Sprendimas. Pažymime įvykius: A - „pasirinkta dalis yra brokuota“, H i - „pasirinkta dalis gauta iš i-ojo tiekėjo“, i = 1, 2, 3 Hipotezės H 1, H 2, H 3 forma pilna grupė Ne bendri renginiai. Pagal sąlygą
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H 3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Pagal formulę visa tikimybe(1.11) įvykio A tikimybė lygi
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02 = 0,036
Tikimybė, kad atsitiktinai parinkta dalis bus sugedusi, yra 0,036.

Tarkime, kad ankstesnio pavyzdžio sąlygomis įvykis A jau įvyko: pasirinkta dalis pasirodė sugedusi. Kokia tikimybė, kad jis atkeliavo iš pirmojo tiekėjo? Atsakymą į šį klausimą duoda Bayes formulė.
Tikimybių analizę pradėjome tik preliminariais, apriorinėmis įvykių tikimybių reikšmėmis. Tada buvo atliktas eksperimentas (pasirinkta dalis), ir gavome papildomos informacijos apie mus dominantį įvykį. Turėdami šią naują informaciją galime patikslinti ankstesnes tikimybes. Naujos tų pačių įvykių tikimybių reikšmės jau bus a posteriori (poeksperimentinės) hipotezių tikimybės (1.5 pav.).

Hipotezės pervertinimo schema
Tegul įvykis A realizuojamas tik kartu su viena iš hipotezių H 1 , H 2 , …, H n (visa nesuderinamų įvykių grupė). Hipotezių išankstines tikimybes pažymėjome kaip P(H i) ir sąlygines įvykio tikimybes A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Jei eksperimentas jau buvo atliktas ir dėl jo įvyko įvykis A, tai hipotezių posteriorinės tikimybės bus sąlyginės tikimybės P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Ankstesnio pavyzdžio žymėjime P(H 1 |A) yra tikimybė, kad pasirinkta dalis, kuri pasirodė esanti brokuota, buvo gauta iš pirmojo tiekėjo.
Mus domina įvykio H k |A tikimybė. Nagrinėkime bendrą įvykių H k ir A įvykį, tai yra įvykį AH k. Jos tikimybę galima rasti dviem būdais, naudojant daugybos formules (1.5) ir (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Sulyginkime dešiniąsias šių formulių puses
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

vadinasi, užpakalinė hipotezės H k tikimybė lygi

Vardiklyje yra visa įvykio A tikimybė. Pakeitę jos reikšmę vietoj P(A) pagal bendrosios tikimybės formulę (1.11), gauname:
(1.12)
Formulė (1.12) vadinama Bayes formulė ir naudojamas hipotezių tikimybei iš naujo įvertinti.
Ankstesnio pavyzdžio sąlygomis randame tikimybę, kad sugedusi detalė buvo gauta iš pirmojo tiekėjo. Sudėkime mums žinomas sąlygas į vieną lentelę išankstinės tikimybės hipotezės P(H i) sąlyginės tikimybės P(A|H i), apskaičiuotos sprendimo proceso metu jungtines tikimybes P(AH i) = P(H i) P(A|H i) ir užpakalinės tikimybės P(H k |A), apskaičiuotos pagal formulę (1.12), i,k = 1, 2,…, n (1.3 lentelė) .

1.3 lentelė. Hipotezių pakartotinis įvertinimas

3 pavyzdys. Yra trys vienodos urnos; pirmoje urnoje yra du balti ir vienas juodas rutuliukas; antrame - trys balti ir vienas juodas; trečioje yra du balti ir du juodi rutuliai. Eksperimentui atsitiktinai parenkama viena urna ir iš jos traukiamas rutulys. Raskite tikimybę, kad šis rutulys yra baltas.
Sprendimas. Apsvarstykite tris hipotezes: H 1 - pasirenkama pirmoji urna, H 2 - pasirenkama antroji urna, H 3 - pasirenkama trečioji urna ir nubraižytas įvykis A baltas rutulys.
Kadangi hipotezės pagal problemos sąlygas yra vienodai galimos, tai

Sąlyginės įvykio A tikimybės pagal šias hipotezes yra atitinkamai lygios:
Pagal bendrosios tikimybės formulę

4 pavyzdys. Piramidėje yra 19 šautuvų, iš jų 3 su optiniais taikikliais. Šaulys, šaudydamas iš šautuvo su optiniu taikikliu, gali pataikyti į taikinį su 0,81 tikimybe, o šaudydamas iš šautuvo be optinio taikiklio – su 0,46 tikimybe. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį naudodamas atsitiktinį šautuvą.
Sprendimas.Čia pirmasis bandymas yra atsitiktinis šautuvo pasirinkimas, antrasis – šaudymas į taikinį. Apsvarstykite šiuos įvykius: A – šaulys pataiko į taikinį; H 1 - šaulys paims šautuvą su optiniu taikikliu; H 2 - šaulys paims šautuvą be optinio taikiklio. Mes naudojame bendrosios tikimybės formulę. Turime

5 pavyzdys. Iš urnos, kurioje yra 2 balti ir 3 juodi rutuliukai, atsitiktine tvarka ištraukiami du rutuliai ir į urną pridedamas 1 baltas rutuliukas. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas rutulys bus baltas.
Sprendimas.Įvykį „ištrauktas baltas rutulys“ žymime A. Įvykis H 1 - atsitiktinai ištraukiami du balti rutuliai; H 2 - atsitiktinai ištraukti du juodi rutuliai; H 3 - buvo ištrauktas vienas baltas rutulys ir vienas juodas rutulys. Tada iškeltų hipotezių tikimybės

6 pavyzdys. Į taikinį paleidžiami du šūviai. Pirmo šūvio pataikymo tikimybė yra 0,2, antruoju - 0,6. Taikinio sunaikinimo tikimybė vienu smūgiu yra 0,3, su dviem - 0,9. Raskite tikimybę, kad taikinys bus sunaikintas.
Sprendimas. Tegul įvykis A – taikinys sunaikintas. Tam pakanka pataikyti vienu šūviu iš dviejų arba pataikyti į taikinį dviem šūviais iš eilės nepraleidžiant. Iškelkime hipotezes: H 1 – abu šūviai pataikė į taikinį. Tada P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 – buvo praleista pirmą arba antrą kartą. Tada P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Į H 3 hipotezę - abu šūviai buvo nepataikyti - neatsižvelgiama, nes taikinio sunaikinimo tikimybė yra lygi nuliui. Tada sąlyginės tikimybės yra atitinkamai lygios: taikinio sunaikinimo tikimybė, jei bus atlikti abu sėkmingi šūviai, yra P(A|H 1) = 0,9, o taikinio sunaikinimo tikimybė, jei tik vienas sėkmingas šūvis yra P(A|H). 2) = 0,3. Tada taikinio sunaikinimo tikimybė pagal bendrosios tikimybės formulę yra lygi.

Praktikoje dažnai reikia nustatyti dominančio įvykio tikimybę, kai vienas iš įvykių sudaro visą grupę. Ši teorema, kuri yra tikimybių sudėties ir daugybos teoremų pasekmė, leidžia daryti išvadą svarbi formulė apskaičiuoti tokių įvykių tikimybę. Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formule.

Leiskite H 1 , H 2 , … , H n yra nporomis nesuderinamas renginiai, sudarantys visą grupę:

1) visi įvykiai yra nesuderinami poromis: Sveiki, ∩ Hj= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) jų derinys sudaro erdvę elementarius rezultatus W:

Tokie įvykiai kartais vadinami hipotezes. Tegul įvykis įvyksta A, kuris gali įvykti tik įvykus vienam iš įvykių H aš ( i = 1, 2, … , n). Tada teorema yra teisinga.

Darbo tikslas: ugdyti įgūdžius sprendžiant tikimybių teorijos uždavinius, naudojant bendrosios tikimybės formulę ir Bayes formulę.

