Stokso teorema. Vienodai įkrautos begalinės plokštės laukas

Žinant vektoriaus a rotorių kiekviename kokio nors (nebūtinai plokščio) paviršiaus S taške, galima apskaičiuoti šio vektoriaus cirkuliaciją išilgai kontūro Г, ribojančio S (kontūras gali būti ir neplokščias). Norėdami tai padaryti, padalijame paviršių į labai mažus elementus. Dėl savo mažumo šie elementai gali būti laikomi plokščiais.

Todėl pagal (11.23) vektoriaus a cirkuliacija išilgai ribos kontūro gali būti pavaizduota forma

kur yra teigiama paviršiaus elemento normalioji

Pagal formulę (11.21), susumavus išraišką (11.29) per visą , gauname vektoriaus a cirkuliaciją išilgai kontūro Г, ribojant

Atlikę perėjimą iki ribos, kurioje visos AS linkusios į nulį (jų skaičius auga neribotai), gauname formulę

(11.30)

Santykis (11.30) vadinamas Stokso teorema. Jo reikšmė ta, kad vektoriaus a cirkuliacija išilgai savavališko kontūro Г yra lygi vektoriaus sukimosi srautui per savavališką paviršių S, apribotą tam tikro kontūro.

Observatorijos operatorius Vektorinės analizės formulių rašymas labai supaprastinamas ir palengvinamas, jei įvesite vektoriaus diferencialinį operatorių, žymimą simboliu ir vadinamą operatoriumi Nabla arba Hamilton operatoriumi. Šis operatorius reiškia vektorių su komponentais.

Pats savaime šis vektorius neturi reikšmės. Jis įgauna prasmę, kai derinamas su skaliarine arba vektorine funkcija, iš kurios ji simboliškai padauginama. Taigi, jei vektorių y padauginsite iš skaliaro, gausite vektorių

kuris yra funkcijos gradientas (žr. (11.1)).

Jei vektorius y padauginamas iš vektoriaus a, gaunamas skaliarinis

kuri yra ne kas kita, kaip vektoriaus a divergencija (žr. (11.14)).

Galiausiai, jei vektoriškai padauginsite y iš a, gausite vektorių su komponentais: etc., kurie sutampa su komponentais rota (žr. (11.25) - (11.27)).

Todėl naudojant žymėjimą vektorinis produktas naudojant determinantą, galime rašyti

(11-34)

Taigi yra du gradiento, divergencijos ir rotoriaus žymėjimo būdai:

Žymėjimas naudojant y turi daug privalumų. Todėl toliau naudosime tokį žymėjimą. Reikėtų įpratinti simbolį identifikuoti su žodžiais „gradientas“ (t. y. sakyti ne „nabla“, o „gradientas phi“), simbolį su žodžiais „divergencija a“ ir galiausiai simbolį su žodžiais „rotorius a“ “.

Kai naudojate vektorių y, turite atsiminti, kad tai yra diferencialinis operatorius, veikiantis visomis funkcijomis į dešinę nuo jo. Todėl konvertuodami išraiškas, kuriose yra y, turite atsižvelgti į abi taisykles vektorinė algebra, taip pat taisyklės diferencialinis skaičiavimas. Pavyzdžiui, funkcijų sandaugos išvestinė lygi

Pagal šitą

taip pat

Kai kurios funkcijos gradientas yra vektorinė funkcija. Todėl jai galima pritaikyti divergencijos ir rotoriaus operacijas.

