Ижил төстэй байдлын өөрчлөлтийн тодорхойлолт нь хавтгай дээр ч, орон зайд ч адилхан байдаг. Дүрсийг дүрс болгон хувиргах үед цэгүүдийн хоорондох зай ижил тооны удаа өөрчлөгдвөл ижил төстэй хувирал гэж нэрлэдэг. Энэ нь хэрэв гэсэн үг дурын цэгүүдЭнэ хувиргалттай F дүрсийн А ба В нь зургийн цэгүүд рүү очно.
Ижил төстэй байдлын хувирал хөдөлгөөн бол k тоог ижил төстэй байдлын коэффициент гэж нэрлэдэг.
Гомотети бол ижил төстэй байдлын өөрчлөлт юм.
Ижил төстэй байдлын өөрчлөлтийн шинж чанарыг авч үзье.
1. Ижил төстэй байдлын хувиргалтын үед нэг шулуун дээр байрлах A, B, C гурван цэг нь нэг шулуун дээр байрлах гурван Lie цэг болж хувирдаг. Түүнээс гадна хэрэв В цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд оршдог бол цэг нь цэгүүдийн хооронд байрладаг
2. Ижил төстэй хувиргалт нь шулууныг шулуун, хагас шугамыг хагас, хэрчмийг сегмент, хавтгайг хавтгай болгон хувиргадаг.
3. Ижил төстэй байдлын хувиргалт нь хагас шугамын хоорондох өнцгийг хадгалдаг.
4. Ижил төстэй хувирал бүр гомотет биш.
226-р зурагт гомотетигоор F дүрсээс, шугамын тэгш хэмээр дүрсийг гаргаж авсан. F-г F болгон хувиргах уу? Энэ нь харгалзах цэгүүдийн хоорондын зайны хамаарлыг хадгалдаг тул ижил төстэй хувирал боловч энэ хувиргалт нь гомотет биш юм.
Орон зай дахь гомотетын хувьд дараах теорем үнэн байна.
Сансар огторгуй дахь гомотетийн хувирал нь гомотетийн төвөөр дамждаггүй аливаа хавтгайг хувиргадаг зэрэгцээ хавтгайэсвэл өөртөө.
Зураг 227-д гомотетийн коэффициент нь 2-той тэнцүү хоёр гомотетик кубыг үзүүлэв. ABCD хавтгай ABCD параллель хавтгайд ордог. Кубын бусад нүүрний онгоцны талаар ижил зүйлийг хэлж болно.
78. Ижил төстэй тоо.
Хоёр F дүрсийг ижил төстэй байдлын хувиргалтаар бие биедээ хувиргавал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Зургийн ижил төстэй байдлыг харуулахын тулд тэмдэглэгээг ашиглана. Бичлэг дээр: "Зураг нь F-тэй төстэй байна."
Ижил төстэй байдлын өөрчлөлтийн шинж чанаруудаас үзэхэд ийм байна ижил төстэй олон өнцөгтүүдхаргалзах өнцөг нь тэнцүү, харгалзах талууд нь пропорциональ байна.
Тэмдэглэгээ нь ижил төстэй байдлын хувиргалттай хослуулсан оройнууд нь харгалзах газруудад байна гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл A нь - руу очдог.
Учир нь ижил төстэй гурвалжинтэгш байдал үнэн
Харгалзах өнцөг нь тэнцүү, харгалзах талууд нь пропорциональ байвал хоёр гурвалжин ижил байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлын шалгуурыг томъёолъё.
ХИЙСЭН МЭДЭЭ
Сэдэв дээр: "Тоонуудын ижил төстэй байдал"
Дууссан:
оюутан
Шалгасан:
1. Ижил төстэй байдлын хувиргалт
2. Ижил төстэй байдлын хувиргалтын шинж чанарууд
3. Дүрсүүдийн ижил төстэй байдал
4. Гурвалжны хоёр өнцгийн ижил төстэй байдлын тэмдэг
5. Хоёр талын гурвалжнуудын ижил төстэй байдлын тэмдэг ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг
6. Гурван талын гурвалжны ижил төстэй байдлын тэмдэг
7. Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал
8. Тойрог дотор бичээстэй өнцөг
9. Тойргийн хөвч ба секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал
10. "Тоонуудын ижил төстэй байдал" сэдэвт асуудлууд
1. Ижил төстэй байдлын ӨӨРЧЛӨЛТ
Хэрэв энэ хувиргалтын явцад цэгүүдийн хоорондох зай ижил тооны удаа өөрчлөгдвөл F дүрсийг F " дүрс болгон хувиргах нь ижил төстэй байдлын хувирал гэж нэрлэгддэг (Зураг 1). Энэ нь хэрэв дурын X, Y цэгүүд. F зураг, ижил төстэй байдлын хувиргалтын үед X", Y"зураг F", дараа нь X"Y" = k-XY цэгүүд болж хувирах ба k тоо нь X, Y бүх цэгүүдэд ижил байна. k тоог ижил төстэй байдлын коэффициент. k = l-ийн хувьд ижил төстэй байдлын хувиргалт нь мэдээжийн хэрэг хөдөлгөөн юм.