Bendrosios tikimybės formulė

Įvykio tikimybė A, kuris gali įvykti tik įvykus vienam iš nesuderinamų įvykių B x, B 2,..., B p, visos grupės sudarymas yra lygus kiekvieno iš šių įvykių tikimybių sandaugų sumai iš atitinkamos sąlyginės įvykio A tikimybės:

Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formulė.

Hipotezių tikimybė. Bayes formulė

Tegul renginys A gali įvykti įvykus vienam iš nesuderinamų įvykių V b 2 ,..., V p, sudaryti ištisą grupę. Kadangi iš anksto nežinoma, kuris iš šių įvykių įvyks, jie vadinami hipotezėmis. Įvykio atsiradimo tikimybė A nustatoma pagal bendrosios tikimybės formulę:

Tarkime, kad buvo atliktas testas, dėl kurio įvyko įvykis A. Būtina nustatyti, kaip keičiasi (dėl to, kad įvykis A jau atėjo) hipotezių tikimybė. Sąlyginės hipotezių tikimybės randamos naudojant formulę

Šioje formulėje indeksas / = 1,2

Ši formulė vadinama Bayeso formule (pavadinta ją išvedusio anglų matematiko vardu; paskelbta 1764 m.). Bayeso formulė leidžia iš naujo įvertinti hipotezių tikimybes, kai tik ji taps žinomas rezultatas testas, dėl kurio įvyko įvykis A.

1 užduotis. Gamykloje gaminamos tam tikro tipo detalės, kiekviena dalis turi broką su 0,05 tikimybe. Dalį apžiūri vienas inspektorius; aptinka defektą su 0,97 tikimybe, o jei defekto neaptinkama, praleidžia detalę gatavų gaminių. Be to, inspektorius gali per klaidą atmesti detalę, kuri neturi defekto; to tikimybė yra 0,01. Raskite šių įvykių tikimybes: A - dalis bus atmesta; B - dalis bus atmesta, bet neteisingai; C - dalis bus perduota į gatavą gaminį su defektu.

Sprendimas

Pažymime hipotezes:

N= (standartinė dalis bus išsiųsta apžiūrai);

N=(nestandartinė dalis bus išsiųsta apžiūrai).

Renginys A =(dalis bus atmestas).

Iš probleminių sąlygų randame tikimybes

RN (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Naudodami bendrosios tikimybės formulę gauname

Tikimybė, kad dalis bus atmesta neteisingai, yra

Raskime tikimybę, kad dalis bus įtraukta į gatavą gaminį su defektu:

Atsakymas:

2 užduotis. Produkto standartiškumą patikrina vienas iš trijų prekių ekspertų. Tikimybė, kad prekė pasieks pirmąjį prekybininką, yra 0,25, antrąjį – 0,26 ir trečiąjį – 0,49. Tikimybė, kad prekė bus pripažinta standartine pirmojo prekybininko yra 0,95, antrojo - 0,98, o trečiojo - 0,97. Raskite tikimybę, kad standartinį gaminį patikrins antrasis inspektorius.

Sprendimas

Pažymime įvykius:

L. =(prekė atiteks/-am pardavėjui patikrinti); / = 1, 2, 3;

B =(produktas bus laikomas standartiniu).

Pagal problemos sąlygas žinomos tikimybės:

Taip pat žinomos sąlyginės tikimybės

Naudodami Bayes formulę nustatome tikimybę, kad standartinį produktą patikrins antrasis inspektorius:

Atsakymas:„0,263.

Užduotis 3. Dvi mašinos gamina dalis, kurios eina ant bendro konvejerio. Tikimybė gauti nestandartinę detalę pirmoje mašinoje yra 0,06, o antroje - 0,09. Antrosios mašinos našumas yra dvigubai didesnis nei pirmosios. Iš surinkimo linijos buvo paimta nestandartinė detalė. Raskite tikimybę, kad šią dalį pagamino antroji mašina.

Sprendimas

Pažymime įvykius:

A. =(iš konvejerio paimtą detalę pagamino /-oji mašina); / = 1,2;

IN= (paimta dalis bus nestandartinė).

Taip pat žinomos sąlyginės tikimybės

Naudodami bendrosios tikimybės formulę randame

Naudodami Bayes formulę randame tikimybę, kad pasirinkta nestandartinė dalis buvo pagaminta antruoju įrenginiu:

Atsakymas: 0,75.

4 užduotis. Testuojame įrenginį, susidedantį iš dviejų mazgų, kurių patikimumas yra atitinkamai 0,8 ir 0,9. Mazgai sugenda nepriklausomai vienas nuo kito. Įrenginys sugedo. Atsižvelgdami į tai, raskite hipotezių tikimybę:

• a) sugedęs tik pirmasis mazgas;
• b) sugedęs tik antrasis mazgas;
• c) abu mazgai yra sugedę.

Sprendimas

Pažymime įvykius:

D = (7-asis mazgas nesuges); i = 1,2;

D – atitinkami priešingi įvykiai;

A= (bandymo metu įvyks įrenginio gedimas).

Iš uždavinio sąlygų gauname: P(D) = 0,8; R (L 2) = 0,9.

Pagal priešingų įvykių tikimybių savybę

Renginys A lygus produktų sumai priklausomi įvykiai

Naudojant nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą ir tikimybių daugybos teoremą nepriklausomi renginiai, gauname

Dabar randame hipotezių tikimybes:

Atsakymas:

5 užduotis. Gamykloje varžtai gaminami trimis staklėmis, kurios pagamina atitinkamai 25%, 30% ir 45% viso varžtų skaičiaus. Staklių gaminiuose defektai yra atitinkamai 4%, 3% ir 2%. Kokia tikimybė, kad iš gaunamo gaminio atsitiktinai paimtas varžtas bus sugedęs?

Sprendimas

Pažymime įvykius:

4 = (atsitiktinai paimtas varžtas buvo padarytas ant i-osios mašinos); i = 1, 2, 3;

IN= (atsitiktinai paimtas varžtas bus sugedęs).

Iš uždavinio sąlygų, naudodami klasikinę tikimybių formulę, randame hipotezių tikimybes:

Be to, naudojant klasikinę tikimybių formulę, randame sąlygines tikimybes:

Naudodami bendrosios tikimybės formulę randame

Atsakymas: 0,028.

6 užduotis. Elektroninė grandinė priklauso vienai iš trijų šalių, kurių tikimybė yra 0,25; 0,5 ir 0,25. Tikimybė, kad grandinė veiks pasibaigus garantiniam kiekvienos partijos tarnavimo laikui, yra 0,1; 0,2 ir 0,4. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinkta grandinė veiks pasibaigus garantiniam laikotarpiui.

Sprendimas

Pažymime įvykius:

4 = (atsitiktinai paimta diagrama iš vakarėlis); aš = 1, 2, 3;

IN= (atsitiktinai pasirinkta grandinė veiks pasibaigus garantiniam laikotarpiui).

Pagal uždavinio sąlygas žinomos hipotezių tikimybės:

Taip pat žinomos sąlyginės tikimybės:

Naudodami bendrosios tikimybės formulę randame

Atsakymas: 0,225.

7 užduotis.Įrenginyje yra du blokai, kurių kiekvieno tinkamumas naudoti yra būtinas įrenginio veikimui. Šių blokų veikimo be gedimų tikimybė yra atitinkamai 0,99 ir 0,97. Įrenginys sugedo. Nustatykite tikimybę, kad abu vienetai nepavyko.

Sprendimas

Pažymime įvykius:

D = ( z-blokas nepavyks); i = 1,2;

A= (įrenginys suges).

Iš uždavinio sąlygų pagal priešingų įvykių tikimybių savybę gauname: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Renginys Aįvyksta tik tada, kai bent vienas iš įvykių D arba A 2. Todėl šis įvykis yra lygus įvykių sumai A= D + A 2 .

Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema gauname

Naudodami Bayes formulę randame tikimybę, kad įrenginys sugedo dėl abiejų įrenginių gedimo.

