Maksvelo lygtys elektromagnetinėms bangoms. Bangos lygtis

Mes naudojame formulę Stoksas , pagal kurią vektoriaus cirkuliacija palei uždarą kilpą L yra lygus šio vektoriaus rotoriaus srautui per paviršių, esantį ant šio kontūro. Tada:

Tegul S — savavališkas laiko nekintamas paviršius, apribotas kontūru L. Tada lygčių sistema (1.2.7) bus perrašyta taip:

Kadangi integralų kontūras gautuose integraluose yra savavališkas, integralų lygybė nuliui įmanoma tik tada, kai jie lygūs nuliui integrandai. Tada:

Lygtys (1.3.2) yra Maksvelo lygtys.

Daugumoje kursų mes apsvarstysime sritis, kurios laikui bėgant skiriasi harmonijos dėsnis:

Tam naudojama sudėtinga įrašymo forma:

Kur — kompleksinė amplitudė. At sudėtinga formaįrašant harmoninius laukus, laiko išvestinė pakeičiama daugyba iš .

Tada Maksvelo lygtys (1.3.2) laukams, besikeičiantiems pagal harmoninių dėsnį, įgyja tokią formą:

Raskime Muswello lygčių sprendimą paprasčiausiu sklidimo atveju elektromagnetinė banga vakuume.

Vakuume. Todėl vakuumui Maksvelo lygtys (1.3.4) yra tokios formos:

Išskirkime iš (1.3.5). Norėdami tai padaryti, taikome operaciją RotĮ abi pirmosios lygties puses: . Dabar pakeiskime reikšmę iš antrosios lygties. Rezultate gauname:

Mes naudojame žinomas santykis vektorinė algebra

Prisiminkime tai pagal Su Gauso-Ostrogradskio teorema

Ir atsižvelgkime į tai vakuume nemokami mokesčiai ne (ty). Pakeiskime (1.3.8) ir (1.3.7) į (1.3.6). Rezultate gauname:

Gauta lygtis vadinama Bangos lygtis . Panašiu būdu galima gauti magnetinio lauko vektoriaus bangos lygtį.

Akivaizdžiausias bangų lygties sprendimas yra sferinė banga, sklindanti aplink taškinį emiterį. Norėdami gauti sferinės bangos sprendimą, Laplaso operatorių turite pavaizduoti (1.3.9) lygtyje sferinė sistema koordinates, o tai bus gana sudėtinga matematines išraiškas. Siekdami supaprastinti matematines procedūras, apsvarstysime galimybę išspręsti bangų lygtį plokštumos banga, kuri yra vienos koordinatės funkcija.

1.3.1 pav. parodyta išdėstymo schema elektros linijos sferinė elektromagnetinė banga. Paveikslas iliustruoja faktą, kad dideli atstumai nuo emiterio elektromagnetinis laukas gali būti laikomas plokštuma, sklindančia kryptimi statmenai plokštumai pastovi fazė, o bangos charakteristikos priklauso tik nuo vienos koordinatės sklidimo kryptimi. Nepaisant to, kad m bendras atvejis banga turi sferinė simetrija, V ribotas plotas, žymimas kvadratu, galime kalbėti apie plokštuminę bangą, kurios charakteristikos priklauso tik nuo vienos koordinatės.

Atsižvelkime į tai, kad vienmatis Laplaso operatorius turi tokią formą:

Ir gauname vienmatės bangos lygtį plokštumos bangai:

1.3.1 pav. Sferinės elektromagnetinės bangos elektrinių ir magnetinių laukų jėgos linijų schema.

Bet kuri diferencialinė lygtis įgyja fizinę reikšmę, jei nurodytos jo sprendimo ribinės sąlygos. (1.3.11) lygties sprendimas gaunamas kaip dvi bangos, sklindančios išilgai teigiamos ir neigiamos kryptys z ašis Priimsime kaip ribines sąlygas teiginys, kad nagrinėjamoje terpėje plokštuminė banga gali sklisti tik viena kryptimi. Taigi, turime lygties (1.3.11) sprendimą plokštumos bangai, sklindančiai teigiama z ašies kryptimi:

Bangos fazė:

Kur K- bangos skaičius (paprastai bangos vektorius).

