Kampų sumos apskaičiavimo formulė. Taisyklingas daugiakampis

Pamokos tipas: praktinė pamoka, kombinuota pamoka.

Pamokos tikslai:

1. Išveskite formulę, išreiškiančią išgaubto daugiakampio kampų sumą

2. Vystymasis loginis mąstymas ir dėmesio

3. Protinio darbo kultūros puoselėjimas

Įranga: lentelė „Išgaubto daugiakampio kampų suma“, darbo knyga geometrijoje, modelių rinkinys išgaubti daugiakampiai.

Naudojamos technologijos: technologijos elementai kritinis mąstymas, sveikatą tausojančios technologijos, probleminio mokymosi technologija.

Pamokos eiga:

aš . Emocinė pamokos pradžia:

Sveiki vaikinai. Sveiki, svečiai. Vaikinai, pažiūrėkite į mane. Aš nerimauju, o tu? Kokia tavo nuotaika? Palaikykime vieni kitus, šypsokimės vieni kitiems ir esu tikras, kad kartu įveiksime visus sunkumus, galime tai padaryti.

Kaip manote, apie ką šiandien bus pamoka? Ar esate pasimetęs? Savo pamokos temos kol kas neformuluosime, prie jos grįšime vėliau, darbo eigoje.

II . Žinių atnaujinimas:

Matematinis diktantas (priekinis), po kurio atliekamas bandymas lentos gale. Mokinys dirba lentos gale.

Šios užduoties tikslas: viską kartoti reikalinga informacija tolesniam darbui.

Testo tipas: abipusis arba savarankiškas, pasirenka studentai.

Mokytojas patikrina 2-3 mokinių pasirinktus darbus. Balas nustatomas pagal teisingų atsakymų skaičių.

Diktantas:

1 daugiakampis sunviršūnės vadinamos... (n- kvadratas).

2. Atkarpa, jungianti bet kurias dvi ne kaimyninės viršūnės, vadinamas... (daugiakampio įstrižainė).

3. Jei daugiakampis yra kiekvienos tiesės, einančios per dvi gretimas viršūnes, vienoje pusėje, tada jis vadinamas... (išgaubtu).

4. Dvi negretimos keturkampio viršūnės vadinamos... (priešingos).

5. Kokia suma? laipsnio matai visi trikampio kampai?.. (180°).

Rezultatai: koncepcijan-kampas, jo įstrižainės, išgaubtas daugiakampis, priešingos jo viršūnės, visų trikampio kampų laipsnių matų suma, kurią naudosime kitame pamokos etape, atlikdami laboratorinius darbus.

III . Naujos medžiagos mokymasis:

Laboratoriniai darbai (poromis).

Darbo tikslas: eksperimentiškai išveskite formulę, išreiškiančią išgaubto daugiakampio kampų sumą.

Naudojimo instrukcijos:

1. Sukurkite tris išgaubtus daugiakampius.

2. Iš vienos viršūnės nubrėžkite įstrižaines.

3. Palyginkite daugiakampio kraštinių skaičių su gautų trikampių skaičiumi.

4. Kiekvieno daugiakampio kampų sumą išreikškite trikampio kampų suma.

Užrašykite rezultatus į lentelę (keli mokiniai savo rezultatus užrašo lentoje)

Ar galima dabar suformuluoti pamokos temą?

- Tema: „Išgaubto daugiakampio kampų suma“

5. Suformuluokite hipotezę: „Išgaubto kampų suman-gon yra lygus (n-2) ٠ 180°"

Patvirtinkime šią hipotezę skaitydami vadovėlio 99 puslapyje pateiktą formulės išvedimą. Surašykime formulę į sąsiuvinį. Studentai vertina savo rezultatus laboratoriniai darbai pagal penkiabalę sistemą.

IV . Sveikatos tausojimo pertrauka.

