અથવા 2 અથવા 4 અથવા 5.
શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા મુજબ, પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ સમાન છે:

પૂર્વધારણાઓ ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી હોવાથી, સમાનતા સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ

ઘટના A ને લાલ બોલના દેખાવમાં સમાવવા દો. આ ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓ તેના પર આધાર રાખે છે કે કઈ પૂર્વધારણા સાકાર થઈ હતી અને તે મુજબ છે:

પછી, કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર, ઘટના A ની સંભાવના બરાબર હશે:

6. (7) બે બોક્સમાં રેડિયો ટ્યુબ હોય છે. પ્રથમ બૉક્સમાં 12 લેમ્પ્સ છે, જેમાંથી 1 બિન-માનક છે; બીજામાં 10 લેમ્પ છે, જેમાંથી 1 બિન-માનક છે. પ્રથમ બોક્સમાંથી એક દીવો રેન્ડમ લેવામાં આવે છે અને બીજામાં મૂકવામાં આવે છે. બીજા બૉક્સમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દૂર કરાયેલ લેમ્પ બિન-માનક હશે તેવી સંભાવના શોધો.
પ્રતિનિધિ 13/132.

7. (89 ડી) એક સફેદ બોલને બે દડા ધરાવતા કલશમાં નાખવામાં આવે છે, ત્યારબાદ એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. જો દડાની પ્રારંભિક રચના (રંગના આધારે) વિશેની તમામ સંભવિત ધારણાઓ સમાન રીતે શક્ય હોય તો બહાર કાઢેલો બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.ચાલો ઘટના A દ્વારા સૂચવીએ - એક સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે. દડાઓની પ્રારંભિક રચના વિશે નીચેની ધારણાઓ (પૂર્વધારણાઓ) શક્ય છે: - સફેદ દડા નહીં, - એક સફેદ દડો, - બે સફેદ દડા.
કુલ ત્રણ પૂર્વધારણાઓ હોવાથી, અને સ્થિતિ અનુસાર તે સમાન સંભવિત છે, અને પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે (કારણ કે તેઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે), તો દરેક પૂર્વધારણાની સંભાવના 1/3 બરાબર છે, એટલે કે .
શરતી સંભાવના કે સફેદ બોલ દોરવામાં આવશે, જો કે શરૂઆતમાં ભઠ્ઠીમાં સફેદ દડા ન હતા, .
શરતી સંભાવના કે સફેદ બોલ દોરવામાં આવશે, આપેલ છે કે શરૂઆતમાં એક કલરમાં એક સફેદ બોલ હતો, .
શરતી સંભાવના કે સફેદ બોલ દોરવામાં આવશે તે જોતાં કે શરૂઆતમાં બે સફેદ દડા ભઠ્ઠીમાં હતા.
અમે ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ કે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સફેદ બોલ દોરવામાં આવશે:

8. (10) પ્રમાણભૂત ભાગને 3 સમાન ભાગો ધરાવતા બોક્સમાં નાખવામાં આવે છે, અને પછી એક ભાગ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. જો બૉક્સમાં મૂળ રૂપે પ્રમાણભૂત ભાગોની સંખ્યા વિશે તમામ સંભવિત અનુમાન સમાન હોય તો પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.
પ્રતિનિધિ 0.625.

9. (6.5.2L) રેડિયો સંચારની ગુણવત્તા સુધારવા માટે, બે રેડિયો રીસીવરોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરનાર દરેક રીસીવરની સંભાવના 0.8 છે, અને આ ઘટનાઓ (રીસીવર દ્વારા સિગ્નલ રીસેપ્શન) સ્વતંત્ર છે. જો દરેક રીસીવર માટે રેડિયો સંચાર સત્ર દરમિયાન નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના 0.9 હોય તો સિગ્નલ રિસેપ્શનની સંભાવના નક્કી કરો.
ઉકેલ.
ઘટના A = (સિગ્નલ પ્રાપ્ત થશે) થવા દો. ચાલો ચાર પૂર્વધારણાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

=(પ્રથમ રીસીવર કામ કરી રહ્યું છે, બીજો નથી);

=(બીજું કામ કરે છે, પહેલું કામ કરતું નથી);

=(બંને રીસીવરો કામ કરી રહ્યા છે);

=(બંને રીસીવરો કામ કરતા નથી).

ઘટના A આમાંની એક પૂર્વધારણા હેઠળ જ બની શકે છે. ચાલો નીચેની ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈને આ પૂર્વધારણાઓની સંભાવના શોધીએ:

=(પ્રથમ રીસીવર કામ કરે છે),

=(બીજો રીસીવર કામ કરી રહ્યો છે).

નિયંત્રણ:

.

શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે:

;

;

હવે, કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ

10. (11) જો મશીન સામાન્ય ઓપરેટિંગ મોડમાંથી વિચલિત થાય છે, તો C-1 એલાર્મ 0.8 ની સંભાવના સાથે ટ્રિગર થાય છે, અને C-11 એલાર્મ 1 ની સંભાવના સાથે ટ્રિગર થાય છે. સંભાવનાઓ કે મશીન સી સાથે સજ્જ છે -1 અથવા C-11 એલાર્મ અનુક્રમે 0, 6 અને 0.4 સમાન છે. મશીનગનને કાપવાનો સંકેત મળ્યો છે. વધુ શક્યતા શું છે: મશીન S-1 અથવા S-11 સિગ્નલિંગ ઉપકરણથી સજ્જ છે?
પ્રતિનિધિ મશીન સિગ્નલિંગ ડિવાઇસ S-1થી સજ્જ હોવાની સંભાવના 6/11 છે અને S-11 5/11 છે

