Иррационал тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1.1 Иррационал тэгшитгэл

Иррационал тэгшитгэлүүд ихэвчлэн олддог элсэлтийн шалгалтуудматематикийн хувьд, учир нь тэдний тусламжтайгаар ийм ойлголтын талаархи мэдлэгийг оношлоход хялбар байдаг эквивалент хувиргалт, тодорхойлолтын домэйн болон бусад. Шийдлийн аргууд иррационал тэгшитгэлүүд, дүрмээр бол орлуулах боломж дээр суурилдаг (зарим хувиргалтыг ашиглан) ir рационал тэгшитгэлрациональ, энэ нь анхны иррационал тэгшитгэлтэй тэнцэх эсвэл түүний үр дагавар юм. Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр тал ижил хүч хүртэл нэмэгддэг. Хоёр хэсгийг хоёуланг нь суулгасан тохиолдолд тэнцүү байдал зөрчигддөггүй сондгой зэрэг. Үгүй бол олсон шийдлүүдийг шалгах эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талын тэмдгийг үнэлэх шаардлагатай. Гэхдээ иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд илүү үр дүнтэй байж болох өөр аргууд байдаг. Жишээлбэл, арга тригонометрийн орлуулалт.

Жишээ 1: Тэгшитгэлийг шийд

Түүнээс хойш. Тиймээс бид тавьж болно . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгвэл хаана тавья

.

.

Хариулт: .

Алгебрийн шийдэл

Түүнээс хойш . гэсэн үг, , ингэснээр та модулийг өргөжүүлэх боломжтой

.

Хариулт: .

Тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар шийдвэрлэхийн тулд таних шинж чанарыг хувиргах, түүнтэй адилтгах шилжилтийг чадварлаг зохицуулах сайн ур чадвар шаардагдана. Гэхдээ ерөнхийдөө шийдвэрийн хоёр арга нь тэнцүү юм.

Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг тэгш бус байдлаар өгсөн бөгөөд энэ нь нөхцөлтэй тэнцүү байна. Тиймээс та тавьж болно. Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Түүнээс хойш. Дотоод модулийг нээцгээе

тавья , Дараа нь

.

Нөхцөлийг хоёр утга хангасан ба .

.

.

Хариулт: .

Алгебрийн шийдэл

.

Популяцийн эхний системийн тэгшитгэлийг квадрат болгож, олж авцгаая

Тэгвэл байг. Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ

Шалгаснаар бид язгуур болохыг тогтоож, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах замаар тэгшитгэлийн баруун талын хүчин зүйлийн задралыг олж авна.

Хувьсагчаас хувьсагч руу шилжье, бид олж авна

.

Нөхцөл байдал хоёр утгыг хангана

.

Эдгээр утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэ нь үндэс болохыг олж мэднэ.

Анхны олонлогийн хоёр дахь системийн тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийдэж, энэ нь бас үндэс болохыг олж мэднэ.

Хариулт: .

Хэрэв өмнөх жишээнд алгебрийн шийдэл ба тригонометрийн орлуулалттай шийдэл нь тэнцүү байсан бол энэ тохиолдолдорлуулах замаар шийдэх нь илүү ашигтай. Алгебр ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхдээ хоёр тэгшитгэлийн багцыг, өөрөөр хэлбэл хоёр удаа квадрат болгох хэрэгтэй. Энэхүү тэгш бус хувирлын дараа бид орлуулах замаар арилгаж болох иррациональ коэффициент бүхий дөрөвдүгээр зэргийн хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг. Өөр нэг бэрхшээл бол олсон шийдлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах явдал юм.

Жишээ 3: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Түүнээс хойш. Үл мэдэгдэх сөрөг утга нь асуудлын шийдэл болж чадахгүй гэдгийг анхаарна уу. Үнэхээр анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье

.

Тэгшитгэлийн зүүн талын хаалтанд байгаа хүчин зүйл эерэг, баруун тал нь эерэг байх тул тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл сөрөг байж болохгүй. Тийм учраас, дараа нь, яагаад та тавьж болно Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно

Түүнээс хойш, тэр цагаас хойш болон . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Let . Тэгшитгэлээс эквивалент систем рүү шилжье

.

Тоо бол үндэс юм квадрат тэгшитгэл

.

Алгебрийн шийдэл Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё

Сэлгээг танилцуулъя , дараа нь тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Хоёр дахь үндэс нь илүүц тул тэгшитгэлийг анхаарч үзээрэй

.

Түүнээс хойш.

Энэ тохиолдолд алгебрийн шийдэл нь техникийн хувьдилүү хялбар боловч тригонометрийн орлуулалт ашиглан өгөгдсөн шийдлийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ нь нэгдүгээрт, орлуулалтын стандарт бус шинж чанараас үүдэлтэй бөгөөд энэ нь тригонометрийн орлуулалтыг зөвхөн тухайн үед л ашиглах боломжтой гэсэн хэвшмэл ойлголтыг устгадаг. Тригонометрийн орлуулалт нь бас хэрэглэгдэхүүнийг олж авдаг. Хоёрдугаарт, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг , энэ нь тэгшитгэлийн системд орлуулалтыг нэвтрүүлэх замаар багасгасан. Тодорхой утгаараа энэхүү орлуулалтыг стандарт бус гэж үзэж болох бөгөөд үүнтэй танилцах нь асуудлыг шийдвэрлэх арга техник, арсеналыг баяжуулах боломжийг олгодог. тригонометрийн тэгшитгэл.

Жишээ 4: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Хувьсагч нь ямар ч бодит утгыг авч чаддаг тул бид тавьдаг . Дараа нь

,

Учир нь .