Tikslas: užkirsti kelią nuovargiui, išsaugoti mokinių sveikatą, pratimus jungiant su pamokos temos elementais (įvairių tipų kampais).

Vaikai sėdi prie rašomojo stalo. Pakvieskite juos sėdėti 90° kampu.

Vaikinai, atsistokite. Rankomis pieškite platų kampą. Kėlimas dešine ranka, parodykite stačią kampą. Padarykite tą patį keldami kaire ranka. Tada pakaitomis apsimesti kvailu, o tada aštrių kampų. Atsisėsk.

V . Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

Tikslas: mokyti mokinius spręsti tiesią ir atvirkštinė problema, taikant išgaubto daugiakampio kampų sumos formulę.

Problemų sprendimas

1. Darbas darbo knygelėse. (Vienas iš mokinių užduotį ir jos sprendimą skaito garsiai, užpildo spragas, likusieji atidžiai stebi jo darbą. Mokiniui suklydus, klasė ją ištaiso.)

4 užduotis. Naudojant formulę (n-2) 180°, raskite išgaubtų kampų sumą:

a) dešimtkampis

b) dvidešimt dvipusis trikampis

Atsakymas: a) 1620°, b) 3600°

2. Nuspręskite raštu Nr.365 (c). Kiek kraštinių turi išgaubtas daugiakampis, kurio kiekvienas kampas yra 120°?

Vienas iš mokinių pakviečiamas prie lentos spręsti uždavinio, likusieji dirba savo sąsiuviniuose.

Sprendimas: išgaubto kampų suman-gon yra 180°٠ ( n-2). Todėl 180°٠ ( n-2) = 120°٠ n

Iš čia: 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

Atsakymas: 6 pusės.

Vadovaujantys klausimai:

Kokia yra išgaubto kampų suman- kvadratas?

Kitas būdas apskaičiuoti išgaubto kampų sumąn-gon, jei kiekvienas jonkampai lygūs 120°?

Kaip rasti tokio daugiakampio kraštinių skaičių?

VI . Savarankiškas darbas

Tikslas: patikrinkite temos įvaldymo lygį

1 užduotis.

Naudodami formulę raskite išgaubto kampų sumąnkvadratas

1 variantas 2 variantas

n=12. Atsakymas: 1800°n=32. Atsakymas: 5400°

2 užduotis.

Kiek kraštinių turi išgaubtas daugiakampis, kurio kiekvienas kampas lygus:

1 variantas 2 variantas

90°. Atsakymas: keturi 60° Atsakymas: trys

Keli mokiniai iš kiekvienos parinkties užrašo savo atsakymus lentos gale, mokytojas patikrina, o likę mokiniai atlieka savo pasirinktą savarankišką arba abipusį testą.

Namų darbai:

Tikslas: Stiprinti mokinių gebėjimus sprendžiant uždavinius naudojant išgaubto daugiakampio kampų sumos formulę.

1. 40 punktas 99 puslapyje, 3 klausimas 114 puslapyje;

2. Išspręskite uždavinius Nr.364 (c), 365 (d).

VII . Pamokos santrauka:

1. Sinchvino sudarymas.

2. Pažymių davimas (aritmetinis vidurkis: diktantas, l/r, s/r).

3. Namų darbų komentavimas.

4. Mokinių sąsiuvinių įteikimas.

Sinkvynas

Daugiakampiai

išgaubtas,n- anglis

Statome, laužome, skaičiuojame

Išgaubtų kampų suman-gon yra lygus (n-2) 180°

Formulė

8 klasėje per geometrijos pamokas mokykloje mokiniai pirmą kartą supažindinami su išgaubto daugiakampio samprata. Labai greitai jie sužinos, kad šis skaičius turi labai daug įdomi nuosavybė. Kad ir koks sudėtingas jis būtų, visų vidinių ir išorinių išgaubto daugiakampio kampų suma įgyja griežtai apibrėžtą reikšmę. Šiame straipsnyje matematikos ir fizikos mokytojas pasakoja apie tai, kam lygi išgaubto daugiakampio kampų suma.

