Faqja e internetit " tutor profesionist në matematikë” vijon cikli artikuj metodologjikë rreth mësimdhënies. Publikoj përshkrime të metodave të punës sime me temat më komplekse dhe problematike të kurrikulës shkollore. Ky material do të jetë i dobishëm për mësuesit dhe mësuesit kujdestarë të matematikës që punojnë me nxënësit e klasave 8-11 si në programin e rregullt ashtu edhe në programin e orëve të matematikës.
Një mësues i matematikës nuk mund të shpjegojë gjithmonë materialin që është paraqitur keq në tekst. Fatkeqësisht tema të tilla po bëhen gjithnjë e më të shumta dhe po bëhen në masë gabimet e prezantimit që ndjekin autorët e manualeve. Kjo vlen jo vetëm për mësuesit fillestarë të matematikës dhe për mësuesit me kohë të pjesshme (tutorët janë studentët dhe mësuesit e universitetit), por edhe për mësuesit me përvojë, mësuesit profesionistë, tutorët me përvojë dhe kualifikime. Jo të gjithë mësuesit e matematikës kanë talentin për të korrigjuar me kompetencë skajet e përafërta në tekstet shkollore. Jo të gjithë e kuptojnë gjithashtu se këto korrigjime (ose shtesa) janë të nevojshme. Pak fëmijë janë të përfshirë në përshtatjen e materialit për perceptimin e tij cilësor nga fëmijët. Fatkeqësisht ka kaluar koha kur mësuesit e matematikës së bashku me metodologë dhe autorë botimesh diskutonin masivisht çdo shkronjë të tekstit. Më parë, përpara nxjerrjes së një teksti në shkolla, janë bërë analiza dhe studime serioze të rezultateve të të nxënit. Ka ardhur koha për amatorët që përpiqen t'i bëjnë tekstet shkollore universale, duke i përshtatur ato me standardet e klasave të forta të matematikës.
Gara për të rritur sasinë e informacionit çon vetëm në një ulje të cilësisë së asimilimit të tij dhe, si pasojë, një ulje të nivelit të njohurive reale në matematikë. Por askush nuk i kushton vëmendje kësaj. Dhe fëmijët tanë janë të detyruar, tashmë në klasën e 8-të, të studiojnë atë që kemi studiuar në institut: teoria e probabilitetit, zgjidhja e ekuacioneve shkallë të lartë dhe diçka tjetër. Përshtatja e materialit në libra për perceptimin e plotë të një fëmije lë shumë për të dëshiruar, dhe një mësues matematike detyrohet të merret disi me këtë.
Le të flasim për metodologjinë për mësimin e një teme të tillë specifike si "pjestimi i një polinomi nga një polinom nga një cep", i njohur më mirë në matematikën e të rriturve si "teorema e Bezout dhe skema e Horner". Vetëm disa vjet më parë, pyetja nuk ishte aq urgjente për një mësues matematike, sepse nuk ishte pjesë e çështjes kryesore. kurrikula shkollore. Tani autorët e respektuar të librit shkollor, të redaktuar nga Telyakovsky, kanë bërë ndryshime në botimin e fundit të atij që, për mendimin tim, është libri më i mirë shkollor dhe, pasi e kanë prishur plotësisht, vetëm i kanë shtuar shqetësimet e panevojshme mësuesit. Mësuesit e shkollave dhe klasave që nuk kanë statusin e matematikës, duke u fokusuar në risitë e autorëve, filluan të përfshijnë më shpesh paragrafë shtesë në mësimet e tyre dhe fëmijët kureshtarë, duke parë faqet e bukura të tekstit të tyre të matematikës, gjithnjë e më shumë pyesin mësuesi: “Çfarë është kjo ndarje me një qoshe? A do ta kalojmë këtë? Si të ndani një kënd? Nuk fshihet më nga pyetje të tilla të drejtpërdrejta. Mësuesi duhet t'i tregojë fëmijës diçka.
Si? Ndoshta nuk do ta kisha përshkruar metodën e punës me temën nëse do të ishte paraqitur saktë në tekstet shkollore. Si po shkon gjithçka me ne? Tekstet shkollore duhet të shtypen dhe të shiten. Dhe për këtë ato duhet të përditësohen rregullisht. Mësuesit e universitetit ankohen se fëmijët vijnë tek ata me të kokat bosh, pa njohuri dhe aftësi? Kërkesat për njohuri matematikore në rritje? E shkëlqyeshme! Le të heqim disa ushtrime dhe në vend të kësaj të fusim tema që studiohen në programe të tjera. Pse është më keq teksti ynë shkollor? Ne do të përfshijmë disa kapituj shtesë. Nxënësit e shkollës nuk e dinë rregullin e ndarjes me një cep? Kjo është matematika bazë. Ky paragraf duhet të bëhet opsional, me titull "për ata që duan të dinë më shumë". Tutorët kundër tij? Pse ne kujdesemi për tutorët në përgjithësi? Kundër janë edhe metodologët dhe mësuesit e shkollave? Ne nuk do ta komplikojmë materialin dhe do të shqyrtojmë pjesën më të thjeshtë të tij.
Dhe këtu fillon. Thjeshtësia e temës dhe cilësia e asimilimit të saj qëndron, para së gjithash, në të kuptuarit e logjikës së saj dhe jo në kryerjen, në përputhje me udhëzimet e autorëve të teksteve, të një grupi të caktuar veprimesh që nuk janë të lidhura qartë me njëra-tjetrën. . Përndryshe, do të ketë mjegull në kokën e studentit. Nëse autorët synojnë studentë relativisht të fortë (por studiojnë në një program të rregullt), atëherë nuk duhet ta paraqisni temën në një formë komandimi. Çfarë shohim në tekstin shkollor? Fëmijë, ne duhet të ndajmë sipas këtij rregulli. Merrni polinomin nën kënd. Kështu, polinomi origjinal do të faktorizohet. Megjithatë, nuk është e qartë për të kuptuar pse termat nën kënd janë zgjedhur pikërisht në këtë mënyrë, pse ato duhet të shumëzohen me polinomin mbi kënd, dhe më pas të zbriten nga mbetja aktuale. Dhe më e rëndësishmja, nuk është e qartë pse monomët e zgjedhur duhet të shtohen përfundimisht dhe pse kllapat që rezultojnë do të jenë një zgjerim i polinomit origjinal. Çdo matematikan kompetent do të vendosë një pikëpyetje të theksuar mbi shpjegimet e dhëna në tekst.
Sjell në vëmendjen e mësuesve kujdestarë dhe mësuesve të matematikës zgjidhjen time të problemit, e cila praktikisht e bën të qartë për nxënësin gjithçka që thuhet në tekst. Në fakt, ne do të vërtetojmë teoremën e Bezout: nëse numri a është rrënja e një polinomi, atëherë ky polinom mund të zbërthehet në faktorë, njëri prej të cilëve është x-a, dhe i dyti merret nga ai origjinal në një nga tre mënyrat: duke izoluar një faktor linear nëpërmjet transformimeve, me ndarje nga një kënd ose nga skema e Hornerit. Pikërisht me këtë formulim do të jetë më e lehtë për një mësues matematike të punojë.