Tegu ištisinis vektoriaus laukas a) k ir uždaras orientuotas kontūras L pateikiami kurioje nors srityje G. Apibrėžimas 1. Vektoriaus a cirkuliacija išilgai uždaro kontūro L vadinama linijos integralas 2-oji rūšis nuo vektoriaus a išilgai kontūro L. Čia dr yra vektorius, kurio ilgis lygus lanko diferencialui L, o kryptis sutampa su liestinės L kryptimi, op- pav. 31 nustatoma pagal kontūro orientaciją (31 pav.); simbolis f reiškia, kad integralas perimamas alternatyviu kontūru L. 1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektoriaus lauko cirkuliaciją išilgai elipsės L: Pagal cirkuliacijos apibrėžimą turime Parametrinės lygtysšios elipsės formos: , ir todėl . Pakeitę šias išraiškas į (2) formulę, randame vektoriaus lauko cirkuliaciją. Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys). Nekintamasis apibrėžimas rotoriaus laukas Fizinė prasmė lauko rotorius Rotoriaus skaičiavimo taisyklės 8.1. Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Apsvarstykite lauką vektoriaus P, Q, R, kurių ištisiniai ir visų argumentų atžvilgiu yra pirmosios eilės ištisinės dalinės išvestinės. 2 apibrėžimas. Vektoriaus "(M) rotorius yra vektorius, žymimas simboliu rot a ir apibrėžtas lygybe arba, patogia įsiminti simboline forma, šis determinantas išplečiamas pirmosios eilutės elementais, o operacijos antros eilutės elementų dauginimas iš trečios eilutės elementų suprantamos kaip diferenciacijos operacijos, pavyzdžiui, apibrėžimas 3. Jei kurioje nors srityje G turime rot a = 0, tai vektoriaus a laukas srityje G vadinamas irrotaciniu. Pavyzdys 2. Raskite vektoriaus 4 rotorių Pagal (3) formulę turime Kadangi rot a yra vektorius, galime laikyti vektoriaus lauką - vektoriaus a rotoriaus lauką. Darant prielaidą, kad vektoriaus a koordinatės turi ištisines antros eilės dalines išvestines, apskaičiuojame vektoriaus rot a divergenciją. Gauname Taigi, vektoriaus sukimosi laukas yra solenoidinis. 7 teorema (Stoksas). Vektoriaus a cirkuliacija išilgai orientuoto uždaro kontūro L yra lygi šio vektoriaus rotoriaus srautui per bet kurį paviršių E, kurį aprėpia kontūras L. Daroma prielaida, kad vektoriaus a koordinatės turi ištisines dalines išvestines tam tikroje srityje G erdvė, kurioje yra paviršius E, ir kad normaliojo taško vieneto vektoriaus orientacija į paviršių EC G būtų suderinta su kontūro L orientacija taip, kad nuo normos pabaigos grandinė aplink kontūrą tam tikra kryptimi. matoma, kad tai vyksta prieš laikrodžio rodyklę. Atsižvelgdami į tai ir naudodami rotoriaus (3) apibrėžimą, formulę (4) perrašome tokia forma: Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai lygus paviršius E ir jo kontūras L vienareikšmiškai projektuojami į xOy sritį D. plokštuma ir jos riba – atitinkamai A kontūras (32 pav.). Kontūro L orientacija lemia tam tikrą kontūro A orientaciją. Tikslumui darysime prielaidą, kad kontūras L yra orientuotas taip, kad paviršius E liktų kairėje, taigi normalusis vektorius n į paviršių E yra Ozo ašis aštrus kampas 7 (cos 7 >0). Tegul paviršiaus E lygtis ir funkcija φ(x)y) yra tolydžios ir turi ištisines dalines išvestines gf ir ^ in uždara zona D. Apsvarstykite, kad integralas Tiesė L yra ant paviršiaus E. Todėl, naudojant šio paviršiaus lygtį, r po integralo ženklu galime pakeisti ^(x, y). Kreivės A kintamojo taško koordinatės yra lygios atitinkamo kreivės L taško koordinatėms, todėl integraciją per L galima pakeisti integravimu virš A. Dešinėje esančiam integralui taikykime Greeno formulę. Dabar pereiname nuo integralo virš srities D prie integralo per paviršių E. Kadangi dS = cos 7 da, tai iš (8) formulės gauname, kad normalusis vektorius n° į paviršių E nustatomas pagal išraišką k. Iš čia aišku, kad. Todėl lygybę (9) galima perrašyti taip: Laikant E lygų paviršių, kuris vienareikšmiškai projektuojasi ant visų trijų koordinačių plokštumos, panašiai esame įsitikinę formulių Vektorinio lauko cirkuliacija pagrįstumu. Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Lauko rotoriaus fizinė reikšmė Rotoriaus apskaičiavimo taisyklės Sudėję lygybes po termino, gauname Stokso formulę ( 5), arba trumpai, 1 pastaba. Mes parodėme, kad vektoriaus sukimosi laukas yra solenoidinis, todėl vektoriaus sukimosi srautas nepriklauso nuo paviršiaus E tipo, kurį apima kontūras L. 2 pastaba Formulė (4) buvo gauta darant prielaidą, kad paviršius £ yra vienareikšmiškai projektuojamas į visas tris koordinačių plokštumas. Jei ši sąlyga neįvykdyta, £ padalijame į dalis taip, kad kiekviena dalis nurodyta sąlyga patenkinti, tada naudojame integralų adityvumą. 3 pavyzdys. Apskaičiuokite vektoriaus cirkuliaciją išilgai tiesės 1) naudodami apibrėžimą; 2) pagal Stokso teoremą. 4 1) Nubrėžkime tiesę L parametriškai: Tada 2) Raskite sukimąsi: Ištempkime plokštumos atkarpą į kontūrą L Tada. Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Iš Stokso teoremos galima gauti nekintamą lauko rotoriaus apibrėžimą, nesusijusį su koordinačių sistemos pasirinkimu. 8 teorema. Rotoriaus a projekcija bet kuria kryptimi nepriklauso nuo koordinačių sistemos pasirinkimo ir yra lygi paviršiaus tankis vektoriaus a cirkuliacija išilgai platformos kontūro, statmenai šiai krypčiai, čia (E) yra plokščia platforma, statmenai vektoriui l; 5 - šios svetainės plotas; L - aikštelės kontūras, orientuotas taip, kad kontūro apėjimas būtų matomas nuo vektoriaus n galo prieš laikrodžio rodyklę; (E) M reiškia, kad plotas (E) susitraukia iki taško M, kuriame nagrinėjamas vektorius rot a, o normalusis vektorius n šiam plotui išlieka toks pat visą laiką (33 pav.). 4 Pirmiausia taikykime Stokso teoremą vektoriaus a cirkuliacijai (a,dr), o tada gautai dvigubas integralas- vidutinės vertės teorema: kur (skaliarinė sandauga imama tam tikrame platformos (E) vidurio taške Mf). Kadangi plotas (E) traukia į tašką M, vidutinis taškas A/c taip pat linksta į tašką M ir dėl numanomo vektoriaus a koordinačių dalinių išvestinių tęstinumo (taigi ir puvinio a tęstinumo) gauti Kadangi vektoriaus rota a projekcija į savavališką kryptį nepriklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos, tai pats vektoriaus sukimasis yra nekintamas šio pasirinkimo atžvilgiu. Iš čia gauname tokį nekintamą lauko rotoriaus apibrėžimą: lauko rotorius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus didžiausiam paviršiaus cirkuliacijos tankiui tam tikrame taške, nukreiptas statmenai plotui, kuriame jis yra didžiausias tankis pasiekiama cirkuliacija; šiuo atveju vektoriaus sukimosi kryptis atitinka kontūro orientaciją, kurioje cirkuliacija yra teigiama, pagal dešiniojo sraigto taisyklę. 8.3. Fizinė lauko rotoriaus reikšmė Tegul kietas kūnas sukasi aplinkui fiksuota ašis I su kampiniu greičiu ir. Neprarasdami bendrumo, galime manyti, kad I ašis sutampa su Ozo ašimi (34 pav.). Tegul M(r) yra tiriamas kūno taškas, kur Vector kampinis greitis mūsų atveju yra lygus nuo = wk, apskaičiuokite vektorių v linijinis greitis taškai M, Vadinasi, vektorinio lauko cirkuliacija. Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Lauko rotoriaus fizinė reikšmė Rotoriaus skaičiavimo taisyklės Taigi, sukimosi greičio lauko sūkurys kietas yra vienodas visuose lauko taškuose, lygiagretus sukimosi ašiai ir lygus dvigubam kampiniam sukimosi greičiui. 8.4. Rotoriaus apskaičiavimo taisyklės 1. Rotorius pastovus vektorius c lygus nuliniam vektoriui, 2. Rotorius turi pastovių skaičių tiesiškumo savybę. 3. Gaminio rotorius skaliarinė funkcija u(M) į vektorių a(M) apskaičiuojamas pagal formulę

