Persamaannya adalah ekspresi matematika, yang merupakan persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui. Jika suatu persamaan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari hal-hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya, maka persamaan itu disebut identitas; Misalnya: relasi bentuk (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) berlaku untuk semua nilai x.
Jika persamaan yang mengandung x yang tidak diketahui hanya berlaku untuk nilai x tertentu dan tidak untuk semua nilai x, seperti dalam kasus identitas, maka mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang mana persamaan tersebut valid. Nilai x seperti itu disebut akar atau solusi persamaan. Misalnya bilangan 5 adalah akar persamaan 2x + 7= 17.
Dalam cabang matematika yang disebut teori persamaan, pokok bahasan utama yang dipelajari adalah metode penyelesaian persamaan. DI DALAM kursus sekolah Persamaan aljabar mendapat banyak perhatian.
Sejarah studi persamaan sudah ada sejak berabad-abad yang lalu. Yang paling banyak matematikawan terkenal yang berkontribusi terhadap perkembangan teori persamaan adalah:
Archimedes (c. 287–212 SM) adalah seorang ilmuwan, matematikawan, dan mekanik Yunani kuno. Saat mempelajari suatu permasalahan yang direduksi menjadi persamaan kubik, Archimedes menemukan peran suatu sifat, yang kemudian disebut diskriminan.
Francois Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar dalam mempelajari berbagai masalah matematika. Secara khusus, dia memperkenalkan sebutan surat koefisien persamaan dan menetapkan hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat.
Leonhard Euler (1707 – 1783) - ahli matematika, mekanik, fisikawan dan astronom. Penulis St. 800 karya analisis matematis, persamaan diferensial, geometri, teori bilangan, perhitungan perkiraan, mekanika angkasa, matematika, optik, balistik, pembuatan kapal, teori musik, dll. Ia mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan. Dia menurunkan rumus (rumus Euler) dengan mengungkapkan fungsi trigonometri variabel x melalui fungsi eksponensial.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Matematikawan Perancis dan mekanik. Ia telah melakukan penelitian yang luar biasa, termasuk penelitian tentang aljabar (fungsi simetris dari akar-akar persamaan, persamaan diferensial (teori solusi tunggal, metode variasi konstanta).
J. Lagrange dan A. Vandermonde adalah matematikawan Perancis. Pada tahun 1771, metode penyelesaian sistem persamaan (metode substitusi) pertama kali digunakan.
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - matematikawan Jerman. Dia menulis sebuah buku yang menguraikan teori persamaan pembagian lingkaran (yaitu persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak hal merupakan prototipe teori Galois. Di samping itu metode umum solusi persamaan ini, membangun hubungan antara persamaan tersebut dan konstruksinya poligon beraturan. Untuk pertama kalinya sejak para ilmuwan Yunani kuno, ia membuat langkah maju yang signifikan dalam hal ini, yaitu: ia menemukan semua nilai n yang dengannya n-gon beraturan dapat dibuat dengan kompas dan penggaris. Saya mempelajari metode penjumlahan. Saya menyimpulkan bahwa sistem persamaan dapat dijumlahkan, dibagi, dan dikalikan.
O. I. Somov - memperkaya berbagai bagian matematika dengan karya-karya penting dan banyak, di antaranya teori persamaan aljabar tertentu derajat yang lebih tinggi.
Galois Evariste (1811-1832) - matematikawan Perancis. Kelebihan utamanya adalah perumusan sekumpulan gagasan yang ia peroleh sehubungan dengan kelanjutan penelitian tentang solvabilitas persamaan aljabar, yang dimulai oleh J. Lagrange, N. Abel, dan lain-lain, dan menciptakan teori persamaan aljabar. derajat yang lebih tinggi dengan satu yang tidak diketahui.
A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Karyanya dikaitkan metode geometris Dengan metode analitis teori persamaan diferensial parsial. Karya-karyanya juga memberikan pengaruh yang signifikan terhadap teori persamaan diferensial nonlinier.
P. Ruffini - Matematikawan Italia. Dia mengabdikan sejumlah karyanya untuk membuktikan persamaan derajat 5 yang tidak dapat dipecahkan, secara sistematis menggunakan ketertutupan himpunan substitusi.
Meskipun para ilmuwan telah mempelajari persamaan sejak lama, sains tidak mengetahui bagaimana dan kapan orang perlu menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahwa manusia telah memecahkan masalah yang mengarah pada penyelesaian persamaan paling sederhana sejak mereka menjadi manusia. 3 - 4 ribu tahun lagi SM. e. Orang Mesir dan Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan. Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan aturan modern, tetapi tidak diketahui bagaimana persamaan tersebut sampai ke sana.
DI DALAM Mesir Kuno dan Babel, metode posisi palsu digunakan. Persamaan derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui selalu dapat direduksi menjadi bentuk ax + b = c, dimana a, b, c adalah bilangan bulat. Menurut aturan operasi aritmatika kapak = c - b,
Jika b > c, maka c b bilangan negatif. Angka negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan banyak bangsa lain di kemudian hari (mereka mulai digunakan dalam matematika sejajar dengan bilangan positif hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang sekarang kita selesaikan dengan persamaan derajat pertama, ditemukan metode posisi palsu. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan metode ini. Orang Mesir punya tanda khusus untuk menunjukkan tanggal yang tidak diketahui, yang hingga saat ini dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan dengan kata "heap" ("heap" atau "jumlah unit yang tidak diketahui"). Sekarang mereka membaca dengan tidak terlalu akurat: “ya.” Metode penyelesaian yang digunakan Ahmed disebut metode satu posisi salah. Dengan menggunakan metode ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Metode ini melibatkan membagi setiap sisi persamaan dengan a. Itu digunakan oleh orang Mesir dan Babilonia. kamu negara yang berbeda Metode dua posisi palsu digunakan. Orang-orang Arab memekanisasi metode ini dan memperoleh bentuk yang kemudian dituangkan dalam buku teks masyarakat Eropa, termasuk Aritmatika Magnitsky. Magnitsky menyebut solusi tersebut sebagai “aturan yang salah” dan menulis di bagian bukunya yang menguraikan metode ini:
Bagian ini sangat licik, karena Anda bisa memasukkan semuanya. Bukan hanya apa yang ada dalam kewarganegaraan, tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di angkasa, Sekalipun mereka terhitung di alam surga, Sebagaimana orang bijak mempunyai kebutuhan.
