Logaritminių nelygybių su skirtingais pagrindais sprendimas. Logaritminės nelygybės

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Tarp visos įvairovės logaritmines nelygybes atskirai tirti nelygybes su kintama bazė. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.

Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka surasti plotą priimtinos vertės. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žr. „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti užrašoma ir išspręsta atskirai:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su sprendimu racionalioji nelygybė- ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinė turės būti išrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas lygus nuliui jei ir tik pats skaičius yra nulis, turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Mes pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą. Turime:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai yra: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Logaritminių nelygybių konvertavimas

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

1. Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
2. Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra schema logaritminių nelygybių sprendimai yra tokie:

1. Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA;
2. Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
3. Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO):

Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tada - vardiklio nuliai:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite manimi, galite tai patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:

Kaip matote, trys prie pagrindo ir prieš logaritmą buvo sumažinti. Gavome du logaritmus su tuo pačiu pagrindu. Sudėkime juos:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų naudodami formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, gaunama racionali išraiška taip pat turėtų būti mažiau nei nulis. Turime:

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Gavome du komplektus:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatas į atsakymą: x ∈ (−1; 3).

Belieka susikirsti šias aibes - mes gauname tikrą atsakymą:

Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri kažkodėl retai mokoma mokykloje. Pristatyme pateikiami matematikos Vieningo valstybinio egzamino - 2014 uždavinių C3 sprendimai.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Logaritminių nelygybių, turinčių kintamąjį logaritmo bazėje, sprendimas: metodai, metodai, lygiaverčiai perėjimai, matematikos mokytoja, 143 vidurinė mokykla Knyazkina T. V.

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl tam tikrų priežasčių retai mokoma mokykloje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi. Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Nepamirškite logaritmo ODZ! Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas.

Išspręskite nelygybę: Sprendimas Pirmiausia išrašykime logaritmo OD Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinę reikės užrašyti. Kadangi skaičiaus kvadratas lygus nuliui tada ir tik tada, kai pats skaičius lygus nuliui, gauname: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę: pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionaliosios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą.

Turime: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Logaritminių nelygybių transformavimas Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles. Būtent: bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su tam tikra baze; Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu. Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia: Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA; Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules; Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Išspręskite nelygybę: Sprendimas Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO): Išspręskite intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Tada - vardiklio nuliai: x − 1 = 0; x = 1. Koordinačių tiesėje pažymėkite nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite manimi, galite tai patikrinti. Dabar transformuokime antrąjį logaritmą taip, kad bazėje būtų du: Kaip matote, trejetukai prie pagrindo ir priešais logaritmą buvo atšaukti. Gavome du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkite juos: log 2 (x − 1) 2

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)

Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi taškai pradurti. Atsakymas: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

C3 tipo USE-2014 užduočių sprendimas

Išspręskite nelygybių sistemą Sprendimas. ODZ:  1) 2)

Išspręskite nelygybių sistemą 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (tęsinys)

Išspręskite nelygybių sistemą 4) Bendras sprendimas: ir -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (tęsinys)

Išspręskite nelygybę (tęsinys) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ: 

Išspręskite nelygybę (tęsinys)

Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NETYBINGUMAI

Sečinas Michailas Aleksandrovičius

Mažoji akademija mokslai Kazachstano Respublikos studentams „Iskatel“

MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. sovietinis Sovetskio rajonas

Gunko Liudmila Dmitrievna, savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ mokytoja

Sovetskio rajonas

Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomių faktų logaritmas

Tyrimo objektas:

3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.

Rezultatai:

Turinys

Įvadas…………………………………………………………………………………….4

1 skyrius. Problemos istorija…………………………………………………………5

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7

2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrinti intervalo metodas…………… 7

2.2. Racionalizavimo metodas………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandartinis pakeitimas………………................................................ .............. 22

2.4. Užduotys su spąstais………………………………………………………27

Išvada………………………………………………………………………………… 30

Literatūra……………………………………………………………………. 31

Įvadas

Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kur specializuotas dalykas yra matematika. Štai kodėl aš daug dirbu su C dalies problemomis. Užduotyje C3 reikia išspręsti nestandartinė nelygybė arba nelygybių sistema, dažniausiai siejama su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie tiriami mokyklos mokymo programašia tema, nesuteikia pagrindo spręsti C3 uždavinius. Matematikos mokytoja man pasiūlė savarankiškai atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar gyvenime susiduriame su logaritmais?

Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:

„Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“

Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomius faktus apie logaritmą.

Tyrimo objektas:

1) Rasti reikalinga informacija O nestandartiniai metodai logaritminių nelygybių sprendiniai.

2) Rasti papildomos informacijos apie logaritmus.

3) Išmokite apsispręsti konkrečias užduotis C3 naudojant nestandartinius metodus.

Rezultatai:

Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, klubuose, popamokinė veikla matematikoje.

Projekto produktas bus kolekcija „C3 logaritminės nelygybės su sprendimais“.

1 skyrius. Fonas

Visą XVI amžių apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Prietaisų tobulinimas, planetų judėjimo tyrimas ir kiti darbai reikalavo kolosalinių, kartais ir daugiamečių skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle prireikė lentelių sudėtines palūkanas Už skirtingos reikšmės procentų. Pagrindinis sunkumas buvo daugyba, dalyba kelių skaitmenų skaičius, ypač trigonometriniai dydžiai.

