Grafinis lygčių sprendimo būdas su parametrų pavyzdžiais. Problemos su parametru (grafinis sprendimas) Įvadas

2. Nežinomų pasiskirstymo parametrų nustatymas.

Naudodami histogramą galime apytiksliai nubraižyti pasiskirstymo tankį atsitiktinis kintamasis. Šio grafiko išvaizda dažnai leidžia daryti prielaidą apie atsitiktinio dydžio tikimybės tankio pasiskirstymą. Šio pasiskirstymo tankio išraiška paprastai apima kai kuriuos parametrus, kuriuos reikia nustatyti iš eksperimentinių duomenų.
Apsistokime prie konkretaus atvejo, kai pasiskirstymo tankis priklauso nuo dviejų parametrų.
Taigi tegul x 1 , x 2 , ..., x n- stebimos ištisinio atsitiktinio dydžio reikšmės ir tegul jo pasiskirstymo tankis priklauso nuo dviejų nežinomų parametrų A Ir B, t.y. atrodo kaip. Vienas iš būdų rasti nežinomus parametrus A Ir B susideda iš to, kad jie parenkami taip, kad matematinis lūkestis ir teorinio skirstinio dispersija sutampa su imties vidurkiu ir dispersija:

(66)

(67)

Iš dviejų gautų lygčių () raskite nežinomi parametrai A Ir B. Taigi, pavyzdžiui, jei atsitiktinis kintamasis paklūsta normalus įstatymas tikimybių skirstinys, tada jo tikimybių pasiskirstymo tankis

priklauso nuo dviejų parametrų a Ir . Šie parametrai, kaip žinome, yra atitinkamai matematinis lūkestis ir vidutinis kvadratinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis ; todėl lygybės () bus parašytos taip:

(68)

Todėl tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą

1 pastaba.Šią problemą jau išsprendėme . Matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis, kuris paklūsta normaliojo pasiskirstymo dėsniui su parametrais a Ir . Dėl apytikslės vertės a pasirinkome reikšmę , o apytikslei reikšmei - reikšmę .

2 pastaba. At dideli kiekiai eksperimentai, kiekių radimas ir formulių () naudojimas yra susiję su sudėtingais skaičiavimais. Todėl jie daro tai: kiekviena iš stebimų kiekio verčių patenka į i intervalas ] X i-1 , X i [ statistinės serijos, laikomi apytiksliai lygus viduriui c išis intervalas, t.y. c i =(X i-1 +X i)/2. Apsvarstykite pirmąjį intervalą ] X 0 , X 1 [. Tai jam pataikė m 1 pastebėtos atsitiktinio dydžio reikšmės, kurių kiekvieną pakeičiame skaičiumi nuo 1. Todėl šių verčių suma yra maždaug lygi m 1 s 1. Panašiai reikšmių, patenkančių į antrąjį intervalą, suma yra maždaug lygi m 2 su 2 ir tt Štai kodėl

Panašiu būdu gauname apytikslę lygybę

Taigi, parodykime tai

(71)

Lygtys su parametrais pagrįstai laikomos viena iš labiausiai sudėtingos užduotysžinant mokyklinė matematika. Būtent šios užduotys metai iš metų patenka į vieningos valstybės B ir C tipo užduočių sąrašą Vieningas valstybinis egzaminas. Tačiau tarp didelis skaičius lygtys su parametrais yra tos, kurias galima lengvai išspręsti grafiškai. Panagrinėkime šį metodą naudodamiesi kelių problemų sprendimo pavyzdžiu.

Raskite skaičiaus a sveikųjų skaičių reikšmių sumą, kuriai lygtis |x 2 – 2x – 3| = a turi keturias šaknis.

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į problemos klausimą, remsimės vienu koordinačių plokštuma funkcijų grafikai

y = |x 2 – 2x – 3| ir y = a.

Pirmosios funkcijos grafikas y = |x 2 – 2x – 3| bus gautas iš parabolės y = x 2 – 2x – 3 grafiko, simetriškai rodant x ašies atžvilgiu tą grafiko dalį, kuri yra žemiau Ox ašies. Virš x ašies esanti grafiko dalis išliks nepakitusi.

Padarykime tai žingsnis po žingsnio. Funkcijos y = x 2 – 2x – 3 grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn. Norėdami sudaryti jo grafiką, randame viršūnės koordinates. Tai galima padaryti naudojant formulę x 0 = -b/2a. Taigi, x 0 = 2/2 = 1. Norėdami rasti parabolės viršūnės koordinatę išilgai ordinačių ašies, gautą x 0 reikšmę pakeičiame nagrinėjamos funkcijos lygtimi. Gauname, kad y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Tai reiškia, kad parabolės viršūnė turi koordinates (1; -4).

Toliau reikia rasti parabolės šakų susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Parabolės šakų susikirtimo su abscisių ašimi taškuose funkcijos reikšmė lygi nuliui. Todėl išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 – 2x – 3 = 0. Jos šaknys bus reikalingi taškai. Pagal Vietos teoremą turime x 1 = -1, x 2 = 3.

Parabolės šakų susikirtimo taškuose su ordinačių ašimi argumento reikšmė lygi nuliui. Taigi taškas y = -3 yra parabolės šakų susikirtimo su y ašimi taškas. Gautas grafikas parodytas 1 paveiksle.

