Atstumas nuo viršūnės iki plokštumos. Atstumas nuo taško iki plokštumos

Šiame straipsnyje kalbama apie atstumo nuo taško iki plokštumos nustatymą. Išanalizuokime koordinačių metodą, kuris leis rasti atstumą nuo duotas taškas trimatė erdvė. Norėdami tai sustiprinti, pažvelkime į kelių užduočių pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Atstumas nuo taško iki plokštumos randamas pagal žinomas atstumas iš taško į tašką, kur vienas iš jų yra pateiktas, o kitas yra projekcija į tam tikrą plokštumą.

Kai erdvėje nurodytas taškas M 1 su plokštuma χ, tai per tašką galima piešti statmenai plokštumai tiesioginis. H 1 yra bendras taškas jų sankirtos. Iš to gauname, kad atkarpa M 1 H 1 yra statmena, nubrėžta iš taško M 1 į plokštumą χ, kur taškas H 1 yra statmens pagrindas.

1 apibrėžimas

Iškvieskite atstumą nuo nurodyto taško iki statmens, nubrėžto iš nurodyto taško į, pagrindo duotas lėktuvas.

Apibrėžimas gali būti parašytas įvairiomis formuluotėmis.

2 apibrėžimas

Atstumas nuo taško iki plokštumos yra statmens, nubrėžto iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, ilgis.

Atstumas nuo taško M 1 iki χ plokštumos nustatomas taip: atstumas nuo taško M 1 iki χ plokštumos bus mažiausias nuo nurodyto taško iki bet kurio plokštumos taško. Jei taškas H 2 yra χ plokštumoje ir nėra lygus taškui H 2, tada gauname stačiakampis trikampis tipas M 2 H 1 H 2 , kuris yra stačiakampis, kur yra kojelė M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuzė. Tai reiškia, kad M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 laikomas pasvirusiu, kuris nubrėžtas iš taško M 1 į plokštumą χ. Turime, kad statmenas, nubrėžtas iš tam tikro taško į plokštumą, yra mažesnis nei pasviręs, nubrėžtas iš taško į nurodytą plokštumą. Pažiūrėkime į šį atvejį žemiau esančiame paveikslėlyje.

Atstumas nuo taško iki plokštumos – teorija, pavyzdžiai, sprendimai

Yra skaičius geometrinės problemos, kurio sprendiniuose turi būti atstumas nuo taško iki plokštumos. Gali būti įvairių būdų tai nustatyti. Norėdami išspręsti, naudokite Pitagoro teoremą arba trikampių panašumą. Kai pagal sąlygą reikia skaičiuoti atstumą nuo taško iki plokštumos, nurodytos p stačiakampė sistema trimatės erdvės koordinatės sprendžiamos koordinačių metodu. Šioje pastraipoje aptariamas šis metodas.

Pagal uždavinio sąlygas turime, kad trimatėje erdvėje taškas su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1) su plokštuma χ reikia nustatyti atstumą nuo M 1 iki plokštuma χ. Šiai problemai išspręsti naudojami keli sprendimo būdai.

Pirmas būdas

Šis metodas pagrįstas atstumo nuo taško iki plokštumos nustatymu naudojant taško H 1 koordinates, kurios yra statmens nuo taško M 1 iki plokštumos χ pagrindas. Tada reikia apskaičiuoti atstumą tarp M 1 ir H 1.

Norėdami išspręsti problemą antruoju būdu, naudokite normalioji lygtis duotas lėktuvas.

Antras būdas

Pagal sąlygą turime, kad H 1 yra statmens, kuris buvo nuleistas iš taško M 1 į plokštumą χ, pagrindas. Tada nustatome taško H 1 koordinates (x 2, y 2, z 2). Reikiamas atstumas nuo M 1 iki χ plokštumos randamas pagal formulę M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, kur M 1 (x 1, y 1, z 1) ir H 1 (x 2, y 2, z 2). Norėdami išspręsti, turite žinoti taško H 1 koordinates.

Turime, kad H 1 yra χ plokštumos susikirtimo taškas su tiese a, kuri eina per tašką M 1, esantį statmenai χ plokštumai. Iš to išplaukia, kad būtina sudaryti tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikrai plokštumai, lygtį. Būtent tada galėsime nustatyti taško H 1 koordinates. Būtina apskaičiuoti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško koordinates.