Atsakymas:

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai 1 užduotis. Televizijos studijos sandėlyje yra 70% gamykloje Nr.1 ​​pagamintų kineskopų; likusieji kineskopai buvo pagaminti gamykloje Nr. 2. Tikimybė, kad vaizdo kineskopas nesuges per garantinį tarnavimo laiką, yra 0,8 gamyklos Nr. 1 vaizdo kineskopams ir 0,7 gamyklos Nr. 2 kineskopams. išgyveno garantinį tarnavimo laiką. Raskite tikimybę, kad jį pagamino gamykla Nr. 2.

2 užduotis. Surinkimui detalės gaunamos iš trijų mašinų. Yra žinoma, kad 1-oji mašina duoda 0,3% defektų, 2-oji - 0,2%, 3-oji - 0,4%. Raskite tikimybę gauti sugedusią detalę surinkimui, jei iš 1-os mašinos gauta 1000 dalių, iš 2-os – 2000, o iš trečiosios mašinos – 2500.

3 užduotis. Dvi mašinos gamina identiškas dalis. Tikimybė, kad pirmojoje mašinoje pagaminta dalis bus standartinė, yra 0,8, o antroje - 0,9. Antrosios mašinos našumas yra tris kartus didesnis nei pirmosios. Raskite tikimybę, kad dalis, atsitiktinai paimta iš konvejerio, kuri gauna dalis iš abiejų mašinų, bus standartinė.

4 užduotis.Įmonės vadovas nusprendė pasinaudoti dviejų iš trijų transporto įmonių paslaugomis. Savalaikio krovinio pristatymo tikimybė pirmos, antros ir trečios firmoms atitinkamai lygi 0,05; 0,1 ir 0,07. Palyginęs šiuos duomenis su krovinių gabenimo saugumo duomenimis, vadovas priėjo prie išvados, kad pasirinkimas yra lygiavertis ir nusprendė jį atlikti burtų keliu. Raskite tikimybę, kad išsiųstas krovinys bus pristatytas laiku.

5 užduotis.Įrenginyje yra du blokai, kurių kiekvieno tinkamumas naudoti yra būtinas įrenginio veikimui. Šių blokų veikimo be gedimų tikimybė yra atitinkamai 0,99 ir 0,97. Įrenginys sugedo. Nustatykite tikimybę, kad antrasis vienetas nepavyko.

Užduotis 6. Surinkimo cechas gauna dalis iš trijų mašinų. Pirmoji mašina duoda 3% defektų, antroji - 1%, o trečioji - 2%. Nustatykite tikimybę, kad nesugedusi detalė pateks į mazgą, jei iš kiekvienos mašinos buvo gauta atitinkamai 500, 200, 300 dalių.

7 užduotis. Sandėlis gauna trijų įmonių produkciją. Negana to, pirmosios įmonės produkcija yra 20%, antrosios - 46%, trečiosios - 34%. Taip pat žinoma, kad vidutinis nestandartinių gaminių procentas pirmai įmonei siekia 5%, antrai - 2%, trečiai - 1%. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktą produktą pagamins antroji įmonė, jei jis pasirodys standartinis.

8 užduotis. Gamyklos gaminių defektai dėl broko A yra 5 proc., o tarp atmestųjų remiantis A gaminiai yra brokuoti 10% atvejų r. Ir gaminiuose be defektų A, defektas r pasitaiko 1% atvejų. Raskite tikimybę susidurti su defektu R visuose gaminiuose.

9 užduotis.Įmonė turi 10 naujų automobilių ir 5 senus, kurie anksčiau buvo remontuojami. Tinkamo veikimo tikimybė naujam automobiliui yra 0,94, senam - 0,91. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai parinktas automobilis veiks tinkamai.

10 problema. Du jutikliai siunčia signalus į bendrą ryšio kanalą, o pirmasis siunčia dvigubai daugiau signalų nei antrasis. Tikimybė gauti iškraipytą signalą iš pirmojo jutiklio yra 0,01, iš antrojo - 0,03. Kokia tikimybė gauti iškraipytą signalą bendras kanalas jungtys?

11 problema. Gaminių yra penkios partijos: trys partijos po 8 vnt., iš kurių 6 standartinės ir 2 nestandartinės, ir dvi partijos po 10 vienetų, iš kurių 7 standartinės ir 3 nestandartinės. Atsitiktinai parenkama viena iš partijų ir iš šios partijos paimama dalis. Nustatykite tikimybę, kad paimta dalis bus standartinė.

12 problema. Iš pirmos gamyklos surinkėjas gauna vidutiniškai 50 %, iš antrojo – 30 %, iš trečios gamyklos – 20 %. Tikimybė, kad dalis iš pirmojo augalo yra puikios kokybės, yra 0,7; antros ir trečios gamyklų dalims atitinkamai 0,8 ir 0,9. Atsitiktinai paimta dalis pasirodė puikios kokybės. Raskite tikimybę, kad dalis buvo pagaminta pirmojoje gamykloje.

13 problema. Transporto priemonių muitinį patikrinimą atlieka du inspektoriai. Iš 100 automobilių vidutiniškai 45 pravažiuoja pro pirmąjį inspektorių. Tikimybė, kad apžiūros metu automobilis atitiks muitinės nuostatai, nebus sulaikytas, pirmajam inspektoriui yra 0,95, o antrajam 0,85. Raskite tikimybę, kad muitinės taisykles atitinkantis automobilis nebus sulaikytas.

14 problema. Prietaisui surinkti reikalingos dalys gaunamos iš dviejų mašinų, kurių veikimas yra toks pat. Apskaičiuokite tikimybę gauti standartinę detalę surinkimui, jei viena iš mašinų vidutiniškai pažeidžia standartą 3%, o antroji - 2%.

15 problema. Sunkiosios atletikos treneris paskaičiavo, kad tam, kad gautų komandinius taškus tam tikroje svorio kategorijoje, sportininkas turi stumti 200 kg štangą. Į vietą komandoje pretenduoja Ivanovas, Petrovas ir Sidorovas. Treniruotės metu Ivanovas tokį svorį bandė pakelti 7 atvejais, o kėlė 3 iš jų. Petrovas pakėlė 6 iš 13 atvejų, o Sidorovas turi 35% tikimybę sėkmingai valdyti štangą. Treneris atsitiktine tvarka išrenka vieną sportininką į komandą.

• a) Raskite tikimybę, kad pasirinktas sportininkas atneš komandai taškų.
• b) Komanda negavo taškų. Raskite tikimybę, kad Sidorovas atliko.

16 problema. Baltoje dėžutėje yra 12 raudonų ir 6 mėlyni kamuoliukai. Juodos spalvos yra 15 raudonų ir 10 mėlynų kamuoliukų. Kauliuko metimas. Jei taškų skaičius yra 3 kartotinis, iš baltos dėžutės atsitiktinai paimamas rutulys. Išmetus bet kokį kitą taškų skaičių, iš juodosios dėžės atsitiktinai paimamas rutulys. Kokia tikimybė, kad pasirodys raudonas rutulys?

17 problema. Dviejose dėžutėse yra radijo lempos. Pirmoje dėžutėje yra 12 lempų, iš kurių 1 nestandartinė; antroje yra 10 lempų, iš kurių 1 nestandartinė. Lempa atsitiktine tvarka paimama iš pirmos dėžės ir įdedama į antrąją. Raskite tikimybę, kad iš antrosios dėžutės atsitiktinai išimta lempa bus nestandartinė.

18 problema.Į urną, kurioje yra du rutuliukai, įmetamas baltas rutulys, po kurio atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad ištrauktas rutulys bus baltas, jei visos galimos prielaidos apie pradinę rutulių sudėtį (pagal spalvą) yra vienodai įmanomos.

19 problema. Standartinė dalis metama į dėžę, kurioje yra 3 identiškos dalys, o po to viena dalis išimama atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad standartinė dalis bus pašalinta, jei visi įmanomi spėjimai apie standartinių dalių skaičių iš pradžių dėžėje yra vienodai tikėtini.