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma

Kaip įrodyti šią formulę?

Prieš pereidami prie šio teiginio įrodymo, prisiminkime, kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu. Išgaubtas daugiakampis yra daugiakampis, kuris yra visiškai vienoje linijos, kurioje yra bet kuri jos kraštinė, pusėje. Pavyzdžiui, pavaizduota šiame paveikslėlyje:

Jei daugiakampis netenkina nurodyta sąlyga, tada jis vadinamas neišgaubtu. Pavyzdžiui, taip:

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma yra lygi , Kur yra daugiakampio kraštinių skaičius.

Šio fakto įrodymas pagrįstas visiems moksleiviams gerai žinoma trikampio kampų sumos teorema. Esu tikras, kad ši teorema jums taip pat žinoma. Trikampio vidinių kampų suma yra .

Idėja yra padalinti išgaubtą daugiakampį į kelis trikampius. Tai galima padaryti įvairiais būdais. Priklausomai nuo to, kokį metodą pasirinksime, įrodymai šiek tiek skirsis.

1. Padalinkite išgaubtą daugiakampį į trikampius, naudodami visas įmanomas įstrižaines, nubrėžtas iš kokios nors viršūnės. Nesunku suprasti, kad tada mūsų n-kampis bus padalintas į trikampius:

Be to, visų gautų trikampių visų kampų suma yra lygi mūsų n kampo kampų sumai. Galų gale, kiekvienas gautų trikampių kampas yra dalinis kampas mūsų išgaubtame daugiakampyje. Tai yra, reikalinga suma yra lygi .

2. Taip pat galite pasirinkti tašką išgaubto daugiakampio viduje ir prijungti jį prie visų viršūnių. Tada mūsų n-kampis bus padalintas į trikampius:

Be to, mūsų daugiakampio kampų suma šiuo atveju bus lygi visų šių trikampių kampų sumai atėmus centrinis kampas, kuri yra lygi . Tai yra, reikalinga suma vėl lygi .

Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma

Dabar užduokime klausimą: „Kokia yra išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma? Į šį klausimą galima atsakyti taip. Kiekvienas išorinis kampas yra greta atitinkamo vidinio kampo. Todėl jis lygus:

Tada visų išorinių kampų suma lygi . Tai yra, jis yra lygus.

Tai yra, gaunamas labai juokingas rezultatas. Jei paeiliui vieną po kito nubraižysime visus bet kurio išgaubto n kampo išorinius kampus, rezultatas bus tiksliai visa plokštuma.

Tai įdomus faktas galima iliustruoti taip. Proporcingai sumažinkime visas kurio nors išgaubto daugiakampio kraštines, kol jis susijungs į tašką. Po to visi išoriniai kampai bus nustumti vienas nuo kito ir taip užpildys visą plokštumą.

Įdomus faktas, ar ne? Ir tokių faktų geometrijoje yra labai daug. Taigi, brangūs moksleiviai, mokykitės geometrijos!

Medžiagą, kuriai lygi išgaubto daugiakampio kampų suma, parengė Sergejus Valerjevičius

Trikampis, kvadratas, šešiakampis – šias figūras žino beveik visi. Bet štai kas tai yra taisyklingas daugiakampis, ne visi žino. Bet tai yra vienodi Įprastas daugiakampis yra tas, kurio kampai ir kraštinės yra vienodi. Tokių figūrų yra daug, bet jos visos turi identiškų savybių, ir jiems taikomos tos pačios formulės.