Logaritmų atradimas buvo pagrįstas progresijų savybėmis, kurios buvo gerai žinomos iki XVI amžiaus pabaigos. Apie narių ryšį geometrinė progresija q, q2, q3, ... ir aritmetinė progresija jų rodikliai yra 1, 2, 3,... Archimedas kalbėjo savo „Psalmityje“. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamą ir trupmeniniai rodikliai. Daugelis autorių pažymėjo, kad daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas geometrine progresija atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.

Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.

Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.

1 etapas

Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Bürgi (1552–1632). Abu norėjo duoti naują patogią priemonę aritmetiniai skaičiavimai, nors į šią užduotį jie žiūrėjo skirtingai. Napier kinematiskai išreiškė logaritminę funkciją ir taip įtraukė nauja sritis funkcijos teorija. Bürgi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis atsirado dėl derinio Graikiški žodžiai: logotipai - „ryšys“ ir ariqmo - „skaičius“, o tai reiškė „ryšių skaičių“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīges- dirbtiniai skaičiai“, priešingai numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.

1615 m., kalbėdamasis su Henry Briggsu (1561-1631), Gresh koledžo Londone matematikos profesoriumi, Napier pasiūlė nulį laikyti vieneto logaritmu, o 100 - dešimties logaritmu, arba kas yra tas pats. dalykas, tiesiog 1. Taip jie atsirado dešimtainiai logaritmai ir buvo išspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos entuziastas Adrianas Flakas (1600-1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei visi kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kitos – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Sąvoką „natūralus logaritmas“ 1659 m. įvedė Mengoli, o 1668 m. pasekė N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių natūraliųjų logaritmų lenteles nuo 1 iki 1000 pavadinimu „Naujieji logaritmai“.

Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. Bet visuose logaritmines lenteles skaičiavimuose buvo padaryta klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).

2 etapas

Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu pritaikymu analitinė geometrija ir begalinis skaičiavimas. Iki to laiko ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadrato ir natūralusis logaritmas. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.

Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė

„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje ln(x+1) išplėtimas

x laipsniai:

Šis posakis tiksliai atitinka jo minčių eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne d, ... ženklus, o gremėzdiškesnę simboliką. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. Jo paskaitose" Elementarioji matematika Su aukščiausias taškas vizija“, skaitytas 1907-1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos konstravimo atskaitos tašką.

3 etapas

Apibrėžimas logaritminė funkcija kaip atvirkštinė funkcija

eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas

buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707–1783) esė

„Įvadas į begalinių mažų dydžių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo toliau.

logaritminių funkcijų teorijos kūrimas. Taigi,

Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai

(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo

logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys

2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.

Lygiaverčiai perėjimai

, jei a > 1

, jei 0 < а < 1

Apibendrintas intervalo metodas

Šis metodas universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:

1. Atveskite nelygybę į formą, kurioje yra funkcija kairėje pusėje
, o dešinėje 0.

2. Raskite funkcijos sritį
.

3. Raskite funkcijos nulius
, tai yra, išspręskite lygtį
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).

4. Skaičių eilutėje nubrėžkite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius.

5. Nustatykite funkcijos požymius
gautais intervalais.

6. Pasirinkite intervalus, kuriuose veikia funkcija reikalingos vertės, ir užrašykite atsakymą.

1 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

kur

Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritminiais ženklais yra teigiamos.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Sprendimas:

1-oji būdu . ADL lemia nelygybė x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname

Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išplėtimo taisykles, t.y. koeficientus lyginant su nuliu. Tačiau į šiuo atveju lengva nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus

todėl galima taikyti intervalų metodą.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovaus ženklo intervalus f(x):

Atsakymas:

2-as metodas . Pradinei nelygybei tiesiogiai pritaikykime intervalo metodo idėjas.

Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė ties x> 3 yra tolygus nelygybei

arba

Paskutinė nelygybė išspręsta naudojant intervalų metodą

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

Atsakymas:

4 pavyzdys.

Sprendimas:

Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 tikrai x, Tai

Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą

Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą

tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.

Iš kur, nes

gauname nelygybę

kuris atliekamas, kai x, kuriam 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, pagaliau gauname

Atsakymas:

5 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui

arba

Naudokime intervalų metodą arba

Atsakymas:

6 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė lygi sistemai

Leiskite

Tada y > 0,

ir pirmoji nelygybė

sistema įgauna formą

arba, atsiskleidžiant

kvadratinis trinaris pagal veiksnius,

Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,

matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.

Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:

Taigi, nelygybės sprendimai yra visi

2.2. Racionalizavimo metodas.

Anksčiau nelygybė nebuvo sprendžiama racionalizacijos metodu. Tai yra „naujas modernus“ efektyvus metodas eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimai“ (citata iš S.I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė – ar jis jį pažinojo? Vieningo valstybinio egzamino ekspertas, kodėl jos neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai – 2?
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra gaires, susietas su šiuo metodu, ir „Išsamiausiuose leidimuose tipiniai variantai...“ Sprendimas C3 naudoja šį metodą.
NUOSTABUS METODAS!

"Stebuklingas stalas"

Kituose šaltiniuose

Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;

Jeigu a >1 ir 0

jei 0<a<1 и b >1, tada įrašykite a b<0 и (a -1)(b -1)<0;