Isi puisi Magnitsky dapat diringkas secara singkat sebagai berikut: bagian aritmatika ini sangat rumit. Dengan bantuannya, Anda tidak hanya dapat menghitung apa yang dibutuhkan dalam praktik sehari-hari, tetapi juga memecahkan pertanyaan-pertanyaan “lebih tinggi” yang dihadapi oleh “bijaksana”. Magnitsky menggunakan “aturan palsu” dalam bentuk yang diberikan oleh orang-orang Arab, dengan menyebutnya “aritmatika dua kesalahan” atau “metode skala.” Matematikawan India sering memberikan soal dalam bentuk syair. Masalah teratai:
Di atas danau yang tenang, setengah ukuran di atas air, terlihat warna bunga teratai. Dia tumbuh sendirian, dan angin, seperti ombak, Membengkokkannya ke samping, dan tidak lagi
Bunga di atas air. Mata nelayan menemukannya dua meter dari tempat ia dibesarkan. Seberapa dalam air danau di sini? Saya akan mengajukan pertanyaan kepada Anda.
Jenis persamaan
Persamaan linier adalah persamaan yang bentuknya: ax + b = 0, dimana a dan b adalah suatu konstanta. Jika a tidak sama dengan nol, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar tunggal: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).
Contoh: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.
Penyelesaian: Karena a = 4, dan b = 12, maka x = - 12:4; x = - 3.
Periksa: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Karena 0 = 0, maka -3 adalah akar persamaan aslinya.
Menjawab. x = -3
Jika a sama dengan nol dan b sama dengan nol, maka akar persamaan ax + b = 0 adalah bilangan apa pun.
Misalnya:
0 = 0. Karena 0 sama dengan 0, maka akar persamaan 0x + 0 = 0 adalah bilangan apa pun.
Jika a sama dengan nol dan b tidak sama dengan nol, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai akar.
Misalnya:
0 = 6. Karena 0 tidak sama dengan 6, maka 0x – 6 = 0 tidak mempunyai akar.
Sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linier adalah sistem yang semua persamaannya linier.
Memecahkan suatu sistem berarti menemukan semua solusinya.
Sebelum menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, Anda dapat menentukan jumlah penyelesaiannya.
Misalkan sistem persamaan diberikan: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Jika a1 dibagi a2 tidak sama dengan b1 dibagi b2, maka sistem mempunyai satu solusi unik.
Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, tetapi sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi.
Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, dan sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.
Sistem persamaan yang mempunyai paling sedikit satu solusi disebut sistem persamaan simultan.
Suatu sistem gabungan disebut pasti jika mempunyai nomor akhir penyelesaiannya, dan tak tentu jika himpunan penyelesaiannya tak terhingga.
Suatu sistem yang tidak mempunyai solusi tunggal disebut tidak konsisten atau kontradiktif.
Metode penyelesaian persamaan linear
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:
1) Metode seleksi. Ini yang paling banyak cara paling sederhana. Itu terletak pada kenyataan bahwa setiap orang dipilih nilai yang valid tidak diketahui dengan enumerasi.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
Misalkan x = 1. Maka
4 = 6. Karena 4 tidak sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 1 salah.
Misalkan x = 2.
6 = 6. Karena 6 sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 2 benar.
Jawaban: x = 2.
2) Metode penyederhanaan
Metode ini terdiri dari mentransfer semua istilah yang mengandung hal yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan yang dikenal di sebelah kanan dengan tanda yang berlawanan, berikan persamaan yang serupa, dan bagi kedua ruas persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
5x – 4 = 11 + 2x;
5x – 2x = 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Menjawab. x = 5.
3) Metode grafis.
Ini terdiri dari membangun grafik fungsi persamaan yang diberikan. Karena dalam persamaan linier y = 0, grafiknya sejajar dengan ordinat. Titik potong grafik dengan sumbu x akan menjadi solusi persamaan ini.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
Misalkan y = 7. Maka y = 2x + 3.
Mari kita gambarkan fungsi kedua persamaan:
Metode penyelesaian sistem persamaan linear
Di kelas tujuh, mereka mempelajari tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:
1) Metode substitusi.
Metode ini terdiri dari menyatakan satu hal yang tidak diketahui ke dalam hal lain dalam salah satu persamaan. Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke persamaan lain, yang kemudian diubah menjadi persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui, dan kemudian diselesaikan. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan apa pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.
Misalnya.
Selesaikan sistem persamaan.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + kamu = 4; kamu = 4 - 3x.
Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan lain:
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3x + y = 4.
3 1 + kamu = 4;
3 + kamu = 4; kamu = 4 – 3; kamu = 1.
Penyelidikan.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Jawaban: x = 1; kamu = 1.
2) Metode penjumlahan.
Metode ini adalah jika sistem ini terdiri dari persamaan-persamaan yang jika dijumlahkan suku demi suku, membentuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita memperoleh nilai salah satu yang tidak diketahui. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan mana pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.
Misalnya:
Selesaikan sistem persamaan.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3y = 4.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan.
3x = 9; : (3) x = 3.
Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3y – 2x = 5.
3у – 2 3 = 5;
3у = 11; : (3) kamu = 11/3; kamu = 3 2/3.
Jadi x = 3; kamu = 3 2/3.
Penyelidikan.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Menjawab. x = 3; kamu = 3 2/3
3) Metode grafis.
Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika grafik suatu persamaan berpotongan, maka koordinat titik potong tersebut merupakan penyelesaian sistem tersebut. Jika grafik persamaannya berupa garis sejajar, maka sistem ini tidak mempunyai penyelesaian. Jika grafik persamaan tersebut bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian yang tak terhingga.
Misalnya.
Selesaikan sistem persamaan.
18x + 3 tahun - 1 = 8.
2x - kamu = 5; 18x + 3 tahun - 1 = 8;
kamu = 5 - 2x; 3 tahun = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Mari kita buat grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.
Grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x berpotongan di titik A (1; -3).
Oleh karena itu, penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 1 dan y = -3.
Penyelidikan.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Menjawab. x = 1; kamu = -3.
Kesimpulan
Berdasarkan semua hal di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan diperlukan dunia modern tidak hanya untuk penyelesaian masalah praktis, tetapi juga sebagai alat ilmiah. Itulah sebabnya banyak ilmuwan yang mempelajari masalah ini dan terus mempelajarinya.