Хийсэн өөрчлөлтийг харгалзан анхны тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Нэгэнт тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваасан тул бид олж авна

Болъё , Дараа нь . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

.

Сэлгээг өгсөн , бид хоёр тэгшитгэлийн багцыг олж авна

.

Олонлогийн тэгшитгэл бүрийг тусад нь шийдье.

.

Аргументийн аль ч утгын хувьд синус утга байж болохгүй.

.

Учир нь ба анхны тэгшитгэлийн баруун тал эерэг байвал . Үүнээс үүдэн гарах юм .

Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул .

Тэгэхээр анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай

.

Алгебрийн шийдэл

Энэ тэгшитгэлАнхны тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор наймдугаар зэргийн рационал тэгшитгэлд амархан “хувиргаж” болно. Үүссэн оновчтой тэгшитгэлийн үндсийг олох нь хэцүү бөгөөд заавал байх ёстой өндөр зэрэгтэйдаалгаврыг даван туулах авъяас чадвар. Тиймээс уламжлалт бус асуудлыг шийдэх өөр аргыг мэдэхийг зөвлөж байна. Жишээлбэл, I. F. Sharygin-ийн санал болгосон орлуулалт.

тавья , Дараа нь

Тэгшитгэлийн баруун талыг хувиргацгаая :

Өөрчлөлтүүдийг харгалзан тэгшитгэл хэлбэрийг авна

.

Тэгвэл орлуулалтыг танилцуулъя

.

Хоёр дахь үндэс нь илүүц, тиймээс, мөн .

Хэрэв тэгшитгэлийг шийдэх санаа нь урьдчилан мэдэгдээгүй бол , тэгвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар стандарт шийдийг шийдэх нь асуудалтай, учир нь үр дүн нь үндсийг нь олоход маш хэцүү найм дахь зэрэгтэй тэгшитгэл юм. Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл нь төвөгтэй харагдаж байна. Хэрэв та тэгшитгэл нь харилцан адилгүй байгааг анзаарахгүй бол түүний үндсийг олоход хэцүү байж болно. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь алгебрийн төхөөрөмжийг ашиглан хийгддэг тул санал болгож буй шийдлийг хосолсон гэж хэлж болно. Үүнд алгебр, тригонометрийн мэдээлэл нь нэг зорилгын төлөө ажилладаг - шийдлийг олж авах. Түүнчлэн, энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр тохиолдлыг анхааралтай авч үзэх шаардлагатай. Орлуулах шийдэл нь тригонометрийн орлуулалтыг ашиглахаас техникийн хувьд илүү энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй юм. Оюутнууд орлуулалтын энэ аргыг мэдэж, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахыг зөвлөж байна.

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах нь ухамсартай, үндэслэлтэй байх ёстой гэдгийг бид онцолж байна. Өөр аргаар шийдэх нь илүү хэцүү эсвэл бүрэн боломжгүй тохиолдолд орлуулах аргыг ашиглахыг зөвлөж байна. Өмнөхөөсөө ялгаатай нь стандарт аргыг ашиглан илүү хялбар бөгөөд хурдан шийдэж болох өөр нэг жишээг хэлье.

Бодит тоо. Ойролцоо бодит тооТөгсгөлийн аравтын бутархай.

Бодит эсвэл бодит тоо - математикийн хийсвэрлэл, энэ нь геометрийн хэмжилт хийх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй ба физик хэмжигдэхүүнүүдхүрээлэн буй ертөнц, түүнчлэн үндсийг гаргаж авах, логарифм тооцоолох, алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зэрэг үйлдлүүдийг хийх. Хэрэв натурал тоонуудтоолох явцад үүссэн, оновчтой тоонууд - бүхэл хэсгүүдтэй ажиллах хэрэгцээ шаардлагаас эхлээд бодит тоонуудыг хэмжихэд зориулагдсан болно. тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд. Тиймээс авч үзэж буй тоонуудын нөөцийг өргөжүүлснээр бодит тоонуудын багц бий болсон бөгөөд үүнд оновчтой тооноос гадна бусад элементүүдийг багтаасан болно. иррационал тоо .

Үнэмлэхүй алдаа ба түүний хязгаар.

Зарим тоон утгатай байг, мөн тоон утга, түүнд оноосон байна, үнэн зөв гэж үздэг, дараа нь дор ойролцоо утгын алдаа тоон утга (алдаа) тоон утгын яг ба ойролцоо утгын ялгааг ойлгох: . Алдаа нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болно. Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг мэдэгдэж байгаа ойролцоотоон хэмжигдэхүүний яг тодорхой утгад - оронд нь ашигласан дурын тоо яг үнэ цэнэ. Алдааны хамгийн энгийн тоон хэмжүүр бол үнэмлэхүй алдаа юм. Үнэмлэхүй алдаа Ойролцоо утга гэдэг нь мэдэгдэж байгаа хэмжигдэхүүн юм: Харьцангуй алдаа ба түүний хязгаар.

Ойролцоогоор чанар нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэмжилтийн нэгж, хэмжигдэхүүний масштабаас ихээхэн хамаардаг тул харьцангуй алдааны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн хэмжигдэхүүний алдаа ба түүний утгыг хооронд нь уялдуулахыг зөвлөж байна. Харьцангуй алдааОйролцоо утга гэдэг нь дараахь зүйлийг мэддэг хэмжигдэхүүн юм. . Харьцангуй алдааг ихэвчлэн хувиар илэрхийлдэг. Харьцангуй алдааг ашиглах нь ялангуяа хэмжигдэхүүн ба хэмжигдэхүүний нэгжээс хамаардаггүй тул тохиромжтой байдаг.

