Išeitį iš aklavietės 1913 m. rado danų mokslininkas Nielsas Bohras, gavęs Nobelio premija 1922 metais.
Bohras padarė prielaidas, kurios buvo vadinamos Boro postulatai.
· Pirmasis postulatas (postulatas stacionarios būsenos ):elektronai juda tik išilgai tam tikrų(stacionarus)orbitomis. Tuo pačiu metu, net judant dideliu greičiu,jie neišskiria energijos.
· Antrasis postulatas (dažnio taisyklė):energijos išskyrimas ir sugertis šviesos kvanto pavidalu (hn) atsiranda tik elektronui pereinant iš vienos stacionarios būsenos į kitą. Didumas šviesos kvantas lygus energijos skirtumui tarp tų nejudančių būsenų,tarp kurių elektronas šokinėja: .
Iš to išplaukia, kad atominės energijos pokytis, susijęs su spinduliuote, absorbuojant fotoną, yra proporcingas dažniui ν:
Orbitos kvantavimo taisyklė : Iš visų elektronų orbitų galimos tik tokios,kurio kampinis impulsas yra lygus Planko konstantos sveikajam skaičiui:
| , | (6.3.2) |
Kur n= 1, 2, 3,... – pagrindinis kvantinis skaičius.
Gaukime elektrono energijos atome išraišką.
Apsvarstykite elektroną (6.6a pav.), greitai judantį lauke atomo branduolys su mokesčiu Ze(at Z= 1 – vandenilio atomas).
 | |||
| A | b |
Elektronų judėjimo lygtis yra tokia:
 .
|
(6.3.3) |
Iš (6.3.3) formulės aišku, kad išcentrinė jėga lygus Kulono jėga, Kur.
Pakeiskite υ reikšmę iš (6.3.2) į (6.3.3) ir gaukite spindulių išraišką stacionarios orbitos(6.6 pav., b):
| . | (6.3.4) |
Pirmosios vandenilio atomo orbitos spindulys vadinamas Boro spindulys . At n =1, Z= 1 vandeniliui turime:
Å = 0,529·10 –10 m.
Vidinė atomo energija susideda iš elektrono kinetinės energijos (branduolis nejuda) ir potenciali energija elektrono sąveika su branduoliu:
.
Iš elektronų judėjimo lygties išplaukia, kad, t.y. kinetinė energija lygus potencialui. Tada galime rašyti:
.
Pakeiskime čia pirmosios orbitos spindulio išraišką ir gausime:
 .
|
(6.3.5) |
Čia atsižvelgiama į tai, kad Plancko konstanta, t.y. .
Vandenilio atomui esant Z= 1 turime:
 .
|
(6.3.6) |
Iš (6.3.6) formulės aišku, kad ji tik priima diskrečiųjų vertybių energijos, nes n = 1, 2, 3….
Schema energijos lygiai, apibrėžta lygtimi (6.3.6), parodyta pav. 6.1 ir 6.7.
Kai elektronas vandenilio atome išeina iš būsenos n valstybėje k išspinduliuojamas fotonas su energija:
.
Emisijos dažnis:
.
Gauta apibendrinta Balmerio formulė, kuri puikiai dera su eksperimentu. Išraiška prieš skliaustus, kaip jau minėta, vadinama Rydbergo konstanta :
.
Didelė Bohro teorijos sėkmė buvo Rydbergo konstantos apskaičiavimas vandenilio tipo sistemoms ir jų struktūros paaiškinimas. linijų spektrai. Bohras sugebėjo paaiškinti spektro linijas jonizuotas helis Jis teoriškai apskaičiavo protono masės ir elektrono masės santykį, kuris sutapo su eksperimentu, svarbiu pagrindinių jo teorijos idėjų patvirtinimu. Boro teorija vaidino didžiulį vaidmenį kuriant atominė fizika. Jos kūrimosi laikotarpiu (1913–1925 m.) svarbių atradimų, amžinai įtrauktas į pasaulio mokslo lobyną.
