Skaičiaus e nustatymas. Pažiūrėkite, kas yra „skaičius e“ kituose žodynuose

Skaičius „e“ yra viena iš svarbiausių matematinių konstantų, apie kurią visi yra girdėję. mokyklos pamokos matematikos. Koncepcija skelbiama populiarus pristatymas, kurį parašė humanistas humanistams, kuriame prieinama kalba pasakys, kodėl ir kodėl egzistuoja Eulerio skaičius.

Ką bendro turi mūsų pinigai ir Eulerio skaičius?

Nors skaičius π (pi) yra labai apibrėžtas geometrine prasme ir jį naudojo senovės matematikai, tada skaičius e(Eulerio skaičius) gana neseniai užėmė savo pelnytą vietą moksle, o jo šaknys eina tiesiai... į finansines problemas.

Labai nedaug laiko praėjo nuo pinigų išradimo, kai žmonės suprato, kad valiutą galima pasiskolinti ar paskolinti už tam tikrą palūkanų normą. Natūralu, kad „senovės“ verslininkai nevartojo žinomos „procento“ sąvokos, tačiau sumos padidėjimas tam tikru rodikliu per tam tikrą laikotarpį jiems buvo pažįstamas.

Nuotraukoje: 10 frankų vertės banknotas su Leonhardo Eulerio (1707-1783) atvaizdu.

Mes nesigilinsime į pavyzdį su 20% per metus, nes iš ten patekti į Eulerio skaičių užtrunka per ilgai. Panaudokime įprasčiausią ir aiškiausią šios konstantos reikšmės paaiškinimą, o tam turėsime šiek tiek įsivaizduoti ir įsivaizduoti, kad koks nors bankas siūlo mums įdėti pinigų į indėlį 100% per metus.

Mintinis-finansinis eksperimentas

Šiam minties eksperimentui galite paimti bet kokią sumą ir rezultatas visada bus identiškas, tačiau pradedant nuo 1, galime tiesiogiai pasiekti pirmąją apytikslę skaičiaus reikšmę e. Taigi, tarkime, kad mes investuojame į banką 1 dolerį, o metų pabaigoje 100% per metus turėsime 2 dolerius.

Bet tai tik tuo atveju, jei palūkanos kapitalizuojamos (pridedamos) kartą per metus. O kas, jei jie du kartus per metus kapitalizuoja? Tai yra, 50% bus kaupiami kas šešis mėnesius, o antrieji 50% bus kaupiami nebe nuo pradinės sumos, o nuo sumos, padidintos pirmaisiais 50%. Ar tai bus mums pelningiau?

Vaizdinė infografija, rodanti geometrinę skaičiaus reikšmę π .

Žinoma, bus. Su didžiosiomis raidėmis du kartus per metus, po šešių mėnesių sąskaitoje turėsime 1,50 USD. Iki metų pabaigos bus pridėta dar 50% 1,50 USD, tai yra bendra suma bus 2,25 USD. Kas atsitiks, jei kapitalizacija bus atliekama kiekvieną mėnesį?

Kiekvieną mėnesį mums bus įskaityta 100/12% (tai yra maždaug 8.(3)%), o tai pasirodys dar pelningiau – iki metų pabaigos turėsime 2,61 USD. Bendroji formulė apskaičiuoti bendrą sumą, skirtą atsitiktiniam skaičiui didžiųjų raidžių (n) per metus, atrodo taip:

Bendra suma = 1(1+1/n) n

Pasirodo, kai reikšmė n = 365 (tai yra, jei mūsų palūkanos kapitalizuojamos kiekvieną dieną), gauname tokią formulę: 1(1+1/365) 365 = 2,71 USD. Iš vadovėlių ir žinynų žinome, kad e yra apytiksliai lygus 2,71828, tai yra, atsižvelgiant į mūsų nuostabaus indėlio kasdienę didžiąją raidę, jau priėjome prie apytikslė vertė e, kurio jau pakanka daugeliui skaičiavimų.