Algoritmas atstumo nuo taško su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1) iki χ plokštumos nustatymo:

3 apibrėžimas

• nubrėžkite tiesės a, einančios per tašką M 1, lygtį ir tuo pačiu
• statmena χ plokštumai;
• suraskite ir apskaičiuokite taško H 1 koordinates (x 2 , y 2 , z 2), kurios yra taškai
• tiesės a susikirtimas su plokštuma χ;
• apskaičiuokite atstumą nuo M 1 iki χ pagal formulę M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Trečias būdas

Duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z yra plokštuma χ, tada gauname normaliąją lygtį plokštumos formos cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Iš čia gauname, kad atstumas M 1 H 1 su tašku M 1 (x 1 , y 1 , z 1), nubrėžtas iki plokštumos χ, apskaičiuojamas pagal formulę M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ši formulė galioja, nes buvo nustatyta teoremos dėka.

Teorema

Jei taškas M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pateiktas trimatė erdvė, turint normaliąją lygtį plokštumos χ formos cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, tai atstumas nuo taško iki plokštumos M 1 H 1 apskaičiuojamas pagal formulę M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, nes x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Įrodymas

Teoremos įrodymas yra atstumas nuo taško iki tiesės. Iš čia gauname, kad atstumas nuo M 1 iki χ plokštumos yra skirtumo tarp spindulio vektoriaus M 1 skaitinės projekcijos ir atstumo nuo pradžios iki χ plokštumos modulis. Tada gauname išraišką M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Plokštumos χ normalusis vektorius turi formą n → = cos α, cos β, cos γ, o jo ilgis lygus vienetui, n p n → O M → yra vektoriaus O M → = (x 1, y 1) skaitmeninė projekcija. , z 1) vektoriaus n → nustatyta kryptimi.

Taikykime skaičiavimo formulę skaliariniai vektoriai. Tada gauname išraišką n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → formos vektoriaus radimui, nes n → = cos α , cos β , cos γ · z ir O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatės formaįrašas bus n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , tada M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema įrodyta.

Iš čia gauname, kad atstumas nuo taško M 1 (x 1, y 1, z 1) iki χ plokštumos apskaičiuojamas pakeičiant į kairėje pusėje normalioji lygtis plokštumos cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 vietoj x, y, z koordinačių x 1, y 1 ir z 1, susijęs su tašku M 1, atsižvelgiant absoliuti vertė gautą vertę.

Pažvelkime į atstumo nuo taško su koordinatėmis iki nurodytos plokštumos pavyzdžius.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite atstumą nuo taško su koordinatėmis M 1 (5, - 3, 10) iki plokštumos 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Sprendimas

Išspręskime problemą dviem būdais.

Pirmasis metodas prasideda tiesės a krypties vektoriaus apskaičiavimu. Pagal sąlygą gauname, kad duotoji lygtis 2 x - y + 5 z - 3 = 0 yra plokštumos lygtis bendras vaizdas, o n → = (2, - 1, 5) yra duotosios plokštumos normalusis vektorius. Jis naudojamas kaip tiesės a, kuri yra statmena nurodytai plokštumai, krypties vektorius. Reikėtų užsirašyti kanoninė lygtis tiesė erdvėje, einanti per M 1 (5, - 3, 10) su krypties vektoriumi, kurio koordinatės yra 2, - 1, 5.

Lygtis taps x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Turi būti nustatyti susikirtimo taškai. Norėdami tai padaryti, švelniai sujunkite lygtis į sistemą, kad pereitumėte nuo kanoninės prie dviejų susikertančių tiesių lygčių. Šis taškas paimkime H1. Mes tai gauname

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Po to turite įjungti sistemą

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Pereikime prie Gauso sistemos sprendimo taisyklės:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Gauname H 1 (1, - 1, 0).

Apskaičiuojame atstumą nuo nurodyto taško iki plokštumos. Mes paimame taškus M 1 (5, - 3, 10) ir H 1 (1, - 1, 0) ir gauname

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + ( - 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Antrasis sprendimas yra pirmiausia sumažinti pateiktą lygtį 2 x - y + 5 z - 3 = 0 iki normaliai atrodantis. Nustatome normalizavimo koeficientą ir gauname 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Iš čia gauname plokštumos lygtį 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Kairioji lygties pusė apskaičiuojama pakeičiant x = 5, y = - 3, z = 10, ir reikia paimti atstumą nuo M 1 (5, - 3, 10) iki 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulio. Gauname išraišką:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Atsakymas: 230.

Kai χ plokštuma nurodoma vienu iš metodų skyriuje apie plokštumos nurodymo metodus, pirmiausia turite gauti χ plokštumos lygtį ir bet kuriuo metodu apskaičiuoti reikiamą atstumą.

