Kusht i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve
1. Le të jetë funksioni vazhdimisht i diferencueshëm në ndonjë lagje të pikës dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier).
2. Le të shënojmë me përcaktorin e rendit të dytë
funksioni i ligjëratës variabël ekstrem
Teorema
Nëse pika me koordinata është një pikë e palëvizshme për funksionin, atëherë:
A) në të është një pikë e ekstremumit lokal dhe, në një maksimum lokal, është një minimum lokal;
C) në pikë nuk është një pikë ekstreme lokale;
C) nëse, ndoshta të dyja.
Dëshmi
Le të shkruajmë formulën Taylor për funksionin, duke u kufizuar në dy terma:
Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, pika është e palëvizshme, derivatet e pjesshme të rendit të dytë janë të barabartë me zero, d.m.th. Dhe. Pastaj
Le të shënojmë
Pastaj rritja e funksionit do të marrë formën:
Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier), sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë:
Ku ose; ,
1. Le dhe, d.m.th. ose.
2. Shumëzoni rritjen e funksionit dhe pjesëtoni me, marrim:
3. Le të shtojmë shprehjen në mbajtëse kaçurrelë përpara katror i plotë shumat:
4. Shprehja në mbajtëset kaçurrela është jo negative, pasi
5. Prandaj, nëse një mjet dhe, atëherë dhe, prandaj, sipas përkufizimit, pika është një pikë minimale lokale.
6. Nëse një mjet dhe, atëherë, sipas përkufizimit, pika me koordinata është një pikë e maksimumit lokal.
2. Konsideroni trinom kuadratik, diskriminues i saj, .
3. Nëse, atëherë ka pika të tilla që polinomi
4. Rritjen totale të funksionit e shkruajmë në një pikë në përputhje me shprehjen e marrë në I si:
5. Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë, sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë se
Prandaj, ekziston një fqinjësi e një pike e tillë që, për çdo pikë, trinomi kuadratik është më i madh se zero:
6. Konsideroni fqinjësinë e një pike.
Le të zgjedhim çdo vlerë, pra pikë. Duke supozuar se në formulën për rritjen e funksionit
Çfarë marrim:
7. Që atëherë.
8. Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme për rrënjën, gjejmë se në çdo - fqinjësi të një pike ka një pikë për të cilën, pra, në fqinjësi të pikës nuk ruan shenjë, prandaj nuk ka ekstrem në pikë.
Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni të dy ndryshoreve
Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të dy variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturin ekstrem të kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.
Le të jepet një funksion dhe një drejtëz L në rrafshin 0xy. Detyra është të gjesh një pikë P (x, y) në vijën L në të cilën vlera e funksionit është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat në vijën L të vendosura afër pikës P. Pika të tilla P quhen funksione të pikave ekstreme të kushtëzuara në linjën L. Ndryshe nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat e fqinjësisë së tij, por vetëm në ato që shtrihen. në linjën L.
Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë edhe ekstremum i pakushtëzuar) është gjithashtu pika e ekstremit të kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull.
Shembulli nr. 1. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Fig. 2).
Oriz. 2.
Ky funksion ka një maksimum në origjinë; i përgjigjet kulmit M të hemisferës. Nëse drejtëza L është një drejtëz që kalon nëpër pikat A dhe B (ekuacioni i saj), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e lartë funksioni arrihet në një pikë që shtrihet në mes midis pikave A dhe B. Kjo është pika e ekstremumit të kushtëzuar (maksimumit) të funksionit në këtë vijë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.
Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në zonë e mbyllur duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.
Përkufizimi 1. Ata thonë se ku ka në një pikë që plotëson ekuacionin një maksimum të kushtëzuar ose relativ (minimum): nëse për ndonjë pikë që plotëson ekuacionin pabarazia
Përkufizimi 2. Një ekuacion i formës quhet ekuacion kufizues.
Teorema
Nëse funksionet dhe janë vazhdimisht të diferencueshëm në afërsi të një pike, dhe derivatit të pjesshëm, dhe pika është pika ekstreme e kushtëzuar e funksionit në lidhje me ekuacionin e kufizimit, atëherë përcaktorja e rendit të dytë e barabartë me zero:
Dëshmi
1. Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, derivatit të pjesshëm dhe vlerës së funksionit, atëherë në një drejtkëndësh të caktuar.
funksioni i nënkuptuar i përcaktuar
Një funksion kompleks i dy ndryshoreve në një pikë do të ketë një ekstrem lokal, pra, ose.
2. Në të vërtetë, sipas vetive të pandryshueshmërisë së formulës diferenciale të rendit të parë
3. Ekuacioni i lidhjes mund të paraqitet në këtë formë, që do të thotë
4. Shumëzoni ekuacionin (2) me, dhe (3) me dhe shtoni ato
Prandaj, kur
arbitrare. etj.
Pasoja
Kërkimi i pikave ekstreme të kushtëzuara të një funksioni të dy ndryshoreve në praktikë kryhet duke zgjidhur një sistem ekuacionesh
Pra, në shembullin e mësipërm nr. 1 nga ekuacioni i lidhjes që kemi. Nga këtu është e lehtë të kontrollosh se çfarë arrin maksimumin në. Por pastaj nga ekuacioni i komunikimit. Marrim pikën P, të gjetur gjeometrikisht.
Shembulli nr. 2. Gjeni pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit në lidhje me ekuacionin e bashkimit.
Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit të dhënë dhe ekuacionin e bashkimit:
Le të krijojmë një përcaktues të rendit të dytë:
Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh për të gjetur pikat ekstreme të kushtëzuara:
Kjo do të thotë se janë katër pika të ekstremit të kushtëzuar të funksionit me koordinata: .
Shembulli nr. 3. Gjeni pikat ekstreme të funksionit.
Duke barazuar derivatet e pjesshëm me zero: , gjejmë një pikë të palëvizshme - origjinën. Këtu,. Rrjedhimisht, pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme. Një ekuacion është një ekuacion paraboloid hiperbolik(Fig. 3) Figura tregon se pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme.
Oriz. 3.
Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një rajon të mbyllur
1. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një fushë të mbyllur të kufizuar D.
2. Le të ketë funksioni derivate të pjesshëm të fundëm në këtë rajon, me përjashtim të pikave individuale të rajonit.
3. Në përputhje me teoremën e Weierstrass, në këtë rajon ekziston një pikë në të cilën funksioni merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla.