Tačiau kartu su sėkme Boro teorijoje nuo pat pradžių buvo aptikti reikšmingi trūkumai. Svarbiausias iš jų buvo vidinis nenuoseklumas teorijos: mechaninis ryšys klasikinė fizika su kvantiniais postulatais. Teorija negalėjo paaiškinti klausimo intensyvumo spektrines linijas. Rimta nesėkmė buvo absoliuti neįmanoma pritaikyti teorijos paaiškinti helio atomo, kurio orbitoje yra du elektronai, spektrus, o tuo labiau kelių elektronų atomai(6.8 pav.).
Tapo aišku, kad Boro teorija buvo tik pereinamasis etapas kelyje į bendresnę ir teisingesnę teoriją. Kvantinė mechanika buvo tokia teorija.
Norėdami peržiūrėti demonstracines versijas, spustelėkite atitinkamą hipersaitą:
| M |
| K |
| R |
| O |
| 15 pav |
| z |
| O |
| y |
| x |
Taškas APIE vadinama kilme. Pirmoji ašis vadinama ašimi Oi, arba x ašis, antroji – ašis Oi, arba ordinačių ašis, trečioji – ašis Ozas, arba ašies taikyti. Plokštuma, einanti per dvi iš trijų ašių Oi, Oi, Ozas, vadinamas koordinačių plokštuma; Yra 3 koordinačių plokštumos. yOz, zOx Ir xOy.
Leiskite M – savavališkas taškas erdvė. Pažymėkime pagal R taško projekcija M vienai ašiai Oi lygiagrečiai plokštumai yOz, ir per X– taško koordinatė R ant ašies Oi. Per K pažymėkime taško projekciją M vienai ašiai Oi lygiagrečiai plokštumai zOx, ir per adresu– taško koordinatė K ant ašies Oi. Per R pažymėkime taško projekciją M vienai ašiai Ozas lygiagrečiai plokštumai xOy, ir per z– taško koordinatė R ant ašies Ozas(Žr. 15 pav.).
Trys skaičiai x, y, z paimtos tokia tvarka, vadinamos bendrosiomis Dekarto (arba afininėmis) taško koordinatėmis M. Pirmoji koordinatė vadinama taško abscise M, antra adresu– taško ordinatė M, ir trečia z– taikymo taškas M. Taškas M su koordinatėmis x, y, zžymimas M(x, y, z).
Abscisių taškai M yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai taškas M guli lėktuve yOz. Panašiai ir apie ordinates ir taikytis.
Iš to išplaukia taškas M(x, y, z) yra ant ašies Oi tada ir tik tada adresu=z=0, panašiai ir ašims Oi, Ozas. Dėl kilmės X=adresu=z=0.
Taškai , vadinami koordinačių ašių vienetiniais taškais. Taškas vadinamas vienas taškas koordinačių sistemos.
Lygiagretainis gretasienis, kurio viršūnė yra O pradžioje ir su briaunomis, vadinamas mastelio gretasieniu. Segmentai yra atitinkamai Ox, Oy, Oz ašių mastelio segmentai. Vektoriai
vadinami atitinkamai Ox ašių mastelio vektoriais, Oi, Ozas.
Naudojant bendrą Dekarto koordinačių sistemą, nustatomas vienas su vienu atitikimas tarp visų erdvės taškų aibės ir visų sutvarkytų trigubų aibės. realūs skaičiai. Čia norint nubrėžti esmę M, turintys koordinates duotus skaičius X, adresu, z, darykite taip: jei jie stato ant ašių Oi, Oi, Ozas taškų P, K, R, kurių koordinatės šiose ašyse yra atitinkamai lygios X, adresu, z ir pereiti per taškus P, K, R plokštumos, atitinkamai lygiagrečios koordinačių plokštumoms yOz, zOx, xOy; taškas M– yra šių plokštumų susikirtimo taškas.
Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje yra sutvarkyta porų statmenų koordinačių ašių triguba su bendra pradžia koordinates O ant kiekvienos iš jų ir su ta pačia skalės atkarpa kiekvienai ašiai (žr. pav.).
Dekarto stačiakampės taško koordinatės M apibrėžiami panašiai. Tai yra stačiakampės taško projekcijos M ant ašies Oi, Oi, Ozas.
Atkreipkite dėmesį, kad dažnai ašių mastelio vektoriai Oi, Oi, Ozas Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje yra nurodytos.