N augimas gali tęstis neribotą laiką, ir kuo didesnė jo reikšmė, tuo tiksliau galime apskaičiuoti Eulerio skaičių iki dešimtainio skaičiaus, kurio mums dėl tam tikrų priežasčių reikia.

Ši taisyklė, žinoma, neapsiriboja tik mūsų finansiniais interesais. Matematinės konstantos toli gražu nėra „specialistas“ - jos veikia vienodai gerai, nepriklausomai nuo taikymo srities. Todėl, jei įsigilinsite, galite juos rasti beveik bet kurioje gyvenimo srityje.

Pasirodo, skaičius e yra kažkas panašaus į visų pokyčių ir „natūralios kalbos“ matą matematinė analizė“ Juk „matanas“ yra glaudžiai susietas su diferenciacijos ir integracijos sąvokomis, ir abi šios operacijos susijusios su be galo mažais pokyčiais, kuriuos taip puikiai apibūdina skaičius. e .

Unikalios Eulerio skaičiaus savybės

Atsižvelgdami į labiausiai suprantamą vienos iš skaičiaus skaičiavimo formulių konstrukcijos paaiškinimo pavyzdį e, trumpai pažvelkime į dar keletą klausimų, tiesiogiai susijusių su juo. Ir vienas iš jų: kuo išskirtinis Eulerio skaičius?

Teoriškai absoliučiai bet kuri matematinė konstanta yra unikali ir kiekviena turi savo istoriją, bet, matote, pretenzija į natūralios matematinės analizės kalbos pavadinimą yra gana svarus reikalavimas.

Pirmieji tūkstančiai Eulerio funkcijos ϕ(n) verčių.

Tačiau skaičius e tam yra priežasčių. Nubraižant funkciją y = e x aiškėja nuostabus faktas: ne tik y lygus e x , kreivės gradientas ir plotas po kreive taip pat yra lygūs tam pačiam rodikliui. Tai yra, plotas po kreive nuo tam tikros y vertės iki minus begalybės.

Joks kitas skaičius negali tuo pasigirti. Mums, humanistams (ar tiesiog NE matematikams), toks teiginys mažai ką pasako, tačiau patys matematikai tvirtina, kad tai labai svarbu. Kodėl tai svarbu? Pabandysime suprasti šią problemą kitą kartą.

Logaritmas kaip būtina Eilerio skaičiaus sąlyga

Galbūt kas nors iš mokyklos laikų prisimena, kad Eulerio skaičius taip pat yra natūraliojo logaritmo pagrindas. Na, tai atitinka jo pobūdį kaip visų pokyčių matą. Vis dėlto, ką su tuo turi Euleris? Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad e kartais dar vadinamas Napier skaičiumi, tačiau be Eulerio istorija būtų neišsami, taip pat neminint logaritmų.

Škotijos matematiko Johno Napier XVII amžiuje išrastas logaritmas tapo vienu iš svarbiausi įvykiai matematikos istorija. Šio įvykio metinių minėjime, kuris įvyko 1914 m., lordas Moultonas apie tai kalbėjo taip:

„Logaritmų išradimas buvo skirtas mokslo pasaulis kaip žaibas iš giedro dangaus. Joks ankstesnis darbas to neprivedė, neprognozavo ar nežadėjo šio atradimo. Jis stovi atskirai, staiga išsiveržia iš žmogaus minties, nieko nepasiskolinęs iš kitų protų darbo ir nesivadovavęs tuo metu jau žinomomis matematinio mąstymo kryptimis.

Pierre'as-Simonas Laplasas, garsus prancūzų matematikas o astronomas dar dramatiškiau išreiškė šio atradimo svarbą: „Logaritmų išradimas, sumažinęs kruopštaus darbo valandas, padvigubino astronomo gyvenimą“. Kas Laplasą taip sužavėjo? O priežastis labai paprasta – logaritmai leido mokslininkams gerokai sumažinti laiką, paprastai skiriamą sudėtingiems skaičiavimams.

