Хоёр хэмжээст Фурье хувиргах шинж чанарууд. Дискрет Фурье хувиргалт

Олон дохиог синусоид (гармоник) болгон задлах замаар шинжлэхэд тохиромжтой. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий. Жишээлбэл, хүний ​​чих ижил төстэй байдлаар ажилладаг. Энэ нь дуу авиаг өөр өөр давтамжийн чичиргээ болгон задалдаг. Үүнээс гадна синусоидууд нь " өөрийн функцууд"шугаман системүүд (тэдгээр дамжин өнгөрдөг тул шугаман системүүд, хэлбэрийг өөрчлөхгүйгээр, гэхдээ зөвхөн фаз ба далайцыг өөрчлөх боломжтой). Өөр нэг шалтгаан нь Котельниковын теоремыг дохионы спектрийн хувьд томъёолсон байдаг.

Фурье хувиргалт нь функцийг синусоид болгон задлах явдал юм (цаашид бид косинусын функцуудыг синусоид гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь "бодит" синусоидуудаас зөвхөн фазын хувьд ялгаатай байдаг). Фурье хувиргалтын хэд хэдэн төрөл байдаг.

1. Тогтмол бус тасралтгүй дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

2. Тогтмол тасралтгүй дохиог хязгааргүй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

3. Үе үе бус дискрет дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

4. Тогтмол дискрет дохиог төгсгөлтэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

Компьютер нь зөвхөн хязгаарлагдмал хэмжээний өгөгдөлтэй ажиллах боломжтой тул энэ нь зөвхөн Фурье хувиргалтын сүүлчийн төрлийг тооцоолж чадна. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Нарийн төвөгтэй DFT

Одоогийн байдлаар бид бодит дохионоос DFT-ийг авч үзсэн. Одоо DFT-ийг нарийн төвөгтэй дохионуудад ерөнхийд нь авч үзье. X[n], n=0,…,N-1 - N-ээс бүрдсэн анхны комплекс дохиог үзье нийлмэл тоо. X[k], k=0,…N-1 - түүний N комплекс тооноос бүрдэх комплекс спектрийг тэмдэглэе. Дараа нь Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалтын томъёонууд хүчинтэй байна.

Хэрэв бид эдгээр томьёог ашиглан бодит дохиог спектр болгон задлах юм бол спектрийн эхний N/2+1 цогцолбор коэффициентүүд нь "цогцолбор" хэлбэрээр үзүүлсэн "ердийн" бодит DFT-ийн спектр болон үлдсэн коэффициентүүдтэй давхцах болно. нь дээж авах давтамжийн хагастай харьцуулахад тэдгээрийн тэгш хэмтэй тусгал байх болно. Косинусын коэффициентийн хувьд тусгал тэгш, синусын коэффициентийн хувьд сондгой байна.

2D DFT

Хоёр хэмжээст дохио болох зургийн хувьд спектр нь мөн хоёр хэмжээст дохио юм. Фурье хувиргалтын үндсэн функцууд нь:

Түүнээс гадна үе шатууд нь өөр өөр байж болно. Зураг дээр эдгээр үндсэн функц бүр нь тодорхой давтамж, тодорхой чиг баримжаа, тодорхой үе шаттай долгионыг илэрхийлдэг.

Энд N 1 xN 2 нь анхны дохионы хэмжээ бөгөөд энэ нь мөн спектрийн хэмжээ юм. k 1 ба k 2 нь үндсэн функцүүдийн тоо (эдгээр функцийг олох хоёр хэмжээст DFT-ийн коэффициентүүдийн тоо) юм. Спектрийн хэмжээнээс хойш хэмжээтэй тэнцүүэх дохио, дараа нь k 1 = 0,…,N 1 -1; k 2 = 0,…,N 2 -1.

n 1 ба n 2 нь үндсэн функцүүдийн хувьсах аргументууд юм. Суурь функцүүдийн тодорхойлолтын муж нь дохионы тодорхойлолтын мужтай давхцаж байгаа тул n 1 = 0,...,N 1 -1; n 2 = 0,…,N 2 -1.