Çfarë është metodologjia e mësimdhënies? Para së gjithash, ky është një rend i qartë në sekuencën e shpjegimeve dhe shembujve mbi bazën e të cilave nxirren përfundimet matematikore. Kjo temë asnjë përjashtim. Është shumë e rëndësishme që një mësues matematike të prezantojë një fëmijë me teoremën e Bezout para se të ndahet me një cep. Kjo është shumë e rëndësishme! Mënyra më e mirë për të arritur mirëkuptim është që shembull specifik. Le të marrim disa polinom me një rrënjë të zgjedhur dhe të tregojmë teknikën e faktorizimit të tij duke përdorur një metodë të njohur për nxënësit e shkollës që nga klasa e 7-të. transformimet e identitetit. Me shpjegimet shoqëruese, theksimet dhe këshillat e duhura nga një mësues i matematikës, është mjaft e mundur të përcillet materiali pa ndonjë llogaritje të përgjithshme matematikore, koeficientë dhe shkallë arbitrare.
Këshilla të rëndësishme për një mësues matematike- ndiqni udhëzimet nga fillimi në fund dhe mos e ndryshoni këtë sekuencë.
Pra, le të themi se kemi një polinom. Nëse zëvendësojmë numrin 1 në vend të X të tij, atëherë vlera e polinomit do të jetë e barabartë me zero. Prandaj x=1 është rrënja e tij. Le të përpiqemi ta zbërthejmë atë në dy terma në mënyrë që njëri prej tyre të jetë produkt i një shprehjeje lineare dhe një monomi, dhe i dyti të ketë një shkallë më të vogël se . Kjo do të thotë, le ta përfaqësojmë atë në formë
Ne zgjedhim monomin për fushën e kuqe në mënyrë që kur shumëzohet me termin kryesor, ai të përputhet plotësisht me termin kryesor të polinomit origjinal. Nëse nxënësi nuk është më i dobëti, atëherë ai do të jetë mjaft i aftë t'i tregojë mësuesit të matematikës shprehjen e kërkuar: . Mësuesi duhet menjëherë t'i kërkohet ta fusë atë në fushën e kuqe dhe të tregojë se çfarë do të ndodhë kur ato të hapen. Është më mirë të nënshkruani këtë polinom të përkohshëm virtual nën shigjeta (nën foton e vogël), duke e theksuar atë me një ngjyrë, për shembull, blu. Kjo do t'ju ndihmojë të zgjidhni një term për fushën e kuqe, të quajtur pjesa e mbetur e përzgjedhjes. Do t'i këshilloja tutorët të nënvizonin këtu se kjo mbetje mund të gjendet me zbritje. Duke kryer këtë operacion marrim:
Mësuesi i matematikës duhet të tërheqë vëmendjen e studentit për faktin se duke zëvendësuar një në këtë barazi, ne jemi të garantuar të marrim zero në anën e majtë të tij (pasi 1 është rrënja e polinomit origjinal), dhe në anën e djathtë, natyrisht, ne do të zero edhe mandatin e parë. Kjo do të thotë se pa asnjë verifikim mund të themi se njëra është rrënja e “mbetjes së gjelbër”.
Le ta trajtojmë atë në të njëjtën mënyrë siç bëmë me polinomin origjinal, duke u izoluar nga ai njësoj shumëzues linear. Mësuesi i matematikës vizaton dy korniza para nxënësit dhe i kërkon të plotësojnë nga e majta në të djathtë.
Nxënësi zgjedh për mësuesin një monom për fushën e kuqe në mënyrë që, kur shumëzohet me termin kryesor të shprehjes lineare, të japë termin kryesor të polinomit në zgjerim. E vendosim në kornizë, hapim menjëherë kllapa dhe theksojmë me blu shprehjen që duhet të zbritet nga ajo e palosshme. Duke kryer këtë operacion marrim
Dhe së fundi, duke bërë të njëjtën gjë me pjesën e mbetur të fundit
më në fund do ta marrim
Tani le të nxjerrim shprehjen nga kllapa dhe do të shohim zbërthimin e polinomit origjinal në faktorë, njëri prej të cilëve është "x minus rrënjën e zgjedhur".
Për të parandaluar që studenti të mendojë se "mbetja e gjelbër" e fundit u zbërthye aksidentalisht në faktorët e kërkuar, mësuesi i matematikës duhet të tregojë pronë e rëndësishme nga të gjitha mbetjet e gjelbra - secila prej tyre ka rrënjën 1. Meqenëse shkallët e këtyre mbetjeve zvogëlohen, atëherë cilado shkallë e polinomit fillestar të na jepet, herët a vonë, do të marrim një "mbetje të gjelbër" lineare me rrënjën 1, dhe prandaj doemos do të zbërthejë në prodhim një numër dhe shprehje.
Pas kësaj punë përgatitore Nuk do të jetë e vështirë për një mësues matematike t'i shpjegojë një studenti se çfarë ndodh kur ndahet me një kënd. Ky është i njëjti proces, vetëm në një formë më të shkurtër dhe më kompakte, pa shenja të barabarta dhe pa rishkruar të njëjtat terma të theksuar. Polinomi nga i cili nxirret faktori linear shkruhet në të majtë të këndit, monomët e zgjedhur të kuq mblidhen në një kënd (tani bëhet e qartë pse duhet të mblidhen), për të marrë "polinomet blu" duhet të shumëzoni ato “të kuqe” me x-1, dhe më pas zbrisni ato nga përzgjedhja aktuale se si bëhet kjo kur ndarje e zakonshme numrat në një kolonë (këtu është një analogji me atë që u studiua më parë). "Mbetjet e gjelbra" që rezultojnë i nënshtrohen izolimit dhe përzgjedhjes së re të "monomeve të kuqe". Dhe kështu me radhë derisa të merrni zero "balancën e gjelbër". Gjëja më e rëndësishme është që nxënësi të kuptojë fati i mëtejshëm polinomet e shkruara sipër dhe poshtë këndit. Natyrisht, këto janë kllapa, produkti i të cilave është i barabartë me polinomin origjinal.