), kurio pagalba nustato šviestuvų ir pagalbinių įtaisų padėtį dangaus sfera. Astronomijoje jie naudoja įvairios sistemos dangaus koordinates. Kiekvienas iš jų iš esmės yra sferinė koordinačių sistema (be radialinės koordinatės) su tinkamai parinkta pagrindine plokštuma ir pradžia. Priklausomai nuo pagrindinės plokštumos pasirinkimo, dangaus koordinačių sistema vadinama horizontalia (horizonto plokštuma), ekvatorine (ekvatoriaus plokštuma), ekliptine (ekliptikos plokštuma) arba galaktine (galaktikos plokštuma).
Galima įvesti koordinates plokštumoje ir erdvėje begalinis skaičius skirtingais būdais. Sprendžiant tą ar kitą matematinį ar fizinė problema naudodamiesi koordinačių metodu, galite naudoti įvairius koordinačių sistemos, pasirenkant tą, kurioje problema išspręsta lengviau ar patogiau šiuo konkrečiu atveju. Gerai žinomas koordinačių sistemų apibendrinimas yra atskaitos sistemos ir atskaitos sistemos.
Enciklopedinis „YouTube“.
1 / 5
Dekarto koordinačių sistemos modelis.
Geometrija 11 klasė - Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje
Koordinačių plokštuma ➽ Algebra 7 klasė ➽ Video pamoka
Video pamoka " Poliarinė sistema koordinatės"
Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje. Vektorinės koordinatės. Video pamoka apie geometriją 11 klasė
Subtitrai
Pagrindinės sistemos
Šiame skyriuje paaiškinamos dažniausiai elementarios matematikos koordinačių sistemos.
Dekarto koordinatės
Taško vieta P lėktuve yra nustatyta Dekarto koordinatės naudojant porą skaičių (x , y) : (\displaystyle (x,y):)
Erdvėje jau reikia 3 koordinačių (x , y , z) : (\displaystyle (x,y,z):)
Polinės koordinatės
IN poliarinė koordinačių sistema, taikomas plokštumoje, taško padėtis P nustatomas pagal atstumą iki kilmės r= |OP| o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi .
Jautis Apibendrinimai galioja erdvėje - poliarines koordinates Ir cilindro formos sferinės
koordinačių sistemos.
koordinačių sistemos. Cilindrinės koordinatės P- trimatis poliarinių analogas, kuriame taškas atrodo, kad užsakytas trigubas
(r , φ , z) . h .(\displaystyle (r,\varphi ,z).) r = 0 .
Pastaba: literatūroje žymėjimas ρ kartais vartojamas pirmajai (radialinei) koordinatei, žymėjimas θ – antrajai (kampinei arba azimutalinei) koordinatei, o žymėjimas θ – trečiajai koordinatei. R Polinės koordinatės turi vieną trūkumą: φ reikšmė neapibrėžiama kada z Cilindrinės koordinatės yra naudingos tiriant sistemas, kurios yra simetriškos tam tikros ašies atžvilgiu. Pavyzdžiui, ilgas cilindras su spinduliu Dekarto koordinatėmis (su ašimi, sutampa su cilindro ašimi) turi lygtį r = R .
x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),)
x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),) tuo tarpu cilindrinėse koordinatėse tai atrodo daug paprasčiau, pvz
Sferinės koordinatės P- trimatis poliarinių analogas. Sferinėje koordinačių sistemoje taško vieta yra yra nulemtas trijų komponentų:
(ρ, φ, θ) . r(\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta).)Kalbant apie Dekarto koordinačių sistemą,
Pastaba: literatūroje azimutas kartais žymimas θ, o poliarinis kampas – φ. Kartais naudojama radialinei koordinatei P vietoj ρ. Be to, azimuto kampų diapazoną galima pasirinkti kaip (−180°, +180°], o ne diapazoną , o ne diapazoną . Kartais koordinačių tvarka triguboje parenkama kitaip nei aprašyta; Pavyzdžiui, poliariniai ir azimuto kampai gali būti sukeisti. z atidėkite atkarpą, lygią ρ, pasukite ją kampu θ aplink ašį y x, tada pasukite kampu θ aplink ašį z teigiamos pusašies kryptimi y .