Norėdami gauti funkcijos y = |x 2 – 2x – 3| grafiką, pavaizduokime po x ašimi esančią grafiko dalį simetriškai x ašies atžvilgiu. Gautas grafikas parodytas 2 paveiksle.

Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai. Jis pavaizduotas 3 paveiksle. Naudodamiesi paveikslu, nustatome, kad grafikai turi keturis bendrus taškus (o lygtis turi keturias šaknis), jei a priklauso intervalui (0; 4).

Skaičiaus a sveikosios reikšmės iš gauto intervalo: 1; 2; 3. Norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, suraskime šių skaičių sumą: 1 + 2 + 3 = 6.

Atsakymas: 6.

Raskite skaičiaus a, kurio lygtis |x 2 – 4|x|, sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį. – 1| = a turi šešias šaknis.

Pradėkime nuo funkcijos y = |x 2 – 4|x| braižymo – 1|. Tam naudojame lygybę a 2 = |a| 2 ir pasirinkite visą kvadratą submodulinėje išraiškoje, parašytoje dešinėje funkcijos pusėje:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| – 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x | – 2) 2 – 5.

Tada pradinė funkcija turės formą y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Norėdami sukurti šios funkcijos grafiką, sudarome nuoseklius funkcijų grafikus:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabolė su viršūne taške su koordinatėmis (2; -5); (1 pav.).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1 žingsnyje sukonstruotos parabolės dalis, kuri yra į dešinę nuo ordinačių ašies, simetriškai rodoma Oy ašies kairėje; (2 pav.).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2 punkte sudaryta grafiko dalis, esanti žemiau x ašies, rodoma simetriškai x ašies atžvilgiu aukštyn. (3 pav.).

Pažvelkime į gautus brėžinius:

Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai.

Naudodamiesi paveikslu darome išvadą, kad funkcijų grafikai turi šešis bendrų taškų(lygtis turi šešias šaknis), jei a priklauso intervalui (1; 5).

Tai galima pamatyti toliau pateiktame paveikslėlyje:

Raskime parametro a sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Atsakymas: 3.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Kiekvienai parametro a vertei išspręskite nelygybę | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Pirmiausia išspręskime pagalbinę problemą. Laikykime šią nelygybę nelygybe su dviem kintamaisiais x x ir a a ir koordinačių plokštumoje x O a xOa nubrėžkime visus taškus, kurių koordinatės tenkina nelygybę.

Jei 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (t. y. tiesėje a = - 2 x a=-2x ir daugiau), tada gauname 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Rodyklė į kairę į dešinę a \leq 2-x .

Rinkinys parodytas fig. 11.

Dabar išspręskime pradinę problemą naudodami šį piešinį. Jei pataisysime a a , tada gausime horizontalią liniją a = const a = \textrm(const) . Norėdami nustatyti x x reikšmes, turite rasti šios linijos susikirtimo taškų su nelygybės sprendimų rinkiniu abscisę. Pavyzdžiui, jei a = 8 a=8, tai nelygybė neturi sprendinių (tiesė nekerta aibės); jei a = 1 a=1 , tai visi sprendiniai yra x x iš intervalo [ - 1 ; 1 ] [-1;1] ir tt Taigi, galimi trys variantai.

1) Jei $$a>4$$, tada sprendimų nėra.

2) Jei a = 4 a=4, tai x = - 2 x=-2.

ATSAKYTI

už $$a

jei a = 4 a = 4 - x = - 2 x = -2 ;

už $$a>4$$ – sprendimų nėra.

Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms nelygybė $$3-|x-a| > x^2$$ a) turi bent vieną sprendimą; b) turi bent vieną teigiamą sprendimą.

Perrašykime nelygybę į formą $$3-x^2 > |x-a)$$. Sukurkime kairiojo ir teisingos dalys plokštumoje x O y xOy . Kairiosios pusės grafikas yra parabolė su šakomis žemyn, kurios viršūnė yra taške (0; 3) (0;3) . Grafikas kerta x ašį taškuose (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Dešinės pusės grafikas yra kampas su viršūne x ašyje, kurios kraštinės nukreiptos į viršų 45 ° 45^ (\circ) kampu su koordinačių ašimis. Viršūnės abscisė yra taškas x = a x=a .

a) Kad nelygybė turėtų bent vieną sprendinį, būtina ir pakanka, kad bent viename taške parabolė būtų virš grafiko y = | x - a | y=|x-a| . Tai pasiekiama, jei kampo viršūnė yra tarp abscisių ašies taškų A A ir B B (žr. 12 pav. – taškai A A ir B B neįtraukti). Taigi reikia nustatyti, kurioje viršūnės padėtyje viena iš kampo atšakų liečia parabolę.

Panagrinėkime atvejį, kai kampo viršūnė yra taške A A . Tada dešinioji kampo šaka paliečia parabolę. Ji nuolydis lygus vienam. Tai reiškia, kad funkcijos y = 3 - x 2 y = 3-x^2 išvestinė liesties taške yra lygi 1 1, t.y. - 2 x = 1 -2x=1, iš kur x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Tada liestinės taško ordinatė yra y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Tiesės, kurios kampo koeficientas k = 1 k=1, ir einančios per tašką su koordinatėmis (- 1 2 ; 11 4) lygtis (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) yra šis * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Tai yra dešinės kampo šakos lygtis. Susikirtimo su x ašimi taško abscisė lygi - 13 4 -\frac(13)(4), t.y. taškas A A turi koordinates A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) ) ). Simetrijos sumetimais taškas B B turi koordinates: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Iš čia gauname, kad a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Nelygybė turi teigiamus sprendinius, jei kampo viršūnė yra tarp taškų F F ir B B (žr. 13 pav.). Rasti taško F F padėtį nėra sunku: jei kampo viršūnė yra taške F F, tai jo dešinioji atšaka (tiesė, pateikta lygybe y = x - a y = x-a eina per tašką (0; 3). ) (0;3) Iš čia matome, kad a = - 3 a=-3 ir taškas F F turi koordinates (- 3 ; 0) (-3;0) \in (-3; \frac(13)(4) ) .

