Lygtys, kurios redukuojasi į kvadratines. Racionalios lygtys

Savybės lygtys, schema sprendimus lygtys, suburiant... Į kvadratas lygtys, trupmeninis racionalus, grafinis metodas sprendimus lygtys. ... . Sprendimas: Pasvarstykime funkcija y=x2- 16 , y=(x-4)(x+4). Nuliai funkcijas x1 = ... kvadratinis funkcija? Koks tvarkaraštis? funkcijas ...

Apsvarstykite Koši problemą: (14) (15) kur yra parametrai. Ateityje funkcijomis, kurios priklauso nuo parametrų, nagrinėsime Koši uždavinį (14), (15). Tada gradiento lygtys priklausys nuo (14), (15) uždavinio sprendimo išvestinių...

Gyvojoje gamtoje vykstančių svyruojančių procesų parametrų nustatymas, modeliuojamas diferencialinėmis lygtimis

Rašome Koši uždavinį Lotka lygčių (5) 2 punktui naudodami daugiau standartinių matematinis žymėjimas: , (1) , (2) Koši problema (17), (18) 1 punktas bus toks: , , (3) , (4) Kaip matome, Koši problema (1), (2), (3), (4) daugianario...

Trijų mazgų tinklo stacionaraus pasiskirstymo invariantas eilėse

Tarkime, kad yra stacionarus skirstinys. Sukurkime pusiausvyros lygtį...

Integracija diferencialines lygtis naudojant galios serija

Įprasta n-osios eilės diferencialinė lygtis argumentų funkcijai yra (1.10) formos santykis, kur - suteikta funkcija jų argumentai. Šios klasės vardu matematines lygtis terminas „diferencialas“ pabrėžia...

Iracionalios lygtys

1 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas. Sukonstruokime abi dalis pradinė lygtis kvadratu.. Atsakymas: (6). 2 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas. Kairėje pradinės lygties pusėje yra aritmetika kvadratinė šaknis- pagal apibrėžimą tai nėra neigiamas...

Iracionalios lygtys

Gana dažnai, spręsdami tokio tipo lygtis, studentai naudoja tokią sandaugos savybės formuluotę: „Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui, kai bent vienas iš jų lygus nuliui“ Pastaba...

Iracionalios lygtys

Šios lygtys gali būti išspręstos naudojant pagrindinį sprendimo metodą racionaliosios lygtys(abejų lygties pusių kvadratu), tačiau kartais jas galima išspręsti kitais metodais. Apsvarstykite (1) lygtį. Tegul yra (1) lygties šaknis...

Kvadratinės lygtys taip pat buvo išspręstos Indijoje. Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Dar vienas indų mokslininkas...

Kvadratinės ir aukštesnės eilės lygtys

Abipusė lygtis yra algebrinė lygtis a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an - 1x + an =0, kurioje ak = an - k, kur k = 0, 1, 2 ...n ir, a? 0...

Tiesinės ir kvadratinės priklausomybės, funkcija x ir susijusios lygtys bei nelygybės

Kai kurios stojamųjų egzaminų problemos reikalauja daugiau nei tik šaknų vietos ištyrimo kvadratinis trinaris, bet sužinoti, kokiomis parametrų reikšmėmis vykdomas konkretus loginis sakinys...

Logaritminė funkcija užduotyse

1 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Regionas priimtinos vertės– daug kas realūs skaičiai, nes visų akivaizdoje. Pagal logaritmo apibrėžimą turime. Mes gauname eksponentinė lygtis, kurią išsprendžiame redukciniu į algebrinę...

Konvoliucijos tipo lygčių sprendimo metodika

3.1 pavyzdys. Netiesinės lygtys su Hilberto branduoliu: (3.12) (3.13) turėti vienintelis sprendimas Hilberto erdvėje. 1977 metais G.M. Magomedovas nagrinėjo netiesines vienaskaitos integralų lygtis su Koši branduoliu, kurio forma yra (3...

Apytikslis sprendimo būdas ribinės vertės problemos, dalinėms diferencialinėms lygtims

Prisiminkime Puasono lygtį (4) (4) Praktikoje baigtinių skirtumų schemoms sudaryti naudojami keli šablonai. 1. Baigtinių skirtumų „kryžiaus“ schema...

