Tarp visos įvairovės logaritmines nelygybes Nelygybės su kintamaisiais pagrindais tiriamos atskirai. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.
Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka surasti plotą priimtinos vertės. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žr. „Kas yra logaritmas“.
Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti užrašoma ir išspręsta atskirai:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su sprendimu racionalioji nelygybė- ir atsakymas paruoštas.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ:
Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinė turės būti išrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas lygus nuliui jei ir tik pats skaičius yra nulis, turime:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:
Mes pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą. Turime:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.
Šios išraiškos nuliai yra: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Turime:
Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.
Logaritminių nelygybių konvertavimas
Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:
- Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
- Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.
Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra schema logaritminių nelygybių sprendimai yra tokie:
- Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA;
- Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
- Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO):
Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Tada - vardiklio nuliai:
x − 1 = 0;
x = 1.
Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite manimi, galite tai patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:
Kaip matote, trys prie pagrindo ir prieš logaritmą buvo sumažinti. Gavome du logaritmus su tuo pačiu pagrindu. Sudėkime juos:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų naudodami formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, gaunama racionali išraiška taip pat turėtų būti mažiau nei nulis. Turime:
(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Gavome du komplektus:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Kandidatas į atsakymą: x ∈ (−1; 3).
Belieka susikirsti šias aibes - mes gauname tikrą atsakymą:
Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.
NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NETYBINGUMAI
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji akademija mokslai Kazachstano Respublikos studentams „Iskatel“
MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. sovietinis Sovetskio rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ mokytoja
Sovetskio rajonas
Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomių faktų logaritmas
Tyrimo objektas:
3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas…………………………………………………………………………………….4
1 skyrius. Problemos istorija…………………………………………………………5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrinti intervalo metodas…………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas………………………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas………………................................................ .............. 22
2.4. Užduotys su spąstais………………………………………………………27
Išvada………………………………………………………………………………… 30
Literatūra……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kur specializuotas dalykas yra matematika. Štai kodėl aš daug dirbu su C dalies problemomis. Užduotyje C3 reikia išspręsti nestandartinė nelygybė arba nelygybių sistema, dažniausiai siejama su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie tiriami mokyklos mokymo programašia tema, nesuteikia pagrindo spręsti C3 uždavinius. Matematikos mokytoja man pasiūlė savarankiškai atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar gyvenime susiduriame su logaritmais?
Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:
„Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“
Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomius faktus apie logaritmą.
Tyrimo objektas:
1) Rasti reikalinga informacija O nestandartiniai metodai logaritminių nelygybių sprendiniai.
2) Rasti papildomos informacijos apie logaritmus.
3) Išmokite apsispręsti konkrečias užduotis C3 naudojant nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, klubuose, popamokinė veikla matematikoje.
Projekto produktas bus kolekcija „C3 logaritminės nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Fonas
Visą XVI amžių apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Prietaisų tobulinimas, planetų judėjimo tyrimas ir kiti darbai reikalavo kolosalinių, kartais ir daugiamečių skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle prireikė lentelių sudėtines palūkanas Už skirtingos reikšmės procentų. Pagrindinis sunkumas buvo daugyba, dalyba kelių skaitmenų skaičius, ypač trigonometriniai dydžiai.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas progresijų savybėmis, kurios buvo gerai žinomos iki XVI amžiaus pabaigos. Apie narių ryšį geometrinė progresija q, q2, q3, ... ir aritmetinė progresija jų rodikliai yra 1, 2, 3,... Archimedas kalbėjo savo „Psalmityje“. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamą ir trupmeniniai rodikliai. Daugelis autorių pažymėjo, kad daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas geometrine progresija atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.
Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Bürgi (1552–1632). Abu norėjo duoti naują patogią priemonę aritmetiniai skaičiavimai, nors į šią užduotį jie žiūrėjo skirtingai. Napier kinematiskai išreiškė logaritminę funkciją ir taip įtraukė nauja sritis funkcijos teorija. Bürgi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis atsirado dėl derinio Graikiški žodžiai: logotipai - „ryšys“ ir ariqmo - „skaičius“, o tai reiškė „ryšių skaičių“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīges- dirbtiniai skaičiai“, priešingai numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.
