Dviejų pagrindinių tikimybių teorijos teoremų - sudėties ir daugybos teoremų - pasekmė yra formulės visa tikimybe ir Bayes formulės.

Įvykių algebros kalba vadinama aibė , , ¼ pilna renginių grupė, Jei:

1. Įvykiai poromis nesuderinami, t.y. , , ;.

2. Viskas susideda tikimybių erdvė .

5 teorema (Suminės tikimybės formulė). Jei įvykis A gali atsirasti tik tada, kai atsiranda vienas iš įvykių (hipotezių), ,¼,, formuojantis pilna grupė, tada įvykio tikimybė A lygus

Įrodymas. Kadangi hipotezės, ,¼, yra vienintelės galimos, ir įvykis A pagal teoremos sąlygas gali atsirasti tik kartu su viena iš hipotezių, tada . Nuo hipotezių nesuderinamumo seka nesuderinamumas .

Taikome tikimybių sudėjimo teoremą formoje (6):

Pagal daugybos teoremą. Pakeičiant šis pristatymasį formulę (13), pagaliau turime: , ką ir reikėjo įrodyti.

8 pavyzdys. Eksporto-importo įmonė ruošiasi sudaryti sutartį dėl žemės ūkio technikos tiekimo vienam iš besivystančių šalių. Jei pagrindinis įmonės konkurentas vienu metu nepateiks pasiūlymo dėl sutarties, tada tikimybė gauti sutartį vertinama 0,45; kitu atveju – po 0,25. Įmonės ekspertų teigimu, tikimybė, kad konkurentas pateiks pasiūlymus dėl sutarties sudarymo, yra 0,40. Kokia tikimybė sudaryti sutartį?

Sprendimas. A -„įmonė sudarys sutartį“, - „konkurentas pateiks savo pasiūlymus“, - „konkurentas neteiks savo pasiūlymų“. Pagal problemos sąlygas , . Sąlyginės tikimybės sudaryti sutartį su firma , . Pagal bendrosios tikimybės formulę

Daugybos teoremos ir bendrosios tikimybės formulės pasekmė yra Bayes formulė.

Bayes formulė leidžia perskaičiuoti kiekvienos hipotezės tikimybę, jei įvykis įvyko. (Tai taikoma, kai įvykis A, kuris gali atsirasti tik su viena iš hipotezių, sudarančių visą įvykių grupę, įvyko ir būtina kiekybiškai iš naujo įvertinti šių hipotezių apriorines tikimybes, žinomas prieš testą, t.y. reikia rasti hipotezių posteriorines (gautas po testo) sąlygines tikimybes) , ,…, .

6 teorema (Bayes formulė). Jei įvykis A atsitiko, tada sąlyginės hipotezių tikimybės apskaičiuojami pagal formulę, vadinamą Bayeso formule:

Įrodymas. Norėdami gauti reikiamą formulę, parašome įvykių tikimybių dauginimo teoremą A ir dviem formomis:

kur Q.E.D.

Bayes formulės reikšmė yra ta, kad kai įvyksta įvykis A, tie. gavus nauja informacija, galime patikrinti ir pakoreguoti iškeltas hipotezes prieš testuodami. Šis požiūris, vadinamas Bayesian, leidžia prisitaikyti valdymo sprendimai ekonomikoje, vertinimuose nežinomi parametrai tirtų charakteristikų pasiskirstymas in statistinė analizė ir tt

9 užduotis. Grupę sudaro 6 puikiai besimokantys, 12 puikiai besimokančių ir 22 vidutiniškai pasirodantys studentai. Puikus mokinys atsako 5 ir 4 s lygia tikimybe, geras mokinys vienoda tikimybe atsako 5, 4 ir 3, o vidutinis – 4, 3 ir 2 vienoda tikimybe. Atsitiktinai atrinktas studentas atsakė 4. Kokia tikimybė, kad bus pavadintas vidutiniškai pasirodantis studentas?

Sprendimas. Panagrinėkime tris hipotezes:

Aptariamas įvykis. Iš problemos teiginio žinoma, kad

, , .

Raskime hipotezių tikimybes. Kadangi grupėje yra tik 40 mokinių ir 6 puikūs mokiniai, tada . Lygiai taip pat , . Taikydami bendrosios tikimybės formulę, randame

Dabar hipotezei taikome Bayes formulę:

10 pavyzdys. Ekonomistas analitikas sąlyginai skirsto šalies ekonominę situaciją į „gerą“, „vidutinišką“ ir „blogą“ ir įvertina jų tikimybę šiuo momentu laikas 0,15 val.; atitinkamai 0,70 ir 0,15. Kažkoks indeksas ekonominė būklė didėja su tikimybe 0,60, kai situacija yra „gera“; su 0,30 tikimybe, kai situacija yra vidutiniška, ir su 0,10 tikimybe, kai situacija yra „bloga“. Įleisti dabarties akimirka padidėjo ekonominės padėties indeksas. Kokia tikimybė, kad šalies ekonomika klesti?

Sprendimas. A= „šalies ekonominės būklės indeksas padidės“, H 1= « ekonominė padėtis„gerai“ šalyje“ H 2= "ekonominė padėtis šalyje yra "vidutinė"", N 3= „ekonominė padėtis šalyje yra „bloga“. Pagal sąlygą: , , . Sąlyginės tikimybės: ,, . Reikia rasti tikimybę. Mes jį randame naudodami Bayes formulę:

11 pavyzdys. IN prekybos įmonė Iš trijų tiekėjų televizoriai gauti santykiu 1:4:5. Praktika parodė, kad 1, 2 ir 3 tiekėjų televizoriai garantiniu laikotarpiu nereikės remonto atitinkamai 98%, 88% ir 92% atvejų.