Persamaan linier. Solusi, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Persamaan linier.
Persamaan linier bukanlah yang terbanyak topik yang kompleks matematika sekolah. Namun ada beberapa trik yang dapat membingungkan siswa yang sudah terlatih sekalipun. Mari kita cari tahu?)
Biasanya persamaan linier didefinisikan sebagai persamaan dengan bentuk:
kapak + B = 0 Di mana a dan b– nomor apa pun.
2x + 7 = 0. Sini sebuah=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Disini Sebuah=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Disini Sebuah=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, bukan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah bilangan apa saja"... Dan jika Anda memperhatikan dan memikirkannya secara sembarangan?) Lagi pula, jika sebuah=0, b=0(adakah angka yang mungkin?), maka kita mendapatkan ekspresi lucu:
Tapi bukan itu saja! Jika, katakanlah, sebuah=0, A b=5, Ini ternyata merupakan sesuatu yang sangat luar biasa:
Yang menjengkelkan dan meruntuhkan kepercayaan diri terhadap matematika ya...) Apalagi saat ujian. Namun dari ekspresi aneh ini Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan yang mengejutkan, X ini sangat mudah ditemukan. Kami akan belajar melakukan ini. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana cara mengenali persamaan linear dari tampilannya? Tergantung apa penampilan.) Caranya adalah persamaan linear bukan hanya persamaan bentuk saja kapak + B = 0 , tetapi juga persamaan apa pun yang dapat direduksi menjadi bentuk ini melalui transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu turun atau tidak?)
Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan yang hanya berisi bilangan dan derajat pertama yang tidak diketahui. Dan dalam persamaannya tidak ada pecahan dibagi tidak dikenal , ini penting! Dan pembagian berdasarkan nomor, atau pecahan numerik - diterima! Misalnya:
Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x pada persegi, kubus, dan seterusnya, dan tidak ada x pada penyebutnya, mis. TIDAK pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak bisa disebut linier. Di sini tanda X semuanya ada pada derajat pertama, tetapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, persamaan kuadrat, atau apa pun yang Anda suka.
Ternyata tidak mungkin mengenali persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya kan? Tugas meminta persamaan memutuskan. Ini membuatku bahagia.)
Memecahkan persamaan linier. Contoh.
Seluruh solusi persamaan linear terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (dua di antaranya!) adalah dasar dari solusinya semua persamaan matematika. Dengan kata lain, solusinya setiap persamaannya dimulai dengan transformasi ini. Dalam kasus persamaan linier, penyelesaiannya didasarkan pada transformasi ini dan diakhiri dengan jawaban lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, bukan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier di sana.
Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana. Tanpa jebakan apa pun. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan ini.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linier. Tanda X semuanya ada pada pangkat satu, tidak ada pembagian dengan X. Namun, pada kenyataannya, tidak menjadi masalah bagi kita persamaan apa yang digunakan. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan X di sisi kiri persamaan, semuanya tanpa X (angka) di sisi kanan.
Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transfer - 4x ke samping kiri, dengan pergantian tanda tentunya dan - 3 - ke kanan. Ngomong-ngomong, ini dia transformasi persamaan identik pertama. Terkejut? Artinya Anda tidak mengikuti tautan tersebut, tetapi sia-sia...) Kita mendapatkan:
x + 4x = 2 + 3
Berikut ini yang serupa, kami pertimbangkan:
Apa yang kita butuhkan untuk kebahagiaan seutuhnya? Ya, sehingga ada X murni di sebelah kiri! Lima menghalangi. Menyingkirkan kelimanya dengan bantuan transformasi persamaan identik kedua. Yaitu, kita membagi kedua ruas persamaan dengan 5. Kita mendapatkan jawaban yang sudah jadi:
Sebuah contoh mendasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak begitu jelas mengapa saya mengingat transformasi yang sama di sini? OKE. Mari kita ambil risikonya.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih solid.
Misalnya, inilah persamaannya:
Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Itu mungkin. Dalam langkah-langkah kecil jalan panjang. Atau Anda dapat melakukannya segera, dengan cara yang universal dan ampuh. Jika, tentu saja, Anda memiliki transformasi persamaan yang identik di gudang senjata Anda.
aku bertanya padamu pertanyaan kunci: Apa yang paling tidak Anda sukai dari persamaan ini?
95 dari 100 orang akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Oleh karena itu, kita segera mulai dengan transformasi identitas kedua. Pecahan di sebelah kiri perlu dikalikan dengan apa agar penyebutnya berkurang seluruhnya? Benar, jam 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua ruas dengan nomor yang sama. Bagaimana kita bisa keluar? Kalikan kedua ruasnya dengan 12! Itu. pada penyebut yang sama. Maka baik yang tiga maupun yang empat akan dikurangi. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Berikut tampilan langkah pertamanya:
Memperluas tanda kurung:
Memperhatikan! Pembilang (x+2) Saya memasukkannya ke dalam tanda kurung! Ini karena saat mengalikan pecahan, seluruh pembilangnya dikalikan! Sekarang Anda dapat mengurangi pecahan:
Luaskan tanda kurung yang tersisa:
Bukan contoh, tapi kesenangan belaka!) Sekarang mari kita ingat mantranya kelas junior: dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:
Berikut beberapa yang serupa:
Dan bagi kedua bagian dengan 25, mis. terapkan transformasi kedua lagi:
Itu saja. Menjawab: X=0,16
Harap diperhatikan: untuk mengubah persamaan awal yang membingungkan menjadi bentuk yang bagus, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identitas– translasi kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian suatu persamaan dengan bilangan yang sama. Ini metode universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Tentu saja siapa pun. Itu sebabnya saya terus mengulangi tentang transformasi identik ini dengan membosankan.)
Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear itu sederhana. Kami mengambil persamaan dan menyederhanakannya dengan transformasi identitas sebelum menerima tanggapan. Masalah utama di sini terletak pada perhitungannya, bukan pada prinsip penyelesaiannya.
Tapi... Ada begitu banyak kejutan dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar sehingga bisa membuat Anda sangat pingsan...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Sebut saja itu kasus khusus.
Kasus khusus dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan pertama.