Иррационал тэгшитгэл

Үндэс тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг иррациональ гэнэ. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үр дүнгийн шийдлүүд нь баталгаажуулалтыг шаарддаг, учир нь жишээлбэл, квадрат болгох үед буруу тэгш байдал нь зөв тэгш байдлыг өгч чаддаг. Үнэн хэрэгтээ, квадрат нь буруу тэгшитгэл нь зөв тэгшитгэлийг өгдөг 1 2 = (-1) 2, 1=1. Заримдаа эквивалент шилжилтийг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё; Өөрчлөлтийн дараа бид квадрат тэгшитгэлд хүрнэ; тэгээд орлуулъя.

Нарийн төвөгтэй тоо. Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Цогцолбор тоонууд нь бодит тооны олонлогийн өргөтгөл бөгөөд ихэвчлэн -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Аливаа цогцолбор тоог албан ёсны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно x + iy, Хаана xТэгээд y- бодит тоо, би - төсөөллийн нэгжЦогцолбор тоо нь алгебрийн хувьд хаалттай талбар үүсгэдэг - энэ нь градусын олон гишүүнт гэсэн үг юм nнарийн төвөгтэй коэффициентүүдтэй яг ижил байна n нарийн төвөгтэй үндэс, өөрөөр хэлбэл алгебрийн үндсэн теорем үнэн. Энэ нь түүнийг өргөнөөр ашиглах гол шалтгаануудын нэг юм нийлмэл тооВ математикийн судалгаа. Нэмж дурдахад, нийлмэл тоонуудын хэрэглээ нь олон тооны эвтэйхэн, нягт томъёолох боломжийг бидэнд олгодог математик загварууд,-д ашигласан математик физикболон дотор байгалийн шинжлэх ухаан- цахилгаан инженерчлэл, гидродинамик, зураг зүй, квант механик, хэлбэлзлийн онол болон бусад олон.

Харьцуулалт а + би = в + дигэсэн үг а = вТэгээд б = г(хоёр нийлмэл тоо нь зөвхөн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү байх тохиолдолд тэнцүү байна).

Нэмэлт ( а + би) + (в + ди) = (а + в) + (б + г) би .

Хасах ( а + би) − (в + ди) = (а − в) + (б − г) би .

Үржүүлэх

Тоон функц. Функцийг тодорхойлох аргууд

Математикийн хувьд тоон функцнь тодорхойлолт ба утгын домайн нь дэд олонлогууд байдаг функц юм тооны багц- ихэвчлэн бодит тоо эсвэл цогц тоонуудын багц.

Амаар: хамт байгалийн хэлИгрек тэнцүү байна бүхэл хэсэг x-ээс. Аналитик: Ашиглах аналитик томъёо е (x) = x !

График График ашиглах Функцийн графикийн фрагмент.

Хүснэгт: Утгын хүснэгт ашиглах

Функцийн үндсэн шинж чанарууд

1) Функцийн домэйн ба функцийн хүрээ . Функцийн домэйн x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.

Функцийн хүрээ y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг. IN анхан шатны математикфункцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.2 ) Тэг функц) Функцийн монотон байдал . Функцийг нэмэгдүүлэх Буурах функц . Тэр ч байтугай функц X f(-x) = f(x). Хачирхалтай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц X f (-x) = - f (x. Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал хязгааргүй .7) Функцийн үечлэл. f(x) функц - үе үе функцийн хугацаа

Функцийн графикууд. Функцийг ашиглан графикийн хамгийн энгийн хувиргалт

Функцийн график- абсцисс нь хүчинтэй аргументын утгууд болох цэгүүдийн багц x, ординатууд нь функцийн харгалзах утгууд юм y .

Шулуун шугам- хуваарь шугаман функц у = сүх + б. y функц a > 0 үед нэг хэвийн өсөж, а үед буурна< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола- функциональ график квадрат гурвалжин y = сүх 2 + bx + c. Байна босоо тэнхлэгтэгш хэм. Хэрэв a > 0 бол хамгийн бага нь a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения сүх 2 + bx +c =0

Гипербола- функцийн график. a > O үед I ба III хороололд байрлаж байхад a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) эсвэл y - x (a< 0).

Логарифм функц у = log a x(a > 0)

Тригонометрийн функцууд.Тригонометрийн функцийг бүтээхдээ бид ашигладаг радианөнцгийн хэмжүүр. Дараа нь функц y= нүгэл xграфикаар дүрслэгдсэн байна (Зураг 19). Энэ муруй гэж нэрлэдэг синусоид .

Функцийн график y= cos xЗурагт үзүүлэв. 20; Энэ нь мөн графикийг хөдөлгөсний үр дүнд үүссэн синус долгион юм y= нүгэл xтэнхлэгийн дагуу X/2 хүртэл зүүн.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд. Функцийн монотон байдал, тэгш байдал, сондгой байдал, үе үе.

Функцийн домэйн ба функцийн домэйн . Функцийн домэйнбүх хүчинтэй олонлог юм бодит үнэ цэнэмаргаан x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.

Функцийн хүрээбүх бодит утгуудын багц юм y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Анхан шатны математикт функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.2 ) Тэг функц- функцын утга тэг байх аргументийн утга.3 ) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд- функцын утгууд нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байх аргументуудын утгуудын багц.4 ) Функцийн монотон байдал .

Функцийг нэмэгдүүлэх(зарим интервалд) - функц илүү өндөр үнэ цэнээнэ интервалын аргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна.

