Гурвалжин - гурван талтай олон өнцөгт, эсвэл хаалттай эвдэрсэн шугамгурван холбоостой, эсвэл нэг шулуун дээр хэвтдэггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс үүссэн дүрс (1-р зургийг үз).

abc гурвалжны үндсэн элементүүд

Оргилууд - A, B, C цэгүүд;

Намууд – оройнуудыг холбосон a = BC, b = AC ба c = AB сегментүүд;

Өнцөг – α, β, γ гурван хос талаас үүссэн. Өнцөг нь ихэвчлэн оройнуудын адил A, B, C үсгээр тодорхойлогддог.

Гурвалжны хажуу талуудаас үүссэн, түүний дотоод талбайд хэвтэж буй өнцгийг дотоод өнцөг гэж нэрлэх ба түүнтэй зэргэлдээх өнцгийг гурвалжны зэргэлдээх өнцөг гэнэ (2, х 534).

Гурвалжны өндөр, медиан, биссектриса, дунд шугам

Гурвалжин дахь үндсэн элементүүдээс гадна сонирхолтой шинж чанартай бусад сегментүүдийг авч үздэг: өндөр, медиан, биссектрис, дунд шугам.

Өндөр

Гурвалжингийн өндөр- эдгээр нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу унасан перпендикуляр юм.

Өндөрийг зурахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) гурвалжны аль нэг талыг агуулсан шулуун шугамыг зурах (хэрэв өндрийг мохоо гурвалжин дахь хурц өнцгийн оройноос зурсан бол);

2) зурсан шугамын эсрэг талд байрлах оройгоос энэ шугам хүртэлх цэгээс 90 градусын өнцөг үүсгэн сегментийг зур.

Өндөр нь гурвалжны талтай огтлолцох цэгийг нэрлэдэг өндөр суурь (2-р зургийг үз).

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт гурвалжинд оройгоос татсан өндөр зөв өнцөг, анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

Цочмог гурвалжинд түүний хоёр өндөр нь ижил төстэй гурвалжингуудыг таслав.

Хэрэв гурвалжин хурц байвал өндрийн бүх суурь нь гурвалжны талуудад хамаарах ба мохоо гурвалжинхоёр өндөр нь талуудын үргэлжлэл дээр унадаг.

Гурван өндөрт хурц гурвалжиннэг цэг дээр огтлолцох ба энэ цэгийг нэрлэдэг ортоцентр гурвалжин.

Медиан

Медианууд(Латин mediana - "дунд") - эдгээр нь гурвалжны оройг эсрэг талын дундын цэгүүдтэй холбосон сегментүүд юм (3-р зургийг үз).

Медианыг бий болгохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) хажуугийн дунд хэсгийг олох;

2) гурвалжны хажуугийн дунд байгаа цэгийг эсрэг талын оройтой хэрчмээр холбоно.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төв гурвалжин.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Биссектрис

Биссектрис(Латин хэлнээс bis - хоёр дахин ба seko - зүсэгдсэн) нь гурвалжин доторх шулуун шугамын хэсгүүдийг түүний өнцгийг хоёр хуваасан (4-р зургийг үз).

Бисектрис байгуулахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) өнцгийн оройноос гарч буй туяаг байгуулж, хоёр тэнцүү хэсэгт (өнцгийн биссектриса) хуваах;

2) гурвалжны өнцгийн биссектрисатай огтлолцох цэгийг ол эсрэг тал;

3) гурвалжны оройг эсрэг талын огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментийг сонгоно.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг харьцаагаар хуваана харьцаатай тэнцүү байнахоёр зэргэлдээ тал.

Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэгийг бичээстэй тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриса нь перпендикуляр байна.

Хэрэв биссектриса гадаад булангурвалжин нь эсрэг талын үргэлжлэлийг огтолж, дараа нь ADBD=ACBC болно.

