Энэ нийтлэлд бид танилцуулах болно тооны язгуурын тухай ойлголт. Бид дарааллаар нь үргэлжлүүлнэ: бид квадрат язгуураас эхэлнэ, тэндээс бид шоо язгуурын тайлбар руу шилжиж, дараа нь n-р үндсийг тодорхойлж, язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь хэлнэ. Үүний зэрэгцээ бид тодорхойлолт, тэмдэглэгээг танилцуулж, язгуурын жишээг өгч, шаардлагатай тайлбар, тайлбарыг өгөх болно.

Квадрат язгуур, арифметик квадрат язгуур

Тооны язгуур, ялангуяа квадрат язгуурын тодорхойлолтыг ойлгохын тулд та . Энэ үед бид тооны хоёрдахь хүч болох тооны квадраттай байнга тулгарах болно.

-ээс эхэлье квадрат язгуурын тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт

a-ийн квадрат язгуурквадрат нь a-тай тэнцүү тоо юм.

авчрахын тулд жишээнүүд квадрат үндэс , жишээ нь 5, −0.3, 0.3, 0 гэсэн хэд хэдэн тоог аваад квадрат болговол 25, 0.09, 0.09, 0 гэсэн тоонуудыг авна (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 ба 0 2 =0·0=0 ). Тэгвэл дээр өгөгдсөн тодорхойлолтоор 5-ын тоо нь 25-ын язгуур, −0.3 ба 0.3 нь 0.09-ийн квадрат язгуур, 0 нь тэгийн язгуур юм.

Аль ч тооны хувьд квадрат нь a-тай тэнцүү тоо байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тухайлбал, сөрөг а тооны хувьд квадрат нь a-тай тэнцүү бодит b тоо байхгүй. Үнэн хэрэгтээ a=b 2 тэгшитгэл нь ямар ч сөрөг а-д боломжгүй, учир нь b 2 нь тийм биш юм сөрөг тооямар ч б. Тиймээс, багц дээр бодит тоосөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй. Өөрөөр хэлбэл, бодит тооны олонлог дээр сөрөг тооны квадрат язгуур тодорхойлогдоогүй бөгөөд ямар ч утгагүй болно.

Эндээс "А-д сөрөг биш а-д квадрат язгуур байдаг уу" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ. Хариулт нь тийм. Энэ баримтын үндэслэлийг авч үзэж болно бүтээлч арга зам, квадрат язгуурын утгыг олоход ашигладаг.

Дараа нь дараагийн логик асуулт гарч ирнэ: "Өгөгдсөн сөрөг бус тооны бүх квадрат язгуурын тоо хэд вэ - нэг, хоёр, гурав, бүр түүнээс ч олон?" Хариулт нь энд байна: хэрэв a нь тэг бол тэгийн цорын ганц квадрат язгуур нь тэг болно; хэрэв а нь эерэг тоо бол a тооны квадрат язгуурын тоо хоёр, язгуур нь . Үүнийг зөвтгөе.

a=0 тохиолдлоос эхэлье. Эхлээд тэг нь тэгийн квадрат язгуур гэдгийг харуулъя. Энэ нь 0 2 =0·0=0 илэрхий тэгшитгэл ба квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

Одоо 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталъя. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. Тэгийн квадрат язгуур болох тэгээс өөр b тоо байна гэж бодъё. Дараа нь b 2 =0 нөхцөл хангагдсан байх ёстой бөгөөд энэ нь ямар ч тэг биш b-ийн хувьд b 2 илэрхийллийн утга эерэг байдаг тул боломжгүй юм. Бид зөрчилдөж байна. Энэ нь 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталж байна.

А нь эерэг тоо байх тохиолдлууд руу шилжье. Ямар ч сөрөг бус тооны квадрат язгуур байдаг, а-ын квадрат язгуур нь b тоо байг гэж бид дээр хэлсэн. a-ийн квадрат язгуур болох c тоо байна гэж бодъё. Тэгвэл квадрат язгуурын тодорхойлолтоор b 2 =a ба c 2 =a тэгшитгэлүүд үнэн бөгөөд үүнээс b 2 −c 2 =a−a=0, харин b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , дараа нь (b−c)·(b+c)=0 . Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал хүчинтэй байна Бодит тоотой үйлдлийн шинж чанарууд b−c=0 эсвэл b+c=0 үед л боломжтой. Тиймээс b ба c тоонууд тэнцүү буюу эсрэг байна.

Хэрэв бид а тооны өөр квадрат язгуур болох d тоо байна гэж үзвэл өмнө нь өгөгдсөнтэй төстэй үндэслэлээр d нь b тоо эсвэл c тоотой тэнцүү болохыг баталж байна. Тэгэхээр эерэг тооны квадрат язгуурын тоо хоёр, квадрат язгуур нь эсрэг тоо байна.

Квадрат үндэстэй ажиллахад хялбар болгох үүднээс сөрөг үндэсэерэгээс "салгадаг". Үүний тулд үүнийг танилцуулж байна арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик квадрат язгуур a- Энэ сөрөг бус тоо, түүний квадрат нь a-тай тэнцүү.

a-ийн арифметик квадрат язгуурын тэмдэглэгээ нь . Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг. Үүнийг мөн радикал шинж тэмдэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс та заримдаа "үндэс" ба "радикал" хоёуланг нь сонсож болно, энэ нь ижил объект гэсэн үг юм.