Renginiai formuojasi pilna grupė, jei bent vienas iš jų tikrai įvyks dėl eksperimento ir yra nesuderinami poromis.

Tarkime, kad įvykis A gali atsirasti tik kartu su viena iš kelių porų nesuderinami įvykiai, sudaro pilną grupę. Mes pavadinsime renginius ( i= 1, 2,…, n) hipotezes papildomos patirties (a priori). Įvykio A atsiradimo tikimybė nustatoma pagal formulę visa tikimybe :

16 pavyzdys. Yra trys urnos. Pirmoje urnoje yra 5 balti ir 3 juodi rutuliai, antrojoje – 4 balti ir 4 juodi rutuliai, trečioje – 8 balti rutuliai. Viena iš urnų parenkama atsitiktinai (tai gali reikšti, kad, pavyzdžiui, pasirenkama pagalbinė urna, kurioje yra trys rutuliukai, numeruoti 1, 2 ir 3). Iš šios urnos atsitiktinai ištraukiamas rutulys. Kokia tikimybė, kad jis bus juodas?

Sprendimas. Renginys A– juodas rutulys pašalinamas. Jei būtų žinoma, iš kurios urnos buvo ištrauktas kamuolys, tuomet būtų galima skaičiuoti norimą tikimybę klasikinis apibrėžimas tikimybės. Pateikiame prielaidas (hipotezes), kokia urna pasirenkama kamuoliukui paimti.

Kamuolys gali būti ištrauktas arba iš pirmosios urnos (spėjimas), arba iš antrosios (spėjimas), arba iš trečiosios (spėjimas). Kadangi yra vienodos galimybės pasirinkti bet kurią iš urnų, tada .

Iš to išplaukia

17 pavyzdys. Elektros lempos gaminamos trijose gamyklose. Pirmasis augalas pagamina 30 proc. bendras skaičius elektros lempos, antra – 25 proc.
o trečias – likusieji. Pirmosios gamyklos gaminiuose yra 1% brokuotų elektros lempų, antrosios - 1,5%, trečiosios - 2%. Parduotuvė gauna gaminius iš visų trijų gamyklų. Kokia tikimybė, kad parduotuvėje įsigytas šviestuvas bus brokuotas?

Sprendimas. Turi būti daromos prielaidos, kurioje gamykloje buvo pagaminta lemputė. Žinodami tai, galime nustatyti tikimybę, kad jis yra sugedęs. Pristatome įvykių žymėjimą: A– įsigyta elektros lempa buvo sugedusi, – lempa pagaminta pirmojoje gamykloje, – lempa pagaminta antroje gamykloje,
– lempą pagamino trečioji gamykla.

Norimą tikimybę randame naudodami bendrosios tikimybės formulę:

Bayeso formulė. Leisti būti visa poromis nesuderinamų įvykių (hipotezių) grupė. A– atsitiktinis įvykis. Tada

Paskutinė formulė, leidžianti iš naujo įvertinti hipotezių tikimybes jai tapus žinomas rezultatas vadinamas testas, dėl kurio įvyko įvykis A Bayes formulė .

18 pavyzdys. Vidutiniškai 50% sergančiųjų šia liga patenka į specializuotą ligoninę KAM, 30 % – su liga L, 20 % –
su liga M. Tikimybė visiškai išgydyti ligą K lygus 0,7 ligoms L Ir Mšios tikimybės yra atitinkamai 0,8 ir 0,9. Į ligoninę paguldytas pacientas išrašytas sveikas. Raskite tikimybę, kad šis pacientas sirgo šia liga K.

Sprendimas. Pateikiame hipotezes: – pacientas sirgo liga KAM L, – pacientas sirgo liga M.

Tada, atsižvelgiant į problemos sąlygas, turime . Pristatykime renginį A– į ligoninę paguldytas pacientas išrašytas sveikas. Pagal sąlygą

Naudodami bendrosios tikimybės formulę gauname:

Pagal Bayes formulę.

19 pavyzdys. Tegul urnoje būna penki rutuliukai ir visi spėjimai apie baltų rutulių skaičių yra vienodai įmanomi. Atsitiktinai iš urnos paimamas rutulys, kuris pasirodo baltas. Kokia prielaida apie pradinę urnos sudėtį yra labiausiai tikėtina?

Sprendimas. Tebūnie hipotezė, kad urnoje yra baltų rutulių , t.y., galima daryti šešias prielaidas. Tada, atsižvelgiant į problemos sąlygas, turime .

Pristatykime renginį A– atsitiktinai paimtas baltas rutulys. Paskaičiuokime. Nuo tada pagal Bayes formulę turime:

Taigi labiausiai tikėtina hipotezė yra todėl, kad .

20 pavyzdys. Sugedo du iš trijų savarankiškai veikiančių skaičiavimo įrenginio elementų. Raskite tikimybę, kad pirmasis ir antrasis elementai sugedo, jei pirmojo, antrojo ir trečiojo elementų gedimo tikimybės atitinkamai yra 0,2; 0,4 ir 0,3.