1615 m., kalbėdamasis su Henry Briggsu (1561-1631), Gresh koledžo Londone matematikos profesoriumi, Napier pasiūlė nulį laikyti vieneto logaritmu, o 100 - dešimties logaritmu, arba kas yra tas pats. dalykas, tiesiog 1. Taip jie atsirado dešimtainiai logaritmai ir buvo išspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos entuziastas Adrianas Flakas (1600-1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei visi kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kitos – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Sąvoką „natūralus logaritmas“ 1659 m. įvedė Mengoli, o 1668 m. pasekė N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių natūraliųjų logaritmų lenteles nuo 1 iki 1000 pavadinimu „Naujieji logaritmai“.
Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. Bet visuose logaritmines lenteles skaičiavimuose buvo padaryta klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu pritaikymu analitinė geometrija ir begalinis skaičiavimas. Iki to laiko ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadrato ir natūralusis logaritmas. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė
„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje ln(x+1) išplėtimas
x laipsniai:
Šis posakis tiksliai atitinka jo minčių eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne d, ... ženklus, o gremėzdiškesnę simboliką. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. Jo paskaitose" Elementarioji matematika Su aukščiausias taškas vizija“, skaitytas 1907-1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos konstravimo atskaitos tašką.
3 etapas
Apibrėžimas logaritminė funkcija kaip atvirkštinė funkcija
eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas
buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707–1783) esė
„Įvadas į begalinių mažų dydžių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo toliau.
logaritminių funkcijų teorijos kūrimas. Taigi,
Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys
2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
, jei a > 1
, jei 0 <
а <
1
Apibendrintas intervalo metodas
Šis metodas universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Atveskite nelygybę į formą, kurioje yra funkcija kairėje pusėje 
, o dešinėje 0.
2. Raskite funkcijos sritį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra, išspręskite lygtį 
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Skaičių eilutėje nubrėžkite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kuriuose veikia funkcija reikalingos vertės, ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime intervalų metodą
kur
Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritminiais ženklais yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-oji būdu . ADL lemia nelygybė x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname
Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išplėtimo taisykles, t.y. koeficientus lyginant su nuliu. Tačiau į šiuo atveju lengva nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus
todėl galima taikyti intervalų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovaus ženklo intervalus f(x):
Atsakymas:
2-as metodas . Pradinei nelygybei tiesiogiai pritaikykime intervalo metodo idėjas.
Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė ties x> 3 yra tolygus nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė išspręsta naudojant intervalų metodą
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime intervalų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 tikrai x, Tai
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą
tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.
Iš kur, nes
gauname nelygybę
kuris atliekamas, kai x, kuriam 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui
arba
Naudokime intervalų metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė lygi sistemai
Leiskite
Tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba, atsiskleidžiant
kvadratinis trinaris pagal veiksnius,
Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.
Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:
Taigi, nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybė nebuvo sprendžiama racionalizacijos metodu. Tai yra „naujas modernus“ efektyvus metodas eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimai“ (citata iš S.I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė – ar jis jį pažinojo? Vieningo valstybinio egzamino ekspertas, kodėl jos neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai – 2?
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra gaires, susietas su šiuo metodu, ir „Išsamiausiuose leidimuose tipiniai variantai...“ Sprendimas C3 naudoja šį metodą.
NUOSTABUS METODAS!
"Stebuklingas stalas"
Kituose šaltiniuose
Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;
Jeigu a >1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada įrašykite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)>0. Atliktas samprotavimas paprastas, tačiau žymiai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys.
log x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1)(x-1), o vietoj skaitiklio rašome sandaugą (x-1)(x-3-9 + x). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Padarykim pakaitalą y=3 x -1; tada ši nelygybė įgaus formą Log 4 log 0,25 Nes log 0,25 Padarykime pakeitimą t =log 4 y ir gausime nelygybę t 2 -2t +≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprastų nelygybių rinkinį Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui, Šios aibės pirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė lygi sistemai Antrosios nelygybės, apibrėžiančios ODZ, sprendimas bus tų rinkinys x,
už kurį x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, atliekame pakeitimą Tada gauname nelygybę arba Metodu randama paskutinės nelygybės sprendinių aibė intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, gauname arba Daug tų x, kurios tenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x> 0), todėl yra sistemos sprendimas, taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstais. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Nelygybės ODZ visi x atitinka sąlygą 0 2 pavyzdys.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Atsakymas. (0; 0,5) U.
