Panjang garis pantai

Apakah bisa diukur?
Apakah kita berhak memberikan panjangnya di buku teks?
garis pantai dan tidakkah kita akan malu,
menanyakan angka ini dari siswa?

K.S. LAZAREVICH

Dalam pelajaran geografi kami beroperasi dengan banyak indikator statistik. Kebanyakan dari mereka terlihat sangat sederhana dan jelas: sangat banyak juta orang, jutaan ton batu bara, sekian kilometer. Tapi itu jika Anda tidak memikirkannya. Tapi Anda hanya perlu menggali lebih dalam angka mana pun dan angka itu tidak lagi jelas. Terkadang hancur menjadi debu. Berikut ini contohnya.
Kami membuka Atlas Dunia yang baru saja diterbitkan, yang baru saja mulai dijual (M.: Federal State Unitary Enterprise Cartography Production Association, 2003). Dalam tabel “Negara bagian dan teritori di dunia” kita menemukan: “Ibukota Perancis adalah Paris (2.125,2 ribu jiwa). Jika seorang siswa memberikan angka seperti itu dalam suatu ujian, apakah penguji akan puas? Bagaimanapun, Paris adalah salah satunya pusat terbesar Eropa dan tidak kurang dari St. Petersburg. Tapi tidak ada kesalahan dalam gambaran yang diberikan: ini adalah Paris batas administratif kota Paris. Dan dalam batas-batas cluster perkotaan yang sudah mapan, ini adalah kota bernilai sepuluh juta dolar.
Banyak hal bergantung pada cara Anda menghitungnya.
Ini tidak berarti bahwa kita dapat menerima angka berapa pun dalam rentang 2,2 hingga 10 dari siswa sebagai jawaban; Ketika mengutip suatu bilangan tertentu, siswa harus memahami apa yang melatarbelakanginya, apa yang diukur dan bagaimana caranya. Satu juta ton batu bara berkalori tinggi dan batu bara coklat adalah jutaan yang berbeda. Tapi sepertinya beberapa kilometer. Satu kilometer juga merupakan satu kilometer di Afrika. Dan apa yang diukur dalam kilometer bisa dipertanyakan? Namun ternyata saat memberikan panjang dalam kilometer, penulis buku teks harus berpikir terlebih dahulu. Seorang guru, dengan menggunakan buku teks, juga harus melakukan analisis kritis terhadap suatu gambar sebelum menyiarkannya kepada siswa dan mengharuskan mereka untuk menghafalnya. Kami membaca buku teks untuk kelas 10: “Kanada memiliki akses ke tiga samudera, dan

Kurva tidak beraturan pada peta dapat diukur menggunakan kurvimeter - roda perangkat ini diputar sepanjang kurva, mencatat setiap kurva dengan cermat. Namun, garis pantai yang berliku-liku seringkali begitu besar sehingga tidak mungkin untuk mengikutinya dengan alat kurvimeter. Anda harus berjalan di sepanjang tikungan dengan kompas pengukur. Panjang langkah paling nyaman adalah 2 mm. Pada skala yang berbeda, langkah ini tentu saja berhubungan dengan jarak yang berbeda; pengukuran seperti itu tidak akan pernah memberikan panjang yang pasti, karena setiap langkah meluruskan kurva pada segmen kecil, tetapi kesalahan relatif kurang lebih terpelihara.
Sebagai contoh, mari kita coba mengukur panjang garis pantai Okrug Otonomi Chukotka. Mari kita ambil peta dari Atlas Sekolah Geografi Rusia (skala 1: 22.000.000) dan berjalan di seluruh pantai Chukchi dengan langkah kompas dua milimeter (44 km). Hasilnya adalah 4300 km (98 langkah kompas). Mari kita lakukan pengukuran yang sama menggunakan peta skala
1: 7.500.000. Di sini kita sudah menghitung 345 langkah dua milimeter (15 km).
5.200 km. Masuk akal untuk berasumsi bahwa jika peta digunakan dalam pengukuran dalam skala yang lebih besar, garis pantai yang diukur akan menjadi lebih panjang.
Mari kita lakukan satu percobaan lagi. Panjang garis pantai wilayah Leningrad. di peta
1: 22.000.000 - 300 km, menurut peta 1: 2.500.000 - 555 km, dan menurut peta topografi
1: 500.000 - 670 km. Pada saat yang sama, panjang garis pantai Teluk Vyborg saja (di mana pantainya berlekuk-lekuk dengan teluk dan teluk kecil), diukur dari peta topografi, adalah 338 km, sedangkan menurut atlas sekolah- 65 km (selisihnya lebih dari
5 kali!).
Dengan demikian, terjadi pertambahan alami pada panjang garis pantai yang diukur dengan skala yang semakin besar. Alasannya bukan hanya karena langkah dua milimeter kompas berhubungan dengan nilai yang semakin kecil di lapangan, tetapi terutama karena garis itu sendiri, meskipun diukur dan diubah dengan sangat akurat sesuai dengan skala dalam kilometer, sebenarnya menjadi lebih lama (Gbr. 1) . Di peta Rusia dekat pantai wilayah Leningrad. Hanya Teluk Vyborg, Teluk Neva, dan tikungan kecil di pantai selatan Teluk Finlandia yang terlihat. Pada peta skala 1:2.500.000, garis besar Teluk Vyborg sudah cukup rumit, dan di selatan Teluk Koporskaya dan Luga terlihat jelas. Pada peta berusia setengah juta tahun, terdapat banyak teluk kecil lainnya di Teluk Vyborg, beberapa di antaranya memiliki nama yang tepat(Teluk Baltiets, Teluk Klyuchevskaya), dan hanya pantai selatan Teluk Finlandia terlihat sedikit berubah dibandingkan skala sebelumnya; garis pantai di sana tidak terlalu kasar.

Bagaimana cara menentukan panjang garis pantai secara pasti?
Ahli meteorologi Inggris Richardson menetapkan tujuan ini dengan memilih pulau asalnya, Inggris Raya, sebagai tempat uji coba. Dia sampai pada kesimpulan bahwa panjang garis pantai bertambah seiring dengan bertambahnya skala peta yang digunakan untuk mengukur panjang tersebut (Gbr. 2). Apakah ada batasan untuk peningkatan ini? Hampir tidak. Panjang garis pantai bertambah seiring dengan setiap semburan pasir kecil yang menjorok ke laut, setiap cekungan yang membentuk teluk kecil, setiap kerikil yang mengalir di sekitar air. Bahkan pada peta skala terbesar pun hal tersebut tidak terlihat, namun kenyataannya semua ketidakteraturan di garis pantai ini memang ada.