Гурвалжны нэг дотоод ба гадаад хоёр өнцгийн биссектриса нь нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэг нь энэ гурвалжны гурван тойргийн аль нэгний төв юм.

Гадаад өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талтай параллель биш бол гурвалжны хоёр дотоод ба нэг гадаад өнцгийн биссектрисагийн суурь нь нэг шулуун дээр оршино.

Гурвалжны гаднах өнцгүүдийн биссектриса нь эсрэг талуудтай параллель биш бол тэдгээрийн суурь нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Геометр бол хамгийн төвөгтэй, ойлгомжгүй шинжлэх ухааны нэг юм. Үүн дээр анх харахад ойлгомжтой мэт санагдсан зүйл зөв болох нь тун ховор. Биссектриса, өндөр, медиан, проекц, тангенс - асар их хэмжээүнэхээр хэцүү нэр томъёо, андуурахад маш амархан.

Үнэн хэрэгтээ, зохих хүслээр та ямар ч нарийн төвөгтэй байдлын онолыг ойлгож чадна. Биссектрис, медиан, өндрийн тухай ярихдаа тэдгээр нь гурвалжинд хамаарахгүй гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Эхлээд харахад эдгээр нь энгийн мөрүүд боловч тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн шинж чанар, функцтэй байдаг бөгөөд мэдлэг нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. геометрийн асуудлууд. Тэгэхээр гурвалжны биссектриса хэд вэ?

Тодорхойлолт

"Биссектрис" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө хослолоос гаралтай Латин үгс"хоёр" ба "тайрах", "тайрах" нь түүний шинж чанарыг шууд бусаар илэрхийлдэг. Ихэвчлэн хүүхдүүдийг энэ туяатай танилцуулахдаа "Бисектрис бол булан тойрон гүйж, буланг хоёр хуваадаг харх юм" гэсэн товч өгүүлбэрийг санаж байх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, ийм тайлбар нь ахимаг насны хүүхдүүдэд тохиромжгүй бөгөөд үүнээс гадна тэд ихэвчлэн өнцгийн тухай биш, харин геометрийн дүрсийн талаар асуудаг. Тэгэхээр гурвалжны биссектриса нь гурвалжны оройг эсрэг талтай холбосон туяа бөгөөд өнцгийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг. Цэг эсрэг тал, энэ үед биссектрис ирдэг, төлөө дурын гурвалжинсанамсаргүй байдлаар сонгогддог.

Үндсэн функц ба шинж чанарууд

Энэ цацраг нь хэд хэдэн үндсэн шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, гурвалжны биссектриса нь өнцгийг хоёр хуваасан тул түүн дээр байрлах дурын цэг дээр байх болно. тэнцүү зайдээд хэсгийг бүрдүүлж буй талуудаас. Хоёрдугаарт, гурвалжин бүрт байгаа өнцгийн тооноос хамааран гурван биссектрис зурж болно (тиймээс нэг дөрвөн өнцөгт аль хэдийн дөрөв байх болно гэх мэт). Гурван цацраг огтлолцох цэг нь гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө нь илүү төвөгтэй болдог

Онолыг бага зэрэг төвөгтэй болгоё. Бас нэг зүйл сонирхолтой өмч: гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг хэрчмүүдэд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн харьцаа нь оройг бүрдүүлж буй талуудын харьцаатай тэнцүү байна. Эхлээд харахад энэ нь төвөгтэй боловч үнэн хэрэгтээ бүх зүйл энгийн: санал болгож буй зураг дээр RL: LQ = PR: PK. Дашрамд хэлэхэд энэ шинж чанарыг "Бисектор теорем" гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд эртний Грекийн математикч Евклидийн бүтээлүүдэд анх гарч ирсэн. Бид түүнийг аль нэгэнд нь санаж байсан Орос сурах бичигзөвхөн XVII зууны эхний улиралд л.

Энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Дөрвөн өнцөгт дээр биссектриса нь ижил өнцөгт гурвалжинг таслав. Энэ зураг нь медиан AF-ийн бүх ижил өнцгийг харуулж байна.

Мөн дөрвөлжин ба трапецын хувьд нэг талт өнцгийн биссектриса нь бие биенээсээ перпендикуляр байна. Зураг дээр APB өнцөг нь 90 градус байна.

Хоёр талт гурвалжинд

Биссектрис тэгш өнцөгт гурвалжин- илүү ашигтай цацраг. Энэ нь зөвхөн өнцгийн хагасыг хуваагч төдийгүй медиан ба өндрийн хэмжээ юм.

Медиан нь зарим булангаас гарч, эсрэг талын голд унасан сегмент бөгөөд ингэснээр үүнийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Өндөр нь оройноос эсрэг тал руу чиглэсэн перпендикуляр бөгөөд түүний тусламжтайгаар аливаа асуудлыг энгийн бөгөөд энгийн Пифагор теорем болгон бууруулж болно. Энэ тохиолдолд гурвалжны биссектриса нь гипотенузын квадрат ба нөгөө хөлийн ялгааны язгууртай тэнцүү байна. Дашрамд хэлэхэд энэ өмч нь геометрийн асуудалд ихэвчлэн тулгардаг.

Нэгтгэхийн тулд: энэ гурвалжинд FB биссектриса нь медиан (AB = BC) ба өндөр (FBC ба FBA өнцөг нь 90 градус) юм.

Ерөнхийдөө

Тэгэхээр та юу санаж байх хэрэгтэй вэ? Гурвалжны биссектриса нь оройг нь хуваасан туяа юм. Гурван цацрагийн огтлолцол дээр тойргийн төв нь дотор нь бичигдсэн байдаг өгөгдсөн гурвалжин(энэ өмчийн цорын ганц сул тал нь практик ач холбогдолгүй бөгөөд зөвхөн зургийг чадварлаг гүйцэтгэхэд л үйлчилдэг). Энэ нь мөн эсрэг талыг сегмент болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн харьцаа нь энэ туяа дамжсан талуудын харьцаатай тэнцүү байна. Дөрвөн өнцөгтийн хувьд шинж чанарууд нь арай илүү төвөгтэй болдог, гэхдээ тэдгээр нь асуудалд бараг хэзээ ч гарч ирдэггүй. сургуулийн түвшин, тиймээс тэд хөтөлбөрт ихэвчлэн хөндөгддөггүй.

Адил өнцөгт гурвалжны биссектрис бол ямар ч сургуулийн сурагчийн мөрөөдөл юм. Энэ нь медиан (өөрөөр хэлбэл, эсрэг талыг хоёр хуваадаг) ба өндөр (тэр тал руу перпендикуляр) хоёулаа байдаг. Ийм биссектрисатай асуудлыг шийдэх нь Пифагорын теорем руу буурдаг.

Мэдлэг үндсэн функцуудбиссектрис, түүнчлэн түүний үндсэн шинж чанарууд нь дундаж ба геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай өндөр түвшиннарийн төвөгтэй байдал. Үнэн хэрэгтээ энэ цацраг нь зөвхөн планиметрт байдаг тул түүний талаархи мэдээллийг цээжлэх нь бүх төрлийн ажлыг даван туулах боломжийг олгоно гэж хэлж болохгүй.

Өнөөдөр маш хялбар хичээл байх болно. Бид зөвхөн нэг объект болох өнцгийн биссектрисийг авч үзэх бөгөөд түүний хамгийн чухал шинж чанарыг батлах болно, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их хэрэгтэй болно.

Зүгээр л тайвширч болохгүй: заримдаа авахыг хүсдэг оюутнууд өндөр онооижил OGE эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд эхний хичээл дээр тэд биссектрисын тодорхойлолтыг нарийн боловсруулж чадахгүй.