F-г үзье энэ тооба O - тогтмол цэг (Зураг 2). F зургийн дурын X цэгээр OX туяаг зурж, түүн дээр k OX-тэй тэнцүү OX сегментийг зуръя. эерэг тоо. Заасан аргаар бүтээгдсэн X цэг бүр нь X цэгт очдог F дүрсийн хувиргалтыг О төвтэй харьцуулахад гомотети гэж нэрлэдэг. k тоог гомотетийн коэффициент, F ба дүрсүүд гэж нэрлэдэг. F" -ийг гомотетик гэж нэрлэдэг.
Теорем 1. Гомотети нь ижил төстэй байдлын хувирал юм
Баталгаа. О нь гомотетийн төв, k нь гомотетийн коэффициент, X ба Y нь зургийн дурын хоёр цэг байг (Зураг 3).
Зураг.3 Зураг.4
Гомотетийн хувьд X ба Y цэгүүд нь OX ба OY туяан дээрх X" ба Y" цэгүүд рүү тус тус очдог ба OX" = k·OX, OY" = k·OY. Энэ нь OX" = kOX, OY" = kOY векторын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.
Эдгээр тэгшитгэлийг гишүүнээр хасвал бид: OY"-OX" = k (OY-OX).
OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY тул X"Y" = kХY. Энэ нь /X"Y"/=k /XY/ гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. X"Y" = kXY. Иймээс гомотети нь ижил төстэй байдлын өөрчлөлт юм. Теорем нь батлагдсан.
Машины эд анги, бүтэц, талбайн төлөвлөгөө гэх мэтийн зураг зурахад ижил төстэй байдлын хувиргалтыг практикт өргөн ашигладаг. Эдгээр зургууд нь бүрэн хэмжээгээр төсөөлж буй дүрсийн ижил төстэй хувиргалт юм. Ижил төстэй байдлын коэффициентийг масштаб гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хэрэв газар нутгийн хэсгийг 1:100 масштабаар дүрсэлсэн бол энэ нь төлөвлөгөөний нэг сантиметр нь газар дээрх 1 м-тэй тохирч байна гэсэн үг юм.
Даалгавар. Зураг 4-т үл хөдлөх хөрөнгийн төлөвлөгөөг 1:1000 масштабаар харуулав. Үл хөдлөх хөрөнгийн хэмжээсийг (урт ба өргөн) тодорхойлох.
Шийдэл. Төлөвлөгөөг дээрх үл хөдлөх хөрөнгийн урт ба өргөн нь 4 см ба 2.7 см байна. Төлөвлөгөөг 1: 1000 масштабаар хийсэн тул үл хөдлөх хөрөнгийн хэмжээ нь 2.7 x 1000 см = 27 м, 4 х 100 см =. 40 м.
2. ТӨСӨЛТ ӨӨРЧЛӨЛТИЙН ШИНЖ
Хөдөлгөөний хувьд ижил төстэй хувирлын үед нэг шулуун дээр байрлах A, B, C гурван цэг нь нэг шулуун дээр байрлах A 1, B 1, C 1 гурван цэгт ордог нь батлагдсан. Түүнчлэн хэрэв В цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд оршдог бол В 1 цэг нь А 1 ба С 1 цэгүүдийн хооронд байрлана. Эндээс харахад ижил төстэй байдлын хувиргалт нь шугамыг шулуун, хагас шугамыг хагас, сегментийг сегмент болгон хувиргадаг.
Ижил төстэй байдлын хувиргалт нь хагас шугамын хоорондох өнцгийг хадгалдаг болохыг баталцгаая.
Үнэн хэрэгтээ, ABC өнцгийг k коэффициенттэй ижил төстэй хувиргалтаар A 1 B 1 C 1 өнцөг болгон хувиргая (Зураг 5). ABC өнцгийг түүний B оройтой харьцуулсан гомотетийн хувиргалтыг k гомотетын коэффициенттэй авч үзье. Энэ тохиолдолд А ба С цэгүүд А 2 ба С 2 цэгүүд рүү шилжинэ. Гурав дахь шалгуурын дагуу A 2 BC 2 ба A 1 B 1 C 1 гурвалжин тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харахад A 2 BC 2 ба A 1 B 1 C 1 өнцөгүүд тэнцүү байна. Энэ нь ABC ба A 1 B 1 C 1 өнцгүүд тэнцүү гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
3. ЗУРГИЙН ТӨСӨЛ БАЙДАЛ
Хоёр дүрсийг ижил төстэй байдлын хувиргалтаар өөр хоорондоо хувиргавал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Зургийн ижил төстэй байдлыг харуулахын тулд тусгай дүрсийг ашигладаг: ∞. F∞F" гэсэн тэмдэглэгээ нь: "F зураг нь F зурагтай төстэй" гэж бичсэн байна.
Хэрэв F 1 зураг F 2 зурагтай, F 2 зураг F 3 зурагтай төстэй бол F 1 ба F 3 зураг ижил байна гэдгийг баталцгаая.
X 1 ба Y 1 нь F 1 зургийн дурын хоёр цэг байцгаая. F 1 дүрсийг F 2 болгон хувиргах ижил төстэй байдлын хувиргалт нь эдгээр цэгүүдийг X 2, Y 2 цэг болгон хувиргадаг бөгөөд эдгээрийн хувьд X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 байна.
F 2 дүрсийг F 3 болгон хувиргах ижил төстэй байдлын хувиргалт нь X 2, Y 2 цэгүүдийг X 3, Y 3 цэгүүд болгон хувиргадаг бөгөөд эдгээрийн хувьд X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 байна.
