Урвуу дискрет Фурье хувиргалт. Дискрет Фурье хувиргалт

Энэ бол дижитал дохио боловсруулах алгоритмд өргөн хэрэглэгддэг Фурье хувиргалтын нэг юм (түүний өөрчлөлтийг MP3 форматаар аудио шахалт, JPEG форматаар дүрсийг шахах гэх мэт), мөн дискрет давтамжийн шинжилгээтэй холбоотой бусад салбарт ашигладаг. жишээ нь дижитал аналог ) дохио. Дискрет Фурье хувиргалтыг оролт болгон шаарддаг дискрет функц. Ийм функцийг ихэвчлэн түүвэрлэлт (үргэлжилсэн функцүүдээс түүврийн утгууд) үүсгэдэг. Дискрет Фурье хувиргалт нь хэсэгчилсэн асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг дифференциал тэгшитгэлэргэлдэх зэрэг үйлдлүүдийг хийнэ. Дискрет Фурье хувиргалтыг статистик, цаг хугацааны цувралын шинжилгээнд идэвхтэй ашигладаг. Өөрчлөлт нь нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст, бүр гурван хэмжээст байж болно.

Шууд хөрвүүлэлт:

Урвуу хөрвүүлэлт:

Тэмдэглэл:

§ Н- тодорхой хугацааны туршид хэмжсэн дохионы утгуудын тоо, түүнчлэн задралын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо;

§ - хэмжсэн дохионы утгууд (оролтын өгөгдөл болох тоонууд бүхий салангид цаг хугацааны цэгүүд шууд хувиргахбуцаж ирэх амралтын өдрүүд;

§ - Нанхны дохиог бүрдүүлдэг синусоид дохионы цогц далайц; шууд хөрвүүлэх гаралтын өгөгдөл, урвуу хөрвүүлэхэд оруулах өгөгдөл; далайц нь нарийн төвөгтэй тул тэдгээрээс далайц ба фазын аль алиныг нь тооцоолох боломжтой;

§ - kth синусоид дохионы ердийн (бодит) далайц;

§ arg( Xk) - kth синусоид дохионы үе шат (комплекс тооны аргумент);

§ к- k-р дохионы давтамж, -тэй тэнцүү, хаана Т- оролтын өгөгдлийг авсан хугацаа.

Сүүлийнхээс харахад өөрчлөлт нь дохиог нэг үе дэх N хэлбэлзлээс нэг хэлбэлзэл хүртэлх давтамжтай синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (гармоник гэж нэрлэдэг) задалдаг нь тодорхой байна. Дээж авах давтамж нь нэг үе дэх N дээжтэй тэнцүү тул өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг зөв харуулах боломжгүй - муар эффект үүсдэг. Энэ нь N цогц далайцын хоёр дахь хагас нь үнэн хэрэгтээ эхнийх нь толин тусгал дүрс бөгөөд нэмэлт мэдээлэл агуулдаггүй болохыг харуулж байна.

Зарим нэг үечилсэн дохиог авч үзье x(т) Т-тэй тэнцүү үетэй. Үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Нэг үе бүрт N дээж байхаар дохионы дээж авч үзье. Дискрет дохиог дээж хэлбэрээр илэрхийлье. x n = x(тн), энд , дараа нь Фурье цувралын эдгээр уншилтыг дараах байдлаар бичнэ.

Харьцааг ашигласнаар бид:

Хаана

Тиймээс бид авсан урвуу дискрет Фурье хувиргалт.

Одоо илэрхийллийг скаляраар үржүүлцгээе x nасаалттай бөгөөд бид дараахь зүйлийг авна.

Энд бид ашигладаг: a) нийлбэрийн илэрхийлэл хязгаарлагдмал тоогишүүд (үзэсгэлэнгийн оролцогч) геометрийн прогресс, ба b) Эйлерийн функцуудын харьцааны хязгаар болох Кронекер тэмдгийн илэрхийлэл. нийлмэл тоо. Үүнээс үзэхэд:

Энэ томъёог тайлбарлав шууд дискрет Фурье хувиргалт.

Уран зохиолд үржүүлэгчийг урвуу хувиргалтаар бичих нь заншилтай байдаг тул хувиргах томъёог ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг.

Дискрет Фурье хувиргалт нь цаг хугацааны дээжийн векторыг ижил урттай спектрийн дээжийн вектор болгон хувиргадаг шугаман хувиргалт юм. Тиймээс хувиргалтыг үржүүлэх хэлбэрээр хэрэгжүүлж болно квадрат матрицвектор руу:

Фурье хувиргах

Олон дохиог синусоид (гармоник) болгон задлах замаар шинжлэхэд тохиромжтой. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий. Жишээлбэл, хүний ​​чих ижил төстэй байдлаар ажилладаг. Энэ нь дуу авиаг өөр өөр давтамжийн чичиргээ болгон задалдаг. Үүнээс гадна синусоидууд нь " өөрийн функцууд» шугаман системүүд (тэдгээр дамжин өнгөрдөг тул шугаман системүүд, хэлбэрийг өөрчлөхгүйгээр, гэхдээ зөвхөн фаз ба далайцыг өөрчлөх боломжтой). Өөр нэг шалтгаан нь Котельниковын теоремыг дохионы спектрийн хувьд томъёолсон байдаг.

