સંક્ષિપ્ત સિદ્ધાંત

સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના સમાન છે. આ પરીક્ષણોમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવા માટે, બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો તે મોટું છે, તો પછી ઉપયોગ કરો અથવા. જો કે, જો આ સૂત્ર નાનું હોય તો તે યોગ્ય નથી. આ કિસ્સાઓમાં (મહાન, નાના) તેઓ એસિમ્પ્ટોટિકનો આશરો લે છે પોઈસનનું સૂત્ર.

ચાલો આપણે આપણી જાતને સંભવિતતા શોધવાનું કાર્ય સેટ કરીએ કે જે ખૂબ માટે મોટી સંખ્યામાંપરીક્ષણો, જેમાંના દરેકમાં ઘટનાની સંભાવના ખૂબ ઓછી છે, ઘટના બરાબર એક જ વાર થશે. ચાલો એક મહત્વપૂર્ણ ધારણા કરીએ: ઉત્પાદન સતત મૂલ્ય જાળવી રાખે છે, એટલે કે. આનો અર્થ એ છે કે વિવિધ શ્રેણીના અજમાયશમાં ઘટનાની સરેરાશ સંખ્યા, એટલે કે. ખાતે વિવિધ અર્થો, યથાવત રહે છે.

સમસ્યા ઉકેલનું ઉદાહરણ

સમસ્યા 1

આધારને 10,000 ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ મળ્યા. મુસાફરી દરમિયાન દીવો તૂટી જવાની સંભાવના 0.0003 છે. સંભવિતતા શોધો કે પ્રાપ્ત થયેલ દીવાઓમાંથી, પાંચ દીવા તૂટી જશે.

ઉકેલ

પોઈસન ફોર્મ્યુલાની લાગુ પડવાની શરત:

જો વ્યક્તિગત અજમાયશમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના શૂન્યની નજીક હોય, તો પછી અજમાયશની સંખ્યાના મોટા મૂલ્યો માટે પણ, આના દ્વારા ગણવામાં આવતી સંભાવના સ્થાનિક પ્રમેય Laplace અપૂરતી સચોટ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આવા કિસ્સાઓમાં, પોઈસન દ્વારા મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

ઘટના - 5 દીવા તૂટી જવા દો

ચાલો પોઈસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

અમારા કિસ્સામાં:

જવાબ આપો

સમસ્યા 2

એન્ટરપ્રાઇઝ પાસે 1000 સાધનો છે ચોક્કસ પ્રકાર. એક કલાકની અંદર સાધનોનો ટુકડો નિષ્ફળ જવાની સંભાવના 0.001 છે. કલાક દીઠ સાધનોની નિષ્ફળતાની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

ઉકેલ

રેન્ડમ ચલ - સાધનોની નિષ્ફળતાની સંખ્યા, મૂલ્યો લઈ શકે છે

ચાલો પોઈસનના કાયદાનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો આ સંભાવનાઓ શોધીએ:

પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિચલન આ વિતરણના પરિમાણ સમાન છે:

સરેરાશઉકેલ ખર્ચ પરીક્ષણ કાર્ય 700 - 1200 રુબેલ્સ (પરંતુ સમગ્ર ઓર્ડર માટે 300 રુબેલ્સથી ઓછા નહીં). નિર્ણયની તાકીદ (એક દિવસથી ઘણા કલાકો સુધી) દ્વારા ભાવ ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે. પરીક્ષા/પરીક્ષણ માટે ઑનલાઇન સહાયની કિંમત 1000 રુબેલ્સ છે. ટિકિટ ઉકેલવા માટે.

તમે કાર્યની શરતો અગાઉ મોકલીને અને તમને જરૂરી ઉકેલ માટે સમયમર્યાદા વિશે જાણ કરીને, તમે સીધા ચેટમાં વિનંતી છોડી શકો છો. પ્રતિભાવ સમય થોડી મિનિટો છે.

ઝેરનું વિતરણ.

ચાલો સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લઈએ લાક્ષણિક પરિસ્થિતિ, જેમાં પોઈસન વિતરણ દેખાય છે. ઘટના દો એઅવકાશના નિશ્ચિત ક્ષેત્રમાં (અંતરાલ, વિસ્તાર, વોલ્યુમ) અથવા સતત તીવ્રતા સાથે સમયના સમયગાળામાં ચોક્કસ સંખ્યામાં વખત દેખાય છે. ચોક્કસ થવા માટે, સમય જતાં ઘટનાઓની ક્રમિક ઘટનાને ધ્યાનમાં લો, જેને ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે. ગ્રાફિકલી રીતે, ઘટનાઓના પ્રવાહને સમય ધરી પર સ્થિત ઘણા બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