Буурах функц(тодорхой интервалд) - энэ интервал дахь аргументийн том утга тохирох функц бага утгафункцууд.5 ) Тэгш (сондгой) функц . Тэр ч байтугай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц Xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(-x) = f(x).Хуваарь жигд функцординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй. Хачирхалтай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц Xтодорхойлолтын талбараас тэгш байдал нь үнэн юм f (-x) = - f (x). Хуваарь сондгой функцгарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй.6 ) Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд. Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв эерэг тоо M байвал |f (x) | x-ийн бүх утгын хувьд ≤ M. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц нь байна хязгааргүй .7) Функцийн үечлэл. f(x) функц - үе үе, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын х-ийн хувьд дараах утга баримтлах тэгээс өөр T тоо байвал: f (x+T) = f (x). Энэ хамгийн бага тоодуудсан функцийн хугацаа. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. (Тригонометрийн томъёо).

Тогтмол функцууд. Функцийн үндсэн үеийг олох дүрэм.

Тогтмол функц- тэг биш хугацааны дараа утгуудаа давтдаг функц, өөрөөр хэлбэл аргумент дээр тогтсон тэг биш тоо (үе) нэмэгдэхэд утгыг нь өөрчлөхгүй. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. Үнэнч бус байнахэмжээний талаархи мэдэгдэл үечилсэн функцууд: Харьцуулж болох (бүр үндсэн) үетэй 2 функцийн нийлбэр Т 1 ба Т 2 нь LCM үетэй функц ( Т 1 ,Т 2). Хэмжээгүй (бүр үндсэн) үетэй тасралтгүй 2 функцийн нийлбэр нь үечилсэн бус функц юм. Тогтмол функц байхгүй тогтмолтой тэнцүү, тэдгээрийн үе нь харьцуулашгүй тоо юм.

Хүчин чадлын функцүүдийн графикийг зурах.

Эрчим хүчний функц. Энэ функц нь: у = сүх n, Хаана a, n- байнгын. At n= 1 бид авна шууд пропорциональ байдал : y =сүх; цагт n = 2 - квадрат парабол ; цагт n = 1 - урвуу пропорциональ байдалэсвэл гипербол. Тиймээс эдгээр функцууд нь чадлын функцийн онцгой тохиолдол юм. Тэгээс бусад тооны тэг хүчин чадал нь 1 гэдгийг бид мэднэ, тиймээс хэзээ n= 0 чадлын функц болно тогтмол утга: y =а, өөрөөр хэлбэл түүний график нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм X, гарал үүслийг эс тооцвол (яагаадыг тайлбарлана уу?). Эдгээр бүх тохиолдлууд (хамт а= 1) 13-р зурагт үзүүлэв ( n 0) ба Зураг 14 ( n < 0). Сөрөг утгууд xҮүнээс хойш зарим функцийг энд оруулаагүй болно:

Урвуу функц

Урвуу функц- энэ функцээр илэрхийлсэн хамаарлыг буцаах функц. Дараах шинж чанарууд хангагдсан тохиолдолд функц нь функцээс урвуу болно: бүгдэд хүн бүрт

Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгаарлалтын үндсэн шинж чанарууд.

n-р үндэс ба түүний шинж чанарууд.

Тооны n-р язгуур нь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү тоо юм.

Тодорхойлолт: Арифметик үндэс a-ийн n-р зэрэг нь n-р зэрэг нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Үндэсний үндсэн шинж чанарууд:

Дурын бодит илтгэгчтэй хүч ба түүний шинж чанарууд.

Эерэг тоо ба дурын бодит тоог өгье. Тоо нь хүч гэж нэрлэгддэг, тоо нь чадлын суурь, тоо нь илтгэгч юм.

Тодорхойлолтоор тэд итгэдэг:

Хэрэв ба - эерэг тоонууд, мөн ямар ч бодит тоо байвал тэдгээр нь хүчинтэй байна дараах шинж чанарууд:

.

.

Хүчин чадлын функц, түүний шинж чанар, графикууд

Эрчим хүчний функццогц хувьсагч е (z) = z nбүхэл тоон үзүүлэлттэй нь бодит аргументийн ижил төстэй функцын аналитик үргэлжлэлийг ашиглан тодорхойлогддог. Энэ зорилгоор комплекс тоо бичих экспоненциал хэлбэрийг ашигладаг. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц нь бүтээгдэхүүн шиг бүхэл бүтэн цогц хавтгайд аналитик шинж чанартай байдаг хязгаарлагдмал тоотаних тэмдгийн зураглалын тохиолдлууд е (z) = z. Өвөрмөц байдлын теоремын дагуу эдгээр хоёр шалгуур нь үр дүнд бий болсон аналитик үргэлжлэлийг өвөрмөц болгоход хангалттай юм. Энэхүү тодорхойлолтыг ашиглан бид нийлмэл хувьсагчийн чадлын функц нь түүний бодит харьцуулагчаас мэдэгдэхүйц ялгаатай байна гэж шууд дүгнэж болно.

Энэ нь хэлбэрийн функц , . Дараах тохиолдлуудыг авч үзнэ.

A). Хэрэв, тэгвэл. Дараа нь , ; хэрэв тоо нь тэгш бол функц нь тэгш байна (өөрөөр хэлбэл хүн бүрийн өмнө); Хэрэв тоо сондгой бол функц нь сондгой байна (өөрөөр хэлбэл хүн бүрийн өмнө).

Экспоненциал функц, түүний шинж чанар, график

Экспоненциал функц - математик функц.

Бодит тохиолдолд зэрэглэлийн суурь нь зарим сөрөг биш юм бодит тоо, функцийн аргумент нь бодит илтгэгч юм.

Онолын хувьд нарийн төвөгтэй функцуудАргумент болон илтгэгч нь дурын комплекс тоо байж болох тохиолдолд илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үздэг.