Фурье хувиргалт ) нь функцуудыг синусоид болгон задлах явдал юм (цаашид бид косинусын функцийг синусоид гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь "бодит" синусоидуудаас зөвхөн фазын хувьд ялгаатай байдаг). Фурье хувиргалтын хэд хэдэн төрөл байдаг.

1. Тогтмол бус тасралтгүй дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

2. Тогтмол тасралтгүй дохиог хязгааргүй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

3. Тогтмол бус дискрет дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

4. Тогтмол дискрет дохиог төгсгөлтэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

Компьютер нь зөвхөн хязгаарлагдмал хэмжээний өгөгдөлтэй ажиллах боломжтой тул энэ нь зөвхөн Фурье хувиргалтын сүүлчийн төрлийг тооцоолж чаддаг. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Бодит дохио DFT

Дискрет x дохио нь N цэгтэй байг. Энэ тохиолдолд үүнийг салангид синусоидуудын төгсгөлтэй цуврал (жишээ нь шугаман хослол) хэлбэрээр төлөөлж болно.

Эквивалент тэмдэглэгээ (бид косинус бүрийг синус болон косинус болгон задалдаг, гэхдээ одоо фазгүй):

Цагаан будаа. 6. 8 цэгийн дискрет дохионы Фурье цувралын үндсэн функцууд. Зүүн талд нь косинусууд, баруун талд нь синусууд байдаг. Давтамж нь дээрээс доошоо нэмэгддэг.

Үндсэн синусоидууд нь олон давтамжтай байдаг. Цувралын эхний гишүүн (k =0) нь тогтмол гэж нэрлэгддэг тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг(Тогтмол гүйдлийн офсет) дохио. Хамгийн анхны синусоид (k = 1) ийм давтамжтай байдаг тул түүний хугацаа нь анхны дохионы үетэй давхцдаг. Хамгийн өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг (k =N /2) ийм давтамжтай бөгөөд түүний хугацаа нь хоёр тоололтой тэнцүү байна. КоэффицентүүдA k ба

B k нь дохионы спектр (спектр) гэж нэрлэгддэг. Тэд си-ийн далайцыг харуулдаг.

дохиог бүрдүүлдэг нусоидууд. Фурье тэлэлтийн хоёр зэргэлдээ синусоидын хоорондох давтамжийн алхам гэж нэрлэдэг давтамжийн нарийвчлалспектр

Зураг дээр. Зураг 6-д 8 цэгээс салангид дохиог задлахад ашигладаг синусоидуудыг үзүүлэв. Синусоид бүр нь 8 цэгээс бүрддэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь ердийн дискрет дохио юм. Тасралтгүй синусоидуудыг тодорхой болгохын тулд зурагт үзүүлэв.

цэг бүрт Фурье цувааны нийлбэрийг тооцоолж анхны дохиог хувиргана. Дохиог синусоид болгон задлах (жишээ нь коэффициентийг олж авах) гэж нэрлэдэг Фурьегийн шууд хувиргалт. Урвуу үйл явц - синусоидыг ашиглан дохионы синтез - гэж нэрлэдэг урвуу Фурье хувиргалт(урвуу Фурье хувиргалт).

Урвуу Фурье хувиргалтын алгоритм нь ойлгомжтой (энэ нь Фурье цувралын томъёонд агуулагддаг; синтезийг хийхийн тулд та түүнд коэффициентүүдийг орлуулахад л хангалттай). Фурьегийн шууд хувиргах алгоритмыг авч үзье, i.e. A k ба B k коэффициентийг олох.

N үетэй үечилсэн дискрет дохионы орон зайд тогональ суурь. Энэ нь орон зайн аль ч элементийг (дохио) задлахын тулд та тооцоолох хэрэгтэй гэсэн үг юм цэгэн бүтээгдэхүүнЭнэ элемент нь системийн бүх функцтэй бөгөөд үр дүнгийн коэффициентийг хэвийн болгодог. Дараа нь A k ба B k коэффициент бүхий суурь өргөтгөлийн томъёо нь анхны дохионы хувьд хүчинтэй байх болно.

Тиймээс A k ба B k коэффициентийг скаляр үржвэр гэж тооцдог (бусд

тасалдсан тохиолдолд – функцүүдийн үржвэрийн интеграл, салангид тохиолдолд

– салангид дохионы үржвэрийн нийлбэр):

Орчин үеийн харилцаа холбооны технологигүйгээр төсөөлөхийн аргагүй спектрийн шинжилгээ. Доторх дохионы төлөөлөл давтамжийн домэйнтэдгээрийн шинж чанарыг шинжлэх, радио холбооны системийн дамжуулагчийн блок, нэгжийг шинжлэхэд шаардлагатай. Дохиог давтамжийн муж руу хөрвүүлэхийн тулд шууд Фурье хувиргалтыг ашигладаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Давтамжийн шинжилгээний энэ томъёоноос харахад тооцоолол хийгдсэн корреляцийн хамааралцаг хугацааны мужид дүрслэгдсэн дохио ба өгөгдсөн давтамж дахь комплекс экспоненциалын хооронд. Энэ тохиолдолд Эйлерийн томъёоны дагуу комплекс экспоненциал нь бодит ба төсөөлөлд хуваагдана.