4. Nëse këto pika janë pika të brendshme të rajonit D, atëherë padyshim që ato do të kenë një maksimum ose një minimum.
5. Në këtë rast, pikat me interes për ne janë ndër pikat e dyshimta në ekstrem.
6. Megjithatë, funksioni mund të marrë gjithashtu vlerën më të madhe ose më të vogël në kufirin e rajonit D.
7. Për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni në rajonin D, duhet të gjeni të gjitha pikat e brendshme të dyshimta për një ekstrem, të llogarisni vlerën e funksionit në to dhe më pas të krahasoni me vlerën e funksionit në pikat kufitare të rajonit, dhe më e madhja nga të gjitha vlerat e gjetura do të jetë më e madhja në rajonin e mbyllur D.
8. Metoda e gjetjes së një maksimumi ose minimumi lokal është diskutuar më herët në seksionin 1.2. dhe 1.3.
9. Mbetet të shqyrtojmë metodën e gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin e rajonit.
10. Në rastin e një funksioni prej dy zonë e ndryshueshme zakonisht shfaqet i kufizuar nga një kurbë ose disa kthesa.
11. Përgjatë një kurbë të tillë (ose disa kurbave), variablat ose varen nga njëri-tjetri, ose të dyja varen nga një parametër.
12. Kështu, në kufi funksioni rezulton të varet nga një ndryshore.
13. Metoda e gjetjes së vlerës më të madhe të një funksioni të një ndryshoreje u diskutua më herët.
14. Le të jepet kufiri i rajonit D ekuacionet parametrike:
Atëherë në këtë kurbë funksioni i dy ndryshoreve do të jetë funksion kompleks i parametrit: . Për një funksion të tillë, vlerat më të mëdha dhe më të vogla përcaktohen duke përdorur metodën për përcaktimin e vlerave më të mëdha dhe më të vogla për një funksion të një ndryshoreje.
Le të përcaktohet funksioni z - /(x, y) në një fushë D dhe le të jetë Mo(xo, Vo) një pikë e brendshme e këtij domeni. Përkufizimi. Nëse ka një numër të tillë që për të gjitha që plotësojnë kushtet pabarazia është e vërtetë, atëherë pika Mo(xo, yo) quhet pika maksimale lokale e funksionit /(x, y); nëse për të gjitha Dx, Du, që plotësojnë kushtet | atëherë pika Mo(xo,yo) quhet minimum lokal i hollë. Me fjalë të tjera, pika M0(x0, y0) është një pikë maksimale ose minimale e funksionit f(x, y) nëse ekziston një fqinjësi 6 e pikës A/o(x0, y0) e tillë që fare pikat M(x, y) të kësaj në fqinjësi, rritja e funksionit ruan shenjën e tij. Shembuj. 1. Për pikën e funksionit - pika minimale (Fig. 17). 2. Për funksionin, pika 0(0,0) është pika maksimale (Fig. 18). 3. Për një funksion, pika 0(0,0) është një pikë maksimale lokale. 4 Në të vërtetë, ekziston një fqinjësi e pikës 0(0, 0), për shembull, një rreth me rreze j (shih Fig. 19), në çdo pikë të së cilës, ndryshe nga pika 0(0,0), vlera e funksionit /(x,y) më pak se 1 = Ne do të marrim parasysh vetëm pikat strikte maksimale dhe minimale të funksioneve kur pabarazi e rreptë ose pabarazia e rreptë vlen për të gjitha pikat M(x) y) nga disa lagje 6 të shpuara të pikës Mq. Vlera e një funksioni në pikën maksimale quhet maksimum, dhe vlera e funksionit në pikën minimale quhet minimumi i këtij funksioni. Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimalet dhe minimumet e vetë funksionit quhen ekstreme të tij. Teorema 11 (kusht i domosdoshëm për një ekstrem). Nëse një funksion është një ekstrem i një funksioni të disa ndryshoreve. E nevojshme dhe kushte të mjaftueshme ekstreme Ekstrem i kushtëzuar Më i madhi dhe vlera më e vogël funksionet e vazhdueshme ka një ekstrem në pikë, atëherë në këtë pikë çdo derivat i pjesshëm u ose zhduket ose nuk ekziston. Le të ketë në pikën M0(x0, yо) Funksioni z = f(x) y) një ekstremum. Le t'i japim variablës y vlerën yo. Atëherë funksioni z = /(x, y) do të jetë funksion i një ndryshoreje x\ Meqenëse në x = xo ka një ekstrem (maksimum ose minimal, Fig. 20), atëherë derivati i tij në lidhje me x = "o, | (*o,l>)" E barabartë me zero ose nuk ekziston. Në mënyrë të ngjashme, ne jemi të bindur se) ose është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Pikat në të cilat = 0 dhe χ = 0 ose nuk ekzistojnë quhen kritike. pikat e funksionit z = Dx, y Pikat në të cilat $ξ = φ = 0 quhen edhe pika stacionare të funksionit 11. kushtet e nevojshme ekstreme që nuk janë të mjaftueshme. Shembull. Funksioni Fig. 18 Fig. 20 derivatet immt të cilat kthehen në zero në. Por ky funksion është i hollë në imvat e strumit. Në të vërtetë, funksioni është i barabartë me zero në pikën 0(0,0) dhe merr në pikat M(x,y), në mënyrë arbitrare afër pikës 0(0,0), pozitive dhe vlerat negative. Për të, kështu që në pikat në pikat (0, y) për pikën arbitrare të vogël 0(0,0) e tipit të treguar quhet pikë mini-max (Fig. 21). Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem të një funksioni të dy ndryshoreve shprehen me teoremën e mëposhtme. Teorema 12 (kushte të mjaftueshme për një ekstrem në dy variabla). Le të jetë pika Mo(xo»Yo) një pikë e palëvizshme e funksionit f(x, y), dhe në ndonjë fqinjësi të pikës /, duke përfshirë edhe vetë pikën Mo, funksioni f(z, y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme. deri në renditjen e dytë përfshirëse. Atëherë". në pikën Mo(xo, V0) funksioni /(xo, y) nuk ka një ekstrem nëse D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremi i funksionit f(x, y) mund të ekzistojë ose të mos ekzistojë. Në këtë rast, kërkohet hulumtim i mëtejshëm. m Le të kufizohemi në vërtetimin e pohimeve 1) dhe 2) të teoremës. Le të shkruajmë formulën e Taylor-it të rendit të dytë për funksionin /(i, y): ku. Sipas kushtit, është e qartë se shenja e rritjes D/ përcaktohet nga shenja e trinomit në anën e djathtë të (1), d.m.th., shenja e diferencialit të dytë d2f. Le ta shënojmë për shkurtësi. Atëherë barazia (l) mund të shkruhet si vijon: Le të kemi në pikën MQ(pra, V0)... Meqenëse, sipas kushtit, derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të