Faza tjetër e punës së një mësuesi të matematikës është formulimi i teoremës së Bezout. Në fakt, formulimi i tij me këtë qasje të tutorit bëhet i qartë: nëse numri a është rrënja e një polinomi, atëherë ai mund të faktorizohet, njëri prej të cilëve është , dhe tjetri merret nga ai origjinal në një nga tre mënyrat. :
- zbërthimi i drejtpërdrejtë (analog me metodën e grupimit)
- ndarja me një qoshe (në një kolonë)
- nëpërmjet qarkut të Hornerit
Duhet thënë se jo të gjithë mësuesit e matematikës u tregojnë studentëve diagramin e Hornerit dhe jo të gjithë. mësuesit e shkollës(për fat të mirë për vetë mësuesit) ata hyjnë aq thellë në temë gjatë mësimeve. Megjithatë, për studentin klasë matematike Nuk shoh asnjë arsye për t'u ndalur në ndarjen e gjatë. Për më tepër, më i përshtatshëm dhe shpejtë Teknika e dekompozimit bazohet pikërisht në skemën e Hornerit. Për t'i shpjeguar një fëmije nga vjen, mjafton të gjurmoni, duke përdorur shembullin e pjesëtimit me një cep, shfaqjen e koeficientëve më të lartë në mbetjet jeshile. Bëhet e qartë se koeficienti kryesor i polinomit fillestar bartet në koeficientin e "monomit të kuq" të parë dhe më tej nga koeficienti i dytë i polinomit të sipërm aktual. zbritet rezultati i shumëzimit të koeficientit aktual të “monomit të kuq” me . Prandaj është e mundur shtoni rezultati i shumëzimit me . Pasi të përqendrojë vëmendjen e studentit në specifikat e veprimeve me koeficientë, një mësues matematike mund të tregojë se si zakonisht kryhen këto veprime pa regjistruar vetë variablat. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të futni rrënjën dhe koeficientët e polinomit origjinal sipas rendit të përparësisë në tabelën e mëposhtme:
Nëse ndonjë shkallë mungon në një polinom, koeficienti i tij zero futet në tabelë. Koeficientët e "polinomeve të kuqe" shkruhen me radhë në vijën fundore sipas rregullit "grep": 
Rrënja shumëzohet me koeficientin e fundit të kuq, i shtohet koeficientit tjetër në rreshtin e sipërm dhe rezultati shkruhet në vijën e poshtme. Në kolonën e fundit ne jemi të garantuar të marrim koeficientin më të lartë të "mbetjes së gjelbër" të fundit, domethënë zero. Pas përfundimit të procesit, numrat i vendosur midis rrënjës së përputhur dhe mbetjes zero rezultojnë të jenë koeficientë të faktorit të dytë (jolinear).
Meqenëse rrënja a jep një zero në fund të vijës fundore, skema e Hornerit mund të përdoret për të kontrolluar numrat për titullin e rrënjës së një polinomi. Nëse një teoremë e veçantë për zgjedhjen e një rrënjë racionale. Të gjithë kandidatët për këtë titull të marrë me ndihmën e tij thjesht futen me radhë nga e majta në diagramin e Hornerit. Sapo të marrim zero, numri i testuar do të jetë një rrënjë, dhe në të njëjtën kohë do të marrim koeficientët e faktorizimit të polinomit origjinal në vijën e tij. Shumë i përshtatshëm.
Si përfundim, dëshiroj të vërej se për të prezantuar me saktësi skemën e Hornerit, si dhe për të konsoliduar praktikisht temën, një mësues i matematikës duhet të ketë në dispozicion të tij sasi të mjaftueshme orë. Një mësues që punon me regjimin "një herë në javë" nuk duhet të përfshihet në ndarje në qoshe. Në Provimin e Unifikuar Shtetëror në Matematikë dhe në Akademinë Shtetërore të Matematikës në Matematikë, nuk ka gjasa që në pjesën e parë të hasni ndonjëherë një ekuacion të shkallës së tretë që mund të zgjidhet me mjete të tilla. Nëse një mësues po përgatit një fëmijë për një provim matematike në Universitetin Shtetëror të Moskës, studimi i temës bëhet i detyrueshëm. Mësuesit e universitetit, ndryshe nga hartuesit e Provimit të Unifikuar të Shtetit, pëlqejnë vërtet të testojnë thellësinë e njohurive të një aplikanti.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, mësues i matematikës Moskë, Strogino
etj. është i natyrës edukative të përgjithshme dhe ka vlerë të madhe për të studiuar TË GJITHË kursin matematikë e lartë. Sot do të përsërisim ekuacionet "shkollore", por jo vetëm ato "shkollore" - por ato që gjenden kudo në detyra të ndryshme vyshmat. Si zakonisht, historia do të tregohet në mënyrë të aplikuar, d.m.th. Nuk do të fokusohem në përkufizime dhe klasifikime, por do të ndaj me ju saktësisht përvojë personale zgjidhjet. Informacioni është menduar kryesisht për fillestarët, por lexuesit më të avancuar gjithashtu do të gjejnë shumë për veten e tyre. momente interesante. Dhe sigurisht që do të ketë material i ri, duke shkuar përtej shkolla e mesme.
Pra, ekuacioni…. Shumë e kujtojnë këtë fjalë me dridhje. Çfarë vlejnë ekuacionet “të sofistikuara” me rrënjë... ...harrojini! Sepse atëherë do të takoni "përfaqësuesit" më të padëmshëm të kësaj specie. Ose e mërzitshme ekuacionet trigonometrike me dhjetëra metoda zgjidhjeje. Për të qenë i sinqertë, nuk më pëlqyen shumë ... Mos u trembni! – atëherë kryesisht “luleradhiqe” ju presin me një zgjidhje të dukshme në 1-2 hapa. Edhe pse "rodhe" sigurisht ngjitet, ju duhet të jeni objektiv këtu.
Mjaft e çuditshme, në matematikën e lartë është shumë më e zakonshme të merren me ekuacione shumë primitive si p.sh. lineare ekuacionet
Çfarë do të thotë të zgjidhësh këtë ekuacion? Kjo do të thotë të gjesh një vlerë të tillë të "x" (rrënjë) që e kthen atë në një barazi të vërtetë. Le të hedhim "tre" në të djathtë me një ndryshim të shenjës:
dhe rivendosni "dy" në anën e djathtë (ose, e njëjta gjë - shumëzojini të dyja anët me)
:
Për të kontrolluar, le të zëvendësojmë trofeun e fituar ekuacioni origjinal :
Përftohet barazia e saktë, që do të thotë se vlera e gjetur është me të vërtetë një rrënjë ekuacioni i dhënë. Ose, siç thonë edhe ata, e plotëson këtë ekuacion.
Ju lutemi vini re se rrënja mund të shkruhet edhe në formë dhjetore:
Dhe përpiquni të mos i përmbaheni këtij stili të keq! E përsërita arsyen më shumë se një herë, veçanërisht, në mësimin e parë algjebër më të lartë.
