Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Pitagoras tai visiškai įrodė neatmenami laikai, ir nuo tada ji atnešė daug naudos ją pažįstantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar pamenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tuos pačius Pitagoro kelnės ir pažiūrėkime į juos.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais??! Ir galime džiaugtis, kad turime paprasta formuluotė Pitagoro teorema. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, štai pagrindinė teorema diskutuota apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar pereikime prie... tamsus miškas... trigonometrija! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Konvertuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus santykiui priešinga kojaį hipotenuzę

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir aštrus kampas

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai žiūrėkite. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Bet panašūs trikampiai visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta iš viršūnės stačiu kampu, yra lygus pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

(ABC) ir jo savybės, kurios pateiktos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę - kraštinę, esančią priešais stačią kampą.

1 patarimas: kaip rasti stačiojo trikampio aukštį

Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Nuotraukoje pavaizduoti šonai AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AC Ir NE- hipotenuzė.

1 teorema. Stačiame trikampyje, kurio kampas yra 30°, šiam kampui priešinga kojelė sulaužys pusę hipotenuzės.

hC

AB- hipotenuzė;

AD Ir DВ

Trikampis
Yra tokia teorema:
komentarų sistema CACKLE

Sprendimas: 1) Bet kurio stačiakampio įstrižainės yra lygios. Netiesa. Trikampių tipai. Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° 3) Jei taškas yra ant.

Arba kitame įraše

Pagal Pitagoro teoremą

Kokia yra stačiojo trikampio aukščio formulė?

Stačiojo trikampio aukštis

Stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštį galima vienaip ar kitaip rasti, priklausomai nuo uždavinio teiginio duomenų.

Arba kitame įraše

Kur BK ir KC yra kojų projekcijos į hipotenuzą (segmentus, į kuriuos aukštis padalija hipotenuzą).

Aukštį iki hipotenuzės galima rasti per stačiojo trikampio plotą. Jei mes pritaikysime formulę, kad surastume trikampio plotą

(pusė kraštinės ir į šią pusę nubrėžto aukščio sandauga) prie hipotenuzės ir aukščio, nubrėžto prie hipotenuzės, gauname:

Iš čia galime rasti aukštį kaip dvigubo trikampio ploto ir hipotenuzės ilgio santykį:

Kadangi stačiojo trikampio plotas yra lygus pusei kojų sandaugos:

Tai yra, aukščio, nubrėžto iki hipotenuzės, ilgis yra lygus kojų sandaugos ir hipotenuzės santykiui. Jei kojų ilgius pažymėsime a ir b, hipotenuzės ilgį - c, formulę galima perrašyti kaip

Kadangi apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys yra lygus pusei hipotenuzė, aukščio ilgis gali būti išreikštas kojomis ir apskritimo spinduliu:

Kadangi aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, sudaro dar du stačiuosius trikampius, jo ilgį galima rasti per stačiajame trikampyje esančius ryšius.

Iš stačiojo trikampio ABK

Iš stačiojo trikampio ACK

Stačiojo trikampio aukščio ilgį galima išreikšti kojų ilgiais. Nes

Pagal Pitagoro teoremą

Jei išlyginsime abi lygties puses kvadratu:

Galite gauti kitą formulę, kaip susieti stačiojo trikampio aukštį su jo kojomis:

Kokia yra stačiojo trikampio aukščio formulė?

Statusis trikampis. Vidutinis lygis.

Norite išbandyti savo jėgas ir sužinoti savo pasiruošimo vieningam valstybiniam egzaminui ar vieningam valstybiniam egzaminui rezultatą?

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Ar pastebėjote vieną labai patogų dalyką? Atidžiai pažiūrėkite į ženklą.

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina Abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „Trikampis“ ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys. pusės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką, kuriame įstrižainės susikerta. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Įstrižainių susikirtimo taškas yra padalintas į pusę.

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai žiūrėkite. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Pradėkime nuo šio „be to“. “

Tačiau panašūs trikampiai turi vienodus kampus!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Jie turi tuos pačius aštrius kampus!

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - Dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname Pirmoji formulė „Aukštis stačiakampiame trikampyje“:

Kaip gauti antrą?

Dabar pritaikykime trikampių ir panašumą.

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Na, o dabar, pritaikydami ir derindami šias žinias su kitomis, išspręsite bet kokią problemą su stačiu trikampiu!

Komentarai

Medžiagos platinimas be patvirtinimo yra leidžiamas, jei yra nuoroda į šaltinio puslapį.

Privatumo politika

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius. Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti. Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.

Stačiojo trikampio, nukritusio iki hipotenuzės, aukščio savybė

Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš valdžios organai Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais. Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Ačiū už žinutę!

Jūsų komentaras buvo priimtas ir po moderavimo jis bus paskelbtas šiame puslapyje.

Ar norite sužinoti, kas slypi po pjūviu, ir gauti išskirtinę medžiagą apie pasiruošimą vieningam valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui? Palikite savo el

Stačiojo trikampio savybės

Apsvarstykite statųjį trikampį (ABC) ir jo savybės, kurios pateiktos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę - kraštinę, esančią priešais stačią kampą. Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Nuotraukoje pavaizduoti šonai AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AC Ir NE- hipotenuzė.