Давтамжийн мужид дүрслэгдсэн дохиог урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан цаг хугацааны муж болгон хувиргаж болно. Фурьегийн урвуу хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Шууд Фурье хувиргах томъёо нь хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх хугацааны интеграцийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол математикийн хийсвэрлэл юм. IN бодит нөхцөл-аас бид нэгтгэх боломжтой энэ мөчидТ хугацаанаас өмнө бид 0 гэж тэмдэглэж болох цаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Үүний үр дүнд Фурье хувирлын шинж чанар ихээхэн өөрчлөгддөг. Тасралтгүй функцийн оронд дохионы спектр утгын салангид цуваа болдог. Одоо хамгийн бага давтамж, нэгэн зэрэг дохионы спектрийн давтамжийн утгын алхам нь:

Зөвхөн нүгэл үйлддэгдавтамжтай cos к/Тхарилцан ортогональ байх бөгөөд энэ нь Фурье хувиргалтанд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. Фурье цувралын өргөтгөлийн эхний функцуудын багцыг Зураг 1-д үзүүлэв. Энэ тохиолдолд функцүүдийн үргэлжлэх хугацаа нь шинжилгээний үргэлжлэх хугацаатай давхцдаг. Т.

Одоо дохионы спектр 2-р зурагт үзүүлсэн шиг харагдах болно.

IN энэ тохиолдолдФурьегийн шууд хувиргалтыг (4) тооцоолох томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.

Хязгаарлагдмал хугацаанд спектрийг тодорхойлох тохиолдолд Фурьегийн урвуу хувиргалтын томъёо дараах байдалтай байна.

Үүнтэй адилаар та дижитал дохионы дээжийн шууд Фурье хувиргалтын томъёог тодорхойлж болно. Тасралтгүй дохионы оронд түүний дижитал дээжийг ашигладаг болохыг харгалзан (6) илэрхийлэлд интегралыг нийлбэрээр солино. Энэ тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн дохионы үргэлжлэх хугацааг тоон дээжийн тоогоор тодорхойлно Н. Дижитал дохионы дээжийн Фурье хувиргалтыг дискрет Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэгбөгөөд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Одоо хязгаарлагдмал хугацааны интервал дахь Фурьегийн шууд хувиргалттай харьцуулахад дискрет Фурье хувиргалт (DFT)-ийн шинж чанарууд хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая. Бид дээж авч үзэхэд аналог дохио, бид оролтын дохионы спектр давтамжаар хязгаарлагдах ёстойг олж мэдсэн. Энэ шаардлага нь дохионы спектрийн салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог хязгаарладаг. Эхлээд бид дохионы спектрийг давтамжаар хязгаарлаж болох юм шиг санагдаж магадгүй юм е d/2, энэ нь давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоотой тохирч байна K=N/2. Гэсэн хэдий ч энэ нь үнэн биш юм. Эерэг давтамж ба сөрөг давтамжийн бодит дохионы дээжийн дохионы спектр нь ойролцоогоор 0 орчим тэгш хэмтэй боловч зарим спектрийн алгоритмуудад сөрөг давтамж шаардлагатай байж болно. Оролтын дохионы нийлмэл дээж дээр дискрет Фурье хувиргалт хийх үед ялгаа нь бүр ч их байдаг. Үүний үр дүнд бүрэн тайлбарспектр дижитал дохиошаардлагатай Ндавтамжийн дээж ( k = 0, ..., N/2).

Бид сегмент дээр өөрийн заалтаар тодорхойлогддог салангид дохионы спектрийн дүрслэлийн онцлогийг судалж үздэг.
, зарим үед тус тус авсан
; дээжийн нийт тоо
(- дээж авах интервал).

Ийм салангид дохиог судлах арга нь лавлагааны утгын үр дүнгийн түүврийг оюун санааны хувьд хязгааргүй олон удаа давтах явдал юм. Үүний үр дүнд дохио нь үе үе болдог.

Тодорхой математик загварыг ийм дохиотой холбосноор та Фурье цувралын өргөтгөлийг ашиглаж, харгалзах далайцын коэффициентийг олох боломжтой. Эдгээр коэффициентүүдийн хослол нь салангид үечилсэн дохионы спектрийг бүрдүүлдэг.

Загварыг дельта импульсийн дараалал хэлбэрээр ашиглацгаая. Дараа нь анхны чичиргээг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

(5.1)

Хаана
- аналог дохионы дээжийн утгууд.

- дискрет Фурье хувиргалт (DFT) (5.4)

DFT-ийн үндсэн шинж чанарууд

1. DFT - шугаман хувиргалт i.e. дохионы нийлбэр нь тэдгээрийн DFT-ийн нийлбэртэй тохирч байна

2. Янз бүрийн коэффициентүүдийн тоо
, (5.4) томъёог ашиглан тооцоолсон, нэг үе дэх N тоотой тэнцүү; коэффициент дээр

3. Коэффициент (тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг) нь бүх уншилтын дундаж утга юм.

5. Лавлагаа утгуудыг бичье – бодит тоо. Дараа нь тоо нь /2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг DFT коэффициентүүд нь хосолсон хосуудыг үүсгэдэг.