Sprendimas. Pažymėkime pagal Aįvykis – nepavyko du elementai. Galima iškelti tokias hipotezes:

– pirmasis ir antrasis elementai sugedo, bet trečias elementas veikia. Kadangi elementai veikia nepriklausomai, taikoma daugybos teorema:

Tegul žinomos jų tikimybės ir atitinkamos sąlyginės tikimybės. Tada įvykio tikimybė yra tokia:

Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formulės. Vadovėliuose jis suformuluotas kaip teorema, kurios įrodymas elementarus: pagal įvykių algebra, (įvyko įvykis Ir arbaįvyko įvykis Ir po to įvyko įvykis arbaįvyko įvykis Ir po to įvyko įvykis arba …. arbaįvyko įvykis Ir po įvykio). Nuo hipotezių yra nesuderinami, o įvykis priklausomas, tada pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema (pirmas žingsnis) Ir priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema (antras žingsnis):

Daugelis žmonių tikriausiai numato pirmojo pavyzdžio turinį =)

Kur bespjauti, ten urna:

1 problema

Yra trys vienodos urnos. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 7 juodi rutuliai, antroje – tik balti, trečioje – tik juodi rutuliai. Atsitiktinai parenkama viena urna ir atsitiktinai iš jos ištraukiamas rutulys. Kokia tikimybė, kad šis rutulys yra juodas?

Sprendimas: apsvarstykite įvykį – iš atsitiktinai parinktos urnos bus ištrauktas juodas rutulys. Šis įvykis gali įvykti dėl vienos iš šių hipotezių:
– bus parinkta 1-oji urna;
– bus parinkta 2-oji urna;
– bus renkama 3 urna.

Kadangi urna parenkama atsitiktinai, pasirenkama bet kuri iš trijų urnų vienodai įmanoma, taigi:

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktos hipotezės formuojasi pilna renginių grupė, tai yra pagal sąlygą juodas rutulys gali pasirodyti tik iš šių urnų, o, pavyzdžiui, negali kilti nuo biliardo stalo. Atlikime paprastą tarpinį patikrinimą:
, gerai, eikime toliau:

Pirmoje urnoje yra 4 balti + 7 juodi = 11 kamuoliukų klasikinis apibrėžimas:
– tikimybė ištraukti juodą rutulį atsižvelgiant į tai, kad bus parinkta 1-oji urna.

Antroje urnoje yra tik balti rutuliukai, taigi jei pasirinktas juodo rutulio išvaizda tampa neįmanoma: .

Ir galiausiai trečioje urnoje yra tik juodi rutuliai, o tai reiškia atitinkamą sąlyginė tikimybė juodo kamuoliuko ištraukimas bus (įvykis patikimas).

– tikimybė, kad iš atsitiktinai parinktos urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Atsakymas:

Analizuojamas pavyzdys vėlgi rodo, kaip svarbu įsigilinti į BŪKLĘ. Paimkime tas pačias problemas su urnomis ir kamuoliukais – nepaisant išorinio panašumo, sprendimo būdai gali būti visiškai skirtingi: kai kur reikia tik naudoti klasikinis tikimybės apibrėžimas, kažkur įvykiai nepriklausomas, kažkur priklausomas, o kai kur kalbame apie hipotezes. Tuo pačiu nėra aiškaus formalaus sprendimo pasirinkimo kriterijaus – beveik visada reikia apie tai pagalvoti. Kaip patobulinti savo įgūdžius? Nusprendžiame, sprendžiame ir dar kartą sprendžiame!

2 problema

Šaudykloje yra 5 įvairaus tikslumo šautuvai. Tikimybės pataikyti į taikinį tam tikram šauliui yra atitinkamai lygios 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 ir 0,4. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį, jei šaulys paleidžia vieną šūvį iš atsitiktinai parinkto šautuvo?

Greitas Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Daugumoje teminės užduotys hipotezės, žinoma, nėra vienodai tikėtinos:

3 problema

Piramidėje yra 5 šautuvai, iš kurių trys yra su optiniu taikikliu. Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, šaudydamas iš šautuvo su teleskopiniu taikikliu, yra 0,95; šautuvui be optinio taikiklio ši tikimybė yra 0,7. Raskite tikimybę, kad taikinys bus pataikytas, jei šaulys iššovė vieną šūvį iš atsitiktinai paimto šautuvo.

Sprendimas: šioje užduotyje šautuvų skaičius yra lygiai toks pat kaip ir ankstesniame, tačiau yra tik dvi hipotezės:
– šaulys išsirinks šautuvą su optiniu taikikliu;
– šaulys rinksis šautuvą be optinio taikiklio.
Autorius klasikinis tikimybės apibrėžimas: .
Valdymas:

Apsvarstykite įvykį: – šaulys pataiko į taikinį atsitiktinai paimtu šautuvu.
Pagal būklę:.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:

Atsakymas: 0,85

Praktiškai gana priimtinas sutrumpintas užduoties formatavimo būdas, kurį taip pat žinote:

Sprendimas: pagal klasikinį apibrėžimą: – šautuvo su optiniu taikikliu ir be optinio taikiklio pasirinkimo tikimybės.

Pagal būklę, – tikimybė pataikyti į taikinį iš atitinkamų tipų šautuvų.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
– tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį atsitiktinai parinktu šautuvu.

Atsakymas: 0,85

Kita užduotis savarankiškas sprendimas:

4 problema

Variklis veikia trimis režimais: normaliu, priverstiniu ir tuščiąja eiga. Tuščiosios eigos režimu jo gedimo tikimybė yra 0,05, normaliu darbo režimu – 0,1, o priverstiniu režimu – 0,7. 70 % laiko variklis dirba įprastu režimu, o 20 % – priverstiniu režimu. Kokia variklio gedimo tikimybė eksploatacijos metu?