Арифметик язгуур тэмдгийн доорх тоог дуудна радикал тоо, мөн үндсэн тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь байна радикал илэрхийлэл, харин " гэсэн нэр томъёо радикал тоо"-г ихэвчлэн "радикал илэрхийлэл" гэж сольдог. Жишээлбэл, тэмдэглэгээнд 151 тоо нь радикал тоо, тэмдэглэгээнд а илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл юм.

Уншихдаа "арифметик" гэдэг үгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг, жишээлбэл, оруулгыг "долоон цэгийн хорин есийн квадрат язгуур" гэж уншдаг. "Арифметик" гэдэг үгийг тэд онцлохыг хүссэн үедээ л ашигладаг бид ярьж байнаялангуяа тооны эерэг квадрат язгуурын тухай.

Оруулсан тэмдэглэгээнээс харахад арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үзэхэд ямар ч сөрөг бус тооны хувьд a .

Эерэг a тооны квадрат язгуурыг болон гэсэн арифметик язгуур тэмдгийг ашиглан бичнэ. Жишээлбэл, 13-ын квадрат язгуур нь ба . Тэгийн арифметик квадрат язгуур тэгтэй тэнцүү, тэр бол, . a сөрөг тоонуудын хувьд бид судлах хүртлээ тэмдэглэгээнд утгыг оруулахгүй нийлмэл тоо . Жишээлбэл, илэрхийлэл ба утгагүй байна.

Квадрат язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн практикт ихэвчлэн ашигладаг квадрат язгуурын шинж чанарууд нотлогддог.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд a тооны квадрат язгуурууд нь x хувьсагчийн хувьд x 2 =a хэлбэрийн шийдлүүд гэдгийг тэмдэглэв.

Тооны шоо язгуур

Шоо язгуурын тодорхойлолт a тооны язгуурын тодорхойлолттой адил өгөгдсөн. Гагцхүү энэ нь квадрат биш тооны шоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг.

Тодорхойлолт

a-ийн шоо үндэснь шоо нь a-тай тэнцүү тоо юм.

өгье жишээнүүд куб үндэс . Үүнийг хийхийн тулд 7, 0, −2/3 гэх мэт хэд хэдэн тоог аваад шоо болгон хуваа: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Дараа нь шоо язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн 7 тоо нь 343-ын шоо язгуур, 0 нь тэгийн шоо язгуур, −2/3 нь −8/27-ийн шоо язгуур гэж хэлж болно.

Тооны шоо язгуур нь квадрат язгуураас ялгаатай нь зөвхөн сөрөг бус a-д төдийгүй аливаа бодит а тоонд үргэлж оршин байдаг гэдгийг харуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд та квадрат үндсийг судлахдаа бидний дурдсан аргыг ашиглаж болно.

Түүгээр ч барахгүй зөвхөн нэг шоо үндэстэй өгсөн дугаара. Сүүлийн мэдэгдлийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд гурван тохиолдлыг тусад нь авч үзье: a нь эерэг тоо, a=0, a нь сөрөг тоо.

Хэрэв a нь эерэг бол a-ийн шоо язгуур нь сөрөг тоо ч биш, тэг ч байж болохгүй гэдгийг харуулахад амархан. Үнэхээр b-г a-ийн шоо язгуур гэж үзье, тэгвэл тодорхойлолтоор бид b 3 =a тэгшитгэлийг бичиж болно. Эдгээр тохиолдолд b 3 =b·b·b нь сөрөг тоо эсвэл тэг байх тул сөрөг b ба b=0-ийн хувьд энэ тэгшитгэл үнэн байж болохгүй нь ойлгомжтой. Тэгэхээр эерэг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо юм.

Одоо b тооноос гадна а тооны өөр нэг шоо язгуур байна гэж бодъё, үүнийг c гэж тэмдэглэе. Дараа нь c 3 = a. Иймд b 3 −c 3 =a−a=0, гэхдээ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(энэ нь үржүүлэх товчилсон томъёо юм кубын ялгаа), эндээс (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Үүссэн тэгш байдал нь b−c=0 эсвэл b 2 +b·c+c 2 =0 үед л боломжтой. Эхний тэгшитгэлээс бид b=c байх ба хоёр дахь тэгшитгэл нь шийдэлгүй, учир нь түүний зүүн тал нь b 2, b·c ба c 2 гэсэн гурван эерэг гишүүний нийлбэр болох аливаа эерэг b ба c тоонуудын эерэг тоо юм. Энэ нь эерэг тооны шоо язгуурын өвөрмөц чанарыг баталж байна a.

a=0 үед a тооны шоо язгуур нь зөвхөн тэг тоо болно. Үнэхээр тэгээс өөр шоо язгуур болох b тоо байгаа гэж үзвэл b=0 үед л боломжтой b 3 =0 тэнцүү байх ёстой.

Сөрөг a-ийн хувьд эерэг a-ийн тохиолдолтой төстэй аргументуудыг өгч болно. Нэгдүгээрт, сөрөг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг харуулж байна. Хоёрдугаарт, сөрөг тооны хоёр дахь шоо язгуур байдаг гэж бид үзэж, энэ нь эхнийхтэй заавал давхцах болно гэдгийг харуулж байна.

Тиймээс аливаа өгөгдсөн бодит a тооны шоо язгуур үргэлж байдаг ба цорын ганц нь байдаг.