2D DFT (ин нарийн төвөгтэй хэлбэр) тодорхойлогддог дараах томъёонууд(энд x нь анхны дохио, X нь түүний спектр юм):

Дээрх томъёог ашиглан хоёр хэмжээст DFT-ийг шууд тооцоолоход асар их тооцооллын зардал шаардагдана. Гэсэн хэдий ч хоёр хэмжээст DFT нь салгах шинж чанартай болохыг баталж болно, i.e. үүнийг хоёр хэмжээсээс дараалан тооцоолж болно.

Хоёр хэмжээст DFT-ийг тооцоолохын тулд зургийн бүх эгнээний нэг хэмжээст цогцолбор DFT-ийг тооцоолж, дараа нь үүссэн "зураг" дахь бүх баганын нэг хэмжээст цогцолбор DFT-ийг тооцоолоход хангалттай.

Энэ тохиолдолд бүх нэг хэмжээст цогц DFT-ийн үр дүнг эдгээр DFT-ийн анхны өгөгдлийн оронд бичих ёстой. Жишээлбэл, зургийн эхний эгнээний нэг хэмжээст DFT-ийг тооцоолохдоо та энэ зургийн эхний мөрөнд DFT-ийн үр дүнг бичих хэрэгтэй (энэ нь ижил хэмжээтэй). Үүнийг хийхийн тулд та "пиксел" бүрийг комплекс тоо болгон хадгалах хэрэгтэй.

Тиймээс, үр дүнтэй алгоритмЗургийн DFT-ийг тооцоолох нь эхлээд бүх мөрнөөс, дараа нь зургийн бүх баганаас нэг хэмжээст FFT-ийг тооцоолохоос бүрдэнэ.

Спектрийн дүрслэлийн онцлогуудыг авч үзье салангид дохио, энэ нь сегмент дээр дээжээр нь тодорхойлогддог
, зарим үед тус тус авсан
; дээжийн нийт тоо
(- дээж авах интервал).

Ийм салангид дохиог судлах техник нь лавлагааны утгын үр дүнгийн дээжийг оюун санааны хувьд хязгааргүй давтдаг явдал юм. эцсийн тоонэг удаа. Үүний үр дүнд дохио нь үе үе болдог.

Тодорхой математик загварыг ийм дохиотой холбосноор та Фурье цувралын өргөтгөлийг ашиглаж, харгалзах далайцын коэффициентийг олох боломжтой. Эдгээр коэффициентүүдийн хослол нь салангид үечилсэн дохионы спектрийг бүрдүүлдэг.

Загварыг дельта импульсийн дараалал хэлбэрээр ашиглацгаая. Дараа нь анхны чичиргээг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

(5.1)

Хаана
- аналог дохионы дээжийн утгууд.

- дискрет Фурье хувиргалт (DFT) (5.4)

DFT-ийн үндсэн шинж чанарууд

1. DFT- шугаман хувиргалттэдгээр. дохионы нийлбэр нь тэдгээрийн DFT-ийн нийлбэртэй тохирч байна

2. Янз бүрийн коэффициентүүдийн тоо
, (5.4) томъёог ашиглан тооцоолсон, нэг үе дэх N тоотой тэнцүү; коэффициент дээр

3. Коэффициент (тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг) нь бүх уншилтын дундаж утга юм.

5. Лавлагаа утгуудыг бичье - бодит тоо. Дараа нь тоо нь /2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг DFT коэффициентүүд нь хосолсон хосуудыг үүсгэдэг.

Салангид асуудал спектрийн шинжилгээөөрөөр тавьж болно. Коэффициент гэж үзье , DFT бүрдүүлэх, өгсөн байна. (5.2) томъёог оруулцгаая.
Анхны дохионы спектрт агуулагдах гармониктай тохирч байгаа цувралын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрийг харгалзан үзнэ.

Тиймээс бид лавлагаа утгыг тооцоолох томъёог олж авдаг

(5.5)

Мэдээжийн хэрэг (5.5) нь урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT) томъёо юм.