Taikymas diferencialo ir integralinis skaičiavimas spręsti fizines ir geometrinės problemos MATLab

Daugelis fiziniai dėsniai turi diferencialinių lygčių formą, ty ryšius tarp funkcijų ir jų išvestinių. Šių lygčių integravimo problema yra svarbiausia užduotis matematika...

Taikymas trigonometrinis pakeitimas išspręsti algebrinės problemos

Neretai randamos neracionalios lygtys stojamieji egzaminai matematikoje, nes su jų pagalba lengva diagnozuoti žinias apie tokias sąvokas kaip lygiavertės transformacijos, apibrėžimo sritis ir kiti...

Kvadratinė lygtis yra lygtis ax²+bx+c=0, kur a, b, c – duotus skaičius, a0, x nežinomas. Kvadratinės lygties koeficientai a, b, c paprastai vadinami taip: a – pirmasis arba pirmaujantis koeficientas, b – antrasis koeficientas, c – laisvasis narys. Pavyzdžiui, lygtyje 3x²-x+2=0 vyresnysis (pirmasis) koeficientas yra a=3, antrasis koeficientas b=-1, o laisvasis narys c=2. Daugelio matematikos, fizikos ir technologijų problemų sprendimas priklauso nuo jų sprendimo kvadratines lygtis: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. Sprendžiant daugelį uždavinių, gaunamos lygtys, kurias naudojant algebrinės transformacijos sumažinami iki kvadratinių. Pavyzdžiui, lygtis 2x²+3x=x²+2x+2 perkėlus visus jos narius į kairę pusę ir atnešus panašių narių redukuoja į kvadratinę lygtį x²+x-2=0.

Apsvarstykite lygtį bendras vaizdas: ax²+bx+c=0, kur a0. Lygties šaknys randamos naudojant formulę: Išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantu. Jei D 0, tai lygtis turi dvi realias šaknis. Tuo atveju, kai D = 0, kartais sakoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi identiškas šaknis.

Nebaigtos kvadratinės lygtys. Jei kvadratinėje lygtyje ax²+bx+c=0 antrasis koeficientas b arba laisvasis narys c yra lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis vadinama nepilna. Nebaigta kvadratinė lygtis gali turėti vieną iš šių formų: Neišsamios lygtys yra izoliuoti, nes norint rasti jų šaknis, nereikia naudoti kvadratinės lygties šaknų formulės – lengviau išspręsti lygtį, įvertinus jos kairę pusę.

Kvadratinė lygtis formos x 2 +px+q=0 vadinama redukuota. Šioje lygtyje pirmaujantis koeficientas lygus vienam: a=1. Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknys randamos pagal formulę: Šią formulę patogu naudoti, kai p – lyginis skaičius. Pavyzdys: Išspręskite lygtį x 2 -14x-15=0. Naudodami formulę randame: Atsakymas: x 1 =15, x 2 =-1.

Francois Vietas? Vietos teorema. Jei redukuotoji kvadratinė lygtis x 2 +px+q=0 turi realias šaknis, tai jų suma lygi -p, o sandauga lygi q, tai yra x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q (sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui). Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšio tyrimas.

1 teiginys: Tegul x 1 ir x 2 yra lygties x 2 +pх+q=0 šaknys. Tada skaičiai x 1, x 2, p, q yra susieti lygybėmis: x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q 2 teiginys: Tegul skaičiai x 1, x 2, p, q yra susiję lygybėmis x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q. Tada x 1 ir x 2 yra lygties x 2 +pх+q=0 šaknys. Išvada: x 2 +pх+q=(x-x 1)(x-x 2). Situacijos, kuriose galima naudoti Vietos teoremą. Rastų šaknų teisingumo tikrinimas. Kvadratinės lygties šaknų ženklų nustatymas. Žodžiu duotosios kvadratinės lygties sveikųjų šaknų radimas. Kvadratinių lygčių sudarymas su nurodytomis šaknimis. Kvadratinio trinalio koeficientas.