આ સેવા ક્ષેત્રમાં કૉલ્સનો પ્રવાહ હોઈ શકે છે (ઘરગથ્થુ ઉપકરણોનું સમારકામ, એમ્બ્યુલન્સને કૉલ કરવો વગેરે), ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સનો પ્રવાહ, સિસ્ટમના કેટલાક ભાગોની નિષ્ફળતા, કિરણોત્સર્ગી સડો, ફેબ્રિક અથવા મેટલ શીટ્સના ટુકડાઓ અને તે દરેક પર ખામીઓની સંખ્યા, વગેરે. પોઈસન વિતરણ તે સમસ્યાઓમાં સૌથી વધુ ઉપયોગી છે જ્યાં માત્ર હકારાત્મક પરિણામોની સંખ્યા ("સફળતા") નક્કી કરવી જરૂરી છે.

નાના ટુકડાઓમાં વિભાજિત કિસમિસ બનની કલ્પના કરો સમાન કદ. કારણે રેન્ડમ વિતરણકિસમિસમાં એવી અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી કે બધા ટુકડા તેમાં હશે સમાન નંબર. જ્યારે આ ટુકડાઓમાં સમાવિષ્ટ કિસમિસની સરેરાશ સંખ્યા જાણીતી હોય, ત્યારે પોઈસન વિતરણ એ સંભાવના આપે છે કે આપેલ કોઈપણ ટુકડામાં સમાયેલ છે એક્સ=k(k= 0,1,2,...,) કિસમિસની સંખ્યા.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પોઈસન વિતરણ નક્કી કરે છે કે ટુકડાઓની લાંબી શ્રેણીના કયા ભાગમાં 0, અથવા 1, અથવા 2, અથવા વગેરે સમાન હશે. હાઇલાઇટ્સની સંખ્યા.

ચાલો નીચેની ધારણાઓ કરીએ.

1. આપેલ સમય અંતરાલમાં અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં ઘટનાઓની સંભાવના માત્ર આ અંતરાલની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે, સમય અક્ષ પર તેની સ્થિતિ પર નહીં. આ સ્થિરતાની મિલકત છે.

2. પૂરતા પ્રમાણમાં ટૂંકા ગાળામાં એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ બનવી વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, એટલે કે. શરતી સંભાવનાસમાન અંતરાલમાં બીજી ઘટનાની ઘટના ® 0 પર શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. આ સામાન્યતાની મિલકત છે.

3. ઘટનાની સંભાવના આપેલ નંબરચોક્કસ સમયગાળાની ઘટનાઓ અન્ય સમયગાળામાં દેખાતી ઘટનાઓની સંખ્યા પર આધારિત નથી. આ અસરના અભાવની મિલકત છે.

ઘટનાઓનો પ્રવાહ જે ઉપરોક્ત દરખાસ્તોને સંતોષે છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સરળ.

ચાલો એકદમ ટૂંકા ગાળાનો વિચાર કરીએ. પ્રોપર્ટી 2 ના આધારે, ઇવેન્ટ આ અંતરાલમાં એકવાર દેખાઈ શકે છે અથવા બિલકુલ દેખાશે નહીં. ચાલો દ્વારા બનતી ઘટનાની સંભાવના દર્શાવીએ આર, અને બિન-દેખાવ - દ્વારા q = 1-પી.સંભાવના આરસ્થિર છે (સંપત્તિ 3) અને માત્ર મૂલ્ય (સંપત્તિ 1) પર આધાર રાખે છે. અંતરાલમાં ઘટનાની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા 0× જેટલી હશે q+ 1× પી = પી. પછી એકમ સમય દીઠ ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યાને પ્રવાહની તીવ્રતા કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે aતે a = .

ચાલો વિચાર કરીએ અંતિમ સેગમેન્ટસમય tઅને તેને વિભાજીત કરો nભાગો =. આ દરેક અંતરાલોમાં ઘટનાઓની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે (મિલકત 2). ચાલો અમુક સમયગાળામાં સંભાવના નક્કી કરીએ tસતત પ્રવાહની તીવ્રતા પર એઘટના બરાબર દેખાશે X = kફરી દેખાશે નહીં n–k. કારણ કે એક ઘટના દરેકમાં કરી શકે છે nગાબડા 1 કરતા વધુ વખત દેખાતા નથી, પછી તેના દેખાવ માટે kઅવધિના સેગમેન્ટમાં એકવાર tતે કોઈપણમાં દેખાવા જોઈએ kવચ્ચે કુલ સંખ્યા nઆવા કુલ સંયોજનો છે, અને દરેકની સંભાવના સમાન છે. પરિણામે, સંભાવનાઓના વધારાના પ્રમેય દ્વારા આપણે ઇચ્છિત સંભાવના માટે મેળવીએ છીએ જાણીતું સૂત્રબર્નૌલી