Маш их ерөнхий үзэл - у v, 1695 онд Лейбниц танилцуулсан

Ялангуяа е тоо нь зэрэглэлийн суурь болж байгаа нь анхаарал татаж байна. Ийм функцийг экспоненциал (бодит эсвэл цогцолбор) гэж нэрлэдэг.

Properties ; ; .

Экспоненциал тэгшитгэл.

Экспоненциал тэгшитгэл рүү шууд шилжье. Шийдвэрлэхийн тулд экспоненциал тэгшитгэлДараах теоремыг ашиглах шаардлагатай: Хэрэв эрхүүд тэнцүү, суурь нь тэнцүү, эерэг ба нэгээс ялгаатай бол тэдгээрийн илтгэгч тэнцүү байна. Энэ теоремыг баталъя: a>1, a x =a y байг.

Энэ тохиолдолд x=y гэдгийг баталцгаая. Нотлох ёстой зүйлийн эсрэгээр төсөөлье, өөрөөр хэлбэл. x>y эсвэл тэр x гэж үзье<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ай. Эдгээр хоёр үр дүн нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс x = y, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Тодорхойлолт 1. Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр гэдэг нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр шугамын хэсэг бөгөөд түүний төгсгөлүүдийн аль нэг нь огтлолцох цэг дээр байна. Өгөгдсөн шулуун дээр байрлах сегментийн төгсгөлийг перпендикулярын суурь гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун хүртэл татсан налууг сегментийн холболт гэнэ энэ цэгНэг цэгээс өгөгдсөн шулуун руу унасан перпендикулярын суурь биш шулуун дээрх дурын цэгтэй. AB нь α хавтгайд перпендикуляр байна.

AC - ташуу, CB - төсөөлөл.

C нь налуугийн суурь, В нь перпендикуляр суурь юм.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөгШулуун шугам ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох аливаа өнцгийг гэнэ.

Хоёр талт өнцөг.

Хоёр талт өнцөг- орон зайн геометрийн дүрс, нэг шулуун шугамаас үүссэн хоёр хагас хавтгай, түүнчлэн эдгээр хагас хавтгайгаар хязгаарлагдсан орон зайн нэг хэсэг. Хагас онгоц гэж нэрлэдэг ирмэгүүдхоёр талт өнцөг ба тэдгээрийн нийтлэг шулуун шугам нь ирмэг. Хоёр талт өнцгийг хэмждэг шугаман өнцөг, өөрөөр хэлбэл хоёр өнцөгт өнцөг нь түүний ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайтай огтлолцоход үүссэн өнцөг. Тогтмол ба жигд бус, гүдгэр эсвэл хотгор олон өнцөгт бүр ирмэг бүр дээр хоёр талт өнцөгтэй байдаг.

Хоёр хавтгайн перпендикуляр байдал.

ОНГОЦНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЬ БАЙДЛЫН ТЭМДЭГ.

Хэрэв онгоц өөр хавтгайд перпендикуляр шугамаар дамжин өнгөрвөл эдгээр хавтгайнууд перпендикуляр байна.

Хотын боловсролын байгууллага

"Күедино 2-р дунд сургууль"

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Гүйцэтгэсэн: Ольга Егорова,

Удирдагч:

Багш аа

математик,

хамгийн өндөр мэргэшил

Танилцуулга....……………………………………………………………………………………… 3

Бүлэг 1. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга…………………………………6

1.1 С хэсгийн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх……….….….…………………21

2-р хэсэг. Хувь хүний ​​даалгавар…………………………………………….....………...24

Хариултууд………………………………………………………………………………………….25

Ашигласан материалын жагсаалт…….…………………………………………………………………….26

Танилцуулга

Математикийн боловсролыг онд авсан дунд сургууль, байна чухал бүрэлдэхүүн хэсэг ерөнхий боловсролТэгээд ерөнхий соёл орчин үеийн хүн. Орчин үеийн хүнийг хүрээлж буй бараг бүх зүйл математиктэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. А хамгийн сүүлийн үеийн ололт амжилтФизик, инженерчлэл, мэдээллийн технологийн чиглэлээр ирээдүйд байдал хэвээр байх болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Тиймээс олон хүний ​​шийдвэр практик асуудлуудшийдвэрт хүрдэг янз бүрийн төрөлшийдэж сурах хэрэгтэй тэгшитгэлүүд. Эдгээр төрлүүдийн нэг нь иррационал тэгшитгэл юм.

Иррационал тэгшитгэл

Үл мэдэгдэх (эсвэл оновчтой) агуулсан тэгшитгэл алгебрийн илэрхийлэлүл мэдэгдэх) радикал тэмдгийн дор, гэж нэрлэдэг иррационал тэгшитгэл. Анхан шатны математикийн хувьд иррационал тэгшитгэлийн шийдлийг бодит тооны олонлогоос олдог.

Аливаа иррационал тэгшитгэлийг энгийн алгебрийн үйлдлүүдийг (үржүүлэх, хуваах, тэгшитгэлийн хоёр талыг бүхэл тоо болгон өсгөх) ашиглан рационал алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Үүссэн рационал алгебрийн тэгшитгэл нь анхны иррационал тэгшитгэлтэй дүйцэхгүй, тухайлбал, анхны иррационал тэгшитгэлийн үндэс болохгүй "нэмэлт" язгууруудыг агуулж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс, үр дүнд нь оновчтой үндэслэлийг олсон алгебрийн тэгшитгэл, рационал тэгшитгэлийн бүх язгуурууд иррационал тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай.