11 Хурдан Фурье хувиргах алгоритм. Тооцооллын үйлдлүүдийн тоо. Дискрет ба хурдан Фурье хувиргуудын харьцуулалт.

=0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7)

Оролтын массивын тэгш ба сондгой хэсгүүдэд хамаарах коэффициентүүдийн дараалал нь N/2 үетэй үе үе байдгийг анхаарч үзье.

Үүнээс гадна (5.7) томъёонд орсон хүчин зүйл at
дараах байдлаар хөрвүүлж болно:

Эндээс бид DFT коэффициентүүдийн багцын хоёрдугаар хагасын илэрхийлэлийг олно

(5.8)

Томъёо (5.7) ба (5.8) нь FFT алгоритмын үндэс болдог. Дараа нь тооцооллыг давталтын зарчмын дагуу хийдэг: тэгш, сондгой тоо бүхий дээжийн дарааллыг дахин хоёр хэсэгт хуваана. Нэг элементээс бүрдэх дарааллыг олж авах хүртэл процессыг үргэлжлүүлнэ. Энэ элементийн DFT нь өөртэйгөө давхцдаг.

FFT-ийг тооцоолоход шаардагдах үйлдлүүдийн тоог дараах байдлаар тооцоолсон
.

Хэрэв оролтын массив хангалттай урттай бол уламжлалт DFT-тэй харьцуулахад тооцооллын хурдны өсөлт хэдэн зуу, бүр мянгад хүрдэг.

12.. З - хувиргалт ба түүний шинж чанарууд. Өргөдөл З - өөрчлөлтүүд.

Дискрет болон дижитал төхөөрөмжүүдийн шинжилгээ, синтезийн явцад Z-хувиргагч нь тасралтгүй дохионы хувьд Фурьегийн интеграл хувиргалттай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг.

Болъё
- тодорхой дохионы лавлагаа утгыг агуулсан төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тоон дараалал. Үүнийг цувралын нийлбэртэй өвөрмөц захидалд оруулъя сөрөг хүчнүүдкомплекс хувьсагч Z:

(5.9)

Энэ нийлбэрийг дарааллын Z хувиргалт гэж нэрлэдэг
. Тоонуудын салангид дарааллын шинж чанарыг математик шинжилгээний уламжлалт аргуудыг ашиглан тэдгээрийн Z-хувиргалтуудыг судлах замаар судалж болно.

Энэ илэрхийлэл нь |Z|> үед утга учиртай болно .

Урвуу Z-хувиргах

x(z) нь нийлмэл хувьсагчийн Z функц байг. Z-хувиргагчийн гайхалтай шинж чанар нь x(z) функц нь бүхэл хязгааргүй түүврийн багцыг тодорхойлдог явдал юм.
).

Үнэхээр цувралын (5.9) хоёр талыг хүчин зүйлээр үржүүлцгээе
:

m тоотой гишүүнийг эс тооцвол баруун талд байгаа бүх гишүүний интеграл алга болно.

(5.11)

Энэ илэрхийлэлийг урвуу Z хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хамгийн чухал шинж чанарууд З - хөрвүүлэлт:

1. Шугаман байдал. Хэрэв
Тэгээд
- зарим салангид дохионууд ба харгалзах Z-хөрчлөлтүүд x(z) ба y(z) мэдэгдэж байгаа бол дохио
ямар ч тогтмолын хувиргалтанд тохирно Тэгээд . (5.9) томъёонд нийлбэрийг орлуулах замаар нотлох баримтыг гүйцэтгэнэ.

2. З-шилжсэн дохиог хувиргах. Дискрет дохиог авч үзье
, салангид дохионы үр дүнд бий болсон
нэг байрлалыг саатал руу шилжүүлэх замаар, өөрөөр хэлбэл. Хэзээ
. Z-хувиргаалтыг шууд тооцоолоход бид дараах үр дүнг авна.

Тиймээс бэлэг тэмдэг
Z домайн дахь нэгж саатлын операторын үүрэг гүйцэтгэдэг (түүврийн интервал бүрээр).