Stačiojo trikampio lygybės ženklai:

1 teorema. Jei stačiojo trikampio įtvara ir kojelė yra panašios į kito trikampio įtvarą ir koją, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

2 teorema. Jei dvi stačiojo trikampio kojos yra lygios kito trikampio dviem kojoms, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

3 teorema. Jei stačiojo trikampio įtvara ir smailusis kampas yra panašūs į kito trikampio įtvarą ir smailią kampą, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

4 teorema. Jei stačiojo trikampio kojelė ir gretimas (priešingas) smailusis kampas yra lygūs kito trikampio kojelės ir gretimo (priešingo) smailiojo kampo, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

Kojos, esančios priešingos 30° kampui, savybės:

1 teorema.

Aukštis stačiakampiame trikampyje

Stačiakampiame trikampyje, kurio kampas yra 30°, priešinga šiam kampui esanti kojelė sulaužys pusę hipotenuzės.

2 teorema. Jei stačiakampiame trikampyje kojelė yra lygi pusei hipotenuzės, tai kampas priešais ją yra 30°.

Jei aukštis brėžiamas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, tada toks trikampis yra padalintas į du mažesnius, panašius į išeinantį ir panašius vienas į kitą. Iš to išplaukia šios išvados:

1. Aukštis yra dviejų hipotenuzės segmentų geometrinis vidurkis (proporcinis vidurkis).
2. Kiekviena trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas hipotenusei ir gretimoms atkarpoms.

Stačiakampiame trikampyje kojos veikia kaip aukščiai. Ortocentras yra taškas, kuriame susikerta trikampio aukščiai. Jis sutampa su figūros stačiojo kampo viršūne.

hC- aukštis, kylantis iš stačiojo trikampio kampo;

AB- hipotenuzė;

AD Ir DВ- segmentai, atsirandantys dalijant hipotenuzą iš aukščio.

Grįžti į informacijos apie discipliną „Geometrija“ peržiūrą

Trikampis- Tai geometrinė figūra, susidedantis iš trijų taškų (viršūnių), kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trijų atkarpų, jungiančių šiuos taškus. Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas iš jo kampų yra 90° (status kampas).
Yra tokia teorema: stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90°.
komentarų sistema CACKLE

Pagrindiniai žodžiai: trikampis, stačiakampis, kojelė, hipotenuzė, Pitagoro teorema, apskritimas

Trikampis vadinamas stačiakampis jei jis turi stačią kampą.
Stačiakampis trikampis turi du tarpusavyje statmenos pusės, paskambino kojos; trečioji jo pusė vadinama hipotenuzė.

• Pagal statmens ir įstrižo savybes, hipotenuzė yra ilgesnė už kiekvieną koją (bet mažesnė už jų sumą).
• Stačiojo trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi stačiajam kampui.
• Dvi stačiojo trikampio aukščiai sutampa su jo kojomis. Todėl vienas iš keturių nuostabių taškų pataiko į stačiojo trikampio kampo viršūnes.
• Stačiojo trikampio apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje.
• Stačiojo trikampio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, mediana yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Apsvarstykite savavališką stačiakampį trikampis ABC ir nubrėžkite aukštį CD = hc iš jo stačiojo kampo viršūnės C.

Jis padalins nurodytą trikampį į du stačiuosius trikampius ACD ir BCD; kiekvienas iš šių trikampių turi bendrą smailųjį kampą su trikampiu ABC ir todėl yra panašus į trikampį ABC.

Visi trys trikampiai ABC, ACD ir BCD yra panašūs vienas į kitą.

Iš trikampių panašumo nustatomi šie santykiai:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagoro teorema Viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatanti ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių.

Geometrinė formuluotė. Stačiakampyje ant hipotenuzės pastatyto kvadrato plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Algebrinė formuluotė. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Tai reiškia, kad trikampio hipotenuzės ilgį žymime c, o kojų ilgius a ir b:
a2 + b2 = c2

Konversinė Pitagoro teorema.

Stačiojo trikampio aukštis

Už kas tris teigiami skaičiai a, b ir c, kad
a2 + b2 = c2,
Yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuze c.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• išilgai kojos ir hipotenuzės;
• ant dviejų kojų;
• išilgai kojos ir ūmaus kampo;
• išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo.

Taip pat žiūrėkite:
trikampio plotas, Lygiašonis trikampis, lygiakraštis trikampis

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Variantas 1 .

AD : CD = CD : B.D. Taigi CD2 = AD ∙ B.D. Jie sako:

AD : AC = AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ A.D. Jie sako:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ B.D.

Išspręskite problemas:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzą į 9 ir 36 atkarpas.

Nustatykite šio aukščio ilgį.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Stačiojo trikampio kojelė yra 30.

Kaip rasti aukštį stačiakampiame trikampyje?

Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys yra 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Patikrinkite atsakymus!

G8.04.1. Proporcingos stačiojo trikampio atkarpos

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Variantas 1 .

Esant Δ ABC ∠ACV = 90°. AC ir BC kojos, AB hipotenuzė.