20 problema. Radijo ryšio kokybei gerinti naudojami du radijo imtuvai. Tikimybė, kad kiekvienas imtuvas gaus signalą, yra 0,8, o šie įvykiai (imtuvo signalo priėmimas) yra nepriklausomi. Nustatykite signalo priėmimo tikimybę, jei kiekvieno imtuvo radijo ryšio seanso metu nenutrūkstamo veikimo tikimybė yra 0,9.

Bendrosios tikimybės formulė ir Bayes formulės

Įjungta šią pamoką mes svarstysime svarbi pasekmė tikimybių sudėties ir daugybos teoremos ir išmokti spręsti tipinės užduotys tema. Skaitytojai, kurie perskaitė straipsnį apie priklausomi įvykiai, bus paprasčiau, nes joje iš tikrųjų jau pradėjome naudoti bendrosios tikimybės formulę. Jei atėjote iš paieškos variklio ir (arba) nesuprantate tikimybių teorija (nuoroda į 1 kurso pamoką), tada rekomenduoju pirmiausia apsilankyti šiuose puslapiuose.

Tiesą sakant, tęskime. Pasvarstykime priklausomas įvykis, kuris gali atsirasti tik įgyvendinus vieną iš nesuderinamų hipotezes , kuri forma pilna grupė. Tegul žinomos jų tikimybės ir atitinkamos sąlyginės tikimybės. Tada įvykio tikimybė yra tokia:

Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formulės. Vadovėliuose jis suformuluotas kaip teorema, kurios įrodymas elementarus: pagal įvykių algebra, (įvyko įvykis Ir arbaįvyko įvykis Ir po to įvyko įvykis arbaįvyko įvykis Ir po to įvyko įvykis arba …. arbaįvyko įvykis Ir po įvykio). Nuo hipotezių yra nesuderinami, o įvykis priklausomas, tada pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema (pirmas žingsnis) Ir priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema (antras žingsnis):

Daugelis žmonių tikriausiai numato pirmojo pavyzdžio turinį =)

Kur bespjauti, ten urna:

1 problema

Yra trys vienodos urnos. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 7 juodi rutuliai, antroje – tik balti, trečioje – tik juodi rutuliai. Atsitiktinai parenkama viena urna ir atsitiktinai iš jos ištraukiamas rutulys. Kokia tikimybė, kad šis rutulys yra juodas?

Sprendimas: apsvarstykite įvykį – iš atsitiktinai parinktos urnos bus ištrauktas juodas rutulys. Šis įvykis gali atsirasti dėl vienos iš šių hipotezių:
- bus parinkta 1-oji urna;
- bus parinkta 2-oji urna;
- bus renkama 3 urna.

Kadangi urna parenkama atsitiktinai, pasirenkama bet kuri iš trijų urnų vienodai įmanoma, taigi:

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktos hipotezės formuojasi pilna renginių grupė, tai pagal sąlygą juodas rutulys gali pasirodyti tik iš šių urnų, o, pavyzdžiui, negali kilti nuo biliardo stalo. Atlikime paprastą tarpinį patikrinimą:
, gerai, eikime toliau:

Pirmoje urnoje yra 4 balti + 7 juodi = 11 kamuoliukų klasikinis apibrėžimas:
- tikimybė ištraukti juodą rutulį atsižvelgiant į tai, kad bus parinkta 1-oji urna.

Antroje urnoje yra tik balti rutuliukai, taigi jei pasirinktas juodo rutulio išvaizda tampa neįmanoma: .

Ir galiausiai trečioje urnoje yra tik juodi rutuliai, o tai reiškia atitinkamą sąlyginė tikimybė juodo kamuoliuko ištraukimas bus (įvykis patikimas).

- tikimybė, kad iš atsitiktinai parinktos urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Atsakymas:

Analizuojamas pavyzdys vėlgi rodo, kaip svarbu įsigilinti į BŪKLĘ. Paimkime tas pačias problemas su urnomis ir kamuoliukais – nepaisant jų išorinio panašumo, sprendimo būdai gali būti visiškai skirtingi: kažkur tereikia pritaikyti klasikinis tikimybės apibrėžimas, kažkur įvykiai nepriklausomas, kažkur priklausomas, o kai kur kalbame apie hipotezes. Tuo pačiu nėra aiškaus formalaus sprendimo pasirinkimo kriterijaus – beveik visada reikia apie tai pagalvoti. Kaip patobulinti savo įgūdžius? Nusprendžiame, sprendžiame ir dar kartą sprendžiame!

2 problema

Šaudykloje yra 5 įvairaus tikslumo šautuvai. Tikimybės pataikyti į taikinį tam tikram šauliui yra atitinkamai lygios ir 0,4. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį, jei šaulys paleidžia vieną šūvį iš atsitiktinai parinkto šautuvo?

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Daugumoje teminės užduotys hipotezės, žinoma, nėra vienodai tikėtinos:

3 problema

Piramidėje yra 5 šautuvai, iš kurių trys yra su optiniu taikikliu. Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, šaudydamas iš šautuvo su teleskopiniu taikikliu, yra 0,95; šautuvui be optinio taikiklio ši tikimybė yra 0,7. Raskite tikimybę, kad taikinys bus pataikytas, jei šaulys iššovė vieną šūvį iš atsitiktinai paimto šautuvo.

Sprendimas: šioje užduotyje šautuvų skaičius yra lygiai toks pat kaip ir ankstesniame, tačiau yra tik dvi hipotezės:
- šaulys išsirinks šautuvą su optiniu taikikliu;
- šaulys išsirinks šautuvą be optinio taikiklio.
Autorius klasikinis tikimybės apibrėžimas: .
Valdymas:

Apsvarstykite įvykį: - šaulys pataiko į taikinį atsitiktinai paimtu šautuvu.
Pagal būklę:.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:

Atsakymas: 0,85

Praktiškai gana priimtinas sutrumpintas užduoties formatavimo būdas, kurį taip pat žinote:

Sprendimas: pagal klasikinis apibrėžimas: - tikimybė atitinkamai pasirinkti šautuvą su optiniu taikikliu ir be optinio taikiklio.

Pagal būklę, - tikimybė pataikyti į taikinį iš atitinkamų tipų šautuvų.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
- tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį atsitiktinai parinktu šautuvu.

Atsakymas: 0,85

Šią užduotį turite išspręsti patys:

4 problema

Variklis veikia trimis režimais: įprastas, priverstinis ir tuščiosios eigos. Tuščiosios eigos režimu jo gedimo tikimybė yra 0,05, įprastu režimu - 0,1, o priverstiniu režimu - 0,7. 70 % laiko variklis dirba įprastu režimu, o 20 % – priverstiniu režimu. Kokia variklio gedimo tikimybė eksploatacijos metu?

Tik tuo atveju priminsiu, kad norint gauti tikimybių reikšmes, procentus reikia padalyti iš 100. Būkite labai atsargūs! Mano pastebėjimais, žmonės dažnai bando supainioti problemų, susijusių su bendrosios tikimybės formule, sąlygas; ir aš specialiai pasirinkau šį pavyzdį. Išduosiu paslaptį – pati vos nesupainiojau =)

Sprendimas pamokos pabaigoje (suformatuotas trumpai)

Problemos naudojant Bayes formules

Medžiaga glaudžiai susijusi su ankstesnės pastraipos turiniu. Tegul įvykis įvyksta įgyvendinus vieną iš hipotezių . Kaip nustatyti tikimybę, kad įvyko konkreti hipotezė?

Atsižvelgiant į tai tą įvykį jau įvyko, hipotezių tikimybės pervertintas pagal formules, kurios gavo anglų kunigo Thomaso Bayeso vardą:

- tikimybė, kad hipotezė įvyko;
- tikimybė, kad hipotezė įvyko;
…
- tikimybė, kad hipotezė įvyko.

Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo visiškai absurdiška – kam perskaičiuoti hipotezių tikimybes, jei jos jau žinomos? Bet iš tikrųjų yra skirtumas:

Tai a priori(apskaičiuota į testai) tikimybė.