IN ерөнхий тохиолдоланхны иррационал тэгшитгэлийг хувиргасны үр дүнд үр дүн нь зөвхөн зарим нэг рационал алгебрийн тэгшитгэл биш байх нь зүйтэй бөгөөд үүний үндэс нь үндэстэй байх нь зүйтэй тул аливаа иррационал тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн аргыг зааж өгөхөд хэцүү байдаг. өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлийн, гэхдээ аль болох бага олон гишүүнтээс үүссэн рационал алгебрийн тэгшитгэл. Рационал алгебрийн тэгшитгэлийн бүх язгуурыг өөрөө олох нь маш их байж болох тул аль болох бага зэрэгтэй олон гишүүнтээс үүссэн оновчтой алгебрийн тэгшитгэлийг олж авах хүсэл нь туйлын байгалийн юм. хэцүү даалгавар, бид үүнийг зөвхөн маш хязгаарлагдмал тооны тохиолдолд бүрэн шийдэж чадна.

Иррационал тэгшитгэлийн төрлүүд

Тэгш зэрэгтэй иррационал тэгшитгэлийг шийдэх нь үргэлж шалтгаан болдог илүү олон асуудалсондгой зэрэгтэй иррационал тэгшитгэлийг шийдэхээс илүү. Сондгой градусын иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд OD өөрчлөгддөггүй. Тиймээс, доор нь тэгш хэмтэй иррационал тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Хоёр төрлийн иррационал тэгшитгэл байдаг:

2..

Тэдний эхнийхийг авч үзье.

ODZ тэгшитгэл: f(x)≥ 0. ОДЗ-Д зүүн талтэгшитгэл нь үргэлж сөрөг биш байдаг тул шийдэл нь зөвхөн үед л оршин тогтнох боломжтой g(x)≥ 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр тал сөрөг биш бөгөөд экспоненциал болно. 2 nэквивалент тэгшитгэлийг өгнө. Бид үүнийг ойлгодог

Энэ тохиолдолд анхаарлаа хандуулцгаая ODZ автоматаар хийгддэг бөгөөд та үүнийг бичих шаардлагагүй, харин нөхцөлg(x) ≥ 0 байвал шалгах шаардлагатай.

Жич: Энэ их чухал нөхцөлэквивалент. Нэгдүгээрт, энэ нь оюутныг судлах шаардлагаас чөлөөлж, шийдлийг олсны дараа f(x) ≥ 0 - радикал илэрхийллийн сөрөг бус байдлыг шалгана. Хоёрдугаарт, нөхцөл байдлыг шалгахад анхаарлаа хандуулдагg(x) ≥ 0 – баруун талын сөрөг бус байдал. Эцсийн эцэст квадрат болгосны дараа тэгшитгэл шийдэгдэнэ өөрөөр хэлбэл, хоёр тэгшитгэлийг нэг дор шийддэг (гэхдээ тоон тэнхлэгийн өөр өөр интервал дээр!):

1. - хаана g(x)≥ 0 ба

2. - энд g(x) ≤ 0.

Үүний зэрэгцээ, олон хүмүүс сургуулиас гадуур ODZ олох зуршилтай тул ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ яг эсрэгээр ажилладаг.

a) шийдлүүдийг олсны дараа тэд арифметик алдаа гаргаж, буруу үр дүнд хүрэхийн тулд f(x) ≥ 0 нөхцөлийг шалгадаг (энэ нь автоматаар хангагдана);

б) нөхцөлийг үл тоомсорлохg(x) ≥ 0 - дахин хариулт буруу болж магадгүй юм.

Жич: Эквивалент нөхцөл нь ODZ-ийг олох нь шийдвэрлэхтэй холбоотой тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ялангуяа ашигтай байдаг. тригонометрийн тэгш бус байдал, энэ нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхээс хамаагүй хэцүү юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийн тэгш нөхцөлийг шалгах g(x)≥ 0 нь хийхэд үргэлж хялбар байдаггүй.

Хоёр дахь төрлийн иррационал тэгшитгэлийг авч үзье.

. Тэгшитгэлийг өгье . Түүний ODZ:

ODZ-д хоёр тал нь сөрөг биш бөгөөд квадрат нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг. f(x) =g(x).Тиймээс ОДЗ-д эсвэл

Энэхүү шийдлийн аргын тусламжтайгаар аль нэг функцийн сөрөг бус байдлыг шалгахад хангалттай - та илүү энгийн функцийг сонгож болно.

Бүлэг 1. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1 арга. Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараалан өсгөх замаар радикалуудаас ангижрах байгалийн зэрэг

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол тэгшитгэлийн хоёр талыг дараалан зохих байгалийн хүчин чадалд хүргэх замаар радикалуудыг арилгах арга юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг сондгой хэмжээнд өсгөхөд үүссэн тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү байх ба тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш түвшинд өсгөхөд үүссэн тэгшитгэл нь ерөнхийдөө ярих юм бол анхны тэгшитгэлтэй тэнцэхгүй байх. Үүнийг тэгшитгэлийн хоёр талыг аль ч тэгш хэмжээнд өсгөх замаар хялбархан шалгаж болно. Энэ үйлдлийн үр дүн нь тэгшитгэл юм , шийдлүүдийн багц нь шийдлүүдийн нэгдэл юм: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Гэсэн хэдий ч , энэ сул талыг үл харгалзан энэ нь тэгшитгэлийн хоёр талыг зарим (ихэвчлэн тэгш) чадалд өсгөх процедур бөгөөд энэ нь иррационал тэгшитгэлийг оновчтой тэгшитгэл болгон бууруулах хамгийн түгээмэл процедур юм.