funksionit f(s, y) janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia (3) do të jetë gjithashtu në një afërsi të pikës M0(s0,yo). Nëse kushti është i plotësuar (në pikën А/0, dhe për shkak të vazhdimësisë derivati /,z(s,y) do të ruajë shenjën e tij në ndonjë lagje të pikës Af0. Në rajonin ku А Ф 0, kemi Nga kjo shihet qartë se nëse ЛС - В2 > 0 në ndonjë lagje të pikës M0(x0) y0), atëherë shenja e trinomit AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 përkon me shenjën e A në pikën (pra. , V0) (si dhe me shenjën e C, pasi për AC - B2 > 0 A dhe C nuk mund të kenë shenja të ndryshme). Meqenëse shenja e shumës AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 në pikën (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) përcakton shenjën e diferencës, arrijmë në në përfundimin e mëposhtëm: nëse funksioni /(s,y) në një pikë stacionare (s0, V0) plotëson kushtin, atëherë për mjaftueshëm të vogla || pabarazia do të plotësohet. Kështu, në pikën (sq, V0) funksioni /(s, y) ka një maksimum. Nëse kushti është i plotësuar në pikën e palëvizshme (s0, y0), atëherë për të gjitha mjaftueshëm të vogla |Dr| dhe |Du| pabarazia është e vërtetë, që do të thotë se në pikën (so,yo) funksioni /(s, y) ka një minimum. Shembuj. 1. Hulumtoni funksionin për një ekstremum 4 Duke përdorur kushtet e nevojshme për një ekstremum, kërkojmë pika stacionare të funksionit. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatet e pjesshëm u dhe i barazojmë me zero. Ne marrim një sistem ekuacionesh nga ku - një pikë e palëvizshme. Le të përdorim tani Teoremën 12. Ne kemi Kjo do të thotë se ka një ekstrem në pikën Ml. Sepse ky është minimumi. Nëse e transformojmë funksionin r në formë, kjo është e lehtë të shihet pjesa e djathtë(“) do të jetë minimale kur është minimumi absolut i këtij funksioni. 2. Shqyrtoni funksionin për një ekstrem Ne gjejmë pika të palëvizshme të funksionit, për të cilat hartojmë një sistem ekuacionesh, në mënyrë që pika të jetë e palëvizshme. Meqenëse, në bazë të Teoremës 12, nuk ka asnjë ekstrem në pikën M. * 3. Hulumtoni skajshmërinë e funksionit Gjeni pikat e palëvizshme të funksionit. Nga sistemi i ekuacioneve e marrim atë, pra pika është e palëvizshme. Më pas kemi se teorema 12 nuk i përgjigjet pyetjes për praninë ose mungesën e një ekstremi. Le ta bëjmë në këtë mënyrë. Për një funksion rreth të gjitha pikave të ndryshme nga pika pra, sipas përkufizimit, dhe pika A/o(0,0) funksioni r ka një minimum absolut. Me llogaritje të ngjashme vërtetojmë se funksioni ka një maksimum në pikë, por funksioni nuk ka një ekstrem në pikë. Le të jetë i diferencueshëm një funksion prej n variablash të pavarur në një pikë Pika Mo quhet pikë e palëvizshme e funksionit nëse teorema 13 (deri në kushte të mjaftueshme për një ekstrem). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë në ndonjë fqinjësi të gjobës Mt(xi..., e cila është një funksion i palëvizshëm i imët nëse forma kuadratike (diferenciali i dytë i funksionit f në fine është pozitiv i caktuar (përcaktuar negativ), pika minimale (përkatësisht, maksimumi i imët) i funksionit f është i hollë Nëse forma kuadratike (4) është e alternuar, atëherë nuk ka ekstrem në gjobën LG0 për të përcaktuar nëse ka. do të jetë. formë kuadratike (4) definitive pozitive ose negative, mund të përdorni, për shembull, kriterin e Sylvester-it për përcaktimin pozitiv (negativ) të një forme kuadratike. 15.2. Ekstrem i kushtëzuar Deri më tani, ne kemi kërkuar për ekstreme lokale të një funksioni në të gjithë domenin e tij të përkufizimit, kur argumentet e funksionit nuk janë të lidhura nga ndonjë kusht shtesë. Ekstreme të tilla quhen të pakushtëzuara. Megjithatë, shpesh ka probleme të gjetjes së të ashtuquajturave ekstreme të kushtëzuara. Le të përcaktohet funksioni z = /(x, y) në domenin D. Le të supozojmë se në këtë fushë është dhënë një kurbë L dhe duhet të gjejmë ekstremet e funksionit f(x> y) vetëm midis atyre të vlerave të saj që korrespondojnë me pikat e lakores L. Të njëjtat ekstreme quhen ekstreme të kushtëzuara të funksionit z = f(x) y) në lakoren L. Përkufizim Ata thonë se në një pikë të shtrirë në kurbë L. , funksioni f(x, y) ka një maksimum të kushtëzuar (minimum) nëse jobarazia plotësohet në të gjitha pikat M (s, y) y) kurba L, që i përket një lagjeje të pikës M0(x0, V0) dhe të ndryshme nga pika M0 (Nëse kurba L jepet me një ekuacion, atëherë problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit r - f(x,y) në kurbë! mund të formulohet si më poshtë: gjeni ekstremet e funksionit x. = /(z, y) në rajonin D, me kusht që kështu, kur gjejmë ekstremin e kushtëzuar të funksionit z = y), argumentet e wildebeest nuk mund të konsiderohen më si variabla të pavarur: ato lidhen me njëri-tjetrin nga relacioni y) = 0, i cili quhet ekuacion i lidhjes. Për të sqaruar dallimin ndërmjet ekstremumit të pakushtëzuar dhe atij të kushtëzuar, le të shohim një shembull ku maksimumi i pakushtëzuar i funksionit (Fig. 23) është i barabartë me një dhe arrihet në pikën (0,0). I përgjigjet pikës M - kulmi i pvvboloidit Le të shtojmë ekuacionin e lidhjes y = j. Atëherë maksimumi i kushtëzuar do të jetë padyshim i barabartë me të Ajo arrihet në pikën (o,|), dhe i përgjigjet kulmit Afj të topit, që është drejtëza e prerjes së topit me rrafshin y = j. Në rastin e një mvksimumi të pakushtëzuar, kemi një aplikim mvximum midis të gjitha vpplicvt të sipërfaqes * = 1 - l;2 ~ y1; summvv kushtëzuar - vetëm ndër pikat vllikvt pvraboloidv, që i korrespondon pikës* të drejtëzës y = j jo rrafshit xOy. Një nga metodat për të gjetur ekstremin e kushtëzuar të një funksioni në prani dhe lidhje është si më poshtë. Le të përcaktojmë ekuacionin e lidhjes y) - O y si një funksion unik të diferencueshëm