CD yra trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis.

AD projekcija kojos AC į hipotenuzą,

BC kojos BD projekcija į hipotenuzę.

Aukštis CD padalija trikampį ABC į du panašius į jį (ir vienas į kitą) trikampius: Δ ADC ir Δ CDB.

Iš panašių Δ ADC ir Δ CDB kraštinių proporcingumo išplaukia:

AD : CD = CD : B.D.

Stačiojo trikampio, nukritusio iki hipotenuzės, aukščio savybė.

Taigi CD2 = AD ∙ B.D. Jie sako: stačiojo trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis,yra vidurkis proporcinga vertė tarp kojų projekcijų į hipotenuzą.

Iš Δ ADC ir Δ ACB panašumo matyti:

AD : AC = AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ A.D. Jie sako: kiekviena kojelė yra vidutinė proporcinga reikšmė tarp visos hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzą.

Panašiai iš Δ CDB ir Δ ACB panašumo išplaukia:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ B.D.

Išspręskite problemas:

1. Raskite stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštį, jei jis padalija hipotenuzą į 25 cm ir 81 cm atkarpas.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzą į 9 ir 36 atkarpas. Nustatykite šios aukščio ilgį.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštis lygus 22, vienos kojos projekcija – 16. Raskite kitos kojos projekciją.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Stačiojo trikampio kojelė lygi 18, o projekcija į hipotenuzą – 12. Raskite įtvarą.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuzė lygi 32. Raskite kraštinę, kurios projekcija į hipotenuzą lygi 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 45. Raskite kraštinę, kurios projekcija į hipotenuzą lygi 9.

8. Stačiojo trikampio kojelė lygi 30. Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 41, o vienos iš kojelių projekcija lygi 16. Raskite aukščio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, ilgį.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Kojų projekcijų į hipotenuzą skirtumas yra 15, o atstumas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės yra 4. Raskite apibrėžtojo apskritimo spindulį.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Statusis trikampis- tai trikampis, kuriame vienas iš kampų yra tiesus, tai yra, lygus 90 laipsnių.

• Pusė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuse (paveiksle pažymėta kaip c arba AB)
• Šonas, esantis šalia stačiojo kampo, vadinamas koja. Kiekvienas stačiakampis trikampis turi dvi kojeles (paveiksle jos pažymėtos kaip a ir b arba AC ir BC)

Stačiojo trikampio formulės ir savybės

(žr. paveikslėlį aukščiau)

a, b- stačiojo trikampio kojos

c- hipotenuzė

α, β - smailieji trikampio kampai

S- kvadratas

h- aukštis nuleistas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės

m a a iš priešingo kampo ( α )

m b- mediana nubrėžta į šoną b iš priešingo kampo ( β )

m c- mediana nubrėžta į šoną c iš priešingo kampo ( γ )

IN stačiakampis trikampis bet kuri iš kojų yra mažesnė už hipotenuzą(Formulės 1 ir 2). Šis turtas yra Pitagoro teoremos pasekmė.

Bet kurio smailiojo kampo kosinusas mažiau nei vienas (Formulės 3 ir 4). Ši savybė išplaukia iš ankstesnės. Kadangi bet kuri kojelė yra mažesnė už hipotenuzą, kojos ir hipotenuzės santykis visada yra mažesnis nei vienas.

Hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai (Pitagoro teorema). (Formulė 5). Ši savybė nuolat naudojama sprendžiant problemas.

Stačiojo trikampio plotas lygus pusei kojų sandaugos (Formulė 6)

Vidutinių kvadratų sumaį kojas yra lygus penkiems įdubos vidurio kvadratams ir penkiems hipotenuzės kvadratams padalyti iš keturių (7 formulė). Be to, kas išdėstyta pirmiau, yra Dar 5 formulės, todėl rekomenduojama perskaityti ir pamoką „Stačiojo trikampio mediana“, kurioje išsamiau aprašomos medianos savybės.

Aukštis stačiakampis yra lygus kojų sandaugai, padalytai iš hipotenuzės (8 formulė)

Kojų kvadratai yra atvirkščiai proporcingi aukščio, nuleistos iki hipotenuzės, kvadratui (9 formulė). Ši tapatybė taip pat yra viena iš Pitagoro teoremos pasekmių.

Hipotenuzės ilgis lygus apibrėžtojo apskritimo skersmeniui (dviem spinduliams) (10 formulė). Stačiojo trikampio hipotenuzė yra apskritimo skersmuo. Ši savybė dažnai naudojama sprendžiant problemas.

Įrašytas spindulys V stačiakampis trikampis ratas galima rasti kaip pusę išraiškos, įskaitant šio trikampio kojų sumą, atėmus hipotenuzės ilgį. Arba kaip kojų sandauga, padalyta iš visų kraštinių sumos (perimetro) duotas trikampis. (Formulė 11)
Kampo sinusas santykis su priešingumu šis kampas koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 12). Ši savybė naudojama sprendžiant problemas. Žinodami šonų dydžius, galite rasti kampą, kurį jie sudaro.

Stačiojo trikampio kampo A kosinusas (α, alfa) bus lygus požiūris gretimasšis kampas koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 13)