Taisyklingų daugiakampių savybės

Bet koks taisyklingas daugiakampis, nesvarbu, ar tai būtų kvadratas, ar aštuonkampis, gali būti įrašytas į apskritimą. Ši pagrindinė savybė dažnai naudojama kuriant figūrą. Be to, į daugiakampį galima įrašyti apskritimą. Tokiu atveju sąlyčio taškų skaičius bus lygus jo pusių skaičiui. Svarbu, kad apskritimas, įrašytas į taisyklingą daugiakampį, turės bendras centras. Šioms geometrinėms figūroms taikomos tos pačios teoremos. Bet kuri taisyklingo n kampo kraštinė yra susijusi su apskritimo spinduliu R, todėl ją galima apskaičiuoti naudojant tokią formulę: a = 2R ∙ sin180°. Per jį galite rasti ne tik daugiakampio šonus, bet ir perimetrą.

Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių

Bet kuris susideda iš tam tikro skaičiaus segmentų, lygių vienas kitam, kurie, susijungę, sudaro uždarą liniją. Šiuo atveju visi gautos figūros kampai turi ta pati vertė. Daugiakampiai skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Pirmąją grupę sudaro trikampis ir kvadratas. Sudėtingi daugiakampiai turi didesnis skaičius pusės Tai taip pat yra žvaigždės formos figūros. Sudėtingų taisyklingų daugiakampių kraštinės randamos jas nubrėžus apskritimu. Pateikime įrodymą. Nubrėžkite taisyklingą daugiakampį su bet koks skaičiusšonai n. Nubrėžkite aplink jį apskritimą. Nustatykite spindulį R. Dabar įsivaizduokite, kad jums suteiktas n-kampis. Jei jo kampų taškai yra ant apskritimo ir yra lygūs vienas kitam, tada kraštines galima rasti naudojant formulę: a = 2R ∙ sinα: 2.

Įbrėžto taisyklingojo trikampio kraštinių skaičiaus nustatymas

Lygiakraštis trikampis yra taisyklingas daugiakampis. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir kvadratui bei n kampui. Trikampis bus laikomas taisyklingu, jei jo kraštinės yra vienodos. Šiuo atveju kampai yra 60⁰. Sukonstruokime trikampį, kurio kraštinės ilgis yra a. Žinodami jo medianą ir aukštį, galite sužinoti jo kraštų vertę. Norėdami tai padaryti, naudosime radimo metodą pagal formulę a = x: cosα, kur x yra mediana arba aukštis. Kadangi visos trikampio kraštinės yra lygios, gauname a = b = c. Tada tai bus tiesa kitas pareiškimas a = b = c = x: cosα. Panašiai galite rasti lygiašonio trikampio kraštinių vertę, tačiau x bus nurodytas aukštis. Tokiu atveju jis turėtų būti projektuojamas griežtai ant figūros pagrindo. Taigi, žinodami aukštį x, randame kraštinę a lygiašonis trikampis pagal formulę a = b = x: cosα. Suradę a reikšmę, galite apskaičiuoti pagrindo c ilgį. Taikykime Pitagoro teoremą. Ieškosime pusės bazės c reikšmės: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Tada c = 2xtanα. Šiuo paprastu būdu galite rasti bet kurio įrašyto daugiakampio kraštinių skaičių.

Į apskritimą įbrėžto kvadrato kraštinių skaičiavimas

Kaip ir bet kuris kitas įbrėžtas taisyklingas daugiakampis, kvadratas turi lygios pusės ir kampai. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir trikampiui. Galite apskaičiuoti kvadrato kraštines naudodami įstrižainės reikšmę. Panagrinėkime šį metodą išsamiau. Yra žinoma, kad įstrižainė dalija kampą per pusę. Iš pradžių jo vertė buvo 90 laipsnių. Taigi, po padalijimo susidaro du. Jų kampai prie pagrindo bus lygūs 45 laipsniais. Atitinkamai, kiekviena kvadrato kraštinė bus lygi, tai yra: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kur e yra kvadrato įstrižainė arba stačiojo trikampio, sudaryto po padalinys. Tai ne vienintelis būdas ieškant kvadrato kraštinių. Įbrėžkime šią figūrą į apskritimą. Žinodami šio apskritimo spindulį R, randame kvadrato kraštinę. Ją apskaičiuosime taip: a4 = R√2. Taisyklingųjų daugiakampių spinduliai apskaičiuojami pagal formulę R = a: 2tg (360 o: 2n), kur a – kraštinės ilgis.