Sferinės koordinatės yra naudingos tiriant sistemas, kurios yra simetriškos taško atžvilgiu. Taigi, rutulio su spinduliu lygtis R Dekarto koordinatėmis su pradine sferos centre atrodo x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , (\rodymo stilius x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),) tuo tarpu in sferinės koordinatės tampa daug paprasčiau: ρ = R.
(\displaystyle \rho =R.)
- Kitos bendros koordinačių sistemos Afininė (pasviroji) koordinačių sistema APIE- tiesinė koordinačių sistema afininėje erdvėje. Plokštumoje tai nurodo koordinačių pradžios taškas ir du sutvarkyti nekolineariniai vektoriai, kurie reiškia afininį pagrindą. Koordinačių ašysšiuo atveju vadinamos tiesėmis, einančiomis per pradžios tašką, lygiagrečios baziniams vektoriams, kurios savo ruožtu nurodo teigiamą ašių kryptį. Atitinkamai trimatėje erdvėje afininė sistema koordinatės nurodomos tiesiškai trigubu nepriklausomi vektoriai M ir pradžios tašką. Nustatyti tam tikro taško koordinates apskaičiuojami vektoriaus plėtimosi koeficientai OM
- pagal bazinius vektorius. Baricentrinės koordinatės pirmą kartą 1827 metais pristatė A. Moebius, išsprendęs masių, esančių trikampio viršūnėse, svorio centro problemą. Jie yra afininiai invariantai ir atstovauja ypatingas atvejis n bendros vienarūšės koordinatės. Taškas su baricentrinėmis koordinatėmis yra -dimensinė vektorinė erdvė E n n, o pačios koordinatės nurodo fiksuotą taškų sistemą, kuri nėra (
- −1)-dimensinė poerdvė. Baricentrinės koordinatės taip pat naudojamos algebrinėje topologijoje, atsižvelgiant į simpleksinius taškus. Dvikampės koordinatės - specialus bicentrinių koordinačių atvejis, koordinačių sistema plokštumoje, kurią apibrėžia du fiksuoti taškai SU - specialus bicentrinių koordinačių atvejis, koordinačių sistema plokštumoje, kurią apibrėžia du fiksuoti taškai 1 ir P 2, per kurią brėžiama tiesi linija, veikianti kaip abscisių ašis. Tam tikro taško padėtis , kuris nėra ant šios linijos, nustatomas pagal kampus 1 PC C , kuris nėra ant šios linijos, nustatomas pagal kampus 2 PC 1 .
- 2 ir Bipolinės koordinatės pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje A Ir, taip pat joms statmena apskritimų šeima. Bipolinės koordinatės konvertuojamos į Dekarto stačiakampes koordinates, naudojant specialias formules. Bipolinės koordinatės erdvėje vadinamos bisferinėmis; šiuo atveju koordinačių paviršiai yra rutuliai, paviršiai, susidarę sukantis apskritimo lankams, taip pat pusiau plokštumos, einančios per ašį Ozas .
- Bicentrinės koordinatės- bet kokia koordinačių sistema, pagrįsta dviem fiksuotais taškais ir kurioje kurio nors kito taško padėtis paprastai nustatoma pagal jo pašalinimo laipsnį arba apskritai pagal jo padėtį šių dviejų pagrindinių taškų atžvilgiu. Tokios sistemos gali būti labai naudingos tam tikrose srityse moksliniai tyrimai.
- Dvicilindrinės koordinatės- koordinačių sistema, kuri susidaro, jei dvipolė koordinačių sistema plokštumoje Oxy lygiagrečiai ašiai Ozas. Šiuo atveju koordinačių paviršiai yra apskritų cilindrų porų šeima, kurių ašys yra lygiagrečios, joms statmena šeima. apskriti cilindrai, taip pat lėktuvas. Norėdami konvertuoti dvicilindrines koordinates į Dekarto stačiakampes trimatė erdvė taip pat naudojamos specialios formulės.
- Kūginės koordinatės- trimatis ortogonalioji sistema koordinatės, susidedančios iš koncentrinių rutulių, apibūdinamų spinduliu, ir dviejų statmenų kūgių šeimų, esančių išilgai ašių x A z .