11. (12) સ્ટુડન્ટ ક્વોલિફાઇંગ સ્પોર્ટ્સ કોમ્પિટિશનમાં ભાગ લેવા માટે, કોર્સના પ્રથમ જૂથમાંથી 4 વિદ્યાર્થીઓ, બીજામાંથી 6 અને ત્રીજા જૂથમાંથી 5 વિદ્યાર્થીઓને ફાળવવામાં આવ્યા હતા. પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા જૂથના વિદ્યાર્થીને સંસ્થાની ટીમમાં પ્રવેશ મળે તેવી સંભાવના અનુક્રમે 0.9 જેટલી છે; 0.7 અને 0.8. સ્પર્ધાના પરિણામે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ થયેલ વિદ્યાર્થી રાષ્ટ્રીય ટીમમાં સામેલ થયો. આ વિદ્યાર્થી મોટા ભાગે કયા જૂથનો હતો?
પ્રતિનિધિ અનુક્રમે પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય જૂથના વિદ્યાર્થીને પસંદ કરવામાં આવે તેવી સંભાવનાઓ છે: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K)વી વ્યાપાર કરતી પેઢીટીવી ત્રણ સપ્લાયર્સ પાસેથી 1:4:5 રેશિયોમાં આવ્યા હતા. પ્રેક્ટિસ દર્શાવે છે કે 1લી, 2જી અને 3જી સપ્લાયર્સ તરફથી આવતા ટીવીને અનુક્રમે 98, 88 અને 92% કેસમાં વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન સમારકામની જરૂર રહેશે નહીં.
1) સંભવિતતા શોધો કે ટ્રેડિંગ કંપની દ્વારા પ્રાપ્ત ટીવીને વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન સમારકામની જરૂર નથી.
2) વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન જરૂરી સમારકામ માટે વેચાયેલ ટીવી. આ ટીવી મોટા ભાગે કયા સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું છે?
ઉકેલ.
ચાલો ઘટનાઓ દર્શાવીએ: - ટીવી ટ્રેડિંગ કંપની પાસે i-th સપ્લાયર (i=1,2,3);
A - વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન ટીવીને સમારકામની જરૂર રહેશે નહીં.
શરતે

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

ઇવેન્ટ ટીવીને વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન સમારકામની જરૂર પડશે; .
શરતે

બેયસના સૂત્ર મુજબ

;

આમ, ઘટનાની ઘટના પછી, પૂર્વધારણાની સંભાવના સાથે વધારો થયો મહત્તમ સુધી, અને પૂર્વધારણા મહત્તમથી ઘટી છે; જો અગાઉ (ઘટના A ની ઘટના પહેલા) સૌથી સંભવિત પૂર્વધારણા હતી, હવે, પ્રકાશમાં નવી માહિતી(ઇવેન્ટ A ની ઘટના), સૌથી વધુ સંભવિત પૂર્વધારણા એ છે કે આ ટીવી 2જી સપ્લાયર પાસેથી આવશે.

13. (1.35K) તે જાણીતું છે કે સરેરાશ 95% ઉત્પાદિત ઉત્પાદનો ધોરણને પૂર્ણ કરે છે. એક સરળ નિયંત્રણ યોજના જો તે પ્રમાણભૂત હોય તો 0.98 ની સંભાવના સાથે ઉત્પાદનને યોગ્ય તરીકે ઓળખે છે અને જો તે બિન-માનક હોય તો 0.06 ની સંભાવના સાથે. સંભાવના નક્કી કરો કે:
1) રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન સરળ નિયંત્રણમાંથી પસાર થશે;
2) પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન જો તે: a) સરળ નિયંત્રણ પસાર કર્યું હોય; b) બે વાર સરળ નિયંત્રણ પાસ કર્યું.
ઉકેલ.
1). ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:
- અનુક્રમે રેન્ડમ, સ્ટાન્ડર્ડ અથવા નોન-સ્ટાન્ડર્ડ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન;
- ઉત્પાદને સરળ નિયંત્રણ પસાર કર્યું છે.

શરતે

સંભવિતતા કે જે ઉત્પાદન રેન્ડમ પર લેવામાં આવશે તે કુલ સંભવિતતા સૂત્ર અનુસાર સરળ નિયંત્રણ પસાર કરશે:

2, એ).બેયસ સૂત્ર મુજબ, સરળ નિયંત્રણમાંથી પસાર થયેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના:

2, બી).ઇવેન્ટ - ઉત્પાદનને બે વાર સરળ નિયંત્રણમાંથી પસાર થવા દો. પછી, સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા:

બેયસના સૂત્ર મુજબ

ખૂબ જ નાનું છે, તો પછી એવી ધારણા કે જે ઉત્પાદન બે વાર સરળ નિયંત્રણ પસાર કરે છે તે બિન-માનક છે તે વ્યવહારીક રીતે અશક્ય ઘટના તરીકે કાઢી નાખવું જોઈએ.

14. (1.36K) બે શૂટર્સ એક બીજાથી સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે છે, દરેક એક ગોળી ચલાવે છે. પ્રથમ શૂટર માટે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.8 છે; બીજા માટે - 0.4. ગોળીબાર કર્યા બાદ ટાર્ગેટમાં એક કાણું જોવા મળ્યું હતું. સંભાવના શું છે કે તે સંબંધિત છે:
એ) પ્રથમ શૂટર;
b) 2જી શૂટર?
ઉકેલ.
ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

બંને શૂટર્સ લક્ષ્ય ચૂકી ગયા;

બંને શૂટરોએ લક્ષ્યને ફટકાર્યું;

1લા શૂટરે લક્ષ્યને ફટકાર્યું, 2જીએ ન કર્યું;

પ્રથમ શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી ગયો, બીજાએ કર્યું;

લક્ષ્યમાં એક છિદ્ર છે (એક હિટ).