Kaip apskaičiuoti n kampo perimetrą

N kampo perimetras yra visų jo kraštinių suma. Tai lengva apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti visų pusių reikšmes. Kai kuriems daugiakampių tipams yra specialios formulės. Jie leidžia daug greičiau rasti perimetrą. Yra žinoma, kad bet kuris taisyklingas daugiakampis turi lygias kraštines. Todėl, norint apskaičiuoti jo perimetrą, pakanka žinoti bent vieną iš jų. Formulė priklausys nuo figūros kraštinių skaičiaus. Apskritai tai atrodo taip: P = an, kur a yra šoninė vertė, o n yra kampų skaičius. Pavyzdžiui, norėdami rasti įprasto aštuonkampio, kurio kraštinė yra 3 cm, perimetrą, turite jį padauginti iš 8, tai yra, P = 3 ∙ 8 = 24 cm, apskaičiuojame šešiakampį, kurio kraštinė yra 5 cm taip: P = 5 ∙ 6 = 30 cm ir taip kiekvienam daugiakampiui.

Lygiagretainio, kvadrato ir rombo perimetro radimas

Priklausomai nuo to, kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, apskaičiuojamas jo perimetras. Tai labai palengvina užduotį. Iš tiesų, skirtingai nuo kitų figūrų, šiuo atveju nereikia ieškoti visų jos pusių, užtenka vienos. Tuo pačiu principu randame keturkampių perimetrą, tai yra kvadratą ir rombą. Nepaisant to, kad šis skirtingos figūros, jų formulė yra viena P = 4a, kur a yra pusė. Pateikime pavyzdį. Jei rombo ar kvadrato kraštinė yra 6 cm, tada perimetrą randame taip: P = 4 ∙ 6 = 24 cm priešingos pusės. Todėl jo perimetras randamas naudojant kitą metodą. Taigi, turime žinoti figūros ilgį a ir plotį b. Tada taikome formulę P = (a + b) ∙ 2. Lygiagretainis, kurio visos kraštinės ir kampai tarp jų yra lygūs, vadinamas rombu.

Lygiakraščio ir stačiakampio trikampio perimetro radimas

Teisingo perimetrą galima rasti naudojant formulę P = 3a, kur a yra kraštinės ilgis. Jei jis nežinomas, jį galima rasti per medianą. IN stačiakampis trikampis vienodos vertės turi tik dvi puses. Pagrindą galima rasti per Pitagoro teoremą. Kai žinomos visų trijų pusių vertės, apskaičiuojame perimetrą. Jį galima rasti naudojant formulę P = a + b + c, kur a ir b yra lygios kraštinės, o c yra pagrindas. Prisiminkite, kad lygiašoniame trikampyje a = b = a, o tai reiškia, kad a + b = 2a, tada P = 2a + c. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio kraštinė yra 4 cm, raskime jo pagrindą ir perimetrą. Apskaičiuojame hipotenuzos reikšmę pagal Pitagoro teoremą, kai = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Dabar apskaičiuokite perimetrą P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kampus