Bikvadratinės lygtys Bikvadratinė lygtis yra lygtis, kurios forma yra 0. Bikvadratinė lygtis išsprendžiama įvedant naują kintamąjį: įdėjus, gauname kvadratinę lygtį Pavyzdys: Išspręskite lygtį x 4 +4x 2 -21=0 Įdėjus x 2 =t, gauname kvadratinę lygtį t 2 +4t -21=0, iš kur randame t 1 = -7, t 2 =3. Dabar uždavinys yra išspręsti lygtis x 2 = -7, x 2 = 3. Pirmoji lygtis neturi realių šaknų iš antrosios randame: kurios yra duotosios bikvadratinės lygties šaknys.

Užduočių sprendimas naudojant kvadratines lygtis 1 uždavinys: Autobusas išvyko iš autobusų stoties į oro uostą, esantį už 40 km. Po 10 minučių iš autobuso taksi išvažiavo keleivis. Taksi greitis yra 20 km/h didesnis nei autobuso greitis. Raskite taksi ir autobuso greitį, jei jie atvyko į oro uostą tuo pačiu metu. Greitis V (km/h) Laikas t (h) Kelias S (km) Busx40 TaxiX+2040 10 min 10 min = h Sukurkime ir išspręskime lygtį:

Abi lygties puses padauginus iš 6x(x+20), gauname: Šios lygties šaknys: Šioms x reikšmėms į lygtį įtrauktų trupmenų vardikliai nėra lygūs 0, todėl jie yra lygties šaknis. Kadangi magistralės greitis yra teigiamas, problemos sąlygas tenkina tik viena šaknis: x=60. Todėl taksi greitis yra 80 km/val. Atsakymas: Autobuso greitis 60 km/h, taksi 80 km/h.

2 problema: pirmasis mašytojas skiria 3 valandomis mažiau rankraščio spausdinimui nei antrasis. Dirbdami vienu metu, jie perrašydavo visą rankraštį per 6 valandas ir 40 minučių. Kiek laiko užtruks kiekvienas iš jų, kad perspausdintų visą rankraštį? Darbo kiekis per valandą Laikas t (h) Darbo kiekis Pirmas mašytojas x1 Antras mašininkas x+31 Kartu per 6 valandas 40 minučių 6 valandas 40 minučių = 6 valandas Sukurkime ir išspręskime lygtį:

Šią lygtį galima parašyti taip: Padauginus abi lygties puses iš 20x(x+3), gauname: Šios lygties šaknys: Šioms x reikšmėms į lygtį įtrauktų trupmenų vardikliai nėra lygus 0, todėl – lygties šaknys. Kadangi laikas teigiamas, tai x=12h. Todėl pirmoji mašininkė darbui skiria 12 valandų, antroji - 12 valandų + 3 valandas = 15 valandų. Atsakymas: 12 valandų ir 15 valandų 15

Francois Viet Francois Viet gimė 1540 m. Prancūzijoje. Vieto tėvas buvo prokuroras. Sūnus pasirinko tėvo profesiją ir tapo teisininku, baigė Puatu universitetą. 1563 m. jis paliko jurisprudenciją ir tapo mokytoju kilmingoje šeimoje. Būtent mokymas sužadino jauno teisininko susidomėjimą matematika. Vietas persikelia į Paryžių, kur lengviau sužinoti apie pirmaujančių Europos matematikų pasiekimus. Nuo 1571 m. Vietas užėmė svarbias vyriausybės pareigas, tačiau 1584 m. buvo pašalintas ir ištremtas iš Paryžiaus. Dabar jis turėjo galimybę rimtai užsiimti matematika. 1591 m. jis išleido traktatą „Analitinės dailės įvadas“, kuriame parodė, kad veikiant simboliais galima gauti rezultatą, taikomą bet kokiems atitinkamiems dydžiams. Tais pačiais metais buvo paskelbta garsioji teorema. Didžiulę šlovę jis pelnė valdant Henrikui III per Prancūzijos ir Ispanijos karą. Per dvi savaites, dirbdamas dienas ir naktis, jis rado raktą nuo ispaniško šifro. Mirė Paryžiuje 1603 m., yra įtarimų, kad buvo nužudytas.

Standartiniai lygčių tipai ir jų sprendimo būdai

1. Formos lygtis
= b↔ f(x) = b 2, kai b ≥ 0; neturi b sprendimų

Auksinė taisyklė. Norėdami išspręsti, šaknį reikia izoliuoti.

Pavyzdžiai.