ATSAKYTI

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3) 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\!}^* Naudingos formulės:

- \-- tiesė, einanti per tašką (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ir turinti kampinį koeficientą k k, pateikiama lygtimi y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 ) ;

- \-- tiesės, einančios per taškus (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ir (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), kur x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, apskaičiuojamas pagal formulę k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

komentuoti. Jei reikia rasti parametro reikšmę, kuriai esant tiesė y = k x + l y=kx+l ir parabolė y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c, galite parašyti sąlyga, kad lygtis k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c turi tiksliai vieną sprendinį Tada kitą būdą rasti parametro a a reikšmes, kurioms yra kampo viršūnė yra taške A A yra tokia: lygtis x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 turi tiksliai vieną sprendinį ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Rodyklė į kairę D = 1 + 4(a+3) = 0 \Rodyklė kairėn dešinėn a = -\ dfrac(13)(4) .

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu neįmanoma užrašyti sąlygos, kad linija paliestų savavališką grafiką. Pavyzdžiui, tiesė y = 3 x - 2 y = 3x - 2 paliečia kubinę parabolę y = x 3 y=x^3 taške (1 ; 1) (1; 1) ir kerta ją taške (- 2 ; - 8) (-2;-8), t.y. lygtis x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 turi du sprendinius.

Raskite visas parametro a a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 turi a) tiksliai dvi skirtingas šaknis; b) lygiai trys skirtingos šaknys.

Darykime taip pat, kaip 25 pavyzdyje. Pavaizduokime šios lygties sprendinių aibę plokštumoje x O a xOa . Jis prilygsta dviejų lygčių deriniui:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 yra kampas su šakomis į viršų ir viršūne taške (- 2 ; - 1) (-2; -1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - tai parabolė su šakomis į viršų ir viršūnė taške (- 2 ; - 3) (-2; -3) . Žr. pav. 14.

Randame dviejų grafikų susikirtimo taškus. Dešinioji kampo šaka pateikiama lygtimi y = x + 1 y=x+1 . Lygties sprendimas

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

nustatome, kad x = 0 x=0 arba x = - 3 x=-3 . Tinka tik reikšmė x = 0 x=0 (kadangi dešiniajai šakai x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Tada a = 1 a = 1 . Panašiai randame ir antrojo susikirtimo taško koordinates - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Grįžkime prie pradinės problemos. Lygtis turi lygiai du sprendinius tiems a a, kurių horizontali linija a = const a=\textrm(const) kerta lygties sprendinių aibę dviejuose taškuose. Iš grafiko matome, kad tai teisinga a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Bus lygiai trys sprendimai trijų atveju susikirtimo taškai, o tai įmanoma tik tada, kai a = - 1 a=-1 .

ATSAKYTI

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 );      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(atvejai) $$

turi tiksliai vieną sprendimą.

Nelygybių sistemos sprendinius pavaizduokime plokštumoje x O a xOa . Perrašykime sistemą į formą $$ ​​\begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$

ATSAKYTI

Pirmąją nelygybę tenkina taškai, esantys ant parabolės a = - x 2 + x a = -x^2+x ir žemiau jos, o antrąją tenkina taškai, esantys ant parabolės a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) ir naujesni. Surandame parabolių viršūnių ir jų susikirtimo taškų koordinates ir sudarome grafiką. Pirmosios parabolės viršus yra (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), antrosios parabolės viršus yra (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac(1)(6)), susikirtimo taškai yra (0; 0) (0;0) ir (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). Sistemą tenkinančių taškų rinkinys parodytas fig. 15. Matyti, kad horizontali linija a = const a=\textrm(const) turi lygiai vieną bendrą tašką su šia aibe (tai reiškia, kad sistema turi tiksliai vieną sprendimą), kai a = 0 a=0 ir a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

A = 0,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4) Rasti mažiausia vertė

parametras a a , kiekvienam iš kurių sistema

$$\begin(atvejai) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(atvejai) $$ turi.

vienintelis sprendimas Transformuokime pirmąją lygtį,:

išryškinant užbaigtus kvadratus

Skirtingai nuo ankstesnių problemų, čia geriau pavaizduoti brėžinį x O y xOy plokštumoje (brėžinys plokštumoje „kintamasis - parametras“ paprastai naudojamas problemoms su vienu kintamuoju ir vienu parametru - rezultatas yra rinkinys plokštumoje Šiame uždavinyje mes susiduriame su dviem kintamaisiais ir parametru trimatė erdvė- Tai sunki užduotis; be to, toks piešinys vargu ar bus vizualus). (18) lygtis nurodo apskritimą, kurio centras (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1), kurio spindulys 1. Šio apskritimo centras, priklausomai nuo a reikšmės, gali būti bet kuriame taške eilutė y = 1 y = 1.