Fiksuota lauko stiprumo vektoriaus orientacija išilgai duotosios koordinačių ašis yra vadinamas Bangų poliarizacija . Santykis (1.3.12) nurodo įtampos poliarizaciją elektrinis laukas palei ašį X.

1.3.2 pav. Pastovios fazės plokštumos padėtis rodoma dviem laiko momentais.

1.3.2 pav. Pastovios fazės plokštumos judėjimas.

Pastovios fazės plokštumai ( φ = const), kuri juda išilgai z ašies, jos laiko išvestinė lygi nuliui:

Pagal (1.1.26) gauname:

Kur yra pastovios fazės paviršiaus judėjimo greitis arba Fazės greitis.

Pakeitę (1.3.12) į (1.3.11), gauname

Ir, sumažinus , gauname Plokštumos bangos laisvojoje erdvėje dispersijos lygtis:

Arba (1.3.16)

Skirtingi ženklai posakyje už K atitinka bangas, sklindančias palei ašį Z skirtingomis kryptimis. Pagal (1.3.14):

Laisvoje erdvėje, kur C- šviesos greitis.

Taigi iš Maksvelo lygčių matyti, kad šviesos greitį laisvoje erdvėje lemia vakuumo dielektrinis ir magnetinis pralaidumas:

Dielektrinis ir magnetinis vakuumo pralaidumas yra erdvės charakteristikos, susijusios su statiniais laukais. Pirmasis iš jų apibūdina tik dielektrines savybes aplinką. Ir tik antrasis magnetines savybes. Maskvelo lygčių sprendimo rezultatas, pateiktas formule (1.3.18), susieja elektrostatiką, magnetostatiką ir dinaminį šviesos sklidimo procesą.

tikrai, dielektrinė konstanta galima gauti eksperimentiniu būdu, matuojant dviejų žinomų krūvių sąveikos jėgą Q1 Ir Q2 esantis per atstumą R vienas nuo kito:

(Kulono dėsnis).

.

Magnetinį pralaidumą galima gauti išmatuojant sąveikos jėgą tarp dviejų ilgio ir srovės laidininkų ir atitinkamai esančių tam tikru atstumu R vienas nuo kito:

(Bioto-Savarto-Laplaso įstatymas)

Taigi iš statinio eksperimento galima gauti skaitinė reikšmė .

Vadinasi, Maksvelo lygtys leidžia išreikšti šviesos greitį charakteristikomis, gautomis naudojant statinius matavimus.

Maksvelo lygtys susieja elektrinį lauką, magnetinį lauką ir elektromagnetines bangas (šviesą). Koncepcijos kūrimas elektromagnetinis laukas ir ją apibūdinančių lygčių formulavimas buvo vienas svarbiausių XX amžiaus fizikos atspirties taškų.

Maksvelo lygtyse yra tęstinumo lygtis, išreiškianti krūvio tvermės dėsnį. 3. Maksvelo lygtys tenkinamos visose ataskaitos inercinėse sistemose. 4. Maksvelo lygtys yra simetriškos.

6.3.4. Elektromagnetinės bangos

Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad elektromagnetinis laukas gali egzistuoti savarankiškai, be elektros krūvių ir srovių. Kintantis elektromagnetinis laukas turi banginį pobūdį ir sklinda vakuume elektromagnetinių bangų pavidalu šviesos greičiu.

Elektromagnetinių bangų egzistavimas išplaukia iš Maksvelo lygčių, kurios aprašomos bangų lygtimis vektoriams ir atitinkamai:

, (5.19)

Magnetinio lauko laiko pokytis sužadina kintamąjį elektrinį lauką ir, atvirkščiai, elektrinio lauko laiko pokytis sužadina kintamąjį magnetinį lauką. Sūkurinis elektrinis laukas, kurį sukelia kintamasis magnetinis laukas , formuojasi su vektoriumi kairiarankė sistema (7.2 pav.), o elektrinio lauko sukeltas sūkurinis magnetinis laukas , formuojasi su vektoriumi dešinioji varžtų sistema (5.2 pav.).

Vyksta nuolatinis jų tarpusavio konvertavimas, todėl tai įmanoma

egzistuoja ir plinta erdvėje ir laike, nesant krūvių ir srovių.

Taigi Maksvelo teorija ne tik numatė elektromagnetinių bangų egzistavimą, bet ir nustatė svarbiausias jų savybes:

Elektromagnetinės bangos sklidimo greitis neutralioje nelaidžioje ir neferomagnetinėje terpėje

(5.20)

kur c yra šviesos greitis vakuume.

