Polinominių matricų kanoninė forma. Matricos sumažinimas iki kanoninės formos

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Taikant teisingą elementariąją operaciją, matrica A(λ) dešinėje padauginama iš atitinkamos matricos T.

Atkreipkite dėmesį, kad matrica T" sutampa su matrica S", o matricos T", T"" sutampa su matricomis S", S"", jei pastarosiose sukeisti indeksai i ir j. S, S, S"" (arba, kas yra tas pats, tipo T", T", T"") matricos vadinamos elementariosiomis.

Dvi λ matricos A(λ) ir B(λ) tie patys dydžiai m x n vadinami ekvivalentais, A(λ) ~ B(λ), jei galima pereiti nuo matricos A(λ) į B(λ), naudojant grandinę baigtinis skaičius elementarios transformacijos. Ekvivalentiškumo santykis turi tris pagrindines savybes:

1) refleksyvumas: kiekviena matrica yra lygi pati sau A(λ) ~ B(λ);

2) simetrija: jei A(λ) ~ B(λ), tai B(λ) ~ A(λ);

3) tranzityvumas: jei A(λ) ~ B(λ), o B(λ) ~ C(λ), tai A(λ) ~ C(λ).

§2. Kanoninė λ matricos forma

Aukščiau buvo parodyta, kad lygiavertiškumo santykis yra tranzityvus, simetriškas ir refleksyvus. Iš to seka, kad visų nurodytų dydžių m x n λ matricų aibė yra padalinta į disjunktines klases ekvivalentinės matricos, t.y. į klases taip, kad bet kurios dvi tos pačios klasės matricos būtų lygiavertės, ir iš skirtingos klasės- nėra lygiaverčiai vienas kitam. Kyla klausimas dėl kanoninės λ-matricos charakterizuojančios formos ši klasė ekvivalentinės λ matricos.

Kanoninė įstrižainė λ-matrica, kurios matmenys m x n yra λ-matrica, kurios pagrindinėje įstrižainėje yra polinomai E1(λ), ​​​​E2(λ), ..., Ep(λ), kur p yra mažesnis iš skaičių m ir n, ir ne lygus nuliui tarp šių daugianarių pirminiai koeficientai yra lygūs vienetui, o kiekvienas paskesnis daugianomas yra padalintas iš ankstesnio, tačiau elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui.

1 teorema. Bet kuri λ-matrica gali būti redukuota iki kanoninės įstrižainės formos baigtiniu elementariųjų transformacijų skaičiumi.

Įrodymas. Tegu A(λ) yra stačiakampė daugianario matrica. Taikydami tiek kairiąją, tiek dešinę elementariąsias operacijas A(λ), gauname kanoninę įstrižainę.

Iš visų matricos A(λ) nulinių elementų аіј(λ) paimame elementą, kurio laipsnis λ atžvilgiu yra mažiausias, ir atitinkamai pertvarkydami eilutes bei stulpelius padarome jį elementu a11(λ). Po to rasime koeficientus ir liekanas, padalijus polinomus аі1(λ) ir а1ј(λ) iš а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Jei bent viena iš likusių rі1(λ), ​​​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), pavyzdžiui, r1ј (λ), nėra identiška nuliui, tada, atėmus iš pirmojo stulpelio j-, anksčiau padauginto iš q1ј(λ), elementą a1ј(λ) pakeičiame likusia r1ј(λ), kurios laipsnis yra žemesnis nei a11(λ). Tada mes turime galimybę vėl sumažinti elemento laipsnį kairėje viršutinis kampas matrica, įdėjus į šią vietą elementą su mažiausiu laipsniu λ atžvilgiu.

Jei visos liekanos yra r21(λ), ​​​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) yra identiški nuliai, tada iš i-osios eilutės atėmus pirmąją, anksčiau padaugintą iš qі1(λ) (i = 2, …, m), ir iš j-osios stulpelis - pirmasis , anksčiau padauginus iš q1ј(λ) (j = 2, …, n), sumažiname savo matricą į formą

а11(λ) 0 … 0

0 а22 (λ) … а2n (λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Jei tuo pačiu metu bent vienas iš elementų аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) nesidalija iš а11(λ) be liekanos, tada pridedant prie pirmojo stulpelyje stulpelį, kuriame yra šis elementas, prieisime prie ankstesnio atvejo ir todėl vėl galėsime elementą a11(λ) pakeisti žemesnio laipsnio daugianario.