Ada banyak contoh bagaimana penggunaan metode matematika dapat membuat penelitian geografis lebih meyakinkan dan dapat diandalkan. Di sini yang terjadi justru sebaliknya: penelitian geografis - studi tentang panjang garis pantai - berkontribusi pada munculnya hal baru konsep matematika. Nama bahasa Inggris untuk konsep ini adalah fraktal, tetapi dalam bahasa Rusia konsep ini belum sepenuhnya ditetapkan dan ditemukan dalam tiga versi: fraktal(genitif dan kasus instrumental akan fraktal, fraktal), fraktal dalam jenis kelamin maskulin ( fraktal, fraktal) Dan fraktal dalam jenis kelamin feminin ( fraktal, fraktal); untuk akhir-akhir ini tampaknya condong ke arah.
fraktal
Fraktal adalah sebuah garis, yang setiap fragmennya menjadi jauh lebih kompleks, panjang setiap fragmen dan keseluruhan garis terus bertambah. Contohnya adalah sosok yang biasa disebut kepingan salju Koch, meskipun nama ini salah: kepingan salju ini dibuat pada awal abad kedua puluh. Helga von Koch, dan nama belakangnya tidak boleh ditolak. Mari kita ambil segitiga sama sisi . Mari kita bagi setiap sisi menjadi tiga bagian yang sama dan buatlah segitiga sama sisi di ruas tengah setiap sisinya. Anda akan mendapatkan bintang berujung enam biasa, angka enam sudut cembung dan enam masuk. Mari kita bagi setiap sisinya (dan ada 12 sisi ini) menjadi tiga bagian yang sama besar dan buat lagi segitiga sama sisi di ruas tengah setiap sisinya. Hasilnya adalah bangun datar dengan 48 sisi, dengan 18 sudut cembung dan 30 sudut siku-siku. Mengulangi operasi ini kali (ini bisa dilakukan, tentu saja, hanya secara mental), kita mendapatkan angka yang luasnya terus meningkat, tetapi semakin lambat, secara bertahap mendekati batas tertentu (Gbr. 3). Keliling bangun tersebut bertambah tanpa batas, karena setiap kali kita membuat segitiga sama sisi baru pada sisi bangun tersebut, betapapun kecilnya, tiga ruas sama sisi tersebut diganti dengan empat ruas sama sisi dan oleh karena itu panjang masing-masing sisinya (dan oleh karena itu seluruh kelilingnya) bertambah 4/3 kali lipat, dan bilangan apa pun yang lebih besar dari satu pangkat tak terhingga (dan kita melakukan konstruksi berkali-kali) cenderung tak terhingga.

Batas kepingan salju akan berupa garis lebar dan berbulu lebat yang memenuhi keseluruhannya daerah perbatasan angka ini. Konsep “garis lebar”, “permukaan tebal”, yang tampaknya tidak masuk akal dari sudut pandang matematika klasik (garis tidak memiliki lebar, dan permukaan tidak memiliki ketebalan), memperoleh hak kewarganegaraan dengan berkembangnya teori fraktal. . Garis diyakini satu dimensi, hanya panjangnya, posisi suatu titik di atasnya ditentukan oleh satu koordinat; permukaannya dua dimensi, mempunyai luas, kedudukan suatu titik di atasnya ditentukan oleh dua koordinat; benda itu tiga dimensi, mempunyai volume, diperlukan tiga koordinat. Dan teori fraktal memperkenalkan konsep dimensi pecahan: garis tidak menjadi dua dimensi, tetapi tidak lagi menjadi satu dimensi. Hal ini cukup sulit untuk dipahami oleh orang yang tidak siap (Anda tidak dapat bersin satu setengah kali), tetapi jika kita mengingat bagaimana perilaku garis pantai - tidak hanya di peta, tetapi juga di alam, bagaimana perubahannya jika Anda melihatnya itu, jongkok, lalu berdiri dengan ketinggian penuh, lalu mendaki gunung, lalu lepas landas dengan pesawat atau pesawat luar angkasa, kita tidak akan begitu memahaminya melainkan kita akan merasakan apa sistem yang kompleks
mewakili garis ini; Baginya, satu karakteristik saja tidak cukup - panjangnya. Dan teori fraktal, yang lahir dari penelitian geografis, juga membantu geografi. Sebuah metode untuk mempelajari bantuan sebagai fraktal belum dikembangkan, tapi pastinya menjanjikan. Melihat kelegaan di, menggambarnya di peta skala kecil, kita melihat barisan pegunungan, dataran tinggi, lembah yang dalam. Dalam skala rata-rata sudah terlihat perbukitan, lembah kecil, dan jurang. Bahkan lebih besar lagi - dan Anda dapat melihat gundukan dan riak angin di pasir. Tapi ini bukan batasnya: ada kerikil dan butiran pasir tersendiri. Secara praktis, semua ini penting karena Anda perlu mempelajari cara memilih objek dengan benar untuk digambarkan pada peta dengan skala berbeda; Salah satu kesalahan utama penyusun peta adalah ketidaksesuaian antara isi peta dan skalanya;
Tapi apa hubungannya dengan panjang garis pantai?
Menolak untuk mengukurnya karena tidak dapat diukur? Tidak, ini bukanlah suatu pilihan. Sederhananya, ketika memberikan panjang garis pantai, Anda harus selalu menunjukkan pada peta skala apa garis pantai itu diukur dan dengan cara apa. Dan pastikan untuk menetapkan pada saat yang sama, apakah garis pantai pulau-pulau tersebut diperhitungkan atau tidak. Tanpa menunjukkan skala peta dan apakah pulau-pulau tersebut termasuk atau tidak, data panjang garis pantai apa pun menjadi tidak berarti. Sayangnya, bahkan dalam sumber-sumber yang mengklaim sepenuhnya dapat diandalkan, orang dapat menemukan absurditas yang mengerikan. Misalnya, situs CIA yang terkenal " Dunia Buku Fakta". Di sini, data garis pantai diberikan untuk setiap negara dan lautan, namun metode pengukurannya tidak ditentukan. Alhasil, garis pantai Kanada ternyata lebih dari 200 ribu km, Samudra Arktik - 45,4 ribu km, Samudra Atlantik - 111,9 ribu km (datanya diberikan - jangan salah sangka! - ke kilometer terdekat). Kanada dianggap memperhitungkan pulau-pulaunya, itu sudah pasti; Bagaimana samudra dihitung tidak diketahui, namun garis pantai dari dua dari tiga samudra yang mengelilingi Kanada jumlahnya kurang dari garis pantai Kanada saja. Untuk Norwegia angkanya 21.925 km dan diberi catatan: “Daratan 3419 km, pulau-pulau besar 2413 km, fjord panjang, banyak pulau kecil dan tikungan kecil [diterjemahkan secara harfiah takik] garis pantai 16.093 km.” Jumlah totalnya persis seperti yang ditunjukkan

Contoh paradoks: jika garis pantai Inggris diukur dalam 100 km, maka panjangnya kira-kira 2.800 km. Jika digunakan ruas sepanjang 50 km, maka panjangnya kira-kira 3.400 km, artinya lebih panjang 600 km.