Тэнцүү байдлаас
X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2
үүнээс X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 гарч ирнэ. Энэ нь ижил төстэй байдлын хоёр хувиргалтыг дараалан хийснээр олж авсан F 1 дүрсийг F 3 болгон хувиргах нь ижил төстэй байдал гэсэн үг юм. Тиймээс F 1 ба F 3 тоо ижил төстэй байгаа нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Гурвалжны ижил төстэй байдлын тэмдэглэгээнд: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - ижил төстэй байдлын хувиргалттай хослуулсан оройнууд нь харгалзах газруудад байгаа гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл A нь A 1, B нь B 1, C нь C руу ордог. 1.
Ижил төстэй байдлын хувирлын шинж чанаруудаас харахад ижил төстэй дүрсүүдийн хувьд харгалзах өнцөг нь тэнцүү, харгалзах сегментүүд нь пропорциональ байна. Ялангуяа ижил төстэй гурвалжны хувьд ABC ба A 1 B 1 C 1
A=A 1, B=B 1, C=C 1
4. ГУРВАЛЖНЫ ХОЁР ӨНЦГИЙН ДАГУУ ТӨСӨЛ БАЙДЛЫН АЧ ХОЛБОГДОЛ
Теорем 2. Нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжин ижил төстэй байна.
Баталгаа. ABC ба A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1 гурвалжингууд. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 гэдгийг баталцгаая.
Let . A 1 B 1 C 1 гурвалжинг ижил төстэй байдлын хувиргалтыг k ижил төстэй байдлын коэффициент, жишээлбэл, гомотети (Зураг 6) болгон авч үзье. Энэ тохиолдолд бид A 2 B 2 C 2 гурвалжин авна. гурвалжинтай тэнцүү ABC. Үнэн хэрэгтээ ижил төстэй хувиргалт нь өнцгийг хадгалдаг тул A 2 = A 1, B 2 = B 1 болно. Энэ нь ABC ба A гурвалжинд 2 B 2 C 2 A = A 2, B = B 2 байна гэсэн үг. Дараа нь A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Үүний үр дүнд ABC ба A 2 B 2 C 2 гурвалжин нь хоёр дахь шалгуурын дагуу (хажуу ба зэргэлдээ өнцөг) тэнцүү байна.
A 1 B 1 C 1 ба A 2 B 2 C 2 гурвалжингууд нь ижил төстэй бөгөөд A 2 B 2 C 2 ба ABC гурвалжингууд нь тэнцүү, тиймээс ижил төстэй байдаг тул A 1 B 1 C 1 ба ABC гурвалжнууд ижил төстэй байна. . Теорем нь батлагдсан.
Даалгавар. Шулуун, хажуу талтай зэрэгцээ ABC гурвалжны AB тал нь АС талыг А 1, ВС тал нь В 1 цэгт огтлолцоно. Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C гэдгийг батал.
Шийдэл (Зураг 7). ABC ба A 1 B 1 C гурвалжнууд нь C орой дээр нийтлэг өнцөгтэй бөгөөд CA 1 B 1 ба CAB өнцөг нь AC зүсэлттэй параллель AB ба A 1 B 1-ийн харгалзах өнцөгтэй тэнцүү байна. Иймд ΔАВС~ΔА 1 В 1 С хоёр өнцгөөр.
5. ХОЁР ТАЛУУДЫН ГУРВАЛЖНЫ ТӨСӨЛ БАЙДЛЫН АЧ ХОЛБОО БАРИХ ӨНЦНИЙ
Теорем 3. Нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ бөгөөд эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцгүүд нь тэнцүү бол гурвалжнууд ижил байна.
Баталгаа (теорем 2-ын баталгаатай адил). ABC ба A 1 B 1 C 1 C=C 1 ба AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1 гурвалжингууд. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 гэдгийг баталцгаая.
A 1 B 1 C 1 гурвалжинг ижил төстэй байдлын хувиргалтыг k ижил төстэй байдлын коэффициент, жишээлбэл, гомотети (Зураг 8) болгон авч үзье.
Энэ тохиолдолд бид ABC гурвалжинтай тэнцүү тодорхой A 2 B 2 C 2 гурвалжинг авна. Үнэн хэрэгтээ ижил төстэй хувиргалт нь өнцгийг хадгалдаг тул C 2 = = C 1 болно. Энэ нь ABC ба A гурвалжинд 2 B 2 C 2 C=C 2 байна гэсэн үг. Дараа нь A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. Үүний үр дүнд ABC ба A 2 B 2 C 2 гурвалжин нь эхний шалгуурын дагуу тэнцүү байна (хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг).
A 1 B 1 C 1 ба A 2 B 2 C 2 гурвалжингууд нь ижил төстэй бөгөөд A 2 B 2 C 2 ба ABC гурвалжингууд нь тэнцүү, тиймээс ижил төстэй байдаг тул A 1 B 1 C 1 ба ABC гурвалжнууд ижил төстэй байна. . Теорем нь батлагдсан.
Даалгавар. Цочмог C өнцөгтэй ABC гурвалжинд AE ба BD өндрийг зурсан (Зураг 9). ΔABC~ΔEDC гэдгийг батал.
Шийдэл. ABC ба EDC гурвалжин нь C оройн нийтлэг өнцөгтэй. Энэ өнцөгтэй зэргэлдээх гурвалжны талуудын пропорциональ байдлыг баталъя. Бидэнд EC = AC cos γ, DC = BC cos γ байна. Өөрөөр хэлбэл, С өнцөгтэй зэргэлдээх талууд нь гурвалжны хувьд пропорциональ байна. Энэ нь хоёр талын ΔABC~ΔEDC ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг гэсэн үг.