Дискрет спектрийн шинжилгээний асуудлыг өөр аргаар томъёолж болно. Коэффициент гэж үзье , DFT бүрдүүлэх, өгсөн байна. (5.2) томъёог оруулъя.
Анхны дохионы спектрт агуулагдах гармониктай тохирч байгаа цувралын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрийг харгалзан үзнэ.

Тиймээс бид лавлагаа утгыг тооцоолох томъёог олж авдаг

(5.5)

Мэдээжийн хэрэг (5.5) нь урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT) томъёо юм.

11 Хурдан Фурье хувиргах алгоритм. Тооцооллын үйлдлийн тоо. Дискрет ба хурдан Фурье хувиргуудын харьцуулалт.

=0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7)

Оролтын массивын тэгш ба сондгой хэсгүүдэд хамаарах коэффициентүүдийн дараалал нь N/2 үетэй үе үе байдгийг анхаарч үзье.

Үүнээс гадна (5.7) томъёонд орсон хүчин зүйл at
дараах байдлаар хөрвүүлж болно:

Эндээс бид DFT коэффициентүүдийн багцын хоёрдугаар хагасын илэрхийлэлийг олно

(5.8)

Томъёо (5.7) ба (5.8) нь FFT алгоритмын үндэс болдог. Цаашдын тооцоог давталтын зарчмын дагуу хийдэг: тэгш, сондгой тоо бүхий дээжийн дарааллыг дахин хоёр хэсэгт хуваана. Нэг элементээс бүрдэх дарааллыг олж авах хүртэл процессыг үргэлжлүүлнэ. Энэ элементийн DFT нь өөртэйгөө давхцдаг.

FFT-ийг тооцоолоход шаардагдах үйлдлүүдийн тоог дараах байдлаар тооцоолсон
.

Хэрэв оролтын массив хангалттай урттай бол уламжлалт DFT-тэй харьцуулахад тооцооллын хурдны өсөлт хэдэн зуу, бүр мянгад хүрдэг.

12.. З - хувиргалт ба түүний шинж чанарууд. Өргөдөл З - өөрчлөлтүүд.

Дискрет болон дижитал төхөөрөмжүүдийн шинжилгээ, синтезийн явцад Z-хувиргагч нь тасралтгүй дохионы хувьд Фурьегийн интеграл хувиргалттай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг.

Болъё
- тодорхой дохионы лавлагаа утгыг агуулсан төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тоон дараалал. Үүнийг цувралын нийлбэртэй өвөрмөц захидалд оруулъя сөрөг хүчнүүдкомплекс хувьсагч Z:

(5.9)

Энэ нийлбэрийг дарааллын Z хувиргалт гэж нэрлэдэг
. Тоонуудын салангид дарааллын шинж чанарыг математик шинжилгээний уламжлалт аргуудыг ашиглан тэдгээрийн Z-хувиргалтуудыг судлах замаар судалж болно.

Энэ илэрхийлэл нь |Z|> үед утга учиртай болно .

Урвуу Z-хувиргах

x(z) нь нийлмэл хувьсагчийн Z функц байг. Z-хувиргагчийн гайхалтай шинж чанар нь x(z) функц нь бүхэл хязгааргүй түүврийн багцыг тодорхойлдог явдал юм.
).

Үнэхээр цувралын (5.9) хоёр талыг хүчин зүйлээр үржүүлцгээе
:

m тоотой гишүүнийг эс тооцвол баруун талд байгаа бүх гишүүний интеграл алга болно.

(5.11)

Энэ илэрхийлэлийг урвуу Z хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хамгийн чухал шинж чанарууд З - хөрвүүлэлт:

1. Шугаман байдал. Хэрэв
Тэгээд
- зарим салангид дохионууд ба харгалзах Z-хувиргалт x(z) ба y(z) мэдэгдэж байгаа бол дохио
ямар ч тогтмолын хувиргалтанд тохирно Тэгээд . (5.9) томъёонд нийлбэрийг орлуулах замаар нотлох баримтыг гүйцэтгэнэ.

2. З-шилжсэн дохиог хувиргах. Дискрет дохиог авч үзье
, салангид дохионы үр дүнд бий болсон
нэг байрлалыг саатал руу шилжүүлэх замаар, өөрөөр хэлбэл. Хэзээ
. Z хувиргалтыг шууд тооцоолсноор бид дараах үр дүнг авна.

Тиймээс бэлэг тэмдэг
Z домайн дахь нэгж саатлын операторын үүргийг гүйцэтгэдэг (түүврийн интервал бүрээр).

3. З- эргэлтийн хувиргалт. x(z) ба y(z) байг тасралтгүй дохио, үүний хувьд эргэлтийг тодорхойлсон:

(5.13)

Дискрет дохионуудын хувьд (5.13)-ын адилаар нэвтрүүлэх нь заншилтай байдаг салангид эргэлт
- нийтлэг нэр томъёо нь дараах тоонуудын дараалал.

Ийм салангид эргэлтийг шугаман гэж нэрлэдэг

Дискрет эргэлтийн Z-хувиргалыг тооцоолъё:

(5.15)

Тиймээс хоёр салангид дохионы эргэлт нь Z-хувиргах бүтээгдэхүүнтэй тохирч байна.

Бид Фурье хувиргалтын хоёр хэлбэрийг авч үзсэн.