આ સમાનતા અંદાજિત એક તરીકે લખવામાં આવી છે, કારણ કે તેની વ્યુત્પત્તિ માટેનો પ્રારંભિક આધાર મિલકત 2 હતો, જે નાનામાં વધુ સચોટ રીતે પરિપૂર્ણ થાય છે. ચોક્કસ સમાનતા મેળવવા માટે, ચાલો આપણે ® 0 પરની મર્યાદાને પાર કરીએ અથવા, શું સમાન છે, n® અમે તેને બદલી પછી મેળવીશું

પી = a= અને q = 1 – .

ચાલો પરિચય આપીએ નવું પરિમાણ = ખાતે, એટલે કે સેગમેન્ટમાં ઘટનાની સરેરાશ સંખ્યા t. સરળ પરિવર્તનો અને પરિબળોમાં મર્યાદા પસાર કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ.

= 1, = ,

આખરે આપણને મળે છે

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... - આધાર કુદરતી લઘુગણક.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ એક્સ, જે માત્ર પૂર્ણાંકો સ્વીકારે છે, હકારાત્મક મૂલ્યો 0, 1, 2, ... જો પરિમાણ સાથે પોઈસન વિતરણ ધરાવે છે

માટે k = 0, 1, 2, ...

પોઈસન વિતરણની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીએસ.ડી. પોઈસન (1781-1840). તેનો ઉપયોગ પ્રમાણમાં દુર્લભ, પરસ્પર રેન્ડમ સંભાવનાઓની ગણતરીની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે સ્વતંત્ર ઘટનાઓસમય, લંબાઈ, વિસ્તાર અને વોલ્યુમના એકમ દીઠ.

કેસ માટે જ્યારે a) મોટી હોય અને b) k= , સ્ટર્લિંગ સૂત્ર માન્ય છે:

અનુગામી મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે

પી(k + 1) = પી(k).

ઉદાહરણ 1. આપેલ દિવસે 1000 લોકોમાંથી કેટલી સંભાવના છે: a) કોઈ નહીં, b) એક, c) બે, d) ત્રણ લોકોનો જન્મ થયો હોય?

ઉકેલ. કારણ કે પી= 1/365, પછી q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

પછી

અ) ,

b) ,

વી) ,

જી) .

તેથી, જો ત્યાં 1000 લોકોના નમૂનાઓ છે, તો ચોક્કસ દિવસે જન્મેલા લોકોની સરેરાશ સંખ્યા તે મુજબ 65 હશે; 178; 244; 223.

ઉદાહરણ 2. સંભાવના સાથે મૂલ્ય નક્કી કરો આરઘટના ઓછામાં ઓછી એક વાર દેખાઈ.

ઉકેલ. ઘટના એ= (ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાય છે) અને = (એકવાર પણ દેખાતા નથી). આથી .

અહીંથી અને .

ઉદાહરણ તરીકે, માટે આર= 0.5, માટે આર= 0,95 .

ઉદાહરણ 3. એક વણકર દ્વારા સંચાલિત લૂમ્સ પર, એક કલાકમાં 90 થ્રેડ તૂટી જાય છે. 4 મિનિટમાં ઓછામાં ઓછો એક થ્રેડ બ્રેક થશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. શરતે t = 4 મિનિટ અને પ્રતિ મિનિટ વિરામની સરેરાશ સંખ્યા, ક્યાંથી . જરૂરી સંભાવના છે.

ગુણધર્મો. પેરામીટર સાથે પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતા રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા સમાન છે:

એમ(એક્સ) = ડી(એક્સ) = .

આ અભિવ્યક્તિઓ સીધી ગણતરીઓ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:

આ તે છે જ્યાં બદલી કરવામાં આવી હતી n = k- 1 અને હકીકત એ છે કે .

આઉટપુટમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સમાન પરિવર્તનો કરીને એમ(એક્સ), અમને મળે છે

પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ મોટા પ્રમાણમાં દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે n

ચાલો આપણે ફરીથી પરિસ્થિતિને યાદ કરીએ જેને બર્નૌલી યોજના કહેવામાં આવતી હતી: n સ્વતંત્ર અજમાયશ, જેમાંના દરેકમાં કેટલીક ઘટનાઓ હોય છે એસમાન સંભાવના સાથે દેખાઈ શકે છે આર. પછી, સંભાવના નક્કી કરવા માટે કે આમાં nપરીક્ષણ ઘટના એબરાબર દેખાશે kવખત (આ સંભાવના દર્શાવવામાં આવી હતી પી n (k) ) બર્નોલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બરાબર ગણતરી કરી શકાય છે, જ્યાં q=1− પી. જો કે, મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે nબર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ ખૂબ જ અસુવિધાજનક બની જાય છે, કારણ કે તે ખૂબ મોટી સંખ્યા સાથે કામગીરી તરફ દોરી જાય છે. તેથી (જો તમને યાદ છે − બર્નોલી યોજના અને સૂત્રનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ એક વખત આવરી લેવામાં આવ્યું હતું જ્યારે સંભાવનાના સિદ્ધાંતના પ્રથમ ભાગનો અભ્યાસ કરતી વખતે "રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ") મોટા માટે nઘણા વધુ અનુકૂળ (અંદાજે હોવા છતાં) સૂત્રો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા હતા, જે વધુ સચોટ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. n(પોઇસન ફોર્મ્યુલા, સ્થાનિક અને અભિન્ન મોઇવર-લેપ્લેસ સૂત્ર). જો બર્નૌલી યોજનામાં પ્રયોગોની સંખ્યા nઉચ્ચ અને સંભાવના છે આરઘટનાની ઘટના એદરેક કસોટીમાં નાનું હોય છે, પછી ઉલ્લેખિત પોઈસન ફોર્મ્યુલા સારો અંદાજ આપે છે
, જ્યાં પરિમાણ a =n∙ પી. આ સૂત્ર પોઈસન વિતરણ તરફ દોરી જાય છે. ચાલો ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ આપીએ

અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સધરાવે છે ઝેરનું વિતરણ, જો તે મૂલ્યો લે છે 0, 1, 2, ... સંભાવનાઓ સાથે આર 0 , પી 1 , ... , જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

અને નંબર એપોઈસન વિતરણનું પરિમાણ છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે r.v. ના સંભવિત મૂલ્યો. એક્સઅનંત ઘણા − આ બધા બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. આમ, d.s.v એક્સપોઈસન વિતરણ સાથે નીચેનો વિતરણ કાયદો છે:

ગણતરી કરતી વખતે ગાણિતિક અપેક્ષા(જાણીતા વિતરણ કાયદા સાથે d.r.v. માટે તેમની વ્યાખ્યા મુજબ) હવે કોઈએ ધ્યાનમાં લેવું પડશે કે અંતિમ રકમ, અને અનુરૂપ અનંત શ્રેણીના સરવાળો (કારણ કે વિતરણ કાયદાના કોષ્ટકમાં અનંત ઘણા કૉલમ છે). જો આપણે આ શ્રેણીના સરવાળોની ગણતરી કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલનો તફાવત બંને એક્સપોઈસન વિતરણ પરિમાણ સાથે એકરુપ છે એઆ વિતરણના:

,
.

ચાલો ફેશન શોધીએ ડી(એક્સ) પોઈસન વિતરિત રેન્ડમ ચલ એક્સ. ચાલો એ જ તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ જેનો ઉપયોગ દ્વિપક્ષી રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના મોડની ગણતરી કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ફેશનની વ્યાખ્યા દ્વારા ડી(એક્સ)= k, જો સંભાવના
તમામ સંભાવનાઓ વચ્ચે મહાન આર 0 , પી 1 , ... . ચાલો આવા નંબર શોધીએ k (આ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે). આ સાથે kસંભાવના પી kતેની પડોશી સંભાવનાઓ કરતાં ઓછી ન હોવી જોઈએ: પી k −1 ≤ પી k ≤ પી k +1 . દરેક સંભાવના માટે અનુરૂપ સૂત્રને બદલીને, આપણે તે સંખ્યા મેળવીએ છીએ kબેવડી અસમાનતાને સંતોષવી જોઈએ:

જો આપણે ફેક્ટોરિયલ્સ માટેના સૂત્રો લખીએ અને સરળ પરિવર્તનો કરીએ, તો આપણે તે મેળવી શકીએ છીએ ડાબી અસમાનતાઆપે છે k≤ એ, અને અધિકાર k≥ a −1. તેથી નંબર kબેવડી અસમાનતાને સંતોષે છે a −1 ≤k≤ એ, એટલે કે સેગમેન્ટનું છે [ a −1, a] કારણ કે આ સેગમેન્ટની લંબાઈ દેખીતી રીતે સમાન છે 1 , તો તેમાં એક અથવા 2 પૂર્ણાંકો હોઈ શકે છે. જો નંબર એસમગ્ર, પછી સેગમેન્ટમાં [ a −1, a] સેગમેન્ટના છેડે 2 પૂર્ણાંકો આવેલા છે. જો નંબર એપૂર્ણાંક નથી, તો પછી આ સેગમેન્ટમાં માત્ર એક પૂર્ણાંક છે.