6. ГУРВАН ТАЛТЫН ГУРВАЛЖНЫ ИЦТГЭЛИЙН АЧ ХОЛБОО
Теорем 4. Хэрэв нэг гурвалжны талууд нөгөө гурвалжны талуудтай пропорциональ байвал ийм гурвалжнууд ижил төстэй байна.
Баталгаа (теорем 2-ын баталгаатай адил). ABC ба A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1 гурвалжингууд гэж үзье. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 гэдгийг баталцгаая.
A 1 B 1 C 1 гурвалжинд ижил төстэй байдлын хувиргалтыг k ижил төстэй байдлын коэффициент, жишээлбэл, гомотети (Зураг 10) -д оруулъя. Энэ тохиолдолд бид ABC гурвалжинтай тэнцүү тодорхой A 2 B 2 C 2 гурвалжинг авна. Үнэн хэрэгтээ гурвалжны хувьд харгалзах талууд тэнцүү байна:
A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC.
Тиймээс гурвалжин нь гурав дахь шалгуурын дагуу (гурван тал дээр) тэнцүү байна.
A 1 B 1 C 1 ба A 2 B 2 C 2 гурвалжингууд нь ижил төстэй бөгөөд A 2 B 2 C 2 ба ABC гурвалжингууд нь тэнцүү, тиймээс ижил төстэй байдаг тул A 1 B 1 C 1 ба ABC гурвалжнууд ижил төстэй байна. . Теорем нь батлагдсан.
Даалгавар. Ижил төстэй гурвалжны периметрүүд нь харгалзах талуудтай холбоотой болохыг батал.
Шийдэл. ABC ба A 1 B 1 C 1 ижил төстэй гурвалжин байг. Тэгвэл A 1 B 1 C 1 гурвалжны талууд нь ABC гурвалжны талуудтай пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.
A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).
өөрөөр хэлбэл гурвалжны периметрүүд нь харгалзах талуудтай холбоотой байна.
7. Тэгш өнцөгт гурвалжингийн ижил төстэй байдал
У зөв гурвалжиннэг өнцөг нь зөв. Иймд теорем 2-ын дагуу хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин ижил байхын тулд тус бүр нь ижил хурц өнцөгтэй байхад хангалттай.
Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын тестийг ашиглан бид гурвалжин дахь зарим хамаарлыг батлах болно.
ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг C. Оройноос өндрийн CD-г зур зөв өнцөг(Зураг 11).
ABC болон CBD гурвалжингууд байдаг нийтлэг өнцөгорой дээр B. Тиймээс тэдгээр нь ижил төстэй: ΔABC~ΔCBD. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад харгалзах талууд нь пропорциональ байна.
Энэ хамаарлыг ихэвчлэн дараах байдлаар томъёолдог: тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз ба энэ хөлийн гипотенуз дээрх проекцын хоорондох пропорциональ дундаж юм.
ACD ба CBD тэгш өнцөгт гурвалжин нь мөн адил төстэй. Эдгээр гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад тэдгээрийн талуудын пропорциональ байдал нь A ба C оройнууд дээр тэнцүү хурц өнцөгтэй байна.
Энэ хамаарлыг ихэвчлэн дараах байдлаар томъёолдог: тэгш өнцөгтийн оройноос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь I хөлийн гипотенуз дээрх проекцуудын дундаж пропорциональ байна.
Баталцгаая дараагийн өмчГурвалжны биссектриса: Гурвалжны биссектриса нь эсрэг талыг нөгөө хоёр талтай пропорциональ хэрчмүүдэд хуваана.
CD нь ABC гурвалжны биссектриса байг (Зураг 12). Хэрэв ABC гурвалжин нь AB суурьтай тэгш өнцөгт байвал биссектрисын заасан шинж чанар нь ойлгомжтой, учир нь энэ тохиолдолд CD нь мөн медиан болно.
Ингээд авч үзье ерөнхий тохиолдол, AC≠BC үед. А ба В оройноос AF ба BE перпендикуляруудыг CD шулуун дээр буулгая.
ACF ба VSE тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь C орой дээр тэгш хурц өнцөгтэй тул ижил төстэй. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад талуудын пропорциональ байдал дараах байдалтай байна.
ADF ба BDE тэгш өнцөгт гурвалжин нь мөн адил. Тэдний D орой дээрх өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад талуудын пропорциональ байдал үүсдэг.
Энэ тэгш байдлыг өмнөхтэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олж авна.
өөрөөр хэлбэл AD ба BD сегментүүд нь AC ба BC талуудтай пропорциональ байх ба үүнийг батлах шаардлагатай.
8. ТОЙРОГТ ОРУУЛСАН ӨНЦӨГ
Өнцөг нь хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг. Хэсэг бүрийг хавтгай өнцөг гэж нэрлэдэг. 13-р зурагт a ба b талуудтай хавтгай өнцгүүдийн нэг нь сүүдэрлэсэн байна. Нийтлэг талуудтай хавтгай өнцгийг нэмэлт гэж нэрлэдэг.