Kadangi pradinis elementas a11(λ) turėjo tam tikras laipsnis ir šio laipsnio mažinimo procesas negali tęstis be galo, tada po baigtinio skaičiaus elementariųjų operacijų turime gauti formos matricą

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

kurioje visi elementai bіј(λ) dalijasi iš а1(λ) be liekanos. Jei tarp šių elementų bіј(λ) nėra identiškų nulių, tai tęsdami tą patį mažinimo procesą eilutėms su skaičiais 2, …, m ir stulpeliams su skaičiais 2, …, n, matricą (*) sumažinsime iki formos.

Taigi, mes įrodėme, kad savavališka stačiakampė daugianario matrica A(λ) yra lygiavertė kokiai nors kanoninei įstrižai.

Apibrėžimas. Polinominė matrica arba -matrica yra stačiakampė matrica, kurios elementai yra vieno kintamojo daugianariai su skaitiniais koeficientais.

Baigėsi -matricos gali atlikti elementarias transformacijas. Tai apima:

Du - matricos
Ir
vienodi dydžiai vadinami lygiaverčiais:
, jei iš matricos
Į
gali būti perduodamas naudojant baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių.

Pavyzdys.Įrodykite matricos lygiavertiškumą

Sprendimas.

.

.

Padauginkite antrą eilutę iš (–1) ir pastebėkite tai

.

.

Daug kas -duotų dydžių matricos
yra padalintas į disjunktines ekvivalentinių matricų klases. Matricos, kurios yra lygiavertės viena kitai, sudaro vieną klasę, o tos, kurios nėra lygiavertės, sudaro kitą.

Kiekviena ekvivalentinių matricų klasė apibūdinama kanonine arba normaliąja, -duotų dydžių matrica.

Apibrėžimas. Kanoninis arba įprastas - dydžio matrica
paskambino -matrica su daugianariais pagrindinėje įstrižainėje, kur r– mažesnis iš skaičių m Ir n (
), o daugianario, kuris nėra lygus nuliui, pirminiai koeficientai yra lygūs 1, o kiekvienas paskesnis daugianomas dalijamas iš ankstesnio. Visi elementai už pagrindinės įstrižainės yra 0.

Iš apibrėžimo matyti, kad jei tarp daugianarių yra nulinio laipsnio daugianarių, tai jie yra pagrindinės įstrižainės pradžioje. Jei yra nulių, jie yra pagrindinės įstrižainės gale.

Matrica
ankstesnis pavyzdys yra kanoninis. Matrica

taip pat kanoninis.

Kiekviena klasė -matricoje yra unikalus kanoninis -matrica, t.y. kiekviena -matrica atitinka unikalią kanoninę matricą, kuri vadinama kanonine forma arba normali formašios matricos.

Daugiaskaitai pagrindinėje duotosios kanoninės formos įstrižainėje -matricos vadinamos invariantiniais duotosios matricos veiksniais.

Vienas iš nekintamų faktorių skaičiavimo metodų yra duotųjų sumažinimas -matricos į kanoninę formą.

Taigi, dėl matricos
ankstesnio pavyzdžio kintamieji veiksniai yra

,
,
,
.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, darytina išvada, kad tos pačios nekintamų veiksnių rinkinio buvimas yra būtina ir pakankama lygiavertiškumo sąlyga. - matricos

Atvežimas -matricos prie kanoninė forma redukuoja iki apibrėžiančių nekintamus veiksnius

,
;
,

Kur r– rangas -matricos;
– didžiausias bendras daliklis nepilnamečių k-oji eilė, paimta su pirminiu koeficientu, lygiu 1.

Pavyzdys. Tegul tai duota - matrica

.

Sprendimas. Akivaizdu, kad didžiausias bendras pirmosios eilės daliklis D 1 =1, t.y.
.

Apibrėžkime antros eilės nepilnamečius:

Vien šių duomenų pakanka, kad būtų galima padaryti tokią išvadą: D 2 =1, todėl
.