të argumentit x: Duke zëvendësuar një funksion në vend të y në funksion, marrim një funksion të një argumenti në të cilin kushti i lidhjes tashmë është marrë parasysh. Ekstremumi (i pakushtëzuar) i funksionit është ekstremi i kushtëzuar i dëshiruar. Shembull. Gjeni ekstremin e një funksioni nën kushtin Ekstrem i një funksioni të disa ndryshoreve Koncepti i një ekstremi të një funksioni të disa ndryshoreve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme A Nga ekuacioni i lidhjes (2") gjejmë y = 1-x. Duke zëvendësuar këtë vlerë y në (V), marrim një funksion të një argument x: Le ta shqyrtojmë atë për ekstremin: nga ku x = 1 - pikë kritike; , në mënyrë që të sigurojë një minimum të kushtëzuar të funksionit r (Fig. 24). Le të tregojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur problemin e ekstremit të kushtëzuar, të quajtur metoda e shumëzuesit të Lagranzhit. Le të ketë një pikë ekstreme të kushtëzuar të një funksioni në prani të një lidhjeje Le të supozojmë se ekuacioni i lidhjes përcakton një funksion unik vazhdimisht të diferencueshëm në një lagje të caktuar të pikës xx. Duke marrë parasysh se marrim se derivati në lidhje me x të funksionit /(r, ip(x)) në pikën xq duhet të jetë i barabartë me zero ose, që është ekuivalent me këtë, diferenciali i f(x, y) në pika Mo" O duhet të jetë e barabartë me zero ) Nga ekuacioni i lidhjes kemi (5) Duke shumëzuar barazinë e fundit me një faktor numerik ende të pacaktuar A dhe duke shtuar term pas termi me barazinë (4), do të kemi (supozojmë se ) Pastaj, për shkak të arbitraritetit të dx, marrim barazimet (6) dhe (7) shprehin kushtet e nevojshme për një ekstrem të pakushtëzuar në pikën e një funksioni që quhet funksioni i Lagranzhit funksioni /(x, y), nëse, është domosdoshmërisht një pikë e palëvizshme e funksionit të Lagranzhit ku A është disa. koeficienti numerik. Prej këtu marrim një rregull për gjetjen e ekstremeve të kushtëzuara: për të gjetur pika që mund të jenë pika të ekstremit konvencional të një funksioni në prani të një lidhjeje, 1) hartojmë funksionin e Lagranzhit, 2) duke barazuar derivatet e këtij funksioni në zero dhe duke shtuar ekuacionin e lidhjes në ekuacionet rezultuese, marrim një sistem prej tre ekuacionesh nga i cili gjejmë vlerat e A dhe koordinatat x, y të pikave të mundshme ekstreme. Çështja e ekzistencës dhe natyrës së ekstremit të kushtëzuar zgjidhet në bazë të studimit të shenjës së diferencialit të dytë të funksionit Lagranzh për sistemin e konsideruar të vlerave x0, V0, A, të marra nga (8) me kusht që nëse , atëherë në pikën (x0, V0) funksioni /(x, y ) ka një maksimum të kushtëzuar; nëse d2F > 0 - atëherë një minimum i kushtëzuar. Në veçanti, nëse në një pikë të palëvizshme (xo, J/o) përcaktorja D për funksionin F(x, y) është pozitive, atëherë në pikën (®o, V0) ekziston një maksimum i kushtëzuar i funksionit f( x, y), nëse dhe minimumi i kushtëzuar i funksionit /(x, y), nëse Shembull. Le t'i kthehemi përsëri kushteve të shembullit të mëparshëm: gjeni ekstremin e funksionit me kushtin që x + y = 1. Do ta zgjidhim problemin duke përdorur metodën e shumëzuesit të Lagranzhit. Funksioni i Lagranzhit në në këtë rast ka formën Për të gjetur pika të palëvizshme përpiloni sistemin Nga dy ekuacionet e para të sistemit marrim se x = y. Pastaj nga ekuacioni i tretë i sistemit (ekuacioni i lidhjes) gjejmë se x - y = j janë koordinatat e pikës së mundshme ekstreme. Në këtë rast (tregohet se A = -1. Pra, funksioni Lagranzh. është pika minimale e kushtëzuar e funksionit * = x2 + y2 nën kushtin Nuk ka ekstrem të pakushtëzuar për funksionin Lagranzh. P(x, y ) nuk do të thotë ende mungesë e një ekstremi të kushtëzuar për funksionin /(x, y) në prani të një lidhjeje Shembull: Gjeni ekstremin e një funksioni nën kushtin y 4 Ne hartojmë funksionin e Lagranzhit dhe shkruajmë një sistem për përcaktimi i A dhe koordinatave të pikave ekstreme të mundshme: Nga dy ekuacionet e para fitojmë x + y = 0 dhe vijmë te sistemi nga ku x = y = A = 0. Kështu, funksionin përkatës Lagranzhi ka formën Në pikën (0,0) funksioni F(x, y; 0) nuk ka një ekstrem të pakushtëzuar, por ekstremumin e kushtëzuar të funksionit r = xy. kur y = x, ka. Në të vërtetë, në këtë rast r = x2. Kjo tregon se në pikën (0,0) ekziston një minimum i kushtëzuar. "Metoda e shumëzuesve të Lagranzhit transferohet në rastin e funksioneve të çdo numri argumentesh. Le të kërkohet ekstremi i funksionit në prani të ekuacioneve të lidhjes. Le të hartojmë një funksion Lagranzhi ku A|, Az,..., A“, janë të papërcaktuara faktorë të vazhdueshëm. Duke barazuar me zero të gjithë derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit F dhe duke shtuar ekuacionet e lidhjes (9) në ekuacionet rezultuese, marrim një sistem n + m ekuacionesh, nga i cili përcaktojmë Ab A3|..., At dhe koordinatat x \) x2). » xn e pikave të mundshme të ekstremit të kushtëzuar. Çështja nëse pikat e gjetura duke përdorur metodën e Lagranzhit janë në të vërtetë pika të një ekstremi të kushtëzuar shpesh mund të zgjidhet bazuar në konsiderata të një natyre fizike ose gjeometrike. 15.3. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme Le të jetë e nevojshme të gjendet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni z = /(x, y), e vazhdueshme në disa ciklike zonë e kufizuar D. Nga teorema 3, në këtë rajon ekziston një pikë (xo, V0) në të cilën funksioni merr vlerën më të madhe (më të vogël). Nëse pika (xo, y0) ndodhet brenda rajonit D, atëherë funksioni / ka një maksimum (minimum) në të, kështu që në këtë rast pika e interesit për ne përmbahet midis pikave kritike të funksionit /(x, y). Megjithatë, funksioni /(x, y) mund të arrijë vlerën e tij më të madhe (më të vogël) në kufirin e rajonit. Prandaj, për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të marrë nga funksioni z = /(x, y) në një zonë të kufizuar të mbyllur 2), duhet të gjeni të gjitha maksimumet (minimumi) të funksionit të arritur brenda kësaj zone. si dhe vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në kufi të kësaj zone. Më i madhi (më i vogli) nga të gjithë këta numra do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e dëshiruar e funksionit z = /(x,y) në rajonin 27. Le të tregojmë se si bëhet kjo në rastin e një funksioni të diferencueshëm. Prmmr. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të rajonit 4. Ne gjejmë pikat kritike të funksionit brenda rajonit D. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë një sistem ekuacionesh Nga këtu marrim x = y «0, në mënyrë që pika 0 (0,0) është pika kritike e funksionit x. Meqenëse Le të gjejmë tani vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin Г të domenit D. Në një pjesë të kufirit kemi që y = 0 është një pikë kritike, dhe meqë = atëherë në këtë pikë funksioni z = 1 + y2 ka një minimum, e barabartë me një. Në skajet e segmentit Г", në pikat (, kemi. Duke përdorur konsideratat e simetrisë, marrim të njëjtat rezultate për pjesët e tjera të kufirit. Në fund fitojmë: vlerën më të vogël të funksionit z = x2+y2 në rajon. "B është e barabartë me zero dhe arrihet në pikë e brendshme Rajoni 0(0, 0) dhe vlera maksimale e këtij funksioni, e barabartë me dy, arrihet në katër pika të kufirit (Fig. 25) Fig. 25 Ushtrime Gjeni domenin e përcaktimit të funksioneve: Ndërtoni vijat e nivelit të funksioneve: 9 Gjeni sipërfaqet e nivelit të funksioneve të tre ndryshoreve të pavarura: Llogaritni kufijtë e funksioneve: Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve dhe të tyre. diferenciale të plota: Gjeni derivate të funksioneve komplekse: 3 Gjeni J. Ekstremumi i një funksioni të disa ndryshoreve Koncepti i ekstremit të një funksioni të disa ndryshoreve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme 34. Përdorimi i formulës së derivatit funksion kompleks dy ndryshore, gjeni dhe funksione: 35. Duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks të dy ndryshoreve, gjeni |J dhe funksionet: Gjeni funksionet jj të dhëna në mënyrë implicite: 40. Gjeni shpat tangjente me lakoren në pikën e prerjes me drejtëzën x = 3. 41. Gjeni pikat në të cilat tangjentja me lakoren x është paralele me boshtin Ox. . Në problemat e mëposhtme gjeni dhe T: Shkruani ekuacionet e planit tangjent dhe normales së sipërfaqes: 49. Shkruani ekuacionet e rrafsheve tangjente të sipërfaqes x2 + 2y2 + 3r2 = 21, paralel me rrafshin x + 4y + 6z = 0. Gjeni tre ose katër termat e parë të zgjerimit duke përdorur formulën e Taylor: 50. y në afërsi të pikës (0, 0). Duke përdorur përkufizimin e një ekstremi të një funksioni, shqyrtoni funksionet e mëposhtme për ekstremin:). Duke përdorur kushte të mjaftueshme për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve, shqyrtoni ekstremin e funksionit: 84. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit z = x2 - y2 në një rreth të mbyllur 85. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla i funksionit * = x2y(4-x-y) në një trekëndësh të kufizuar nga drejtëza x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Përcaktoni përmasat e një pishine të hapur drejtkëndëshe me sipërfaqen më të vogël, me kusht që vëllimi i saj të jetë i barabartë me V. 87. Gjeni përmasat paralelipiped drejtkëndor me një prikë sipërfaqe të plotë 5 volum maksimal. Përgjigjet 1. dhe | Një katror i formuar nga segmentet e vijës x duke përfshirë anët e tij. 3. Familja e unazave koncentrike 2= 0,1,2,... .4. I gjithë rrafshi përveç pikave në vijat e drejta. Një pjesë e rrafshit që ndodhet mbi parabolën y = -x?. 8. Pikat e rrethit x. I gjithë rrafshi përveç drejtëzave x Shprehja radikale është jonegative në dy raste j * ^ ose j x ^ ^ e cila është ekuivalente me një seri të pafundme mosbarazish, përkatësisht Fusha e përkufizimit është katrore me hije (Fig. 26); l që është ekuivalente me një seri të pafundme Funksioni përcaktohet në pikë. a) Drejtëza paralele me drejtëzën x b) rrathë koncentrikë me qendër në origjinë. 10. a) parabolat y) parabolat y a) parabolat b) hiperbolat | .Aeroplanët xc. 13.Prime - hiperboloidë me një zgavër të rrotullimit rreth boshtit Oz; kur dhe janë hiperboloidë me dy fletë të rrotullimit rreth boshtit Oz, të dy familjet e sipërfaqeve ndahen nga një kon; Nuk ka kufi, b) 0. 18. Le të jetë y = kxt pastaj z lim z = -2, pra funksioni i dhënë nuk ka kufi në pikën (0,0). 19. a) Pika (0,0); b) pika (0,0). 20. a) Vija e thyerjes - rrethi x2 + y2 = 1; b) vija e thyerjes është drejtëza y = x. 21. a) Ndërprerja e linjave - boshtet koordinative Oh dhe Oh; b) 0 (grup bosh). 22. Të gjitha pikat (m, n), ku dhe n janë numra të plotë
Së pari, le të shqyrtojmë rastin e një funksioni të dy ndryshoreve. Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni $z=f(x,y)$ në pikën $M_0(x_0;y_0)$ është ekstremi i këtij funksioni, i arritur me kushtin që variablat $x$ dhe $y$ në në afërsi të kësaj pike plotësoni ekuacionin e lidhjes $\ varphi (x,y)=0$.
Emri "ekstrem i kushtëzuar" është për faktin se variablat i nënshtrohen kusht shtesë$\varphi(x,y)=0$. Nëse një variabël mund të shprehet nga ekuacioni i lidhjes përmes një tjetri, atëherë problemi i përcaktimit të ekstremit të kushtëzuar reduktohet në problemin e përcaktimit të ekstremit të zakonshëm të një funksioni të një ndryshoreje. Për shembull, nëse ekuacioni i lidhjes nënkupton $y=\psi(x)$, atëherë duke zëvendësuar $y=\psi(x)$ në $z=f(x,y)$, marrim një funksion të një ndryshoreje $z =f\majtas (x,\psi(x)\djathtas)$. NË rast i përgjithshëm Megjithatë, kjo metodë është pak e dobishme, kështu që kërkohet futja e një algoritmi të ri.