Antroji sistemos lygtis yra y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 nustato kampą kraštinėmis aukštyn 60° 60^(\circ) kampu abscisių ašies atžvilgiu (tiesės kampinis koeficientas yra pasvirimo kampas tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), kai viršūnė yra taške (0; - 4) (0; -4) .

Ši lygčių sistema turi tiksliai vieną sprendimą, jei apskritimas liečia vieną iš kampo šakų. Tai įmanoma keturi atvejai(16 pav.): apskritimo centras gali būti viename iš taškų A A, B B, C C, D D. Kadangi reikia rasti mažiausią parametro a a reikšmę, mus domina taško D D abscisė. Pasvarstykime stačiakampis trikampis D H M D H M . Atstumas nuo taško D D iki tiesės H M HM lygus apskritimo spinduliui, todėl D H = 1 DH=1. Taigi, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Taško M M koordinatės randamos kaip dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės y = 1 y=1 ir y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 ( kairėje pusėje kampas).

Gauname M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Tada taško D D abscisė yra lygi - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

Kadangi apskritimo centro abscisė lygi a 3 a\sqrt(3) , iš to išplaukia, kad a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ATSAKYTI

A = -7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Raskite visas parametro a a reikšmes, kurių kiekvienai sistema

$$\begin(atvejai) |4x+3m| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(atvejai) $$

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(atvejai) $$

Pavaizduokime kiekvienos nelygybės sprendinių aibes plokštumoje x O y xOy .

Antroje nelygybėje pasirenkame tobulus kvadratus:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2        ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Rodyklė į kairę (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Kai a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), nelygybė (19) nurodo tašką su koordinatėmis (7 a ; 3 a) (7a;3a), t.y. (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Visoms kitoms a reikšmėms a (19) apibrėžia apskritimą, kurio centras yra spindulio taške (7 a ; 3 a) (7a;3a) | a + 8 | |a+8| .

Panagrinėkime pirmąją nelygybę.
1) Neigiamam a a jis neturi sprendimų. Tai reiškia, kad sistema neturi sprendimų.

2) Jei a = 0 a=0, tai gauname tiesę 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Iš antrosios nelygybės gauname apskritimą, kurio centras (0; 0) (0; 0), kurio spindulys yra 8. Akivaizdu, kad sprendinių yra ne vienas.

3) Jei $$a>0$$, tai ši nelygybė lygi dvigubai nelygybei - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Ji apibrėžia juostą tarp dviejų tiesių y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , kurių kiekviena yra lygiagreti tiesei 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (17 pav.).

Kadangi svarstome $$a>0$$, apskritimo centras yra pirmajame ketvirtyje tiesėje y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Iš tiesų centro koordinatės yra x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; išreiškę a a ir prilyginę, gauname x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , iš kur y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Tam, kad sistema turėtų būtent vieną sprendinį, būtina ir pakanka, kad apskritimas liestų tiesę a 2 a_2 . Tai atsitinka, kai apskritimo spindulys lygus atstumui nuo apskritimo centro iki tiesės a 2 a_2. Pagal atstumo nuo taško iki tiesės formulę * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ATSAKYTI

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} pateikta lygtimi a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Tada atstumas nuo taško M M iki tiesės l l nustatomas pagal formulę ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

Kokiomis parametro reikšmėmis a a veikia sistema

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ neturi sprendimų?

Pirmoji sistemos lygtis apibrėžia kvadratą A B C D ABCD plokštumoje x O y xOy (norėdami jį sukurti, svarstykime x ≥ 0 x\geq 0 ir y ≥ 0 y\geq 0 . Tada lygtis įgauna formą x + y = 1 x+y=1 Gauname atkarpą – tiesės x + y = 1 x+y=1 dalį, esančią pirmajame ketvirtyje. Toliau atspindime šį atkarpą O x Ox ašies atžvilgiu atspindi gautą aibę O y Oy ašies atžvilgiu (žr. 18 pav.). Antroji lygtis apibrėžia kvadratą P Q R S PQRS , lygus kvadratui A B C D ABCD , bet centre (- a ; - a) (-a;-a) . Fig. Kaip pavyzdys, 18 pav. parodytas šis kvadratas, kai a = - 2 a=-2. Sistema neturi sprendimų, jei šie du kvadratai nesikerta.

Nesunku pastebėti, kad jei atkarpos P Q PQ ir B C BC sutampa, tai antrojo kvadrato centras yra taške (1; 1) (1;1). Mums tinka tos a reikšmės, kuriose centras yra „viršuje“ ir „dešinėje“, t.y. $$a1$$.

ATSAKYTI

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Raskite visas parametro b b reikšmes, kurioms taikoma sistema

$$\begin(atvejai) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(atvejai) $$

turi bent vieną bet kurios a reikšmės sprendimą.

Panagrinėkime keletą atvejų.

1) Jei $$b2) Jei b = 0 b=0 , tada sistema įgauna formą $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Bet kuriai a a skaičių pora (0 ; 0) (0;0) yra šios sistemos sprendimas, todėl tinka b = 0 b=0.