Mes apibrėžiame D 3

,

Vadinasi,
.

Taigi šios matricos kanoninė forma yra tokia - matrica:

.

Matricos polinomas yra formos išraiška

Kur – kintamasis;
– n eilės kvadratinės matricos su skaitiniais elementais.

Jeigu
, Tai S vadinamas matricos polinomo laipsniu, n– matricos daugianario tvarka.

Man patinka kvadratinis -matrica gali būti pavaizduota kaip matricos polinomas. Akivaizdu, kad teisingas ir priešingas teiginys, t.y. bet kurį matricos daugianarį galima pavaizduoti kaip kvadratą - matricos.

Šių teiginių pagrįstumas aiškiai išplaukia iš operacijų su matricomis savybių. Pažvelkime į šiuos pavyzdžius:

Pavyzdys. Pavaizduokite daugianario matricą

matricos daugianario pavidalu taip

.

Pavyzdys. Matricos polinomas

gali būti pavaizduota kaip ši daugianario matrica ( -matricos)

.

Šis matricos polinomų ir daugianario matricų pakeičiamumas vaidina svarbų vaidmenį faktorių ir komponentų analizės metodų matematiniame aparate.

Tos pačios eilės matricinius daugianorius galima sudėti, atimti ir dauginti taip pat, kaip ir paprastus daugianorius su skaitiniais koeficientais. Tačiau reikia atsiminti, kad matricos polinomų daugyba, paprastai kalbant, nėra komutacinė, nes Matricos daugyba nėra komutacinė.

Du matricos daugianario vadinami lygiais, jeigu jų koeficientai lygūs, t.y. atitinkamos matricos toms pačioms kintamojo laipsnėms .

Dviejų matricų daugianario suma (skirtumas).
Ir
yra matricos polinomas, kurio kiekvienos kintamojo laipsnio koeficientas lygus to paties laipsnio koeficientų sumai (skirtumui). daugianariuose
Ir
.

Padauginti matricos polinomą
į matricos daugianarį
, jums reikia kiekvieno matricos polinomo nario
padauginkite iš kiekvieno matricos polinomo nario
, pridėti gautus produktus ir pateikti panašias sąlygas.

Matricos polinomo laipsnis – sandauga

mažesnė arba lygi veiksnių galių sumai.

Veiksmus su matricos polinomais galima atlikti naudojant atitinkamas operacijas - matricos.

Norint pridėti (atimti) matricos polinomus, pakanka pridėti (atimti) atitinkamą - matricos. Tas pats pasakytina ir apie dauginimą. -matricos polinomų sandaugos matrica lygi sandaugai -veiksnių matricos.

Pavyzdys.

Iš kitos pusės
Ir
galima parašyti formoje

Kadangi matricos daugyba nėra komutacinė, matricos polinomams nustatomos dvi dalybos su liekana – dešinė ir kairė.

Tegu pateikti du n eilės matricos daugianariai

Kur IN 0 yra ne vienaskaita matrica.

Skirstant
įjungta
yra unikalus teisingas koeficientas
ir dešinė likusi dalis

kur laipsnis R 1 mažesnis laipsnis
, arba
(dalyba be liekanos), taip pat kairysis koeficientas
ir paliko likutį

kur laipsnis
mažesnis laipsnis
, arba
=0 (dalyba be liekanos).

Apibendrinta Bezouto teorema. Dalijant matricos daugianarį
į daugianarį
dešinioji liekana yra lygi teisingai dividendo vertei
adresu
, t.y. matrica

o kairioji liekana – į kairę dividendo vertę
adresu
, t.y. matrica

Įrodymas. Abiejų (3.4.1) ir (3.4.2) formulių pagrįstumo įrodymas atliekamas tuo pačiu būdu, tiesioginiu pakeitimu. Įrodykime vieną iš jų.

Taigi, dividendai yra
, daliklis -
, kaip koeficientą turime daugianarį

Apibrėžkime produktą
:

arba

Q.E.D.

Pasekmė.
dalijasi iš dešinės (kairės) iš daugianario
tada ir tik tada
lygus 0.

Pavyzdys. Parodykite, kad matricos daugianario

dalijasi iš matricos daugianario
,

Kur
, liko be likučio.