Tai a posteriori(apskaičiuota po to testai) tų pačių hipotezių tikimybės, perskaičiuotos atsižvelgiant į „naujai nustatytas aplinkybes“ - atsižvelgiant į tai, kad įvykis tikrai atsitiko.

Pažvelkime į šį skirtumą konkrečiu pavyzdžiu:

5 problema

Į sandėlį atkeliavo 2 produktų partijos: pirmoji - 4000 vnt., antroji - 6000 vnt. Vidutinis nestandartinių gaminių procentas pirmoje partijoje yra 20%, o antroje - 10%. Atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad ji yra: a) iš pirmosios partijos, b) iš antrosios partijos.

Pirma dalis sprendimus susideda iš bendrosios tikimybės formulės naudojimo. Kitaip tariant, skaičiavimai atliekami darant prielaidą, kad bandymas dar nepagaminta ir renginys „Prekė pasirodė standartinė“ dar ne.

Panagrinėkime dvi hipotezes:
- atsitiktinai paimtas produktas bus iš 1-os partijos;
- atsitiktinai paimtas produktas bus iš 2 partijos.

Iš viso: 4000 + 6000 = 10000 prekių sandėlyje. Pagal klasikinį apibrėžimą:
.

Valdymas:

Panagrinėkime priklausomą įvykį: - atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus standartinė.

Pirmoje partijoje 100% - 20% = 80% standartinių produktų, todėl: atsižvelgiant į tai kad ji priklauso 1-ajai šaliai.

Panašiai antroje partijoje 100% - 10% = 90% standartinių produktų ir - tikimybė, kad atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus standartinė atsižvelgiant į tai kad ji priklauso 2-ajai šaliai.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
- tikimybė, kad atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus standartinė.

Antra dalis. Tegul atsitiktine tvarka iš sandėlio paimta prekė pasirodo standartinė. Ši frazė yra tiesiogiai nurodyta sąlygoje ir nurodo faktą, kad įvykis atsitiko.

Pagal Bayes formules:

a) - tikimybė, kad pasirinktas standartinis produktas priklauso 1-ajai partijai;

b) - tikimybė, kad pasirinktas standartinis produktas priklauso 2-ajai partijai.

Po to perkainojimas hipotezės, žinoma, vis dar formuojasi pilna grupė:
(egzaminas ;-))

Atsakymas:

Ivanas Vasiljevičius, vėl pakeitęs profesiją ir tapęs gamyklos direktoriumi, padės suprasti hipotezių perkainojimo prasmę. Jis žino, kad šiandien 1-asis cechas į sandėlį išvežė 4000 gaminių, o 2-asis - 6000 gaminių, ir atvyksta tuo įsitikinti. Tarkime, kad visi produktai yra tos pačios rūšies ir yra toje pačioje talpykloje. Natūralu, kad Ivanas Vasiljevičius preliminariai apskaičiavo, kad produktas, kurį jis dabar pašalins patikrinimui, greičiausiai bus pagamintas 1-ajame ceche ir greičiausiai antrame. Tačiau pasirinktam gaminiui pasirodžius standartiniu, jis sušunka: „Koks šaunus varžtas! „Jį veikiau išleido 2-asis seminaras. Taigi antrosios hipotezės tikimybė yra pervertinta geresnė pusė, o pirmosios hipotezės tikimybė neįvertinta: . Ir šis perkainavimas nėra be pagrindo - juk 2-asis cechas ne tik pagamino daugiau gaminių, bet ir dirba 2 kartus geriau!

Grynas subjektyvizmas, sakysite? Iš dalies – taip, be to, pats Bayesas interpretavo a posteriori tikimybės kaip pasitikėjimo lygis. Tačiau ne viskas taip paprasta – Bajeso požiūryje yra ir objektyvaus grūdo. Galų gale, tikimybė, kad produktas bus standartinis (0,8 ir 0,9 atitinkamai 1 ir 2 seminarams) Tai preliminarus(a priori) ir vidutinis vertinimai. Bet, kalbant filosofiškai, viskas teka, viskas keičiasi, taip pat ir tikimybės. Visai įmanoma, kad tyrimo metu sėkmingesnis 2-asis cechas padidino standartinių gaminių pagaminimo procentą (ir (arba) sumažintas 1 seminaras), o jei patikrinsite daugiau arba visi 10 tūkstančių produktų yra sandėlyje, tada pervertintos vertės bus daug arčiau tiesos.

Beje, jei Ivanas Vasiljevičius išgaus nestandartinę dalį, tada priešingai - jis bus labiau „įtartinas“ dėl 1-osios dirbtuvės ir mažiau į antrąjį. Siūlau patiems tai patikrinti:

6 problema

Į sandėlį atkeliavo 2 produktų partijos: pirmoji - 4000 vnt., antroji - 6000 vnt. Vidutinis nestandartinių gaminių procentas pirmoje partijoje yra 20%, antroje - 10%. Atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė pasirodė esanti Ne standartinis. Raskite tikimybę, kad ji yra: a) iš pirmosios partijos, b) iš antrosios partijos.

Būklė išsiskiria dviem raidėmis, kurias paryškinau paryškintu šriftu. Problemą galima išspręsti naudojant " švarus šiferis“, arba naudokite ankstesnių skaičiavimų rezultatus. Pavyzdyje aš atlikau pilnas sprendimas, bet kad nebūtų formalaus sutapimo su 5 užduotimi, renginiu „atsitiktinai iš sandėlio paimta prekė bus nestandartinė“ nurodė .

Bajeso tikimybių perskaičiavimo schema randama visur, be to, ja aktyviai naudojasi įvairių tipų sukčiai. Panagrinėkime įprastu pavadinimu tapusią trijų raidžių akcinę bendrovę, kuri pritraukia visuomenės indėlius, neva juos kažkur investuoja, reguliariai moka dividendus ir pan. Kas vyksta? Bėga diena po dienos, mėnuo po mėnesio ir vis daugiau naujų faktų, perduodamų per reklamą ir iš lūpų į lūpas, tik didina pasitikėjimą finansinė piramidė (pasteriori Bajeso perskaičiavimas dėl praeities įvykių!). Tai yra, investuotojų akyse nuolat didėja tikimybė, kad „Tai rimta įmonė“; o priešingos hipotezės tikimybė („tai tik daugiau sukčių“), žinoma, mažėja ir mažėja. Kas toliau, manau, aišku. Pastebėtina, kad pelnyta reputacija organizatoriams suteikia laiko sėkmingai pasislėpti nuo Ivano Vasiljevičiaus, kuris liko ne tik be partijos varžtų, bet ir be kelnių.

Prie ne mažiau įdomių pavyzdžių grįšime šiek tiek vėliau, tačiau kol kas kitas žingsnis yra bene labiausiai paplitęs atvejis su trimis hipotezėmis:

7 problema

Elektros lempos gaminamos trijose gamyklose. 1 augalas gamina 30 proc. bendras skaičius lempos, 2 - 55%, o 3 - likusieji. 1-os gamyklos gaminiuose yra 1% brokuotų lempų, 2-osios - 1,5%, 3-osios - 2%. Parduotuvė gauna gaminius iš visų trijų gamyklų. Paaiškėjo, kad įsigyta lempa sugedusi. Kokia tikimybė, kad jį pagamino 2 gamykla?

Atkreipkite dėmesį, kad problemos dėl Bayes formulių sąlygoje Būtinai yra tam tikras kas atsitikoįvykis, in šiuo atveju- pirkti lempą.

Renginių padaugėjo ir sprendimas Patogiau jį sutvarkyti „greito“ stiliaus.

Algoritmas lygiai toks pat: pirmu žingsniu randame tikimybę, kad įsigyta lempa pasirodys sugedusi.

Naudodami pradinius duomenis, procentus konvertuojame į tikimybes:
- tikimybė, kad lempa buvo pagaminta atitinkamai 1-oje, 2-oje ir 3-ioje gamyklose.
Valdymas:

Panašiai: - tikimybė pagaminti sugedusią lempą atitinkamoms gamykloms.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:

- tikimybė, kad įsigyta lempa bus sugedusi.