- Rindlerio koordinatės yra naudojami pirmiausia reliatyvumo teorijos rėmuose ir apibūdina tą plokščiosios erdvės laiko dalį, kuri paprastai vadinama Minkovskio erdve. Specialiojoje reliatyvumo teorijoje tolygiai greitėjanti dalelė juda hiperboliškai, ir kiekvienai tokiai dalelei Rindlerio koordinatėse galima pasirinkti atskaitos tašką, kurio atžvilgiu ji yra ramybės būsenoje.
- Parabolinės koordinatės yra dvimatė stačiakampių koordinačių sistema, kurioje koordinačių linijos yra konfokalinių parabolių rinkinys. Trimatė parabolinių koordinačių modifikacija sukonstruota sukant dvimatę sistemą aplink šių parabolių simetrijos ašį. Parabolinės koordinatės taip pat turi tam tikrą potencialo spektrą praktiniai pritaikymai: ypač jie gali būti naudojami Starko efektui. Parabolinės koordinatės tam tikru būdu yra susijusios su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis.
- Projektinės koordinatės pagal pavadinimą egzistuoja projekcinėje erdvėje P n (KAM) ir yra vienas su vienu atitikimas tarp jo elementų ir kūno elementų baigtinių pogrupių klasių. KAM, pasižyminčios lygiavertiškumo ir eilės savybėmis. Norint nustatyti projektinių poerdvių projekcines koordinates, pakanka nustatyti atitinkamas taškų koordinates projekcinė erdvė. IN bendras atvejis palyginti su kokiu nors pagrindu, projekcinės koordinatės įvedamos grynai projekcinėmis priemonėmis.
- Toroidinė koordinačių sistema- trimatė stačiakampė koordinačių sistema, gauta sukant dvimatę bipolinę koordinačių sistemą aplink ašį, skiriančią du jos židinius. Bipolinės sistemos židiniai atitinkamai virsta žiedu su spinduliu A, guli lėktuve xy toroidinė koordinačių sistema, o ašis z tampa sistemos sukimosi ašimi. Židinio žiedas taip pat kartais vadinamas baziniu apskritimu.
- Trilinės koordinatės yra vienas iš pavyzdžių vienarūšės koordinatės ir yra pagrįsti nurodytu trikampiu, todėl tam tikro taško padėtis nustatoma šio trikampio kraštinių atžvilgiu – daugiausia pagal atstumo nuo jų laipsnį, nors galimi ir kiti variantai. Trilines koordinates galima palyginti lengvai konvertuoti į baricentrines koordinates; be to, jos taip pat konvertuojamos į dvimates stačiakampes koordinates, kurioms jos naudojamos atitinkamas formules.
- Cilindrinės parabolinės koordinatės- trimatė stačiakampė koordinačių sistema, gauta erdvinės dvimatės parabolinės koordinačių sistemos transformacijos rezultatas. Atitinkamai koordinačių paviršiai yra konfokaliniai paraboliniai cilindrai. Cilindrinės parabolinės koordinatės turi tam tikrą ryšį su stačiakampėmis koordinatėmis ir gali būti naudojamos daugelyje mokslinių tyrimų sričių.
- Elipsoidinės koordinatės- elipsinės koordinatės erdvėje. Koordinačių paviršiai šiuo atveju yra elipsoidai, vieno lapo hiperboloidai, taip pat dviejų lakštų hiperboloidai, kurių centrai yra ištakoje. Sistema yra ortogonali. Kiekvienas skaičių trigubas, kuris yra elipsoidinės koordinatės, atitinka aštuonis taškus, kurie yra palyginti su sistemos plokštuma Oxyz simetriški vienas kitam.
Perėjimas iš vienos koordinačių sistemos į kitą
Dekartinis ir poliarinis
Kur u 0 – Heaviside funkcija su u 0 (0) = 0, (\displaystyle u_(0) (0) = 0,) o sgn yra signum funkcija. Čia yra funkcijos u 0 ir sgn naudojami kaip „loginiai“ jungikliai, savo prasme panašūs į „if...else“ teiginius programavimo kalbose. Kai kurios programavimo kalbos turi specialią atan2 funkciją ( y , x), kuris grąžina teisingą φ reikiamame kvadrante, apibrėžtame koordinatėmis x A y .