1) Давтамжийн тасралтгүй өөрчлөлттэй тасралтгүй хугацаанд Фурье хувирал

2) Давтамжийн тасралтгүй өөрчлөлттэй салангид хугацаанд Фурье хувиргалт.

Гэхдээ дотор бодит байдалХугацааны дараалал үргэлж төгсгөлтэй үргэлжлэх хугацаатай байдаг. Үүнээс гадна мэдэгдэхүйц агуу боломжуудХэрэв та аналог биш, харин давтамжийн шинж чанарыг хязгаарлагдмал хэлбэрээр илэрхийлдэг дискрет Фурье хувиргагчийг ашигладаг бол өгөгдөл боловсруулахад гарч ирнэ. тооны дараалал. Үүний зэрэгцээ мэдээллийн боловсруулалтын чанар, түүнийг боловсруулах хурд хоёулаа нэмэгддэг. үр дүнтэй арга замуудсалангид хэлбэрээр ийм хувиргалтыг тооцоолох, үүний үр дүнд массивыг боловсруулах чадвар илүү том хэмжээтэй. Боловсруулалтын үр дүнд тодорхой хязгаарлагдмал тоон дараалал үүсгэдэг дохиог хязгаарлагдмал тоон дараалал хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь дижитал дохионы боловсруулалтын мөн чанар юм. Тоон дохионы боловсруулалтын үндэс нь тусгай хэлбэрФурье хувиргалт гэж нэрлэдэг дискрет Фурье хувиргалт(DFT). Бидний доор харах болно, DFT нь төгсгөлтэй урттай хугацааны дарааллын Фурье хувиргалт бөгөөд энэ нь өөрөө төгсгөлөг дараалал болохоос биш тасралтгүй функц, мөн дохионы Фурье хувиргалтын ижил зайтай дээжтэй тохирч байна. Онолын ач холбогдлоос гадна DFT тоглодог гол үүрэгоршихуйн улмаас дохиог боловсруулах үед үр дүнтэй алгоритмтүүний тооцоо, гэж нэрлэгддэг хурдан Фурье хувиргалт(FFT) .

Дискрет хугацааны Фурье хувиргалт дээр суурилсан DFT-г танилцуулъя (2). Бид одоо хязгаарлагдмал дараалалтай (N урт) харьцаж байгаа тул n-ийн хувьд цаг хугацааны дараалал x(n)=0 гэж үзнэ.<0 и при n>N-1. Доор харж байгаачлан давтамжийн интервалыг түүвэрлэх, i.e. Фурье хувирлыг зөвхөн олон давтамжтайгаар тооцоолох нь мөн хугацааны тэнхлэгийн дагуух анхны цагийн дарааллыг үе үе үргэлжлүүлэхэд хүргэнэ. Дахин давхцахаас зайлсхийхийн тулд цаг хугацааны түүвэрлэлтийн аналогийг ашиглан бид давтамжийн тэнхлэгийг интервалаар түүвэрлэдэг бөгөөд энд NT нь анхны функцийг тодорхойлсон бүтэн цагийн интервал юм. Дараа нь k-р давтамжийн дээж дэх давтамжийн утга ба k нь 0-ээс N-1 хооронд хэлбэлздэг (түүвэрлэлтийн теоремын дагуу). Тиймээс давтамжийн дээжийн тоо бас N байна.

Хэрэв үүнийг хийвэл Фурье хувиргалт (2) дараах хэлбэртэй болно.

• 7.2 Тэнцүү алслагдсан цэгүүдийн багц дээрх цогц экспоненциал системийн ортогональ байдал.

Фурьегийн шууд хувирлаас урвуу хувиралт руу шилжихийн тулд,

Бид нарийн төвөгтэй экспоненциалуудын ортогональ байдлыг нотолж байна

(эсвэл синус ба косинусын систем гэж юу вэ) ижил зайтай N цэгийн олонлог дээр.

Зориулалтын n-n ялгаа m-ийн хувьд бид (4)-ийн баруун талд хуваагчтай геометр прогрессийг олж, илэрхий тэгш байдлыг тэмдэглэв. Хайж байна алдартай томъёоЭнэ геометр прогрессийн нийлбэрийг бид олж авна

Ингэхдээ бид тэр баримтыг ашигласан

тохиолдолд m=0,±N, ±2N,....

Доор үзүүлснээр эдгээр утгууд нь функцийг жигд түүвэрлэх үед гарч ирэх давтамжийг солих эсвэл солих үр дүнд хүргэдэг.

Экспоненциалын бууруулсан систем нь эхний цэгийн сонголтоос үл хамааран дараалан тоологдсон N цэгүүдийн системд ортогональ байна гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ, -l индексийг эхлэлийн цэг болгон авч, k’=k+l нийлбэр хувьсагчийг орлуулахад бид дараахь зүйлийг олж авна.

учир нь , үлдсэн k-ийн хувьд нийлбэрийн утга тэг болно.

7.3 Урвуу дискрет Фурье хувиргалт

Хүлээн авалт руугаа явцгаая урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT).

DFT илэрхийллийн (3) хоёр талыг үржүүлж, k-г 0-ээс N-1 хүртэл нийлбэрлэе.