Тэгээд үнэхээр хийхийн оронд сонирхолтой даалгавар, бид ийм энгийн зүйлд цаг үрдэг. Тиймээс уншаарай, үзээд аваарай :)

Эхлээд жаахан хачирхалтай асуулт: өнцөг гэж юу вэ? Энэ нь зөв: өнцөг гэдэг нь нэг цэгээс гарч буй хоёр туяа юм. Жишээ нь:

Зурган дээрээс харахад өнцөг нь хурц, мохоо, шулуун байж болно - энэ нь одоо хамаагүй. Ихэнхдээ тохь тухтай байхын тулд цацраг бүрийг тэмдэглэдэг нэмэлт цэгмөн тэд бидний өмнө $AOB$ өнцөг ($\өнцөг AOB$ гэж бичсэн) байгаа гэж хэлдэг.

Captain Obviousness $OA$ ба $OB$ туяанаас гадна $O$ цэгээс олон тооны туяа зурах боломжтой гэдгийг сануулж байх шиг байна. Гэхдээ тэдний дунд нэг онцгой зүйл байх болно - түүнийг биссектрис гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн оройноос гарч, өнцгийг хоёр хуваасан цацраг юм.

Дээрх өнцгүүдийн хувьд биссектрис дараах байдлаар харагдана.

Хурц, мохоо, зөв ​​өнцгийн биссектрисын жишээ

Бодит зурган дээр тодорхой туяа (манай тохиолдолд $OM$ туяа) анхны өнцгийг хоёр тэнцүү болгон хуваадаг нь үргэлж тодорхой байдаггүй тул геометрийн хувьд ижил тооны нумуудтай тэнцүү өнцгийг тэмдэглэх нь заншилтай байдаг. Бидний зурган дээр энэ нь хурц өнцөгт 1 нум, мохоо бол хоёр, шулуун бол гурав).

За, бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Одоо та биссектрис ямар шинж чанартай болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар

Үнэн хэрэгтээ биссектрис маш олон шинж чанартай байдаг. Мөн бид дараагийн хичээл дээр тэднийг үзэх нь гарцаагүй. Гэхдээ та яг одоо ойлгох ёстой нэг заль мэх байна:

Теорем. Өнцгийн биссектриса нь байршилталуудаас ижил зайд байрлах цэгүүд өгөгдсөн өнцөг.

Математикаас орос хэл рүү орчуулбал энэ нь нэг дор хоёр баримтыг илэрхийлнэ.

1. Тодорхой өнцгийн биссектрист дээр байрлах аливаа цэг нь энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
2. Мөн эсрэгээр: хэрэв цэг нь өгөгдсөн өнцгийн талуудаас ижил зайд оршдог бол энэ өнцгийн биссектрис дээр хэвтэх нь баталгаатай болно.

Эдгээр мэдэгдлийг батлахын өмнө нэг цэгийг тодруулъя: цэгээс өнцгийн тал хүртэлх зайг яг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энд цэгээс шугам хүртэлх зайг сайн тодорхойлох нь бидэнд тусална.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь өгөгдсөн цэгээс энэ шулуун руу татсан перпендикулярын урт юм.

Жишээлбэл, $l$ шулуун ба энэ шулуун дээр ороогүй $A$ цэгийг авч үзье. $AH$-д перпендикуляр зуръя, $H\ in l$. Тэгвэл энэ перпендикулярын урт нь $A$ цэгээс $l$ шулуун хүртэлх зай болно.

Өнцөг нь энгийн хоёр цацраг бөгөөд туяа бүр нь шулуун шугамын нэг хэсэг тул цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлоход хялбар байдаг. Эдгээр нь зөвхөн хоёр перпендикуляр юм:

Ингээд л болоо! Одоо бид зай гэж юу болохыг, биссектрис гэж юу болохыг мэддэг болсон. Тиймээс бид үндсэн өмчийг баталж чадна.