2 pavyzdys

Trimatėje erdvėje nurodomi taškai, kurių koordinatės M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Apskaičiuokite atstumą nuo M 1 iki plokštumos A B C.

Sprendimas

Pirmiausia reikia užrašyti plokštumos, einančios per nurodytus tris taškus, lygtį su koordinatėmis M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Iš to išplaukia, kad problemos sprendimas yra panašus į ankstesnį. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško M 1 iki plokštumos A B C yra 2 30.

Atsakymas: 230.

Atstumą nuo nurodyto taško plokštumoje arba iki plokštumos, kuriai jie yra lygiagretūs, rasti patogiau taikant formulę M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iš to gauname, kad normaliosios plokštumų lygtys gaunamos keliais etapais.

3 pavyzdys

Raskite atstumą nuo nurodyto taško koordinatėmis M 1 (- 3 , 2 , - 7) iki koordinačių plokštuma O x y z ir plokštuma, pateikta lygtimi 2 y - 5 = 0 .

Sprendimas

Koordinačių plokštuma O y z atitinka x = 0 formos lygtį. O y z plokštumai tai normalu. Todėl reikia pakeisti reikšmes x = - 3 į kairę išraiškos pusę ir paimti absoliučią atstumo nuo taško su koordinatėmis M 1 (- 3, 2, - 7) reikšmę iki plokštumos. Gauname vertę, lygią - 3 = 3.

Po transformacijos plokštumos 2 y - 5 = 0 normalioji lygtis įgis formą y - 5 2 = 0. Tada galite rasti reikiamą atstumą nuo taško su koordinatėmis M 1 (- 3, 2, - 7) iki plokštumos 2 y - 5 = 0. Pakeitę ir apskaičiavę, gauname 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Atsakymas: Reikalingas atstumas nuo M 1 (- 3, 2, - 7) iki O y z yra 3, o iki 2 y - 5 = 0 yra 5 2 - 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateiksite užklausą svetainėje, mes galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Darbo tipas: 14

Būklė

Taisyklingoje trikampėje piramidėje DABC su pagrindu ABC pagrindo kraštinė yra 6\sqrt (3), o piramidės aukštis yra 8. Kraštinėse AB, AC ir AD taškai M, N ir K pažymėti atitinkamai taip, kad AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) Ir AK=\frac(5)(2).

A)Įrodykite, kad plokštumos MNK ir DBC yra lygiagrečios.

b) Raskite atstumą nuo taško K iki DBC plokštumos.

Sprendimas

A) Plokštumos MNK ir DBC yra lygiagrečios, jei dvi susikertančios vienos plokštumos tiesės yra atitinkamai lygiagrečios dviem susikertančioms kitos plokštumos tiesėms. Įrodykime tai. Apsvarstykite MNK plokštumos tieses MN ir KM bei DBC plokštumos tieses BC ir DB.

Trikampyje AOD: \kampas AOD = 90^\circ ir pagal Pitagoro teoremą AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

Raskime AO naudodami tai, kad \bigtriangleup ABC yra teisingas.

AO=\frac(2)(3)AO_1, kur AO_1 yra \didžiojo trikampio ABC aukštis, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), kur a yra \didžiojo trikampio ABC kraštinė.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, tada AO = 6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Nuo tada \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) ir \angle DAB yra bendras, tada \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Iš panašumo matyti, kad \angle AKM = \angle ADB. Tai atitinkami kampai

su tiesiomis KM ir BD linijomis bei sekant AD. Taigi KM \paralelinis BD. 2. Nuo to laiko \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4),\frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) ir \angle CAB yra įprastas dalykas

\bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Iš panašumo matyti, kad \angle ANM = \angle ACB.

b)Šie kampai atitinka tieses MN ir BC bei sekantą AC. Tai reiškia MN \parallel BC.

Išvada: kadangi dvi plokštumos MNK susikertančios tiesės KM ir MN yra atitinkamai lygiagrečios dviem susikertančioms plokštumos DBC tiesėms BD ir BC, tai šios plokštumos lygiagrečios - MNK \parallel DBC.

Raskime atstumą nuo taško K iki plokštumos BDC. Kadangi plokštuma MNK lygiagreti plokštumai DBC, tai atstumas nuo taško K iki plokštumos DBC lygus atstumui nuo taško O_2 iki plokštumos DBC ir lygus atkarpos O_2 H ilgiui. Įrodykime tai. BC \perp AO_1 ir BC \perp DO_1 (kaip trikampių ABC ir DBC aukščiai), o tai reiškia, kad BC yra statmena plokštumai ADO_1, o tada BC yra statmena bet kuriai šios plokštumos tiesei, pavyzdžiui, O_2 H. Pagal konstravimą , O_2H\perp DO_1, o tai reiškia, kad O_2H yra statmenos dvi susikertančios BCD plokštumos tiesės, o tada atkarpa O_2 H yra statmena BCD plokštumai ir

lygus atstumui nuo O_2 iki BCD plokštumos.