Katakanlah Anda mengerti persamaan paling dasar, sesuatu seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kita pindahkan dengan tanda X ke kiri, tanpa tanda X - ke kanan... Dengan perubahan tanda, semuanya sempurna... Kita mendapatkan:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami menghitung, dan... ups!!! Kami mendapatkan:
Kesetaraan ini sendiri tidak dapat ditolak. Memang nol sama dengan nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menuliskan jawabannya, x sama dengan apa? Kalau tidak, solusinya tidak masuk hitungan kan...) Deadlock?
Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan paling umum akan menyelamatkan Anda. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Artinya, temukan semua nilai x yang jika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita kesetaraan sejati.
Tapi kami memiliki kesetaraan sejati sudah itu berhasil! 0=0, seberapa akuratnya?! Masih mencari tahu pada x apa hal ini terjadi. Berapa nilai X yang dapat disubstitusikan asli persamaan jika x ini apakah masih akan dikurangi menjadi nol? Ayo?)
Ya!!! X bisa diganti setiap! Yang mana yang kamu inginkan? Minimal 5, minimal 0,05, minimal -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat memeriksanya.) Gantikan nilai X apa pun ke dalamnya asli persamaan dan hitung. Ini akan berhasil sepanjang waktu kebenaran murni: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Inilah jawaban Anda: x - nomor berapa pun.
Jawabannya bisa ditulis dalam simbol matematika yang berbeda, intinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linier dasar yang sama dan ubah satu bilangan saja di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Setelah transformasi identik yang sama, kita mendapatkan sesuatu yang menarik:
Seperti ini. Kami memecahkan persamaan linier dan mendapatkan persamaan yang aneh. Berbicara bahasa matematika, kita dapat kesetaraan palsu. Dan berbicara dalam bahasa yang sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang sangat bagus keputusan yang tepat persamaan.)
Sekali lagi kami berpikir berdasarkan aturan umum. Berapakah nilai x, jika disubstitusikan ke dalam persamaan awal, akan diperoleh kita BENAR persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada X seperti itu. Tidak peduli apa yang kamu masukkan, semuanya akan berkurang, hanya omong kosong yang tersisa.)
Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.
Ini juga merupakan jawaban yang lengkap. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering dijumpai.
Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya X dalam proses penyelesaian persamaan apa pun (bukan hanya persamaan linier) tidak akan membingungkan Anda sama sekali. Ini sudah merupakan hal yang biasa.)
Sekarang kita telah mengatasi semua kendala dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Mundur ke Depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik pekerjaan ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Tujuan pelajaran:
Pendidikan:
- Meringkas pengetahuan tentang semua jenis persamaan, tekankan pentingnya semua metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan.
- Mengintensifkan hasil karya siswa melalui berbagai teknik dalam pembelajaran.
- Uji keterampilan teoritis dan praktis dalam memecahkan persamaan.
- Fokus pada fakta bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan beberapa cara
Pendidikan:
- Meningkatkan minat siswa terhadap mata pelajaran melalui pemanfaatan TIK.
- Biasakan siswa dengan materi sejarah tentang topik tersebut.
- Perkembangan aktivitas mental ketika menentukan jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.
Pendidikan:
- Menanamkan kedisiplinan di dalam kelas.
- Mengembangkan kemampuan untuk melihat keindahan dalam diri sendiri, orang lain dan dunia sekitar.
Jenis pelajaran:
- Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.
Jenis pelajaran:
- Gabungan.
Bahan dan peralatan teknis:
- Komputer
- Layar
- Proyektor
- Disk dengan presentasi topik
Metode dan teknik:
- Menggunakan presentasi
- Percakapan depan
- Pekerjaan lisan
- Momen permainan
- Bekerja berpasangan
- Bekerja di dewan
- Bekerja di buku catatan
Rencana pelajaran:
- Momen organisasi (1 menit)
- Menguraikan topik pelajaran (3 menit)
- Pernyataan topik dan tujuan pelajaran (1 menit)
- Pemanasan teoritis (3 menit)
- Tamasya sejarah (3 menit)
- Game “Hapus kelebihannya” (2 menit)
- Karya kreatif(2 menit)
- Tugas “Temukan kesalahannya” (2 menit)
- Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (pada slide) (3 menit)
- Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan) (24 menit)
- Kerja mandiri berpasangan dilanjutkan dengan penjelasan (5 menit)
- Pekerjaan rumah individu (1 menit)
- Refleksi ringkasan pelajaran (1 menit)
Prasasti pelajaran:
“Anda hanya bisa belajar melalui kesenangan; untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.”
A.Perancis
Ringkasan pelajaran
Bagian organisasi
Saya memeriksa kesiapan siswa untuk mengikuti pelajaran dan menandai siswa yang tidak hadir dalam pelajaran. Teman-teman, penulis Perancis abad ke-19 A. France pernah berkata, “Anda hanya bisa belajar melalui kesenangan; untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.” Maka mari ikuti nasehat penulis dalam pelajaran kita dan cerna ilmunya dengan penuh nafsu, karena akan berguna dalam kehidupan kita.
Menguraikan topik pelajaran
Untuk beralih ke tugas yang lebih kompleks, mari kita regangkan otak kita dengan tugas-tugas sederhana. Topik pelajaran kita dienkripsi; dengan menyelesaikan tugas lisan dan menemukan jawabannya, mengetahui bahwa setiap jawaban memiliki hurufnya sendiri, kita akan mengungkapkan topik pelajaran. Slide presentasi 3
Mengkomunikasikan topik dan tujuan pelajaran
Anda sendiri yang menyebutkan topik pelajaran hari ini
“Jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.” Slide presentasi 4
Tujuan: Mengingat dan menggeneralisasi semua jenis persamaan dan metode penyelesaiannya. Selesaikan satu persamaan menggunakan semua metode. Slide presentasi 5 Baca pernyataan Einstein Slide presentasi 5
Pemanasan teoretis
Slide Presentasi Pertanyaan 7
Jawaban
- Kesetaraan mengandung nilai variabel, dilambangkan dengan beberapa huruf.
- Artinya menemukan seluruh akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akarnya.
- Nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar.