Sprendimas. Iš tiesų, lygybė yra tiesa

Kur

Apskaičiuokime kairiosios liekanos reikšmę naudodami Bezout teoremą

Matricos yra patogus įrankis sprendžiant įvairius klausimus algebrinės problemos. Žinodami kai kuriuos paprastos taisyklės dirbant su jais, galima sumažinti matricas iki bet kokių patogių ir reikalingų šiuo metu formų. Dažnai naudinga naudoti kanoninę matricos formą.

Instrukcijos

• Atminkite, kad kanoninė matricos forma nereikalauja, kad jos būtų išilgai visos pagrindinės įstrižainės. Apibrėžimo esmė ta, kad vieninteliai nuliniai matricos elementai jos kanoninėje formoje yra vienetai. Jei jie yra, jie yra pagrindinėje įstrižainėje. Be to, jų skaičius gali svyruoti nuo nulio iki eilučių skaičiaus matricoje.
• Nepamirškite, kad elementarios transformacijos leidžia bet kurią matricą redukuoti iki kanoninės protas. Didžiausias sunkumas – intuityviai rasti paprasčiausią veiksmų grandinių seką ir nesuklysti skaičiavimuose.
• Sužinokite pagrindines operacijų su eilėmis ir stulpeliais matricoje ypatybes. Elementariosios transformacijos apima tris standartines transformacijas. Tai matricos eilutės dauginimas iš bet kokio skaičiaus, kuris nėra nulis, eilučių sumavimas (įskaitant sudėjimą, padaugintą iš tam tikro skaičiaus) ir jų pertvarkymas. Tokie veiksmai leidžia mums gauti matricą, lygiavertę šiai. Atitinkamai, tokias operacijas su stulpeliais galite atlikti neprarasdami lygiavertiškumo.
• Stenkitės neatlikti kelių elementarių transformacijų iš karto: pereikite iš scenos į sceną, kad išvengtumėte atsitiktinių klaidų.
• Raskite matricos rangą, kad nustatytumėte vienetų skaičių pagrindinėje įstrižainėje: tai parodys, kokia bus galutinė jūsų ieškoma forma. kanoninė forma, ir nereikės atlikti transformacijų, jei tik norėsite jį naudoti sprendimui.
• Norėdami vadovautis ankstesne rekomendacija, naudokite besiribojančių nepilnamečių metodą. Apskaičiuokite k-osios eilės minorą, taip pat visus aplinkinius laipsnio minorus (k+1). Jei jie lygūs nuliui, tada matricos rangas yra skaičius k Nepamirškite, kad mažoji Mij yra matricos, gautos išbraukus i eilutę ir j stulpelį, determinantas.

Sakoma, kad turi matmenų matricą kanoninis forma, jei ją galima suskirstyti į keturis blokus (kai kurie iš jų gali būti tušti), kurių kiekvienas yra tam tikro tipo submatrica ( submatrica vadinama matrica, kuri yra pradinės matricos dalis). Viršutiniame kairiajame bloke yra tapatybės matrica k-eilės, du apatiniai blokai – matmenų matricos ir susidedanti iš nulių (diagramoje šios matricos pažymėtos dideliais paryškintais nuliais). Viršutinis dešinysis blokas – savavališka matrica matmenys. Skaičius k> 0 ir neviršija skaičių m Ir n.

Jei , dešiniųjų blokų nėra, jei , apatinių (nulinių) blokų nėra. Jei , matrica susideda iš vieno (vieneto) bloko.

Atnešam konkrečių pavyzdžių kanoninės formos matricos (taškai nurodo tuos matricų elementus konkrečias vertybes kurie nevaidina vaidmens):

A) , b) , c) , d) .

Pavyzdyje a) , ( k sutampa su eilučių skaičiumi), trūksta abiejų nulinių submatricų; b) pavyzdyje ( k sutampa su stulpelių skaičiumi), , trūksta abiejų dešiniųjų blokų, nulinė submatrica yra eilučių matrica; c pavyzdyje pirmoji nulinė matrica yra eilučių matrica, antroji nulinė submatrica susideda iš vieno elemento; d) pavyzdyje , , .