Үүний зэрэгцээ, k-ийн нийлбэр нь 0-ээс N-1 хүртэлх зайд хийгддэг тул (5) дагуу n-n'= үед л нийлбэр тэгээс өөр байх болно гэдгийг бид анхаарч үзсэн. 0 өөрөөр хэлбэл n=n’ үед. n’-ийг n-ээр дахин тодорхойлж, (6)-аас x(n)-ийг илэрхийлснээр бид ODFT-ийн илэрхийлэлийг олж авах бөгөөд энэ нь DFT-ийн илэрхийлэл (3)-ын хамт Фурьегийн хувиргалтын салангид хэлбэрийг өгдөг.

Учир нь сонгохдоо тогтмол хүчин зүйлүүдФурьегийн шууд ба урвуу хувиргалт нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүний тогтмол байдлын нөхцөлийг дагаж мөрдөх ёстой тул тэмдэглэгээг хялбарчлахын тулд бид шууд хувиргалтанд T коэффициентийг, урвуу хувиргалтанд 1/T-ийг хасах болно. дараах хэлбэр DFT:

Комплекс экспоненциалын тэмдэглэгээг оруулсны дараа бид дискрет Фурье хувиргалтыг дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Сүүлийн хэлбэр нь матрицын дүрслэлд илүү хялбар харагдах болно:

Т матрицын элементүүд нь комплекс экспоненциалууд ба T’ матрицууд.

T ба T' матрицуудын хоорондын холбоо нь тодорхой байна.

Нэг, хоёр, гурав, дөрвөн цэгийн дарааллын Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалтын матрицыг жишээ болгон бичье.

Хэдхэн хийцгээе чухал сэтгэгдэлДискрет Фурье хувиргалттай холбоотой.

• 1. Экспоненциал систем нь сонголтоос үл хамааран N цэгийн салангид олонлог дээр ортогональ байдаг тул эхлэх цэгтэгвэл энэ багц анхны утга(7) ба (9) дахь нийлбэрийн индексүүд нь эхний ба хоёрын зөрүүтэй л бол дурын байж болно эцсийн утгуудН-тэй тэнцүү байв.
• 2. 0....N-1 олонлогоос гадуур 7 эсвэл 9-р томъёогоор тодорхойлогдсон x(n) ба X(k) дараалал нь N-үе үе, өөрөөр хэлбэл.

Энд p нь дурын тоо, n ба k нь 0-ээс N-1 хүртэлх бүхэл тоо юм. Энэ шинж чанар нь экспоненциалуудын N-үе үе (8)-ын үр дагавар юм: Жишээлбэл, ODFT-ийн хувьд бид олж авдаг.

3. Өмнөх тайлбарын дагуу X(-k)=X(n-k).

Үнэхээр,

Тэдгээр. X(-1)=X(N-1);X(-2)=X(N-2) гэх мэт.

Тиймээс Фурье хувирлын хоёр дахь хагас, i.e. k>N/2-ийн X(k) утгууд нь сөрөг давтамжтай тохирч байна.

n ба k нь 0-ээс N-1 хооронд хэлбэлзэж байх үед дискрет аргаар тооцсон Фурье хувиргалтын тасралтгүй аналогийг харахын тулд дискрет Фурье дүрсийг N/2 цэг дээр “тайрч” X(k) хэсгийг байрлуулах шаардлагатай. ) эхний хагаст k>N/2-д харгалзах. Түүнээс гадна давтамжийн тэнхлэгийг бүрдүүлэхдээ давтамжийн бодит утгууд руу шилжихийн тулд k давтамжийн тоог герц дэх давтамжийн интервалын утгаар үржүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс k-р дээж дээрх давтамжийн утга тэнцүү байна.

дараа нь x 3 (n)~X 3 (k), энд X 3 (k)=X 1 (k)+X 2 (k).

Хэрэв x 1 (n) ба x 2 (n) дараалал нь N 1 ба N 2 тус тус өөр урттай бол N 3 =max(N 1,N 2) урттай байна.

Богино хугацааны дарааллыг тэгээр дүүргэх хэрэгтэй.

• 2. Хязгаарлах шинж чанар.
• 2.1 Цагийн домэйнд шилжих.

Хэрэв x(n)~X(k) бол x(n-h)~W -kh X(k)

Нотолгоо:

(9б) маягт дахь шууд DFT-ийн тодорхойлолтыг ашиглан n-h =r эсвэл n=r+h нийлбэр хувьсагчийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

2.2 Давтамжийн мужид шилжих.

Хэрэв x(n)~X(k) бол x(n)W nf ~ X(k-f)

Энэ өмчийн нотлох баримт нь өмнөхтэй адил бөгөөд ODFT (7b) эсвэл (9b) -ийн тодорхойлолт дээр суурилдаг.

3. Цогцолбор хосолсон шинж чанар

Хэрэв x(n) бол n=0,1,2,..N-1- n

бодит дараалал *

ных тоонууд ба N нь тэгш, ба x(n)~X(k) , дараа нь X(N/2+r)=X (N/2-r), энд

Нотолгоо:

1) 8-ын дарааллын DFT коэффициентүүд бодит тоотус тус тэнцүү X(0)=5, X(1)=i, X(2)=1+i,X(3)=2+3i,X(4)=2.