Тэгшитгэлийг шийд:

Хаана - зарим олон гишүүнт. Бодит тооны багц дахь үндэс олборлох үйлдлийг тодорхойлсон тул үл мэдэгдэх утгууд нь https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 өндөр" юм. =21" өндөр "21">..gif " өргөн "243" өндөр "28 src=">.

1-р тэгшитгэлийн хоёр тал нь квадрат байсан тул 2-р тэгшитгэлийн бүх үндэс нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл биш байж магадгүй юм.

Тэгшитгэлийг шийд:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" өргөн "137" өндөр "25">

Тэгшитгэлийн хоёр талыг шоо болговол бид олж авна

https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Сүүлийн тэгшитгэл нь ерөнхийдөө язгуур биш үндэстэй байж болно. тэгшитгэл ).

Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг куб болгоно: . Бид тэгшитгэлийг x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 хэлбэрээр дахин бичнэ. Х1 = 0 нь тэгшитгэлийн гаднах язгуур (-2 ≠ 1), x2 = 1 нь эх утгыг хангаж байгааг шалгана. тэгшитгэл.

Хариулт: x = 1.

Арга 2. Солих зэргэлдээх системнөхцөл

Тэгш эрэмбийн радикалуудыг агуулсан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед хариултуудад гадны үндэс гарч ирэх бөгөөд үүнийг тодорхойлоход тийм ч хялбар байдаггүй. Гадны үндсийг тодорхойлох, устгахад хялбар болгохын тулд иррациональ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэр даруй зэргэлдээ нөхцлийн системээр солигддог. Систем дэх нэмэлт тэгш бус байдал нь үнэндээ шийдэж буй тэгшитгэлийн ODZ-ийг харгалзан үздэг. Та ODZ-ийг тусад нь олж, дараа нь авч үзэх боломжтой, гэхдээ холимог нөхцлийн системийг ашиглах нь зүйтэй: тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ямар нэг зүйлийг мартах эсвэл үүнийг анхаарч үзэхгүй байх эрсдэл бага байдаг. Тиймээс зарим тохиолдолд холимог системд шилжих аргыг ашиглах нь илүү оновчтой байдаг.

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариулт: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна

Хариулт:тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Арга 3. n-р үндэс шинж чанарыг ашиглах

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ n-р язгуурын шинж чанарыг ашиглана. Арифметик үндэс n- thдундаас градус Асөрөг бус дугаар руу залгах n- i-тэй тэнцүү хүч чадалтай А. Хэрэв n -жигд( 2н), дараа нь a ≥ 0, өөрөөр хэлбэл үндэс байхгүй болно. Хэрэв n -сондгой( 2 n+1), дараа нь a нь дурын бөгөөд = - ..gif" width="45" height="19"> Дараа нь:

2.

3.

4.

5.

Эдгээр томъёоны аль нэгийг албан ёсоор (заасан хязгаарлалтыг харгалзахгүйгээр) хэрэглэхдээ зүүн ба ODZ-ийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. зөв хэсгүүдтус бүр нь өөр байж болно. Жишээ нь, илэрхийлэл нь тодорхойлогддог f ≥ 0Тэгээд g ≥ 0, мөн илэрхийлэл нь юм шиг байна f ≥ 0Тэгээд g ≥ 0, болон хамт f ≤ 0Тэгээд g ≤ 0.

1-5-р томъёо тус бүрийн хувьд (заасан хязгаарлалтыг тооцохгүйгээр) баруун талын ODZ нь зүүн талын ODZ-ээс өргөн байж болно. Үүнээс үзэхэд "зүүнээс баруун тийш" 1-5-р томъёог албан ёсоор ашиглах замаар тэгшитгэлийн хувиргалт нь анхных нь үр дагавар болох тэгшитгэлд хүргэдэг. Энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур гарч ирж магадгүй тул баталгаажуулалт нь анхны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зайлшгүй алхам юм.

1-5-р томьёог "баруун талаас зүүн тийш" албан ёсоор ашигласан тэгшитгэлийн хувиргалтыг хүлээн зөвшөөрөхгүй, учир нь анхны тэгшитгэлийн OD, улмаар үндэс алдагдах боломжтой байдаг.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" өргөн "247" өндөр "61 src=">,

Энэ нь анхны үр дагавар юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь тэгшитгэлийн багцыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг .

Энэ олонлогийн эхний тэгшитгэлээс бид https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27">-г олдог. Тиймээс язгуур Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн ( -1) ба (-2) тоо байж болно. Олдсон язгуур хоёулаа энэ тэгшитгэлийг хангаж байгааг шалгана.

Хариулт: -1,-2.

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл: таних тэмдэг дээр үндэслэн эхний гишүүнийг -ээр солино. Хоёрын нийлбэр гэдгийг анхаарна уу сөрөг бус тоозүүн тал. Модулийг "арилгаж", ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа тэгшитгэлийг шийднэ үү. Учир нь бид тэгшитгэлийг авдаг. Түүнээс хойш , дараа нь https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" өргөн "145" өндөр "21 src=">

Хариулт: x = 4.25.

Арга 4 Шинэ хувьсагчдыг нэвтрүүлэх

Иррационал тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг жишээ бол илүү энгийн иррационал тэгшитгэл эсвэл оновчтой тэгшитгэлийг олж авах шинэ хувьсагчдыг нэвтрүүлэх арга юм.

Тэгшитгэлийг үр дагавараар нь орлуулах замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах байдлаар хийж болно.

1. Анхны тэгшитгэлийн ODZ-ийг ол.

2. Тэгшитгэлээс түүний үр дагавар руу шилжих.

3. Үүссэн тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

4. Олдсон үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалга.

Шалгалт дараах байдалтай байна.