Dažnai kanoninės formos matricos apibrėžime vietoj vienetinės submatricos atsiranda trikampė submatrica. Šiuo atveju kalbame apie matricą beveik kanoninis malonus. Kadangi tapatybės matrica yra ypatingas atvejis trikampė, kanoninės formos matrica yra ypatingas beveik kanoninės formos matricų atvejis. Jei schematiškai vaizduojant kanoninės formos matricą viršutiniame kairiajame bloke esanti tapatumo matrica bus pakeista trikampe, bus gauta beveik kanoninės formos matricos schema.

Pateiksime matricų, kurios turi beveik kanoninę formą, pavyzdžius:

A) , b) , c) , G) .

Vadinamos šios matricos transformacijos priimtina: stygų pertvarkymas; kolonų pertvarkymas; matricos eilutės elementų dauginimas iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį; prie vienos iš matricos eilučių pridedant kitą eilutę, anksčiau padaugintą iš tam tikro skaičiaus (ypač atimant vieną eilutę iš kitos ir pridedant vieną eilutę prie kitos). Kaip bus parodyta toliau, leistinos matricų transformacijos atitinka tuos veiksmus su sistemomis tiesines lygtis, kurie nepažeidžia lygiavertiškumo.

Naudojant leistinas transformacijas, bet kokia matrica A gali būti sumažintas iki matricos, turinčios kanoninis požiūris.

Matricos redukavimą į kanoninę formą galima suskirstyti į etapus, kurių kiekvienas susideda iš dviejų etapų – gauti kitą pagrindinės įstrižainės vienetą ir atitinkamą stulpelį paversti į vienetas stulpelis, ty toks, kuriame visi elementai, išskyrus įstrižainę, yra lygūs nuliui.

Pirmasis žingsnis atliekamas taip. Jei aptariamas įstrižainės elementas lygus vienam, pereikite prie antrojo žingsnio. Jei įstrižainės elementas nelygus vienetui, bet skiriasi nuo nulio, padalykite juo visus jo eilutės elementus. Jei įstrižainės elementas yra lygus nuliui, mes ieškosime nulinio elemento, esančio jo (įstrižainės elemento) stulpelyje, bet žemiau, arba jo eilutėje, bet dešinėje, arba žemiau ir dešinėje ties tuo pačiu metu. Jei toks elementas rastas, padarysime jį įstrižą pertvarkydami atitinkamas eilutes (pirmuoju atveju), arba stulpelius (antruoju), arba eilutes ir stulpelius paeiliui (trečiuoju). Jei tokio elemento nerasta, tai reikš, kad procesas baigtas.

Jei pirmasis veiksmas atliktas, o stulpelyje, kuriame yra naujas vieneto įstrižainės elementas, yra kitas elementas, kuris nėra nulis, į jo eilutę pridėkite įstrižainės elemento eilutę, padaugintą iš naikinamo elemento, paimto priešingu ženklu.

Panagrinėkime matricos redukavimo į kanoninę formą pavyzdį.

~ ~ ~

Pirma įstrižainė Pirma įstrižainė

elementas lygus nuliui. elementas nėra nulis.

~ ~ ~ ~

Pirmoji įstrižainė

elementas tapo lygus vienetui

~ ~ ~ ~

Matrica yra ypatingas matematikos objektas. Rodomas stačiakampiu arba kvadratinis stalas, sudarytas iš tam tikras skaičius eilutes ir stulpelius. Matematikoje yra daug įvairių matricų tipų, kurių dydis ir turinys skiriasi. Jo eilučių ir stulpelių numeriai vadinami eilėmis. Šie objektai matematikoje naudojami organizuojant tiesinių lygčių sistemų registravimą ir patogiai ieškant jų rezultatų. Lygtys naudojant matricą sprendžiamos Carl Gauss, Gabriel Cramer metodu, nepilnamečių ir algebriniai priedai, taip pat daugeliu kitų būdų. Pagrindinis įgūdis dirbant su matricomis yra sumažinimas iki standartinis vaizdas. Tačiau pirmiausia išsiaiškinkime, kokių tipų matricas skiria matematikai.

Nulinis tipas

Visi šio tipo matricos komponentai yra nuliai. Tuo tarpu jo eilučių ir stulpelių skaičius yra visiškai skirtingas.