X(k), k=5,6,7 коэффициентүүдийн утгыг ол.

Хариулт: Өмчөөр (3) X(5)=2+3i,X(6)=1+i,X(7)=i.

2) N цэгийн дарааллын DFT гэдгийг харуул

(x(n))=(A,A,...A) нь N цэгийн дараалал (X(k))=(NA,0,0...)).

Шууд DFT (7a) ба экспоненциалуудын ортогональ шинж чанарын тодорхойлолтын дагуу (4)

7.5 Парсевалын теорем. Эрчим хүчний спектр

Хязгаарлагдмал хугацааны дарааллын Парсевалын теорем дараах хэлбэртэй байна.

Хэмжээ

Бид үүнийг эрчим хүчний спектр гэж нэрлэдэг.

Нарийн төвөгтэй коньюгацийн 3-р шинж чанараас шалтгаалан эрчим хүчний спектр нь k=N/2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байх болно. Учир нь N/2 утгууд

физик утгагүй сөрөг давтамжтай тохирч байвал тодорхой давтамжийн нийт хүчин чадалд оруулсан хувь нэмэр болох эрчим хүчний спектрийн бүх утга нь спектрийн эхний хагаст агуулагдана.

эерэг давтамжтай харгалзах, i.e. утгууд 0

Эрчим хүчний спектрийн чухал шинж чанар нь N үечилсэн цагийн дарааллын x(n)-ийн шилжилтэд өөрчлөгддөггүй байдал юм.

Үнэхээр, учир нь ээлжийн шинж чанарын дагуу 2.1 x(n-h) ~ W -kh X(k), дараа нь

Эрчим хүчний спектрийг ашиглан далайцын спектрийг тодорхойлно.

Далайцын спектр нь мөн x(n) цагийн дарааллын шилжилтэд өөрчлөгддөггүй, учир нь

P(k) шиг p(k) нь k=N/2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Учир нь Фурьегийн X(k) дүрс нь бодит дарааллын хувьд ч нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүн тул анхны цагийн дарааллын талаархи бүх мэдээллийг далайцын спектртэй хамт хадгалахын тулд дараах байдлаар тодорхойлогддог фазын спектрийг тооцоолох шаардлагатай. дараах:

Энд I(k) ба R(k) нь X(k)-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд юм.

Нарийн төвөгтэй коньюгатын 3-р шинж чанарын дагуу R(N/2+r)=R(N/2-r), I(N/2+r)=-I(N/2-r). Иймд фазын спектр нь k=N/2-тэй харьцуулахад сондгой функц болж хувирна. Ф(N/2+r)=-Ф(N/2-r).

(14), түүнчлэн DFT (7a-9a) илэрхийллээс фазын спектрийн үндсэн шинж чанарыг дагаж мөрддөг бөгөөд энэ нь тогтмол тоогоор үржүүлэхтэй харьцуулахад өөрчлөгддөггүй байдлаас бүрддэг.

Хэрэв дохионы далайц (13) ба фазын (14) спектрийг мэддэг бол Фурьегийн дүрсийг хамтдаа тооцоолох боломжийг бидэнд олгоно.

дараа нь ODFT (7b-9b) ашиглан анхны дохиог сэргээж болно.

7.6 Дискрет хэлбэрийн эргэлт.

Хоёр салангид дарааллын эргэлтийг тодорхойлъё

x(n) ба y(n) тус бүр N ka урттай

дараагийн дүн хүртэл

Энэ тохиолдолд n-r аргумент нь хязгаараас гадуур байх болно. Энэ тохиолдолд бид x(n-r) эсвэл y(n-r) утгыг хэрхэн тодорхойлж байгаагаас хамааран бид янз бүрийн хэлбэрийн эргэлтийг олж авдаг: цикл ба шугаман.

Хэрэв ийм утгууд нь x(n) ба y(n) дарааллын N-үе үе (мөчлөг)-ийн шинж чанараас олдвол үүссэн эргэлтийг гэнэ. мөчлөгийн.

Энэ тохиолдолд тэд n-i индексийг модуль N гэж ойлгодог гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь хэрэв i-n=k+pN бол x(i-n)=x(k),y(i-n)=y(k) гэсэн үг юм. Энэ баримтыг тэмдэглэхийн тулд n-i аргументыг давхар хаалтанд хийж, N гэсэн тэмдэгтээр нэгэн зэрэг тэмдэглэв.

Дараах зураг нь мөчлөгийн эргэлтийн мөн чанарыг харуулж байна.

Зураг.1 Циклийн эргэлт. y(i) дарааллын нөхцлүүд нь x(i)-тэй харьцуулахад урвуу дарааллаар, x(0) нь y(i)-ийн эсрэг талд байрлана. Эсрэг утгуудын бүх хос үржвэрийг нэгтгэснээр h(i) нэг утгыг гаргана.

Дискрет циклийн эргэлттэй холбоотой өөр нэг чухал баримтыг тэмдэглэе.

x(n) ба y(n) дарааллын N үечлэлээс шалтгаалан тэдгээрийн эргэлт нь N үетэй үе үе байх болно.