Dekarto ir cilindro formos
x = r cos φ , (\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,) y = r sin φ , (\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,) r = x 2 + y 2 , (\displaystyle r=(\sqrt (x^(2)+y^(2))),) φ = arctg y x + π u 0 (− x) sgn y , (\displaystyle \varphi =\operatoriaus vardas (arctg) (\frac (y)(x))+\pi u_(0)(-x)\ ,\operatoriaus vardas (sgn) y,) z = z. (\displaystyle z=z.\quad ) (d x d y d z) = (r cos θ − r sin φ 0 r sin θ r cos φ 0 0 0 1) ⋅ (d r d φ d z) , (\displaystyle (\begin\dx(pmatrix) dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end(pmatrix))\ cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix)),)(d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) .
(\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^( 2))))&(\frac (y)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\(\frac (-y)(\sqrt (x^(2)+) y^(2))))&(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\0&0&1\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix) )dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).) Dekartinis ir sferinis x = ρ sin θ cos φ , (\displaystyle (x)=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad ) y = ρ sin θ sin φ , (\displaystyle (y)=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad ) z = ρ cos θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;\quad) (d x d y d z) = (sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ θ sin ρ θ cos φ cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sin \theta \ cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))) (d ρ d θ d φ) = (x / ρ y / ρ z / ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − (x 2 + y 2) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0) ⋅ (d x d y d z) .(\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)x/\rho &y/\rho &z/\rho \\( \frac (xz)(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)+y^(2)))))&(\frac (yz)(\rho ^(2)(\sqrt (x) ^(2)+y^(2)))))&(\frac (-(x^(2)+y^(2)))(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)) +y^(2)))))\\(\frac (-y)(x^(2)+y^(2)))&(\frac (x)(x^(2)+y^( 2)))&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)
Cilindrinis ir sferinis r = ρ sin θ , (\displaystyle (r)=\rho \,\sin \theta ,) φ = φ , (\displaystyle (\varphi )=\varphi ,\quad) z = ρ cos θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;) ρ = r 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (r^(2)+z^(2))),) θ = arctg z r + π u 0 (− r) sgn z , (\displaystyle (\theta )=\operatoriaus vardas (arctg) (\frac (z)(r))+\pi \,u_(0)( -r)\,\operatoriaus vardas (sgn) z,) φ = φ.Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos konstravimas
lėktuve
Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys JAUTIS 1 Ir JAUTIS 2 , kurios susikerta taške O, vadinama koordinačių pradžia (1 pav.). Kiekvienoje ašyje parenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Vienetai paprastai yra vienodi visoms ašims (tai nėra privaloma). IN dešinės pusės koordinačių sistema, ašių teigiama kryptis parenkama taip, kad kai ašis nukreipta JAUTIS 2 aukštyn, ašis JAUTIS 1 žiūrėjo į dešinę. JAUTIS 1 -- abscisių ašis, JAUTIS 2 -- ordinačių ašis. Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių JAUTIS 1 Ir JAUTIS 2 , vadinami koordinačių kampais arba kvadrantai.
Taškas Ir pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeį koordinačių ašį JAUTIS 1 ;
Taškas PC - ortografinė projekcija taškų pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeį koordinačių ašį JAUTIS 2 ;
Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos konstravimas erdvėje
Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys JAUTIS, OY Ir OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuri vadinama koordinačių pradžia, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Vienetai paprastai yra vienodi visoms ašims (tai nėra privaloma). JAUTIS-- abscisių ašis, OY-- ordinačių ašis, OZ-- aplikatoriaus ašis.
Jeigu nykščiu dešine ranka imti kryptį X, indeksas – krypčiai Y o vidurinis skirtas krypčiai Z, tada jis susidaro teisingai koordinačių sistema. Panašūs kairės rankos pirštai sudaro kairiąją koordinačių sistemą. Kitaip tariant, teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad ašiai sukant JAUTIS prieš laikrodžio rodyklę 90° jo teigiama kryptis sutampa su teigiama ašies kryptimi OY, jei šis sukimasis stebimas iš teigiamos ašies krypties OZ. Neįmanoma sujungti dešinės ir kairės koordinačių sistemų taip, kad atitinkamos ašys sutaptų (2 pav.). Taškas F- stačiakampė taško projekcija pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeįjungta koordinačių plokštuma OXY; Taškas E- stačiakampė taško projekcija pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeį koordinačių plokštumą OYZ; Taškas G- stačiakampė taško projekcija pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeį koordinačių plokštumą JAUTIS Z ;
Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos išdėstymas erdvėje parodyta 3, 4 ir 5 paveiksluose.