Хэрэв хавтгай өнцөг нь хагас хавтгайн нэг хэсэг бол түүний градусын хэмжүүр гэж нэрлэдэг градусын хэмжүүрижил талуудтай тэгш өнцөг. Хэрэв хавтгайн өнцөг нь хагас хавтгайг агуулж байвал түүний градусын хэмжүүрийг 360 ° - α гэж авна, энд α нь нэмэлт хавтгай өнцгийн хэмжүүр юм (Зураг 14).
Цагаан будаа. 13 Зураг 14
Тойрог доторх төв өнцөг нь төвдөө оройтой хавтгай өнцөг юм. Хавтгай өнцгийн дотор байрлах тойргийн хэсгийг энэ төв өнцөгт тохирох тойргийн нум гэнэ (Зураг 15). Тойргийн нумын градусын хэмжүүр нь харгалзах төв өнцгийн градусын хэмжүүр юм.
Цагаан будаа. 15 Зураг. 16
Орой нь тойрог дээр хэвтэж, талууд нь энэ тойрогтой огтлолцдог өнцгийг тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. 16-р зураг дээрх BAC өнцгийг тойрог хэлбэрээр бичжээ. Түүний А орой нь тойрог дээр байх ба талууд нь тойрогтой B ба C цэгүүдээр огтлолцдог. Мөн А өнцөг нь ВС хөвч дээр тогтдог гэж үздэг. BC шулуун шугам нь тойргийг хоёр нум болгон хуваана. А цэгийг агуулаагүй эдгээр нумын өнцөгт тохирох төв өнцгийг гэнэ төв өнцөг, өгөгдсөн бичээстэй өнцөгт харгалзах.
Теорем 5. Тойрог дотор дүрслэгдсэн өнцөг нь хагастай тэнцүүхаргалзах төв өнцөг.
Баталгаа. Эхлээд авч үзье онцгой тохиолдол, өнцгийн талуудын аль нэг нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх үед (Зураг 17, а). AOB гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм, учир нь түүний OA ба OB талууд нь радиусаараа тэнцүү. Тиймээс гурвалжны А ба В өнцөг нь тэнцүү байна. Мөн тэдний нийлбэр тэнцүү учраас гадна булангурвалжин О орой дээр байвал гурвалжны В өнцөг нь AOC өнцгийн хагастай тэнцүү байх ба үүнийг батлах шаардлагатай.
Туслах диаметр BD (Зураг 17, b, c) зурах замаар ерөнхий тохиолдлыг авч үзсэн онцгой тохиолдол болгон бууруулна. Зураг 17, b-д үзүүлсэн тохиолдолд ABC= CBD+ ABD= ½ COD + ½ AOD= ½ AOC.
Зураг 17, в-д үзүүлсэн тохиолдолд,
ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.
Теорем бүрэн батлагдсан.
9. ХОРДЫН ХЭСГҮҮД БА ТОЙРГИЙН СЕКАНТЫН ХҮРЭЭЛТЭЙ БАЙДАЛ
Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд S цэг дээр огтлолцвол
ToAS·BS=CS·DS.
Эхлээд ASD болон CSB гурвалжнууд ижил төстэй гэдгийг баталцгаая (Зураг 19). DCB болон DAB бичээстэй өнцөг нь теорем 5-ын үр дүнд тэнцүү байна. ASD болон BSC өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Заасан өнцгүүдийн тэгш байдлаас харахад ASZ ба CSB гурвалжин ижил төстэй байна.
Гурвалжны ижил төстэй байдлаас пропорцийг дагадаг
AS BS = CS DS, энэ нь бидэнд нотлох шаардлагатай зүйл юм
Зураг.19 Зураг.20
Хэрэв P цэгээс тойрог руу A, B, C, D цэгүүдээр тойргийг тус тус огтолж буй хоёр зүсэлт зурвал
А ба С цэгүүдийг P цэгт хамгийн ойр байгаа тойрогтой огтлолцох цэгүүд гэж үзье (Зураг 20). Гурвалжин PAD ба ПХБ нь ижил төстэй. Тэдгээр нь P орой дээр нийтлэг өнцөгтэй бөгөөд B ба D оройн өнцөг нь тойрог дотор сийлсэн өнцгийн шинж чанарын дагуу тэнцүү байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас пропорцийг дагадаг
Эндээс PA·PB=PC·PD байгаа нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
10. "Тоонуудын ижил төстэй байдал" сэдэвт асуудлууд
ХИЙСЭН МЭДЭЭ
Сэдэв дээр: "Тоонуудын ижил төстэй байдал"
Дууссан:
оюутан
Шалгасан:
1. Ижил төстэй байдлын хувиргалт
2. Ижил төстэй байдлын хувиргалтын шинж чанарууд
3. Дүрсүүдийн ижил төстэй байдал
4. Гурвалжны хоёр өнцгийн ижил төстэй байдлын тэмдэг
5. Хоёр талын гурвалжнуудын ижил төстэй байдлын тэмдэг ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг
6. Гурван талын гурвалжны ижил төстэй байдлын тэмдэг
7. Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал
8. Тойрог дотор бичээстэй өнцөг
9. Тойргийн хөвч ба секантын сегментүүдийн пропорциональ байдал
10. "Тоонуудын ижил төстэй байдал" сэдэвт асуудлууд
1. Ижил төстэй байдлын ӨӨРЧЛӨЛТ
Хэрэв энэ хувиргалтын явцад цэгүүдийн хоорондох зай ижил тооны удаа өөрчлөгдвөл F дүрсийг F " дүрс болгон хувиргах нь ижил төстэй байдлын хувирал гэж нэрлэгддэг (Зураг 1). Энэ нь хэрэв дурын X, Y цэгүүд. F зураг, ижил төстэй байдлын хувиргалтын үед X", Y"зураг F", дараа нь X"Y" = k-XY цэгүүд болж хувирах ба k тоо нь X, Y бүх цэгүүдэд ижил байна. k тоог ижил төстэй байдлын коэффициент. k = l-ийн хувьд ижил төстэй байдлын хувиргалт нь мэдээжийн хэрэг хөдөлгөөн юм.