Trikampyje O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\kampas HO_(1)O_(2). O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\,

\frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4),

AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4). O_(2)O_(1)=9-\frak(9)(4)=\frak(27)(4). \sin \kampas DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))=

\frac(8)(\sqrt(64+3^2))=

\frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Atsakymas \frac(54)(\sqrt(73))Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m.

Darbo tipas: 14
Profilio lygis

Būklė

“ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Tema: atstumas nuo taško iki plokštumos

ABCDA_1B_1C_1D_1 yra taisyklinga keturkampė prizmė.

Sprendimas

a) Kadangi ši prizmė yra taisyklinga, tai BB_1 \perp ABCD, taigi BB_1 \perp AC. Kadangi ABCD yra kvadratas, tada AC \perp BD . Taigi AC \perp BD ir AC \perp BB_1 . Kadangi tiesės BD ir BB_1 susikerta, tai pagal tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą AC \perp BB_1D_1D . Dabar remiantis plokštumų AD_1C \perp BB_1D_1 statmenumu.

b) Kvadrato ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo tašką pažymėkime O. Plokštumos AD_1C ir BB_1D_1 susikerta išilgai tiesės OD_1. Tegu B_1H yra statmenas, nubrėžtas plokštumoje BB_1D_1 tiesei OD_1. Tada B_1H \perp AD_1C . Tegul E=OD_1 \cap BB_1 . Už panašūs trikampiai D_1B_1E ir OBE (atitinkamų kampų lygybė išplaukia iš sąlygos BO \paralelinė B_1D_1) turime \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Tai reiškia, kad B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Kadangi B_1D_1=5\sqrt(2) , tada hipotenuzė D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))=\sqrt(194).

Toliau trikampyje D_1B_1E naudojame ploto metodą, kad apskaičiuotume aukštį B_1H, nuleistą ant hipotenuzės D_1E: S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H;

12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;.

\frac(8)(\sqrt(73)).

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97)

\frac(60\sqrt(97))(97)

Darbo tipas: 14
Profilio lygis

Būklė

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2016 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova. ABCDA_1B_1C_1D_1 – stačiakampis

. Briaunos AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) Įrodykite, kad atstumai nuo taškų B ir D iki plokštumos ACD_(1) yra vienodi.

Sprendimas

A) b) Raskite šį atstumą. Pasvarstykime trikampė piramidė

D_1ACD.

Šioje piramidėje atstumas nuo taško D iki pagrindo plokštumos ACD_1-DH yra lygus piramidės, nubrėžtos nuo taško D iki pagrindo ACD_1, aukščiui. V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH

, iš šios lygybės gauname.

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)) Apsvarstykite piramidę D_1ABC. Atstumas nuo taško B iki plokštumos ACD_1 yra lygus aukščiui, nuleistam nuo B viršaus iki ACD_1 pagrindo. Pažymėkime šį atstumą BK. Tada V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK , iš to gauname BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Bet V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , nes jei ADC ir ABC laikysime piramidžių bazėmis, tada aukštis D_1D yra bendras ir S_(ADC)=S_(ABC) (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC

ant dviejų kojų). Taigi BK = DH.

b) Raskite piramidės D_1ACD tūrį.

Aukštis D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84..

Veido ACD_1 plotas yra \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Žinant, kad stačiojo trikampio atkarpa yra vidurkis, proporcingas hipotenusei ir hipotenuzės segmentui, esančiam tarp kojos ir aukščio, nubrėžto iš viršūnės stačiu kampu, mes turime trikampyje ADC AD^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

Stačiame trikampyje AD_1P pagal Pitagoro teoremą D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\left (\frac(49)(25)\right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

• Sukonstruojame plokštumą per tašką Aβ II α .
• Trečiojo lėktuvo statyba, statmenai lygiagrečios plokštumos α Ir β
• Plokštumų susikirtimo linijoje pasirinkite tašką B ir nuleiskite statmeną nuo taško B.
• Segmentas BN – atstumas tarp plokštumų lygus atstumui nuo taško A iki plokštumosα . AH = BN.

• Per tašką A statome plokštumai statmeną plokštumą α
• Nuleidžiame statmeną plokštumų AH susikirtimo linijai. AR – reikiamas atstumas nuo taško A iki plokštumos α .