Panjang garis pantai tergantung pada cara pengukurannya. Karena suatu daratan dapat dicirikan oleh kurva dengan ukuran berapa pun, mulai dari ratusan kilometer hingga sepersekian milimeter atau kurang, tidak ada cara yang jelas untuk memilih ukuran elemen terkecil yang harus diambil untuk pengukuran. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menentukan secara pasti keliling suatu daerah. Ada berbagai pendekatan matematis untuk menyelesaikan masalah ini.

Metode utama untuk memperkirakan panjang suatu batas atau garis pantai adalah dengan melakukan superimposisi N segmen yang sama panjang aku pada peta atau foto udara menggunakan kompas. Setiap ujung segmen harus termasuk dalam batas yang diukur. Dengan memeriksa perbedaan dalam penilaian batas, Richardson menemukan apa yang sekarang disebut Efek Richardson: Skala pengukuran berbanding terbalik dengan panjang total semua ruas. Artinya, semakin pendek penggaris yang digunakan, maka batas yang diukur akan semakin panjang. Jadi, ahli geografi Spanyol dan Portugis hanya dipandu oleh pengukuran pada skala yang berbeda.

Yang paling mencolok bagi Richardson adalah nilainya aku cenderung nol, panjang pantai cenderung tak terhingga. Richardson awalnya percaya, berdasarkan geometri Euclidean, bahwa panjang ini akan mencapai nilai tetap, seperti halnya dengan geometri reguler. bentuk geometris. Misalnya keliling poligon beraturan, tertulis dalam sebuah lingkaran, mendekati panjang lingkaran itu sendiri dengan bertambahnya jumlah sisinya (dan panjang setiap sisinya berkurang). Dalam teori pengukuran geometri, kurva mulus seperti lingkaran, yang kira-kira dapat direpresentasikan dalam bentuk segmen-segmen kecil dengan batas tertentu, disebut kurva yang dapat diluruskan.

Lebih dari sepuluh tahun setelah Richardson menyelesaikan karyanya, Mandelbrot mengembangkan cabang matematika baru, geometri fraktal, untuk menggambarkan kompleks yang tidak dapat diperbaiki seperti yang ada di alam, seperti garis pantai yang tak berujung. Miliknya definisi sendiri fraktal sebagai dasar penelitiannya adalah sebagai berikut:

Saya membuat sebuah kata fraktal, berdasarkan kata sifat Latin fraktus. Kata kerja Latin yang sesuai orang asing cara merusak: Membuat fragmen tidak beraturan. Oleh karena itu, masuk akal bahwa, selain bersifat “fragmenter”, fraktus juga harus berarti "tidak teratur".

Properti utama fraktal adalah kesamaan diri, yang terdiri dari manifestasinya angka keseluruhan dalam skala apa pun. Garis pantai dianggap sebagai pergantian teluk dan tanjung. Secara hipotetis, jika suatu garis pantai mempunyai sifat kesamaan diri, maka tidak peduli seberapa besar skala suatu bagian, akan tetap ada pola yang sama berupa teluk dan tanjung yang lebih kecil yang bertumpuk pada teluk dan tanjung yang lebih besar, hingga ke butiran-butiran kecil. pasir. Pada skala ini, garis pantai tampak seperti rangkaian yang berubah secara instan dan berpotensi tak berujung dengan susunan teluk dan tanjung yang stokastik. Dalam kondisi seperti itu (berlawanan dengan kurva yang mulus), Mandelbrot menyatakan: “Panjang garis pantai adalah konsep yang sulit dipahami, tergelincir di antara jari-jari orang yang mencoba memahaminya.”

dimana panjang garis pantai L merupakan fungsi dari satuan ε dan didekati dengan ekspresi di sisi kanan. F adalah konstanta, D adalah parameter Richardson, bergantung pada garis pantai itu sendiri (Richardson tidak memberikannya penjelasan teoritis besaran ini, namun Mandelbrot mendefinisikan D sebagai bentuk non-integer dari dimensi Hausdorff, yang kemudian menjadi dimensi fraktal. Dengan kata lain, D adalah nilai “kekasaran” yang diukur secara praktis. Setelah berkumpul kembali sisi kanan ekspresi, kita mendapatkan:

dimana Fε -D harus merupakan banyaknya satuan ε yang diperlukan untuk memperoleh L. Dimensi fraktal adalah banyaknya dimensi suatu benda yang digunakan untuk mendekati suatu fraktal: 0 untuk suatu titik, 1 untuk garis, 2 untuk bangun ruang. Karena garis putus-putus yang mengukur panjang pantai tidak memanjang ke satu arah dan sekaligus tidak mewakili suatu luas, maka nilai D dalam persamaan tersebut adalah posisi perantara antara 1 dan 2 (untuk pantai biasanya kurang dari 1,5). Dapat diartikan sebagai garis tebal atau garis selebar 2ε. Lebih banyak pantai yang “rusak”. nilai yang lebih tinggi D dan dengan demikian L menjadi lebih panjang untuk ε yang sama. Mandelbrot menunjukkan bahwa D tidak bergantung pada ε.

Secara umum, garis pantai berbeda dengan fraktal matematika karena garis pantai dibentuk menggunakan banyak detail kecil yang menciptakan pola hanya secara statistik.

Kenyataannya, tidak ada detail yang lebih kecil dari 1 cm di garis pantai [ ] . Hal ini disebabkan oleh erosi dan fenomena laut lainnya. Di sebagian besar tempat, ukuran minimumnya jauh lebih tinggi. Oleh karena itu, model fraktal tak hingga tidak cocok untuk garis pantai.

Untuk alasan praktis, pilihlah ukuran minimum bagian yang sama dengan urutan satuan pengukuran. Jadi, jika garis pantai diukur dalam kilometer, maka perubahan kecil jalur yang jauh lebih kecil dari satu kilometer tidak diperhitungkan. Untuk mengukur garis pantai dalam sentimeter, semua variasi kecil sekitar satu sentimeter harus diperhitungkan. Namun, pada skala dalam satuan sentimeter, berbagai asumsi non-fraktal yang sewenang-wenang harus dibuat, misalnya di lokasi pertemuan muara dengan laut, atau di tempat di mana pengukuran harus dilakukan dengan watt yang lebar. Selain itu, kegunaannya berbagai metode pengukuran untuk satuan pengukuran yang berbeda tidak memungkinkan konversi satuan tersebut menggunakan perkalian sederhana.