Nga rruga, ekuacioni mund të zgjidhet gjithashtu "në arabisht":
Dhe ajo që është më interesante - këtë hyrje plotësisht legal! Por nëse nuk jeni mësues, atëherë është më mirë të mos e bëni këtë, sepse origjinaliteti dënohet këtu =)
Dhe tani pak për
metoda e zgjidhjes grafike
Ekuacioni ka formën dhe rrënja e tij është Koordinata "X". pikat e kryqëzimit grafiku i funksionit linear me orar funksion linear (boshti x):
Duket se shembulli është aq elementar sa nuk ka asgjë më shumë për të analizuar këtu, por një nuancë tjetër e papritur mund të "shtryhet" prej tij: le të paraqesim të njëjtin ekuacion në formë dhe të ndërtojmë grafikët e funksioneve: 
Në të njëjtën kohë, ju lutem mos i ngatërroni të dy konceptet: një ekuacion është një ekuacion, dhe funksionin- ky është një funksion! Funksionet vetëm ndihmë gjeni rrënjët e ekuacionit. Nga të cilat mund të jenë dy, tre, katër, apo edhe pafundësisht shumë. Shembulli më i afërt në këtë kuptim është i njohuri ekuacioni kuadratik, algoritmi i zgjidhjes për të cilin mori një paragraf të veçantë formulat e shkollës "të nxehta".. Dhe kjo nuk është rastësi! Nëse mund të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe e dini Teorema e Pitagorës, atëherë, mund të thuhet, "gjysma e matematikës së lartë tashmë është në xhepin tuaj" =) E ekzagjeruar, natyrisht, por jo edhe aq larg së vërtetës!
Prandaj, le të mos jemi dembel dhe të zgjidhim disa ekuacione kuadratike duke përdorur algoritmi standard:
, që do të thotë se ekuacioni ka dy të ndryshme e vlefshme rrënjë: 
Është e lehtë të verifikohet që të dyja vlerat e gjetura përmbushin në të vërtetë këtë ekuacion: 
Çfarë duhet të bëni nëse papritur e keni harruar algoritmin e zgjidhjes dhe nuk ka mjete/duart ndihmëse në dorë? Kjo situatë mund të lindë, për shembull, gjatë një testi ose provimi. Ne përdorim metodën grafike! Dhe ka dy mënyra: mundeni ndërtoni pikë për pikë parabolë 
, duke gjetur kështu se ku e kryqëzon boshtin (nëse kalon fare). Por është më mirë të bësh diçka më dinake: imagjinoni ekuacionin në formë, vizatoni më shumë grafikët funksione të thjeshta- Dhe Koordinatat "X". pikat e tyre të kryqëzimit janë qartë të dukshme! 
Nëse rezulton se vija e drejtë prek parabolën, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë që përputhen (shumë). Nëse rezulton se vija e drejtë nuk e kryqëzon parabolën, atëherë nuk ka rrënjë të vërteta.
Për ta bërë këtë, natyrisht, ju duhet të jeni në gjendje të ndërtoni grafikët e funksioneve elementare, por nga ana tjetër edhe një nxënës i shkollës mund t'i bëjë këto aftësi.
Dhe përsëri - një ekuacion është një ekuacion, dhe funksionet , janë funksione që vetëm ndihmoi zgjidhni ekuacionin!
Dhe këtu, nga rruga, do të ishte e përshtatshme të mbani mend edhe një gjë: nëse të gjithë koeficientët e një ekuacioni shumëzohen me një numër jozero, atëherë rrënjët e tij nuk do të ndryshojnë.
Kështu, për shembull, ekuacioni 
ka të njëjtat rrënjë. Si një "provë" e thjeshtë, do ta heq konstanten nga kllapat: 
dhe do ta heq pa dhimbje (Unë do t'i ndaj të dyja pjesët me "minus dy"):
POR! Nëse kemi parasysh funksionin 
, atëherë nuk mund të heqësh qafe konstanten këtu! Lejohet vetëm nxjerrja e shumëzuesit nga kllapat: 
.
Shumë njerëz e nënvlerësojnë metodën e zgjidhjes grafike, duke e konsideruar atë diçka "të padenjë", dhe disa madje e harrojnë plotësisht këtë mundësi. Dhe kjo është thelbësisht e gabuar, pasi vizatimi i grafikëve ndonjëherë thjesht kursen situatën!
Një shembull tjetër: supozoni se nuk i mbani mend rrënjët e ekuacionit më të thjeshtë trigonometrik: . Formula e përgjithshmeështë në tekstet shkollore, në të gjithë librat e referencës në matematika elementare, por ato nuk janë të disponueshme për ju. Megjithatë, zgjidhja e ekuacionit është kritike (aka "dy"). Ka një rrugëdalje! – të ndërtoni grafikët e funksioneve: 
pas së cilës shkruajmë me qetësi koordinatat "X" të pikave të tyre të kryqëzimit: 
Ka pafundësisht shumë rrënjë dhe shënimi i tyre i kondensuar pranohet në algjebër:
, Ku ( – grup numrash të plotë)
.
Dhe, pa u “larguar”, disa fjalë për metodën grafike për zgjidhjen e pabarazive me një ndryshore. Parimi është i njëjtë. Kështu, për shembull, zgjidhja e pabarazisë është çdo "x", sepse Sinusoidi shtrihet pothuajse plotësisht nën vijën e drejtë. Zgjidhja e pabarazisë është grupi i intervaleve në të cilat pjesët e sinusoidit shtrihen rreptësisht mbi vijën e drejtë (boshti x):
ose shkurtimisht:
Por këtu janë shumë zgjidhje për pabarazinë: bosh, pasi asnjë pikë e sinusoidit nuk qëndron mbi vijën e drejtë.
A ka ndonjë gjë që nuk kupton? Studioni urgjentisht mësimet rreth grupe Dhe grafikët e funksioneve!
Le të ngrohemi:
Detyra 1
Zgjidh grafikisht ekuacionet trigonometrike të mëposhtme:
Përgjigjet në fund të orës së mësimit
Siç mund ta shihni, për të studiuar shkencat ekzakte Nuk ka nevojë të grumbulloni formula dhe libra referimi! Për më tepër, kjo është një qasje thelbësisht e gabuar.
Siç ju sigurova tashmë në fillim të mësimit, ekuacionet komplekse trigonometrike në një kurs standard të matematikës më të lartë duhet të zgjidhen jashtëzakonisht rrallë. I gjithë kompleksiteti, si rregull, përfundon me ekuacione si , zgjidhja e të cilave është dy grupe rrënjësh me origjinë nga ekuacionet më të thjeshta dhe 
. Mos u shqetësoni shumë për zgjidhjen e kësaj të fundit - kërkoni në një libër ose gjeni në internet =)
Metoda e zgjidhjes grafike mund të ndihmojë gjithashtu në raste më pak të parëndësishme. Merrni, për shembull, ekuacionin e mëposhtëm "ragtag":
Perspektivat për zgjidhjen e tij duken ... nuk duken fare, por thjesht duhet të imagjinoni ekuacionin në formë, të ndërtoni grafikët e funksioneve dhe gjithçka do të dalë tepër e thjeshtë. Ka një vizatim në mes të artikullit rreth funksionet infiniteminale (do të hapet në skedën tjetër).