Apskritai logaritmai supaprastino skaičiavimus – perkėlė juos vienu sudėtingumo skalės lygiu žemyn. Paprasčiau tariant, užuot dauginę ir dalinę, turėjome atlikti sudėjimo ir atimties operacijas. Ir tai yra daug efektyviau.

e- natūraliojo logaritmo bazė

Laikykime savaime suprantamu dalyku, kad Napier buvo logaritmų srities pradininkas – jų išradėjas. Bent jau jis pirmas paskelbė savo išvadas. Šiuo atveju kyla klausimas: koks Eulerio nuopelnas?

Viskas paprasta – jį galima vadinti Napier ideologiniu įpėdiniu ir žmogumi, privedusiu škotų mokslininko gyvenimo darbą iki logaritminės (skaityk loginės) išvados. Įdomu, ar tai įmanoma?

Kai kurie labai svarbūs grafikai, sudaryti naudojant natūralųjį logaritmą.

Tiksliau, Euleris išvedė natūralaus logaritmo pagrindą, dabar žinomą kaip skaičius e arba Eulerio numeris. Be to, savo vardą į mokslo istoriją jis įrašė daugiau kartų, nei galėjo svajoti Vasja, kuriai, atrodo, pavyko visur „apsilankyti“.

Deja, konkretūs darbo su logaritmais principai yra atskiro didelio straipsnio tema. Taigi kol kas pakaks pasakyti, kad dėka daugybės atsidavusių mokslininkų, kurie tiesiogine prasme savo gyvenimo metus skyrė kompiliavimui logaritmines lenteles tais laikais, kai apie skaičiuotuvus niekas negirdėjo, mokslo pažanga labai paspartėjo.

Nuotraukoje: John Napier - škotų matematikas, logaritmo išradėjas (1550-1617).

Juokinga, bet ši pažanga galiausiai lėmė šių lentelių pasenimą, o to priežastis buvo būtent rankinių skaičiuotuvų atsiradimas, kurie visiškai perėmė užduotį atlikti tokio tipo skaičiavimus.

Galbūt jūs taip pat girdėjote apie skaidrių taisyklės? Kažkada be jų neapsieidavo inžinieriai ar matematikai, o dabar tai beveik kaip astrolabija – įdomi priemonė, bet labiau mokslo istorijos, o ne kasdienės praktikos požiūriu.

Kodėl taip svarbu būti logaritmo pagrindu?

Pasirodo, logaritmo bazė gali būti bet koks skaičius (pavyzdžiui, 2 arba 10), bet būtent dėl ​​unikalių Eulerio skaičiaus savybių logaritmas į bazę e vadinamas natūraliu. Ji tarsi įmontuota į tikrovės struktūrą – nuo ​​jos nepabėgsi ir nereikia, nes tai labai supaprastina įvairiose srityse dirbančių mokslininkų gyvenimą.

Pateikiame suprantamą logaritmo prigimties paaiškinimą iš Pavelo Berdovo svetainės. Logaritmas iki pagrindo a iš argumento x yra laipsnis, iki kurio reikia padidinti skaičių a, kad gautume skaičių x. Grafiškai tai nurodoma taip:

log a x = b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b yra logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra 3, nes 2 3 = 8).

Viršuje matėme skaičių 2 logaritmo pagrindo paveikslėlyje, tačiau matematikai teigia, kad talentingiausias šio vaidmens aktorius yra Eulerio skaičius. Laikykimės jų žodžio... Ir tada pažiūrėkime patys.