Ryžiai. 5.3 pav. 5.4

yra ryšys, būtent: E = vB arba
. (5.21)

Elektromagnetinių bangų egzistavimas leido Maxwellui paaiškinti šviesos banginį pobūdį. Šviesa yra elektromagnetinės bangos.

6.3.5. Elektromagnetinio lauko energijos srautas

Kai elektromagnetinės bangos sklinda erdvėje ir laike, jos neša energiją. Jis yra tarpusavyje transformuojančiuose elektriniuose ir magnetiniuose laukuose.

Tūrinio elektrinio lauko energijos tankis

, (5.22)

kur E yra elektrinio lauko stiprumas.

Tūrinio magnetinio lauko energijos tankis

, (5.23)

kur B yra magnetinio lauko indukcija.

Vadinasi, elektromagnetinio lauko tūrinis energijos tankis erdvės srityje, kurioje elektromagnetinė banga yra savavališku laiko momentu,

W= w e + w m =
. (5.24)

Arba atsižvelgiant į tai, kad E = cB ir
, turime

w =  o E 2 , (5.25)

arba
. (5.26)

Energija, kurią elektromagnetinė banga perduoda per laiko vienetą per ploto vienetą, vadinama elektromagnetinės energijos srauto tankiu. Elektromagnetinės energijos srauto tankio vektorius vadinamas Poyntingo vektoriumi.

Poynting vektoriaus kryptis sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo kryptimi, t.y. su energijos perdavimo kryptimi. Energijos perdavimo greitis lygus šios bangos faziniam greičiui.

Jei elektromagnetinė banga skliddama eina per tam tikrą plotą S, statmeną jos sklidimo krypčiai, pavyzdžiui, išilgai X ašies, tai per tam tikrą laikotarpį dt banga nueis atstumą dx = cdt, kur c yra bangos sklidimo greitis.

Kadangi elektromagnetinės bangos tūrinis energijos tankis

tada bendra tūryje esančios elektromagnetinės bangos energija dW

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

Vadinasi, elektromagnetinės energijos srauto tankis, einantis per plotą S per laiką dt Poynting vektorius kryptimi sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo greičiu, kuris yra statmenas Ir

. (5.29)

, t.y.

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Maksvelo lygčių sistema apima keturias pagrindines lygtis Šią sistemą papildo trys medžiagų lygtys,

(3.5)

apibrėžiant ryšį tarp fizinių dydžių, įtrauktų į Maksvelo lygtis:

Prisiminkime fizinę šių matematinių frazių reikšmę. Pirmoji lygtis (3.1) teigia, kad lauką gali sukurti tik elektros krūviai - vektorius elektrinis poslinkis, ρ - elektros krūvio tūrinis tankis.

Elektrinio poslinkio vektoriaus srautas per bet kurį uždarą paviršių yra lygus tame paviršiuje esančiam krūviui.

Kaip rodo eksperimentas, magnetinės indukcijos vektoriaus srautas per uždarą paviršių visada yra lygus nuliui (3.2).

(3.2) ir (3.1) lygčių palyginimas leidžia daryti išvadą, kad gamtoje magnetinių krūvių nėra.

(3.3) ir (3.4) lygtys yra labai įdomios ir svarbios. Čia nagrinėjame elektros įtampos vektorių cirkuliaciją ( ) ir magnetinis ( ) laukai išilgai uždaro kontūro.

(3.3) lygtis teigia, kad kintamasis magnetinis laukas ( ) yra sūkurio elektrinio lauko šaltinis ( ).Tai ne kas kita, kaip matematinis Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos reiškinio vaizdas.

(3.4) lygtis nustato ryšį tarp magnetinio lauko ir kintamo elektrinio lauko. Pagal šią lygtį magnetinį lauką gali sukurti ne tik laidumo srovė ( ), bet ir kintamu elektriniu lauku .

Šiose lygtyse:

- elektrinio poslinkio vektorius,

H- magnetinio lauko stiprumas,

E- elektrinio lauko stiprumas,

j- laidumo srovės tankis,

μ - terpės magnetinis pralaidumas,

ε – terpės dielektrinė konstanta.