Metoda e shumëzuesit Lagranzh për funksionet e dy ndryshoreve.
Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit konsiston në ndërtimin e një funksioni Lagranzh për të gjetur një ekstrem të kushtëzuar: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametri $\lambda$ quhet shumëzuesi Lagrange). Kushtet e nevojshme për ekstremin përcaktohen nga një sistem ekuacionesh nga i cili përcaktohen pikat stacionare:
$$ \majtas \( \fillimi (lidhur) & \frac(\partial F)(\x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.
Një kusht i mjaftueshëm nga i cili mund të përcaktohet natyra e ekstremit është shenja $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Nëse në një pikë stacionare $d^2F > 0$, atëherë funksioni $z=f(x,y)$ ka një minimum të kushtëzuar në këtë pikë, por nëse $d^2F< 0$, то условный максимум.
Ekziston një mënyrë tjetër për të përcaktuar natyrën e ekstremit. Nga ekuacioni i bashkimit marrim: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, prandaj në çdo pikë stacionare kemi:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\djathtas)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\djathtas)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\majtas(\varphi_(y)^(") \djathtas)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \djathtas)$$
Faktori i dytë (i vendosur në kllapa) mund të përfaqësohet në këtë formë:
Elementet e përcaktorit $\left| janë të theksuara me të kuqe. \fillim(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \fund (array)\right|$, që është Hessian i funksionit Lagranzh. Nëse $H > 0$, atëherë $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, d.m.th. kemi një minimum të kushtëzuar të funksionit $z=f(x,y)$.
Një shënim në lidhje me shënimin e përcaktorit $H$. Shfaq Fshih
$$ H=-\majtas|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fund(array) \djathtas| $$
Në këtë situatë, rregulli i formuluar më sipër do të ndryshojë si më poshtë: nëse $H > 0$, atëherë funksioni ka një minimum të kushtëzuar dhe nëse $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmi për studimin e një funksioni të dy ndryshoreve për një ekstrem të kushtëzuar
- Kompozoni funksionin e Lagranzhit $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Zgjidheni sistemin $ \majtas \( \fillimi(përafruar) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end (linjëzuar) \djathtas.$
- Përcaktoni natyrën e ekstremumit në secilën nga pikat e palëvizshme të gjetura në paragrafin e mëparshëm. Për ta bërë këtë, përdorni ndonjë nga metodat e mëposhtme:
- Hartoni përcaktorin e $H$ dhe zbuloni shenjën e saj
- Duke marrë parasysh ekuacionin e bashkimit, llogaritni shenjën e $d^2F$
Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit për funksionet e n variablave
Le të themi se kemi një funksion prej $n$ variablave $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dhe $m$ ekuacionet bashkuese ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Duke treguar shumëzuesit e Lagranzhit si $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, ne kompozojmë funksionin Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Kushtet e nevojshme për praninë e një ekstremi të kushtëzuar jepen nga një sistem ekuacionesh nga i cili gjenden koordinatat e pikave të palëvizshme dhe vlerat e shumëzuesve Lagrange:
$$\majtas\(\fillimi(lidhur) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end (lidhur) \djathtas.$$
Mund të zbuloni nëse një funksion ka një minimum të kushtëzuar ose një maksimum të kushtëzuar në pikën e gjetur, si më parë, duke përdorur shenjën $d^2F$. Nëse në pikën e gjetur $d^2F > 0$, atëherë funksioni ka një minimum të kushtëzuar, por nëse $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Përcaktori i matricës $\left| \fillim(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\ e pjesshme^2F)(\ x_(1)\ e pjesshme x_(3)) &\ldots & \frac(\ e pjesshme^2F)(\ e pjesshme x_(1)\ e pjesshme x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ e pjesshme x_(2)\ e pjesshme x_(3)) &\ldots & \frac(\ e pjesshme^2F)(\ e pjesshme x_(2)\ e pjesshme x_(n))\\ \frac(\ e pjesshme^2F )(\ i pjesshëm x_(3) \ i pjesshëm x_(1)) & \frac(\ i pjesshëm^2F)(\ i pjesshëm x_(3)\ i pjesshëm x_(2)) & \frac(\ i pjesshëm^2F)(\ i pjesshëm x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\ e pjesshme^2F)(\ e pjesshme x_(n)\ e pjesshme x_(3)) &\ldots & \frac(\ e pjesshme^2F)(\ e pjesshme x_(n)^(2))\\ \fund( array) \right|$, e theksuar me të kuqe në matricën $L$, është Hessian i funksionit Lagranzh. Ne përdorim rregullin e mëposhtëm:
- Nëse shenjat të mitur në qoshe$H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricat $L$ përkojnë me shenjën e $(-1)^m$, atëherë pika e palëvizshme në studim është pika minimale e kushtëzuar e funksionit $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- Nëse shenjat e të miturve këndorë $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternative, dhe shenja e minores $H_(2m+1)$ përkon me shenjën e numrit $(-1)^(m+1 )$, atëherë pika stacionare është pika maksimale e kushtëzuar e funksionit $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Shembulli nr. 1
Gjeni ekstremin e kushtëzuar të funksionit $z(x,y)=x+3y$ nën kushtin $x^2+y^2=10$.
Interpretimi gjeometrik i këtij problemi është si vijon: kërkohet të gjenden vlerat më të mëdha dhe më të vogla të aplikacionit të rrafshit $z=x+3y$ për pikat e kryqëzimit të tij me cilindrin $x^2+y. ^2=10$.
Është disi e vështirë të shprehësh një variabël përmes një tjetre nga ekuacioni i bashkimit dhe ta zëvendësosh atë në funksionin $z(x,y)=x+3y$, kështu që do të përdorim metodën e Lagranzhit.