Untuk menentukan keadaan perairan teritorial sedang membangun apa yang disebut kurva pantai provinsi British Columbia di Kanada; garis tersebut mencakup lebih dari 10% panjang garis pantai Kanada (dengan memperhitungkan semua pulau di kepulauan Arktik Kanada) - 25.725 km dari 243.042 km pada jarak linier hanya 965 km

Ketika mempelajari geografi tentunya anda ingat bahwa setiap negara mempunyai luas dan panjang perbatasannya masing-masing, apalagi jika suatu negara tersapu oleh laut atau samudera, maka negara tersebut mempunyai batas laut dengan panjang tertentu. Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana panjang perbatasan ini ditentukan? Pada tahun 1977, matematikawan Amerika Benoit Mandelbrot menetapkan dirinya sendiri pertanyaan selanjutnya: Berapa panjang garis pantai Inggris? Ternyata tidak mungkin menjawab “pertanyaan kekanak-kanakan” ini dengan benar. Pada tahun 1988, ilmuwan Norwegia Jens Feder memutuskan untuk mengetahui panjang garis pantai Norwegia. Harap dicatat bahwa pantai Norwegia sangat menjorok ke dalam oleh fyord. Ilmuwan lain juga menanyakan pertanyaan serupa tentang panjang garis pantai Australia, Afrika Selatan, Jerman, Portugal dan negara-negara lain.

Kita hanya bisa mengukur panjang garis pantai kira-kira. Saat kita memperkecil, kita harus mengukur semakin banyak tanjung dan teluk kecil - panjang garis pantai bertambah, dan tidak ada batasan obyektif untuk mengurangi skala (dan dengan demikian menambah panjang garis pantai); kami terpaksa mengakui bahwa jalur ini memilikinya panjangnya tak terbatas. Kita mengetahui bahwa ukuran garis lurus adalah satu, ukuran persegi adalah dua, dan ukuran kubus adalah tiga. Mandelbrot mengusulkan penggunaan dimensi pecahan - dimensi Hausdorff - Besicovitch - untuk mengukur kurva "mengerikan". Lengkungan yang terputus-putus seperti garis pantai bukanlah garis yang sempurna. Mereka seolah-olah “menyapu” sebagian pesawat, seperti permukaan. Tapi itu juga bukan permukaan. Artinya, masuk akal untuk berasumsi bahwa dimensinya lebih dari satu, tetapi juga kurang dari dua, yaitu benda-benda berdimensi pecahan.

Ilmuwan Norwegia E. Feder mengusulkan cara lain untuk mengukur panjang garis pantai. Peta ditutupi dengan kotak persegi, sel-selnya berdimensi e? e. Terlihat bahwa jumlah N(e) sel yang menutupi garis pantai pada peta kira-kira sama dengan jumlah langkah yang dapat dilakukan seseorang untuk mengelilingi garis pantai pada peta dengan menggunakan kompas yang mempunyai solusi e. Jika e dikurangi, maka bilangan N(e) bertambah. Jika panjang garis pantai Inggris mempunyai panjang tertentu L, maka jumlah langkah kompas dengan solusinya (atau nomornya sel persegi

N(e) yang meliputi garis pantai pada peta) akan berbanding terbalik dengan e, dan nilainya Ln (e)=N(e) ? e akan cenderung konstan L ketika k berkurang. Sayangnya, perhitungan yang dilakukan oleh banyak ilmuwan menunjukkan bahwa hal ini tidak sepenuhnya benar. Saat nada berkurang, panjang yang diukur bertambah. Ternyata hubungan antara panjang terukur L(e) dan langkah e dapat digambarkan dengan hubungan perkiraan Koefisien D disebut dimensi fraktal. Kata fraktal berasal dari

kata Latin

Demikian pula, jika suatu luas terbatas tertutup pada suatu bidang (Gbr. 4) ditutup dengan kotak persegi bersisi e, maka jumlah minimum persegi dengan sisi e menutupi luas tersebut adalah

Jika kita menganggap suatu wilayah berbatas tertutup di ruang tiga dimensi dan ambil sebuah kubus yang rusuknya e, maka banyaknya kubus yang mengisi luas tersebut adalah

Mari kita tentukan dimensi fraktal berdasarkan apa yang dinyatakan di atas kasus umum sebagai berikut:

Mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan

Melewati batas karena e cenderung nol (N cenderung tak terhingga), kita peroleh

Persamaan ini merupakan definisi dari dimensi yang dilambangkan dengan d.

Fakta yang diketahui:

Contoh paradoks: jika garis pantai Inggris diukur dalam 100 km, maka panjangnya kira-kira 2.800 km. Jika digunakan ruas sepanjang 50 km, maka panjangnya kira-kira 3.400 km, artinya lebih panjang 600 km.

Panjang garis pantai tergantung pada cara pengukurannya. Karena suatu daratan dapat dicirikan oleh kurva dengan ukuran berapa pun, mulai dari ratusan kilometer hingga sepersekian milimeter atau kurang, tidak ada cara yang jelas untuk memilih ukuran elemen terkecil yang harus diambil untuk pengukuran. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menentukan secara pasti keliling suatu daerah. Ada berbagai pendekatan matematis untuk menyelesaikan masalah ini.

Sebelum mengenal jenis fraktal yang pertama - yaitu kurva yang dimensi fraktalnya melebihi 1 - mari kita pertimbangkan bagian tipikal suatu pantai. Jelasnya, panjangnya tidak boleh kurang dari jarak garis lurus antara titik awal dan titik akhir. Namun, pada umumnya, garis pantai memilikinya bentuknya tidak beraturan- mereka berliku-liku dan patah-patah, dan panjangnya, tanpa diragukan lagi, jauh melebihi jarak antara titik ekstrimnya, diukur dalam garis lurus.

Ada banyak cara untuk memperkirakan panjang garis pantai dengan lebih akurat, dan dalam bab ini kita akan menganalisis beberapa di antaranya. Pada akhirnya, kita akan sampai pada kesimpulan yang sangat luar biasa: panjang garis pantai adalah konsep yang sangat licin, dan Anda tidak dapat memahaminya dengan tangan kosong. Apapun metode pengukuran yang kita gunakan, hasilnya selalu sama: panjang garis pantai pada umumnya sangat panjang dan tidak jelas sehingga lebih mudah untuk menganggapnya tak terbatas. Oleh karena itu, jika seseorang memutuskan untuk membandingkan pantai yang berbeda dalam hal panjangnya, ia harus mencari sesuatu untuk menggantikan konsep panjang, yang kasus ini tidak berlaku.