1. Elektromagnetinės bangos. Elektromagnetinių bangų savybės

Praėjusį semestrą, nagrinėdami Maxwello klasikinės elektrodinamikos lygčių sistemą, nustatėme, kad bendras sprendimas paskutinės dvi lygtys (apie vektorių cirkuliaciją Ir ) veda į diferencinės bangos lygtį.

Taigi gavome „Y“ bangos bangos lygtį:

. (3.6)

Elektrinis komponentas y – bangos sklinda teigiama X ašies kryptimi faziniu greičiu

(3.7)

Panaši lygtis apibūdina magnetinio lauko y bangos erdvės ir laiko pokytį:

. (3.8)

Analizuojant gautus rezultatus, galima suformuluoti nemažai elektromagnetinėms bangoms būdingų savybių.

1. Plokščioji "y" banga yra tiesiškai poliarizuota skersinė banga. Elektros įtampos vektoriai ( ), magnetinis ( ) lauko ir bangos fazės greitis ( ) yra viena kitai statmenos ir sudaro „dešiniarankių“ sistemą (3.1 pav.).

2. Kiekviename erdvės taške bangos komponentas H z yra proporcingas elektrinio lauko stipriui E y:

Čia „+“ ženklas atitinka bangą, sklindančią teigiama X ašies kryptimi. „-“ ženklas atitinka neigiamą.

3. Elektromagnetinė banga juda išilgai X ašies fazės greičiu

Čia
.

Kai elektromagnetinė banga sklinda vakuume (ε = 1, μ = 1), fazės greitis

Čia elektrinė konstanta ε 0 = 8,85 10 -12

magnetinė konstanta μ 0 = 4π 10 -7

.

.

Elektromagnetinės bangos greičio vakuume sutapimas su šviesos greičiu buvo pirmasis šviesos elektromagnetinės prigimties įrodymas.

Vakuume ryšys tarp magnetinio ir elektrinio lauko stiprumo bangoje yra supaprastintas.

.

Kai elektromagnetinė banga sklinda dielektrinėje terpėje (μ = 1)
Ir
.

Maksvelo teorija remiasi keturiomis nagrinėjamomis lygtimis:

1. Elektrinis laukas gali būti bet kurio potencialo ( e q) ir sūkurys ( E B), taigi bendras lauko stiprumas E=E Q+ E B. Kadangi vektoriaus cirkuliacija e q lygus nuliui, o vektoriaus cirkuliacija E B nustatomas pagal išraišką, tada suminio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliaciją Ši lygtis rodo, kad elektrinio lauko šaltiniais gali būti ne tik elektros krūviai, bet ir laikui bėgant kintantys magnetiniai laukai.

2. Apibendrinta vektorių cirkuliacijos teorema N: Ši lygtis rodo, kad magnetiniai laukai gali būti sužadinami judančiais krūviais arba kintančiais elektriniais laukais.

3. Gauso lauko teorema D: Jei krūvis nuolat paskirstomas uždarame paviršiuje, kurio tūrio tankis, tada formulė bus parašyta forma

4. Gauso teorema lauke B: Taigi, visa Maksvelo lygčių sistema integralia forma: Į Maksvelo lygtis įtraukti dydžiai nėra nepriklausomi ir tarp jų yra toks ryšys: D= 0 E, B= 0 N,j=E, kur  0 ir  0 yra atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos,  ir  - atitinkamai dielektrinis ir magnetinis laidumas,  - savitasis medžiagos laidumas.

Stacionariems laukams (E= konst ir IN=const) Maksvelo lygtysįgaus formą y., elektrinio lauko šaltiniai šiuo atveju yra tik elektros krūviai, magnetiniai šaltiniai yra tik laidumo srovės. Šiuo atveju elektrinis ir magnetinis laukai yra nepriklausomi vienas nuo kito, todėl galima mokytis atskirai nuolatinis elektriniai ir magnetiniai laukai.

IN Naudodami Stokso ir Gauso teoremas, žinomas iš vektorinės analizės, galime pavaizduoti visa Maksvelo lygčių sistema diferencine forma:

Maksvelo lygtys yra bendriausios elektrinių ir magnetinių laukų lygtys ramioje aplinkoje. Jie atlieka tą patį vaidmenį elektromagnetizmo doktrinoje kaip ir Niutono dėsniai mechanikoje. Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad kintamasis magnetinis laukas visada yra susietas su jo generuojamu elektriniu lauku, o kintamasis – su jo generuojamu magnetiniu lauku, t.y. elektrinis ir magnetinis laukai yra neatsiejamai susiję vienas su kitu. - jie sudaro vieną elektromagnetinis laukas.