Kvadratinis tipas

Šio tipo matricos stulpelių ir eilučių skaičius yra toks pat. Kitaip tariant, tai yra „kvadrato“ formos stalas. Jo stulpelių (arba eilučių) skaičius vadinamas tvarka. Ypatingi atvejai apima antros eilės matricos buvimą (2x2 matrica), ketvirta tvarka(4x4), dešimtas (10x10), septynioliktas (17x17) ir pan.

Stulpelio vektorius

Tai vienas iš paprasčiausių matricų tipų, turintis tik vieną stulpelį, kurį sudaro trys skaitinės reikšmės. Ji atstovauja serijai nemokami nariai(nuo kintamųjų nepriklausomi skaičiai) tiesinių lygčių sistemose.

Vaizdas panašus į ankstesnį. Susideda iš trijų skaitinių elementų, savo ruožtu suskirstytų į vieną eilutę.

Įstrižainės tipas

Įstrižainės matricos formos skaitinės reikšmės apima tik pagrindinės įstrižainės komponentus (paryškintas žalias). Pagrindinė įstrižainė prasideda elementu viršutiniame dešiniajame kampe ir baigiasi skaičiumi trečiame trečios eilutės stulpelyje. Likę komponentai yra lygūs nuliui. Įstrižainės tipas yra tik tam tikros eilės kvadratinė matrica. Tarp įstrižainių matricų galima išskirti skaliarinę. Visi jo komponentai paima tos pačios vertybės.

Įstrižainės matricos potipis. Visa ji skaitines reikšmes yra vienetai. Naudojant vieno tipo matricos lentelę, atliekamos pagrindinės jos transformacijos arba randama matrica, atvirkštinė pradinei.

Kanoninis tipas

Kanoninė matricos forma laikoma viena iš pagrindinių; Sumažinti iki jo dažnai reikia darbui. Kanoninės matricos eilučių ir stulpelių skaičius kinta kvadratinis tipas. Jis šiek tiek panašus į tapatybės matricą, tačiau jos atveju ne visi pagrindinės įstrižainės komponentai įgauna reikšmę lygus vienam. Gali būti du arba keturi pagrindiniai įstrižainės vienetai (viskas priklauso nuo matricos ilgio ir pločio). Arba gali nebūti vienetų (tada jis laikomas nuliu). Likę kanoninio tipo komponentai, taip pat įstrižainės ir vienetiniai elementai yra lygūs nuliui.

Trikampio tipo

Vienas iš svarbiausių matricos tipų, naudojamas ieškant jo determinanto ir atliekant paprastas operacijas. Trikampis tipas kilęs iš įstrižainės, todėl matrica taip pat yra kvadratinė. Trikampio tipo matrica yra padalinta į viršutinę trikampę ir apatinę trikampę.

Viršutinėje trikampėje matricoje (1 pav.) tik tie elementai, kurie yra virš pagrindinės įstrižainės, turi reikšmę, lygią nuliui. Pačios įstrižainės ir po ja esančios matricos dalyse yra skaitinės reikšmės.

Apatinėje trikampėje matricoje (2 pav.), atvirkščiai, apatinėje matricos dalyje esantys elementai yra lygūs nuliui.

Rodinys reikalingas norint rasti matricos rangą, taip pat atliekant elementarias operacijas su jais (kartu su trikampio tipo). Žingsnių matrica taip pavadinta, nes joje yra būdingi nulių „žingsniai“ (kaip parodyta paveikslėlyje). Žingsnio tipe susidaro nulių įstrižainė (nebūtinai pagrindinė), o visi elementai po šia įstriža taip pat turi reikšmes, lygias nuliui. Būtina sąlyga yra tokia: jei žingsnio matricoje yra nulinė eilutė, likusiose po ja esančiose eilutėse taip pat nėra skaitinių reikšmių.

Taigi pažiūrėjome svarbiausi tipai Matricos, reikalingos darbui su jais. Dabar pažvelkime į matricos konvertavimo į reikiamą formą problemą.