3. З- эргэлтийн хувиргалт. x(z) ба y(z) байг тасралтгүй дохио, үүний хувьд эргэлтийг тодорхойлсон:

(5.13)

Дискрет дохионуудын хувьд (5.13)-ын адилаар нэвтрүүлэх нь заншилтай байдаг салангид эргэлт
- нийтлэг нэр томъёо нь дараах тоонуудын дараалал.

Ийм салангид эргэлтийг шугаман гэж нэрлэдэг

Дискрет эргэлтийн Z-хувиргалыг тооцоолъё:

(5.15)

Тиймээс хоёр салангид дохионы эргэлт нь Z-хувиргах үржвэртэй тохирч байна.

-ээр тэмдэглэе

мөр, баганын хэмжээтэй салангид дүрсийг дүрсэлсэн хоёр хэмжээст талбар (хоёр хэмжээст дохио). Заасан хязгаараас гадуур энэ дохио тодорхойлогдоогүй байна. Хоёр хэмжээст үечилсэн дохиог нэвтрүүлэх замаар энэ төгсгөлтэй дохионы үечилсэн үргэлжлэлийг хийцгээе.

. (3.21)

Хэрэв дохио нь зөвхөн элементүүдийн талуудтай тэгш өнцөгт дотор байгаа бол (Зураг 3.4.а) дохио нь бүхэл хавтгайд тодорхойлогддог бөгөөд үүн дээр тэгш өнцөгт тогтмол байна (Зураг 3.4.б).

Аливаа үечилсэн дохиог Фурьегийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болох боловч нэг хэмжээст дохионоос ялгаатай нь хоёр хэмжээст дохиог хоёр хэмжээст Фурье цувралаар дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэхүү хоёр хэмжээст дүрслэлийн үндсэн функцууд нь хоёр хэмжээст комплекс экспоненциалууд (заримдаа нарийн төвөгтэй синусоид гэж нэрлэдэг) юм.

(3.23)

дохионы нэгэн адил ижил үетэй тэгш өнцөгт үетэй байх. Энд (,) нь үндсэн функцийн хоёр хэмжээст тоо бөгөөд хэмжигдэхүүнүүд нь орон зайн давтамжийн утгыг агуулна. Заримдаа бүхэл тоон хэмжигдэхүүнүүдийг орон зайн давтамж гэж нэрлэдэг.

Цувралын Фурье коэффициент (3.22) нь хоёр хэмжээстийг бүрдүүлдэг давтамжийн спектрдохио бөгөөд Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёогоор тодорхойлогддог.

(3.24)

Спектрээс дохиог сэргээдэг илэрхийлэл (3.22) нь урвуу Фурье хувирал юм. Хоёр хэмжээст DFT гэж нэрлэгддэг (3.22) ба (3.24) хувиргуудын үнэн зөвийг (3.24)-ийг (3.22)-д орлуулж, дараах утгыг авчрах замаар шалгаж болно. баруун талүр дүнд нь зүүний утгатай тэнцэх, i.e. -д.

FFT томъёоны дагуу элементүүдийн хоёр хэмжээст үе бүхий салангид дохиог үнэн зөв дүрслэхийн тулд хязгаарлагдмал тооны суурь функцууд (3.23) хангалттай - цуврал (3.22) нь төгсгөлтэй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь илэрхийлсэн дохио нь өөрөө нэг хугацаанд хязгаарлагдмал тооны цэгүүдийг агуулдаг, өөрөөр хэлбэл. хязгаарлагдмал тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй. Спектрийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь дохионы эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос ялгаатай байж болохгүй нь ойлгомжтой.