3) Pataisykime kai kuriuos $$b>0$$. Pirmąją lygtį tenkina taškų aibė, gauta iš parabolės y = x 2 - b y=x^2-b, atspindint dalį šios parabolės O x Ox ašies atžvilgiu (žr. 19a, b pav.). Antroji lygtis apibrėžia tiesių šeimą (pakeitus skirtingas a a reikšmes, galite gauti visų rūšių tiesių, einančių per tašką (b ; 0) (b;0) , išskyrus vertikalią), einančių per tašką (b ; 0) (b;0) . Jei taškas (b ; 0) (b;0) yra atkarpoje [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscisių ašį, tada tiesė kerta bet kurio nuolydžio pirmosios funkcijos grafiką (19a pav.). Priešingu atveju (19b pav.) bet kuriuo atveju bus tiesi, kuri nesikerta šį tvarkaraštį. Išsprendę nelygybę - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) ir atsižvelgę ​​į tai, kad $$b>0$$, gauname, kad b ∈ (0 ; 1 ] b \ į ( 0;1] .

Sujungiame rezultatus: $$b \in $$.

ATSAKYTI

$$b \in $$

Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienai funkcija f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x turi bent vieną didžiausią tašką.

Išplėtę modulį, tai ir gauname

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(atvejai) $$

Kiekviename iš dviejų intervalų funkcijos y = f (x) y=f(x) grafikas yra parabolė su į viršų nukreiptomis šakomis.

Kadangi parabolės su į viršų nukreiptomis šakomis negali turėti didžiausių taškų, vienintelė galimybė yra ta, kad didžiausias taškas yra šių intervalų ribinis taškas – taškas x = a 2 x=a^2 . Šiuo metu bus maksimumas, jei parabolės y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 viršūnė patenka į intervalą $$x>a^2$$, ir parabolės viršūnė y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - intervalui $$x\lt a^2$$ (žr. 20 pav.). Šią sąlygą pateikia nelygybės ir $$2 \gt a^2$$ ir $$1 \lt a^2$$, išsprendę, kad a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ATSAKYTI

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Raskite visas a reikšmes, kiekvienai iš jų bendrus sprendimus nelygybės

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a ir y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

yra nelygybės sprendimai

$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Norint naršyti situaciją, kartais naudinga atsižvelgti į vieną parametro reikšmę. Padarykime brėžinį, pavyzdžiui, jei a = 0 a=0 . Nelygybes (20) (tiesą sakant, kalbame apie nelygybių (20) sistemą) tenkina kampo B A C BAC taškai (žr. 21 pav.) – taškai, kurių kiekvienas yra virš abiejų tiesių y = - 2 x y=-2x ir y = x y =x (arba šiose eilutėse). Nelygybę (21) tenkina taškai, esantys virš tiesės y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Matyti, kad kai a = 0 a=0 uždavinio sąlyga netenkinama.

Kas pasikeis, jei pasirinksime kitą parametro a a reikšmę? Kiekviena iš tiesių judės ir virs sau lygiagrečia linija, nes linijų kampiniai koeficientai nepriklauso nuo a. Kad uždavinio sąlyga būtų įvykdyta, visas kampas B A C BAC turi būti virš tiesės l l . Kadangi tiesių A B AB ir A C AC kampiniai koeficientai absoliučia verte yra didesni už tiesės l l kampinį koeficientą, būtina ir pakanka, kad kampo viršūnė būtų virš tiesės l l .

Lygčių sistemos sprendimas

$$\begin(cases) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

raskite taško A koordinates (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Jie turi atitikti nelygybę (21), taigi $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, iš kur $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ATSAKYTI

$$a>\dfrac(9)(8)$$

Olga Otdelkina, 9 klasės mokinė

Ši tema yra neatsiejama tyrimo dalis mokyklos kursas algebra. Šio darbo tikslas – nuodugniau išnagrinėti šią temą, atpažinti labiausiai racionalus sprendimas, greitai veda prie atsakymo. Šis rašinys padės kitiems studentams suprasti grafinio metodo naudojimą sprendžiant lygtis su parametrais, sužinoti apie šio metodo kilmę ir raidą.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Įvadas2

1 skyrius. Lygtys su parametru

Lygčių su parametru3 atsiradimo istorija

Vietos teorema4

Pagrindinės sąvokos5

2 skyrius. Lygčių su parametrais tipai.

Tiesinės lygtys6

Kvadratinės lygtys………………………………………………………………......7

3 skyrius. Lygčių su parametru sprendimo metodai

Analizės metodas………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Grafinis metodas. Kilmės istorija………………………………9

Sprendimo algoritmas grafinis metodas..…………….....…………….10

Modulio lygties sprendimas………………………………………………….11

Praktinė dalis……………………………………………………………12

Išvada…………………………………………………………………………………….19

Literatūra……………………………………………………………………………………………

Įvadas.

Pasirinkau šią temą, nes ji yra neatskiriama mokyklinio algebros kurso dalis. Maisto gaminimas šis darbas, išsikėliau tikslą giliau išnagrinėti šią temą, nustatyti racionaliausią sprendimą, kuris greitai atveda prie atsakymo. Mano rašinys padės kitiems studentams suprasti grafinio metodo naudojimą sprendžiant lygtis su parametrais, sužinoti apie šio metodo kilmę ir raidą.

IN šiuolaikinis gyvenimas studijuoja daug fiziniai procesai o geometriniai raštai dažnai veda prie parametrų problemų sprendimo.

Norint išspręsti tokias lygtis, grafinis metodas yra labai efektyvus, kai reikia nustatyti, kiek šaknų lygtis turi priklausomai nuo parametro α.