1)

2)

3)
. Sprendimų nėra, nes...

2. Formos lygtis

Pavyzdžiai.

Atsakymas: x = - 1

2) Pavyzdžiuose, kurie susiveda į ši rūšis lygtis, naudojant lygiaverčius perėjimus būtina rasti leistinų reikšmių diapazoną.

Pavyzdys.

Atsakymas

3. Formos lygtis


arba

Pasirinkite paprastesnę nelygybę.

Pavyzdžiai.

1)

, sinх = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 1

2t 2 + t – 1 = 0

t = -1, t = ½ Atsižvelgiant į apribojimus t = ½

Atsakymas:

4. Lygtys, redukuojamos į kvadratines

Tokiose lygtyse yra šaknų su identiškomis radikalų išraiškomis, kurių laipsniai skiriasi du kartus (
). Išspręsta pakeitus šaknį
, taikomi apribojimai.

Pavyzdžiai.

1)

= t, kur t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, atsižvelgiant į tai, kad t ≥ 0, t = 3

= 3

Atsakymas: x = ± 7

2)

= t, tada

= 2 arba = ½

= 32 = 1/32

16z =32 16·32z – z = -1

z = 2 z = - 1/511
5. Lygtys, turinčios daugiau nei vieną šaknį terminų pavidalu

Tokio tipo lygtyse būtina atsikratyti šaknų. Dažniausiai tai daroma kvadratuojant abi dalis. Pažymėtina, kad kvadratuojant nežinomo ODZ, jis plečiasi, o tai gali sukelti svetimos šaknys lygtys Kvadratavimas nesuteikia lygiaverčio perėjimo, todėl reikia patikrinti gautas nežinomybės reikšmes.

Priimant sprendimą reikia laikytis šių taisyklių:

1. 
   Paskleiskite šaknis skersai skirtingos pusės, kadangi transformacijos šiuo atveju yra paprastesnės;
2. 
   Raskite verčių rinkinį, kurio šaknys yra;
3. 
   Abi dalys kvadratu;
4. 
   Išveskite lygtį į standartinę formą;
5. 
   Spręsti pagal 1 – 3 tipus;
6. 
   Pašalinti pašalines šaknis;
7. 
   Patikrinkite likusias šaknis.

1)

išspręskite atlikdami 5 veiksmą (formos lygtis)

Tikrinama x = 3

Lygybė yra tiesa.

Atsakymas: x = 3.
2)

3x - 4 - 2
= x – 2

2x – 2 = (1) x – 1 =

Atkreipkite dėmesį, kad remiantis lygiavertiškumu, mes išsprendžiame tik (1) lygtį, o ne pirminę, todėl turime patikrinti.

Galite išspręsti neatsižvelgdami į ODZ ir nenaudoti lygiavertiškumo, tačiau tokiu atveju reikia patikrinti visas gautas x reikšmes. Kai kuriose lygtyse tai gana sudėtinga.

Apžiūra. x = 3

Lygybė yra tiesa.

Atsakymas: x = 3
6. Lygtys, išspręstos keičiant kintamuosius.

6.1 Aiškūs keitimai.

Jei pavyzdyje yra terminų su pasikartojančiomis išraiškomis, patartina pakeisti kintamuosius, o tai iš esmės nėra tiesioginis sprendimas, bet žymiai supaprastina išraiškų transformaciją ir lygties suvedimą į standartinę formą.

Auksinė taisyklė . Atliktas pakeitimas - nustatykite naujo kintamojo pakeitimo sritį. (nustatyti apribojimus naujam kintamajam)

Pavyzdžiai.

1)

Tegu = t, kur t ≥ 0, nes šaknis yra aritmetinė.

Gauname: t 2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Kadangi t ≥ 0, t = 3

Pereikime prie x

= 3 x 2 + 32 = 81, x = ± 7.

Atsakymas: x = ± 7.


Nes
Ir
abipusiai atvirkštinės išraiškos, tada jei
= t,

= , kur t > 0.

Gauname t + = , 2t 2 – 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= arba = 2

8x = 1 + 2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6. x = - 2/3

Didžiausia šaknis x = 1/6.

3)

= t, t ≥ 0 Pakeiskite šaknį ir išreikškite dešinę pusę per t.