Хоёр хэмжээст дискрет Фурье спектрийн хамгийн чухал шинж чанаруудын талаар ярилцъя. Давтамжийн цэгүүдийн спектрийн коэффициентийг (3.24) тооцоолъё :

Учир нь аливаа бүхэл тоон утгууд ба үр дүнгийн илэрхийлэл дэх сүүлчийн хүчин зүйл юм нэгтэй тэнцүү, тэгвэл бид тэнцүү байна:

,

хоёр хэмжээст DFT-ийн тэгш өнцөгт үечилсэн байдлыг илэрхийлдэг. Иймээс хоёр хэмжээст DFT-ийн зураг нь хоёр хэмжээст үе үе тасралтгүй дохионы зурагтай төстэй бөгөөд чанарын хувьд Зураг дээр үзүүлэв. 3.4.б (түүн дээрх орон зайн координатыг давтамжтай сольсон бол). Гэсэн хэдий ч, (3.24)-ийн дагуу спектрийн коэффициентүүд нь бодит дохионы хувьд цогц тоонууд гэдгийг санах нь зүйтэй. Гэхдээ дараа нь асуулт гарч ирнэ. Спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийт тоо нь . Комплекс тоо нь хос бодит тоотой тэнцэнэ - алгебрийн тэмдэглэгээнд бодит ба төсөөллийн хэсгүүд эсвэл экспоненциал тэмдэглэгээний модуль ба үе шат. Тиймээс бүрэн спектрийг тайлбарласан болно бодит тоо, энэ нь дохионы хэмжээнээс хоёр дахин их юм. Эхлээд харахад энэ нь зөрчилдөөнийг агуулдаг. Энэ нь хоёр хэмжээст DFT-ийн шинж чанарыг цаашид судлах замаар түүний тодруулгыг олдог.

(3.25) хамаарлыг дараах байдлаар хувиргая. Эхлээд давтамжийн оронд давтамжийг орлъё. Хоёрдугаарт, бид хоёр хэсгийн цогц холболтыг хийх бөгөөд энэ нь тэгш байдлыг зөрчихгүй. Үүний үр дүнд илэрхийлэлийг авахад хялбар байдаг:

,

спектрийн тэгш өнцөгтийн хоёр өөр цэг дээрх спектрийн коэффициентүүдийн хооронд хоёрдмол утгагүй холболтыг бий болгодог. Энэхүү спектрийн тэгш хэмийн улмаас бие даасан спектрийн коэффициентүүдийн тоо хоёр дахин багассан тул үүссэн хамаарал нь зөрчилдөөнийг арилгадаг. Тогтсон шинж чанарын дагуу тэгш өнцөгтийн зүүн дээд ба баруун доод буланд хамаарах спектрийн коэффициентүүд нь спектрийн коньюгат хамаарлаар хоорондоо холбогддог. Үүний нэгэн адил спектрийн тэгш өнцөгтийн баруун дээд ба зүүн доод хэсгүүдийн Фурье коэффициентүүд хоорондоо холбоотой байдаг.

Энэ догол мөрний төгсгөлд бид хэзээ гэдгийг онцлон тэмдэглэв практик хэрэглээхоёр хэмжээст DFT - шууд ба урвуу аль алинд нь (3.22) ба (3.24) хувиргалтаас үзэхэд үе үе дохио, спектртэй ажиллах шаардлагагүй болно. (3.22) ба (3.24) харилцаа нь өөрөө энэ хэрэгцээг арилгадаг. Үнэн хэрэгтээ Фурьегийн шууд хувиргалт (3.24) нь баруун талд зөвхөн нэг "үндсэн" тэгш өнцөгт дэх үе үе үргэлжилсэн дохионы утгыг агуулдаг. Гэхдээ эдгээр хязгаарт анхны болон үе үе үргэлжилдэг дохионууд бүрэн давхцдаг бөгөөд энэ нь (3.24) томъёонд анхны дохиог ашиглах боломжийг олгодог. Үүнтэй төстэй тайлбарыг урвуу хувиргалт (3.22) хийх боломжтой бөгөөд үүнээс үзэхэд тооцооллын явцад практикт спектрийн "үндсэн" хэсэгтэй ажиллах шаардлагатай байна. спектрийн бүс.

Зөвхөн тооцооллын ач холбогдолтой тайлбаруудаас үзэхэд зохиомол, ашиггүй байдлын талаар дүгнэлт хийх ёсгүй. математик загваруудүечилсэн талбарууд. Зургийг боловсруулах явцад олон тооны асуудал гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг зөв тайлбарлах, шийдвэрлэх нь зөвхөн эдгээр математик тайлбарын үндсэн дээр боломжтой юм. Эдгээрийн нэг хамгийн чухал ажлууднь спектрийн муж дахь дижитал хоёр хэмжээст шүүлтүүр бөгөөд түүний хэрэгжилт нь мөчлөгийн эргэлт гэж нэрлэгддэг хэрэгжилттэй холбоотой юм.