- Setelah definisi ini, bacalah puisi tentang persamaan. Slide presentasi 12,13,14
Jawaban dari 2 pertanyaan terakhir Slide presentasi 9,10,11
Tamasya sejarah
Informasi sejarah tentang “Siapa yang menemukan persamaan dan kapan” Slide presentasi 15
Mari kita bayangkan seorang ibu primitif bernama... namun, dia mungkin bahkan tidak memiliki nama, memetik 12 apel dari pohon untuk diberikan kepada keempat anaknya. Dia mungkin tidak tahu cara menghitung tidak hanya sampai 12, tetapi juga sampai empat, dan tentu saja tidak tahu cara membagi 12 dengan 4. Dan dia mungkin membagi apel seperti ini: pertama dia memberi setiap anak sebuah apel, lalu apel lainnya. , lalu yang lain sendirian dan kemudian saya melihat tidak ada lagi apel dan anak-anak senang. Jika kita menuliskan tindakan ini dalam bahasa matematika modern, kita mendapatkan x4=12, yaitu ibu saya memecahkan masalah membuat persamaan. Rupanya, pertanyaan di atas tidak mungkin terjawab. Permasalahan yang mengarah pada penyelesaian persamaan telah diselesaikan oleh manusia dengan menggunakan akal sehat sejak mereka menjadi manusia. Bahkan 3-4 ribu tahun SM, orang Mesir dan Babilonia mampu menyelesaikan persamaan paling sederhana, yang bentuk dan metode penyelesaiannya tidak sama dengan persamaan modern. Orang Yunani mewarisi pengetahuan orang Mesir dan melanjutkan perjalanan. Kesuksesan terbesar Perkembangan doktrin persamaan dicapai oleh ilmuwan Yunani Diophantus (abad III), yang tentangnya mereka menulis:
Dia memecahkan banyak masalah.
Dia meramalkan bau dan hujan.
Sungguh, ilmunya luar biasa.
Matematikawan Asia Tengah Muhammad al Khorezmi (abad ke-9) memberikan kontribusi besar dalam memecahkan persamaan. Bukunya yang terkenal al-Khawarizmi dikhususkan untuk memecahkan persamaan. Ini disebut “Kitab al-jabr wal-mukabala”, yaitu “Kitab Komplementasi dan Pertentangan”. Buku ini mulai dikenal orang Eropa, dan dari kata “al-jabr” dari judulnya muncullah kata “aljabar” – nama salah satu bagian utama matematika. Selanjutnya, banyak matematikawan yang mengerjakan masalah persamaan. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk x2+in=0 dirumuskan oleh matematikawan Jerman Stiefel, yang hidup pada abad ke-15. Setelah karya matematikawan Belanda Girard (abad ke-16), serta Descartes dan Newton, metode penyelesaian mengambil bentuk modern. Rumus yang menyatakan ketergantungan akar-akar persamaan pada koefisiennya diperkenalkan oleh Vieth. Francois Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar dalam mempelajari berbagai masalah matematika dan astronomi; khususnya, dia memperkenalkan sebutan huruf untuk koefisien persamaan. Sekarang mari kita berkenalan dengan episode menarik dari hidupnya. Viet memperoleh ketenaran besar di bawah Raja Henry III, selama Perang Perancis-Spanyol. Inkuisitor Spanyol menemukan tulisan rahasia yang sangat rumit, berkat orang-orang Spanyol yang berkorespondensi dengan musuh-musuh mereka Henry III bahkan di Perancis sendiri.
Prancis mencoba dengan sia-sia untuk menemukan kunci kode tersebut, dan kemudian raja menoleh ke Vieta. Mereka mengatakan bahwa Viet menemukan kunci kode tersebut dalam dua minggu kerja terus menerus, setelah itu, secara tak terduga bagi Spanyol, Prancis mulai memenangkan pertempuran demi pertempuran. Yakin bahwa kode tersebut tidak dapat diuraikan, orang-orang Spanyol menuduh Viet memiliki hubungan dengan setan dan menghukumnya untuk dibakar. Untungnya, dia tidak diekstradisi ke Inkuisisi dan tercatat dalam sejarah sebagai ahli matematika hebat.
Game "Hapus kelebihannya"
Tujuan permainan orientasi dalam jenis persamaan.
Kami diberi tiga kolom persamaan, in Untuk masing-masing persamaan, persamaan ditentukan menurut beberapa kriteria, tetapi salah satunya tidak berguna; tugas Anda adalah menemukan dan mengkarakterisasinya. Slide presentasi 16
Karya kreatif
Tujuan dari tugas ini: Mendengarkan pemahaman pidato matematika, mengorientasikan anak pada jenis persamaan.
Di layar Anda melihat 9 persamaan. Setiap persamaan memiliki nomornya masing-masing, saya akan menyebutkan jenis persamaan ini, dan Anda harus menemukan persamaan jenis ini, dan hanya meletakkan nomor di bawahnya, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan nomor 9 digit Slide presentasi 17
- Persamaan kuadrat tereduksi.
- Persamaan rasional pecahan
- Persamaan kubik
- Persamaan logaritma
- Persamaan linier
- Persamaan kuadrat tidak lengkap
- Persamaan eksponensial
- Persamaan irasional
- Persamaan trigonometri
Tugas “Temukan kesalahannya”
Seorang siswa memecahkan persamaan, tetapi seluruh kelas tertawa, dia membuat kesalahan di setiap persamaan, tugas Anda adalah menemukannya dan memperbaikinya. Slide presentasi 18
Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara
Sekarang mari kita selesaikan satu persamaan dengan semua cara yang ada, untuk menghemat waktu di kelas, satu persamaan di layar. Sekarang Anda akan menyebutkan jenis persamaan ini, dan menjelaskan metode apa yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini. Slide presentasi 19-27
Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan tulis)
Kita telah melihat contohnya, dan sekarang mari kita selesaikan persamaan di papan tulis dengan segala cara yang memungkinkan.
X-2 - persamaan irasional
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan.
X 2 +2x+4x-1-4=0
Kami menyelesaikan persamaan ini di papan tulis dengan 9 cara.
Kerja mandiri berpasangan dilanjutkan dengan penjelasan di papan tulis
Dan sekarang Anda akan bekerja berpasangan, saya berikan persamaan ke meja Anda, tugas Anda adalah menentukan jenis persamaan, daftar semua cara untuk menyelesaikan persamaan ini, selesaikan 1-2 dengan cara yang paling rasional untuk Anda. (2 menit)
Tugas untuk bekerja berpasangan
Selesaikan persamaannya
Setelah pekerjaan mandiri berpasangan, satu perwakilan datang ke papan tulis, menyajikan persamaannya, menyelesaikannya dengan satu cara
Pekerjaan rumah individu(dapat dibedakan)
Selesaikan persamaannya
(tentukan jenis persamaannya, selesaikan segala cara pada lembar tersendiri)
Ringkasan pelajaran refleksi.