Dalam bab ini kita akan mulai mencari pengganti yang cocok, dan dalam proses pencarian kita tidak bisa menghindari untuk mengenalnya berbagai bentuk konsep fraktal dimensi, ukuran dan kurva.

METODE PENGUKURAN ALTERNATIF

Metode A. Mari kita atur bukaan kompas pengukur ke panjang tertentu, yang kita sebut panjang langkah, dan berjalan dengan kompas ini di sepanjang garis pantai yang kita minati, memulai setiap langkah baru di titik di mana langkah sebelumnya berakhir. Jumlah langkah dikalikan dengan panjang e akan menghasilkan perkiraan panjang tepian. Kita tahu dari sekolah bahwa jika kita mengulangi operasi ini, setiap kali memperkecil bukaan kompas, maka kita dapat mengharapkan bahwa nilainya akan segera berpindah ke nilai yang sangat spesifik, yang disebut panjang sebenarnya. Namun, apa yang sebenarnya terjadi tidak sesuai dengan harapan kita. Dalam kasus tertentu, panjang yang diamati cenderung bertambah tanpa batas.

Alasan perilaku ini jelas: jika Anda melihat semenanjung atau teluk pada peta skala 1/100.000 dan 1/10.000, maka peta terakhir kita dapat dengan jelas membedakan semenanjung dan teluk kecil yang tidak terlihat pada semenanjung dan teluk pertama. Peta wilayah yang sama, dibuat pada skala 1/1000, akan menunjukkan kepada kita semenanjung dan teluk yang lebih kecil, dan seterusnya. Setiap detail baru menambah panjang total bank.

Prosedur di atas mengasumsikan bahwa bentuk garis pantai terlalu tidak beraturan sehingga panjangnya tidak dapat direpresentasikan secara langsung sebagai jumlah dari panjang kurva geometri sederhana, yang panjangnya dapat ditemukan di buku referensi. Yaitu, Metode A menggantikan garis pantai dengan urutan garis putus-putus, terdiri dari bagian-bagian lurus yang panjangnya dapat kita tentukan.

Metode B.“Penghalusan” yang sama dapat dicapai dengan cara lain. Bayangkan seorang pria berjalan di sepanjang pantai rute terpendek, yang lintasannya tidak pernah meninggalkan air lebih jauh dari pada jarak yang ditentukan. Setelah mencapai titik akhir, ia muncul kembali, sedikit mengurangi nilai . Berkali-kali, hingga akhirnya nilainya mencapai, katakanlah, 50 cm. Tidak mungkin untuk memperkecilnya lebih jauh, karena orang tersebut terlalu besar dan kikuk untuk dapat menelusuri lintasan yang lebih detail. Mungkin ada keberatan bagi saya bahwa detail-detail kecil yang tidak dapat dicapai ini, pertama, tidak langsung menarik bagi manusia, dan kedua, detail-detail tersebut dapat mengalami perubahan signifikan tergantung pada waktu dalam setahun dan ketinggian air pasang sehingga pencatatan detailnya umumnya hilang. semua artinya. Keberatan pertama akan kita bahas pada bagian selanjutnya dalam bab ini. Adapun keberatan kedua dapat dinetralisir dengan membatasi diri pada pantai berbatu saat air surut dan air tenang. Pada prinsipnya, seseorang dapat menelusuri perkiraan kurva yang lebih detail dengan memanggil tikus untuk membantunya, lalu memanggil semut, dan seterusnya. Dan lagi, saat pejalan kaki kita mengikuti jalan yang semakin dekat ke air, jarak yang harus dia tempuh bertambah tanpa batas.

Metode C. Metode B menyiratkan asimetri tertentu antara air dan pantai. Untuk menghindari asimetri ini, Kantor mengusulkan untuk melihat garis pantai seolah-olah melalui lensa yang tidak fokus, sehingga setiap titik berubah menjadi titik bulat dengan radius . Dengan kata lain, Cantor mempertimbangkan semua titik - baik di darat maupun di air - yang jaraknya ke garis pantai tidak melebihi . Titik-titik ini membentuk semacam sosis atau pita lebarnya (contoh “sosis” tersebut - meskipun dalam konteks yang berbeda - ditunjukkan pada Gambar 56). Mari kita ukur luas pita yang dihasilkan dan membaginya. Jika garis pantainya lurus, maka pitanya akan berbentuk persegi panjang, dan nilai yang diperoleh dengan cara dijelaskan di atas akan menjadi panjang pantai sebenarnya. Saat berhadapan dengan garis pantai sebenarnya, kita memperoleh perkiraan kasar panjangnya, yang bertambah tanpa batas sebesar .

MetodeD. Bayangkan sebuah peta yang dibuat dengan cara seniman pointillist, yaitu peta yang menggambarkan benua dan lautan dengan bintik-bintik bulat berwarna dengan radius . Daripada menganggap pusat titik sebagai titik yang termasuk dalam garis pantai, seperti pada Metode C, kita akan mengharuskan jumlah titik yang sepenuhnya menyembunyikan garis adalah yang terkecil. Akibatnya, titik-titik di dekat tanjung sebagian besar terletak di darat, sedangkan di dekat teluk sebagian besar terletak di laut. Perkiraan panjang garis pantai di sini adalah hasil pembagian luas wilayah yang dicakup oleh titik-titik tersebut dengan . “Perilaku” penilaian ini juga masih menyisakan banyak hal yang tidak diinginkan.

KECEPATAN HASIL PENGUKURAN

Meringkas bagian sebelumnya, kami mencatat bahwa hasil penggunaan salah satu dari empat metode tersebut selalu sama. Dengan berkurangnya e, perkiraan panjang kurva cenderung tak terhingga.

Untuk memahami dengan tepat pentingnya fakta ini, mari kita melakukan pengukuran serupa terhadap panjang kurva Euclidean biasa. Misalnya, pada segmen garis lurus, perkiraan data pengukuran pada dasarnya bertepatan dan menentukan panjang yang dibutuhkan. Dalam kasus lingkaran nilai perkiraan panjangnya bertambah, tetapi dengan cepat mencapai batas tertentu. Kurva yang panjangnya dapat ditentukan dengan cara ini disebut dapat diluruskan.

Akan lebih bermanfaat lagi jika kita mencoba mengukur panjang beberapa garis pantai yang didomestikasi oleh manusia - misalnya, pantai dekat Chelsea seperti yang terlihat saat ini. Karena masyarakat masih membiarkan lipatan medan yang sangat luas tidak berubah, kami akan memasang solusi yang sangat besar pada kompas kami dan secara bertahap menguranginya. Seperti yang diharapkan, panjang garis pantai akan bertambah.