Амласан ёсоор бид нотлох баримтыг хоёр хэсэгт хуваана:

1. Бисектрисын цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна

Ингээд авч үзье дурын өнцөгОрой $O$ ба биссектрис $OM$:

Яг энэ $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байгааг баталцгаая.

Баталгаа. $M$ цэгээс өнцгийн талууд руу перпендикуляр зуръя. Тэднийг $M((H)_(1))$ ба $M((H)_(2))$ гэж нэрлэе:

Өнцгийн хажуу талуудтай перпендикуляр зур

Хоёр авсан зөв гурвалжин: $\vartriangle OM((H)_(1))$ болон $\vartriangle OM((H)_(2))$. Тэдгээр нь нийтлэг гипотенуз $OM$ ба ижил өнцөгтэй:

1. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$ нөхцөлөөр ($OM$ нь биссектрис учраас);
2. $\өнцөг M((H)_(1))O=\өнцөг M((H)_(2))O=90()^\circ $ бүтцээр;
3. $\өнцөг OM((H)_(1))=\өнцөг OM((H)_(2))=90()^\circ -\өнцөг MO((H)_(1))$, учир нь нийлбэр хурц булангуудТэгш өнцөгт гурвалжин үргэлж 90 градус байна.

Үүний үр дүнд гурвалжнууд нь хажуу ба хоёр зэргэлдээх өнцгүүдийн хувьд тэнцүү байна (гурвалжны тэгш байдлын тэмдгийг үзнэ үү). Тиймээс, ялангуяа $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. $O$ цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай үнэхээр тэнцүү байна. Q.E.D. :)

2. Хэрэв зайнууд тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрлана

Одоо байдал эсрэгээрээ байна. Энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд $O$ өнцөг ба $M$ цэг өгье.

$OM$ туяа нь биссектриса гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$.

Баталгаа. Эхлээд энэ $OM$ туяаг зуръя, эс тэгвээс нотлох зүйл байхгүй болно:

Булангийн дотор $OM$ цацраг явуулсан

Дахин бид хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авна: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$. Мэдээжийн хэрэг, тэд тэнцүү, учир нь:

1. Гипотенуз $OM$ - ерөнхий;
2. Хөл $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ нөхцөлөөр (эцсийн эцэст $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байна);
3. Үлдсэн хөл нь бас тэнцүү, учир нь Пифагорын теоремоор $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Тиймээс гурван талдаа $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гурвалжингууд. Ялангуяа тэдгээрийн өнцөг тэнцүү байна: $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$. Энэ нь зөвхөн $OM$ нь биссектриса гэсэн үг юм.

Баталгаажуулахын тулд бид үүссэн тэнцүү өнцгийг улаан нумаар тэмдэглэнэ.

Биссектриса $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ өнцгийг хоёр тэнцүү болгож хуваана.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид өнцгийн биссектриса нь энэ өнцгийн талуудтай ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэдгийг баталсан.

Одоо бид нэр томъёоны талаар бага эсвэл бага хэмжээгээр шийдсэн тул цаашаа явах цаг болжээ шинэ түвшин. Дараагийн хичээл дээр бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй шинж чанаруудбиссектрис болон тэдгээрийг бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах.