Хэрэв нугалж буй дараалал нь өөр өөр урттай байвал богино нь уртынх нь уртыг тэгээр дүүргэж, үүссэн эргэлт нь ижил урттай байх болно гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв бид 0....N-1 хязгаараас гадуур x(n) ба y(n) дараалал нь тэгтэй тэнцүү байх тул сөрөг утгуудын хувьд x(i-n) болон y(i-n) нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараа нь үүссэн эргэлтийн хэлбэрийг дуудна шугаман.

Зураг 2-т шугаман эргэлтийг хэрхэн тооцдогийг харуулав.

Зураг.2 Шугаман эргэлт. y(i) дарааллын индексүүд нь x(i) дарааллын индексүүд буурах чиглэлд нэмэгддэг. Эсрэг утгуудын огтлолцсон бүх хос үржвэрийг нэгтгэснээр h(i) нэг утгыг гаргана.

Энэ тохиолдолд циклээс ялгаатай нь янз бүрийн урттай дарааллыг эргүүлэх боломжтой. Шугаман эргэлтийн урт нь N 1 + N 2 -1 байх болно.

Үнэн хэрэгтээ шугаман эргэлтийн n-р элементийг тооцоолохын тулд индексийн нийлбэр нь n-тэй тэнцүү байх дарааллын элементүүдийн үржвэрийг олдог. Тиймээс шугаман эргэлтийн хамгийн бага индекс нь 0, хамгийн их нь N 1 -1+N 2 -1=N 1 +N 2 -2 ба элементийн тоо N 1 +N 2 +1 байна.

N 1 ба N 2 урттай дарааллын шугаман эргэлтийн тооцоог хэрэв хоёр дараалалд тэг нэмэх замаар N 1 + N 2 -1 урттай нэмбэл мөчлөгийн эргэлтийн тооцоонд бууруулж болно.

Жишээ 1: Дарааллын шугаман эргэлтийг тооцоол

(x(n))=(1 2 3 4) ба (y(n))=(5 4 3 2 1). Хариулт:

Жишээ 2: Дарааллын мөчлөгийн эргэлтийг тооцоолох:

(x(n))=(1,2,-1,3) ба (y(n))=(-1,1,4,1).

h(0)=x(i)y(-i)=x(0)y(0)+x(1)y(-1)+x(2)y(-2)+x(3)y( -3)= x(0)y(0)+x(1)y(3)+x(2)y(2)+

h(1)=x(i)y(1-i)=x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(-1)+x(3)y( -2)= x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(3)

h(2)= x(r)y(2-r) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(- 1) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(3) = 10

h(3)= x(r)y(3-r) = x(0)y(3)+x(1)y(2)+x(2)y(1)+ x(3)y(0) ) =

Энэ нь үечилсэн шинж чанараар нь харгалзан үздэг

4 цэгийн дараалал y(n) үе N=4, y(-l)=y(4-l).

Жишээ 3: Дарааллын цикл ба шугаман эргэлтийг тооцоол.

(x(n))=(1,1,1,1) ба (y(n))=(1,1,1,1).

Теорем 1.

x(n)*y(n)~X(k)Y(k). (14)

Өөрөөр хэлбэл, x(n) ба цаг хугацааны дарааллын эргэлт

N урттай y(n) нь тэдгээрийн DFT дүрсийг үржүүлэхтэй тэнцүү байна.

Нотолгоо:

Урагшаа DFT (9a), салангид эргэлт (12) ба тодорхойлолтыг ашиглан

DFT шилжилтийн шинж чанарууд 2.1, бид дараахь зүйлийг авна.

Теорем 2.

x(n)~X(k) , y(n)~Y(k), энд n,k=0.1,.....N-1.

x(n)y(n)~X(k)*Y(k). (15)

Нотолгоо:

Ингэхдээ бид урагш ба урвуу DFT (7-9) гэсэн тодорхойлолтыг ашигласан.

ижил зайтай цэгүүдийн систем дэх цогц экспоненциалуудын ортогональ байдлын шинж чанар (4), түүнчлэн эргэлтийн тодорхойлолт.

7 .8 Хоёр хэмжээст дискрет Фурье хувиргалт.

Дискрет Фурье хувиргалтыг олон хэмжигдэхүүнтэй харьцуулах боломжтой бөгөөд хоёр хэмжээстийг ерөнхийд нь дүрслэх нь зураг боловсруулахад өргөн хэрэглэгддэг тул хамгийн ашигтай байдаг.

2D DFT-ийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Өгөгдлийн массив нь хэмжээтэй матриц үүсгэдэг, i.e.

(16) илэрхийллээр тодорхойлсон дотоод нийлбэрийг авч үзье

Энэ илэрхийлэл нь баруун гар тал нь өгөгдлийн багана бүрийн DFT байна гэсэн үг юм. Тиймээс бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна

(20)-ын коэффициентүүдийг хэмжээний матриц хэлбэрээр бичиж болно

(20)-г (16)-д орлуулсны үр дүнд бидэнд байна

Энэ нь (21) илэрхийллээр тодорхойлогдсон матрицын мөр бүрийн DFT-ийг тооцоолж коэффициентүүдийг гаргана гэсэн үг юм.

Үр дүн нь матриц хэлбэрээр бичиж болох коэффициентүүдийн багц юм

Эдгээрээс харахад хоёр хэмжээст DFT нь нэг хэмжээст DFT-ийн олон удаагийн хэрэглээ гэж үзэж болно.