Kryptis elektros linija(įtempimo linijos) kiekviename taške sutampa su kryptimi. Iš to išplaukia įtampa lygi potencialų skirtumui U elektros linijos ilgio vienetui .

Didžiausias potencialo pokytis vyksta palei lauko liniją. Todėl matuojant visada galima nustatyti tarp dviejų taškų U tarp jų ir kuo arčiau taškai, tuo tikslesni. Vienodame elektriniame lauke jėgos linijos yra tiesios. Todėl čia lengviausia nustatyti:

Grafinis vaizdavimas elektros linijos ir ekvipotencialūs paviršiai parodyti 3.4 pav.

Judant šiuo paviršiumi d l potencialas nepasikeis:

Iš to seka, kad vektoriaus projekcija ant d l lygus nuliui , tai yra Todėl kiekviename taške jis yra nukreiptas išilgai normalės į ekvipotencialų paviršių.

Galite nubrėžti tiek potencialių lygių paviršių, kiek norite. Iš ekvipotencialių paviršių tankio galima spręsti apie vertę , tai bus su sąlyga, kad potencialų skirtumas tarp dviejų gretimų ekvipotencialių paviršių yra lygus pastoviai vertei.

Formulė išreiškia potencialo ir įtampos santykį ir leidžia žinomos vertėsφ raskite lauko stiprumą kiekviename taške. Taip pat galite išspręsti atvirkštinė problema, t.y. naudodami žinomas vertes kiekviename lauko taške, raskite potencialų skirtumą tarp dviejų savavališki taškai laukus. Norėdami tai padaryti, mes pasinaudojame tuo, kad lauko atliktas darbas priverčia krūvį q perkeliant jį iš taško 1 į tašką 2, galima apskaičiuoti taip:

Kita vertus, kūrinį galima pavaizduoti taip:

, Tada

Integralą galima imti išilgai bet kurios linijos, jungiančios tašką 1 ir 2, nes lauko jėgų darbas nepriklauso nuo kelio. Norėdami pereiti uždarą kilpą, gauname:

tie. Mes priėjome prie gerai žinomos teoremos apie įtempimo vektoriaus cirkuliaciją: įtempimo vektoriaus cirkuliacija elektrostatinis laukas išilgai bet kurio uždaro kontūro yra nulis.

Laukas, turintis šią savybę, vadinamas potencialu.

Iš vektorinės cirkuliacijos išnykimo išplaukia, kad elektrostatinio lauko linijos negali būti uždarytos: jos prasideda nuo teigiamų krūvių (šaltinių) ir baigiasi neigiamais krūviais (kriaukles) arba eina į begalybę.(3.4 pav.).

Šis ryšys galioja tik elektrostatiniam laukui. Vėliau išsiaiškinsime, kad judančių krūvių laukas nėra potencialus ir jam šis santykis negalioja.

Įtampos ir potencialo santykis.

Už potencialus laukas, tarp potencialios (konservatyvios) jėgos ir potenciali energija yra ryšys

kur ("nabla") yra Hamiltono operatorius.

Nes Tai

Minuso ženklas rodo, kad vektorius E nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi.

Už grafinis vaizdas naudojami potencialūs skirstiniai ekvipotencialūs paviršiai- paviršiai visuose taškuose, kurių potencialas yra vienodas.

Ekvipotencialūs paviršiai dažniausiai brėžiami taip, kad potencialų skirtumai tarp dviejų gretimų ekvipotencialų paviršių būtų vienodi. Tada ekvipotencialių paviršių tankis aiškiai apibūdina lauko stiprumą skirtingus taškus. Ten, kur šie paviršiai tankesni, lauko stiprumas yra didesnis. Paveiksle punktyrinė linija rodo jėgos linijas, ištisinės linijos rodo ekvipotencialių paviršių atkarpas: teigiamas taškinis mokestis(a), dipolis (b), du to paties pavadinimo krūviai (c), sudėtingos konfigūracijos įkrautas metalinis laidininkas (d).

Už tašką imk potencialą todėl ekvipotencialūs paviršiai yra koncentrinės sferos. Kita vertus, įtempimo linijos yra radialinės tiesios linijos. Vadinasi, įtempimo linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams.

Galima parodyti, kad visais atvejais vektorius E yra statmenas ekvipotencialiems paviršiams ir visada nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi.

Svarbiausių simetrinių elektrostatinių laukų vakuume skaičiavimų pavyzdžiai.