Гурвалжны дотоод өнцгийг гурвалжны биссектрис гэж нэрлэдэг.
Гурвалжны өнцгийн биссектрисаг түүний орой ба гурвалжны эсрэг талтай огтлолцох цэгийн хоорондох сегмент гэж бас ойлгодог.
Теорем 8. Гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог.
Үнэн хэрэгтээ эхлээд AK 1 ба VK 2 гэсэн хоёр биссектрисын огтлолцлын P цэгийг авч үзье. Энэ цэг нь А өнцгийн биссектрист байрладаг тул AB ба АС талуудаас адилхан зайтай, В өнцгийн биссектрист хамаарах AB ба ВС талуудаас ижил зайтай. AC ба ВС талууд ба үүгээр CK 3 гуравдах биссектрист хамаарах ба өөрөөр хэлбэл P цэгт гурван биссектриса огтлолцоно.
Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгийн биссектрисийн шинж чанарууд
Теорем 9. Биссектрис дотоод булангурвалжны эсрэг талыг пропорциональ хэсгүүдэд хуваана зэргэлдээ талууд.
Баталгаа. ABC гурвалжин ба түүний B өнцгийн биссектрисаг авч үзье.ВС өнцөгт параллель CM шулуун шугамыг АВ талын үргэлжлэлээр M цэгт огтлолцох хүртэл С оройгоор татъя. VC нь ABC өнцгийн биссектриса учир ∠ ABC = ∠ KBC болно. Цаашилбал, ∠ AVK=∠ IUD, гэх мэт харгалзах өнцөгзэрэгцээ шугамын хувьд, ∠ KVS=∠ VSM, параллель шугамын хувьд хөндлөн өнцгийн хувьд. Эндээс ∠ ВСМ=∠ ВМС, тэгэхээр ВСМ гурвалжин нь хоёр талт, тиймээс ВС=ВМ байна. Өнцгийн талуудыг огтолж буй параллель шулуунуудын тухай теоремын дагуу бидэнд AK:K C=AB:VM=AB:BC байгаа бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Теорем 10 Гадаад өнцгийн биссектриса В гурвалжин ABCижил төстэй шинж чанартай: А ба С оройноос АС талын үргэлжлэл бүхий биссектрисын огтлолцлын L цэг хүртэлх AL ба CL сегментүүд нь гурвалжны талуудтай пропорциональ байна: AL: C.L.=AB:BC.
Энэ шинж чанарыг өмнөхтэй ижил аргаар нотолсон: зураг дээр BL биссектрист параллель SM туслах шугамыг зурсан. BMC болон BC өнцөгүүд тэнцүү бөгөөд энэ нь BMC гурвалжны BM ба BC талууд тэнцүү гэсэн үг юм. Эндээс бид AL:CL=AB:BC гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна.

Теорем d4. (биссектрисын эхний томъёо): ABC гурвалжинд AL хэрчим нь А өнцгийн биссектрис бол AL байх уу? = AB·AC - LB·LC.

Нотолгоо: AL шугамын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрогтой огтлолцох цэгийг M гэж үзье гурвалжин ABC(Зураг 41). BAM өнцөг нь конвенцийн дагуу MAC өнцөгтэй тэнцүү байна. BMA болон BCA өнцгүүд нь ижил хөвчөөр дамжсан бичээстэй өнцгүүдийн хувьд тохирно. Энэ нь BAM ба LAC гурвалжин нь хоёр өнцгөөр төстэй гэсэн үг юм.<=>Тиймээс AL: AC = AB: AM. Тэгэхээр AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм. Тайлбар: Тойрог доторх огтлолцсон хөвчүүдийн сегмент ба бичээстэй өнцгийн тухай теоремын хувьд сэдвийн тойрог ба тойргийг харна уу.
Теорем d5.

Нотолгоо:(биссектрисын хоёр дахь томьёо): AB=a, AC=b талуудтай, 2-той тэнцүү А өнцөгтэй ABC гурвалжинд? ба биссектрис l, тэгш байдал нь:<=>l = (2ab / (a+b)) cos?.<=>Өгөгдсөн гурвалжин ABC, түүний биссектрис AL (Зураг 42), a=AB, b=AC, l=AL. Дараа нь S ABC = S ALB + S ALC. Тиймээс, absin2? = алсин? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорем нь батлагдсан.

Теорем. Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Баталгаа. ABC гурвалжин (Зураг 259) ба түүний өнцгийн биссектрисийг авч үзье.С оройгоор АВ талын үргэлжлэлтэй M цэгт огтлолцох хүртэл ВС биссектрист параллель CM шулуун шугамыг татна. BK нь ABC өнцгийн биссектриса учир . Цаашилбал, параллель шугамын хувьд харгалзах өнцөг, зэрэгцээ шугамын хувьд хөндлөн өнцгийн хувьд. Эндээс, тиймээс - хоёр талт, эндээс . Өнцгийн талуудыг огтолж буй параллель шулуунуудын тухай теоремоор бид .