өгье арифметик шоо язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик шоо язгуур aнь шоо нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Сөрөг бус a тооны арифметик шоо язгуурыг гэж тэмдэглэж, тэмдгийг арифметик шоо язгуурын тэмдэг, энэ тэмдэглэгээний 3-ын тоог гэнэ. үндсэн индекс. Үндэс тэмдгийн доорх тоо нь байна радикал тоо, язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл.

Хэдийгээр арифметик шоо язгуур нь зөвхөн сөрөг биш a тоонуудын хувьд тодорхойлогддог боловч арифметик шоо язгуурын тэмдгийн дор сөрөг тоо олдсон тэмдэглэгээг ашиглах нь бас тохиромжтой. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар ойлгох болно: , энд a нь эерэг тоо юм. Жишээлбэл, .

Үндэсний ерөнхий өгүүлэлд бид шоо үндэсийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Шоо язгуурын утгыг тооцоолох нь шоо үндсийг задлах гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ үйлдлийг үндэс задлах нийтлэлд авч үзэх болно: арга, жишээ, шийдэл.

Энэ санааг дүгнэхийн тулд a тооны шоо язгуур нь x 3 =a хэлбэрийн шийдэл гэж үзье.

n-р язгуур, n зэрэглэлийн арифметик язгуур

Тооны язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь авч үзье - бид танилцуулъя n-р язгуурын тодорхойлолттөлөө n.

Тодорхойлолт

a-ийн n-р үндэснь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү тоо юм.

-аас энэ тодорхойлолта тооны нэгдүгээр зэрэглэлийн язгуур нь а тоо болох нь тодорхой байна, учир нь в зэрэглэлийг судлахад байгалийн үзүүлэлтБид 1 =a-г хүлээн зөвшөөрсөн.

Дээр бид n=2 ба n=3 - квадрат язгуур ба шоо язгуурын хувьд n-р язгуурын онцгой тохиолдлуудыг авч үзсэн. Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин язгуур нь хоёрдугаар зэргийн үндэс, шоо язгуур нь гуравдугаар зэргийн үндэс юм. N=4, 5, 6, ...-ын хувьд n-р зэргийн язгуурыг судлахын тулд тэдгээрийг хоёр бүлэгт хуваах нь тохиромжтой: эхний бүлэг - тэгш градусын үндэс (өөрөөр хэлбэл n = 4, 6, 8-ын хувьд) , ...), хоёр дахь бүлэг - сондгой градусын үндэс (өөрөөр хэлбэл n=5, 7, 9, ...). Энэ нь тэгш зэрэглэлийн үндэс нь квадрат язгууртай, сондгой зэрэглэлийн үндэс нь куб язгууртай төстэй байдагтай холбоотой юм. Тэдэнтэй нэг нэгээр нь харьцъя.

Хүчин чадал нь тэгш тоо 4, 6, 8, ... язгууруудаас эхэлцгээе, аль хэдийн хэлсэнчлэн a тооны квадрат язгууртай төстэй. Өөрөөр хэлбэл, а тооны тэгш хэмийн үндэс нь зөвхөн сөрөг бус а-д оршино. Түүнчлэн хэрэв a=0 бол a-ийн язгуур нь өвөрмөц бөгөөд тэгтэй тэнцүү, хэрэв a>0 бол a тооны тэгш зэрэгтэй хоёр язгуур байх ба тэдгээр нь эсрэг тоонууд юм.

Сүүлийн мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё. b нь тэгш зэрэгтэй язгуур байг (бид үүнийг 2 м гэж тэмдэглэдэг, энд m нь зарим юм натурал тоо) a дугаараас. a тооноос 2·m зэрэгтэй өөр язгуур - c тоо байна гэж бодъё. Тэгвэл b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Гэхдээ бид b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) хэлбэрийг мэднэ. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), дараа нь (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Энэ тэгшитгэлээс b−c=0, эсвэл b+c=0, эсвэл гарна b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Эхний хоёр тэгшитгэл нь b ба c тоонууд тэнцүү эсвэл b ба c нь эсрэг утгатай байна. Мөн сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн b=c=0-д хүчинтэй, учир нь түүний зүүн талд сөрөг бус тоонуудын нийлбэр болох аль ч b ба c-д сөрөг бус илэрхийлэл байдаг.

Сондгой n-ийн n-р зэргийн язгууруудын хувьд тэдгээр нь шоо язгууртай төстэй. Энэ нь ямар ч үндэс юм сондгой зэрэг a тооноос ямар ч бодит а тоо байх ба өгөгдсөн a тооны хувьд энэ нь өвөрмөц юм.

a тооны 2·m+1 сондгой зэрэгтэй язгуурын давтагдашгүй чанарыг a-ийн шоо язгуурын давтагдашгүй байдлын нотолгоотой зүйрлэж нотолж байна. Зөвхөн энд тэгш байдлын оронд a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = хэлбэрийн тэгшитгэлийг ашигласан (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Сүүлийн хаалтанд байгаа илэрхийллийг дахин бичиж болно b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 +) b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Жишээ нь, m=2 байвал бидэнд байна b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Хэрэв a ба b хоёулаа эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байвал тэдгээрийн үржвэр нь эерэг тоо байвал хаалт доторх b 2 +c 2 +b·c илэрхийлэл өөрөө байна. өндөр зэрэгтэйүүрлэх нь эерэг тоонуудын нийлбэрээр эерэг байна. Одоо, өмнөх зэрэглэлийн хаалтанд байгаа илэрхийллүүд рүү дараалан шилжих нь эерэг тоонуудын нийлбэрийн хувьд эерэг байдаг гэдэгт бид итгэлтэй байна. Үүний үр дүнд бид b 2 m+1 −c 2 m+1 = тэгшитгэлийг олж авна (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 b−c=0, өөрөөр хэлбэл b тоо нь c тоотой тэнцүү байх үед л боломжтой.