= t 2,
t 2-20

t = – (t 2 – 20), t 2 + t – 20 = 0. t = – 5 arba t = 4.

Nes t ≥ 0, tada t = 4

= 4,

x 2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 arba x = 2.

Atsakymas: x = - 4, x = 2.

4)
. Gaminsime dvigubas pakeitimas:

t =
, kur t ≥ 0, d =
, kur d ≥ 0.

Išreikškime x iš kiekvieno: x = 5 - t 2 arba x = d 2 + 3. Paimkime sistemą:

. t = 0 arba d = 0

= 0 arba = 0

x = 5 arba x = 3

Atsakymas: x = 5; x = 3.

6.2 Neakivaizdus pakeitimas

Kintamasis gali būti pakeistas ne iš karto, o atlikus transformacijas.

Pavyzdžiai.

1)

ODZ: – 1 ≤ x ≤ 3

Suplanuokime kitą laiką
tinka daugiau sudėtinga išraiška
liko tik vienas.

Palyginkime abi puses, tikėdamiesi gauti tas pačias išraiškas:

Lūkesčiai pasiteisino.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 - 4 t + 4 = 0, (t - 2) 2 = 0, t = 2

= 2,
= 4,

x = 1 lygties šaknis, nes koeficientų suma ir nemokamas narys lygus nuliui.

dalinkimės
ant x – 1. Gauname x 2 – 2x + 1 = 0. x = 1 ±
.

Visos trys šaknys yra sprendiniai, nes tenkina sąlygą – 1 ≤ x ≤ 3.

Atsakymas: x = 1, x = 1 ±
7. Formos sandauga lygi nuliui lygtys.

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o kitas nepraranda savo reikšmės.

f(x) g(x) = 0

Pavyzdžiai.

1)

= 0

nėra sprendinių x = - 1, x = 2.

Atsakymas: x = - 1, x = 2.

Į sistemą įtrauktos nelygybės negali būti išspręstos iš karto, tačiau gautą šaknį galima pakeisti nelygybe.

2) Būtina faktorizuoti.

= 4

nėra sprendinių x = 0, x = 5.

Atsakymas: x = 0, x = 5.

1. 
   Lygtys su kvadratinėmis ir kubinėmis šaknimis.

Pavyzdžiai.

1)

= t,
= d, kur d ≥ 0

x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Sukurkime sistemą:

Nes visoms rastoms reikšmėms t d ≥ 0, tada d negalima rasti iš sistemos, bet x galima rasti iš sąlygos x = 2 - t 3 .

x = 2, x = 10, x = 1

Atsakymas: x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 būdas. Išspręskite kaip ankstesnę lygtį.

2 būdas. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusėje lygtis reiškia didėjančią funkciją, nes ji susideda iš dviejų apibrėžimo srities didėjančių funkcijų sumos: x ≥ - 1. Dešinė pusė– pastovus. Šių funkcijų grafikai susikerta viename taške, kurio abscisė bus šios lygties sprendinys, t.y. lygtis turi vieną sprendinį. Pabandykime pasiimti.

Akivaizdu, kad atranka turi būti atlikta ODZ lygtys. Reikia manyti, kad reikia pašalinti šaknis, nes... suma yra 3.

Įsitikiname, kad x = 3 yra lygties šaknis.

Atsakymas: x = 3.

3)
.

Nes
Tokiu pat laipsniu sumažinkime šaknis.

, x = - 1

(x + 1) (x 2 – 4x + 4)

x 2 – 4x + 4 =0 x = 2.

Abi šaknys tenkina ODZ.

Atsakymas: x = - 1, x = 2

1. 
   Lygtis, kurioje yra dviejų trečiųjų šaknų suma (skirtumas).

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

Atkreipkite dėmesį, kad skliaustelis (a ± b) =

Pavyzdžiai.

1)
. Supjaustykime abi dalis:

Bet
= 2, todėl paskutinį skliaustelį pakeiskite 2.

Mes gauname

x = 0

atsakymas: x = 0.

2)

Atkreipkite dėmesį, kad išraiškos 2 – x ir 7 + x kartojasi. Pakeiskime:

t =
, d =
. Kur x = 2 – t 3 arba x = d 3 – 7

Jūs neturite rasti t ir d, bet naudokite faktą, kad td = 2

= 2

- x 2 – 5x + 14 = 8, x 2 + 5x - 6 = 0, x = - 6, x = 1.