Njësoj metodë grafike mund të zbuloni se ekuacioni tashmë ka dy rrënjë, dhe njëra prej tyre e barabartë me zero, dhe tjetra, me sa duket, irracionale dhe i përket segmentit . Rrënjë e dhënë mund të llogaritet përafërsisht, për shembull, metoda tangjente. Nga rruga, në disa probleme, ndodh që nuk keni nevojë të gjeni rrënjët, por zbuloni a ekzistojnë fare?. Dhe këtu, gjithashtu, një vizatim mund të ndihmojë - nëse grafikët nuk kryqëzohen, atëherë nuk ka rrënjë.
Rrënjët racionale të polinomeve me koeficientë të plotë.
Skema Horner
Dhe tani ju ftoj ta ktheni shikimin drejt mesjetës dhe të ndjeni atmosferën unike të algjebrës klasike. Për një kuptim më të mirë të materialit, ju rekomandoj të lexoni të paktën pak numra komplekse.
Ata janë më të mirët. Polinome.
Objekti i interesit tonë do të jenë polinomet më të zakonshme të formës me e tërë koeficientët Numri natyror thirrur shkalla e polinomit, numri – koeficienti i shkallës më të lartë (ose thjesht koeficienti më i lartë), dhe koeficienti është anëtar i lirë.
Do ta shënoj shkurtimisht këtë polinom me .
Rrënjët e një polinomi thirrni rrënjët e ekuacionit
Më pëlqen logjika e hekurt =)
Për shembuj, shkoni në fillim të artikullit: 
Nuk ka probleme me gjetjen e rrënjëve të polinomeve të shkallës 1 dhe 2, por ndërsa rriteni kjo detyrë bëhet gjithnjë e më e vështirë. Edhe pse nga ana tjetër, gjithçka është më interesante! Dhe pikërisht kësaj do t'i kushtohet pjesa e dytë e mësimit.
Së pari, fjalë për fjalë gjysmë ekrani i teorisë:
1) Sipas përfundimit teorema themelore e algjebrës, polinomi i shkallës ka saktësisht komplekse rrënjët. Disa rrënjë (ose edhe të gjitha) mund të jenë veçanërisht e vlefshme. Për më tepër, midis rrënjëve reale mund të ketë rrënjë identike (të shumëfishta). (minimumi dy, maksimumi copa).
Nëse një numër kompleks është rrënja e një polinomi, atëherë konjuguar numri i tij është detyrimisht edhe rrënja e këtij polinomi (konjuguar rrënjë komplekse duket si).
Shembulli më i thjeshtëështë një ekuacion kuadratik që u shfaq për herë të parë në 8 (si) klasë, dhe të cilën më në fund e “përfunduam” në temë numra komplekse. Më lejoni t'ju kujtoj: një ekuacion kuadratik ka ose dy rrënjë të ndryshme reale, ose rrënjë të shumta, ose rrënjë komplekse të konjuguara.
2) Nga Teorema e Bezout rrjedh se nëse një numër është rrënja e një ekuacioni, atëherë polinomi përkatës mund të faktorizohet:
, ku është një polinom i shkallës .
Dhe përsëri, shembulli ynë i vjetër: pasi është rrënja e ekuacionit, atëherë . Pas së cilës nuk është e vështirë të përftosh zgjerimin e njohur të "shkollës".
Përfundimi i teoremës së Bezout ka vlerë të madhe praktike: nëse e dimë rrënjën e një ekuacioni të shkallës së 3-të, atëherë mund ta paraqesim atë në formën 
dhe nga ekuacioni kuadratikështë e lehtë të dallosh rrënjët e mbetura. Nëse e dimë rrënjën e ekuacionit të shkallës së 4-të, atëherë është e mundur të zgjerohet ana e majtë në një produkt, etj.
Dhe këtu ka dy pyetje:
Pyetja e parë. Si ta gjeni këtë rrënjë? Para së gjithash, le të përcaktojmë natyrën e tij: në shumë probleme të matematikës së lartë është e nevojshme të gjendet racionale, në veçanti e tërë rrënjët e polinomeve dhe në këtë drejtim do të na interesojë kryesisht më poshtë.... ...janë aq të mira, aq me gëzof, saqë thjesht do t'i gjesh! =)
Gjëja e parë që ju vjen në mendje është metoda e përzgjedhjes. Merrni, për shembull, ekuacionin . Kapja këtu është në termin e lirë - nëse do të ishte e barabartë me zero, atëherë gjithçka do të ishte mirë - ne nxjerrim "X" nga kllapat dhe vetë rrënjët "bien" në sipërfaqe: 
Por termi ynë i lirë është i barabartë me "tre", dhe për këtë arsye ne fillojmë të zëvendësojmë në ekuacion numra të ndryshëm, duke pretenduar të jetë "rrënja". Para së gjithash, zëvendësimi i vlerave të vetme sugjeron vetveten. Le të zëvendësojmë: 
Marrë e pasaktë barazia, pra, njësia "nuk përshtatej". Epo, mirë, le të zëvendësojmë: 
Marrë e vërtetë barazi! Kjo do të thotë, vlera është rrënja e këtij ekuacioni.
Për të gjetur rrënjët e një polinomi të shkallës së 3-të, ekzistojnë metodë analitike (të ashtuquajturat formula Cardano), por tani ne jemi të interesuar për një detyrë pak më ndryshe.
Meqenëse - është rrënja e polinomit tonë, polinomi mund të paraqitet në formën dhe lind Pyetja e dytë: si të gjeni një "vëlla më të vogël"?
Konsideratat më të thjeshta algjebrike sugjerojnë se për ta bërë këtë duhet të ndajmë me . Si të pjesëtohet një polinom me një polinom? Njësoj metoda e shkollës të përbashkëta numrat e zakonshëm- "në një kolonë"! Kjo metodë E diskutova me hollësi në shembujt e parë të mësimit Kufijtë komplekse, dhe tani do të shikojmë një metodë tjetër, e cila quhet Skema Horner.
Fillimisht shkruajmë polinomin "më të lartë". me të gjithë
, duke përfshirë koeficientët zero:
, pas së cilës futim këta koeficientë (rreptësisht sipas renditjes) në rreshtin e sipërm të tabelës:
Ne shkruajmë rrënjën në të majtë:
Do të bëj menjëherë një rezervim që skema e Hornerit gjithashtu funksionon nëse numri "i kuq". Joështë rrënja e polinomit. Megjithatë, le të mos i nxitojmë gjërat.