આમ, જો નંબર એપૂર્ણાંક, પછી પોઈસનનો મોડ રેન્ડમ ચલ વિતરિત કરે છે એક્સ 2 સંલગ્ન મૂલ્યો લે છે: ડી(એક્સ)=a−1અને ડી(એક્સ)=એ. જો નંબર એસમગ્ર નથી, પછી ફેશન છે એક મૂલ્ય ડી(એક્સ)= k, ક્યાં k એકમાત્ર પૂર્ણાંક છે જે અસમાનતાને સંતોષે છે a −1 ≤k≤ એ, એટલે કે ડી(એક્સ)= [એ] .

ઉદાહરણ. પ્લાન્ટે આધાર પર 5,000 ઉત્પાદનો મોકલ્યા. સંક્રમણમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થવાની સંભાવના 0.0002 છે. 18 ઉત્પાદનોને નુકસાન થવાની સંભાવના કેટલી છે? ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શું છે? ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યા શું છે અને તેની સંભાવના શું છે?

ઉદાહરણ તરીકે, રસ્તાના ચોક્કસ વિભાગ પર દર અઠવાડિયે ટ્રાફિક અકસ્માતોની સંખ્યા નોંધવામાં આવે છે. આ સંખ્યા એક રેન્ડમ ચલ છે જે નીચેના મૂલ્યો લઈ શકે છે: ( ઉપલી મર્યાદાના). માર્ગ અકસ્માતોની સંખ્યા તમને ગમે તેટલી મોટી હોઈ શકે છે. જો આપણે અઠવાડિયાના કોઈપણ ટૂંકા સમયગાળાને ધ્યાનમાં લઈએ, એક મિનિટ કહીએ, તો તે સમયગાળા દરમિયાન કોઈ ઘટના બનશે અથવા તે નહીં બને. એક મિનિટમાં ટ્રાફિક અકસ્માતની સંભાવના ઘણી ઓછી છે, અને તે લગભગ તમામ મિનિટો માટે સમાન છે.

ઘટનાઓની સંખ્યાનું સંભવિત વિતરણ સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

જ્યાં m એ રસ્તાના ચોક્કસ વિભાગ પર દર અઠવાડિયે અકસ્માતોની સરેરાશ સંખ્યા છે; e એ 2.718 ની બરાબર છે...

જેના માટે ડેટાની લાક્ષણિકતાઓ શ્રેષ્ઠ શક્ય રીતેપોઈસનનું યોગ્ય વિતરણ નીચે મુજબ છે:

1. સમયના દરેક નાના અંતરાલને અનુભવ તરીકે ગણી શકાય, જેનું પરિણામ બે બાબતોમાંથી એક છે: કાં તો ઘટના ("સફળતા") અથવા તેની ગેરહાજરી ("નિષ્ફળતા"). અંતરાલો એટલા નાના છે કે એક અંતરાલમાં ફક્ત એક "સફળતા" હોઈ શકે છે, જેની સંભાવના નાની અને સતત છે.

2. એકમાં "સફળતાઓ" ની સંખ્યા મોટો અંતરાલબીજામાં તેમની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી, એટલે કે. "સફળતાઓ" સમયાંતરે અવ્યવસ્થિત રીતે વેરવિખેર છે.

3. સમગ્ર સમય દરમિયાન "સફળતાઓ" ની સરેરાશ સંખ્યા સ્થિર રહે છે. પોઈસન પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ સમયાંતરે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સાથે કામ કરતી વખતે જ નહીં, પરંતુ મુસાફરીના કિલોમીટર દીઠ રસ્તાની સપાટીની ખામી અથવા ટેક્સ્ટના પૃષ્ઠ દીઠ ટાઇપોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે પણ થઈ શકે છે. સામાન્ય સૂત્રપોઈસન સંભાવના વિતરણ:

જ્યાં m એ એકમ દીઠ "સફળતાઓ" ની સરેરાશ સંખ્યા છે.

પોઈસન સંભાવના વિતરણ કોષ્ટકોમાં, મૂલ્યો m અને ચોક્કસ મૂલ્યો માટે ટેબ્યુલેટ કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 2.7. સરેરાશ દીઠ ટેલિફોન એક્સચેન્જપાંચ મિનિટમાં ત્રણ ટેલિફોન વાર્તાલાપનો ઓર્ડર આપો. પાંચ મિનિટની અંદર 0, 1,2, 3, 4 અથવા ચાર કરતાં વધુ કૉલ્સ મંગાવવાની સંભાવના કેટલી છે?