Atsakymas :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada paskutinę nelygybę perrašome į 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šios aibės sprendimas yra intervalai 0<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra agregatai 
. Taigi pradinė nelygybė tenkinama visoms x reikšmėms iš intervalų 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Todėl visi x yra iš intervalo 0
Išvada
Iš daugybės įvairių mokymo šaltinių nebuvo lengva rasti konkrečius metodus C3 uždaviniams spręsti. Atliekant darbą galėjau išstudijuoti nestandartinius kompleksinių logaritminių nelygybių sprendimo metodus. Tai: ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizacijos metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šie metodai neįtraukti į mokyklos mokymo programą.
Naudodamas skirtingus metodus išsprendžiau 27 vieningo valstybinio egzamino C dalyje pasiūlytas nelygybes, būtent C3. Šios nelygybės su sprendiniais metodais sudarė pagrindą rinkiniui „C3 Logaritminės nelygybės su sprendimais“, kuris tapo mano veiklos projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: C3 problemas galima efektyviai išspręsti, žinant šiuos metodus.
Be to, atradau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano projekto produktai bus naudingi tiek mokiniams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi projekto tikslas pasiektas ir problema išspręsta. Ir gavau pačią pilniausią ir įvairiausią projektinės veiklos patirtį visuose darbo etapuose. Vykdant projektą, mano pagrindinis lavinimo poveikis buvo protinė kompetencija, veikla, susijusi su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos, asmeninės iniciatyvos, atsakomybės, atkaklumo, aktyvumo ugdymas.
Sėkmės garantas kuriant tyrimo projektą Įgijau: didelę mokyklinę patirtį, gebėjimą gauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, reitinguoti pagal svarbą.
Be tiesioginių dalykinių matematikos žinių, praplėčiau savo praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijau naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgiau ryšius su bendramoksliais, išmokau bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Projekto veiklų metu buvo ugdomi organizaciniai, intelektualiniai ir komunikaciniai bendrieji ugdymosi įgūdžiai.
Literatūra
1. Korjanovas A. G., Prokofjevas A. A. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos (standartinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.
3. Samarova S. S. Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys redagavo A.L. Semenovas ir I. V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri kažkodėl retai mokoma mokykloje. Pristatyme pateikiami matematikos Vieningo valstybinio egzamino - 2014 uždavinių C3 sprendimai.
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Logaritminių nelygybių, turinčių kintamąjį logaritmo bazėje, sprendimas: metodai, metodai, lygiaverčiai perėjimai, matematikos mokytoja, 143 vidurinė mokykla Knyazkina T. V.
Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl tam tikrų priežasčių retai mokoma mokykloje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi. Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Nepamirškite logaritmo ODZ! Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas.
Išspręskite nelygybę: Sprendimas Pirmiausia išrašykime logaritmo OD Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinę reikės užrašyti. Kadangi skaičiaus kvadratas lygus nuliui tada ir tik tada, kai pats skaičius lygus nuliui, gauname: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę: pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionaliosios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą.
Turime: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Logaritminių nelygybių transformavimas Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles. Būtent: bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su tam tikra baze; Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu. Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia: Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA; Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules; Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.
Išspręskite nelygybę: Sprendimas Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO): Išspręskite intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Tada - vardiklio nuliai: x − 1 = 0; x = 1. Koordinačių tiesėje pažymėkite nulius ir ženklus:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite manimi, galite tai patikrinti. Dabar transformuokime antrąjį logaritmą taip, kad bazėje būtų du: Kaip matote, trejetukai prie pagrindo ir priešais logaritmą buvo atšaukti. Gavome du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkite juos: log 2 (x − 1) 2
(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)
Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi taškai pradurti. Atsakymas: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
C3 tipo USE-2014 užduočių sprendimas
Išspręskite nelygybių sistemą Sprendimas. ODZ: 1) 2)
Išspręskite nelygybių sistemą 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (tęsinys)
Išspręskite nelygybių sistemą 4) Bendras sprendimas: ir -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (tęsinys)
Išspręskite nelygybę (tęsinys) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ:
Išspręskite nelygybę (tęsinys)
Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Pamoka apie vieną nelygybę lavina tyrinėjimo įgūdžius, žadina mokinių mintis, ugdo intelektą, didina mokinių susidomėjimą darbu. Geriausia jį atlikti, kai studentai yra įsisavinę reikiamas sąvokas ir išanalizavę tam tikrus logaritminių nelygybių sprendimo būdus. Šioje pamokoje mokiniai aktyviai dalyvauja ieškant sprendimo.