Taško koordinačių nustatymas Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje
Pagrindinis bet kurios koordinačių sistemos klausimas yra taško, esančio jo plokštumoje ar erdvėje, koordinačių nustatymas.
Plokštumos taško koordinačių nustatymas Dekarto koordinačių sistema
Taško padėtis pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje plokštumoje nustatoma pagal dvi koordinates - x Ir y (5 pav.). Koordinatė x lygus atkarpos ilgiui O.B., koordinuoti y -- segmento ilgis O.C. pasirinktais matavimo vienetais. Segmentai O.B. Ir O.C. nustatomos iš taško nubrėžtomis linijomis pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje lygiagrečiai ašims OY Ir JAUTIS atitinkamai. Koordinatė x vadinama abscise (lot. abscisė- atkarpa), koordinatė y -- ordinatės (lot. ordinatės- išdėstyti tvarkingai) taškai pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje. Parašykite taip:
Jei taškas pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje guli koordinačių kampas Aš, tada jis turi teigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje yra koordinačių kampe II, tada yra neigiama abscisė ir teigiama ordinatė. Jei taškas pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje yra koordinačių kampe III, tada jis turi neigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje yra koordinačių kampe IV, tada yra teigiama abscisė ir neigiama ordinatė.
Taip koordinatės nustatomos Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje.
Dviejų ar trijų susikertančių, viena kitai statmenų ašių, turinčių bendrą pradžią (koordinačių pradžią) ir bendrą ilgio vienetą, sistema vadinama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema .
Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) nebūtinai gali apimti statmenas ašis. Į garbę prancūzų matematikas Renė Dekartas (1596-1662) įvardijo kaip tik tokią koordinačių sistemą, kurioje visose ašyse matuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis ir stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje apibrėžiamas sutvarkyta koordinačių rinkiniu – skaičiais, atitinkančiais koordinačių sistemos ilgio vienetą.
Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuris linijos taškas susiejamas su tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, ty koordinate.
Rene Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Tapo įmanoma interpretuoti algebrines lygtis(arba nelygybes) geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti sprendimo geometrinės problemos naudojant analitines formules ir lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.
Naudojant Dekarto koordinačių sistemą, taško priklausomybė duotoje kreivėje atitinka tai, kad skaičiai x Ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi, apskritimo taško, kurio centras yra taško, koordinatės duotas taškas (a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto stačiakampė sistema koordinates lėktuve . Viena iš šių ašių vadinama ašimi o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašimis. Pažymėkime pagal Mx Ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi Ir Oy. Kaip gauti prognozes? Eikime per esmę M o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi. Ši tiesi linija kerta ašį o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi taške Mx. Eikime per esmę M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši tiesi linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.
x Ir y taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx Ir OMy. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 Ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x Ir y taškų M abscisė Ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x Ir y, žymimas taip: M(x, y) .
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Tai taip pat rodo taškų koordinačių ženklų išdėstymą, atsižvelgiant į jų vietą tam tikrame kvadrante.
Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.
Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje ( koordinačių ašys) su bendra pradžia O ir su tuo pačiu mastelio vienetu jie sudaro Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .
Viena iš šių ašių vadinama ašimi o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji – ašis Ozas, arba ašis taikyti . Leiskite Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M erdvė ant ašies o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi , Oy A Ozas atitinkamai.
Eikime per esmę M o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimio jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi taške Mx. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.
Dekarto stačiakampės koordinatės x , y A z taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx, OMy Ir OMz. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ir z = z0 - 0 .
Dekarto koordinatės x , y A z taškų M atitinkamai vadinami abscisė , ordinatės Ir kreiptis .
Koordinačių ašys, paimtos poromis, yra koordinačių plokštumose xOy , yOz A zOx .
Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai
1 pavyzdys.
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(2; -3) ;
Ir(3; -1) ;
PC(-5; 1) .
Raskite šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates.
Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurią x ašis kerta taške 0), lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojex(2;0);
Irx(3;0);
PCx (-5; 0).