Tik tuo atveju priminsiu, kad norint gauti tikimybių reikšmes, procentus reikia padalyti iš 100. Būkite labai atsargūs! Mano pastebėjimais, žmonės dažnai bando supainioti problemų, susijusių su bendrosios tikimybės formule, sąlygas; ir aš specialiai pasirinkau šį pavyzdį. Išduosiu paslaptį – pati vos nesupainiojau =)

Sprendimas pamokos pabaigoje (suformatuotas trumpai)

Problemos naudojant Bayes formules

Medžiaga glaudžiai susijusi su ankstesnės pastraipos turiniu. Tegul įvykis įvyksta įgyvendinus vieną iš hipotezių . Kaip nustatyti tikimybę, kad įvyko konkreti hipotezė?

Atsižvelgiant į tai tą įvykį jau įvyko, hipotezių tikimybės pervertintas pagal formules, kurios gavo anglų kunigo Thomaso Bayeso vardą:

– tikimybė, kad hipotezė įvyko;
– tikimybė, kad hipotezė įvyko;
…
– tikimybė, kad hipotezė įvyko.

Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo visiškai absurdiška – kam perskaičiuoti hipotezių tikimybes, jei jos jau žinomos? Bet iš tikrųjų yra skirtumas:

- Tai a priori(apskaičiuota į testai) tikimybė.

- Tai a posteriori(apskaičiuota po to testai) tų pačių hipotezių tikimybės, perskaičiuotos atsižvelgiant į „naujai nustatytas aplinkybes“ - atsižvelgiant į tai, kad įvykis tikrai atsitiko.

Pažvelkime į šį skirtumą konkretus pavyzdys:

5 problema

Į sandėlį atkeliavo 2 produktų partijos: pirmoji - 4000 vnt., antroji - 6000 vnt. Vidutinis nestandartinių gaminių procentas pirmoje partijoje yra 20%, o antroje – 10%. Atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad ji yra: a) iš pirmosios partijos, b) iš antrosios partijos.

Pirma dalis sprendimus susideda iš bendrosios tikimybės formulės naudojimo. Kitaip tariant, skaičiavimai atliekami darant prielaidą, kad bandymas dar nepagaminta ir renginys „Prekė pasirodė standartinė“ dar ne.

Panagrinėkime dvi hipotezes:
– atsitiktine tvarka paimtas produktas bus iš 1-os partijos;
– atsitiktinai paimtas produktas bus iš 2 partijos.

Iš viso: 4000 + 6000 = 10000 prekių sandėlyje. Pagal klasikinį apibrėžimą:
.

Valdymas:

Pasvarstykime priklausomas įvykis: – atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė valios standartinis.

Pirmoje partijoje 100% – 20% = 80% standartinių produktų, todėl: atsižvelgiant į tai kad ji priklauso 1-ajai šaliai.

Panašiai antroje partijoje 100% - 10% = 90% standartinių produktų ir – tikimybė, kad atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus standartinė atsižvelgiant į tai kad ji priklauso 2-ajai šaliai.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
– tikimybė, kad atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus standartinė.

Antra dalis. Tegul atsitiktine tvarka iš sandėlio paimta prekė pasirodo standartinė. Ši frazė yra tiesiogiai nurodyta sąlygoje ir nurodo faktą, kad įvykis atsitiko.

Pagal Bayes formules:

a) yra tikimybė, kad pasirinktas standartinis produktas priklauso 1-ajai partijai;

b) yra tikimybė, kad pasirinktas standartinis produktas priklauso 2-ajai partijai.

Po to perkainojimas hipotezės, žinoma, vis dar formuojasi pilna grupė:
(egzaminas ;-))

Atsakymas:

Ivanas Vasiljevičius, vėl pakeitęs profesiją ir tapęs gamyklos direktoriumi, padės suprasti hipotezių perkainojimo prasmę. Jis žino, kad šiandien 1-asis cechas į sandėlį išvežė 4000 gaminių, o 2-asis - 6000 gaminių, ir atvyksta tuo įsitikinti. Tarkime, kad visi produktai yra tos pačios rūšies ir yra toje pačioje talpykloje. Natūralu, kad Ivanas Vasiljevičius preliminariai apskaičiavo, kad produktas, kurį jis dabar pašalins patikrinimui, greičiausiai bus pagamintas 1-ajame ceche ir greičiausiai antrame. Tačiau pasirinktam gaminiui pasirodžius standartiniu, jis sušunka: „Koks šaunus varžtas! „Jį veikiau išleido 2-asis seminaras. Taigi antrosios hipotezės tikimybė yra pervertinta geresnė pusė, o pirmosios hipotezės tikimybė neįvertinta: . Ir šis perkainavimas nėra be pagrindo - juk 2-asis cechas ne tik pagamino daugiau gaminių, bet ir dirba 2 kartus geriau!