Antras žingsnis. Tegul įsigyta lempa pasirodo sugedusi (įvykis įvyko)

Pagal Bayes formulę:
- tikimybė, kad įsigyta nekokybiška lempa pagaminta antroje gamykloje

Atsakymas:

Kodėl po perkainojimo padidėjo pradinė 2-osios hipotezės tikimybė? Juk antroji gamykla gamina vidutinės kokybės lempas (pirma geresnė, trečia prastesnė). Taigi kodėl jis padidėjo a posteriori Ar gali būti, kad sugedusi lempa yra iš 2 gamyklos? Tai jau paaiškinama ne „reputacija“, o dydžiu. Kadangi gamykla Nr. 2 pagamino daugiausiai didelis skaičius lempų (daugiau nei pusė), tuomet logiškas bent jau subjektyvus pervertinimo pobūdis („greičiausiai ši sugedusi lempa yra iš ten“).

Įdomu pastebėti, kad 1 ir 3 hipotezių tikimybės buvo pervertintos laukiamomis kryptimis ir tapo lygios:

Valdymas: , ką ir reikėjo patikrinti.

Beje, apie neįvertintus ir pervertintus įvertinimus:

8 problema

IN studentų grupė 3 žmonės turi aukšto lygio mokymas, 19 žmonių – vidutinis ir 3 – žemas. Tikimybės sėkmingas užbaigimasšių studentų egzaminas yra atitinkamai lygus: 0,95; 0,7 ir 0,4. Yra žinoma, kad kai kurie mokiniai išlaikė egzaminą. Kokia tikimybė, kad:

a) jis buvo labai gerai pasiruošęs;
b) buvo vidutiniškai pasiruošęs;
c) buvo prastai paruoštas.

Atlikti skaičiavimus ir analizuoti hipotezių pakartotinio vertinimo rezultatus.

Užduotis artima realybei ir ypač tikėtina neakivaizdinių studentų grupei, kai mokytojas praktiškai neturi žinių apie konkretaus studento gebėjimus. Tokiu atveju rezultatas gali sukelti gana netikėtų pasekmių. (ypač 1 semestro egzaminams). Jei prastai pasiruošusiam mokiniui pasiseka gauti bilietą, mokytojas greičiausiai laikys jį geru mokiniu ar net stiprus mokinys, kuris atneš gerų dividendų ateityje (žinoma, reikia „pakelti kartelę“ ir išlaikyti savo įvaizdį). Jei studentas mokėsi, susigrūdo ir kartojo 7 dienas ir 7 naktis, bet jam tiesiog nepasisekė, tada tolesni įvykiai gali išsivystyti pačiu blogiausiu būdu – su daugybe muliganų ir balansuojančių ant eliminacijos slenksčio.

Nereikia nė sakyti, kad reputacija yra svarbiausias kapitalas, neatsitiktinai daugelis korporacijų turi savo įkūrėjų vardus, kurie vadovavo verslui prieš 100–200 metų ir išgarsėjo savo nepriekaištinga reputacija.

Taip, Bajeso požiūris tam tikru mastu subjektyvu, bet... taip gyvenimas veikia!

Sutvirtinkime medžiagą galutiniu pramoniniu pavyzdžiu, kuriame kalbėsiu apie iki šiol nežinomas technines sprendimo subtilybes:

9 problema

Trys gamyklos cechai gamina to paties tipo dalis, kurios surinkimui siunčiamos į bendrą konteinerį. Yra žinoma, kad pirmasis cechas gamina 2 kartus daugiau detalių nei antrame dirbtuvėje, ir 4 kartus daugiau nei trečiajame. Pirmajame ceche defektų procentas yra 12%, antrame - 8%, trečiame - 4%. Kontrolei iš konteinerio paimama viena dalis. Kokia tikimybė, kad jis bus sugedęs? Kokia tikimybė, kad ištrauktą brokuotą dalį pagamino 3-ias cechas?

Ivanas Vasiljevičius vėl ant žirgo =) Filmas turi turėti laimingą pabaigą =)

Sprendimas: skirtingai nei uždaviniai Nr. 5-8, čia aiškiai užduodamas klausimas, kuris sprendžiamas naudojant bendrosios tikimybės formulę. Tačiau, kita vertus, sąlyga yra šiek tiek „užšifruota“, o mokykliniai įgūdžiai sudaryti paprastas lygtis padės mums išspręsti šį galvosūkį. Patogu mažiausią reikšmę imti kaip „x“:

Tegul yra trečiojo cecho pagamintų dalių dalis.

Pagal sąlygą pirmame ceche pagaminama 4 kartus daugiau nei trečiame, taigi 1 cecho dalis yra .

Be to, pirmame ceche pagaminama 2 kartus daugiau produkcijos nei antrajame, o tai reiškia pastarojo dalį: .

Sukurkime ir išspręskime lygtį:

Taigi: - tikimybė, kad iš konteinerio išimta dalis buvo pagaminta atitinkamai 1, 2 ir 3 cechuose.

Valdymas:. Be to, nebūtų bloga dar kartą pažvelgti į frazę „Žinoma, kad pirmame ceche gaminiai gaminami 2 kartus daugiau nei antrasis dirbtuvės ir 4 kartus didesnės nei trečiosios dirbtuvės“ ir įsitikinkite, kad gautos tikimybių reikšmės iš tikrųjų atitinka šią sąlygą.

Iš pradžių galima būtų imti 1 arba 2 dirbtuvių dalį kaip „X“ – tikimybės būtų tokios pačios. Tačiau vienaip ar kitaip sunkiausia dalis buvo įveikta, o sprendimas yra kelyje:

Iš sąlygos randame:
- tikimybę pagaminti sugedusią dalį atitinkamoms dirbtuvėms.

Pagal bendrosios tikimybės formulę:
- tikimybė, kad atsitiktinai iš konteinerio išimta dalis pasirodys nestandartinė.

Antras klausimas: kokia tikimybė, kad ištrauktą brokuotą dalį pagamino 3-ias cechas? Šis klausimas daro prielaidą, kad dalis jau buvo nuimta ir ji pasirodė sugedusi. Mes iš naujo įvertiname hipotezę naudodami Bayes formulę:
- norima tikimybė. Visiškai laukiama – juk trečias cechas ne tik gamina mažiausią dalių dalį, bet ir pirmauja kokybe!

Sudarė katedros dėstytojas aukštoji matematika Iščanovas T.R. 4 pamoka. Bendrosios tikimybės formulė. Hipotezių tikimybė. Bayes formulės.

Teorinė medžiaga
Bendrosios tikimybės formulė
Teorema. Įvykio A, kuris gali įvykti tik tada, kai įvyksta vienas iš nesuderinamų įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybė yra lygi kiekvieno iš šių įvykių tikimybių sandaugų sumai su atitinkama sąlygine įvykio A tikimybe:

.
Ši formulė vadinama „bendros tikimybės formule“.