F нь өгөгдсөн дүрс, О нь тогтмол цэг (Зураг 2). F дүрсийн дурын X цэгээр OX туяаг зурж, түүн дээр k·OX-тэй тэнцүү OX" хэрчмийг зуръя. Энд k нь эерэг тоо байна. Түүний X цэг бүр байх F дүрсийн хувиргалт. "X" цэгт очдог бөгөөд заасан аргаар бүтээгдсэнийг О төвтэй харьцуулахад гомотети гэж нэрлэдэг. k тоог гомотетийн коэффициент гэж нэрлэдэг, F ба F" тоонуудыг гомотетик гэж нэрлэдэг.
Теорем 1. Гомотети нь ижил төстэй байдлын хувирал юм
Баталгаа. О нь гомотетийн төв, k нь гомотетийн коэффициент, X ба Y нь зургийн дурын хоёр цэг байг (Зураг 3).
Зураг.3 Зураг.4
Гомотетийн хувьд X ба Y цэгүүд нь OX ба OY туяан дээрх X" ба Y" цэгүүд рүү тус тус очдог ба OX" = k·OX, OY" = k·OY. Энэ нь OX" = kOX, OY" = kOY векторын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ. Эдгээр тэгшитгэлийг гишүүнээр хасвал бид: OY"-OX" = k (OY-OX). OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY тул X"Y" = kХY. Энэ нь /X"Y"/=k /XY/ гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. X"Y" = kXY. Иймээс гомотети нь ижил төстэй байдлын өөрчлөлт юм. Теорем нь батлагдсан.Машины эд анги, бүтэц, талбайн төлөвлөгөө гэх мэтийн зураг зурахад ижил төстэй байдлын хувиргалтыг практикт өргөн ашигладаг. Эдгээр зургууд нь бүрэн хэмжээгээр төсөөлж буй дүрсийн ижил төстэй хувиргалт юм. Ижил төстэй байдлын коэффициентийг масштаб гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хэрэв газар нутгийн хэсгийг 1:100 масштабаар дүрсэлсэн бол энэ нь төлөвлөгөөний нэг сантиметр нь газар дээрх 1 м-тэй тохирч байна гэсэн үг юм.
Даалгавар. Зураг 4-т үл хөдлөх хөрөнгийн төлөвлөгөөг 1:1000 масштабаар харуулав. Үл хөдлөх хөрөнгийн хэмжээсийг (урт ба өргөн) тодорхойлох.
Шийдэл. Төлөвлөгөөг дээрх үл хөдлөх хөрөнгийн урт ба өргөн нь 4 см ба 2.7 см байна. Төлөвлөгөөг 1: 1000 масштабаар хийсэн тул үл хөдлөх хөрөнгийн хэмжээ нь 2.7 x 1000 см = 27 м, 4 х 100 см =. 40 м.
2. ТӨСӨЛТ ӨӨРЧЛӨЛТИЙН ШИНЖ
Хөдөлгөөний хувьд ижил төстэй хувирлын үед нэг шулуун дээр байрлах A, B, C гурван цэг нь нэг шулуун дээр байрлах A 1, B 1, C 1 гурван цэгт ордог нь батлагдсан. Түүнчлэн хэрэв В цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд оршдог бол В 1 цэг нь А 1 ба С 1 цэгүүдийн хооронд байрлана. Эндээс харахад ижил төстэй байдлын хувиргалт нь шугамыг шулуун, хагас шугамыг хагас, сегментийг сегмент болгон хувиргадаг.
Ижил төстэй байдлын хувиргалт нь хагас шугамын хоорондох өнцгийг хадгалдаг болохыг баталцгаая.
Үнэн хэрэгтээ, ABC өнцгийг k коэффициенттэй ижил төстэй хувиргалтаар A 1 B 1 C 1 өнцөг болгон хувиргая (Зураг 5). ABC өнцгийг түүний B оройтой харьцуулсан гомотетийн хувиргалтыг k гомотетын коэффициенттэй авч үзье. Энэ тохиолдолд А ба С цэгүүд А 2 ба С 2 цэгүүд рүү шилжинэ. Гурав дахь шалгуурын дагуу A 2 BC 2 ба A 1 B 1 C 1 гурвалжин тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харахад A 2 BC 2 ба A 1 B 1 C 1 өнцөгүүд тэнцүү байна. Энэ нь ABC ба A 1 B 1 C 1 өнцгүүд тэнцүү гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
3. ЗУРГИЙН ТӨСӨЛ БАЙДАЛ
Хоёр дүрсийг ижил төстэй байдлын хувиргалтаар өөр хоорондоо хувиргавал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Зургийн ижил төстэй байдлыг харуулахын тулд тусгай дүрсийг ашигладаг: ∞. F∞F" гэсэн тэмдэглэгээ нь: "F зураг нь F зурагтай төстэй" гэж бичсэн байна.