Grynas subjektyvizmas, sakysite? Iš dalies – taip, be to, interpretavo pats Bayesas a posteriori tikimybės kaip pasitikėjimo lygis. Tačiau ne viskas taip paprasta – Bajeso požiūryje yra ir objektyvaus grūdo. Galų gale, tikimybė, kad produktas bus standartinis (0,8 ir 0,9 atitinkamai 1 ir 2 seminarams) Tai preliminarus(a priori) ir vidutinis vertinimai. Bet, kalbant filosofiškai, viskas teka, viskas keičiasi, taip pat ir tikimybės. Visai įmanoma, kad tyrimo metu sėkmingesnis 2-asis cechas padidino standartinių gaminių gamybos procentą (ir (arba) sumažintas 1 seminaras), o jei patikrinsite daugiau arba visi 10 tūkstančių produktų yra sandėlyje, tada pervertintos vertės bus daug arčiau tiesos.

Beje, jei Ivanas Vasiljevičius ištrauks nestandartinę dalį, tada, priešingai, jis bus labiau „įtartinas“ dėl 1-osios dirbtuvės ir mažiau į antrąjį. Siūlau patiems tai patikrinti:

6 problema

Į sandėlį atkeliavo 2 produktų partijos: pirmoji - 4000 vnt., antroji - 6000 vnt. Vidutinis nestandartinių gaminių procentas pirmoje partijoje yra 20%, antroje – 10%. Atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė pasirodė esanti Ne standartinis. Raskite tikimybę, kad ji yra: a) iš pirmosios partijos, b) iš antrosios partijos.

Būklė išsiskiria dviem raidėmis, kurias paryškinau paryškintu šriftu. Problemą galima išspręsti naudojant " švarus šiferis“, arba naudokite ankstesnių skaičiavimų rezultatus. Pavyzdyje aš atlikau pilnas sprendimas, bet kad nebūtų formalaus sutapimo su 5 užduotimi, renginiu „atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus nestandartinė“ nurodė .

Bajeso tikimybių perskaičiavimo schema randama visur, be to, ja aktyviai naudojasi įvairių tipų sukčiai. Panagrinėkime įprastu pavadinimu tapusią trijų raidžių akcinę bendrovę, kuri pritraukia visuomenės indėlius, neva juos kažkur investuoja, reguliariai moka dividendus ir pan. Kas vyksta? Bėga diena po dienos, mėnuo po mėnesio ir vis daugiau naujų faktų, perduodamų per reklamą ir iš lūpų į lūpas, tik didina pasitikėjimą finansinė piramidė (pasteriori Bajeso perskaičiavimas dėl praeities įvykių!). Tai yra, investuotojų akyse nuolat didėja tikimybė, kad „Tai rimta įmonė“; o priešingos hipotezės tikimybė („tai tik daugiau sukčių“), žinoma, mažėja ir mažėja. Kas toliau, manau, aišku. Pastebėtina, kad pelnyta reputacija organizatoriams suteikia laiko sėkmingai pasislėpti nuo Ivano Vasiljevičiaus, kuris liko ne tik be partijos varžtų, bet ir be kelnių.

Prie ne mažiau įdomių pavyzdžių grįšime šiek tiek vėliau, tačiau kol kas kitas žingsnis yra bene labiausiai paplitęs atvejis su trimis hipotezėmis:

7 problema

Elektros lempos gaminamos trijose gamyklose. 1-oji gamykla gamina 30% viso lempų skaičiaus, 2-oji - 55%, o 3-oji - likusius. 1-os gamyklos gaminiuose yra 1% brokuotų lempų, 2-osios - 1,5%, 3-osios - 2%. Parduotuvė gauna gaminius iš visų trijų gamyklų. Nusipirkta lempa pasirodė sugedusi. Kokia tikimybė, kad jį pagamino 2 gamykla?

Atkreipkite dėmesį, kad problemos dėl Bayes formulių sąlygoje Būtinai yra tam tikras kas atsitikoįvykis, in šiuo atveju- pirkti lempą.

Renginių padaugėjo ir sprendimas Patogiau jį sutvarkyti „greito“ stiliaus.

Algoritmas lygiai toks pat: pirmu žingsniu randame tikimybę, kad įsigyta lempa yra pasirodo brokuotas.

Naudodami pradinius duomenis, procentus konvertuojame į tikimybes:
– tikimybė, kad lempa buvo pagaminta atitinkamai 1-oje, 2-oje ir 3-ioje gamyklose.
Valdymas:

Panašiai: – tikimybė pagaminti sugedusią lempą atitinkamoms gamykloms.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:

– tikimybė, kad įsigyta lempa bus sugedusi.

Antras žingsnis. Tegul įsigyta lempa pasirodo sugedusi (įvykis įvyko)

Pagal Bayes formulę:
– tikimybė, kad įsigyta nekokybiška lempa pagaminta antroje gamykloje

Atsakymas:

Kodėl po perkainojimo padidėjo pradinė 2-osios hipotezės tikimybė? Juk antroji gamykla gamina vidutinės kokybės lempas (pirma geresnė, trečia prastesnė). Taigi kodėl jis padidėjo a posteriori Ar gali būti, kad sugedusi lempa yra iš 2 gamyklos? Tai jau paaiškinama ne „reputacija“, o dydžiu. Kadangi gamykla Nr. 2 pagamino daugiausiai didelis skaičius lempos, tada jie kaltina jį (bent jau subjektyviai): „Greičiausiai ši sugedusi lempa yra iš ten“.

Įdomu pastebėti, kad 1 ir 3 hipotezių tikimybės buvo pervertintos laukiamomis kryptimis ir tapo lygios:

Valdymas: , ką reikėjo patikrinti.