Ne heqim koeficientin kryesor nga lart:
Procesi i mbushjes së qelizave të poshtme të kujton disi qëndisjen, ku "minus një" është një lloj "gjilpëre" që përshkon hapat e mëpasshëm. Ne e shumëzojmë numrin "të mbartur" me (–1) dhe shtojmë numrin nga qeliza e sipërme te produkti:
Ne e shumëzojmë vlerën e gjetur me "gjilpërën e kuqe" dhe i shtojmë produktit koeficientin e ekuacionit të mëposhtëm:
Dhe së fundi, vlera që rezulton përsëri "përpunohet" me "gjilpërën" dhe koeficientin e sipërm:
Zero në qelizën e fundit na tregon se polinomi ndahet në pa lënë gjurmë (siç duhet të jetë), ndërsa koeficientët e zgjerimit "hiqen" drejtpërdrejt nga rreshti i fundit i tabelës:
Kështu, ne kaluam nga ekuacioni në një ekuacion ekuivalent dhe gjithçka është e qartë me dy rrënjët e mbetura (V në këtë rast marrim rrënjë komplekse të konjuguara).
Ekuacioni, meqë ra fjala, mund të zgjidhet edhe grafikisht: komplot "rrufe" 
dhe shikoni që grafiku kalon boshtin x ()
në pikën. Ose i njëjti mashtrim "dinakë" - ne e rishkruajmë ekuacionin në formë, vizatojmë grafika elementare dhe zbulojnë koordinatën “X” të pikës së tyre të kryqëzimit.
Nga rruga, grafiku i çdo funksioni-polinomi të shkallës së 3-të e pret boshtin të paktën një herë, që do të thotë se ekuacioni përkatës ka të paktën një e vlefshme rrënjë. Ky fakt e vlefshme për çdo funksion polinomial të shkallës tek.
Dhe këtu do të doja të ndalem gjithashtu pikë e rëndësishme që ka të bëjë me terminologjinë: polinom Dhe funksioni polinom – nuk eshte e njejta gje! Por në praktikë ata shpesh flasin, për shembull, për "grafin e një polinomi", i cili, natyrisht, është neglizhencë.
Megjithatë, le të kthehemi te skema e Hornerit. Siç e përmenda kohët e fundit, kjo skemë funksionon për numra të tjerë, por nëse numri Joështë rrënja e ekuacionit, atëherë në formulën tonë shfaqet një shtesë (mbetje) jo zero:
Le të "drejtojmë" vlerën "e pasuksesshme" sipas skemës së Horner. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdorni të njëjtën tabelë - shkruani një "gjilpërë" të re në të majtë, lëvizni koeficientin kryesor nga lart (shigjeta jeshile majtas), dhe shkojmë: 
Për të kontrolluar, le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm:
, OK.
Është e lehtë të shihet se pjesa e mbetur (“gjashtë”) është saktësisht vlera e polinomit në . Dhe në fakt - si është: 
, dhe akoma më e bukur - si kjo:
Nga llogaritjet e mësipërme është e lehtë të kuptohet se skema e Horner lejon jo vetëm të faktorizojë polinomin, por edhe të kryejë një përzgjedhje "të civilizuar" të rrënjës. Unë ju sugjeroj të konsolidoni në mënyrë të pavarur algoritmin e llogaritjes me një detyrë të vogël:
Detyra 2
Duke përdorur skemën e Hornerit, gjeni rrënjë e tërë ekuacioni dhe faktori polinomin përkatës
Me fjalë të tjera, këtu ju duhet të kontrolloni në mënyrë sekuenciale numrat 1, -1, 2, -2, ... - derisa një mbetje zero të "vizatohet" në kolonën e fundit. Kjo do të thotë se "gjilpëra" e kësaj rreshti është rrënja e polinomit
Është i përshtatshëm për të rregulluar llogaritjet në një tabelë të vetme. Zgjidhje e detajuar dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.
Metoda e përzgjedhjes së rrënjëve është e mirë për relativisht raste të thjeshta, por nëse koeficientët dhe/ose shkalla e polinomit janë të mëdha, atëherë procesi mund të zgjasë më shumë. Apo ndoshta ka disa vlera nga e njëjta listë 1, -1, 2, -2 dhe nuk ka kuptim të merren parasysh? Dhe, përveç kësaj, rrënjët mund të rezultojnë të pjesshme, gjë që do të çojë në një goditje krejtësisht joshkencore.
Për fat të mirë, ekzistojnë dy teorema të fuqishme që mund të zvogëlojnë ndjeshëm kërkimin e vlerave "kandidate" për rrënjët racionale:
Teorema 1 Le të shqyrtojmë e pareduktueshme fraksion , ku . Nëse numri është rrënja e ekuacionit, atëherë termi i lirë pjesëtohet me dhe koeficienti kryesor pjesëtohet me.
Në veçanti, nëse koeficienti kryesor është , atëherë kjo rrënjë racionale është një numër i plotë:
Dhe ne fillojmë të shfrytëzojmë teoremën vetëm me këtë detaj të shijshëm:
Le të kthehemi te ekuacioni. Meqenëse koeficienti i tij kryesor është , atëherë rrënjët racionale hipotetike mund të jenë ekskluzivisht numër të plotë, dhe termi i lirë duhet domosdoshmërisht të ndahet në këto rrënjë pa mbetje. Dhe "tre" mund të ndahen vetëm në 1, -1, 3 dhe -3. Kjo do të thotë, ne kemi vetëm 4 "kandidatë rrënjësorë". Dhe, sipas Teorema 1, të tjera numrat racionalë nuk mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni NË PARIM.
Ka pak më shumë "pretendues" në ekuacion: termi i lirë ndahet në 1, -1, 2, - 2, 4 dhe -4.
Ju lutemi vini re se numrat 1, -1 janë "të rregullt" të listës së rrënjëve të mundshme (një pasojë e dukshme e teoremës) dhe shumica zgjedhja më e mirë për kontrollin e përparësisë.
Le të kalojmë në shembuj më kuptimplotë:
Problemi 3
Zgjidhje: meqenëse koeficienti kryesor është , atëherë rrënjët racionale hipotetike mund të jenë vetëm numra të plotë, dhe ato duhet të jenë pjesëtues anëtar i lirë. "Minus dyzet" ndahet në çiftet e mëposhtme të numrave:
– gjithsej 16 “kandidatë”.
Dhe këtu shfaqet menjëherë një mendim tundues: a është e mundur të eliminohen të gjitha negativet apo të gjitha rrënjë pozitive? Në disa raste është e mundur! Unë do të formuloj dy shenja:
1) Nëse Të gjitha Nëse koeficientët e polinomit janë jonegativë, atëherë ai nuk mund të ketë rrënjë pozitive. Fatkeqësisht, ky nuk është rasti ynë (Tani, nëse na është dhënë një ekuacion - atëherë po, kur zëvendësojmë ndonjë vlerë të polinomit, vlera e polinomit është rreptësisht pozitive, që do të thotë se gjithçka numra pozitiv (dhe ato irracionale gjithashtu) nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit.