n-р язгуурын тэмдэглэгээг ойлгох цаг болжээ. Энэ зорилгоор үүнийг өгч байна тодорхойлолт арифметик үндэс n-р зэрэг.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны n-р зэргийн арифметик үндэс aнь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Эхний түвшин

Үндэс ба түүний шинж чанарууд. Нарийвчилсан онолжишээнүүдийн хамт (2019)

Энэ "үндэс" гэсэн ойлголт юу болох, "юугаар хооллодог" гэсэн ойлголтыг олохыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд ангидаа өмнө нь тааралдсан жишээнүүдийг харцгаая (за, эсвэл та үүнтэй тулгарах гэж байна).

Жишээлбэл, бидэнд тэгшитгэл бий. Ямар шийдэл байна өгөгдсөн тэгшитгэл? Ямар тоонуудыг квадрат болгож авах вэ? Үржүүлэх хүснэгтийг санаж байхдаа та хариултыг хялбархан өгч чадна: ба (эцсийн эцэст хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарна)! Хялбаршуулахын тулд математикчид танилцуулсан тусгай ойлголтквадрат язгуур болон түүнд тусгай тэмдэг өгсөн.

Арифметик квадрат язгуурыг тодорхойлъё.

Энэ тоо яагаад сөрөг биш байх ёстой гэж? Жишээлбэл, энэ нь юутай тэнцүү вэ? За, нэгийг нь сонгох гээд үзье. Магадгүй гурав уу? Шалгаж үзье: , үгүй. Магадгүй,? Дахин хэлэхэд бид шалгаж байна: . За, тохирохгүй байна уу? Энэ нь хүлээгдэж буй зүйл юм - учир нь квадрат нь хасах тоо өгдөг тоо байхгүй!
Энэ бол та санаж байх ёстой зүйл юм: язгуур тэмдгийн доорх тоо эсвэл илэрхийлэл нь сөрөг биш байх ёстой!

Гэсэн хэдий ч "тооны квадрат язгуурын шийдлийг энэ гэж нэрлэдэг" гэсэн тодорхойлолтыг хамгийн анхааралтай хүмүүс аль хэдийн анзаарсан байх. сөрөг бусквадрат нь "тэй тэнцүү тоо. Та нарын зарим нь бид хамгийн эхэнд жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн, квадрат болон олж авах боломжтой тоонуудыг сонгосон гэж хариулсан, гэхдээ энд бид ямар нэгэн "сөрөг бус тоо" -ын тухай ярьж байна гэж хэлэх болно! Энэ тайлбар нэлээд тохиромжтой. Энд та квадрат тэгшитгэл ба тооны арифметик квадрат язгуурын ойлголтыг ялгах хэрэгтэй. Жишээ нь, илэрхийлэлтэй тэнцэхгүй.

Үүнээс үүдэн, тэр нь, эсвэл. ("" сэдвийг уншина уу)

Тэгээд үүнийг дагадаг.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь маш будлиантай, гэхдээ тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид бүх X-г бичих ёстой тул тэмдгүүд нь тэгшитгэлийг шийдсэний үр дүн гэдгийг санах хэрэгтэй. анхны тэгшитгэлзөв үр дүнг өгнө. Д манай квадрат тэгшитгэлаль алинд нь тохиромжтой.

Гэсэн хэдий ч хэрэв зүгээр л квадрат язгуур авнаямар нэг зүйлээс, дараа нь үргэлж Бид нэг сөрөг бус үр дүнг авдаг.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэж үзээрэй. Одоо бүх зүйл тийм ч энгийн, жигд байхаа больсон, тийм үү? Тоонуудыг давж үзээрэй, магадгүй ямар нэг зүйл гарах болов уу? Эхнээс нь эхэлье - эхнээс нь: - таарахгүй, цаашаа - гурваас бага, мөн хажуу тийшээ шүүрдээрэй, яах бол. Шалгаж үзье: - бас тохиромжгүй, учир нь... энэ нь гурваас илүү юм. Энэ нь сөрөг тоотой ижил түүх юм. Тэгэхээр бид одоо яах ёстой вэ? Хайлт үнэхээр бидэнд юу ч өгсөнгүй гэж үү? Огт үгүй ​​ээ, одоо бид хариулт нь ба хооронд, мөн хоёрын хооронд ямар нэгэн тоо байх болно гэдгийг баттай мэдэж байна. Мөн шийдлүүд нь бүхэл тоо биш нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна тэд оновчтой биш юм. Тэгэхээр, дараа нь юу вэ? Функцийн графикийг зурж, түүн дээр шийдлүүдийг тэмдэглэе.