A) Олдсон үндэс тус бүрийн анхны тэгшитгэлд хамаарах эсэхийг шалгана. ODZ-д хамааралгүй эдгээр үндэс нь анхны тэгшитгэлээс гадуур юм.

B) анхны тэгшитгэлийн ODZ-д орсон язгуур тус бүрийн хувьд тэдгээр нь байгаа эсэхийг шалгана ижил шинж тэмдэгАнхны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад үүссэн тэгшитгэл бүрийн баруун ба зүүн талууд. Аливаа тэгшитгэлийн хэсгүүд тэгш зэрэглэлд хүрсэн язгуурууд өөр өөр шинж тэмдэг, анхны тэгшитгэлээс гадуур байна.

C) зөвхөн анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах, анхны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад үүссэн тэгшитгэл бүрийн хоёр тал нь ижил тэмдэгтэй байгаа язгууруудыг тэгшитгэлд шууд орлуулах замаар шалгана. анхны тэгшитгэл.

Тодорхойлсон баталгаажуулалтын арга бүхий шийдлийн арга нь сүүлчийн тэгшитгэлийн олсон үндэс бүрийг анхны хувилбараар нь шууд орлуулах тохиолдолд төвөгтэй тооцооллоос зайлсхийх боломжийг олгодог.

Иррационал тэгшитгэлийг шийд:

.

Олон хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудэнэ тэгшитгэл:

Орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг олж авна

эсвэл эквивалент тэгшитгэл

-тай харьцуулахад квадрат тэгшитгэл гэж үзэж болно. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олж авна

.

Тиймээс анхны иррационал тэгшитгэлийн шийдлийн олонлог нь дараах хоёр тэгшитгэлийн шийдлийн олонлогуудын нэгдэл юм.

, .

Эдгээр тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг шоо болгон өсгөхөд бид хоёр оновчтой алгебрийн тэгшитгэлийг олж авна.

, .

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэж, энэ иррационал тэгшитгэл нь нэг язгууртай болохыг олж мэдэв x = 2 (бүх хувиргалт нь тэнцүү тул баталгаажуулах шаардлагагүй).

Хариулт: x = 2.

Иррационал тэгшитгэлийг шийд:

2x2 + 5x – 2 = t гэж тэмдэглэе. Дараа нь анхны тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна . Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, авчрах замаар ижил төстэй гишүүд, бид өмнөхийн үр дагавар болох тэгшитгэлийг олж авна. Үүнээс бид олдог t=16.

Үл мэдэгдэх х руу буцаж очоод бид 2x2 + 5x – 2 = 16 тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь анхны үр дагавар юм. Шалгаснаар бид түүний язгуурууд x1 = 2 ба x2 = - 9/2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдэгт итгэлтэй байна.

Хариулт: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 арга. Тэгшитгэлийн ижил хувиргалт

Иррационал тэгшитгэлийг шийдэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг натурал зэрэгт өсгөж, иррационал тэгшитгэлийн шийдийг рационал алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл болгон багасгахыг оролдох замаар тэгшитгэлийг шийдэж болохгүй. Эхлээд бид тэгшитгэлийн шийдлийг ихээхэн хялбаршуулж болох ижил төстэй хувиргалт хийх боломжтой эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийг шийд:

Энэ тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгуудын багц: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Энэ тэгшитгэлийг -д хуваая.

.

Бид авах:

a = 0 үед тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно; тэгшитгэлийг ингэж бичиж болох үед

Учир нь энэ тэгшитгэлийн хувьд шийдэл байхгүй X, багцад хамаарахтэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгууд, тэгшитгэлийн зүүн талын илэрхийлэл эерэг байна;

тэгшитгэл нь шийдэлтэй байх үед

Тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх шийдлүүдийн багц нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог болохыг харгалзан бид эцэст нь олж авна.

Энэхүү иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> тэгшитгэлийн шийдэл нь байх болно. Бусад бүх утгуудын хувьд Xтэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

ЖИШЭЭ 10:

Иррационал тэгшитгэлийг шийд: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" өргөн "381" өндөр "51">

Системийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэл x1 = 1 ба x2 = 4 гэсэн хоёр язгуур гарна. Үүссэн язгуурын эхнийх нь системийн тэгш бус байдлыг хангахгүй тул x = 4 болно.

Тэмдэглэл

1) Ижил өөрчлөлтийг хийх нь шалгахгүйгээр хийх боломжийг танд олгоно.

2) x – 3 ≥0 тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ ижил төстэй өөрчлөлтүүд, тэгшитгэлийн тодорхойлолтын домэйнд биш.

3) Тэгшитгэлийн зүүн талд буурах функц байгаа бөгөөд энэ тэгшитгэлийн баруун талд нэмэгдэж буй функц байна. Тодорхойлолтын хүрээнүүдийн огтлолцол дахь буурах ба нэмэгдэж буй функцүүдийн графикууд нэгээс илүүгүй байж болно. нийтлэг цэг. Мэдээжийн хэрэг, манай тохиолдолд x = 4 нь графикуудын огтлолцох цэгийн абсцисса юм.

Хариулт: x = 4.

6 арга. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд функцүүдийн домэйныг ашиглах

Энэ арга нь https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> функцийг агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, түүний талбайн тодорхойлолтыг олоход хамгийн үр дүнтэй байдаг. (е)..gif" өргөн "53" өндөр "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, тэгвэл та интервалын төгсгөлд тэгшитгэл зөв эсэхийг шалгах хэрэгтэй.< 0, а b >0, дараа нь интервалтайгаар шалгах шаардлагатай (a;0)Тэгээд . E(y) дахь хамгийн жижиг бүхэл тоо нь 3 байна.