Pamokos tipas
. Pamoka, kaip pritaikyti žinias, įgūdžius, gebėjimus naujoje situacijoje. (Studijos medžiagos sisteminimo ir apibendrinimo pamoka).Pamokos tikslai
:- edukacinis : ugdyti įgūdžius ir gebėjimus įvairiais būdais spręsti nurodyto tipo logaritmines nelygybes; mokyti savarankiškai įgyti žinių (pačių mokinių veikla studijuojant ir įsisavinant mokomosios medžiagos turinį);
- besivystantis : kalbos raidos darbas;
- mokyti analizuoti, išryškinti pagrindinį dalyką, įrodyti ir paneigti logiškas išvadas; edukacinis
: moralinių savybių formavimas, humaniški santykiai, tikslumas, disciplina, savigarba, atsakingas požiūris į tikslo siekimą.
Pamokos eiga.
1. Organizacinis momentas.
Darbas žodžiu.
2. Namų darbų tikrinimas.
Užrašykite šiuos sakinius matematine kalba: „Skaičiai a ir b yra toje pačioje vieneto pusėje“, „Skaičiai a ir b yra priešingose vieneto pusėse“ ir įrodykite gautas nelygybes. (Vienas iš mokinių iš anksto paruošė sprendimą lentoje).
3. Praneškite apie pamokos temą, jos tikslus ir uždavinius.
Nagrinėjant matematikos stojamųjų egzaminų variantus, galima pastebėti, kad iš logaritmų teorijos egzaminuose dažnai susiduriama su logaritminėmis nelygybėmis, turinčiomis kintamąjį po logaritmu ir logaritmo pagrindu. Mūsų pamoka yra, vienos nelygybės pamoka turintis kintamąjį po logaritmu ir logaritmo pagrindu,
sprendžiami įvairiais būdais. Sakoma, kad geriau išspręsti vieną nelygybę, bet skirtingais būdais, nei kelias nelygybes tuo pačiu būdu. Iš tiesų, jūs turėtumėte turėti galimybę patikrinti savo sprendimus. Nėra geresnio testo, kaip išspręsti problemą kitaip ir gauti tą patį atsakymą (galite pasiekti tas pačias sistemas, tas pačias nelygybes, lygtis skirtingais būdais). Tačiau ne tik šio tikslo siekiama įvairiai sprendžiant užduotis. Įvairių sprendimų paieška, visų įmanomų atvejų svarstymas, kritiškas jų vertinimas, siekiant išryškinti racionaliausią ir gražiausią, yra svarbus matematinio mąstymo ugdymo veiksnys, vedantis nuo šablono. Todėl šiandien išspręsime tik vieną nelygybę, tačiau bandysime rasti kelis jos sprendimo būdus.< 0.
4. Kūrybiškas žinių pritaikymas ir įgijimas, veiklos metodų įsisavinimas sprendžiant problemines problemas, pastatytas remiantis anksčiau įgytomis žiniomis ir įgūdžiais sprendžiant nelygybės log x (x 2 – 2x – 3)
Štai šios nelygybės sprendimas, paimtas iš vieno egzamino darbo. Atidžiai peržiūrėkite jį ir pabandykite išanalizuoti sprendimą. (Nelygybės sprendimas iš anksto užrašomas lentoje)< log x 1;
log x (x 2 – 2x – 3) a)< 1;
x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 0;
x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 - 2x - 4
x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;
c) sistemos sprendimas
Tai ne lygtis, o nelygybė, todėl pereinant nuo logaritminės nelygybės prie racionaliosios, nelygybės ženklas priklausys nuo logaritmo pagrindo ir logaritminės funkcijos monotoniškumo.
Priėmus tokį sprendimą, galima įgyti pašalinių sprendimų arba prarasti sprendimus ir gali būti, kad neteisingai apsisprendus, bus gautas teisingas atsakymas.