Системийг хуурч, тооцоолуур ашиглан хариултыг авахыг хичээцгээе! Үүний үндсийг гаргацгаая! Өө-өө-өө, тэгж л болж байна. Энэ тоо хэзээ ч дуусахгүй. Шалгалтанд тооны машин байхгүй болохоор та үүнийг яаж санаж чадаж байна аа!? Бүх зүйл маш энгийн, та үүнийг цээжлэх шаардлагагүй, санах хэрэгтэй (эсвэл хурдан ойлгох боломжтой) ойролцоо утга. мөн өөрсдөө аль хэдийн хариулдаг. Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг; ийм тооны бичвэрийг хялбарчлахын тулд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Үүнийг бататгахын тулд өөр нэг жишээг авч үзье. Дараах бодлогыг авч үзье: тал нь км диагональтай дөрвөлжин талбайг гатлах хэрэгтэй, та хэдэн км явах ёстой вэ?

Энд хамгийн ойлгомжтой зүйл бол гурвалжинг тусад нь авч үзэх ба Пифагорын теоремыг ашиглах явдал юм: . Ийнхүү, . Тэгэхээр энд ямар зай шаардлагатай вэ? Мэдээжийн хэрэг, зай нь сөрөг байж болохгүй, бид үүнийг ойлгодог. Хоёрын үндэс нь ойролцоогоор тэнцүү, гэхдээ бид өмнө нь тэмдэглэснээр - аль хэдийн бүрэн хариулт юм.

Асуудал үүсгэхгүйгээр үндэстэй жишээг шийдэхийн тулд та тэдгээрийг харж, таних хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та хамгийн багадаа тоонуудын квадратыг мэдэж байх ёстой, мөн тэдгээрийг таних чадвартай байх хэрэгтэй. Жишээлбэл, та квадраттай юу тэнцүү болохыг, мөн эсрэгээр нь квадраттай юу тэнцүү болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Та квадрат язгуур гэж юу болохыг ойлгосон уу? Дараа нь зарим жишээг шийд.

Жишээ.

За, яаж бүтсэн бэ? Одоо эдгээр жишээнүүдийг харцгаая:

Хариултууд:

Шоо үндэс

За, бид квадрат язгуурын тухай ойлголтыг цэгцэлсэн бололтой, одоо шоо язгуур гэж юу болох, тэдгээрийн ялгаа нь юу болохыг олж мэдье.

Тооны шоо язгуур нь шоо нь тэнцүү тоо юм. Энд бүх зүйл илүү хялбар болохыг та анзаарсан уу? Үүнд ямар ч хязгаарлалт байхгүй боломжит утгуудшоо язгуур тэмдгийн доорх утгууд болон гаргаж авсан тоо хоёулаа. Өөрөөр хэлбэл, куб үндэсийг дурын тооноос гаргаж авч болно: .

Шоо язгуур гэж юу болох, яаж гаргаж авахыг та ойлгож байна уу? Дараа нь үргэлжлүүлж, жишээнүүдээ шийдээрэй.

Жишээ.

Хариултууд:

Үндэс - өө градус

За бид дөрвөлжин ба шоо язгуурын ойлголтыг ойлгосон. Одоо ухагдахуунаар олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэж үзье 1-р үндэс.

1-р үндэстооны нь 0-р зэрэгтэй тэнцүү тоо юм, өөрөөр хэлбэл.

тэнцүү.

Хэрэв - бүр, Тэр нь:

• сөрөг хамт, илэрхийлэл нь утгагүй байна (сөрөг тооны язгуурууд арилгах боломжгүй!);
• сөрөг бус хувьд() илэрхийлэл нь сөрөг биш нэг үндэстэй.

Хэрэв - сондгой бол илэрхийлэл нь ямар ч өвөрмөц үндэстэй байна.

Санаа зоволтгүй, дөрвөлжин ба шоо үндэстэй адил зарчмууд энд үйлчилнэ. Өөрөөр хэлбэл, квадрат язгуурыг авч үзэхдээ бидний хэрэглэж байсан зарчмууд тэгш хэмтэй бүх язгуурт хүрдэг.

Мөн шоо үндэст ашигласан шинж чанарууд нь сондгой зэрэглэлийн үндэст хамаарна.

За, илүү тодорхой болсон уу? Жишээнүүдийг харцгаая:

Энд бүх зүйл тодорхой байна: эхлээд бид харж байна - тийм ээ, зэрэг нь тэгш, язгуур доорх тоо эерэг байна, энэ нь бидний даалгавар бол дөрөв дэх хүчийг бидэнд өгөх тоог олох явдал юм. За ямар нэгэн таамаг байна уу? Магадгүй,? Яг!

Тэгэхээр зэрэг нь тэнцүү - сондгой, язгуур доорх тоо сөрөг байна. Бидний даалгавар бол хүчирхэг болоход хүргэдэг тоог олох явдал юм. Үндэсийг шууд анзаарах нь нэлээд хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч та хайлтаа тэр даруй нарийсгаж чадна, тийм үү? Нэгдүгээрт, шаардлагатай тоо нь мэдээж сөрөг, хоёрдугаарт, энэ нь сондгой, тиймээс хүссэн тоо сондгой байгааг анзаарч болно. Үндэсийг нь олохыг хичээ. Мэдээжийн хэрэг та үүнийг аюулгүйгээр үгүйсгэж болно. Магадгүй,?

Тийм ээ, энэ бол бидний хайж байсан зүйл юм! Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид градусын шинж чанарыг ашигласан болохыг анхаарна уу: .

Үндэсний үндсэн шинж чанарууд

Энэ нь тодорхой байна? Хэрэв тийм биш бол жишээнүүдийг харсны дараа бүх зүйл байрандаа орох ёстой.