Saya merangkum pelajaran, menarik perhatian pada fakta bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan banyak cara, memberi nilai, menarik kesimpulan tentang siapa yang aktif dan siapa yang perlu lebih aktif. Saya membacakan pernyataan Kalinin Slide presentasi 28
Perhatikan baik-baik tujuan yang telah kita tetapkan untuk pelajaran hari ini:
- Menurut Anda apa yang berhasil kami lakukan?
- Apa yang tidak berjalan dengan baik?
- Apa yang paling Anda sukai dan ingat?
- Hari ini aku belajar sesuatu yang baru...
- Ilmuku berguna selama pelajaran...
- Itu sulit bagi saya...
- aku menyukai pelajarannya...
Literatur.
- Dorofeev G.V. “Kumpulan tugas pelaksanaan ujian tertulis matematika untuk mata kuliah sekolah menengah atas” - M.: Bustard, 2006.
- Garner Martin. Teka-teki matematika dan hiburan.
- Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materi didaktik tentang aljabar dan permulaan analisis untuk kelas 10, kelas 11. M.: Pencerahan. 2002.
Sebagai aturan, persamaan muncul dalam masalah di mana Anda perlu menemukan jumlah tertentu. Persamaan tersebut memungkinkan Anda merumuskan masalah dalam bahasa aljabar. Setelah menyelesaikan persamaan tersebut, kita memperoleh nilai besaran yang diinginkan, yang disebut tidak diketahui. “Andrey punya beberapa rubel di dompetnya. Kalau angka ini dikalikan 2 lalu dikurangi 5, hasilnya 10. Berapa banyak uang yang dimiliki Andrey?” Mari kita tentukan jumlah uang yang tidak diketahui sebagai x dan tuliskan persamaannya: 2x-5=10.
Untuk dibicarakan cara untuk menyelesaikan persamaan, pertama-tama Anda perlu mendefinisikan konsep dasar dan memahami notasi yang diterima secara umum. Untuk jenis yang berbeda persamaan, ada berbagai algoritma untuk menyelesaikannya. Cara termudah untuk menyelesaikan persamaan adalah derajat pertama dengan satu persamaan yang tidak diketahui. Banyak orang yang akrab dengan rumus menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah. Teknik matematika yang lebih tinggi akan membantu menyelesaikan persamaan lebih lanjut pesanan tinggi. Himpunan bilangan yang menjadi dasar persamaan didefinisikan berkaitan erat dengan penyelesaiannya. Hubungan antara persamaan dan grafik fungsi juga menarik, karena merepresentasikan persamaan secara grafis sangat membantu dalam menyelesaikannya.
Keterangan. Persamaan adalah persamaan matematika dengan satu atau lebih besaran yang tidak diketahui, misalnya 2x+3y=0.
Ekspresi pada kedua sisi tanda sama dengan disebut sisi kiri dan kanan persamaan. Surat Alfabet Latin yang tidak diketahui ditunjukkan. Meskipun ada banyak hal yang tidak diketahui, di bawah ini kita hanya akan membahas persamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, yang akan kita nyatakan dengan x.
Derajat persamaan- Ini derajat maksimum, di mana hal yang tidak diketahui diangkat. Misalnya,
$3x^4+6x-1=0$ adalah persamaan derajat keempat, $x-4x^2+6x=8$ adalah persamaan derajat kedua.
Bilangan-bilangan yang dapat mengalikan bilangan yang tidak diketahui disebut koefisien. Pada contoh sebelumnya, bilangan yang tidak diketahui pangkat empat memiliki koefisien 3. Jika, ketika mengganti x dengan bilangan ini, persamaan yang diberikan terpenuhi, maka bilangan tersebut dikatakan memenuhi persamaan. Itu disebut menyelesaikan persamaan tersebut, atau akarnya. Misalnya, 3 adalah akar, atau solusi, persamaan 2x+8=14, karena 2*3+8=6+8=14.
Memecahkan persamaan. Katakanlah kita ingin menyelesaikan persamaan 2x+5=11.
Anda dapat mengganti beberapa nilai x ke dalamnya, misalnya x=2. Gantikan x dengan 2 dan dapatkan: 2*2+5=4+5=9.
Ada yang salah di sini karena di ruas kanan persamaan kita seharusnya mendapatkan 11. Mari kita coba x=3: 2*3+5=6+5=11.
Jawabannya benar. Ternyata jika yang tidak diketahui bernilai 3, maka kesetaraan terpenuhi. Oleh karena itu, kami telah menunjukkan bahwa angka 3 adalah solusi persamaan tersebut.
Metode yang kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan ini disebut metode seleksi. Jelas tidak nyaman untuk digunakan. Terlebih lagi, ini bahkan tidak bisa disebut sebagai metode. Untuk memverifikasi ini, coba terapkan pada persamaan bentuk $x^4-5x^2+16=2365$.
Metode solusi. Ada apa yang disebut “aturan main” yang berguna untuk Anda pahami. Tujuan kami adalah menentukan nilai hal yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan. Oleh karena itu, penting untuk mengidentifikasi hal yang tidak diketahui dengan cara tertentu. Untuk melakukan ini, perlu untuk mentransfer suku-suku persamaan dari satu bagian ke bagian lainnya. Aturan pertama untuk menyelesaikan persamaan adalah...
1. Ketika anggota suatu persamaan dipindahkan dari satu bagian ke bagian lain, tandanya berubah menjadi kebalikannya: plus berubah menjadi minus dan sebaliknya. Perhatikan sebagai contoh persamaan 2x+5=11. Mari kita pindahkan 5 dari ruas kiri ke kanan: 2x=11-5. Persamaannya menjadi 2x=6.
Mari beralih ke aturan kedua.
2. Kedua ruas persamaan dapat dikalikan dan dibagi dengan bilangan yang tidak sama dengan nol. Mari kita terapkan aturan ini pada persamaan kita: $x=\frac62=3$. Di sisi kiri persamaan, hanya x yang tidak diketahui yang tersisa, oleh karena itu, kami menemukan nilainya dan menyelesaikan persamaannya.