Namun, ada satu fitur menarik: dengan pengurangan lebih lanjut, kita pasti akan menemukan diri kita berada di zona perantara, di mana panjangnya hampir tidak berubah. Zona ini memanjang dari kurang lebih 20 m hingga 20 cm (sangat kurang lebih). Ketika ukurannya menjadi kurang dari 20 cm, panjangnya mulai bertambah lagi - sekarang masing-masing batu mempengaruhi hasil pengukuran. Jadi, jika Anda memplot grafik perubahan nilai sebagai fungsi dari , maka pasti Anda akan menemukan area datar di atasnya dengan nilai e dalam kisaran 20 m hingga 20 cm - pada grafik serupa untuk pantai alami “liar”, daerah datar seperti itu tidak diamati.

Jelas sekali bahwa pengukuran yang dilakukan di zona datar ini mempunyai nilai praktis yang sangat besar. Karena batas antar berbeda disiplin ilmu sebagian besar merupakan hasil kesepakatan antar ilmuwan mengenai pembagian kerja, kita dapat, misalnya, mentransfer semua fenomena yang skalanya melebihi 20 m, yaitu fenomena yang belum dicapai manusia, ke departemen geografi. Batasan seperti itu akan memberi kita jangkauan geografis yang sangat spesifik. Penjaga pantai dapat berhasil menggunakan nilai yang sama untuk bekerja dengan pantai “liar”, dan ensiklopedia serta almanak akan memberi tahu semua orang panjang yang sesuai.

Di sisi lain, sulit bagi saya untuk membayangkan bahwa semua lembaga pemerintah yang berkepentingan, bahkan di satu negara pun, akan sepakat di antara mereka sendiri untuk menggunakan satu makna, dan penerapannya oleh semua negara di dunia sama sekali mustahil untuk dibayangkan. Richardson memberikan contoh ini: Ensiklopedia Spanyol dan Portugis memberikan panjang yang berbeda perbatasan darat antara negara-negara tersebut, dengan selisih sebesar 20% (sama halnya dengan perbatasan antara Belgia dan Belanda). Perbedaan ini sebagian harus dijelaskan oleh pilihan-pilihan yang berbeda. Bukti empiris, yang akan kita bahas sebentar lagi, menunjukkan bahwa agar perbedaan tersebut dapat terjadi, cukuplah suatu nilai berbeda dengan nilai lainnya hanya dengan faktor dua; Selain itu, tidak mengherankan jika sebuah negara kecil (Portugal) mengukur panjang perbatasannya dengan lebih hati-hati dibandingkan negara tetangganya yang besar.

Argumen kedua dan yang lebih signifikan menentang pilihan sewenang-wenang bersifat filosofis dan ilmiah umum. Alam ada secara independen dari manusia, dan siapa pun yang terlalu mementingkan makna atau makna tertentu, berasumsi bahwa mata rantai yang menentukan dalam proses memahami Alam adalah manusia dengan standar-standarnya yang diterima secara umum atau sarana teknis yang sangat mudah berubah. Jika garis pantai menjadi objek riset ilmiah, kecil kemungkinannya kita dapat membuat undang-undang yang melarang ketidakpastian terkait panjangnya. Meskipun demikian, konsep panjang geografis tidaklah berbahaya seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Hal ini tidak sepenuhnya “objektif”, karena ketika menentukan panjang dengan cara ini, pengaruh pengamat tidak dapat dihindari.

PENGAKUAN DAN PENTINGNYA HASIL PENGUKURAN YANG SEWENANG

Tentu saja banyak orang yang berpendapat bahwa garis pantai adalah kurva yang tidak dapat direduksi, dan dalam hal ini saya tidak ingat ada orang yang berpikir sebaliknya. Namun, pencarian saya terhadap bukti tertulis yang mendukung pendapat ini hampir tidak berhasil. Selain kutipan Perrin yang diberikan pada bab kedua, ada juga pengamatan dalam artikel Steinhaus: “Dengan mengukur panjang tepi kiri Sungai Vistula dengan semakin akurat, seseorang dapat memperoleh nilai puluhan, ratusan bahkan ribuan. kali lebih besar dari apa yang diberikan peta sekolah.. Pernyataan berikut tampaknya sangat mendekati kenyataan: sebagian besar busur yang ditemukan di alam tidak dapat diperbaiki. Pernyataan ini bertentangan dengan kepercayaan populer, yang bermuara pada fakta bahwa busur yang tidak dapat diperbaiki adalah fiksi matematika, dan di alam semua busur dapat diperbaiki. Dari dua pernyataan yang kontradiktif ini, tampaknya yang pertama dianggap benar.” Namun, baik Perrin maupun Steinhaus tidak mau repot-repot mengembangkan tebakan mereka secara lebih rinci dan membawanya pada kesimpulan logis.

K. Fadiman menceritakan kisah yang menarik. Temannya Edward Kasner melakukan eksperimen ini beberapa kali: dia “bertanya kepada anak-anak kecil berapa panjang total pantai Amerika Serikat menurut mereka. Setelah salah satu anak mengungkapkan tebakan yang cukup “masuk akal”,... Kasner... mengajak mereka untuk berpikir tentang seberapa besar angka ini dapat ditingkatkan jika mereka dengan cermat mengukur keliling semua tanjung dan teluk, lalu menelusurinya dengan cermat. tanjung dan teluk yang lebih kecil di setiap tanjung dan di setiap teluk ini, lalu ukur setiap kerikil dan setiap butir pasir yang membentuk garis pantai, setiap molekul, setiap atom, dll. Ternyata panjang pantainya bisa mencapai kamu suka. Anak-anak langsung memahami hal ini, namun Kasner punya masalah dengan orang dewasa.” Ceritanya, tentu saja, sangat bagus, tapi sepertinya tidak ada hubungannya dengan pencarian saya. Kasner jelas tidak bermaksud menyoroti beberapa aspek realitas yang layak untuk dipelajari lebih lanjut.

Dengan demikian, kami dapat mengatakan bahwa artikel dan buku yang Anda pegang pada dasarnya mewakili karya pertama yang membahas topik ini.

Dalam bukunya The Will to Believe,1 William James menulis: “Apa yang tidak sesuai dengan kerangka klasifikasi... selalu merupakan ladang yang kaya akan penemuan-penemuan besar. Dalam sains apa pun, di sekitar fakta yang diterima secara umum dan teratur, selalu ada awan debu pengecualian terhadap aturan - fenomena yang tidak kentara, tidak konsisten, jarang ditemui, fenomena yang lebih mudah diabaikan daripada dipertimbangkan. Setiap ilmu pengetahuan berusaha untuk itu kondisi sempurna sistem kebenaran yang tertutup dan ketat... Fenomena yang tidak dapat diklasifikasikan dalam sistem dianggap absurditas paradoks dan jelas tidak benar. Mereka diabaikan dan ditolak berdasarkan niat terbaik dari hati nurani ilmiah... Siapapun yang serius mempelajari fenomena tak beraturan akan mampu mencipta ilmu baru atas dasar yang lama. Pada akhir proses ini, aturan ilmu pengetahuan terkini, sebagian besar, akan menjadi pengecualian di masa lalu.”