Problemos, susijusios su parametrais, yra tik matematiškai svarbios ir prie jų prisideda intelektualinis vystymasis mokiniai, tarnauja gera medžiaga praktikuoti įgūdžius. Jie turi diagnostinę vertę, nes jais galima patikrinti žinias apie pagrindines matematikos šakas, matematikos lygį ir loginis mąstymas, pradiniai įgūdžiai mokslinę veiklą ir perspektyvios galimybės sėkmingai įsisavinti matematikos kursą aukštosiose mokyklose.

Mano rašinyje aptariamos dažnai sutinkamos lygčių rūšys ir tikiuosi, kad darbo metu įgytos žinios padės man išlaikyti mokykliniai egzaminai, juklygtys su parametraisyra pagrįstai laikomi viena iš sunkiausių mokyklinės matematikos problemų. Būtent tokios užduotys patenka į singlo užduočių sąrašą valstybinis egzaminas Vieningas valstybinis egzaminas.

Lygčių su parametru atsiradimo istorija

Su lygčių su parametru problemomis jau buvo susidurta astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) apibūdino bendroji taisyklė sprendžiant kvadratines lygtis, redukuotas į vieningą kanoninė forma:

αx 2 + bx = c, α>0

Koeficientai lygtyje, išskyrus parametrą, taip pat gali būti neigiamas.

Al-Khwarizmi kvadratinės lygtys.

Al-Khorezmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių su parametru a klasifikaciją. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty αx 2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty αx 2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty αx = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty αx 2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty αx 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c = αx 2 .

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal al-Khwarizmi Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci.

Kvadratinės lygties su parametru in formulės išvedimas bendras vaizdas Vieta turi, bet Vieta tik atpažino teigiamų šaknų. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XII a. atsižvelgti, be teigiamų, ir neigiamos šaknys. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgavo šiuolaikinę formą.

Vietos teorema

Vietos vardu pavadintą teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties parametrų, koeficientų ir jos šaknų, jis pirmą kartą suformulavo 1591 m. taip: „Jei b + d padauginus iš α atėmus α 2 , yra lygus bc, tada α yra lygus b ir lygus d.

Norėdami suprasti Vietą, turėtume prisiminti, kad α, kaip ir bet kuri balsių raidė, reiškė nežinomybę (mūsų x), o balsės b, d yra nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vieta formuluotė reiškia:

Jei yra

(α + b)x - x 2 = αb,

Tai yra, x 2 - (α -b)x + αb =0,

tada x 1 = α, x 2 = b.

Išreiškiantis ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendrosios formulės parašyta naudojant simbolius, Vieta nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vieto simbolika dar toli moderni išvaizda. Jis neprisipažino neigiami skaičiai ir todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys buvo teigiamos.

Pagrindinės sąvokos

Parametras - nepriklausomas kintamasis, kurio reikšmė laikoma fiksuota arba bet koks skaičius, arba numerį, priklausantį duota sąlyga užduotis tarp jų.

Lygtis su parametru– matematinėlygtis, išvaizda ir kurio sprendimas priklauso nuo vieno ar kelių parametrų reikšmių.

Nuspręskite lygtis su kiekvienos reikšmės parametrų vidurkiuRaskite x reikšmes, kurios tenkina šią lygtį, taip pat:

1. 1. Ištirkite, kokiose parametrų reikšmėse lygtis turi šaknis ir kiek jų yra ties skirtingos reikšmės parametrus.
2. 2. Raskite visas šaknų išraiškas ir kiekvienai iš jų nurodykite tas parametrų reikšmes, kuriose ši išraiška iš tikrųjų nustato lygties šaknį.

Apsvarstykite lygtį α(x+k)= α +c, kur α, c, k, x yra kintamieji dydžiai.

Kintamųjų α, c, k, x leistinų verčių sistemayra bet kokia kintamųjų reikšmių sistema, kurioje tiek kairioji, tiek dešinė šios lygties pusės turi tikrąsias reikšmes.

Tegul A yra visų leistinų α reikšmių rinkinys, K - visų leistinų k reikšmių rinkinys, X - visų leistinų x reikšmių rinkinys, C - visų c leistinų reikšmių rinkinys. Jei kiekvienai iš aibių A, K, C, X atitinkamai pasirenkame ir fiksuojame po vieną reikšmę α, k, c ir pakeičiame jas į lygtį, tai gauname x lygtį, t.y. lygtis su vienu nežinomu.

Kintamieji α, k, c, kurie sprendžiant lygtį laikomi pastoviais, vadinami parametrais, o pati lygtis – lygtimi, kurioje yra parametrų.

Parametrai žymimi pirmosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė: α, b, c, d, …, k, l, m, n ir nežinomieji – raidėmis x, y, z.

Vadinamos dvi lygtys, turinčios tuos pačius parametrus lygiavertis, jei:

a) jie turi prasmę toms pačioms parametrų reikšmėms;

b) kiekvienas pirmosios lygties sprendimas yra antrosios lygties sprendimas ir atvirkščiai.

Lygčių su parametrais tipai

Lygtys su parametrais yra: tiesinės ir kvadratas.

1) Tiesinė lygtis. Bendras vaizdas:

α x = b, kur x nežinomas;α, b – parametrai.

Šiai lygčiai specialus arba kontrolinė vertė parametras yra tas, kuriam esant nežinomo koeficientas išnyksta.