1. Elektrinio dipolio elektrostatinis laukas vakuume.

Elektrinis dipolis(arba dvigubas elektros stulpas) – dviejų vienodo dydžio priešingų taškinių krūvių (+q,-q) sistema, kurių atstumas l yra žymiai mažesnis už atstumą iki nagrinėjamų lauko taškų (l<< r).

Dipolio ranka l yra vektorius, nukreiptas išilgai dipolio ašies nuo neigiamas krūvisį teigiamą ir lygų atstumui tarp jų.

Dipolio elektrinis momentas re yra vektorius, kryptis sutampa su dipolio svirtimi ir lygus krūvio modulio sandaugai |q| ant peties aš:

Tegul r yra atstumas iki taško A nuo dipolio ašies vidurio. Tada, atsižvelgiant į tai

2) Lauko stipris taške B statmenoje atkurtas dipolio ašiai nuo jo centro ties

Taškas B yra vienodu atstumu nuo dipolio +q ir -q krūvių, todėl lauko potencialas taške B lygus nuliui. Vektorius Ёв nukreiptas priešais vektoriui l.

3) Išoriniame elektriniame lauke dipolio galus veikia jėgų pora, kuri linkusi sukti dipolį taip, kad dipolio elektrinis momentas re pasisuks lauko E kryptimi (pav. a)).

Išoriniame vienodame lauke jėgų poros momentas lygus M = qElsin a arba Išoriniame nehomogeniniame lauke (c pav.) dipolio galus veikiančios jėgos nėra vienodos o jų rezultantas linkęs perkelti dipolį į didesnio intensyvumo lauko sritį – dipolis traukiamas į stipresnio lauko sritį.

2. Vienodai įkrautos begalinės plokštumos laukas.

Begalinė plokštuma įkraunama konstanta paviršiaus tankis Įtempimo linijos yra statmenos nagrinėjamai plokštumai ir nukreiptos iš jos į abi puses.

Gauso paviršiumi imame cilindro paviršių, kurio generatoriai statmeni įkrautai plokštumai, o pagrindai lygiagrečiai įkrautai plokštumai ir guli priešingose ​​jos pusėse vienodais atstumais.

Kadangi cilindro generatoriai yra lygiagretūs įtempimo linijoms, įtempimo vektoriaus srautas per cilindro šoninį paviršių lygus nuliui, o bendras srautas per cilindrą lygus srautų per jo pagrindus sumai 2ES. Cilindro viduje esantis krūvis yra lygus . Pagal Gauso teoremą kur:

E nepriklauso nuo cilindro ilgio, t.y. Lauko stiprumas bet kokiu atstumu yra vienodas. Toks laukas vadinamas homogeniniu.

Potencialų skirtumas tarp taškų, esančių x1 ir x2 atstumu nuo plokštumos, yra lygus

3. Dviejų begalinių lygiagrečių priešingai įkrautų plokštumų, kurių absoliučios vertės paviršiaus krūvio tankiai σ>0 ir - σ yra vienodi, laukas.

Iš ankstesnio pavyzdžio matyti, kad pirmosios ir antrosios plokštumų įtempimo vektoriai E 1 ir E 2 yra vienodo dydžio ir visur yra nukreipti statmenai plokštumoms. Todėl erdvėje už plokštumų jie kompensuoja vienas kitą, o erdvėje tarp plokštumų bendrą įtampą . Todėl tarp plokštumų

(dielektrikoje.).

Laukas tarp plokštumų yra vienodas. Galimas skirtumas tarp plokštumų.
(dielektrikoje ).

4.Tolygiai įkrauto sferinio paviršiaus laukas.

Sferinis paviršius spindulys R su visu krūviu q, įkrautu tolygiai su paviršiaus tankiu

Kadangi krūvių sistema, taigi ir pats laukas, yra simetriškas sferos centro atžvilgiu, įtempimo linijos nukreiptos radialiai.

Kaip Gauso paviršių pasirenkame r spindulio sferą bendras centras su įkrauta sfera. Jei r>R, tai visas krūvis q patenka į paviršiaus vidų. Pagal Gauso teoremą, iš kur

Prie r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Galimas skirtumas tarp dviejų taškų, esančių r 1 ir r 2 atstumu nuo rutulio centro

(r1 >R,r2 >R), yra lygus

Už įkrautos sferos laukas yra toks pat kaip taškinio krūvio q laukas, esantis sferos centre. Įkrautos sferos viduje nėra lauko, todėl potencialas visur toks pat ir kaip paviršiuje

Raskime ryšį tarp elektrostatinio lauko stiprio, kuris yra jo galios charakteristika, ir potencialas - energetines charakteristikas laukus. Perkraustomas darbas viengungis vietoje teigiamas krūvis iš vieno lauko taško į kitą išilgai ašies X su sąlyga, kad taškai yra be galo arti vienas kito ir x 1 – x 2 = dx , lygus E x dx . Tas pats darbas lygus j 1 -j 2 = dj . Sulyginę abu posakius, galime rašyti

kur dalinis išvestinis simbolis pabrėžia, kad diferencijavimas atliekamas tik atsižvelgiant į X. Panašių samprotavimų kartojimas y ir z ašims , galime rasti vektorių E:

kur i, j, k yra vienetiniai vektoriai koordinačių ašys x, y, z.