Beje, apie neįvertintus ir pervertintus įvertinimus:

8 problema

IN studentų grupė 3 žmonės turi aukšto lygio mokymo, 19 žmonių – vidutiniai ir 3 – žemi. Tikimybės sėkmingas užbaigimasšių studentų egzaminas yra atitinkamai lygus: 0,95; 0,7 ir 0,4. Yra žinoma, kad kai kurie mokiniai išlaikė egzaminą. Kokia tikimybė, kad:

a) jis buvo labai gerai pasiruošęs;
b) buvo vidutiniškai pasiruošęs;
c) buvo prastai paruoštas.

Atlikti skaičiavimus ir analizuoti hipotezių pakartotinio vertinimo rezultatus.

Užduotis artima realybei ir ypač tikėtina neakivaizdinių studentų grupei, kai mokytojas praktiškai neturi žinių apie konkretaus studento gebėjimus. Tokiu atveju rezultatas gali sukelti gana netikėtų pasekmių. (ypač 1 semestro egzaminams). Jei prastai pasiruošusiam mokiniui pasiseka gauti bilietą, mokytojas greičiausiai laikys jį geru mokiniu ar net stiprus mokinys, kuris atneš gerų dividendų ateityje (žinoma, reikia „pakelti kartelę“ ir išlaikyti savo įvaizdį). Jei studentas mokėsi, susigrūdo ir kartojo 7 dienas ir 7 naktis, bet jam tiesiog nepasisekė, tada tolesni įvykiai gali išsivystyti pačiu blogiausiu būdu – su daugybe muliganų ir balansuojančių ant eliminacijos slenksčio.

Nereikia nė sakyti, kad reputacija yra svarbiausias kapitalas, neatsitiktinai daugelis korporacijų turi savo įkūrėjų vardus, kurie vadovavo verslui prieš 100–200 metų ir išgarsėjo savo nepriekaištinga reputacija.

Taip, Bajeso požiūris tam tikru mastu subjektyvu, bet... taip gyvenimas veikia!

Sutvirtinkime medžiagą galutiniu pramoniniu pavyzdžiu, kuriame kalbėsiu apie iki šiol nežinomas technines sprendimo subtilybes:

9 problema

Trys gamyklos cechai gamina to paties tipo dalis, kurios surinkimui siunčiamos į bendrą konteinerį. Yra žinoma, kad pirmasis cechas gamina 2 kartus daugiau detalių nei antrame dirbtuvėje, ir 4 kartus daugiau nei trečiame. Pirmajame ceche defektų yra 12%, antrame – 8%, trečiame – 4%. Kontrolei iš konteinerio paimama viena dalis. Kokia tikimybė, kad jis bus sugedęs? Kokia tikimybė, kad ištrauktą brokuotą detalę pagamino 3-ias cechas?

Ivanas Vasiljevičius vėl ant žirgo =) Filme tai turėtų būti laiminga pabaiga =)

Sprendimas: skirtingai nei uždaviniai Nr. 5-8, čia aiškiai užduodamas klausimas, kuris sprendžiamas naudojant bendrosios tikimybės formulę. Tačiau, kita vertus, sąlyga yra šiek tiek „užšifruota“, o mokykliniai įgūdžiai sudaryti paprastas lygtis padės mums išspręsti šį galvosūkį. Patogu supainioti su „X“ mažiausia vertė:

Tegul yra trečiojo cecho pagamintų dalių dalis.

Pagal sąlygą pirmame ceche pagaminama 4 kartus daugiau nei trečiame, taigi 1 cecho dalis yra .

Be to, pirmame ceche pagaminama 2 kartus daugiau produkcijos nei antrajame, o tai reiškia pastarojo dalį: .

Sukurkime ir išspręskime lygtį:

Taigi: – tikimybė, kad iš konteinerio išimtą detalę pagamino atitinkamai 1, 2 ir 3 cechai.

Valdymas:. Be to, nepakenktų dar kartą pažvelgti į frazę „Žinoma, kad pirmame ceche gaminiai gaminami 2 kartus daugiau nei antrasis dirbtuvės ir 4 kartus didesnės nei trečiosios dirbtuvės“ ir įsitikinkite, kad gautos tikimybių reikšmės iš tikrųjų atitinka šią sąlygą.

Iš pradžių galima būtų imti 1 arba 2 dirbtuvių dalį kaip „X“ – tikimybės būtų tokios pačios. Tačiau vienaip ar kitaip sunkiausia dalis buvo įveikta, o sprendimas yra kelyje:

Iš sąlygos randame:
– tikimybę pagaminti sugedusią dalį atitinkamoms dirbtuvėms.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
– tikimybė, kad atsitiktinai iš konteinerio išimta dalis pasirodys nestandartinė.

Antras klausimas: kokia tikimybė, kad ištrauktą brokuotą dalį pagamino 3-ias cechas? Šis klausimas daro prielaidą, kad dalis jau buvo nuimta ir ji pasirodė sugedusi. Mes iš naujo įvertiname hipotezę naudodami Bayes formulę:
– norima tikimybė. Visiškai laukiama – juk trečias cechas ne tik gamina mažiausią dalių dalį, bet ir pirmauja kokybe!

Šiuo atveju tai buvo būtina supaprastinti keturių aukštų trupmeną, ką tenka daryti gana dažnai iškilus problemoms naudojant Bayes formules. Bet už šią pamoką Kažkaip netyčia paėmiau pavyzdžius, kuriuose daugelis skaičiavimų gali būti atliekami be įprastų trupmenų.