Įrodymas. Atsižvelgiant į sąlygą, įvykis A gali įvykti, jei įvyksta vienas iš nesuderinamų įvykių. Kitaip tariant, įvykio A įvykis reiškia vieno, nesvarbu, kuris iš nesuderinamų įvykių, įvykimą. Naudodami sudėjimo teoremą įvykio A tikimybei apskaičiuoti, gauname
. (*)
Belieka apskaičiuoti kiekvieną iš terminų. Pagal priklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą turime
.
Pakeitę dešiniąsias šių lygybių puses į santykį (*), gauname bendrosios tikimybės formulę

1 pavyzdys. Yra du dalių rinkiniai. Tikimybė, kad pirmojo rinkinio dalis yra standartinė, yra 0,8, o antrosios - 0,9. Raskite tikimybę, kad dalis, paimta atsitiktinai (iš atsitiktinai paimtos aibės), yra standartinė.
Sprendimas. Pažymėkime A įvykį „išskirta dalis yra standartinė“.
Dalį galima gauti iš pirmo rinkinio (įvykio) arba iš antrojo (įvykio).
Tikimybė, kad dalis bus paimta iš pirmojo rinkinio, yra .
Tikimybė, kad dalis bus paimta iš antrojo rinkinio yra .
Sąlyginė tikimybė kad standartinė dalis bus ištraukta iš pirmojo rinkinio, .
Sąlyginė tikimybė, kad standartinė dalis bus ištraukta iš antrojo rinkinio .
Norima tikimybė, kad atsitiktinai išskirta dalis yra standartinė, pagal bendrosios tikimybės formulę, yra lygi

2 pavyzdys. Pirmoje dėžutėje yra 20 radijo lempų, iš kurių 18 yra standartinės; antroje dėžėje yra 10 lempų, iš kurių 9 yra standartinės. Iš antrosios dėžutės atsitiktinai paimama lempa ir įdedama į pirmąją. Raskite tikimybę, kad lempa, atsitiktinai ištraukta iš pirmos dėžutės, bus standartinė.
Sprendimas. Pažymėkime A įvykį „standartinė lempa pašalinama iš pirmosios dėžutės“.
Iš antrojo langelio buvo galima išimti arba standartinę lempą (įvykis), arba nestandartinę lempą (įvykis).
Tikimybė, kad standartinė lempa bus pašalinta iš antrosios dėžutės .
Tikimybė, kad iš antrosios dėžės buvo išimta nestandartinė lempa
Sąlyginė tikimybė, kad standartinė lempa bus pašalinta iš pirmosios dėžės, su sąlyga, kad standartinė lempa buvo perkelta iš antrosios dėžės į pirmąją, yra lygi .
Sąlyginė tikimybė, kad standartinė lempa bus pašalinta iš pirmosios dėžės, su sąlyga, kad nestandartinė lempa buvo perkelta iš antrosios dėžės į pirmąją, yra lygi .
Reikalinga tikimybė, kad standartinė lempa bus pašalinta iš pirmos dėžės, pagal bendrosios tikimybės formulę, yra lygi

Hipotezių tikimybė. Bayes formulės

Tarkime, kad įvykis A gali įvykti įvykus vienam iš nesuderinamų įvykių, kurie sudaro visą grupę. Kadangi iš anksto nežinoma, kuris iš šių įvykių įvyks, jie vadinami hipotezėmis. Įvykio A tikimybė nustatoma pagal bendrosios tikimybės formulę:

Tarkime, kad buvo atliktas testas, dėl kurio atsirado įvykis A. Iškelkime savo uždavinį nustatyti, kaip pasikeitė hipotezių tikimybė (dėl to, kad įvykis A jau įvyko). Kitaip tariant, ieškosime sąlyginių tikimybių

Pirmiausia suraskime sąlyginę tikimybę. Pagal daugybos teoremą turime

.

Pakeitę P(A) čia naudodami formulę (*), gauname

Panašiai išvedamos formulės, kurios nustato likusių hipotezių sąlygines tikimybes, t.y. bet kurios hipotezės sąlyginę tikimybę galima apskaičiuoti naudojant formulę

Gautos formulės vadinamos Bayes formulės(pavadinti juos išvedusio anglų matematiko vardu; paskelbta 1764 m.). Bajeso formulės leidžia iš naujo įvertinti hipotezių tikimybes po to, kai tampa žinomas testo, dėl kurio įvyko A įvykis, rezultatas.

Pavyzdys. Gamyklos dirbtuvėse pagamintos dalys siunčiamos vienam iš dviejų inspektorių, kad patikrintų jų standartiškumą. Tikimybė, kad dalis pateks pas pirmąjį tikrintoją, yra 0,6, o pas antrąjį – 0,4. Tikimybė, kad tinkama detale pirmasis tikrintojas bus pripažintas standartine, yra 0,94, o antrasis – 0,98. Patikrinus buvo nustatyta, kad galiojanti dalis yra standartinė. Raskite tikimybę, kad pirmasis inspektorius patikrino šią dalį.
Sprendimas. Pažymėkime A įvykį, kai tinkama dalis pripažįstama standartine. Galima daryti dvi prielaidas:
1) dalis buvo patikrinta pirmojo inspektoriaus (hipotezė);
2) dalis buvo patikrinta antrojo inspektoriaus (hipotezė). Randame norimą tikimybę, kad detalę patikrino pirmasis inspektorius, naudodamas Bayes formulę:

Pagal problemos sąlygas turime:
(tikimybė, kad dalis pasieks pirmąjį tikrintoją);
(tikimybė, kad dalis pasieks antrąjį tikrintoją);
(tikimybė, kad tinkama dalis pirmasis inspektorius bus pripažintas standartine);
(tikimybė, kad tinkamą dalį antrasis inspektorius atpažins kaip standartinę).
Reikalinga tikimybė

Kaip matote, prieš testą hipotezės tikimybė buvo 0,6, sužinojus testo rezultatą, šios hipotezės tikimybė (tiksliau sąlyginė tikimybė) pasikeitė ir tapo lygi 0,59; Taigi, Bayes formulės panaudojimas leido pervertinti nagrinėjamos hipotezės tikimybę.

Praktinė medžiaga.
1. (4) Surinkėjas gavo 3 dėžes dalių, pagamintų gamykloje Nr. 1 ir 2 dėžes dalių, pagamintų gamykloje Nr. 2. Tikimybė, kad dalis iš gamyklos Nr. 1 yra standartinė, yra 0,8, o iš gamyklos Nr. 2 yra 0,9, Assembler atsitiktinai išėmė dalį iš atsitiktinai pasirinktos dėžutės. Raskite tikimybę, kad standartinė dalis bus pašalinta.
Rep. 0,84.
2. (5) Pirmoje dėžutėje yra 20 dalių, iš kurių 15 yra standartinės; antroje yra 30 dalių, iš kurių 24 yra standartinės; trečioje yra 10 dalių, iš kurių 6 standartinės. Raskite tikimybę, kad dalis, atsitiktinai paimta iš atsitiktinai paimtos dėžutės, yra standartinė.
Rep. 43/60.
3. (6) Televizijos studijoje yra 4 kineskopai. Tikimybė, kad kineskopas atlaikys garantinį tarnavimo laiką, yra atitinkamai lygi 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai paimtas kineskopas atlaikys garantinį laikotarpį.
Rep. 0,875.
4. (3) Sportininkų grupę sudaro 20 slidininkų, 6 dviratininkai ir 4 bėgikai. Tikimybė atitikti kvalifikacinį normatyvą yra tokia: slidininkui - 0,9, dviratininkui - 0,8. o bėgikui – 0,75. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas sportininkas įvykdys normatyvą.
Rep. 0,86.
5. (C) Baltoje dėžutėje yra 12 raudonų ir 6 mėlyni rutuliai. Juodos spalvos yra 15 raudonų ir 10 mėlynų kamuoliukų. Kauliuko metimas. Jei taškų skaičius yra 3 kartotinis, iš baltos dėžutės atsitiktinai paimamas rutulys. Išmetus bet kokį kitą taškų skaičių, iš juodosios dėžės atsitiktinai paimamas rutulys. Kokia tikimybė, kad pasirodys raudonas rutulys?
Sprendimas:
Galimos dvi hipotezės:
– metant kauliuką atsiras 3 kartotinis taškų skaičius, t.y. arba 3 arba 6;
– metant kauliuką atsiras skirtingas taškų skaičius, t.y. arba 1 arba 2 arba 4 arba 5.
Pagal klasikinį apibrėžimą hipotezių tikimybės yra lygios:

Kadangi hipotezės sudaro visą įvykių grupę, lygybė turi būti įvykdyta

Tegul įvykis A susideda iš raudono rutulio pasirodymo. Sąlyginės šio įvykio tikimybės priklauso nuo to, kuri hipotezė buvo įgyvendinta, ir atitinkamai yra:

Tada pagal bendrosios tikimybės formulę įvykio A tikimybė bus lygi:

6. (7) Dviejose dėžutėse yra radijo lempos. Pirmoje dėžutėje yra 12 lempų, iš kurių 1 nestandartinė; antroje yra 10 lempų, iš kurių 1 nestandartinė. Lempa atsitiktine tvarka paimama iš pirmos dėžės ir įdedama į antrąją. Raskite tikimybę, kad iš antrosios dėžutės atsitiktinai išimta lempa bus nestandartinė.
Rep. 13/132.