અમે પોઈસન સંભાવના વિતરણ લાગુ કરીશું, કારણ કે:

1. અમર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રયોગો છે, એટલે કે. સમયનો નાનો સમય જ્યારે ટેલિફોન વાર્તાલાપ માટેનો ઓર્ડર દેખાઈ શકે છે, જેની સંભાવના નાની અને સતત હોય છે.

2. ટેલિફોન વાતચીતની માંગ સમયાંતરે અવ્યવસ્થિત રીતે વિતરિત કરવામાં આવી હોવાનું માનવામાં આવે છે.

3. એવું માનવામાં આવે છે કે સરેરાશ ટેલિફોન વાતચીતસમય કોઈપણ મિનિટ સમયગાળામાં સમાન છે.

આ ઉદાહરણમાં, ઓર્ડરની સરેરાશ સંખ્યા 5 મિનિટમાં 3 છે. તેથી, પોઈસન વિતરણ:

પોઈસન સંભાવના વિતરણ સાથે, 5-મિનિટના સમયગાળામાં "સફળતાઓ" ની સરેરાશ સંખ્યાને જાણીને (ઉદાહરણ તરીકે, ઉદાહરણ તરીકે 2.7), એક કલાકમાં "સફળતાઓ" ની સરેરાશ સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે ફક્ત 12 વડે ગુણાકાર કરો. ઉદાહરણ તરીકે 2.7, કલાકમાં ઓર્ડરની સરેરાશ સંખ્યા હશે: 3 x 12 = 36. તેવી જ રીતે, જો તમે પ્રતિ મિનિટ ઓર્ડરની સરેરાશ સંખ્યા નક્કી કરવા માંગતા હોવ તો:

ઉદાહરણ 2.8. સરેરાશ પાંચ દિવસમાં કાર્યકારી સપ્તાહ 3.4 ઓટોમેટિક લાઇન પર ખામી સર્જાય છે. ઓપરેશનના દરેક દિવસે બે ખામીની સંભાવના કેટલી છે? ઉકેલ.

તમે પોઈસન વિતરણ લાગુ કરી શકો છો:

1. અમર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રયોગો છે, એટલે કે. સમયનો નાનો સમયગાળો, જેમાંના દરેક દરમિયાન સ્વયંસંચાલિત લાઇન પર ખામી સર્જાઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે. દરેક સમયગાળા માટે આની સંભાવના નાની અને સ્થિર છે.

2. એવું માનવામાં આવે છે કે સમસ્યાઓ અવ્યવસ્થિત રીતે સમયસર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

3. કોઈપણ પાંચ દિવસમાં નિષ્ફળતાઓની સરેરાશ સંખ્યા સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે.

પાંચ દિવસમાં સમસ્યાઓની સરેરાશ સંખ્યા 3.4 છે. તેથી દરરોજ સમસ્યાઓની સંખ્યા:

આથી,

ઘણા વ્યવહારિક રીતે મહત્વપૂર્ણ કાર્યક્રમોમાં, પોઈસન વિતરણ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સંખ્યાઓ ઘણા અલગ માત્રામાંનીચેના ગુણધર્મો સાથે પોઈસન પ્રક્રિયાના અમલીકરણ છે:

અમને રુચિ છે કે સંભવિત પરિણામોની આપેલ શ્રેણીમાં કોઈ ચોક્કસ ઘટના કેટલી વખત બને છે રેન્ડમ પ્રયોગ. સંભવિત પરિણામોનો વિસ્તાર સમય અંતરાલ, સેગમેન્ટ, સપાટી વગેરે હોઈ શકે છે.
આપેલ ઘટનાની સંભાવના સંભવિત પરિણામોના તમામ ક્ષેત્રો માટે સમાન છે.
સંભવિત પરિણામોના એક ક્ષેત્રમાં બનતી ઘટનાઓની સંખ્યા અન્ય વિસ્તારોમાં બનતી ઘટનાઓની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર છે.
સંભવિત પરિણામોના સમાન ક્ષેત્રમાં આ ઘટનાએક કરતા વધુ વખત થાય છે, શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે શક્ય પરિણામોની શ્રેણી ઘટે છે.