Atsakymas: x = - 6, x = 1.

1. 
   Lygtys, kuriose yra sudėtingų radikalų.

1. 
   Nustatykite, ar radikali išraiška yra tobulas kvadratas;
2. 
   Pasirinkite tobulas kvadratas;
3. 
   Jei 1 dalies nėra, taikyti sudėtingų radikalų formules;
4. 
   Jei nėra 1–3 punktų, taikykite standartines transformacijas (pakeitimas, faktorinacija, eksponencija ir kt.)

1)

Pabandykime surasti tobulą kvadratą. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2. Tokiu atveju reikėtų motyvuoti taip:

Leiskite
- dvigubas produktas, 2ab.

Leiskite
- pirmasis numeris a.

Tada antrasis skaičius b = 1. Todėl pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma yra x – 3. Radikali išraiška yra pilnas kvadratas.

Leiskite
- dvigubas produktas.

Tegul pirmasis skaičius a.

Tada antrasis skaičius b = 2. Todėl pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma lygi x. Radikali išraiška yra pilnas kvadratas.

+ = 1

Nes
│a│, tada gauname lygtį:
│
│ + │
│ = 1

Dabar padarykime pakeitimą = t , = t – 1

│t │ + │t – 1 │ = 1

Raskime modulių nulius: t = 0, t = 1

│t │

- │ + │ +

│t – 1 │- 0 – 1 + x

jokių sprendimų
jokių sprendimų

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 Nes Visos nelygybės dalys yra teigiamos, išlyginkime jas kvadratu.

1 ≤ x – 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8.

Atsakymas:

Iracionaliųjų lygčių sprendimo būdai

1. 
   Naudojant funkcijų monotoniškumo savybes.

Reikia nepamiršti šių dalykų:

1. 
   Dviejų didėjančių (mažėjančių) funkcijų suma yra didėjanti (mažėjanti) funkcija.
2. 
   Funkcijos padidėjimą ir sumažėjimą galima nustatyti pagal jos išvestinę.

1)
.

Tegu f(x) =
. f(x) – sumažėja D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 – konstanta. Funkcijų grafikai susikerta viename taške. Lygtis turi vieną sprendinį.

Mes pasirenkame iš D(f) = (-∞; 3], atsižvelgdami į tai, kad turi būti ištrauktos šaknys.

x = - 1.

Apžiūra.

, 4 + 2 = 6, lygybė yra teisinga.

Atsakymas: x = - 1.

2)

Tegu f(x) =
. Funkcija mažėja.

Įrodykime tai. D(f) =

f '(x) =

f′(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, D(g) =

g ′(x) =

g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g (1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

Atkreipkite dėmesį, kad ta pati vertė funkcijas gauname tik tada, kai x = 2

Taip pat galite motyvuoti taip: didžiausia vertė viena funkcija lygi mažiausia vertė kita funkcija toms pačioms x reikšmėms. Todėl lygties f(x) = g(x) sprendimas yra šios x reikšmės.

maks. f = 3, min g = 3, maks. f = min g = 3, kai x = 2

Atsakymas: x = 2

1 būdas.

Tegu f(x) =
, D(f) = R.

f′(x) = 4x3 + 12x2 + 12x + 4

f′(x) = 0 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4 = 0,

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f ′(x) - │ +

f(x) – 1
f min = f(-1) = -1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g ′(x) =
, g ′(x) = 0 x = - 1

g ′(x) + -

g(x) │–1

g max = g(-1) = -1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1, kai x = -1.

Atsakymas: x = - 1.

2 būdas.

Pasirinkite tobulą daugianario kvadratą:

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x. Mes gauname:

(X 2 + 2x) 2 + 2 (x 2 + 2x) +
.

Dabar galite pakeisti:

x 2 + 2x = t

t 2 + 2 t +
= 2

Gali būti, kad į duota lygtis Pageidautina 2 metodas. Tačiau reikia gerai įsisavinti vertinimo metodą, nes daugelis lygčių, sistemų ir nelygybių išsprendžiamos būtent tokiu būdu.

1. 
   DZ naudojimas