2 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(-3; 2) ;
Ir(-5; 1) ;
PC(3; -2) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį.
Sprendimas. Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, ir abscisę (ašies koordinatę o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, kurią ordinačių ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias koordinačių ašies taškų koordinates:
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojey(0;2);
Iry(0;1);
PCy(0;-2).
3 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(2; 3) ;
Ir(-3; 2) ;
PC(-1; -1) .
o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi .
o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, turės tokią pat abscisę kaip duotas taškas, o ordinatė lygi absoliuti vertė duoto taško ordinatė ir priešingas jos ženklas. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Pats spręskite uždavinius naudodami Dekarto koordinačių sistemą, o tada peržiūrėkite sprendimus
4 pavyzdys. Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiai, brėžinys su kvadrantais - pastraipos „Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , Jei
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(-2; 5) ;
Ir(3; -5) ;
PC(a; b) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Ir toliau spręskime problemas kartu
6 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(-1; 2) ;
Ir(3; -1) ;
PC(-2; -2) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy kryptinis segmentas nuo ašies Oy iki šio taško. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi nurodyto taško abscisei ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(3; 3) ;
Ir(2; -4) ;
PC(-2; 1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį.
Sprendimas. Nukreiptą segmentą, einantį nuo pradžios iki nurodyto taško, pasukame 180 laipsnių kampu aplink pradinę vietą. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas nurodytam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę pagal absoliučią vertę duotojo taško abscisei ir ordinatėms, tačiau priešingas ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
PC(2; -1) .
8 pavyzdys.
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(4; 3; 5) ;
Ir(-3; 2; 1) ;
PC(2; -3; 0) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates:
1) lėktuve Oxy ;
2) lėktuve Oxz ;
3) į lėktuvą Oyz ;
4) ant abscisių ašies;
5) ordinačių ašyje;
6) ant taikymo ašies.
1) Taško projekcija į plokštumą Oxy yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojexy (4; 3; 0);
Irxy (-3; 2; 0);
PCxy(2;-3;0).
2) Taško projekcija į plokštumą Oxz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią tam tikro taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojexz (4; 0; 5);
Irxz (-3; 0; 1);
PCxz (2; 0; 0).
3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojeyz(0; 3; 5);
Iryz (0; 2; 1);
PCyz (0; -3; 0).
4) Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje o jo spindulio vektoriaus kampas φ su ašimi, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates:
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojex(4;0;0);
Irx (-3; 0; 0);
PCx(2;0;0).
5) taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (nes abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį:
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojey(0; 3; 0);
Iry (0; 2; 0);
PCy(0;-3;0).
6) taško projekcija į taikymo ašį yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į taikomąją ašį koordinates:
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumojez (0; 0; 5);
Irz (0; 0; 1);
PCz(0; 0; 0).
9 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami erdvėje
pasižymi tuo, kad šiuo atveju dvi apskritimų šeimos su poliais veikia kaip koordinačių linijos plokštumoje(2; 3; 1) ;
Ir(5; -3; 2) ;
PC(-3; 2; -1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į:
1) lėktuvas Oxy ;
2) lėktuvai Oxz ;
3) lėktuvai Oyz ;
4) abscisių ašys;
5) ordinačių ašys;
6) pritaikyti ašis;
7) koordinačių kilmė.
1) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, kurios dydis yra lygus tam tikro taško ordinatėms, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Perkelti“ tašką kitoje ašies pusėje Oyzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir aplikatą, lygią duoto taško ordinatėms ir aplicatui, o abscisę savo reikšme lygi duoto taško abscisei, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Pagal analogiją su simetriški taškai plokštumoje ir erdvės taškuose, simetriškuose duomenims plokštumų atžvilgiu, pažymime, kad esant simetrijai tam tikros Dekarto koordinačių sistemos erdvėje ašies atžvilgiu, koordinatė ašyje, kurios atžvilgiu duota simetrija išsaugos savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučiais skaičiais bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.
4) Abscisė išsaugos savo ženklą, tačiau ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims abscisių ašies atžvilgiu:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su ordinačių ašimi:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims taikomosios ašies atžvilgiu:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogiškai su simetrija, kai taškai yra plokštumoje, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet priešingo ženklo. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su kilme.