Sprendžiant tiesinė lygtis su parametru, nagrinėjami atvejai, kai parametras yra lygus jo ypatingai reikšmei ir skiriasi nuo jo.

Ypatinga parametro α reikšmė yra reikšmėα = 0.

1.Jei ir ≠0, tada bet kuriai parametrų poraiα ir b jis turi unikalų sprendimą x = .

2.Jei ir =0, tada lygtis įgauna formą:0 x = b . Šiuo atveju vertė b = 0 yra ypatingą reikšmę parametras b.

2.1. Prie b ≠ 0 lygtis neturi sprendinių.

2.2. Prie b =0 lygtis bus tokia:0 x =0.

Sprendimu duota lygtis yra bet koks tikrasis skaičius.

Kvadratinė lygtis su parametru.

Bendras vaizdas:

α x 2 + bx + c = 0

kur parametras α ≠0, b ir c - savavališki skaičiai

Jei α =1, tada lygtis vadinama sumažinta kvadratine lygtimi.

Kvadratinės lygties šaknys randamos naudojant formules

Išraiška D = b 2 - 4 α c vadinamas diskriminantu.

1. Jei D> 0, lygtis turi dvi skirtingas šaknis.

2. Jei D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Jei D = 0, lygtis turi dvi lygias šaknis.

Lygčių su parametru sprendimo būdai:

1. Analitinis – metodas tiesioginis sprendimas, kartojant standartines procedūras ieškant atsakymo lygtyje be parametrų.
2. Grafika - priklausomai nuo problemos sąlygų, atitinkamo grafiko padėtis kvadratinė funkcija koordinačių sistemoje.

Analitinis metodas

Sprendimo algoritmas:

1. Prieš pradėdami spręsti parametrų problemą analitinis metodas, turite suprasti situaciją konkrečiai skaitinė reikšmė parametras. Pavyzdžiui, paimkite parametro reikšmę α =1 ir atsakykite į klausimą: ar šiai užduočiai reikalinga parametro reikšmė α =1.

1 pavyzdys. Išspręskite santykinai X tiesinė lygtis su parametru m:

Pagal uždavinio reikšmę (m-1)(x+3) = 0, tai yra m= 1, x = -3.

Abi lygties puses padauginę iš (m-1)(x+3), gauname lygtį

Mes gauname

Vadinasi, esant m = 2,25.

Dabar turime patikrinti, ar yra kokių nors m reikšmių

rasta x reikšmė yra -3.

išsprendę šią lygtį, nustatome, kad x yra lygus -3, kai m = -0,4.

Atsakymas: kai m=1, m =2,25.

Grafinis metodas. Kilmės istorija

Studijuoti bendros priklausomybės prasidėjo XIV amžiuje. Viduramžių mokslas buvo mokslinis. Dėl šios prigimties neliko vietos kiekybinių priklausomybių tyrinėjimui, buvo kalbama tik apie objektų savybes ir jų tarpusavio ryšius. Tačiau tarp scholastų atsirado mokykla, kuri teigė, kad savybės gali būti daugiau ar mažiau intensyvios (į upę įkritusio žmogaus apranga yra drėgnesnė nei to, kurį ką tik pateko į lietų).

prancūzų mokslininkas Nikolajus Oresme intensyvumą pradėjo vaizduoti segmentų ilgiais. Kai jis pastatė šias atkarpas statmenai tam tikrai tiesei, jų galai suformavo liniją, kurią jis pavadino „intensyvumo linija“ arba „viršutinio krašto linija“ (atitinkamos funkcinės priklausomybės grafikas Oresme netgi tyrinėjo „plokštumą“. “ ir „fizines“ savybes, t. y. funkcijas, priklausomai nuo dviejų ar trijų kintamųjų.

Svarbus Oresme pasiekimas buvo jo bandymas klasifikuoti gautus grafikus. Jis nustatė tris savybių tipus: vienodą (su pastovaus intensyvumo), vienodą-nelygią (su pastovus greitis intensyvumo pokyčiai) ir netolygus-nelygus (visi kiti), taip pat būdingos savybės tokių savybių grafikai.

Norint sukurti matematinį aparatą funkcijų grafikui tirti, prireikė kintamojo sąvokos. Šią sąvoką į mokslą įvedė prancūzų filosofas ir matematikas Renė Dekartas (1596-1650). Tai buvo Dekartas, kuris atėjo į idėjas apie algebros ir geometrijos vienovę ir vaidmenį kintamieji, Dekartas pristatė fiksuotą vieneto segmentas ir pradėjo svarstyti apie kitų segmentų santykį su juo.

Taigi, funkcijų grafikai per visą jų egzistavimo laikotarpį patyrė daugybę esminių transformacijų, dėl kurių jie tapo tokia forma, prie kurios esame įpratę. Kiekvienas funkcijų grafikų kūrimo etapas ar etapas yra neatsiejama šiuolaikinės algebros ir geometrijos istorijos dalis.

Grafinis lygties šaknų skaičiaus nustatymo metodas, priklausomai nuo į jį įtraukto parametro, yra patogesnis nei analitinis.

Sprendimo algoritmas grafiniu metodu

Funkcijos grafikas - taškų, kuriuoseabscisėyra galiojančios argumentų reikšmės, A ordinatės- atitinkamos reikšmėsfunkcijas.