66. Elektromagnetinės bangos diferencialinė lygtis. Plokštumos elektromagnetinės bangos.

Už vienalytis Ir izotropinė aplinka, toli nuo krūvių ir srovių, sukuriant elektromagnetinį lauką, iš Maksvelo lygčių matyti, kad intensyvumo vektoriai E kryptimi sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo greičiu, kuris yra statmenas N kintamasis elektromagnetinis laukas atitinka tokio tipo bangų lygtį:

- Laplaso operatorius.

Tie. elektromagnetiniai laukai gali egzistuoti elektromagnetinių bangų pavidalu. Elektromagnetinių bangų fazės greitis nustatomas pagal išraišką (1) v - fazės greitis, kur c = 1/ 0  0,  0 ir  0 yra atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos,  ir  yra atitinkamai terpės elektrinis ir magnetinis laidumas.

Vakuume (kai =1 ir =1) elektromagnetinių bangų sklidimo greitis sutampa su greičiu Su. Kadangi > 1, elektromagnetinių bangų sklidimo greitis medžiagoje visada yra mažesnis nei vakuume.

Skaičiuojant elektromagnetinio lauko sklidimo greitį pagal (1) formulę, gaunamas gana gerai eksperimentinius duomenis atitinkantis rezultatas, jeigu atsižvelgsime į  ir  priklausomybę nuo dažnio. Matmenų koeficiento b sutapimas su šviesos sklidimo greičiu vakuume rodo gilų ryšį tarp elektromagnetinių ir optinių reiškinių, kas leido Maxwellui sukurti elektromagnetinę šviesos teoriją, pagal kurią šviesa yra elektromagnetinės bangos.

SU Maksvelo teorijos pasekmė yra elektromagnetinių bangų skersiškumas: vektoriai E kryptimi sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo greičiu, kuris yra statmenas N bangos elektrinio ir magnetinio lauko stiprumai yra vienas kitam statmeni (227 pav.) ir yra plokštumoje, statmenoje bangos sklidimo greičio vektoriui v, o vektoriai E, N kryptimi sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo greičiu, kuris yra statmenas v sudaryti dešiniarankę sistemą. Iš Maksvelo lygčių taip pat išplaukia, kad elektromagnetinėje bangoje vektoriai E kryptimi sutampa su elektromagnetinės bangos sklidimo greičiu, kuris yra statmenas N visada dvejoti tose pačiose fazėse(žr. 227 pav.), o momentinės £ ir R reikšmės bet kuriame taške yra susietos ryšiu  0 = 0  N.(2)

E Šios lygtys tenkinamos ypač plokštumoje monochromatinės elektromagnetinės bangos(vieno griežtai apibrėžto dažnio elektromagnetinės bangos), aprašytos lygtimis E adresu =E 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 cos(t-kx+), (4), kur e 0 Ir N 0 - atitinkamai bangos elektrinio ir magnetinio lauko stiprių amplitudės,  - bangos apskritas dažnis, k=/v - bangos skaičius,  - pradinės virpesių fazės taškuose, kurių koordinatė x= 0. (3) ir (4) lygtyse  yra tas pats, nes elektros ir magnetiniai vektoriai elektromagnetinėje bangoje atsiranda su ta pačia faze.

Bendra formaįrašų bangų procesas

1 apibrėžimas

Tarkime, kad fizinis kiekis$s$ sklinda $X$ kryptimi greičiu $v$. Ši vertė($s$) gali būti guminio laido gabalėlių poslinkis, greitis, kai jis praeina per laidą mechaninė banga. Jei kalbame apie elektromagnetinę bangą, tai $s$ galima suprasti kaip elektrinio lauko stiprumą arba magnetinio lauko indukciją ir pan. Bendra bangos proceso įrašymo forma pasirodo kaip:

kur $t$ yra laikas, $x$ yra svarstomo taško koordinatė, $f$ yra funkcijos simbolis.

Bet kuri savavališka funkcija, turinti tik argumentą $\left(t-\frac(x)(v)\right)$, atspindi bangos procesą.