Хэрэв F 1 зураг F 2 зурагтай, F 2 зураг F 3 зурагтай төстэй бол F 1 ба F 3 зураг ижил байна гэдгийг баталцгаая.
X 1 ба Y 1 нь F 1 зургийн дурын хоёр цэг байцгаая. F 1 дүрсийг F 2 болгон хувиргах ижил төстэй байдлын хувиргалт нь эдгээр цэгүүдийг X 2, Y 2 цэг болгон хувиргадаг бөгөөд эдгээрийн хувьд X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 байна.
F 2 дүрсийг F 3 болгон хувиргах ижил төстэй байдлын хувиргалт нь X 2, Y 2 цэгүүдийг X 3, Y 3 цэгүүд болгон хувиргадаг бөгөөд эдгээрийн хувьд X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 байна.
Тэнцүү байдлаас
X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2
үүнээс X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 гарч ирнэ. Энэ нь ижил төстэй байдлын хоёр хувиргалтыг дараалан хийснээр олж авсан F 1 дүрсийг F 3 болгон хувиргах нь ижил төстэй байдал гэсэн үг юм. Тиймээс F 1 ба F 3 тоо ижил төстэй байгаа нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Гурвалжны ижил төстэй байдлын тэмдэглэгээнд: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - ижил төстэй байдлын хувиргалттай хослуулсан оройнууд нь харгалзах газруудад байгаа гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл A нь A 1, B нь B 1, C нь C руу ордог. 1.
Ижил төстэй байдлын хувирлын шинж чанаруудаас харахад ижил төстэй дүрсүүдийн хувьд харгалзах өнцөг нь тэнцүү, харгалзах сегментүүд нь пропорциональ байна. Ялангуяа ижил төстэй гурвалжны хувьд ABC ба A 1 B 1 C 1
A=A 1, B=B 1, C=C 1
4. ГУРВАЛЖНЫ ХОЁР ӨНЦГИЙН ДАГУУ ТӨСӨЛ БАЙДЛЫН АЧ ХОЛБОГДОЛ
Теорем 2. Нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжин ижил төстэй байна.
Баталгаа. ABC ба A гурвалжнууд 1 B 1 C 1 байна
Жишээ
- Гомотет бүр ижил төстэй шинж чанартай байдаг.
- Хөдөлгөөн бүрийг (ижил хөдөлгөөнийг оруулаад) коэффициент бүхий ижил төстэй хувиргалт гэж үзэж болно к = 1 .
Зураг дээрх ижил төстэй дүрсүүд ижил өнгөтэй байна.
Холбогдох тодорхойлолтууд
Үл хөдлөх хөрөнгө
IN метрийн орон зайяг доторх шиг n-хэмжээт Риманы, псевдо-Риман, Финслерийн орон зай, ижил төстэй байдал нь орон зайн хэмжигдэхүүнийг тогтмол хүчин зүйл хүртэл өөртөө авч хувиргах гэж тодорхойлогддог.
n хэмжээст Евклид, псевдо-евклид, Риман, псевдо-риман эсвэл Финслер орон зайн ижил төстэй байдлын багц нь r-харгалзах орон зайн ижил төстэй (гомотетик) хувиргалтуудын бүлэг гэж нэрлэгддэг Ли хувиргалтуудын гишүүн бүлэг. Заасан төрлийн орон зай бүрт r-ижил төстэй Lie хувиргалтуудын гишүүн бүлэг ( r− 1) -хөдөлгөөний гишүүн хэвийн дэд бүлэг.
Мөн үзнэ үү
Викимедиа сан.
2010 он.
Бусад толь бичигт "ижил төстэй тоо" гэж юу болохыг харна уу.ТЭЦТЭЙ ТООН ТООН - харгалзах тоонуудшугаман элементүүд пропорциональ бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, хэзээижил хэлбэр байна … өөр өөр хэмжээтэй
Төв хүртэлх харгалзах цэгүүдийн зай нь пропорциональ байвал хоёр гомологийн дүрсийг бүлэг гэж нэрлэдэг. Эндээс харахад G. дүрсүүд нь ижил төстэй дүрс ба ижил төстэй байрлалтай, эсвэл ижил төстэй, урвуу байрлалтай байдаг. Үүнд ижил төстэй байдлын төв ... ... Нэвтэрхий толь бичигФ. Брокхаус ба И.А. Ефрон
Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг юм. Агуулга 1 Мэдэгдэл 2 Нотлох баримт ... Википедиа
Хандмалын бамбай Бамбай эзэмшигч Бамбай эзэмшигч (уриа) ... Википедиа
Английн Килпек хотын сүмээс алдартай Шила на Гиг Шила на Гиг (Англи хэл: Sheela na Gig) нүцгэн эмэгтэйчүүдийн баримлын зургуудыг ихэвчлэн томруулсан ... Wikipedia
- ... Википедиа
Хоёр дахь удаагаа би хар арьстнууд руу явахаар төлөвлөж байсан бөгөөд энэ орны тамын уур амьсгал эхний аялалд намайг үхүүлэх шахсан гэдгийг анзаарсангүй. Би маш их холимог мэдрэмжээр энэ аялалыг хийсэн бөгөөд янз бүрийн ... ... Амьтны амьдралаас салж чадаагүй
Харьцангуй нийтлэг нэр тодорхой агуулгаболон харьцангуй тодорхой тодорхойлогдсон эзлэхүүн. П., жишээ нь, " химийн элемент", "хууль", "таталцал", "одон орон судлал", "яруу найраг" гэх мэт. П... гэж нэрлэж болох нэрсийн хооронд тодорхой зааг бий. Философийн нэвтэрхий толь бичиг
Планиметрийн нэр томъёоны тодорхойлолтыг энд цуглуулав. Энэхүү тайлбар толь дахь нэр томъёоны эшлэлийг (энэ хуудсан дээр) налуу үсгээр бичсэн болно. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Википедиа
Планиметрийн нэр томъёоны тодорхойлолтыг энд цуглуулав. Энэхүү тайлбар толь дахь нэр томъёоны эшлэлийг (энэ хуудсан дээр) налуу үсгээр бичсэн болно. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Википедиа
Номууд
- Бошиглогчид ба гайхамшгийн ажилчид. Ид шидийн тухай тойм зураг, В.Е. Рожнов. Москва, 1977 он. Улс төр. Эзэмшигчийн үүрэг. Байдал сайн байна. Спиртизм ба зурхай, теософи ба оккультизм - эдгээр үгсийг сэтгүүл, сонины хуудаснаас байнга олж болно ...