Үндэс үржүүлэх

Үндэсийг хэрхэн үржүүлэх вэ? Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн энгийн өмч нь энэ асуултад хариулахад тусална.

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

Үүссэн тоонуудын үндсийг яг гаргаагүй байна уу? Ямар ч асуудалгүй - энд хэдэн жишээ байна:

Хэрэв хоёр биш, харин олон үржүүлэгч байвал яах вэ? Үүнтэй адил! Үндэсийг үржүүлэх томъёо нь хэд хэдэн хүчин зүйлтэй ажилладаг:

Үүнийг бид юу хийж чадах вэ? Мэдээжийн хэрэг, гурвыг язгуурын дор нууж, гурвыг дөрвөлжин язгуур гэдгийг санаарай!

Энэ яагаад бидэнд хэрэгтэй байна вэ? Тийм ээ, жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ өөрсдийн чадавхийг өргөжүүлэхийн тулд:

Үндэсний энэ өмч танд хэр таалагдаж байна вэ? Энэ нь амьдралыг илүү хялбар болгодог уу? Миний хувьд энэ нь яг зөв юм! Та зүгээр л үүнийг санах хэрэгтэй Бид тэгш хэмийн язгуур тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоог оруулж болно.

Энэ нь өөр хаана хэрэгтэй болохыг харцгаая. Жишээлбэл, асуудал нь хоёр тоог харьцуулахыг шаарддаг:

Илүү их:

Та шууд хэлж чадахгүй. За ингээд язгуур тэмдгийн доор тоо оруулах задалсан шинж чанарыг ашиглая? Дараа нь цааш яв:

За яахав, мэдэж байгаа байх илүү их тооязгуурын тэмдгийн дор үндэс нь өөрөө том болно! Тэдгээр. хэрэв, тэгвэл, . Эндээс бид баттай дүгнэлт хийж байна. Хэн ч биднийг өөрөөр итгүүлэхгүй!

Үүнээс өмнө бид язгуурын тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулсан боловч үүнийг хэрхэн арилгах вэ? Та үүнийг хүчин зүйл болгон тооцож, гаргаж авсан зүйлээ гаргаж авах хэрэгтэй!

Энэ нь өөр замаар явж, бусад хүчин зүйлүүд рүү тэлэх боломжтой байсан:

Муу биш, тийм үү? Эдгээр аргуудын аль нэг нь зөв тул та хүссэнээрээ шийдээрэй.

Жишээлбэл, энд нэг илэрхийлэл байна:

Энэ жишээнд зэрэг нь тэгш байна, гэхдээ сондгой байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд, хүч чадлын шинж чанаруудыг хэрэглэж, бүх зүйлийг хүчин зүйлд оруулаарай:

Эндээс бүх зүйл тодорхой харагдаж байна, гэхдээ тооны үндсийг хэрхэн зэрэгт гаргаж авах вэ? Жишээлбэл, энэ нь:

Маш энгийн, тийм үү? Хэрэв зэрэг нь хоёроос дээш байвал яах вэ? Бид градусын шинж чанарыг ашиглан ижил логикийг баримталдаг.

За, бүх зүйл тодорхой байна уу? Тэгвэл энд нэг жишээ байна:

Эдгээр нь тэдний тухай бэрхшээлүүд юм үргэлж санаж байх нь зүйтэй. Энэ нь үл хөдлөх хөрөнгийн жишээн дээр тусгагдсан болно:

Энэ нь тодорхой байна? Жишээнүүдийг ашиглан бататгах:

Тийм ээ, бид язгуур нь тэгш, язгуурын сөрөг тоо нь тэгш зэрэгтэй байгааг харж байна. За, энэ нь адилхан болж байна уу? Энд юу вэ:

Тэгээд л болоо! Одоо энд хэдэн жишээ байна:

Авчихсан? Дараа нь үргэлжлүүлж, жишээнүүдээ шийдээрэй.

Жишээ.

Хариултууд.

Хэрэв та хариулт авсан бол сэтгэл санаагаа тайван байлгаж болно. Хэрэв үгүй ​​бол эдгээр жишээнүүдийг ойлгоцгооё.

Үндэсний өөр хоёр шинж чанарыг харцгаая.

Эдгээр шинж чанаруудыг жишээн дээр шинжлэх ёстой. За, энийг хийцгээе?

Авчихсан? Үүнийг аюулгүй болгоё.

Жишээ.

Хариултууд.

ҮНДЭС, ТЭДНИЙ ӨНДӨР ШИНЖ. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Арифметик квадрат язгуур

Тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй: ба. Эдгээр нь квадрат нь тэнцүү тоонууд юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье. Үүнийг графикаар шийдье. Функцийн график болон түвшний шугамыг зуръя. Эдгээр шугамын огтлолцлын цэгүүд нь шийдэл байх болно. Энэ тэгшитгэл нь нэг эерэг, нөгөө нь сөрөг гэсэн хоёр шийдэлтэй болохыг бид харж байна.

Гэхдээ дотор энэ тохиолдолдшийдлүүд нь бүхэл тоо биш юм. Түүнээс гадна тэд оновчтой биш юм. Эдгээрийг бичихийн тулд үндэслэлгүй шийдвэрүүд, бид тусгай квадрат язгуур тэмдгийг танилцуулж байна.

Арифметик квадрат язгуурквадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм. Илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй үед, учир нь Квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү тоо байхгүй.