Duke treguar $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, ne kompozojmë funksionin Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\x e pjesshme)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh për të përcaktuar pikat stacionare të funksionit të Lagranzhit:
$$ \majtas \( \fillimi (lidhur) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \fund (drejtuar)\djathtas.$$
Nëse supozojmë $\lambda=0$, atëherë ekuacioni i parë bëhet: $1=0$. Kontradikta që rezulton tregon se $\lambda\neq 0$. Në kushtin $\lambda\neq 0$, nga ekuacioni i parë dhe i dytë kemi: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Duke zëvendësuar vlerat e marra në ekuacionin e tretë, marrim:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \djathtas)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \djathtas)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(lidhur) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(linjëzuar) \djathtas.\\ \fillimi(linjëzuar) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\fund (përafruar) $$
Pra, sistemi ka dy zgjidhje: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dhe $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Le të zbulojmë natyrën e ekstremumit në çdo pikë të palëvizshme: $M_1(1;3)$ dhe $M_2(-1;-3)$. Për ta bërë këtë, le të llogarisim përcaktues$H$ në secilën nga pikat.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\majtas| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \djathtas|= \majtas| \fillimi(arriti) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \fund(array) \djathtas|= 8\cdot\majtas| \fillimi(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \fundi (vargu) \djathtas| $$
Në pikën $M_1(1;3)$ marrim: $H=8\cdot\left| \fillimi(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \fund (array) \djathtas|= 8\cdot\majtas| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \djathtas|=40 > 0$, pra në pikë Funksioni $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ka një maksimum të kushtëzuar, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Në mënyrë të ngjashme, në pikën $M_2(-1,-3)$ gjejmë: $H=8\cdot\left| \fillimi(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \fund (array) \djathtas|= 8\cdot\majtas| \fillim(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \fund(array) \djathtas|=-40$. Që nga $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Unë vërej se në vend që të llogaritet vlera e përcaktorit $H$ në çdo pikë, është shumë më e përshtatshme ta zgjerojmë atë në pamje e përgjithshme. Për të mos e rrëmuar tekstin me detaje, unë do ta fsheh këtë metodë nën një shënim.
Shkrimi i përcaktorit $H$ në formë të përgjithshme. Shfaq Fshih
$$ H=8\cdot\majtas|\fillimi(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\fund(array)\djathtas| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\djathtas). $$
Në parim, tashmë është e qartë se çfarë shenjë ka $H$. Meqenëse asnjë nga pikat $M_1$ ose $M_2$ nuk përkon me origjinën, atëherë $y^2+x^2>0$. Prandaj, shenja e $H$ është e kundërt me shenjën e $\lambda$. Ju mund të plotësoni llogaritjet:
$$ \fillim(përafruar) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\djathtas)\cdot\left(3^2+1^2\djathtas)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\djathtas)=-40. \fund (drejtuar) $$
Pyetja për natyrën e ekstremumit në pikat stacionare $M_1(1;3)$ dhe $M_2(-1;-3)$ mund të zgjidhet pa përdorur përcaktorin $H$. Le të gjejmë shenjën e $d^2F$ në çdo pikë të palëvizshme:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\djathtas) $$
Më lejoni të vërej se shënimi $dx^2$ do të thotë saktësisht $dx$ i ngritur në fuqinë e dytë, d.m.th. $\majtas(dx \djathtas)^2$. Prandaj kemi: $dx^2+dy^2>0$, pra, me $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ marrim $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без transformime shtesë. NË shembullin e mëposhtëm për të përcaktuar shenjën e $d^2F$ do të jetë e nevojshme të merret parasysh lidhja midis $dx$ dhe $dy$.
Përgjigju: në pikën $(-1;-3)$ funksioni ka një minimum të kushtëzuar, $z_(\min)=-10$. Në pikën $(1;3)$ funksioni ka një maksimum të kushtëzuar, $z_(\max)=10$
Shembulli nr. 2
Gjeni ekstremin e kushtëzuar të funksionit $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ nën kushtin $x+y=0$.
Metoda e parë (metoda e shumëzuesit Lagrange)
Duke treguar $\varphi(x,y)=x+y$, ne kompozojmë funksionin Lagranzh: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \majtas \( \fillimi(lidhur) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0.
Pasi kemi zgjidhur sistemin, marrim: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dhe $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kemi dy pika stacionare: $M_1(0;0)$ dhe $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \djathtas)$. Le të zbulojmë natyrën e ekstremit në çdo pikë të palëvizshme duke përdorur përcaktues$H$.
$$H=\majtas| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \djathtas|= \majtas| \fillim(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \fund(array) \djathtas|=-10-18y $$
Në pikën $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, prandaj në këtë pikë funksioni ka një maksimum të kushtëzuar, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Ne hetojmë natyrën e ekstremumit në çdo pikë duke përdorur një metodë të ndryshme, bazuar në shenjën e $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Nga ekuacioni i lidhjes $x+y=0$ kemi: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Meqenëse $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, atëherë $M_1(0;0)$ është pika minimale e kushtëzuar e funksionit $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Në mënyrë të ngjashme, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Mënyra e dytë
Nga ekuacioni i lidhjes $x+y=0$ fitojmë: $y=-x$. Duke zëvendësuar $y=-x$ në funksionin $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, marrim një funksion të ndryshores $x$. Le ta shënojmë këtë funksion si $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Kështu, ne e reduktuam problemin e gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të një funksioni të dy ndryshoreve në problemin e përcaktimit të ekstremit të një funksioni të një ndryshoreje.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
Ne morëm pikë $M_1(0;0)$ dhe $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\djathtas)$. Hulumtime të mëtejshme dihen nga kursi llogaritja diferenciale funksionon me një ndryshore. Duke shqyrtuar shenjën e $u_(xx)^("")$ në çdo pikë të palëvizshme ose duke kontrolluar ndryshimin në shenjën e $u_(x)^(")$ në pikat e gjetura, marrim të njëjtat përfundime si kur zgjidhja e metodës së parë Për shembull, ne do të kontrollojmë shenjën $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Meqenëse $u_(xx)^("")(M_1)>0$, atëherë $M_1$ është pika minimale e funksionit $u(x)$, dhe $u_(\min)=u(0)=0 $ . Që nga $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Vlerat e funksionit $u(x)$ për një kusht të caktuar lidhjeje përkojnë me vlerat e funksionit $z(x,y)$, d.m.th. ekstremet e gjetura të funksionit $u(x)$ janë ekstremet e kërkuara të kushtëzuara të funksionit $z(x,y)$.
Përgjigju: në pikën $(0;0)$ funksioni ka një minimum të kushtëzuar, $z_(\min)=0$. Në pikën $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funksioni ka një maksimum të kushtëzuar, $z_(\max)=\frac(500)(243 ) $.
Le të shqyrtojmë një shembull tjetër në të cilin do të sqarojmë natyrën e ekstremit duke përcaktuar shenjën e $d^2F$.
Shembulli nr. 3
Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $z=5xy-4$ nëse variablat $x$ dhe $y$ janë pozitive dhe plotësojnë ekuacionin e bashkimit $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Le të kompozojmë funksionin Lagranzh: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \djathtas)$. Le të gjejmë pikat stacionare të funksionit të Lagranzhit:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \majtas \( \fillimi(lidhur) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \ y > 0.