Орчин үеийн харилцаа холбооны технологийг спектрийн шинжилгээгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй. Давтамжийн муж дахь дохиог дүрслэх нь тэдгээрийн шинж чанарыг шинжлэх, радио холбооны системийн дамжуулагчийн блок, угсралтыг шинжлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Дохиог давтамжийн муж руу хөрвүүлэхийн тулд шууд Фурье хувиргалтыг ашигладаг. Ерөнхий томъёо шууд хувиргахФурье дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Давтамжийн шинжилгээний энэ томъёоноос харахад тооцоолол хийгдсэн корреляцийн хамааралцаг хугацааны мужид дүрслэгдсэн дохио ба өгөгдсөн давтамж дахь комплекс экспоненциалын хооронд. Энэ тохиолдолд Эйлерийн томъёоны дагуу комплекс экспоненциал нь бодит ба төсөөлөлд хуваагдана.

Давтамжийн мужид дүрслэгдсэн дохиог урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан цаг хугацааны муж болгон хувиргаж болно. Фурьегийн урвуу хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Фурье шууд хувиргах томьёо нь хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх хугацааны интеграцийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол математикийн хийсвэрлэл юм. IN бодит нөхцөл-аас бид нэгтгэх боломжтой энэ мөчидТ хугацаанаас өмнө бид 0 гэж тэмдэглэж болох цаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Үүний үр дүнд Фурье хувирлын шинж чанарууд ихээхэн өөрчлөгддөг. Оронд нь дохионы спектр тасралтгүй функц утгын салангид цуваа болдог. Одоо хамгийн бага давтамж, нэгэн зэрэг дохионы спектрийн давтамжийн утгын алхам нь:

Зөвхөн нүгэл үйлддэгдавтамжтай cos к/Тхарилцан ортогональ байх бөгөөд энэ нь Фурье хувиргалтанд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. Фурье цувралын өргөтгөлийн эхний функцуудын багцыг Зураг 1-д үзүүлэв. Энэ тохиолдолд функцүүдийн үргэлжлэх хугацаа нь шинжилгээний үргэлжлэх хугацаатай давхцдаг. Т.

Одоо дохионы спектр 2-р зурагт үзүүлсэн шиг харагдах болно.

IN энэ тохиолдолдФурьегийн шууд хувиргалтыг (4) тооцоолох томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.

Хязгаарлагдмал хугацаанд спектрийг тодорхойлох тохиолдолд урвуу Фурье хувиргалтын томъёо дараах байдалтай байна.

Үүнтэй адилаар та дижитал дохионы дээжийн шууд Фурье хувиргалтын томъёог тодорхойлж болно. Тасралтгүй дохионы оронд түүний дижитал дээжийг ашигладаг болохыг харгалзан (6) илэрхийлэлд интегралыг нийлбэрээр солино. Энэ тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн дохионы үргэлжлэх хугацааг тоон дээжийн тоогоор тодорхойлно Н. Дижитал дохионы дээжийн Фурье хувиргалтыг дискрет Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэгбөгөөд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Одоо хязгаарлагдмал хугацааны интервал дахь Фурьегийн шууд хувиргалттай харьцуулахад дискрет Фурье хувиргалт (DFT)-ийн шинж чанарууд хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая. Бид дээж авч үзэхэд аналог дохио, бид оролтын дохионы спектр давтамжаар хязгаарлагдах ёстойг олж мэдсэн. Энэ шаардлага нь дохионы спектрийн салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог хязгаарладаг. Эхлээд бид дохионы спектрийг давтамжаар хязгаарлаж болох юм шиг санагдаж магадгүй юм е d/2, энэ нь давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоотой тохирч байна K=N/2. Гэсэн хэдий ч энэ нь үнэн биш юм. Эерэг давтамж ба сөрөг давтамжийн бодит дохионы дээжийн дохионы спектр нь ойролцоогоор 0 орчим тэгш хэмтэй боловч зарим спектрийн алгоритмуудад сөрөг давтамж шаардлагатай байж болно. Оролтын дохионы нийлмэл дээж дээр дискрет Фурье хувиргалтыг хийх үед ялгаа нь бүр ч их байдаг. Үүний үр дүнд бүрэн тайлбардижитал дохионы спектр шаардлагатай Ндавтамжийн дээж ( k = 0, ..., N/2).