Sumažėja iki trikampio formos

Kaip matricą paversti trikampiu? Dažniausiai atliekant užduotis reikia paversti matricą į trikampę formą, kad rastumėte jos determinantą, kitaip vadinamą determinantu. Atliekant šią procedūrą nepaprastai svarbu „išsaugoti“ pagrindinę matricos įstrižainę, nes trikampės matricos determinantas yra lygus jos pagrindinės įstrižainės komponentų sandaugai. Leiskite taip pat prisiminti alternatyvius determinanto paieškos metodus. Kvadrato tipo determinantas randamas naudojant specialias formules. Pavyzdžiui, galite naudoti trikampio metodą. Kitoms matricoms naudojamas skaidymo pagal eilutes, stulpelius arba jų elementus metodas. Taip pat galite naudoti nepilnamečių ir algebrinės matricos papildymų metodą.

Išsamiai išanalizuokime matricos redukavimo į trikampę procesą, naudodami kai kurių užduočių pavyzdžius.

1 užduotis

Reikia surasti pateiktos matricos determinantą redukuojant ją iki trikampės formos.

Mums pateikta matrica yra trečios eilės kvadratinė matrica. Todėl norėdami jį konvertuoti į trikampio formos turime paversti du pirmojo stulpelio komponentus ir vieną antrojo komponentą iki nulio.

Norėdami jį paversti trikampiu, transformaciją pradedame nuo apatinio kairiojo matricos kampo – nuo ​​skaičiaus 6. Norėdami paversti jį iki nulio, padauginkite pirmąją eilutę iš trijų ir atimkite iš paskutinės eilutės.

Svarbu! Viršutinė eilutė nesikeičia, bet išlieka tokia pati, kaip ir pradinėje matricoje. Nereikia rašyti keturis kartus didesnės nei pradinė eilutė. Tačiau eilučių, kurių komponentus reikia nustatyti į nulį, reikšmės nuolat keičiasi.

Liko tik paskutinė vertė- antrojo stulpelio trečios eilutės elementas. Tai yra skaičius (-1). Norėdami paversti jį nuliu, atimkite antrą iš pirmosios eilutės.

Patikrinkime:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Tai reiškia, kad užduoties atsakymas yra -22.

2 užduotis

Būtina rasti matricos determinantą redukuojant ją į trikampę formą.

Pateikta matrica priklauso kvadratiniam tipui ir yra ketvirtos eilės matrica. Tai reiškia, kad reikia paversti tris pirmojo stulpelio komponentus, du antrojo stulpelio komponentus ir vieną trečiojo komponentą iki nulio.

Pradėkime konvertuoti nuo elemento, esančio apatiniame kairiajame kampe – nuo ​​skaičiaus 4. Turime pakeisti duotas numeris iki nulio. Lengviausias būdas tai padaryti – viršutinę eilutę padauginti iš keturių ir atimti iš ketvirtosios. Užrašykime pirmojo transformacijos etapo rezultatą.

Taigi ketvirtos eilutės komponentas nustatomas į nulį. Pereikime prie pirmojo trečios eilutės elemento, prie skaičiaus 3. Atliekame panašią operaciją. Pirmą eilutę padauginame iš trijų, atimame iš trečios ir užrašome rezultatą.

Mums pavyko paversti nuliu visus šios kvadratinės matricos pirmojo stulpelio komponentus, išskyrus skaičių 1 - pagrindinės įstrižainės elementą, kuriam nereikia transformacijos. Dabar svarbu išsaugoti gautus nulius, todėl transformacijas atliksime su eilutėmis, o ne su stulpeliais. Pereikime prie antrojo pateiktos matricos stulpelio.

Vėl pradėkime nuo apačios – nuo ​​paskutinės eilutės antrojo stulpelio elemento. Šis skaičius yra (-7). Tačiau į šiuo atveju Patogiau pradėti nuo skaičiaus (-1) - trečios eilutės antrojo stulpelio elemento. Norėdami jį paversti nuliu, atimkite antrą iš trečiosios eilutės. Tada antrą eilutę padauginame iš septynių ir atimame iš ketvirtosios. Vietoj elemento, esančio antrojo stulpelio ketvirtoje eilutėje, gavome nulį. Dabar pereikime prie trečiojo stulpelio.