Iš gradiento (12.4) ir (12.6) apibrėžimo. iš to išplaukia

y., lauko stipris E yra lygus potencialo gradientui su minuso ženklu. Minuso ženklas nustatomas pagal tai, kad lauko stiprumo vektorius E nukreiptas link nusileidžianti pusė potencialą.

Norint grafiškai pavaizduoti elektrostatinio lauko potencialo pasiskirstymą, kaip ir gravitacinio lauko atveju (žr. § 25), naudojami ekvipotencialūs paviršiai – paviršiai, kurių visuose taškuose potencialas turi vienodą reikšmę.

Jei lauką sukuria taškinis krūvis, tada jo potencialas pagal (84.5)

Taigi, ekvipotencialūs paviršiai į šiuo atveju- koncentrinės sferos. Kita vertus, įtempimo linijos taškinio krūvio atveju yra radialinės tiesios linijos. Vadinasi, įtempimo linijos taškinio krūvio atveju statmenai ekvipotencialūs paviršiai.

Įtempimo linijos visada normalusį ekvipotencialų paviršių. Iš tikrųjų visi ekvipotencialaus paviršiaus taškai turi tą patį potencialą, todėl darbas, atliktas norint perkelti krūvį išilgai šio paviršiaus, yra lygus nuliui, t. y. elektrostatinės jėgos, veikiančios krūvį, yra Visada nukreiptas išilgai normaliųjų į ekvipotencialų paviršių. Todėl vektorius E visada normalūs ekvipotencialiems paviršiams, ir todėl vektoriaus E linijos yra statmenos šiems paviršiams.

Aplink kiekvieną krūvį ir kiekvieną krūvių sistemą galima nubrėžti begalinį ekvipotencialių paviršių skaičių. Tačiau dažniausiai jie atliekami taip, kad potencialų skirtumai tarp bet kurių dviejų gretimų potencialų lygių paviršių būtų vienodi. Tada ekvipotencialių paviršių tankis aiškiai apibūdina lauko stiprumą skirtinguose taškuose. Ten, kur šie paviršiai tankesni, lauko stiprumas yra didesnis.

Taigi žinant elektrostatinio lauko stiprumo linijų išsidėstymą, galima sukonstruoti ekvipotencialų paviršių ir, atvirkščiai, iš žinomos ekvipotencialių paviršių vietos, kiekviename lauko taške galima nustatyti lauko stiprumo dydį ir kryptį. Fig. 133 parodytas, pavyzdžiui, teigiamo taškinio krūvio (a) laukų įtempimo linijų (punktyrinių linijų) ir potencialų išlyginimo paviršių (ištisinių linijų) ir įkrauto metalinio cilindro, kurio viename gale yra išsikišimas, o įdubimas. kitas (b).

Elektrostatinio lauko ekvipotencialūs paviršiai ir jėgos linijos.

Norėčiau sugebėti vizualizuoti elektrostatinį lauką. Skaliarinio potencialo laukas gali būti geometriškai pavaizduotas kaip aibė ekvipotencialūs paviršiai ( plokščiu atveju - linijos) arba lygūs paviršiai, kaip juos vadina matematikai:

Kiekvienam tokiam paviršiui galioja sąlyga (pagal apibrėžimą!):

(*)

Pateikime šią sąlygą lygiaverčiu žymėjimu:

Čia priklauso nagrinėjamam paviršiui vektorius, statmenas paviršiaus elementui ( taškinis produktas nuliniai vektoriai yra lygūs nuliui tiksliai pagal šią sąlygą). Turime galimybę nustatyti vieneto vektorius normalus aptariamam paviršiaus elementui:

Jei grįšime prie fizikos, padarysime tokią išvadą elektrostatinio lauko stiprumo vektorius yra statmenas šio lauko ekvipotencialiniam paviršiui!

Matematinis turinys"gradiento" sąvoka skaliarinis laukas" :

Vektoriaus kryptis yra ta kryptis, kuria funkcija didėja greičiausiai;

Tai yra funkcijos prieaugis, tenkantis ilgio vienetui didžiausio didėjimo kryptimi.