Tarkime, kad stebėtojas juda išilgai X ašies $v$ greičiu. Jos koordinatę galima apibrėžti taip:

Pakeiskime dešinėje pusėje išraiška (2) į formulę (1) vietoj kintamojo $x$ gauname:

Iš (3) išraiškos matyti, kad funkcija $f\left(-\frac(x_0)(v)\right)$ nepriklauso nuo laiko, o tai reiškia, kad $s$ sklinda greičiu $v$.

Panašiai galime tai gauti, jei procesas parašytas taip:

tada $s$ sklinda pagal pasirinktą $ašį X$. Jei darysime prielaidą, kad $t=0$, tada iš (1) ir (4) išraiškų turime:

Išraiška (5) nustato $s$ pasiskirstymą pradžios momentas laiko. Jei $s$ yra magnetinio lauko stipris elektromagnetinėje bangoje, tai formulė (5) nurodo magnetinio lauko pasiskirstymą erdvėje ties $t=0$. Pasirodo, funkcijos $f$ forma priklauso nuo pradines sąlygas procesas.

Taigi, išraiškos (1) ir (4) yra bendra išraiška bangai, sklindančiai išilgai X ašies.

Bangos lygtis

2 apibrėžimas

Funkcija $s$ tenkina paprastą diferencialinė lygtis. Norėdami jį rasti, išskiriame išraiškas (1) ir (4), sujungdami jas naudodami $\mp$ ženklą du kartus išilgai $x$ koordinatės:

\[\frac((\partial )^2s)(\partial x^2)=\frac(1)(v^2)f^("")\left(6\right).\]

Antroji dalinė išvestinė laiko atžvilgiu bus tokia:

\[\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=f^("")\left(7\right).\]

Naudodami (6) ir (7) išraiškas rašome:

\[\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=v^2\frac(\partial^2s)(\partial x^2)\left(8\right).\]

Lygtis (8) vadinama banga. Jei banga sklinda daugiau nei viena, bet visomis erdvės kryptimis, bangos lygtis bus tokia:

\[\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2s)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2s)(\partial y^2)+\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)\right)\left(9\right).\]

komentuoti

Jei fizikinis dydis sklinda bangos pavidalu, tai jis turi tenkinti bangos lygtį. Teisingas yra priešingas teiginys: jei koks nors dydis paklūsta bangos lygčiai, tada jis sklinda kaip banga. Bangos sklidimo greitis bus lygus kvadratinė šaknis iš koeficiento, kuris reiškia erdvinių išvestinių sumą.

Elektromagnetinės bangos

Panagrinėkime elektromagnetinį lauką vienalyčiame dielektrike ($j_x=j_y=j_z=0$). Be to, problemą laikysime vienmačiu, tai yra, manysime, kad vektoriai $\overrightarrow(E)\ ir\\overrightarrow(H)$ priklauso tik nuo vienos koordinatės $x$ ir laiko $t$ . Ši situacija reiškia, kad visą erdvę galime suskirstyti į toninius sluoksnius (sluoksnio storis linkęs į nulį), plokščius sluoksnius, kurių viduje $\overrightarrow(E)\ ir\\overrightarrow(H)$ iš viso įgauna tą pačią reikšmę. taškų. Ši užduotis atitinka plokštuminę elektromagnetinę bangą. Elektromagnetiniam laukui apibūdinti naudojame Maksvelo lygčių sistemą:

Vienmačiu atveju Maksvelo lygčių sistema gerokai supaprastinta, nes visos išvestinės $y$ ir $z$ atžvilgiu yra lygios nuliui. Rašydami (10) lygtį skaliariniu pavidalu:

Tampa akivaizdu, kad į vienalytė aplinka vienmačiu atveju:

Panašiai iš (11) lygties gauname, kad:

Išraiškos (15) ir (16) reiškia, kad šie elektromagnetinio lauko komponentai nepriklauso nuo laiko. O iš (12) ir (13) lygčių išplaukia, kad $D_x$ ir $B_x$ nepriklauso nuo koordinatės. Dėl to turime $D_x=const,\ B_x=const$.