Kadangi sąlygoje nėra taškų „a“ ir „būti“, geriau atsakymą pateikti tekstiniais komentarais:

Atsakymas: – tikimybė, kad iš konteinerio išimta dalis bus sugedusi; – tikimybę, kad ištrauktą brokuotą detalę pagamino 3 cechas.

Kaip matote, problemos su bendrosios tikimybės formule ir Bayes formule yra gana paprastos ir tikriausiai dėl šios priežasties jos taip dažnai bando apsunkinti sąlygą, apie kurią jau minėjau straipsnio pradžioje.

Papildomi pavyzdžiai yra faile su paruošti sprendimai F.P.V. ir Bayes formulės, be to, tikriausiai atsiras norinčių giliau susipažinti su šia tema kituose šaltiniuose. O tema tikrai labai įdomi – ko ji verta? Bayeso paradoksas, kas tai pateisina pasaulietiškas patarimas kad jeigu žmogui diagnozuojama reta liga, tuomet jam prasminga kartoti ar net du kartoti nepriklausomus tyrimus. Atrodytų, kad jie tai daro vien iš nevilties... – bet ne! Bet nekalbėkime apie liūdnus dalykus.

A) – tikimybė, kad egzaminą išlaikęs mokinys buvo labai gerai pasiruošęs. Objektyvi pradinė tikimybė pasirodo pervertinta, nes beveik visada kai kuriems „vidutiniams žmonėms“ pasiseka su klausimais ir jie labai griežtai atsako, o tai sukuria klaidingą nepriekaištingo pasiruošimo įspūdį.

b) – tikimybė, kad egzaminą išlaikęs mokinys buvo vidutiniškai pasiruošęs. Pradinė tikimybė pasirodo šiek tiek pervertinta, nes Vidutinio pasirengimo lygio mokinių dažniausiai būna daugiausia, be to, čia mokytojas įtrauks „puikius“ ir nesėkmingai atsakiusius mokinius, o retkarčiais ir prastai besimokantį mokinį, kuriam labai pasisekė su bilietu.

V) – tikimybė, kad egzaminą laikęs mokinys buvo prastai pasiruošęs. Pradinė tikimybė buvo pervertinta blogiausia pusė. Nieko nuostabaus.

Bendrosios tikimybės formulė. Bayes formulės. Problemų sprendimo pavyzdžiai

Kaip žinoma, įvykio A tikimybė vadinkite testo rezultatų, palankių įvykiui A, skaičiaus m santykį bendras skaičius n visų vienodai galimų nenuoseklių baigčių: P(A)=m/n.

Be to, sąlyginė įvykio A tikimybė (įvykio A tikimybė, jei įvyks B) yra skaičius P B (A) = P (AB) / P (B), kur A ir B yra du atsitiktiniai įvykiai tas pats testas.

Kadangi įvykius galima pavaizduoti kaip sumą ir sandaugą, tada jų yra tikimybių pridėjimo taisyklės įvykius ir atitinkamai tikimybių daugybos taisyklės . Dabar pateikime bendrosios tikimybės sąvoką.

Tarkime, kad įvykis A gali įvykti tik kartu su vienu iš porų nesuderinamų įvykių H1, H2, H3, ..., Hn, vadinamų hipotezėmis. Tada tai yra tiesa bendrosios tikimybės formulė :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н) i) *R N i(A),

tie. įvykio A tikimybė yra lygi šio įvykio sąlyginių tikimybių sandaugų sumai kiekvienai iš hipotezių ir pačių hipotezių tikimybės.

Jei įvykis A jau įvyko, tada hipotezių tikimybės ( išankstinės tikimybės) gali būti pervertintas (užpakalinės tikimybės). Bayes formulės :

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Suminės tikimybės formulė.

1 problema .

Bayes formulės“

Sprendimas.

• Agregatas gauna dalis iš trijų mašinų. Yra žinoma, kad pirmoji mašina duoda 3% defektų, antroji - 2%, o trečioji - 4%. Raskite tikimybę, kad sugedusi dalis pateks į mazgą, jei iš pirmos mašinos atkeliauja 100 dalių, iš antrosios – 200, o iš trečiosios – 250 dalių.
• įvykis A = (į mazgą patenka sugedusi detalė);
• hipotezė H1 = (ši dalis yra iš pirmosios mašinos), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• hipotezė H2 = (ši dalis yra iš antrosios mašinos), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;

2. Sąlyginės tikimybės, kad detalė yra sugedusi, yra P H1 (A) = 3% = 0,03, P H2 (A) = 2% = 0,02, P H3 (A) = 4% = 0,04.

3. Naudodamiesi bendrosios tikimybės formule, randame
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0,03*2/11 + 0,02* 4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

2 problema .

Yra dvi vienodos urnos. Pirmajame yra 2 juodi ir 3 balti rutuliai, antrame - 2 juodi ir 1 baltas rutulys. Pirmiausia atsitiktinai parenkama urna, o vėliau iš jos atsitiktinai ištraukiamas vienas kamuoliukas. Kokia tikimybė, kad bus pasirinktas baltas rutulys?

Sprendimas. 1. Apsvarstykite šiuos įvykius ir hipotezes:

• A = (iš savavališkos urnos ištraukiamas baltas rutulys);
• H1 = (kamuolys priklauso pirmajai urnai), P(H1) = 1/2 = 0,5;
• H2 = (kamuolys priklauso antrajai urnai), P(H2) = 1/2 = 0,5;

2. Sąlyginė tikimybė, kad baltas rutulys priklauso pirmajai urnai R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5, ir sąlyginė tikimybė, kad baltas rutulys priklauso antrajai urnai R H2 (A) = 1/(2+1)=1/3;

3. Naudodami bendrosios tikimybės formulę gauname P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3 /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

3 problema .