- Тоо, хэлбэр, хэмжээ. 4-5 насны хүүхдүүдтэй ангиудад. Тоглоом, наалт бүхий ном, Дорофеева А.. Цомог “Бүртгэл. Маягт. "Долоон одойн сургуулийн" цувралын тав дахь жилдээ суралцаж буй "Магнитуд" ном нь хичээл бүрийг хөгжилтэй хэлбэрээр явуулж, хүүхдүүдэд үргэлжлүүлэн өгдөг хөгжлийн хөтөч юм.
Геометр
Тоонуудын ижил төстэй байдал
Ижил төстэй дүрсүүдийн шинж чанарууд
Теорем. Зураг нь зурагтай төстэй, дүрс нь зурагтай төстэй байвал тоонууд ба
төстэй. Ижил төстэй байдлын хувирлын шинж чанаруудаас харахад ижил төстэй дүрсүүдийн хувьд харгалзах өнцөг нь тэнцүү, харгалзах сегментүүд нь пропорциональ байна. Жишээлбэл, ижил төстэй гурвалжинд ABCМөн:
; ; ;
.
Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг
Теорем 1. Нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь хоёр дахь гурвалжны хоёр өнцөгтэй тус тус тэнцүү байвал ийм гурвалжин ижил төстэй байна. Теорем 2. Нэг гурвалжны хоёр тал нь хоёр дахь гурвалжны хоёр талтай пропорциональ бөгөөд эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцгүүд нь тэнцүү бол гурвалжнууд ижил байна.
Теорем 3. Нэг гурвалжны талууд нь хоёр дахь гурвалжны талуудтай пропорциональ байвал ийм гурвалжнууд ижил төстэй байна.
Эдгээр теоремуудаас асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй баримтуудыг гаргана.
1. Гурвалжны хажуутай параллель, нөгөө хоёр талыг нь огтолж байгаа шулуун шугамаас үүнтэй төстэй гурвалжинг таслав.
Зураг дээр.
2. Ижил төстэй гурвалжны хувьд харгалзах элементүүд (өндөр, медиан, биссектриса гэх мэт) нь харгалзах талуудтай холбоотой байна.
3. Ижил төстэй гурвалжны хувьд периметрүүд нь харгалзах талуудтай холбоотой байна.
4. Хэрэв ТУХАЙ- трапецын диагональуудын огтлолцох цэг ABCD, Тэр .
Зураг дээр трапец хэлбэрээр ABCD:.
5. Трапецын талуудын үргэлжлэл бол ABCDцэг дээр огтлолцоно К, дараа нь (зураг харна уу) .
.
Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал
Теорем 1. Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжнууд тэнцүү бол хурц өнцөг, дараа нь тэд ижил төстэй байна. Теорем 2. Нэг тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хөл нь хоёр дахь тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хөлтэй пропорциональ байвал эдгээр гурвалжнууд ижил төстэй байна.
Теорем 3. Нэг тэгш өнцөгт гурвалжны хөл ба гипотенуз хоёр дахь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл ба гипотенузтай пропорциональ байвал ийм гурвалжнууд ижил төстэй байна.
Теорем 4. Тэгш өнцгийн оройноос татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндрөөр гурвалжинг үүнтэй төстэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана.
Зураг дээр .
Тэгш өнцөгт гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас дараах зүйл гарч ирнэ.
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз ба энэ хөлийн гипотенуз дээрх проекцын дундаж пропорциональ байна.
; ,
эсвэл
; .
2. Тэгш өнцгийн оройноос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь хөлний гипотенуз дээрх проекцуудын дундаж пропорциональ байна.
,
эсвэл .
3. Гурвалжны биссектрисын өмч:
гурвалжны биссектрис (дурын) хуваагдана эсрэг талгурвалжинг бусад хоёр талтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.
Зураг дээр байгаа B.P.- биссектрис.
, эсвэл . 
Адил талт ба тэгш өнцөгт гурвалжин
1. Бүх зүйл тэгш талт гурвалжинтөстэй. 2. Хэрэв ижил өнцөгт гурвалжнууд байвал тэнцүү өнцөгталуудын хооронд, дараа нь тэдгээр нь ижил төстэй байна.
3. Хэрэв ижил өнцөгт гурвалжин нь пропорциональ суурьтай ба тал, дараа нь тэд ижил төстэй байна.