Kaip sukurti ekvipotencialų paviršių?

Tegul ekvipotencialų paviršius, gautas pagal lygtį (*), eina per erdvės tašką su koordinatėmis ( x, y, z). Pavyzdžiui, nustatykime savavališkai mažus dviejų koordinačių poslinkius x=>x+dx Ir y=>y+dy. Iš (*) lygties nustatome reikiamą poslinkį dz, toks pabaigos taškas liko ant nagrinėjamo potencialo išlyginimo paviršiaus. Tokiu būdu galite „patekti“ į norimą paviršiaus tašką.

elektros linija vektorinis laukas .

Apibrėžimas. Lauko linijos liestinė sutampa su vektoriumi, apibrėžiančiu nagrinėjamą vektoriaus lauką.

Vektorius ir vektorius yra vienodi kryptimi (t. y. lygiagrečiai vienas kitam), jei

IN koordinačių forma turime įrašų:

Nesunku pastebėti, kad galioja šie santykiai:

Tą patį rezultatą galima pasiekti, jei užrašysime dviejų vektorių lygiagretumo sąlygą naudodami jų vektorinis produktas:

Taigi, turime vektorinį lauką. Apsvarstykite elementarų vektorių kaip vektorinio lauko jėgos linijos elementas.

Pagal elektros linijos apibrėžimą turi būti tenkinami šie santykiai:

(**)

Štai kaip jie atrodo diferencialines lygtis elektros linija. Gauk analitinis sprendimasŠi lygčių sistema pavyksta labai retais atvejais (taškinio krūvio laukas, pastovus laukas ir kt.). Bet nesunku grafiškai sukonstruoti jėgos linijų šeimą.

Tegul lauko linija eina per tašką su koordinatėmis ( x, y, z). Šiuo metu žinome įtempimo vektoriaus projekcijų į koordinačių kryptis reikšmes. Pasirinkime savavališkai mažą maišymą, pvz. x=>x+dx. Naudodami lygtis (**) nustatome reikiamus poslinkius dy Ir dz. Taigi mes persikėlėme į gretimą jėgos linijos tašką. Statybos procesas gali būti tęsiamas.

NB! (Nota Bene!). Maitinimo linija visiškai nenustato įtempimo vektoriaus. Jei elektros linijoje nurodyta teigiama kryptis, įtampos vektorius gali būti nukreiptas teigiama arba neigiama. neigiama pusė(bet išilgai!). Lauko linija nenustato nagrinėjamo vektorinio lauko vektoriaus modulio (t. y. jo dydžio).

Įvestų geometrinių objektų savybės:

Grafinį laukų atvaizdavimą galima padaryti ne tik įtempimo linijomis, bet ir potencialių skirtumų pagalba. Jei elektriniame lauke sujungsime vienodo potencialo taškus, gausime vienodo potencialo paviršius arba, kaip jie dar vadinami, ekvipotencialius paviršius. Sankirtoje su brėžinio plokštuma ekvipotencialūs paviršiai suteikia ekvipotencialių linijų. Ekvipotencialų linijų braižymas, atitinkantis skirtingos reikšmės potencialą, gauname vaizdinį vaizdą, atspindintį, kaip kinta tam tikro lauko potencialas. Judėjimas išilgai krūvio ekvipotencialaus paviršiaus nereikalauja darbo, nes visi lauko taškai išilgai tokio paviršiaus turi vienodą potencialą, o jėga, kuri veikia krūvį, visada yra statmena judėjimui.

Vadinasi, įtempimo linijos visada yra statmenos vienodo potencialo paviršiams.

Aiškiausias lauko vaizdas bus pateiktas, jei pavaizduosime lygiavertes potencialo linijas su vienodais potencialo pokyčiais, pavyzdžiui, 10 V, 20 V, 30 V ir kt. Šiuo atveju potencialo kitimo greitis bus atvirkščiai proporcingas atstumui tarp gretimų potencialo lygių linijų. Tai reiškia, kad ekvipotencialių linijų tankis yra proporcingas lauko stiprumui (kuo didesnis lauko stiprumas, tuo arčiau linijos nubrėžiamos). Žinant ekvipotencialų linijas, galima sukonstruoti nagrinėjamo lauko intensyvumo linijas ir atvirkščiai.

Vadinasi, laukų, naudojančių potencialo išlyginimo linijas ir įtempimo linijas, vaizdai yra lygiaverčiai.