Ši teorema leidžia apskaičiuoti vektoriaus cirkuliaciją išilgai baigtinio ilgio kontūro, naudojant šio vektoriaus rotorių.

Tiražas vektoriaus laukas išilgai uždaro teigiamai orientuoto kontūro L lygus rotoriaus srautas šį lauką per bet kokį lygų paviršių S , remiantis šiuo kontūru:

. (2.12)

Norėdami įrodyti teoremą, apsvarstykite kontūrą su plotu, kurį ji dengia (2.6 pav.). Visas kontūras padalintas į elementarius tos pačios orientacijos kontūrus (2.10 pav.).

Cirkuliacija išilgai elementarios grandinės lygi
.

Visi gretimi kontūrai ( 1 Ir 2 pav. 2.10) turi tokią savybę: ant bendros ribos su ta pačia lauko verte, indėlis į cirkuliaciją išilgai kiekvieno gretimo kontūro atsiras pasikeitus ženklui (kontūrai 1 -a  b , ir už 2 - b  a ). Dėl to indėlis į visų vidinių grandinių sekcijų cirkuliaciją yra abipusiškai kompensuojamas, o nekompensuoti liks tik grandinei priklausančios sekcijos. L , kuris galiausiai suteikia (2.12) .

Ypatingas (2.12) atvejis, kai kontūras yra plokštumoje, yra D. Green (M. Ostrogradsky-D. Green) formulė:

. (2.13)

Formulės (2.12) ir (2.13) leidžia antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimą sumažinti iki dvigubo integralo apskaičiavimo visoje srityje S .

Atvirkštinis perėjimas pagal (2.12) atliekamas panašiai kaip (2.8).

2.4. Stebėtojo operatorius ir Laplaso operatorius

Naudojant vektorinės analizės formulių rašymas supaprastinamas radaro operatorius (operatorius W. Hamiltonas), kuris yra vektorius
. Pats savaime šis vektorius neturi reikšmės, tačiau leidžia kompaktiškai parašyti formules (2.3), (2.5) ir (2.9):

;
;
. (2.14)

Be to, nabla operatorius leidžia supaprastinti aukštesnės eilės diferencialinių operatorių skaičiavimą.

Reikia pažymėti, kad su  turi būti elgiamasi atsargiai, o naudojant jį reikia atsiminti, kad šis operatorius yra ne tik vektorius , bet ir diferencialas .

Pavyzdžiui, suraskime
. Naudodami gauname
. Pagal taisykles diferenciacija produkto operatorius veikia pirmiausia Pirmas daugiklis ir tada iš antra: . Kaip rezultatas, mes gauname. Skaičiavimo procedūrai naudojant vektorines koordinates reikėtų atlikti daugiau operacijų.

Pabandykite patys gauti išplėtimo formulę, neįtrauktą į (2.15)
. Teisingas atsakymas pateikiamas pabaigoje paraiškos 1 .

Kai kurios tapatybės ir antros eilės operacijos.

;
;

Laplaso operatorius ( , laplakietis ) yra antros eilės operatorius.

Kaip  ,  taikoma ir skaliariniam, ir vektoriniam.

. (2.17)

Kada Dekarto sistema koordinatės (2.18) yra supaprastintos:

Informacija apie kreivines koordinačių sistemas, dažnai naudojamas EML teorijoje ( cilindro formos Ir sferinės ) ir vektorinės operacijos juose pateiktos 2 priedas .

2.5. Vektorių laukų klasifikacija

Vektorinis laukas yra pateiktas unikaliai, jei jo rotorius ir divergencija yra žinomi kaip erdvinių koordinačių funkcijos.

Priklausomai nuo šių funkcijų verčių, yra potencialus , sūkurys (solenoidinis ) lauke ir bendrasis laukas .

Vektorinis laukas potencialiai , jei yra kokia nors skaliarinė funkcija U , kuri yra susijusi su tokiu būdu:
. Funkcija U paskambino skaliarinio lauko potencialas .

Reikalinga ir pakankama būklė potencialumas yra rotorius lygus nuliui (
).

Solenoidinis (sūkurys ) vadinamas vektoriniu lauku , kurio kiekviename taške
(būtina ir pakankama būklė),
.

Solenoidinis vektorinis laukas gali būti pavaizduotas kaip
. Šiuo atveju vektorinis dydis paskambino vektorinio lauko potencialas (
).

Lauko pavadinimas šio tipo galima paaiškinti tuo, kad jis buvo aptiktas m solenoidas , – induktorius (gali būti su šerdimi arba be jo), kurio ilgis gerokai viršija skersmenį.