Të gjitha transformimet e mëtejshme kryhen duke marrë parasysh $x > 0; \; y > 0$ (kjo është e specifikuar në deklaratën e problemit). Nga ekuacioni i dytë ne shprehim $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dhe e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e parë: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Duke zëvendësuar $x=2y$ në ekuacionin e tretë, marrim: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Meqenëse $y=1$, atëherë $x=2$, $\lambda=-10$. Ne përcaktojmë natyrën e ekstremumit në pikën $(2;1)$ bazuar në shenjën e $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Meqenëse $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, atëherë:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\djathtas)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \djathtas)+d\left(\frac(y^2)(2) \djathtas)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Në parim, këtu mund të zëvendësoni menjëherë koordinatat e pikës stacionare $x=2$, $y=1$ dhe parametrin $\lambda=-10$, duke marrë:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \djathtas)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \djathtas)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Sidoqoftë, në probleme të tjera në një ekstrem të kushtëzuar mund të ketë disa pika të palëvizshme. Në raste të tilla, është më mirë të përfaqësohet $d^2F$ në formë të përgjithshme, dhe më pas të zëvendësohen koordinatat e secilës prej pikave të palëvizshme të gjetura në shprehjen që rezulton:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \djathtas)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\majtas(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \djathtas)\cdot dx^2 $$
Duke zëvendësuar $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, marrim:
$$ d^2 F=\majtas(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \djathtas)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Meqenëse $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Përgjigju: në pikën $(2;1)$ funksioni ka një maksimum të kushtëzuar, $z_(\max)=6$.
Në pjesën tjetër do të shqyrtojmë aplikimin e metodës së Lagranzhit për funksionet më shumë variablat.
Përkufizimi 1: Një funksion thuhet se ka një maksimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit< 0.
Përkufizimi 2: Një funksion thuhet se ka një minimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit > 0.
Përkufizimi 3: Pika minimumet lokale dhe maksimumi quhen pika ekstreme.
Ekstremet e kushtëzuara
Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të shumë variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturat ekstremi i kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.
Le të jepet një funksion dhe një vijë L në sipërfaqe 0xy. Detyra është të futesh në linjë L gjeni një pikë të tillë P (x, y), në të cilin vlera e një funksioni është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat e vijës L, ndodhet pranë pikës P. Pika të tilla P quhen pikat ekstreme të kushtëzuara funksionon në linjë L. Në ndryshim nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat e fqinjësisë së tij, por vetëm në ato që shtrihen në vijë. L.
Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë gjithashtu ekstrem i pakushtëzuar) është gjithashtu një pikë ekstreme e kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Më lejoni të shpjegoj atë që thashë shembull i zakonshëm. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Shtojca 3 (Fig. 3)).
Ky funksion ka një maksimum në origjinë; kulmi i përgjigjet asaj M hemisferat. Nëse linja L ka një vijë që kalon nëpër pika A Dhe NË(ekuacioni i saj x+y-1=0), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën që shtrihet në mes midis pikave. A Dhe NË. Kjo është pika e ekstremit të kushtëzuar (maksimumit) të funksionit në këtë linjë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.
Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.
Le të vazhdojmë tani me kërkimin praktik për pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit Z= f(x, y) me kusht që ndryshoret x dhe y të lidhen me ekuacionin (x, y) = 0. Ne do ta quajmë këtë relacion ekuacioni i lidhjes. Nëse nga ekuacioni i bashkimit y mund të shprehet në mënyrë eksplicite në terma x: y=(x), marrim një funksion të një ndryshoreje Z= f(x, (x)) = Ф(x).
Pasi kemi gjetur vlerën x në të cilën ky funksion arrin një ekstrem, dhe më pas kemi përcaktuar nga ekuacioni i lidhjes vlerat përkatëse y, marrim pikat e dëshiruara të ekstremit të kushtëzuar.
Pra, në shembullin e mësipërm, nga ekuacioni i relacionit x+y-1=0 kemi y=1-x. Nga këtu
Është e lehtë të kontrollohet nëse z arrin maksimumin e tij në x = 0.5; por më pas nga ekuacioni i lidhjes y = 0.5, dhe marrim saktësisht pikën P, të gjetur nga konsideratat gjeometrike.
Problemi i një ekstremi të kushtëzuar zgjidhet shumë lehtë edhe kur ekuacioni i lidhjes mund të përfaqësohet me ekuacione parametrike x=x(t), y=y(t). Zëvendësimi i shprehjeve për x dhe y në këtë funksion, përsëri vijmë te problemi i gjetjes së ekstremit të një funksioni të një ndryshoreje.
Nëse ekuacioni i bashkimit ka më shumë se pamje komplekse dhe ne nuk jemi në gjendje ose të shprehim në mënyrë eksplicite një variabël në terma të një tjetri, ose ta zëvendësojmë atë me ekuacione parametrike, atëherë detyra për të gjetur një ekstrem të kushtëzuar bëhet më e vështirë. Do të vazhdojmë të supozojmë se në shprehjen e funksionit z= f(x, y) ndryshorja (x, y) = 0. Derivati total i funksionit z= f(x, y) është i barabartë me:
Ku derivati y` gjendet duke përdorur rregullin e diferencimit funksioni i nënkuptuar. Në pikat e ekstremit të kushtëzuar, derivati total i gjetur duhet të jetë i barabartë me zero; kjo jep një ekuacion që lidh x dhe y. Meqenëse ato duhet të plotësojnë gjithashtu ekuacionin e bashkimit, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura
Le ta transformojmë këtë sistem në një sistem shumë më të përshtatshëm duke shkruar ekuacionin e parë në formën e një proporcioni dhe duke futur një të panjohur të re ndihmëse:
(shenja minus përpara është për lehtësi). Nga këto barazi është e lehtë të kalosh në sistemin e mëposhtëm:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
i cili së bashku me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, formon një sistem prej tre ekuacionesh me të panjohura x, y dhe.
Këto ekuacione (*) janë më të lehta për t'u mbajtur mend duke përdorur rregulli tjetër: për të gjetur pikat që mund të jenë pika ekstreme të kushtëzuara të funksionit
Z= f(x, y) me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, ju duhet të formoni një funksion ndihmës
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Ku është një konstante dhe krijoni ekuacione për të gjetur pikat ekstreme të këtij funksioni.
Sistemi i treguar i ekuacioneve siguron, si rregull, vetëm kushtet e nevojshme, d.m.th. jo çdo çift vlerash x dhe y që plotëson këtë sistem është domosdoshmërisht një pikë ekstreme e kushtëzuar. Nuk do të jap kushte të mjaftueshme për pikat e ekstremit të kushtëzuar; shumë shpesh vetë përmbajtja specifike e problemit sugjeron se cila është pika e gjetur. Teknika e përshkruar për zgjidhjen e problemeve në një ekstrem të kushtëzuar quhet metoda e shumëzuesit të Lagranzhit.