Taigi kaip reikėjo išspręsti šią nelygybę, kurioje kintamasis yra po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindu?!
Ši nelygybė prilygsta dviejų nelygybių sistemų deriniui.
Pirmoji nelygybių sistema neturi sprendimų.
Nelygybių sistemos sprendimas bus
Egzamino darbo pasiūlytame nelygybės sprendime atsakymas buvo teisingas. Kodėl?
Galimi mokinių atsakymai:
Kadangi funkcijos apibrėžimo sritis kairėje nelygybės pusėje susideda iš skaičių, didesnių nei 3, todėl funkcija y = log x t didėja. Todėl atsakymas pasirodė teisingas.
Kaip egzamino darbe buvo galima užrašyti matematiškai teisingą sprendimą?
II metodas.
Raskime funkcijos apibrėžimo sritį kairėje nelygybės pusėje, o tada, atsižvelgdami į apibrėžimo sritį, nagrinėkime tik vieną atvejį
Kaip kitaip galima išspręsti šią nelygybę? Kokias formules galima naudoti?
Perėjimo į naują bazę formulė a > 0, a 1
III metodas.
IV metodas.
Ar galima pačiai nelygybei pritaikyti faktą, kad logaritmas mažesnis už nulį?
Taip. Išraiška pagal logaritmą ir logaritmo pagrindas yra priešingose pusėse, bet yra teigiamos!
Tai yra, mes vėl gauname tą patį dviejų nelygybių sistemų rinkinį:
Visi svarstomi metodai veda į dviejų nelygybių sistemų derinį. Visais atvejais gaunamas tas pats atsakymas. Visi metodai yra teoriškai pagrįsti.
Klausimas mokiniams: Kaip manote, kodėl namų darbuose buvo užduotas klausimas, nesusijęs su 11 klasėje mokoma medžiaga?
Žinodami logaritmo savybes, kad log a b< 0 , Jei a Ir b priešingose 1 pusėse,
log a b > 0 jei a Ir b vienoje 1 pusėje galite gauti labai įdomų ir netikėtą būdą išspręsti nelygybę. Apie šį metodą rašoma žurnalo „Kvantas“ Nr.10 straipsnyje „Kai kurie naudingi logaritminiai ryšiai“, skirtame 1990 m.
log g(x) f(x) > 0, jei
log g(x) f(x)< 0, если
(Kodėl sąlyga g(x) 1 nebūtina rašyti?)
Nelygybės sprendimas log x (x 2 – 2x – 3)< 0 atrodo taip:
log x (x 2 – 2x – 3) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1) (x 2 – 2x – 4)< 0;
c) nelygybės sistemos sprendimas
VI metodas.
Intervalinis metodas. („Logaritminių nelygybių sprendimas intervalų metodu“ – tai kitos pamokos tema).
5. Atlikto darbo rezultatas.
1. Kokiais būdais buvo sprendžiama nelygybė? Kiek būdų tai išspręsti
Ar radome nelygybių?
2. Kuris yra racionaliausias? Gražus?
3. Koks buvo nelygybės sprendimas kiekvienu atveju?
4. Kodėl ši nelygybė įdomi?
Mokytojo darbo klasėje kokybinės charakteristikos.
6. Studijuojamos medžiagos apibendrinimas.
Ar galima šią nelygybę laikyti ypatingu bendresnės problemos atveju?
Formos nelygybė log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) gali būti sumažintas iki nelygybės log g(x) p(x)<(>) 0 naudojant logaritmų savybes ir nelygybių savybes.
Išspręskite nelygybę
log x (x 2 + 3x – 3) > 1
bet kuriuo iš svarstomų metodų.
7. Namų darbai, nurodymai kaip juos atlikti
.1. Išspręskite nelygybes (iš matematikos stojamųjų egzaminų variantų):
2. Kitoje pamokoje nagrinėsime logaritmines nelygybes, kurios sprendžiamos intervalų metodu. Pakartokite nelygybių sprendimo algoritmą intervaliniu metodu.
3. Išdėstykite skaičius didėjančia tvarka (paaiškinkite, kodėl toks išdėstymas):
log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (pakartokite kitai pamokai).