Išvados

Turbūt blogai, kad jis yra viduje aukštasis išsilavinimas taip stipriai atskirti yra natūralūs ir humanitariniai mokslai. Kartais tai lemia per didelį „kreipimą“ ir pasirodo, kad su žmogumi, kuris gerai išmano, tarkime, fiziką ir matematiką, kalbėti kitomis temomis visiškai neįdomu.

Ir atvirkščiai, jūs galite būti pirmos klasės literatūros specialistas, bet tuo pat metu būti visiškai bejėgis, kai kalbama apie tą pačią fiziką ir matematiką. Bet visi mokslai savaip įdomūs.

Tikimės, kad mes, bandydami įveikti savo ribotumą improvizuotos programos „Esu humanistas, bet gydau“ rėmuose, padėjome jums išmokti ir, svarbiausia, suprasti kažką naujo iš ne visai pažįstamos mokslo srities.

Na, o tiems, kurie nori daugiau sužinoti apie Eulerio skaičių, galime rekomenduoti kelis šaltinius, kuriuos, jei nori, gali suprasti net nuo matematikos nutolęs žmogus: Eli Maoras savo knygoje „e: vieno skaičiaus istorija“ („e: istorija skaičiaus“) išsamiai ir aiškiai aprašo Eulerio skaičiaus foną ir istoriją.

Taip pat šio straipsnio skiltyje „Rekomenduojama“ galite rasti „YouTube“ kanalų pavadinimus ir vaizdo įrašus, kuriuos filmavo profesionalūs matematikai, bandantys aiškiai paaiškinti Eulerio numerį, kad jis būtų suprantamas net ne specialistams.

NUMERIS e. Skaičius, maždaug lygus 2,718, dažnai randamas matematikoje ir gamtos mokslai. Pavyzdžiui, griūties metu radioaktyvioji medžiaga praėjus laikui t pradinio medžiagos kiekio lieka dalis lygi e–kt, Kur k– skaičius, apibūdinantis tam tikros medžiagos skilimo greitį. Abipusis 1/k vadinama vidutine tam tikros medžiagos atomo gyvavimo trukme, nes prieš suirdamas atomas egzistuoja vidutiniškai 1/ k. Vertė 0,693/ k vadinamas radioaktyviosios medžiagos pusinės eliminacijos periodu, t.y. laikas, per kurį suyra pusė pradinio medžiagos kiekio; skaičius 0,693 yra maždaug lygus log e 2, t.y. skaičiaus 2 logaritmas iki bazės e. Taip pat, jei bakterijos maistinė terpė daugintis greičiu, proporcingu jų skaičiui dabarties akimirka, tada po tam tikro laiko t pradinis kiekis bakterijos N virsta Ne kt. Silpninimas elektros srovė aš paprastoje grandinėje su nuoseklia jungtimi, varža R ir induktyvumas L vyksta pagal įstatymus aš = aš 0 e–kt, Kur k = R/L, aš 0 – srovės stiprumas laiko momentu t= 0. Panašios formulės apibūdina įtempių atsipalaidavimą klampiame skystyje ir slopinimą magnetinis laukas. 1 numeris/ k dažnai vadinamas atsipalaidavimo laiku. Statistikoje vertė e–kt atsiranda kaip tikimybė, kad laikui bėgant t atsitiktinai, vidutiniu dažniu, nebuvo įvykių kįvykių per laiko vienetą. Jeigu S- pagal investuotą pinigų sumą r palūkanos su nuolatiniu kaupimu, o ne kaupiant atskirais intervalais, tada pagal laiką t pradinė suma padidės iki Setr/100.