Esai ini, yang tujuannya sederhana adalah pembaruan menyeluruh geometri Alam, menggambarkan fenomena-fenomena yang sangat tidak dapat diklasifikasikan sehingga hanya mungkin untuk membicarakannya dengan izin sensor. Anda akan menemukan fenomena pertama di bagian selanjutnya.

EFEK RICHARDSON

Sebuah studi empiris tentang perubahan perkiraan panjang yang diperoleh dengan menggunakan Metode A dijelaskan dalam artikel Richardson, tautan yang secara kebetulan menarik perhatian saya. Saya memperhatikannya hanya karena saya sudah banyak mendengar tentang Lewis Fry Richardson sebagai ilmuwan luar biasa yang orisinalitas pemikirannya mirip dengan eksentrisitas (lihat Bab 40). Seperti yang akan kita lihat di Bab 10, umat manusia mempunyai gagasan yang paling mendalam dan bertahan lama mengenai sifat turbulensi - perhatian khusus Di antara mereka, yang layak adalah yang menurutnya turbulensi mengandaikan munculnya kaskade serupa diri. Dia juga mengerjakan yang lain masalah yang kompleks- seperti, misalnya, sifat konflik bersenjata antar negara. Eksperimennya merupakan contoh kesederhanaan klasik, namun ia tidak ragu untuk menggunakan konsep yang lebih canggih bila diperlukan.

Ditunjukkan pada Gambar. 57 grafik, ditemukan setelah kematian Richardson di antara makalahnya, diterbitkan dalam “Buku Tahunan tentang Buku Tahunan” yang hampir rahasia (dan sama sekali tidak pantas untuk publikasi semacam itu). sistem umum" Setelah memeriksa grafik-grafik ini, kita sampai pada kesimpulan bahwa ada dua konstanta (sebut saja dan ) - sehingga untuk menentukan panjang garis pantai dengan membuat garis putus-putus yang mendekatinya, perlu kira-kira interval panjangnya dan tuliskan rumus berikut:

Nilai indikator ini tampaknya bergantung pada sifat garis pantai yang diukur, dan bagian berbeda dari garis ini, jika dipertimbangkan secara terpisah, dapat memberikan nilai berbeda. Bagi Richardson, magnitudo hanyalah sebuah indikator praktis tanpa arti tertentu. Namun, nilai indikator ini tampaknya tidak bergantung pada metode yang dipilih untuk memperkirakan panjang garis pantai. Ini berarti dia layak mendapat perhatian paling dekat.

DIMENSI FRAKTAL GARIS PANTAI

Setelah mempelajari karya Richardson, saya menyarankan bahwa meskipun eksponen bukanlah bilangan bulat, eksponen dapat dan harus dipahami sebagai sebuah dimensi - lebih tepatnya, sebagai dimensi fraktal. Tentu saja, saya menyadari sepenuhnya bahwa semua metode pengukuran di atas didasarkan pada definisi dimensi umum non-standar, yang telah digunakan dalam matematika murni. Penentuan panjang berdasarkan cakupan garis pantai angka terkecil titik radius, digunakan untuk menentukan dimensi lapisan. Penentuan panjang, berdasarkan penutupan garis pantai dengan pita lebar , mewujudkan gagasan Cantor dan Minkowski (lihat Gambar 56), dan kita berhutang dimensi yang sesuai kepada Buligan. Namun, kedua contoh ini hanya mengisyaratkan keberadaan banyak dimensi (sebagian besar hanya diketahui oleh segelintir spesialis) yang menonjol dalam berbagai bidang matematika yang sangat terspesialisasi. Kita akan membahas beberapa dimensi ini secara lebih rinci di Bab 39.

Mengapa matematikawan perlu memperkenalkan dimensi berbeda yang berlimpah ini? Lalu apa yang ada di dalamnya kasus-kasus tertentu mereka menerima arti yang berbeda. Untungnya, Anda tidak akan menemukan kasus seperti itu dalam esai ini, jadi daftar kemungkinan dimensi alternatif dapat ditemukan di sini. hati nurani yang bersih dikurangi menjadi dua, namun belum saya sebutkan. Dimensi tertua dan paling dipelajari secara menyeluruh dalam daftar kami berasal dari Hausdorff dan berfungsi untuk mendefinisikan dimensi fraktal - kami akan segera membahasnya. Dimensi kedua yang lebih sederhana disebut dimensi kesamaan: ia tidak sama karakter umum, karena dimensi pertama ternyata lebih dari cukup dalam banyak kasus - kita akan membahasnya di bab berikutnya.

Tentu saja saya tidak akan memberikannya di sini bukti matematis bahwa eksponen Richardson adalah sebuah dimensi. Sejujurnya, saya tidak dapat membayangkan bagaimana pembuktian seperti itu dapat dilakukan dalam kerangka apapun ilmu alam. Saya hanya ingin menarik perhatian pembaca pada fakta bahwa konsep panjang menimbulkan masalah konseptual, dan indikator memberikan solusi yang mudah dan elegan. Sekarang dimensi fraktal telah mengambil tempatnya dalam studi tentang garis pantai, kecil kemungkinannya kita ingin, karena alasan khusus apa pun, untuk kembali ke masa ketika kita mempercayainya tanpa berpikir panjang dan naif. Siapapun yang masih percaya sekarang harus mencoba jika ingin membuktikan bahwa dia benar.

Langkah selanjutnya—menjelaskan bentuk garis pantai dan menyimpulkan makna dari pertimbangan lain yang lebih mendasar—saya mengusulkan untuk menunda hingga Bab 28. Pada tahap ini, cukup dikatakan bahwa, sebagai perkiraan pertama, . Nilai ini terlalu besar untuk menggambarkan fakta secara akurat, namun lebih dari cukup bagi kita untuk mengatakan bahwa adalah mungkin, seharusnya, dan wajar untuk percaya bahwa dimensi garis pantai melebihi nilai kurva Euclidean yang biasa.