Болъё е(x 1 , x 2) – хоёр хувьсагчийн функц. Нэг хэмжээст Фурье хувиргалттай зүйрлэвэл бид хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг нэвтрүүлж болно.

ω 1, ω 2-ийн тогтмол утгуудын функцийг тайлбарлав хавтгай долгиононгоцонд x 1 , x 2 (Зураг 19.1).

ω 1, ω 2 хэмжигдэхүүнүүд нь орон зайн давтамж, хэмжээсийн утгыг агуулна. мм−1 ба F(ω 1, ω 2) функц нь орон зайн давтамжийн спектрийг тодорхойлно. Бөмбөрцөг линз нь оптик дохионы спектрийг тооцоолох чадвартай (Зураг 19.2). Зураг 19.2-т дараах тэмдэглэгээг үзүүлэв: φ - фокусын урт,

Зураг 19.1 - Орон зайн давтамжийг тодорхойлох

Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт нь нэг хэмжээст хувирлын бүх шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид хоёр нэмэлт шинж чанарыг тэмдэглэж байгаа бөгөөд үүний нотолгоо нь тодорхойлолтоос амархан гарч ирдэг. хоёр хэмжээст хувиргалтФурье.

Зураг 19.2 – Оптик дохионы спектрийг ашиглан тооцоолох
бөмбөрцөг линз

Factorization. Хэрэв хоёр хэмжээст дохиог хүчин зүйлээр тооцвол,

Дараа нь түүний спектрийг мөн хүчин зүйлчилсэн болно:

Радиал тэгш хэм . Хэрэв хоёр хэмжээст дохио нь радиаль тэгш хэмтэй бол, өөрөөр хэлбэл

Тэг эрэмбийн Бесселийн функц хаана байна. Радиаль тэгш хэмтэй хоёр хэмжээст дохио ба түүний орон зайн спектрийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлох томъёог Hankel хувиргалт гэж нэрлэдэг.

ЛЕКЦ 20. Дискрет Фурье хувиргалт. Бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр

Шууд хоёр хэмжээст дискрет Фурье хувиргалт (DFT) нь орон зайн өгөгдсөн дүрсийг хувиргадаг. координатын систем (x, y), давтамжийн координатын системд заасан хоёр хэмжээст дискрет дүрс хувиргалт ( у, в):

Урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT) дараах хэлбэртэй байна.

Энэ нь DFT гэдгийг харж болно цогц хувиргалт. Энэхүү хувиргалтын модуль нь зургийн спектрийн далайцыг илэрхийлдэг бөгөөд DFT-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцоологддог. Үе шат (фазын шилжилтийн өнцөг) нь DFT-ийн төсөөллийн хэсгийн бодит хэсгийн харьцааны арктангенс гэж тодорхойлогддог. Эрчим хүчний спектр квадраттай тэнцүүспектрийн далайц буюу спектрийн төсөөлөл ба бодит хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэр.

Хувиралтын теорем

Хувиралын теоремын дагуу орон зайн муж дахь хоёр функцийн эргэлтийг тэдгээрийн DFT-ийн үржвэрийн ODFT-ээр олж авч болно, өөрөөр хэлбэл

Давтамжийн домэйнд шүүлтүүр хийх нь зургийн DFT-г ашиглан зургийн шаардлагатай хувиргалтыг хангах шүүлтүүрийн давтамжийн хариуг сонгох боломжийг олгоно. Хамгийн түгээмэл шүүлтүүрүүдийн давтамжийн шинж чанарыг авч үзье.