Likusios (14) grupės lygtys bus tokios formos:

Iš skaliarinės formos lygčių grupės, kuri reiškia (11) išraišką, lieka:

Sugrupuojame lygtis (17) ir (18) kaip dvi nepriklausomas dalis. Pirmasis jungia elektrinio lauko komponentą $y$ ir magnetinio lauko komponentą $z$:

Antroji dalis susijusi su $z$-elektrinio lauko ir $y$-magnetinio lauko komponentu:

Pasirodo, kad kintamasis (laikiniu) elektrinis laukas ($D_y$) sukuria vieną $z$ magnetinio lauko komponentą ($H_z$), kintamasis magnetinis laukas $B_z$ sukelia elektrinio lauko, nukreipto išilgai, atsiradimą. $Yaxis$ ($E_y$ ) (19 lygtys). Tai yra, elektromagnetiniame lauke elektrinis ir magnetinis laukai yra statmeni vienas kitam. Panašią išvadą galima padaryti ir iš poros (20).

Vienmačiu atveju Maksvelo lygčių sistema gali būti parašyta taip:

Elektriniai ir magnetiniai laukai gali egzistuoti kaip bangos, nes šių bangų egzistavimas išplaukia iš Maksvelo lygties. Kadangi elektrinio lauko stiprumas atitinka formos lygtį:

Todėl šios lygties sprendimas gali būti pavaizduotas taip:

Kadangi magnetinio lauko stiprumas atitinka formos lygtį:

Todėl šios lygties sprendimas gali būti pavaizduotas taip:

1 pavyzdys

Pratimas: Naudodami vienmačio elektromagnetinio lauko atvejo pavyzdį parodykite, kad elektromagnetinio lauko banginis pobūdis išplaukia iš Maksvelo lygčių.

Sprendimas:

Norėdami išspręsti problemą, mes naudojame Maksvelo lygtis vienmačiui atvejui:

\[\frac(\partial D)(\partial t)=-\frac(\partial H)(\partial x),\ \frac(\partial B)(\partial t)=-\frac(\partial E )(\dalinis x)\left(1.1\right).\]

Iš (1.1) lygčių išskirkime magnetinį lauką $H$. Šiuo tikslu padauginame pirmąją lygtį iš $\mu (\mu )_0$ ir paimame abiejų lygybės pusių dalinę laiko išvestinę ir, naudojant išraišką: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, pakeičiame elektrinę indukcija su atitinkamo lauko stiprumu, gauname:

\[(\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon \ \frac((\partial )^2E)(\partial t^2)=-\mu (\mu )_0\frac((\partial ) ^2H)(\dalinis x\dalinis t)\kairė(1,2\dešinė).\]

Antrąją lygtį grupėje (1.1) išskiriame $x$ atžvilgiu, pakeičiame magnetinio lauko indukciją jos stiprumu, naudodami išraišką: $B=\mu (\mu )_0H$, ir gauname:

\[\frac((\partial )^2E)(\partial x^2)=-\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2H)(\partial x\partial t)\left(1,3) \dešinėje).\]

Kaip matome, (1.2) ir (1.3) išraiškų dešinės pusės yra vienodos, todėl galime daryti prielaidą, kad:

\[\frac((\partial )^2E)(\partial x^2)=(\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon \ \frac((\partial )^2E)(\partial t^ 2)\to \frac((\partial )^2E)(\partial t^2)=\frac(1)((\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon )\frac((\partial ) ^2E)(\dalinis x^2)\kairė(1,4\dešinė).\]

Panašią magnetinio lauko stiprumo lygtį galima lengvai gauti, jei neįtrauksime elektrinio lauko stiprumo. (1.4) lygtis yra banginė lygtis.

Atsakymas: Elektromagnetinio lauko elektrinio komponento stiprumo bangos lygtis gaunama tiesiogiai iš Maksvelo lygčių vienmačiai problemai.

2 pavyzdys

Pratimas: Koks yra elektromagnetinės bangos sklidimo greitis ($v$)?

Sprendimas:

Sprendimo pagrindu paimsime elektrinio lauko stiprumo plokštumoje elektromagnetinėje bangoje bangų lygtį:

\[\frac((\partial )^2E)(\partial t^2)=\frac(1)((\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon )\frac((\partial )^2E )(\dalinis x^2)\left(2.1\right).\]

Bangos sklidimo greitis yra kvadratinė šaknis iš koeficiento, kuris yra prieš $\frac((\partial )^2E)(\partial x^2)$ bangos lygtyje, todėl:

kur $c$ – šviesos sklidimo vakuume greitis.

Atsakymas:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon)).$