Квадрат язгуур: .

Жишээлбэл, . Тэгээд үүнийг дагадаг эсвэл.

Таны анхаарлыг дахин хандуулъя, энэ бол маш чухал юм: Квадрат язгуур нь үргэлж сөрөг биш тоо байдаг: !

Шоо үндэстоо нь шоо нь тэнцүү тоо юм. Шоо язгуур нь хүн бүрийн хувьд тодорхойлогддог. Үүнийг дурын тооноос гаргаж авч болно: . Бидний харж байгаагаар энэ нь бас сөрөг утгыг авч болно.

Тооны 3-р үндэс нь 0-р зэрэгтэй тэнцүү тоо юм, өөрөөр хэлбэл.

Хэрэв энэ нь тэгш байвал:

• хэрэв, a-ийн 3-р үндэс тодорхойгүй байна.
• Хэрэв тэгшитгэлийн сөрөг бус язгуурыг 3-р зэргийн арифметик язгуур гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

Хэрэв - сондгой бол тэгшитгэл нь ямар ч өвөрмөц үндэстэй байна.

Үндэс тэмдгийн зүүн талд бид түүний зэрэглэлийг бичдэг болохыг та анзаарсан уу? Гэхдээ квадрат язгуурын хувьд биш! Хэрэв та зэрэггүй язгуурыг харвал энэ нь дөрвөлжин (градус) гэсэн үг юм.

Жишээ.

Үндэсний үндсэн шинж чанарууд

ҮНДЭС, ТЭДНИЙ ӨНДӨР ШИНЖ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат язгуур (арифметик язгуур)сөрөг бус тооноос үүнийг гэж нэрлэдэг квадрат нь сөрөг бус тоо

Үндэсний шинж чанарууд:

Хоёрдугаар зэргийн арифметик үндэс

Тодорхойлолт 1

$a$-ын хоёр дахь үндэс (эсвэл квадрат язгуур).квадрат нь $a$-тай тэнцэх тоог дууд.

Жишээ 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, энэ нь $7$ тоо нь $49$ тооны 2-р үндэс гэсэн үг;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, энэ нь $0.9$ тоо нь $0.81$ тооны 2-р үндэс гэсэн үг;

$1^2=1 \cdot 1=1$ бөгөөд энэ нь $1$ тоо нь $1$ тооны 2-р үндэс юм.

Тайлбар 2

Энгийнээр хэлбэл, дурын тооны $a

Сөрөг $a$ бол $a=b^2$ буруу, учир нь $a=b^2$ ямар ч $b$ утгын хувьд сөрөг байж болохгүй.

гэж дүгнэж болно бодит тоонуудын хувьд сөрөг тооны 2-р үндэс байж болохгүй.

Тайлбар 3

Учир нь $0^2=0 \cdot 0=0$, тэгвэл тодорхойлолтоос тэг нь тэгийн 2-р үндэс болно.

Тодорхойлолт 2

$a$ тооны 2-р зэргийн арифметик язгуур($a \ge 0$) нь сөрөг бус тоо бөгөөд квадрат нь $a$-тай тэнцүү байна.

2-р зэргийн үндсийг бас нэрлэдэг квадрат үндэс.

$a$ тооны 2-р зэргийн арифметик язгуурыг $\sqrt(a)$ гэж тэмдэглэсэн эсвэл $\sqrt(a)$ тэмдэглэгээг харж болно. Гэхдээ ихэнхдээ квадрат язгуурын хувьд $2$ тоо байдаг язгуур илтгэгч- тодорхойлоогүй. “$\sqrt( )$” тэмдэг нь 2-р зэргийн арифметик язгуурын тэмдэг бөгөөд үүнийг мөн “ радикал шинж тэмдэг" "Үндэс" ба "радикал" гэсэн ойлголтууд нь ижил объектын нэр юм.

Хэрэв арифметик язгуур тэмдгийн дор тоо байгаа бол түүнийг дуудна радикал тоо, хэрэв илэрхийлэл байвал - радикал илэрхийлэл.

$\sqrt(8)$ оруулгыг "наймын 2-р зэргийн арифметик язгуур" гэж уншдаг бөгөөд "арифметик" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаггүй.

Тодорхойлолт 3

Тодорхойлолтын дагуу 2-р зэргийн арифметик үндэсбичиж болно:

Аливаа $a \ge 0$-ын хувьд:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Бид хоёр дахь язгуур болон арифметик хоёр дахь язгуурын ялгааг харуулсан. Цаашид бид зөвхөн сөрөг бус тоо, илэрхийллийн үндэсийг авч үзэх болно, жишээлбэл. зөвхөн арифметик.

Гурав дахь зэрэглэлийн арифметик үндэс

Тодорхойлолт 4

$a$ тооны 3-р зэргийн (эсвэл шоо язгуур) арифметик язгуур($a \ge 0$) нь шоо болгон хуваахад $a$-тай тэнцэх сөрөг бус тоо юм.

Ихэнхдээ арифметик гэдэг үгийг орхигдуулдаг бөгөөд тэд "$a$ тооны 3-р үндэс" гэж хэлдэг.

$a$-ын 3-р зэргийн арифметик язгуурыг $\sqrt(a)$, “$\sqrt( )$” тэмдэг нь 3-р зэргийн арифметик язгуурын тэмдэг, 3-р зэргийн арифметик язгуурыг $3$ гэж тэмдэглэнэ. энэ тэмдэглэгээг нэрлэдэг үндсэн индекс. Үндэс тэмдгийн доор гарч буй тоо буюу илэрхийллийг дуудна радикал.