પોઈસન પ્રક્રિયાના અર્થને વધુ સમજવા માટે, ધારો કે અમે કેન્દ્રમાં સ્થિત બેંક શાખાની મુલાકાત લેતા ગ્રાહકોની સંખ્યાની તપાસ કરીએ છીએ. બિઝનેસ ડિસ્ટ્રિક્ટ, લંચ દરમિયાન, એટલે કે. 12 થી 13 વાગ્યા સુધી. ધારો કે તમે એક મિનિટમાં આવનારા ગ્રાહકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માંગો છો. શું આ પરિસ્થિતિમાં ઉપર સૂચિબદ્ધ લક્ષણો છે? પ્રથમ, અમને રુચિ હોય તેવી ઘટના એ ક્લાયન્ટનું આગમન છે, અને સંભવિત પરિણામોની શ્રેણી એ એક-મિનિટનો અંતરાલ છે. એક મિનિટમાં કેટલા ગ્રાહકો બેંકમાં આવશે - એક નહીં, એક, બે કે તેથી વધુ? બીજું, એવું માની લેવું વાજબી છે કે એક મિનિટમાં ગ્રાહક આવવાની સંભાવના તમામ એક-મિનિટના અંતરાલ માટે સમાન છે. ત્રીજું, કોઈપણ એક-મિનિટના અંતરાલ દરમિયાન એક ગ્રાહકનું આગમન અન્ય કોઈ એક-મિનિટના અંતરાલ દરમિયાન કોઈપણ અન્ય ગ્રાહકના આગમનથી સ્વતંત્ર છે. અને અંતે, જો સમય અંતરાલ શૂન્ય થઈ જાય, ઉદાહરણ તરીકે, 0.1 સેકંડથી ઓછો થઈ જાય તો બેંકમાં એક કરતાં વધુ ક્લાયન્ટ આવશે તેવી સંભાવના શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી, એક મિનિટમાં લંચ દરમિયાન બેંકમાં આવતા ગ્રાહકોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે.

પોઈસન વિતરણમાં એક પરિમાણ હોય છે, જે λ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ( ગ્રીક અક્ષર"લેમ્બડા") એ સંભવિત પરિણામોના આપેલ ક્ષેત્રમાં સફળ પરીક્ષણોની સરેરાશ સંખ્યા છે. પોઈસન વિતરણનો તફાવત પણ λ છે, અને તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યા એક્સપોઈસન રેન્ડમ ચલ 0 થી અનંત સુધી બદલાય છે. પોઈસન વિતરણ સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

જ્યાં P(X)- સંભાવના એક્સસફળ પરીક્ષણો, λ - સફળતાની અપેક્ષિત સંખ્યા, ઇ- કુદરતી લઘુગણક આધાર 2.71828 બરાબર, એક્સ- સમયના એકમ દીઠ સફળતાઓની સંખ્યા.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ. જણાવી દઈએ કે લંચ બ્રેક દરમિયાન દર મિનિટે સરેરાશ ત્રણ ગ્રાહક બેંકમાં આવે છે. આપેલ ક્ષણે બે ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે? બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો ફોર્મ્યુલા (1) પેરામીટર λ = 3 સાથે લાગુ કરીએ. પછી આપેલ મિનિટમાં બે ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના બરાબર છે

બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવશે તેવી સંભાવના P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) ની બરાબર છે. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોવો જોઈએ, તેથી સૂત્રની જમણી બાજુએ શ્રેણીની શરતો ઘટના X ≤ 2 માં ઉમેરાની સંભાવના દર્શાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ શ્રેણીનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે – P(X ≤ 2). આમ, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. હવે, સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:

આમ, એક મિનિટની અંદર બે કરતાં વધુ ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં ન આવે તેવી સંભાવના 0.423 (અથવા 42.3%) છે અને એક મિનિટમાં બે કરતાં વધુ ગ્રાહકો બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના 0.577 (અથવા 57.7%) છે.

આવી ગણતરીઓ કંટાળાજનક લાગે છે, ખાસ કરીને જો પરિમાણ λ પૂરતું મોટું હોય. ટાળવા માટે જટિલ ગણતરીઓ, ઘણી પોઈસન સંભાવનાઓ વિશિષ્ટ કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે (ફિગ. 1). ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ મિનિટે બે ક્લાયન્ટ્સ બેંકમાં આવે તેવી સંભાવના, જો સરેરાશ ત્રણ ક્લાયન્ટ પ્રતિ મિનિટ બેંકમાં આવે, તો તે લાઇનના આંતરછેદ પર છે. એક્સ= 2 અને કૉલમ λ = 3. આમ, તે 0.2240 અથવા 22.4% ની બરાબર છે.

ચોખા. 1. પોઈસન સંભાવના λ = 3 પર

આજકાલ, જો એક્સેલ તેના =POISSON.DIST() ફંક્શન સાથે હોય તો કોઈ પણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરે તેવી શક્યતા નથી (ફિગ. 2). આ કાર્યમાં ત્રણ પરિમાણો છે: સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યા એક્સ, સફળ અજમાયશની સરેરાશ અપેક્ષિત સંખ્યા λ, પરિમાણ અભિન્ન, બે મૂલ્યો લેતા: FALSE - આ કિસ્સામાં સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યાની સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે એક્સ(માત્ર X), સાચું – આ કિસ્સામાં 0 થી સફળ પરીક્ષણોની સંખ્યાની સંભાવના એક્સ.