Kami baru saja melihat masalah paling sederhana - persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Persamaan jenis ini selalu ada penyelesaiannya, apalagi selalu dapat diselesaikan dengan operasi paling sederhana: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Sayangnya, tidak semua persamaan sesederhana itu. Selain itu, tingkat kerumitannya meningkat dengan sangat cepat. Misalnya, persamaan derajat kedua dapat dengan mudah diselesaikan oleh siswa sekolah menengah mana pun, tetapi metode penyelesaian sistem persamaan linier atau persamaan derajat yang lebih tinggi hanya dipelajari di sekolah menengah.
Dalam pelajaran matematika sekolah, seorang anak mendengar istilah “persamaan” untuk pertama kalinya. Apa ini, mari kita coba mencari tahu bersama. Pada artikel ini kita akan melihat jenis dan metode solusinya.
Matematika. Persamaan
Untuk memulainya, kami sarankan Anda memahami konsep itu sendiri, apa itu? Seperti yang dikatakan banyak buku teks matematika, persamaan adalah beberapa ekspresi yang di antaranya harus ada tanda sama dengan. Ekspresi ini mengandung huruf, yang disebut variabel, yang nilainya harus dicari.
Ini adalah atribut sistem yang mengubah nilainya. Sebuah contoh yang jelas variabelnya adalah:
- suhu udara;
- pertumbuhan anak;
- berat badan dan sebagainya.
Dalam matematika, mereka dilambangkan dengan huruf, misalnya x, a, b, c... Biasanya tugas matematikanya seperti ini: temukan nilai persamaannya. Artinya perlu dicari nilai variabel-variabel tersebut.
Varietas
Persamaannya (kita telah membahasnya di paragraf sebelumnya) dapat berbentuk sebagai berikut:
- linier;
- persegi;
- kubik;
- aljabar;
- teramat.
Untuk lebih lanjut kenalan mendetail dengan semua tipe, mari kita pertimbangkan masing-masing secara terpisah.
Persamaan linier
Ini adalah spesies pertama yang diperkenalkan kepada anak-anak sekolah. Mereka diselesaikan dengan cukup cepat dan sederhana. Jadi, apa itu persamaan linier? Ini adalah ekspresi bentuk: ah=c. Ini tidak terlalu jelas, jadi mari kita berikan beberapa contoh: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Mari kita lihat contoh persamaan. Untuk melakukan ini, kita perlu mengumpulkan semua data yang diketahui di satu sisi, dan data yang tidak diketahui di sisi lain: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Digunakan di sini aturan dasar matematika: a*c=e, dari ini c=e/a; a=e/c. Untuk menyelesaikan penyelesaian persamaan, kita melakukan satu tindakan (dalam kasus kita, pembagian) x = 13; x=8; x=5. Ini tadi contoh perkalian, sekarang mari kita lihat pengurangan dan penjumlahan: x+3=9; 10x-5=15. Kami mentransfer data yang diketahui dalam satu arah: x=9-3; x=20/10. Lakukan tindakan terakhir: x=6; x=2.
Varian persamaan linear juga dimungkinkan jika lebih dari satu variabel digunakan: 2x-2y=4. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menambahkan 2y ke setiap bagian, kita mendapatkan 2x-2y+2y=4-2y, seperti yang kita perhatikan, di sisi kiri tanda sama dengan -2y dan +2y batal, menyisakan: 2x=4 -2у. Langkah terakhir membagi setiap bagian menjadi dua, kita mendapatkan jawabannya: x sama dengan dua dikurangi y.
Masalah persamaan bahkan ditemukan pada papirus Ahmes. Inilah satu soal: sebuah bilangan dan bagian keempatnya dijumlahkan menjadi 15. Untuk menyelesaikannya, kita tuliskan persamaan berikut: x ditambah seperempat x sama dengan lima belas. Kita lihat contoh lain berdasarkan hasil penyelesaiannya, kita mendapatkan jawabannya: x=12. Namun permasalahan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan metode Mesir atau disebut juga dengan metode asumsi. Digunakan dalam papirus solusi berikutnya: ambil empat dan bagian keempatnya, yaitu satu. Totalnya mereka memberi lima, sekarang lima belas harus dibagi jumlah, kita dapat tiga, langkah terakhir adalah mengalikan tiga dengan empat. Kita mendapat jawabannya: 12. Mengapa kita membagi lima belas dengan lima dalam penyelesaiannya? Jadi kita cari tahu berapa kali lima belas, artinya hasil yang kita perlukan kurang dari lima. Permasalahan diselesaikan dengan cara ini pada Abad Pertengahan; metode ini dikenal sebagai metode posisi palsu.
Persamaan kuadrat
Selain contoh-contoh yang telah dibahas sebelumnya, masih ada contoh lainnya. Yang mana sebenarnya? Persamaan kuadrat, apa itu? Bentuknya seperti ax 2 +bx+c=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu membiasakan diri dengan beberapa konsep dan aturan.
Pertama, Anda perlu mencari diskriminannya menggunakan rumus: b 2 -4ac. Ada tiga kemungkinan hasil dari keputusan tersebut:
- diskriminan lebih besar dari nol;
- kurang dari nol;
- sama dengan nol.
Pada pilihan pertama, kita bisa mendapatkan jawaban dari dua akar, yang dicari dengan rumus: -b+-akar diskriminan dibagi dua kali koefisien pertama, yaitu 2a.
Dalam kasus kedua, persamaan tersebut tidak memiliki akar. Dalam kasus ketiga, akarnya ditemukan menggunakan rumus: -b/2a.
Mari kita lihat contoh persamaan kuadrat untuk pengenalan lebih detail: tiga x kuadrat dikurangi empat belas x dikurangi lima sama dengan nol. Pertama-tama, seperti yang telah ditulis sebelumnya, kita mencari diskriminan, dalam kasus kita sama dengan 256. Perhatikan bahwa angka yang dihasilkan lebih besar dari nol, oleh karena itu, kita harus mendapatkan jawaban yang terdiri dari dua akar. Kami mengganti diskriminan yang dihasilkan ke dalam rumus untuk mencari akar. Hasilnya, kita mendapatkan: x sama dengan lima dan dikurangi sepertiga.