Jei vektorinis laukas
Ir
, tai yra - bendrasis laukas .

Savavališkas bendro tipo vektorinis laukas gali būti pavaizduotas kaip potencialo ir sūkurio dalių suma:
, - kur įskaitant lauko šaltiniai (
), ir į –lauko sūkuriai (
).

Dabar, išstudijavę integralias ir diferencines operacijas bei pagrindines vektorinės analizės teoremas, galime pradėti tyrinėti EML teorijos pagrindus - Maksvelo lygčių sistema .

Žinojimas kiekviename taške S, tiražą galite rasti pagal G aplinkui S. Suskaidykime Sįjungta  S:

- normalus paviršiaus elementas  S.

Tegul visi  S 0 , Tada:

Stokso teorema:

Cirkuliacijos vektorius palei savavališką kontūrą G lygus vektoriaus srautui
per savavališką paviršių S, ribojamas šio kontūro.

3.7 Elektrostatinio lauko cirkuliacija ir rotorius

Elektrostatinių jėgų darbas išilgai bet kurios uždaros grandinės yra lygus nuliui.

tie. elektrostatinio lauko cirkuliacija išilgai bet kurios grandinės yra lygi nuliui.

Paimkime bet kokį paviršių S, remiantis kontūru G.

Pagal Stokso teoremą:

;

nes tai tinka bet kokiam paviršiui S, Tai

Yra tapatybė:

tie. elektrostatinio lauko linijos necirkuliuoja erdvėje.

3.8 Gauso teorema

Mes surasime
elektrostatinis laukas. Taškinio krūvio linijos tankis skaitine prasme yra lygus

Srautas per bet kurį uždarą paviršių lygus išeinančių linijų skaičiui, t.y. pradedant mokesčiu „+“ ir baigiant mokesčiu „-“:

Srauto ženklas sutampa su ženklu q, matmenys tokie patys.

Tebūnie N taškiniai mokesčiai q i .

Elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus srautas per uždarą paviršių yra lygus šio paviršiaus viduje esančių krūvių algebrinei sumai, padalytai iš  0.

4 Laukų skaičiavimas naudojant Gauso teoremą

4.1 Vienodai įkrautos begalinės plokštės laukas.

4.2 Vienodai įkrauto sferinio paviršiaus laukas.

4.3 Dviejų begalinių lygiagrečių priešingai įkrautų plokštumų laukas

4.4 Tūriniu būdu įkrauto kamuoliuko laukas

4.1 Vienodai įkrautos begalinės plokštės laukas

IN pristatyti paviršiaus tankio sąvoką

- mokestis už paviršiaus vienetą.

Begalinė plokštė, įkrauta pastoviu paviršiaus tankiu +  . Įtempimo linijos yra statmenos nagrinėjamai plokštumai ir nukreiptos iš jos į abi puses.

Kaip uždarą paviršių sukonstruosime cilindrą, kurio pagrindai lygiagretūs plokštumai, o ašis statmena jai, nes cilindro generatricos yra lygiagrečios E, Tai cos =0 o srautas per šoninį paviršių lygus 0, ir pilnas srautas per cilindrą yra lygus srautų per jo pagrindą sumai.

E'=E''=E,

Tai F= 2E S;

q = S

Tai seka E nepriklauso nuo cilindro ilgio, t.y. Lauko paviršius bet kokiu atstumu yra vienodas absoliučia verte, t.y. Vienodai įkrautos plokštės laukas yra vienodas.

4.2 Vienodai įkrauto sferinio paviršiaus laukas

SU sferinio paviršiaus spindulys R su bendru mokesčiu q.

Nes krūvis pasiskirsto tolygiai, tada laukas turi sferinę simetriją, t.y. plokštumos linijos nukreiptos radialiai.

Protiškai sukonstruokime spindulio sferą r R. Nes r R, tada visas krūvis patenka į paviršiaus vidų pagal Gauso teoremą:

At r R laukas mažėja didėjant atstumui r pagal tą patį dėsnį kaip ir taškinio krūvio.

Jeigu r' R, tada uždaro paviršiaus viduje nėra krūvių, tai reiškia, kad vienodai įkrauto sferinio paviršiaus viduje nėra elektrostatinio lauko E=0.