ABC гурвалжны гадаад В өнцгийн биссектриса (Зураг 260) ижил төстэй шинж чанартай: А ба С оройноос АС талын үргэлжлэл бүхий биссектрисын огтлолцлын L цэг хүртэлх AL ба CL хэрчмүүд гурвалжны талууд:

Энэ өмч нь өмнөхтэй ижил аргаар батлагдсан: Зураг дээр. 260 BL биссектрист параллель SM туслах шулуун зурсан. Уншигч өөрөө VMS ба VSM өнцгүүдийн тэгш байдал, тиймээс VMS гурвалжны VM ба BC талуудын тэгш байдалд итгэлтэй байх болно, үүний дараа шаардлагатай пропорцийг нэн даруй авах болно. Гадны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг гэж бид хэлж чадна; Та сегментийн "гадаад хуваагдлыг" зөвшөөрөхөд л хангалттай. AC сегментийн гадна байрлах L цэг (үргэлжлэл дээр) түүнийг хуваана

Бодлого 1. Трапецын талууд нь 12 ба 15, суурь нь 24 ба 16-тай тэнцүү. Үүссэн гурвалжны талуудыг ол. том суурьтрапец ба түүний сунгасан талууд.

Шийдэл. Зураг дээрх тэмдэглэгээнд. 261 Бид хажуугийн хажуугийн үргэлжлэл болох пропорцтой бөгөөд үүнээс бид гурвалжны хоёр дахь талыг хялбархан олох болно: .

Бодлого 2. Трапецын сууриуд 6 ба 15. Жижиг суурийн оройноос эхлэн тоолоход сууриудтай параллель ба талуудыг 1:2 харьцаагаар хуваах хэрчмийн урт хэд вэ?

Шийдэл. Зураг руу харцгаая. 262, трапецийг дүрсэлсэн. Жижиг суурийн С оройгоор бид AB талтай параллелограммыг трапецын шугамаас таслав. Түүнээс хойш бид эндээс олдог. Тиймээс үл мэдэгдэх KL сегмент бүхэлдээ тэнцүү байна Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид трапецын хажуу талуудыг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Бодлого 3. ABC гурвалжны В дотоод өнцгийн биссектриса нь АС талыг А ба С оройнуудаас ямар зайд хэрчим болгон хэрчиж байгаа бол гадна В өнцгийн биссектриса АС өргөтгөлтэй огтлолцох вэ?

Шийдэл. В өнцгийн биссектриса тус бүр нь АС-ийг ижил харьцаагаар хуваадаг боловч нэг нь дотроо, нөгөө нь гадна талдаа. Үргэлжлэл АС ба гадаад В өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэгийг L-ээр тэмдэглэе.. АК тул тодорхойгүй AL зайг тэр үед тэмдэглэвэл бид пропорцтой болно. Үүний шийдэл нь бидэнд шаардлагатай зайг өгдөг.

Зургийг өөрөө дуусга.

Дасгал

1. 8 ба 18 суурьтай трапецийг шулуун шугамаар хуваана. суурьтай зэрэгцээ, ижил өргөнтэй зургаан судал болгон хийнэ. Трапецийг тууз болгон хуваах шулуун хэрчмүүдийн уртыг ол.

2. Гурвалжны периметр 32. А өнцгийн биссектриса ВС талыг 5 ба 3-тай тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Гурвалжны талуудын уртыг ол.

3. Адил өнцөгт гурвалжны суурь нь a, талб. Суурийн булангийн биссектрисын огтлолцлын цэгүүдийг талуудтай холбосон сегментийн уртыг ол.