Skaičiaus „visurėjimo“ priežastis e slypi tame, kad matematinės analizės formulės, kuriose yra eksponentinių funkcijų arba logaritmų, rašomos paprasčiau, jei logaritmai paimami į bazę e, o ne 10 ar kokia kita bazė. Pavyzdžiui, log 10 išvestinė x lygus (1/ x) žurnalas 10 e, tuo tarpu log vedinys e x tiesiog lygus 1/ x. Taip pat 2 išvestinė x lygus 2 xžurnalas e 2, o išvestinė iš e x yra tiesiog lygus e x. Tai reiškia, kad skaičius e gali būti apibrėžtas kaip pagrindas b, kurioje funkcijos grafikas y=žurnalas b x turi taške x= 1 liestinė s nuolydis, lygus 1, arba kurioje kreivė y = b x turi x= 0 liestinė, kurios nuolydis lygus 1. Logaritmai į pagrindą e yra vadinami „natūraliais“ ir žymimi ln x. Kartais jie dar vadinami „Nepier“, o tai neteisinga, nes iš tikrųjų J. Napier (1550–1617) išrado logaritmus su kitokiu pagrindu: Nepjė skaičiaus logaritmu. x lygus 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Įvairūs laipsnių deriniai e taip dažnai pasitaiko matematikoje ypatingi vardai. Tai, pavyzdžiui, hiperbolinės funkcijos

Funkcijos grafikas y= ch x vadinama kontaktine linija; Tai yra sunkaus neištempto sriegio arba grandinės, pakabinto ant galų, forma. Eilerio formulės

Kur i 2 = –1, surišimo skaičius e su trigonometrija. Ypatingas atvejis x = p veda į garsųjį ryšį e ip+ 1 = 0, jungiantis 5 žinomiausius matematikos skaičius.

Rodiklis žymimas kaip , arba .

Skaičius e

Rodiklio laipsnio pagrindas yra numeris e. Tai neracionalus skaičius. Jis yra maždaug lygus
e ≈ 2,718281828459045...

Skaičius e nustatomas per sekos ribą. Tai yra vadinamasis antra nuostabi riba:
.

Skaičius e taip pat gali būti pavaizduotas kaip serija:
.

Eksponentinis grafikas

Eksponentinis grafikas, y = e x .

Grafike rodomas eksponentas e iki laipsnio X.
y (x) = e x
Grafike matyti, kad eksponentas didėja monotoniškai.

Formulės

Pagrindinės formulės toks pat kaip ir eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra e.

;
;
;

Eksponentinės funkcijos su savavališka laipsnio a baze išraiška per eksponentinį:
.

Privačios vertybės

Leiskite y (x) = e x.
.

Tada

Eksponento savybės e > 1 .

Rodiklis turi eksponentinės funkcijos su galios baze savybes

Domenas, vertybių rinkinys (x) = e x Rodiklis y
apibrėžta visiems x.
- ∞ < x + ∞ .
Jo apibrėžimo sritis:
0 < y < + ∞ .

Kraštutinumai, didėja, mažėja

Eksponentinis yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės jo savybės pateiktos lentelėje.

Atvirkštinė funkcija

Rodiklio atvirkštinė vertė yra natūralusis logaritmas.
;
.

Rodiklio išvestinė

Darinys e iki laipsnio X lygus e iki laipsnio X :
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvedimo formulės >>>

Integralinis

Sudėtingi skaičiai

Veiksmai su kompleksiniai skaičiai atlikta naudojant Eilerio formulės:
,
kur yra įsivaizduojamas vienetas:
.

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

; ;
.

Išraiškos naudojant trigonometrines funkcijas

; ;
;
.

Galios serijos išplėtimas

Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

PERVUŠKINAS BORIS NIKOLAJVICHAS

Privati ​​mokymo įstaiga "Sankt Peterburgo mokykla "Tete-a-Tete"

Matematikos mokytojas Aukščiausia kategorija

Skaičius e

Skaičius pirmą kartą pasirodėmatematikakaip kažkas nereikšmingo. Tai atsitiko 1618 m. Napier darbo apie logaritmus priede buvo pateikta natūraliųjų logaritmų lentelė skirtingi skaičiai. Tačiau niekas nesuprato, kad tai buvo logaritmai į bazę, nes tuo metu logaritmo sąvoka neapėmė tokio dalyko kaip bazė. Tai dabar vadiname logaritmu – galia, iki kurios reikia pakelti bazę, kad gautume reikiamą skaičių. Prie to grįšime vėliau. Priede pateiktą lentelę greičiausiai padarė Augthredas, nors autorius nebuvo nustatytas. Po kelerių metų, 1624 m., ji vėl pasirodo matematinėje literatūroje, bet vėl užslėpta. Šiais metais Briggsas pateikė skaitinį aproksimaciją dešimtainis logaritmas, tačiau pats skaičius jo darbe neminimas.