2) Nëse koeficientët në shkallë tek janë jonegative, dhe për të gjitha madje edhe pushtetet (përfshirë anëtarët falas) janë negative, atëherë polinomi nuk mund të ketë rrënjë negative. Ky është rasti ynë! Duke parë pak më afër, mund të shihni se kur zëvendësoni çdo "x" negativ në ekuacion anën e majtë do të jetë rreptësisht negative, që do të thotë rrënjë negative zhduken
Kështu, mbeten 8 numra për kërkime:
Ne i "ngarkuar" ato në mënyrë sekuenciale sipas skemës së Horner. Shpresoj që tashmë i keni zotëruar llogaritjet mendore: 
Fati na priste kur testonim "dy". Kështu, është rrënja e ekuacionit në shqyrtim, dhe
Mbetet për të studiuar ekuacionin 
. Kjo është e lehtë për t'u bërë përmes diskriminuesit, por unë do të kryej një test tregues duke përdorur të njëjtën skemë. Së pari, le të vërejmë se termi i lirë është i barabartë me 20, që do të thotë Teorema 1 numrat 8 dhe 40 dalin nga lista e rrënjëve të mundshme, duke lënë vlerat për kërkime (njëri u eliminua sipas skemës së Hornerit).
Koeficientët e trinomit i shkruajmë në rreshtin e sipërm të tabelës së re dhe Ne fillojmë të kontrollojmë me të njëjtat "dy". Pse? Dhe për shkak se rrënjët mund të jenë shumëfishe, ju lutemi: - ky ekuacion ka 10 rrënjë të njëjta. Por le të mos shpërqendrohemi: 
Dhe këtu, natyrisht, u gënjeva pak, duke e ditur se rrënjët janë racionale. Në fund të fundit, nëse ato do të ishin irracionale ose komplekse, atëherë do të përballesha me një kontroll të pasuksesshëm të të gjithë numrave të mbetur. Prandaj, në praktikë, udhëhiquni nga diskriminuesi.
Përgjigju: rrënjët racionale: 2, 4, 5
Ne ishim me fat në problemin që analizuam, sepse: a) ata ranë menjëherë vlerat negative, dhe b) e gjetëm rrënjën shumë shpejt (dhe teorikisht mund të kontrollonim të gjithë listën).
Por në realitet situata është shumë më e keqe. Ju ftoj të shikoni një lojë emocionuese të quajtur " Heroi i fundit»:
Problemi 4
Gjeni rrënjët racionale të ekuacionit
Zgjidhje: Nga Teorema 1 numëruesit e hipotetikëve rrënjët racionale duhet të plotësojë kushtin (lexojmë "dymbëdhjetë ndahet me el"), dhe emëruesit korrespondojnë me kushtin . Bazuar në këtë, marrim dy lista:
"lista el":
dhe "lista um": (për fat të mirë, numrat këtu janë të natyrshëm).
Tani le të bëjmë një listë të të gjitha rrënjëve të mundshme. Së pari, ne e ndajmë "listën el" me . Është absolutisht e qartë se të njëjtat shifra do të merren. Për lehtësi, le t'i vendosim ato në një tabelë:
Shumë fraksione janë zvogëluar, duke rezultuar në vlera që janë tashmë në "listën e heronjve". Ne shtojmë vetëm "të rinj": 
Në mënyrë të ngjashme, ne ndajmë të njëjtën "listë" nga: 
dhe në fund në
Kështu, ekipi i pjesëmarrësve në lojën tonë është kompletuar: 
Fatkeqësisht, polinomi në këtë problem nuk plotëson kriterin "pozitiv" ose "negativ" dhe për këtë arsye ne nuk mund të hedhim poshtë rreshtin e sipërm ose të poshtëm. Ju do të duhet të punoni me të gjithë numrat.
si ndiheni? Hajde, ngrije kokën lart - ka një teoremë tjetër që në mënyrë figurative mund të quhet "teorema vrasëse"…. ...“kandidatët”, sigurisht =)
Por së pari ju duhet të lëvizni nëpër diagramin e Horner për të paktën një e tëra numrat. Tradicionalisht, le të marrim një. Në rreshtin e sipërm shkruajmë koeficientët e polinomit dhe gjithçka është si zakonisht:
Meqenëse katër nuk është qartë zero, vlera nuk është rrënja e polinomit në fjalë. Por ajo do të na ndihmojë shumë.
Teorema 2 Nëse për disa në përgjithësi vlera e polinomit është jozero: , atëherë rrënjët e tij racionale (nëse ekzistojnë) plotësojnë kushtin
Në rastin tonë dhe për këtë arsye të gjitha rrënjët e mundshme duhet të plotësojnë kushtin (le ta quajmë Kushti nr. 1). Kjo katërshe do të jetë “vrasësi” i shumë “kandidatëve”. Si demonstrim, do të shikoj disa kontrolle:
Le të kontrollojmë "kandidatin". Për ta bërë këtë, le ta paraqesim atë artificialisht në formën e një thyese, nga e cila shihet qartë se . Le të llogarisim diferencën e testit: . Katër ndahet me "minus dy": , që do të thotë se rrënja e mundshme e ka kaluar testin.
Le të kontrollojmë vlerën. Këtu ndryshimi i testit është: 
. Sigurisht, dhe për këtë arsye "subjekti" i dytë gjithashtu mbetet në listë.
Skema e Horner - një metodë e ndarjes së një polinomi
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
në binomin $x-a$. Ju do të duhet të punoni me një tabelë, rreshti i parë i së cilës përmban koeficientët e një polinomi të caktuar. Elementi i parë i rreshtit të dytë do të jetë numri $a$, marrë nga binomi $x-a$:
Pas pjesëtimit të një polinomi të shkallës së nëntë me një binom $x-a$, fitojmë një polinom shkalla e të cilit është një më pak se ajo origjinale, d.m.th. është e barabartë me $n-1$. Zbatimi i drejtpërdrejtë i skemës së Hornerit është më i lehtë për t'u demonstruar me shembuj.
Shembulli nr. 1
Ndani $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$ duke përdorur skemën e Horner.