7. (89 D) Baltas rutulys įmetamas į urną, kurioje yra du rutuliai, po to atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad ištrauktas rutulys bus baltas, jei visos galimos prielaidos apie pradinę rutulių sudėtį (pagal spalvą) yra vienodai įmanomos.
Sprendimas. A pažymėkime įvykį – nupieštas baltas rutulys. Galimos šios prielaidos (hipotezės) apie pradinę kamuoliukų sudėtį: - nėra baltų kamuoliukų, - vienas baltas rutulys, - du balti rutuliai.
Kadangi iš viso yra trys hipotezės ir pagal sąlygą jos yra vienodai tikėtinos, o hipotezių tikimybių suma lygi vienetui (kadangi jos sudaro ištisą įvykių grupę), tai kiekvienos iš hipotezių tikimybė yra lygus 1/3, t.y. .
Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad iš pradžių urnoje baltų rutulių nebuvo, .
Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad iš pradžių urnoje buvo vienas baltas rutulys, .
Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad iš pradžių urnoje buvo du balti rutuliai.
Naudodami bendrosios tikimybės formulę randame reikiamą tikimybę, kad bus nubrėžtas baltas rutulys:

8. (10) Standartinė dalis metama į dėžę, kurioje yra 3 identiškos dalys, o po to atsitiktine tvarka ištraukiama viena dalis. Raskite tikimybę, kad standartinė dalis bus pašalinta, jei visi įmanomi spėjimai apie standartinių dalių skaičių iš pradžių dėžėje yra vienodai tikėtini.
Rep. 0,625.

9. (6.5.2L) Radijo ryšio kokybei gerinti naudojami du radijo imtuvai. Tikimybė, kad kiekvienas imtuvas gaus signalą, yra 0,8, o šie įvykiai (imtuvo signalo priėmimas) yra nepriklausomi. Nustatykite signalo priėmimo tikimybę, jei kiekvieno imtuvo radijo ryšio seanso metu nenutrūkstamo veikimo tikimybė yra 0,9.
Sprendimas.
Tegul įvykis A = (signalas bus priimtas). Panagrinėkime keturias hipotezes:

=(pirmasis imtuvas veikia, antrasis ne);

=(antrasis veikia, pirmasis ne);

=(veikia abu imtuvai);

=(abu imtuvai neveikia).

Įvykis A gali įvykti tik esant vienai iš šių hipotezių. Raskime šių hipotezių tikimybę, atsižvelgdami į šiuos įvykius:

= (veikia pirmasis imtuvas),

=(veikia antrasis imtuvas).

Valdymas:

.

Sąlyginės tikimybės yra atitinkamai lygios:

;

;

Dabar, naudodami bendrosios tikimybės formulę, randame norimą tikimybę

10. (11) Jei mašina nukrypsta nuo įprasto darbo režimo, C-1 pavojaus signalas suveikia su 0,8 tikimybe, o C-11 - su 1 tikimybe. Tikimybė, kad mašinoje yra C -1 arba C-11 signalas yra atitinkamai lygus 0, 6 ir 0,4. Gautas signalas nupjauti kulkosvaidį. Kas labiau tikėtina: mašinoje yra S-1 arba S-11 signalizacijos įtaisas?
Rep. Tikimybė, kad mašinoje yra signalizacijos įtaisas S-1, yra 6/11, o S-11 - 5/11

11. (12) Dalyvauti mokinių kvalifikacinėse sporto varžybose iš pirmos kurso grupės buvo skirti 4, iš antrosios – 6, iš trečiosios – 5 mokiniai. Tikimybė, kad pirmos, antros ir trečios grupės studentas pateks į instituto komandą, atitinkamai lygi 0,9; 0,7 ir 0,8. Atsitiktinai atrinktas mokinys dėl konkurso pateko į rinktinę. Kuriai grupei šis studentas greičiausiai priklausė?
Rep. Tikimybės, kad bus pasirinktas pirmos, antros, trečios grupės mokinys, yra atitinkamai: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K)V prekybos įmonė Televizoriai atkeliavo iš trijų tiekėjų santykiu 1:4:5. Praktika parodė, kad 1, 2 ir 3 tiekėjų televizoriai garantiniu laikotarpiu nereikės remonto atitinkamai 98, 88 ir 92% atvejų.
1) Raskite tikimybę, kad prekybos įmonės gautam televizoriui garantiniu laikotarpiu nereikės remonto.
2) Parduotą televizorių garantiniu laikotarpiu reikėjo remontuoti. Iš kurio tiekėjo greičiausiai atkeliavo šis televizorius?
Sprendimas.
Pažymėkime įvykius: - televizorius į prekybos įmonę atkeliavo iš i-ojo tiekėjo (i=1,2,3);
A – garantiniu laikotarpiu televizoriui nereikės remonto.
Pagal sąlygą

Pagal bendrosios tikimybės formulę

Renginių televiziją garantiniu laikotarpiu reikės remontuoti; .
Pagal sąlygą

Pagal Bayes formulę

;

Taigi, įvykus įvykiui, hipotezės tikimybė padidėjo su iki maksimumo, o hipotezė sumažėjo nuo maksimumo iki; jei anksčiau (prieš įvykį A) labiausiai tikėtina hipotezė buvo , tai dabar, atsižvelgiant į nauja informacija(įvykio A įvykis), labiausiai tikėtina hipotezė, kad šis televizorius atkeliaus iš 2-ojo tiekėjo.

13. (1,35K) Yra žinoma, kad vidutiniškai 95% pagamintų gaminių atitinka standartą. Supaprastinta valdymo schema pripažįsta gaminį tinkamu su 0,98 tikimybe, jei jis yra standartinis, ir su 0,06 tikimybe, jei jis yra nestandartinis. Nustatykite tikimybę, kad:
1) atsitiktine tvarka paimtam produktui bus taikoma supaprastinta kontrolė;
2) standartinis gaminys, jeigu jis: a) praėjo supaprastintą kontrolę; b) du kartus praėjo supaprastintą kontrolę.
Sprendimas.
1). Pažymime įvykius:
- atsitiktinai paimtas produktas, atitinkamai standartinis arba nestandartinis;
- produktas praėjo supaprastintą kontrolę.

Pagal sąlygą

Tikimybė, kad atsitiktinai paimtas produktas pereis supaprastintą kontrolę pagal bendrosios tikimybės formulę:

2, a). Tikimybė, kad produktas, praėjęs supaprastintą kontrolę, yra standartinis pagal Bayes formulę:

2, b). Tegul įvykis – produktas du kartus pereina supaprastintą kontrolę. Tada pagal tikimybių daugybos teoremą:

Pagal Bayes formulę

yra labai mažas, tuomet hipotezę, kad du kartus supaprastintą kontrolę praėjęs produktas yra nestandartinis, reikėtų atmesti kaip praktiškai neįmanomą įvykį.

14. (1.36K) Du šauliai šaudo į taikinį nepriklausomai vienas nuo kito, kiekvienas iššauna po vieną šūvį. Tikimybė pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,8; už antrąjį – 0,4. Po šaudymo taikinyje buvo aptikta viena skylė. Kokia tikimybė, kad jis priklauso:
a) 1-asis šaulys;
b) 2-asis šaulys?
Sprendimas.
Pažymime įvykius:

Abu šauliai taikinį nepataikė;

Abu šauliai pataikė į taikinį;

1-asis šaulys pataikė į taikinį, 2-asis nepataikė;

1-asis šaulys taikinį nepataikė, 2-asis;

Taikinyje yra viena skylė (vienas smūgis).