Kitas numerio pasirodymas vėl kelia abejonių. 1647 m. Sent Vincentas apskaičiavo hiperbolės sektoriaus plotą. Ar jis suprato ryšį su logaritmais, galima tik spėlioti, bet net jei ir suprato, vargu ar galėtų prieiti prie paties skaičiaus. Tik 1661 m. Huygensas suprato ryšį tarp lygiakraštės hiperbolės ir logaritmų. Jis įrodė, kad plotas po lygiakraštės hiperbolės lygiakraštės hiperbolės grafiku intervale nuo 1 yra lygus 1. Ši savybė yra natūraliųjų logaritmų pagrindas, tačiau to nesuprato to meto matematikai, tačiau jie buvo pamažu artėja prie šio supratimo.

Huygensas žengė kitą žingsnį 1661 m. Jis apibrėžė kreivę, kurią pavadino logaritmine (mūsų terminologijoje vadinsime ją eksponentine). Tai tipo kreivė. Ir vėl pasirodo dešimtainis logaritmas, kurį Huygensas nustato 17 dešimtainių skaitmenų tikslumu. Tačiau jis kilo iš Huygenso kaip tam tikra konstanta ir nebuvo siejama su skaičiaus logaritmu (taigi, jie vėl priartėjo prie , tačiau pats skaičius lieka neatpažintas).

IN tolesnis darbas vėlgi, logaritmuose skaičius nėra aiškiai nurodytas. Tačiau logaritmų tyrimas tęsiamas. 1668 metais Nikolajus Merkatorius paskelbė kūrinįLogaritmotechnika, kuriame yra serijos išplėtimas. Šiame darbe Mercator pirmiausia naudoja pavadinimą " natūralusis logaritmas“ baziniam logaritmui. Skaičius aiškiai nepasirodo, bet lieka nepagaunamas kažkur į šoną.

Stebina tai, kad skaičius pirmą kartą aiškiai pasirodo ne logaritmų, o begalinių sandaugų atžvilgiu. 1683 m. Jacobas Bernoulli bando rasti

Jis naudoja dvejetainę teoremą, kad įrodytų, kad ši riba yra tarp 2 ir 3, kurią galime įsivaizduoti kaip pirmąją aproksimaciją. Nors manome, kad tai yra , apibrėžimas, tai pirmas kartas, kai skaičius buvo apibrėžtas kaip riba. Bernoulli, žinoma, nesuprato ryšio tarp jo darbų ir darbo apie logaritmus.

Anksčiau buvo minėta, kad logaritmai tyrimo pradžioje nebuvo niekaip susiję su eksponentais. Žinoma, iš lygties matome, kad , bet tai daug vėlesnis suvokimo būdas. Čia iš tikrųjų turime omenyje funkciją logaritmu, o iš pradžių logaritmas buvo laikomas tik skaičiumi, kuris padėjo atlikti skaičiavimus. Galbūt Jacobas Bernoulli pirmasis tai suprato logaritminė funkcija yra atvirkštinis eksponentinis. Kita vertus, pirmasis logaritmus ir galias sujungęs asmuo galėjo būti Jamesas Gregory. 1684 m. jis tikrai pripažino ryšį tarp logaritmų ir galių, tačiau jis galėjo būti ne pirmasis.