Algoritmas grafinis sprendimas lygtys su parametru:

1. Raskite lygties apibrėžimo sritį.
2. Išreiškiame α kaip x funkcija.
3. Koordinačių sistemoje sudarome funkcijos grafikąα (x) toms x reikšmėms, kurios yra įtrauktos į šios lygties apibrėžimo sritį.
4. Tiesės susikirtimo taškų radimasα =с, su funkcijos grafiku

α(x). Jei tiesė α =с kerta grafikąα (x), tada nustatome susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, pakanka išspręsti lygtį c = α (x) palyginti su x.

1. Užsirašykite atsakymą

Spręsti lygtis su moduliu

Grafiškai sprendžiant lygtis su moduliu, turinčiu parametrą, reikia sudaryti funkcijų grafikus ir skirtingos reikšmės parametras, kad būtų atsižvelgta į visus galimus atvejus.

Pavyzdžiui, │x│= a,

Atsakymas: jei a < 0, то нет корней, a > 0, tai x = a, x = - a, jei a = 0, tai x = 0.

Problemų sprendimas.

1 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?| | x | - 2 | =a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus | x | - 2 | ir y = a . Funkcijos y = | grafikas | x | - 2 | parodyta paveiksle.

Funkcijos y = grafikasα a = 0).

Iš grafiko matyti, kad:

Jei a = 0, tai tiesė y = a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką | x | - 2 | du bendri taškai; Tai reiškia, kad pradinė lygtis turi dvi šaknis (in šiuo atvejušaknis galima rasti: x 1,2 = + 2).
Jei 0< a < 2, то прямая y = α turi su funkcijos y = | grafiku | x | - 2 | keturi bendri taškai, todėl pradinė lygtis turi keturias šaknis.
Jeigu a = 2, tada tiesė y = 2 turi tris bendrus taškus su funkcijos grafiku. Tada pradinė lygtis turi tris šaknis.
Jeigu a > 2, tada tiesė y = a turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis.

Atsakymas: jei a < 0, то корней нет;
jei a = 0, a > 2, tai yra dvi šaknys;
jei a = 2, tada yra trys šaknys;
jei 0< a < 2, то четыре корня.

2 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?| x 2 - 2| x | - 3 | =a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus x 2 - 2| x | - 3 | ir y = a.

Funkcijos y = | grafikas x 2 - 2| x | - 3 | parodyta paveiksle. Funkcijos y = grafikasα yra tiesi linija, lygiagreti su Ox arba sutampanti su juo (kai a = 0).

Iš grafiko galite pamatyti:

Jei a = 0, tai tiesė y = a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką x2 - 2| x | - 3 | du bendri taškai, taip pat tiesė y = a turės su funkcijos y = | grafiku x 2 - 2| x | - 3 | du bendri taškai a > 4. Taigi, jei a = 0 ir a > 4 pradinė lygtis turi dvi šaknis.
Jei 0< a< 3, то прямая y = a turi su funkcijos y = | grafiku x 2 - 2| x | - 3 | keturi bendri taškai, taip pat tiesė y= a turės keturis bendrus taškus su sukurtos funkcijos at grafiku a = 4. Taigi, esant 0< a < 3, a = 4 pradinė lygtis turi keturias šaknis.
Jeigu a = 3, tada tiesė y = a kerta funkcijos grafiką penkiuose taškuose; todėl lygtis turi penkias šaknis.
Jei 3< a< 4, прямая y = α šešiuose taškuose susikerta sukonstruotos funkcijos grafiką; Tai reiškia, kad šioms parametrų reikšmėms pradinė lygtis turi šešias šaknis.
Jeigu a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nekerta funkcijos y = | grafiko x 2 - 2| x | - 3 |.

Atsakymas: jei a < 0, то корней нет;
jei a = 0, a > 4, tai yra dvi šaknys;
jei 0< a < 3, a = 4, tada yra keturios šaknys;

jei a = 3, tada penkios šaknys;
jei 3< a < 4, то шесть корней.

3 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?

priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Sukurkime funkcijos grafiką koordinačių sistemoje (x; y)

bet pirmiausia pateiksime jį tokia forma:

Tiesės x = 1, y = 1 yra funkcijos grafiko asimptotės. Funkcijos y = | grafikas x | + a gautas iš funkcijos y = | grafiko x | poslinkis vienetais išilgai Oy ašies.

Funkcijų grafikai susikerta viename taške a > - 1; Tai reiškia, kad (1) šių parametrų verčių lygtis turi vieną sprendimą.

Kai a = - 1, a = - 2 grafikai susikerta dviejuose taškuose; Tai reiškia, kad šioms parametrų reikšmėms (1) lygtis turi dvi šaknis.
-2 val< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Atsakymas: jei a > - 1, tada vienas sprendimas;
jei a = - 1, a = - 2, tada yra du sprendiniai;
jei - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

komentuoti. Sprendžiant uždavinio lygtį ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas atvejams, kai a = - 2, nes taškas (- 1; - 1) nepriklauso funkcijos grafikuibet priklauso funkcijos y = | grafikui x | + a.

4 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?

x + 2 = a | x - 1 |

priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad x = 1 nėra šios lygties šaknis, nes lygybė 3 = a 0 negali būti teisinga jokiai parametro vertei a . Abi lygties puses padalinkime iš | x - 1 |(| x - 1 |0), tada lygtis įgauna formąKoordinačių sistemoje xOy nubraižysime funkciją

Šios funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje. Funkcijos y = grafikas a yra tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai arba su ja sutampanti (jei a = 0).