DIMENSI Fraktal HAUSDORFF

Jika kita menerima bahwa garis pantai alami yang berbeda memiliki panjang yang tak terhingga, dan juga bahwa nilai panjang berdasarkan nilai antropometrik hanya memberikan sebagian gambaran tentang keadaan sebenarnya, lalu bagaimana garis pantai yang berbeda dapat dibandingkan satu sama lain? Karena tak terhingga tidak ada bedanya dengan tak terhingga dikalikan empat, apa gunanya kita mengatakan bahwa panjang suatu tepian adalah empat kali lebih besar dari panjang salah satu bagian tepinya? Diperlukan cara terbaik untuk mengungkapkan gagasan yang cukup masuk akal bahwa suatu kurva harus memiliki suatu "ukuran", dan ukuran untuk keseluruhan kurva ini harus empat kali lebih besar dari ukuran yang sama untuk setiap bagiannya.

Sebuah metode yang sangat cerdik untuk mencapai tujuan ini diusulkan oleh Felix Hausdorff. Metodenya didasarkan pada fakta bahwa ukuran linier suatu poligon dihitung dengan menjumlahkan panjang sisinya tanpa transformasi apa pun. Dapat diasumsikan bahwa panjang sisi ini dipangkatkan sama dengan dimensi garis Euclidean (alasan asumsi ini akan segera menjadi jelas). Ukuran permukaan daerah dalam poligon tertutup dihitung dengan cara yang sama - dengan menutupinya dengan persegi, mencari jumlah panjang sisi persegi tersebut dan menaikkannya ke pangkat (dimensi bidang Euclidean ). Jika kita menggunakan derajat yang “salah” dalam perhitungannya, maka hasil perhitungan tersebut tidak akan memberi kita apapun informasi yang berguna: luas poligon tertutup adalah sama dengan nol, dan panjang wilayah dalamnya tidak terhingga.

Mari kita pertimbangkan dari posisi tersebut pendekatan poligonal (sebagian linier) dari garis pantai yang terdiri dari interval panjang yang kecil. Dengan menaikkan panjang interval menjadi pangkat dan mengalikannya dengan jumlah interval, kita memperoleh nilai tertentu yang secara tentatif dapat disebut “perkiraan panjang dalam dimensi”. Karena, menurut Richardson, jumlah sisinya sama, maka perkiraan panjang kitalah yang menentukan nilainya .. Artinya, perkiraan luas garis pantai menunjukkan perilaku bijaksana jika dan hanya jika .

DIMENSI FRAKTAL KURVA MUNGKIN LEBIH BESAR DARI UNIT; KURVA Fraktal

Sebagaimana dimaksudkan oleh penciptanya, dimensi Hausdorff tetap menjalankan tugas dimensi biasa dan berfungsi sebagai eksponen dalam menentukan ukuran.

Namun, di sisi lain, dimensinya sangat luar biasa - hal ini diungkapkan bilangan pecahan! Terlebih lagi, ini lebih besar dari kesatuan, yang merupakan dimensi “alami” untuk kurva (dapat dibuktikan secara tegas bahwa dimensi topologinya juga sama dengan kesatuan).

Saya mengusulkan untuk menyebut kurva yang dimensi fraktalnya melebihi dimensi topologinya sebagai kurva fraktal. Sebagai ringkasan singkat untuk bab ini, saya dapat menawarkan pernyataan berikutnya: Pada skala geografis, garis pantai dapat dimodelkan menggunakan kurva fraktal. Garis pantai memiliki struktur fraktal.

Beras. 55. POHON MONAY

Pada tahap ini, gambar kecil ini harus dianggap hanya sebagai elemen dekoratif, hanya mengisi ruang kosong.

Namun, setelah membaca Bab 14, pembaca akan dapat menemukan petunjuk untuk mengungkap teka-teki “arsitektur” pada Gambar. 210. Petunjuk yang lebih serius diberikan oleh generator di bawah ini:

Jika seorang ahli matematika perlu “menjinakkan” suatu kurva yang tidak beraturan, ia dapat menggunakan prosedur standar berikut: nilai tertentu dipilih, dan lingkaran berjari-jari dibuat di sekitar setiap titik kurva. Prosedur ini, setidaknya sudah ada sejak zaman Hermann Minkowski, dan bahkan sejak zaman Georg Cantor sendiri, agak kasar, namun sangat efektif. (Mengenai istilah sosis, asal usulnya, menurut rumor yang belum terverifikasi, ada hubungannya dengan penerapan prosedur ini oleh Norbert Wiener pada kurva Brown.)

Dalam ilustrasi yang diposting di sini, perataan yang dijelaskan di atas diterapkan bukan pada pantai sebenarnya, tetapi pada satu kurva teoretis, yang akan kita buat nanti (lihat Gambar 79) dengan terus menambahkan lebih banyak detail halus. Membandingkan potongan sosis yang ditunjukkan di sebelah kanan dengan ujung kanan sosis yang diletakkan di atas, kita melihat bahwa tahap kritis dalam membangun kurva terjadi ketika kurva mulai memasukkan bagian-bagian yang lebih kecil dari . Untuk lebih lanjut tahap selanjutnya sosisnya tidak berubah secara signifikan.

Beras. 57. DATA EMPIRIS RICHARDSON TENTANG LAJU PERTUMBUHAN PANJANG GARIS PANTAI

Gambar ini menunjukkan hasil percobaan pengukuran panjang kurva yang dilakukan pada berbagai kurva dengan menggunakan poligon sama sisi yang panjang sisinya semakin berkurang. Seperti yang diharapkan, dalam kasus lingkaran, pengukuran dengan presisi yang meningkat memberikan nilai yang stabil dengan sangat cepat di sekitar nilai yang sangat spesifik.

Sebaliknya, dalam kasus garis pantai, nilai perkiraan panjangnya tidak stabil sama sekali. Karena panjang langkah cenderung nol, perkiraan panjang, diplot dalam sistem koordinat logaritma ganda, membentuk garis lurus dengan kemiringan negatif. Begitu pula dengan perbatasan darat antar negara. Penyelidikan Richardson terhadap berbagai ensiklopedia mengungkapkan perbedaan yang signifikan dalam penentuan panjang perbatasan bersama oleh kartografer dari masing-masing negara: misalnya, panjang perbatasan antara Spanyol dan Portugal adalah 987 km dari sudut pandang orang Spanyol dan 1214 km. km dari sudut pandang Portugis; perbatasan antara Belanda dan Belgia (380 dan 449 km) juga terkena dampak serupa. Karena kemiringan garis yang bersesuaian adalah -0,25, perbedaan dua puluh persen antara pengukuran berarti perbedaan dua kali lipat antara nilai yang diterima untuk pengukuran ini - bukan asumsi yang luar biasa.

Richardson tidak memberikan apa pun interpretasi teoretis kemiringan garis lurusnya yang berbeda-beda. Kami bermaksud menafsirkan garis pantai sebagai perkiraan kurva fraktal dan mempertimbangkannya lereng garis lurus yang bersesuaian sebagai perkiraan nilai selisihnya, dimana adalah dimensi fraktal.