Kasus khusus dalam persamaan kuadrat
Ini adalah contoh di mana beberapa nilai adalah nol (a, b atau c), dan mungkin lebih dari satu.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat: dua x kuadrat sama dengan nol, di sini kita melihat bahwa b dan c sama dengan nol. Mari kita coba menyelesaikannya, untuk melakukannya kita membagi kedua ruas persamaan dengan dua, kita mendapatkan: x 2 =0. Hasilnya, kita mendapatkan x=0.
Kasus lainnya adalah 16x 2 -9=0. Di sini hanya b=0. Mari kita selesaikan persamaannya, pindahkan koefisien bebasnya ke sisi kanan: 16x 2 = 9, sekarang kita bagi tiap bagian dengan enam belas: x 2 = sembilan per enam belas. Karena kita punya x kuadrat, akar dari 9/16 bisa negatif atau positif. Jawabannya kita tuliskan sebagai berikut: x sama dengan plus/minus tiga perempat.
Jawaban lain yang mungkin adalah persamaan tersebut tidak memiliki akar sama sekali. Mari kita lihat contoh ini: 5x 2 +80=0, di sini b=0. Untuk memecahkan anggota bebas melemparkannya ke dalam sisi kanan, setelah tindakan ini kita mendapatkan: 5x 2 = -80, sekarang kita bagi setiap bagian dengan lima: x 2 = dikurangi enam belas. Jika ada bilangan yang dikuadratkan, maka nilai negatif kita tidak akan mendapatkannya. Oleh karena itu, jawaban kita adalah: persamaan tersebut tidak memiliki akar.
Ekspansi trinomial
Tugas persamaan kuadrat juga bisa berbunyi seperti ini: memperluas trinomial kuadrat oleh pengganda. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus berikut: a(x-x 1)(x-x 2). Untuk melakukan ini, seperti pada versi tugas lainnya, perlu untuk menemukan diskriminan.
Mari kita pertimbangkan contoh selanjutnya: 3x 2 -14x-5, faktorkan trinomialnya. Kita mencari diskriminannya menggunakan rumus yang sudah kita ketahui, ternyata sama dengan 256. Kita langsung perhatikan bahwa 256 lebih besar dari nol, oleh karena itu persamaannya akan memiliki dua akar. Kami menemukannya, seperti pada paragraf sebelumnya, kami memiliki: x = lima dan dikurangi sepertiga. Mari kita gunakan rumus memfaktorkan trinomial: 3(x-5)(x+1/3). Pada kurung kedua kita mendapat tanda sama dengan, karena rumusnya mengandung tanda minus, dan akarnya juga negatif, menggunakan pengetahuan dasar matematika, pada penjumlahannya kita mendapat tanda tambah. Untuk menyederhanakannya, mari kalikan suku pertama dan ketiga persamaan tersebut untuk menghilangkan pecahan: (x-5)(x+1).
Persamaan direduksi menjadi kuadrat
Pada titik ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan lebih banyak persamaan kompleks. Mari kita mulai dengan sebuah contoh:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Kita dapat melihat elemen berulang: (x 2 - 2x), untuk menyelesaikannya akan lebih mudah bagi kita untuk menggantinya dengan variabel lain, dan kemudian segera selesaikan persamaan kuadrat biasa. Kami perhatikan bahwa dalam tugas seperti itu kita akan mendapatkan empat akar, ini seharusnya tidak membuat Anda takut. Kami menyatakan pengulangan variabel a. Kita peroleh: a 2 -2a-3=0. Langkah kita selanjutnya adalah mencari diskriminan dari persamaan baru tersebut. Kami mendapatkan 16, temukan dua akar: minus satu dan tiga. Kita ingat bahwa kita melakukan penggantian, substitusikan nilai-nilai ini, sebagai hasilnya kita memiliki persamaan: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Kami menyelesaikannya di jawaban pertama: x sama dengan satu, pada detik: x sama dengan minus satu dan tiga. Jawabannya kita tulis sebagai berikut: plus/minus satu dan tiga. Biasanya, jawabannya ditulis dalam urutan menaik.
Persamaan kubik
Mari kita lihat satu lagi pilihan yang memungkinkan. Ini tentang persamaan kubik. Bentuknya seperti: ax 3 + bx 2 + cx + d =0. Kita akan melihat contoh persamaan di bawah ini, tapi pertama-tama, sedikit teori. Mereka dapat memiliki tiga akar, dan ada juga rumus untuk mencari diskriminan persamaan kubik.
Mari kita lihat contohnya: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bagaimana cara mengatasinya? Untuk melakukannya, kita cukup mengeluarkan x dari tanda kurung: x(3x 2 +4x+2)=0. Yang harus kita lakukan adalah menghitung akar-akar persamaan dalam tanda kurung. Diskriminan persamaan kuadrat dalam tanda kurung kurang dari nol, berdasarkan hal ini, persamaan tersebut memiliki akar: x=0.
Aljabar. Persamaan
Mari kita beralih ke tampilan berikutnya. Sekarang kita akan melihat secara singkat persamaan aljabar. Salah satu tugasnya adalah sebagai berikut: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Yang paling banyak dengan cara yang nyaman akan ada pengelompokan berikut: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Perhatikan bahwa kita mewakili 8x 2 dari ekspresi pertama sebagai jumlah dari 3x 2 dan 5x 2. Sekarang kita keluarkan dari masing-masing braket pengganda umum 3x 2 (x2+1)+2x(x 2 +1)+5(x 2 +1). Kita melihat bahwa kita mempunyai faktor persekutuan: x kuadrat ditambah satu, kita keluarkan dari tanda kurung: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Perluasan lebih lanjut tidak mungkin dilakukan karena kedua persamaan mempunyai diskriminan negatif.
Persamaan transendental
Kami sarankan Anda menanganinya tipe berikut. Ini adalah persamaan yang mengandung fungsi transendental, yaitu logaritma, trigonometri, atau eksponensial. Contoh: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 dan seterusnya. Anda akan mempelajari cara penyelesaiannya dalam kursus trigonometri.
Fungsi
Langkah terakhir adalah mempertimbangkan konsep persamaan fungsi. Berbeda dengan opsi sebelumnya, tipe ini tidak diselesaikan, tetapi jadwal dibuat berdasarkan itu. Untuk melakukan ini, ada baiknya menganalisis persamaan dengan baik, menemukan semuanya poin yang diperlukan untuk membangun, menghitung poin minimum dan maksimum.