Žinome, kad numeris dabartine forma pasirodė 1690 m. Leibnicas laiške Huygensui naudojo šį pavadinimą. Galiausiai atsirado pavadinimas (nors ir nesutapo su šiuolaikiniu), ir šis pavadinimas buvo pripažintas.

1697 m. Johanas Bernoulli pradėjo tyrinėti eksponentinę funkciją ir paskelbėPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. Šiame darbe apskaičiuojamos įvairių eksponentinių eilučių sumos, o kai kurie rezultatai gaunami integruojant jas po termino.

Euleris pristatė tiek daug matematinis žymėjimas, Ką
nenuostabu, kad šis pavadinimas taip pat priklauso jam. Atrodo juokinga sakyti, kad jis naudojo šią raidę, nes tai pirmoji jo vardo raidė. Taip yra tikriausiai net ne todėl, kad jis paimtas iš žodžio „eksponentinis“, o tiesiog todėl, kad tai yra kitas balsis po „a“, o Euleris savo darbe jau naudojo žymą „a“. Nepriklausomai nuo priežasties, žymėjimas pirmą kartą pasirodo Eulerio laiške Goldbachui 1731 m. Toliau studijuodamas jis padarė daug atradimų, bet tik 1748 m.Introductio in Analysin infinitorumjis visiškai pagrindė visas idėjas, susijusias su. Jis tai parodė

Euleris taip pat rado pirmųjų 18 skaičių po kablelio:

tačiau nepaaiškindamas, kaip jis juos gavo. Panašu, kad jis pats apskaičiavo šią vertę. Tiesą sakant, jei paimtume apie 20 serijų (1), gautume Eulerio gautą tikslumą. Tarp kitų įdomių rezultatų jo darbas parodo sinuso ir kosinuso bei kompleksinio funkcijų ryšį eksponentinė funkcija, kurią Euleris išvedė iš Moivre'o formulės.

Įdomu tai, kad Euleris netgi rado skaičiaus skaidymą į tęstines trupmenas ir pateikė tokio skaidymo pavyzdžių. Visų pirma jis gavo

Euleris nepateikė įrodymų, kad šios trupmenos tęsiasi taip pat, tačiau žinojo, kad jei toks įrodymas būtų, tai parodytų neracionalumą. Iš tiesų, jei tęstinė trupmena, skirta , tęstųsi taip pat, kaip pateiktame pavyzdyje, 6,10,14,18,22,26, (kiekvieną kartą pridedame 4), tada ji niekada nebūtų pertraukta ir (todėl ) negalėjo būti racionalus. Akivaizdu, kad tai pirmasis bandymas įrodyti neracionalumą.

Pirmas gana apskaičiavęs didelis skaičius skaitmuo po kablelio buvo Shanksas 1854 m. Glaisheris parodė, kad pirmosios Shankso apskaičiuotos 137 vietos buvo teisingos, bet tada rado klaidą. Šanksas jį pataisė ir gavo 205 skaitmenis po kablelio. Iš tikrųjų jums reikia apie
120 išplėtimo terminų (1), kad gautumėte 200 teisingų skaičiaus skaitmenų.

1864 m. Benjaminas Peirce'as stovėjo prie lentos, ant kurios buvo parašyta

Savo paskaitose jis gali pasakyti savo studentams: „Ponai, mes net neįsivaizduojame, ką tai reiškia, bet galime būti tikri, kad tai reiškia kažką labai svarbaus“.

Dauguma žmonių mano, kad Euleris įrodė skaičiaus neracionalumą. Tačiau tai padarė Hermite 1873 m. Klausimas, ar skaičius yra algebrinis, vis dar lieka atviras. Naujausias rezultatasŠia kryptimi bent vienas iš skaičių yra transcendentinis.

Toliau apskaičiavome taip po kablelio skaičių. 1884 m. Boormanas apskaičiavo 346 skaitmenis, iš kurių pirmieji 187 sutapo su Shankso skaitmenimis, tačiau vėlesni skyrėsi. 1887 m. Adamsas apskaičiavo 272 dešimtainio logaritmo skaitmenis.