Šiame stulpelyje turime tik vieną skaičių paversti nuliu – 4. Tai padaryti nėra sunku: tiesiog pridėkite prie paskutinė eilutė trečias ir matome mums reikalingą nulį.

Po visų atliktų transformacijų siūlomą matricą perkėlėme į trikampę formą. Dabar, norint rasti jo determinantą, tereikia padauginti gautus pagrindinės įstrižainės elementus. Mes gauname: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Todėl sprendimas yra 160.

Taigi, dabar jūsų nejaudins klausimas, kaip sumažinti matricą į trikampę formą.

Sumažinti į laiptuotą formą

Atliekant elementariąsias operacijas su matricomis, pakopinė forma yra mažiau „paklausi“ nei trikampė. Jis dažniausiai naudojamas matricos rangui (t.y. jos nenulinių eilučių skaičiui) rasti arba tiesiškai priklausomoms ir nepriklausomoms eilutėms nustatyti. Tačiau pakopinis matricos tipas yra universalesnis, nes tinka ne tik kvadratiniam, bet ir visiems kitiems.

Norėdami sumažinti matricą į laipsnišką formą, pirmiausia turite rasti jos determinantą. Tam tinka aukščiau pateikti metodai. Determinanto radimo tikslas – išsiaiškinti, ar jį galima paversti žingsnine matrica. Jei determinantas yra didesnis arba mažiau nei nulis, tada galite saugiai pradėti užduotį. Jei jis lygus nuliui, matricos nebus įmanoma sumažinti į laipsnišką formą. Tokiu atveju reikia patikrinti, ar įraše ar matricos transformacijose nėra klaidų. Jei tokių netikslumų nėra, užduotis negali būti išspręsta.

Pažiūrėkime, kaip sumažinti matricą į laipsnišką formą, naudojant kelių užduočių pavyzdžius.

1 užduotis. Raskite pateiktos matricos lentelės rangą.

Prieš mus kvadratinė matrica trečia tvarka (3x3). Žinome, kad norint rasti rangą, būtina jį sumažinti į laipsnišką formą. Todėl pirmiausia turime rasti matricos determinantą. Naudokime trikampio metodą: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinantas = 12. Jis didesnis už nulį, o tai reiškia, kad matrica gali būti sumažinta iki pakopinės formos. Pradėkime jį transformuoti.

Pradėkime nuo trečios eilutės kairiojo stulpelio elemento - skaičiaus 2. Viršutinę eilutę padauginkite iš dviejų ir atimkite iš trečiosios. Šios operacijos dėka ir mums reikalingas elementas, ir skaičius 4 – trečios eilutės antrojo stulpelio elementas – pavirto į nulį.

Matome, kad dėl sumažinimo trikampė matrica. Mūsų atveju negalime tęsti transformacijos, nes likusių komponentų negalima sumažinti iki nulio.

Tai reiškia, kad darome išvadą, kad eilučių, kuriose yra skaitinės reikšmės, skaičius šioje matricoje (arba jos rangas) yra 3. Užduoties atsakymas: 3.

2 užduotis. Nustatykite tiesiškai nepriklausomų šios matricos eilučių skaičių.

Turime rasti eilutes, kurių jokiu būdu negalima konvertuoti į nulį. Tiesą sakant, turime rasti nulinių eilučių skaičių arba pateiktos matricos rangą. Norėdami tai padaryti, supaprastinkime.

Matome matricą, kuri nepriklauso kvadratiniam tipui. Jo dydis 3x4. Taip pat sumažinimą pradėkime nuo apatinio kairiojo kampo elemento – skaičiaus (-1).

Tolesnės jo transformacijos neįmanomos. Tai reiškia, kad darome išvadą, kad tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius jame ir užduoties atsakymas yra 3.

Dabar matricos sumažinimas į laiptuotą formą jums nėra neįmanoma užduotis.

Naudodamiesi šių užduočių pavyzdžiais, išnagrinėjome matricos redukciją į trikampę formą ir laiptuotą formą. Kad būtų nulis reikalingos vertės matricos lentelės, in kai kuriais atvejais jums reikia pasitelkti savo vaizduotę ir teisingai konvertuoti jų stulpelius ar eilutes. Sėkmės matematikoje ir dirbant su matricomis!