Жишээ 2

$\sqrt(3,5)$ – 3-р зэргийн арифметик язгуур $3.5$ эсвэл шоо язгуур $3.5$;

$\sqrt(x+5)$ – $x+5$-ын 3-р зэргийн арифметик язгуур эсвэл $x+5$-ын шоо язгуур.

Арифметик n-р үндэс

Тодорхойлолт 5

Арифметик n-р үндэсградус$a \ge 0$ тооноос сөрөг бус тоо дуудагддаг бөгөөд үүнийг $n$-р зэрэглэл рүү өсгөхөд $a$-тай тэнцүү болно.

$n$-ийн $a \ge 0$ зэрэглэлийн арифметик язгуурын тэмдэглэгээ:

$a$ нь радикал тоо эсвэл илэрхийлэл,

Сөрөг бус тооны n-р зэргийн арифметик үндэс нь сөрөг бус тоо юм. n-р зэрэгтэнцүү байна:

Үндэсний хүч нь 1-ээс их натурал тоо юм.

3.

4.

Онцгой тохиолдлууд:

1. Хэрэв язгуур илтгэгч бүхэл тоо биш бол тэгш тоо (), тэгвэл радикал илэрхийлэл сөрөг байж болно.

Сондгой илтгэгчийн хувьд тэгшитгэлямар ч бодит утга ба бүхэл тооны хувьд ҮРГЭЛЖ нэг үндэстэй:

Сондгой зэрэглэлийн язгуурын хувьд дараах таних тэмдэг хамаарна.

,

2. Хэрэв язгуур илтгэгч тэгш бүхэл тоо бол (), тэгвэл радикал илэрхийлэл сөрөг байж болохгүй.

Тэгш илтгэгчийн хувьд тэгшитгэл.Байгаа

цагт нэг үндэс

мөн хэрэв ба

Тэгш зэрэгтэй язгуурын хувьд дараах таних тэмдэг хамаарна.

Тэгш зэрэгтэй язгуурын хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн байна.:

Эрчим хүчний функц, түүний шинж чанар, график.

Эрчим хүчний функц ба түүний шинж чанарууд.

Байгалийн илтгэгчтэй чадлын функц. n нь натурал тоо болох y = x n функцийг натурал илтгэгчтэй чадлын функц гэнэ. n = 1-ийн хувьд бид y = x функцийг олж авна, түүний шинж чанарууд:

Шууд пропорциональ байдал. Шууд пропорциональ нь функц юм томъёогоор өгөгдсөн y = kx n, k тоог пропорциональ коэффициент гэж нэрлэдэг.

y = kx функцийн шинж чанаруудыг жагсаацгаая.

Функцийн домэйн нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм.

y = kx - Үгүй жигд функц(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) k > 0-ийн хувьд функц нэмэгдэх ба k-ийн хувьд< 0 убывает на всей числовой прямой.

Графикийг (шулуун шугам) II.1-д үзүүлэв.

Цагаан будаа. II.1.

n=2 үед y = x 2 функцийг авна, түүний шинж чанарууд:

y -x 2 функц. y = x 2 функцийн шинж чанарыг жагсаацгаая.

y = x 2 - тэгш функц (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Функц нь интервалаар буурдаг.

Үнэн хэрэгтээ хэрэв , тэгвэл - x 1 > - x 2 > 0, тиймээс

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, өөрөөр хэлбэл, функц буурч байна гэсэн үг.

y=x2 функцийн график нь парабол юм. Энэ графикийг Зураг II.2-т үзүүлэв.

Цагаан будаа. II.2.

n = 3 үед бид y = x 3 функцийг олж авна, түүний шинж чанарууд:

Функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл тооны шугам юм.

y = x 3 - сондгой функц (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) y = x 3 функц нь бүх тооны шугамын дагуу нэмэгддэг. y = x 3 функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. Үүнийг куб парабола гэж нэрлэдэг.

Графикийг (куб парабол) II.3-т үзүүлэв.

Цагаан будаа. II.3.

n нь хоёроос их дурын бүр натурал тоо байг:

n = 4, 6, 8,... . Энэ тохиолдолд y = x n функц нь у = x 2 функцтэй ижил шинж чанартай байна. Ийм функцийн график нь y = x 2 параболыг санагдуулна, зөвхөн |n|-ийн графын салбарууд л байна. >1 тэд дээшээ эгц байх тусам n том байх тусам x тэнхлэгт “дарагдсан” байх тусам n их байна.

n нь гурваас их дурын сондгой тоо байг: n = = 5, 7, 9, ... . Энэ тохиолдолд y = x n функц нь у = x 3 функцтэй ижил шинж чанартай байна. Ийм функцийн график нь куб параболыг санагдуулам (зөвхөн графын салбарууд дээш доош эгц байх тусам n нь том байна. Мөн (0; 1) интервалд y = x n чадлын функцийн график хөдөлж байгааг анхаарна уу. x тэнхлэгээс холдох тусам х нэмэгдэх тусам n-ээс их байх болно.

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц. n нь натурал тоо болох y = x - n функцийг авч үзье. n = 1 үед бид y = x - n эсвэл y = Энэ функцийн шинж чанаруудыг авна.

Графикийг (гипербол) II.4-т үзүүлэв.