Ekvipotencialių linijų numeracija brėžinyje

Gana dažnai brėžinyje potencialų išlyginimo linijos yra sunumeruotos. Norint brėžinyje nurodyti potencialų skirtumą, savavališka linija žymima skaičiumi 0, šalia visų kitų eilučių dedami skaičiai 1,2,3 ir kt. Šie skaičiai rodo potencialų skirtumą voltais tarp pasirinktos išlyginimo potencialo linijos ir linijos, kuri buvo pasirinkta kaip nulis. Tuo pačiu metu pastebime, kad nulinės linijos pasirinkimas nėra svarbus, nes fizinę reikšmę turi tik dviejų paviršių potencialų skirtumą ir nepriklauso nuo nulio pasirinkimo.

Taškinio krūvio laukas su teigiamu krūviu

Kaip pavyzdį panagrinėkime taškinio krūvio lauką, kuris turi teigiamą krūvį. Taškinio krūvio lauko linijos yra radialinės tiesės, todėl ekvipotencialūs paviršiai yra koncentrinių sferų sistema. Lauko linijos yra statmenos sferų paviršiams kiekviename lauko taške. Koncentriniai apskritimai tarnauja kaip potencialo išlyginimo linijos. Teigiamo krūvio atveju 1 paveiksle pavaizduotos ekvipotencialios linijos. Neigiamo krūvio atveju 2 paveiksle pavaizduotos ekvipotencialios linijos.

Tai akivaizdu iš formulės, kuri nustato taškinio krūvio lauko potencialą, kai potencialas normalizuojamas iki begalybės ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

Sistema lygiagrečios plokštumos, kurie yra įjungti vienodais atstumais vienas nuo kito yra vienodo elektrinio lauko ekvipotencialūs paviršiai.

1 pavyzdys

Užduotis: lauko potencialas, sukurta sistema mokesčiai turi tokią formą:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

kur $a,b$ yra konstantos didesnis už nulį. Kokios formos yra ekvipotencialūs paviršiai?

Ekvipotencialūs paviršiai, kaip žinome, yra paviršiai, kurių potencialai yra lygūs bet kuriame taške. Žinodami tai, kas išdėstyta aukščiau, panagrinėkime lygtį, kuri yra pasiūlyta problemos sąlygomis. Padalinkite dešinę ir kairę lygties $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ puses iš $\varphi $, gausime:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\right).\]

Parašykime (1.1) lygtį kanonine forma:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt() \frac(\varphi )(a))\right)))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right)))^2) =1\ (1,2)\]

Iš lygties $(1.2)\ $ aišku, kad pateikta figūra yra apsisukimo elipsoidas. Jo ašies velenai

\[\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Atsakymas: Ekvipotencialų paviršius nurodytame lauke-- sukimosi elipsoidas su pusiau ašimis ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi ) (b) )$).

2 pavyzdys

Užduotis: Lauko potencialas turi tokią formą:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

kur $a,b$ -- $const$ yra didesnis už nulį. Kas yra ekvipotencialūs paviršiai?

Panagrinėkime $\varphi >0$ atvejį. Sumažinkime uždavinio sąlygose nurodytą lygtį į kanoninė forma, norėdami tai padaryti, padalykite abi lygties puses iš $\varphi , $ gauname:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\) teisingai).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \left(2.2\right).\]

(2.2) gavome kanoninė lygtis vieno lapo hiperboloidas. Jo pusiau ašys yra lygios ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left (real\ semi-axis\right ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(imaginary\semi-axis)$).

Apsvarstykite atvejį, kai $\varphi

Įsivaizduokime $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Uždavinio sąlygose nurodytą lygtį perkelkime į kanoninę formą, padalijame abi lygties puses iš minus modulio $\varphi ,$; gauname:

\[-\frac(a)(\left|\varphi \right|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \right|)y)^2+\frac(b)(\ left|\varphi \right|)z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Perrašykime (1.1) lygtį į formą:

\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2,4\right).\]

Gavome kanoninę dviejų lakštų hiperboloido lygtį, jo pusiau ašys:

($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(imaginary\semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)( a) )\left(imaginary\ semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\real\ semi-axis)$).

Panagrinėkime atvejį, kai $\varphi =0.$ Tada lauko lygtis turi tokią formą:

Perrašykime (2.5) lygtį į formą:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ kairėn(2,6\dešinėn).\]

Gavome kanoninę stačiojo apskrito kūgio lygtį, kuri remiasi elipse, kurios pusiau ašys $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b) ))(\sqrt(a ))$).

Atsakymas: kaip ekvipotencialūs paviršiai duota lygtis turime potencialą: $\varphi >0$ - vieno lapo hiperboloidas, $\varphi