ચોખા. 2. માં ગણતરી એક્સેલ સંભાવનાઓપોઈસનનું વિતરણ λ = 3 પર

પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ

જો નંબર nમોટી અને સંખ્યા છે આર- થોડા, દ્વિપદી વિતરણપોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત કરી શકાય છે. કેવી રીતે મોટી સંખ્યા nઅને ઓછી સંખ્યા આર, અંદાજની ચોકસાઈ જેટલી વધારે છે. નીચેના પોઈસન મોડલનો ઉપયોગ દ્વિપદી વિતરણ અંદાજિત કરવા માટે થાય છે.

જ્યાં P(X)- સંભાવના એક્સસાથે સફળતા આપેલ પરિમાણો nઅને આર, n- નમૂનાનું કદ, આર- સફળતાની સાચી સંભાવના, ઇ- કુદરતી લઘુગણકનો આધાર, એક્સ- નમૂનામાં સફળતાઓની સંખ્યા (X = 0, 1, 2, …, n).

સૈદ્ધાંતિક રીતે રેન્ડમ ચલ, જે પોઈસન વિતરણ ધરાવે છે, તે 0 થી ∞ સુધીના મૂલ્યો લે છે. જો કે, એવી પરિસ્થિતિઓમાં જ્યાં પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ દ્વિપદી વિતરણની અંદાજિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે, પોઈસન રેન્ડમ ચલ એ સફળતાની સંખ્યા છે nઅવલોકનો - સંખ્યા ઓળંગી શકાતી નથી n. સૂત્ર (2) થી તે વધતી સંખ્યા સાથે તેને અનુસરે છે nઅને સંખ્યામાં ઘટાડો આરશોધની સંભાવના મોટી સંખ્યામાંસફળતા દર ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે.

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, પોઈસન વિતરણની અપેક્ષા µ અને વિચલન σ 2 λ બરાબર છે. તેથી, પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિતરણનો અંદાજ કાઢતી વખતે, ગાણિતિક અપેક્ષાને અંદાજિત કરવા માટે સૂત્ર (3) નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

(3) µ = E(X) = λ =એન.પી.

અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલન માટે, સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ થાય છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ પ્રમાણભૂત વિચલન વલણ ધરાવે છે પ્રમાણભૂત વિચલનદ્વિપદી મોડેલમાં - જ્યારે સફળતાની સંભાવના પીશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને, તે મુજબ, નિષ્ફળતાની સંભાવના 1 - પીએકતા તરફ વલણ ધરાવે છે.

ચાલો ધારીએ કે ચોક્કસ પ્લાન્ટમાં ઉત્પાદિત 8% ટાયર ખામીયુક્ત છે. આશરે દ્વિપદી વિતરણ માટે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ સમજાવવા માટે, ચાલો 20 ટાયરના નમૂનામાં એક ખામીયુક્ત ટાયર શોધવાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ. ચાલો સૂત્ર (2) લાગુ કરીએ, આપણે મેળવીએ

જો આપણે તેના અંદાજને બદલે સાચા દ્વિપદી વિતરણની ગણતરી કરીએ, તો આપણને નીચેનું પરિણામ મળશે:

જો કે, આ ગણતરીઓ ખૂબ કંટાળાજનક છે. જો કે, જો તમે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે એક્સેલનો ઉપયોગ કરો છો, તો પોઈસન ડિસ્ટ્રીબ્યુશન અંદાજનો ઉપયોગ બિનજરૂરી બની જાય છે. ફિગ માં. આકૃતિ 3 બતાવે છે કે એક્સેલમાં ગણતરીઓની જટિલતા સમાન છે. જો કે, મારા મતે, આ વિભાગ એ સમજવા માટે ઉપયોગી છે કે કેટલીક શરતો હેઠળ દ્વિપદી વિતરણ અને પોઈસન વિતરણ સમાન પરિણામો આપે છે.

ચોખા. 3. એક્સેલમાં ગણતરીઓની જટિલતાની સરખામણી: (a) પોઈસન વિતરણ; (b) દ્વિપદી વિતરણ

તેથી, આ અને બે અગાઉની નોંધોમાં ત્રણ અલગ સંખ્યાત્મક વિતરણો: , અને પોઈસન. આ વિતરણો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમે પ્રશ્નોનું એક નાનું વૃક્ષ રજૂ કરીએ છીએ (ફિગ. 4).