Taisyklingas daugiakampis mūsų gyvenime pasitaiko kiekvieną dieną, pavyzdžiui, taisyklingas kvadratas, trikampis, aštuonkampis. Atrodytų, kad nėra nieko lengviau, kaip susikurti šią figūrą patiems. Tačiau tai paprasta tik iš pirmo žvilgsnio. Norint sukurti bet kurį n kampą, reikia žinoti jo kampų reikšmę. Bet kaip juos rasti? Net senovės mokslininkai bandė konstruoti taisyklingus daugiakampius. Jie sugalvojo, kaip juos sutalpinti į ratus. Ir tada jie tai pažymėjo reikalingų taškų, sujungė juos tiesiomis linijomis. Už paprastos figūros statybos problema buvo išspręsta. Gautos formulės ir teoremos. Pavyzdžiui, Euklidas savo garsiajame darbe „Pradžia“ nagrinėjo 3, 4, 5, 6 ir 15 gonų uždavinių sprendimą. Jis rado būdų, kaip juos sukonstruoti ir rasti kampus. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti 15 gon. Pirmiausia reikia apskaičiuoti jo vidinių kampų sumą. Būtina naudoti formulę S = 180⁰(n-2). Taigi, mums suteikiamas 15 kampų, o tai reiškia, kad skaičius n yra 15. Mes pakeičiame mums žinomus duomenis į formulę ir gauname S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mes nustatėme visų 15 kampų vidinių kampų sumą. Dabar reikia nustatyti kiekvieno iš jų vertę. Iš viso yra 15 kampų. Skaičiuojame 2340⁰: 15 = 156⁰. Taigi visi vidinis kampas yra lygus 156⁰, dabar naudodami liniuotę ir kompasą galite sukurti įprastą 15 kampų. Bet kaip su sudėtingesniais n-gonais? Daugelį amžių mokslininkai stengėsi išspręsti šią problemą. Jį tik XVIII amžiuje rado Carlas Friedrichas Gaussas. Jis sugebėjo sukonstruoti 65537-gon. Nuo tada problema oficialiai laikoma visiškai išspręsta.

n kampų radianais apskaičiavimas

Žinoma, yra keletas būdų, kaip rasti daugiakampių kampus. Dažniausiai jie skaičiuojami laipsniais. Bet jie taip pat gali būti išreikšti radianais. Kaip tai padaryti? Turite elgtis taip. Pirmiausia išsiaiškiname įprasto daugiakampio kraštinių skaičių, tada iš jo atimame 2 Tai reiškia, kad gauname reikšmę: n - 2. Rastą skirtumą padauginkite iš skaičiaus n ("pi" = 3,14). Dabar belieka gautą sandaugą padalyti iš kampų skaičiaus n kampe. Panagrinėkime šiuos skaičiavimus, kaip pavyzdį naudodami tą patį dešimtkampį. Taigi, skaičius n yra 15. Taikykime formulę S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Žinoma, tai nėra vienintelis būdas apskaičiuoti kampą radianais. Galite tiesiog padalyti kampą laipsniais iš 57,3. Juk tiek laipsnių yra lygi vienam radianui.

Kampų skaičiavimas laipsniais

Be laipsnių ir radianų, galite pabandyti rasti įprasto daugiakampio kampus laipsniais. Tai daroma taip. Iš bendras skaičius kampus, atimkite 2, gautą skirtumą padalinkite iš taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiaus. Rastą rezultatą padauginame iš 200. Beje, toks kampų matavimo vienetas kaip laipsniai praktiškai nenaudojamas.

n kampų išorinių kampų skaičiavimas

Bet kuriam įprastam daugiakampiui, be vidinio, galite apskaičiuoti ir išorinį kampą. Jo vertė nustatoma taip pat, kaip ir kitų figūrų. Taigi, norėdami rasti taisyklingo daugiakampio išorinį kampą, turite žinoti vidinio kampo reikšmę. Be to, mes žinome, kad šių dviejų kampų suma visada yra lygi 180 laipsnių. Todėl skaičiavimus atliekame taip: 180⁰ atėmus vidinio kampo vertę. Mes randame skirtumą. Jis bus lygus kampo, esančio šalia jo, vertei. Pavyzdžiui, vidinis kvadrato kampas yra 90 laipsnių, o tai reiškia, kad išorinis kampas bus 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kaip matome, tai nėra sunku rasti. Išorinis kampas gali būti atitinkamai nuo +180⁰ iki -180⁰.