Le të bëjmë një tabelë me dy rreshta: në rreshtin e parë shkruajmë koeficientët e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$, të renditur në rend zbritës të fuqive të ndryshores $x$. Vini re se ky polinom nuk përmban $x$ në shkallën e parë, d.m.th. koeficienti i $x$ ndaj fuqisë së parë është 0. Meqenëse po pjesëtojmë me $x-1$, shkruajmë një në rreshtin e dytë:
Le të fillojmë të plotësojmë qelizat boshe në rreshtin e dytë. Në qelizën e dytë të rreshtit të dytë, shkruani numrin $5$, thjesht duke e zhvendosur atë nga qeliza përkatëse e rreshtit të parë:
Le të mbushim qelizën tjetër sipas këtij parimi: $1\cdot 5+5=10$:
Le të plotësojmë qelizën e katërt të rreshtit të dytë në të njëjtën mënyrë: $1\cdot 10+1=11$:
Për qelizën e pestë marrim: $1\cdot 11+0=11$:
Dhe së fundi, për qelizën e fundit, të gjashtë, kemi: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problemi është zgjidhur, gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:
Siç mund ta shihni, numrat e vendosur në rreshtin e dytë (midis një dhe zeros) janë koeficientët e polinomit të marrë pas pjesëtimit të $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$. Natyrisht, meqenëse shkalla e polinomit origjinal $5x^4+5x^3+x^2-11$ ishte e barabartë me katër, atëherë shkalla e polinomit që rezulton $5x^3+10x^2+11x+11$ është një më pak, d.m.th. është e barabartë me tre. Numri i fundit në rreshtin e dytë (zero) nënkupton mbetjen kur pjesëtohet polinomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$. Në rastin tonë, pjesa e mbetur është zero, d.m.th. polinomet janë të pjestueshëm në mënyrë të barabartë. Ky rezultat mund të karakterizohet edhe si vijon: vlera e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$ për $x=1$ është e barabartë me zero.
Përfundimi mund të formulohet edhe në këtë formë: meqenëse vlera e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$ në $x=1$ është e barabartë me zero, atëherë uniteti është rrënja e polinomit $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Shembulli nr. 2
Ndajeni polinomin $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ me $x+3$ duke përdorur skemën e Hornerit.
Le të përcaktojmë menjëherë se shprehja $x+3$ duhet të përfaqësohet në formën $x-(-3)$. Skema e Horner do të përfshijë saktësisht -3$. Meqenëse shkalla e polinomit origjinal $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ është e barabartë me katër, atëherë si rezultat i ndarjes marrim një polinom të shkallës së tretë:
Rezultati do të thotë se
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Në këtë situatë, pjesa e mbetur kur pjesëtoni $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ me $x+3$ është $4$. Ose, çfarë është e njëjta, vlera e polinomit $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ për $x=-3$ është e barabartë me $4$. Nga rruga, kjo është e lehtë për t'u kontrolluar dy herë duke zëvendësuar drejtpërdrejt $x=-3$ në polinomin e dhënë:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
ato. Skema e Horner mund të përdoret nëse është e nevojshme të gjendet vlera e një polinomi në vlera e vendosur e ndryshueshme. Nëse qëllimi ynë është të gjejmë të gjitha rrënjët e një polinomi, atëherë skema e Hornerit mund të zbatohet disa herë radhazi derisa të kemi shterur të gjitha rrënjët, siç diskutohet në shembullin nr. 3.
Shembulli nr. 3
Gjeni të gjitha rrënjët me numra të plotë të polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ duke përdorur skemën e Hornerit.
Koeficientët e polinomit në fjalë janë numra të plotë, dhe koeficienti është para fuqisë më të lartë të ndryshores (d.m.th. para $x^6$) e barabartë me një. Në këtë rast, rrënjët e plota të polinomit duhet të kërkohen midis pjesëtuesve të termit të lirë, d.m.th. ndër pjesëtuesit e numrit 45. Për një polinom të caktuar, rrënjë të tilla mund të jenë numrat $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ dhe -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Le të kontrollojmë, për shembull, numrin $1$:
Siç mund ta shihni, vlera e polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ me $x=1$ është e barabartë me $192$ ( numri i fundit në rreshtin e dytë), dhe jo $0$, prandaj uniteti nuk është rrënja e këtij polinomi. Meqenëse kontrolli për njërin dështoi, le të kontrollojmë vlerën $x=-1$. Tabela e re Për këtë qëllim ne nuk do të përpilojmë, por do të vazhdojmë të përdorim tabelën. Nr. 1, duke shtuar një rresht të ri (të tretë). Rreshti i dytë, në të cilin u kontrollua vlera 1$, do të theksohet me të kuqe dhe nuk do të përdoret në diskutime të mëtejshme.
Sigurisht, thjesht mund ta rishkruani përsëri tabelën, por plotësimi i saj me dorë do të marrë shumë kohë. Për më tepër, mund të ketë disa numra, verifikimi i të cilëve do të dështojë, dhe është e vështirë të shkruhet një tabelë e re çdo herë. Kur llogaritni "në letër", vijat e kuqe thjesht mund të kalohen.
Pra, vlera e polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ në $x=-1$ është e barabartë me zero, d.m.th. numri $-1$ është rrënja e këtij polinomi. Pasi pjesëtojmë polinomin $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ me binomin $x-(-1)=x+1$ fitojmë polinomin $x. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, koeficientët e të cilave janë marrë nga rreshti i tretë i tabelës. Nr. 2 (shih shembullin nr. 1). Rezultati i llogaritjeve mund të paraqitet edhe në këtë formë:
\filloj(ekuacioni)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fund (ekuacion)
Le të vazhdojmë kërkimin për rrënjët e numrave të plotë. Tani duhet të kërkojmë rrënjët e polinomit $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Përsëri, rrënjët e plota të këtij polinomi kërkohen midis pjesëtuesve të termit të tij të lirë, numrat $45$. Le të përpiqemi të kontrollojmë përsëri numrin $-1$. Ne nuk do të krijojmë një tabelë të re, por do të vazhdojmë të përdorim tabelën e mëparshme. Nr 2, d.m.th. Le t'i shtojmë një rresht më shumë:
Pra, numri $-1$ është rrënja e polinomit $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ky rezultat mund të shkruhet kështu:
\fillimi(ekuacioni)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \fund (ekuacioni)
Duke marrë parasysh barazinë (2), barazia (1) mund të rishkruhet në formën e mëposhtme:
\fillim(ekuacioni)\fillim(i rreshtuar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fund (lidhur)\fund (ekuacion)
Tani duhet të kërkojmë rrënjët e polinomit $x^4-22x^2+24x+45$, natyrisht, midis pjesëtuesve të termit të tij të lirë (numrat $45$). Le të kontrollojmë përsëri numrin $-1$:
Numri $-1$ është rrënja e polinomit $x^4-22x^2+24x+45$. Ky rezultat mund të shkruhet kështu:
\fillimi(ekuacioni)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \fund(ekuacioni)
Duke marrë parasysh barazinë (4), ne e rishkruajmë barazinë (3) në formën e mëposhtme:
\fillim(ekuacioni)\fillim(i rreshtuar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fund (të rreshtuar)\fund (ekuacion)
Tani po kërkojmë rrënjët e polinomit $x^3-x^2-21x+45$. Le të kontrollojmë përsëri numrin $-1$:
Kontrolli përfundoi me dështim. Le të theksojmë rreshtin e gjashtë me të kuqe dhe të përpiqemi të kontrollojmë një numër tjetër, për shembull, numrin $3$:
Pjesa e mbetur është zero, prandaj numri $3$ është rrënja e polinomit në fjalë. Pra, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Tani barazia (5) mund të rishkruhet si më poshtë.