Visi žino geometrinę skaičiaus reikšmę π yra apskritimo, kurio skersmuo vienetas, ilgis:

Bet čia yra kitos svarbios konstantos prasmė, e, linkęs greitai pamiršti. Tai yra, aš nežinau, kaip jūs, bet kiekvieną kartą man kainuoja pastangos prisiminti, kodėl šis skaičius, lygus 2,7182818284590, yra toks nuostabus... (Aš vis dėlto užsirašiau reikšmę iš atminties). Taigi nusprendžiau parašyti raštelį, kad daugiau niekas neišskristų iš atminties.

Skaičius e pagal apibrėžimą – funkcijos riba y = (1 + 1 / x) x adresu x → ∞:

Šis apibrėžimas, deja, nėra aiškus. Neaišku, kodėl ši riba yra nepaprasta (nepaisant to, kad ji vadinama „antruoju reikšmingu“). Tik pagalvokite, jie ėmėsi kažkokios nerangios funkcijos ir apskaičiavo ribą. Skirtinga funkcija turės skirtingą.

Bet skaičius e kažkodėl jis pasirodo daugumoje skirtingos situacijos matematikoje.

Dėl manęs pagrindinė reikšmė skaičių e atsiskleidžia kito elgesyje, daug daugiau įdomi funkcija, y = k x. Ši funkcija turi unikalią savybę, kai k = e, kurį galima grafiškai parodyti taip:

Taške 0 funkcija įgauna reikšmę e 0 = 1. Jei taške nubrėžiate liestinę x= 0, tada jis pereis į x ašį kampu, kurio liestinė 1 (col geltonas trikampis požiūris priešinga koja 1 su gretimu 1 yra lygus 1). 1 taške funkcija įgauna reikšmę e 1 = e. Jei taške nubrėžiate liestinę x= 1, tada jis praeis kampu su liestine e(V žalias trikampis priešingos pusės santykis e gretimam 1 yra lygus e). 2 taške vertė e 2 funkcijos vėl sutampa su jos liestinės polinkio kampo liestine. Dėl to tuo pačiu metu pačios liestinės kerta x ašį tiksliai taškuose −1, 0, 1, 2 ir kt.

Tarp visų funkcijų y = k x(pavyzdžiui, 2 x , 10 x , π x ir tt), funkcija e x- vienintelis toks grožis, kad jo polinkio kampo liestinė kiekviename jo taške sutampa su pačios funkcijos verte. Tai pagal apibrėžimą reiškia, kad šios funkcijos vertė kiekviename taške sutampa su jos išvestinės vertės šiame taške: ( e x)´ = e x. Kažkodėl skaičius e= 2.7182818284590... turi būti padidintas į skirtingų laipsnių kad gautum tokią nuotrauką.

Tai, mano nuomone, yra jo prasmė.

Skaičiai π Ir e yra įtrauktos į mano mėgstamiausią formulę – Eulerio formulę, kuri sujungia 5 svarbiausias konstantas – nulį, vieną, įsivaizduojamas vienetas i ir, tiesą sakant, skaičiai π Ir e:

e iπ + 1 = 0

Kodėl numeris 2.7182818284590... in sudėtingas laipsnis 3,1415926535...i staiga lygus minus vienam? Atsakymas į šį klausimą nepatenka į šios pastabos taikymo sritį ir gali būti trumpos knygos turinys, kuriam prireiktų šiek tiek pagrindinių trigonometrijos, ribų ir serijų supratimo.

Mane visada stebino šios formulės grožis. Galbūt matematikoje yra daugiau nuostabių faktų, bet mano lygiui (C fizikos ir matematikos licėjuje ir A in išsamią analizę universitete) tai yra svarbiausias stebuklas.