Ruošinių liejimas vyksta iš dviejų pirkimų cechų: iš pirmojo cecho - 70%, iš antrojo - 30%.

Sprendimas. 1. Apsvarstykite šiuos įvykius ir hipotezes:

• Liejimas iš pirmojo cecho turi 10% defektų, liejimas iš antrojo - 20% defektų. Atsitiktinai paimtas ruošinys pasirodė be defektų. Kokia tikimybė, kad jis bus pagamintas iki pirmojo cecho?
• įvykis A = (tuščia be defekto);
• hipotezė H1 = (ruošinį pagamino pirmasis cechas), P(H1) = 70% = 0,7;

hipotezė H2 = (ruošinį gamino antrasis cechas), P(H2) = 30% = 0,3.
2. Kadangi pirmojo cecho liejimas turi 10% defektų, tai 90% pirmojo cecho pagamintų ruošinių neturi defektų, t.y. R H1 (A) = 0,9.

Antrojo cecho liejinys turi 20% defektų, tada 80% antrojo cecho gaminamų ruošinių neturi defektų, t.y. R H2 (A) = 0,8.

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

3. Naudodami Bayes formulę randame RA (H1)

Abiejų pagrindinių teoremų – tikimybių sudėjimo ir tikimybių daugybos teoremos – pasekmė yra vadinamoji visuminės tikimybės formulė.

Tegul reikia nustatyti kokio nors įvykio, kuris gali įvykti kartu su vienu iš įvykių, tikimybę:

formuojant ištisą nesuderinamų įvykių grupę. Šiuos įvykius vadinsime hipotezėmis.

, (3.4.1)

Įrodykime tai šiuo atveju

tie. įvykio tikimybė apskaičiuojama kaip kiekvienos hipotezės tikimybės ir įvykio tikimybės pagal šią hipotezę sandaugų suma.

Formulė (3.4.1) vadinama visuminės tikimybės formule.

Įrodymas. Kadangi hipotezės sudaro visą grupę, įvykis gali pasirodyti tik kartu su bet kuria iš šių hipotezių: taip pat nesuderinamas; Pritaikę jiems sudėjimo teoremą, gauname:

Taikydami įvykiui daugybos teoremą, gauname:

,

Q.E.D.

1 pavyzdys. Yra trys vienodai atrodančios urnos; pirmoje urnoje yra du balti ir vienas juodas rutuliukas; antrame - trys balti ir vienas juodas; trečioje yra du balti ir du juodi rutuliai. Kažkas atsitiktinai pasirenka vieną iš urnų ir ištraukia iš jos rutulį. Raskite tikimybę, kad šis rutulys yra baltas.

Sprendimas. Panagrinėkime tris hipotezes:

Pirmosios balsadėžės pasirinkimas

Renkantis antrą urną

Trečiosios urnos pasirinkimas

o įvykis yra balto rutulio pasirodymas.

Kadangi hipotezės pagal problemos sąlygas yra vienodai galimos, tai

.

Sąlyginės įvykio tikimybės pagal šias hipotezes yra atitinkamai lygios:

Pagal bendrosios tikimybės formulę

.

2 pavyzdys. Į orlaivį paleidžiami trys pavieniai šūviai. Pataikymo tikimybė pirmuoju šūviu yra 0,4, antruoju – 0,5, trečiu – 0,7. Akivaizdu, kad užtenka trijų smūgių, kad orlaivis būtų išjungtas; su vienu smūgiu orlaivis sugenda su 0,2 tikimybe, su dviem pataisymais - su 0,6 tikimybe. Raskite tikimybę, kad lėktuvas bus išjungtas dėl trijų šūvių.

Sprendimas. Panagrinėkime keturias hipotezes:

Į lėktuvą nepataikė nė vienas sviedinys,

Vienas sviedinys pataikė į lėktuvą,

Į lėktuvą pataikė du sviediniai,

Į lėktuvą pataikė trys sviediniai.

Naudodami sudėjimo ir daugybos teoremas randame šių hipotezių tikimybes:

Sąlyginė įvykio (orlaivio gedimo) tikimybė pagal šias hipotezes yra lygi:

Taikydami bendrosios tikimybės formulę, gauname:

Atkreipkite dėmesį, kad į pirmą hipotezę nebuvo galima atsižvelgti, nes atitinkamas terminas bendrosios tikimybės formulėje išnyksta. Taip dažniausiai daroma taikant bendrosios tikimybės formulę, įvertinant ne visą nesuderinamų hipotezių grupę, o tik tas, kurioms šį įvykį Galbūt.

3 pavyzdys. Variklio veikimą valdo du reguliatoriai. Atsižvelgiama į tam tikrą laikotarpį, per kurį pageidautina užtikrinti, kad variklis veiktų be problemų. Jei yra abu reguliatoriai, variklis sugenda su tikimybe, jei veikia tik pirmasis iš jų - su tikimybe, jei veikia tik antrasis -, jei sugenda abu reguliatoriai - su tikimybe. Pirmasis iš reguliatorių turi patikimumą, antrasis -. Visi elementai sugenda nepriklausomai vienas nuo kito. Raskite bendrą variklio patikimumą (tikimybę veikti be gedimų).