Trems dhe grila sferike. Peceta e Sierpinskit - një përbindësh tjetër

Një fraktal i rregullt, i quajtur një pecetë Sierpinski, përftohet duke prerë në mënyrë sekuenciale trekëndëshat barabrinjës qendrorë siç tregohet në Fig. 2

Figura 2 - Ndërtimi i një pecete Sierpinski

Rezultati është një figurë "vrima" (shih Fig. 3), e përbërë nga numër i pafund pika të izoluara. Dimensioni fraktal i pecetës Sierpinski llogaritet duke përdorur formulën (3)

Këtu në hapin zero kemi një trekëndësh barabrinjës me gjatësi brinjë, dhe në hapin tjetër tre trekëndësha barabrinjës me brinjë. Prandaj, një,. Peceta ka sipërfaqe zero sepse është e lehtë të verifikohet se në procesin e ndërtimit të saj zona saktësisht e barabartë me sipërfaqen trekëndëshi origjinal. Këtë e tregon edhe vlera e dimensionit fraktal, i cili është më i vogël se dimensioni i rrafshit në të cilin ndodhet ky objekt.

Tani le të llogarisim perimetrin e zonave të përjashtuara. Nëse brinja e trekëndëshit origjinal ishte e barabartë me 1, atëherë në hapin e parë të ndërtimit perimetri i trekëndëshit qendror është i barabartë me 3/2. Në hapin e dytë, i shtohen tre trekëndësha të rinj me të perimetri i përbashkët, e barabartë me 9/4, etj. Është e qartë se në hapi i nëntë perimetri P përcaktohet nga shuma e progresionit gjeometrik

Algoritmi fraktal i tapetit Sierpinski

Figura 3 - Pecetë Sierpinski

Nga ana tjetër, shkalla e gjatësisë në hapin e n-të është e barabartë. Prandaj, formula merr një formë të ngjashme me formulën (1) për gjatësinë e vijës bregdetare

ku D përcaktohet me formulën (6)

Figura 4 - Elementi iniciues dhe gjeneratori për kurbën e Sierpinskit

Është e mundur të ndërtohet një linjë e vazhdueshme që ka këtë dimension fraktal dhe gjeometrikisht është ekuivalente me një pecetë Sierpinski. Elementi inicues për një ndërtim të tillë është një segment me gjatësi njësi, i cili më pas zëvendësohet nga një strukturë e quajtur gjenerator, e përbërë nga tre segmente me gjatësi 1/2, të vendosura në një kënd prej 120° me njëri-tjetrin (shih Fig. 4 ). Pastaj secili prej këtyre tre segmenteve zëvendësohet, nga ana tjetër, nga një gjenerator sa gjysma e madhësisë siç tregohet në Fig. 5 në të majtë. Pjesa e djathtë E njëjta figurë përshkruan hapin tjetër të procedurës. Konturet e pecetës së ardhshme Sierpinski shfaqen qartë në dy fazat e ardhshme (shih Fig. 5).

Figura 5 - Hapi i dytë dhe i tretë në ndërtimin e kurbës Sierpinski

Kjo procedurë përsëritet pafundësisht. Është e lehtë të shihet se çdo imazh pasues mund të merret nga ai i mëparshmi duke ngjitur tre kopje të reduktuara përgjysmë, dy prej të cilave do të rrotullohen në një kënd prej 120° dhe - 120° në krahasim me origjinalin.

Figura 6 - Dy hapat e ardhshëm në ndërtimin e kurbës Sierpinski

Ngjashëm me pecetën Sierpinski, mund të ndërtohet një qilim katror Sierpinski, i cili është një analog dydimensional i grupit Cantor të të tretave të mesme të përjashtuara.

Figura 7 - Ndërtimi i një tapeti katror Sierpinski

Receta për krijimin e saj është si më poshtë. Së pari, merrni një katror me një gjatësi anësore e barabartë me një. Pastaj secila anë e katrorit ndahet në tre pjesë të barabarta, dhe i gjithë katrori, përkatësisht, në nëntë katrorë identikë me një anë të barabartë me 1/3. Një shesh qendror është prerë nga figura që rezulton. Pastaj katrori pritet duke përdorur të njëjtën procedurë. Pse secili nga 8 katrorët e mbetur i nënshtrohet të njëjtës procedurë etj. (shih Fig. 7)

Figura 8 - Tapeti i Sheshit Sierpinski

Rezultati është një qilim Sierpinski katror me vrima me një vlerë dimensioni fraktal

Ai gjithashtu përfaqëson një shembull të një fraktali ideal të vetë-ngjashëm. Dimensioni i saj fraktal, megjithatë, është më i madh se ai i pecetës Sierpinski, d.m.th. është në një farë kuptimi më pak i rrjedhshëm.

“QILIMI SIERPINSKI”

Tabela e përmbajtjes

Prezantimi

1. Koncepti i fraktaleve.

Rreth qilimave

Waclaw Sierpinski

Trekëndëshi i Sierpinskit

Tapeti Sierpinski

Funksionet e Sierpinskit

Llojet dhe vetitë kryesore të fraktaleve

Ndërtimi i fraktaleve

Rreth përdorimit të fraktaleve

konkluzioni

Pikat kryesore

Shtojca 1

Shtojca 2

Shtojca 3

Shtojca 4

Shtojca 5

Shtojca 6

Shtojca 7 (Prezantimi)

Letërsia

Nëse njerëzit refuzojnë të besojnë

në thjeshtësinë e matematikës,

atëherë kjo është vetëm sepse ata

Ata nuk e kuptojnë kompleksitetin e jetës.

John von Neumann

Prezantimi

Puna i kushtohet temës së kërkimit fraktal: Qilima Sierpinski.

Siç dihet, ky fraktal është një nga fraktalet klasike në gjeometrinë fraktal.

Qëllimi kryesor i kësaj pune është të studiojë një fraktal të quajtur Tapeti Sierpinski.

Nevoja për konceptin e fraktalit u shfaq relativisht kohët e fundit, përkatësisht rreth 40 vjet më parë. Pastaj modele gjeometrike struktura të ndryshme natyrore janë ndërtuar tradicionalisht në bazë të formave gjeometrike relativisht të thjeshta: vija të drejta, poligone, rrathë, poliedra, sfera. Sidoqoftë, u bë e qartë se ky grup klasik, i mjaftueshëm për përshkrimin e strukturave elementare, bëhet keq i zbatueshëm për objekte të tilla komplekse si skica e vijave bregdetare kontinentale, fusha e shpejtësisë në një rrjedhë të turbullt të lëngut, një shkarkim rrufe në ajër, materiale poroze, etj. forma e reve, flokeve të borës, flakës së zjarrit, kontureve të pemëve, etj. Në këtë drejtim, shkencëtarët filluan të prezantojnë të reja konceptet gjeometrike. Dhe një nga këto koncepte ishte koncepti i një fraktal. Ky koncept u prezantua nga matematikani francez me origjinë polake Benoit Mandelbrot në 1975. Dhe megjithëse ndërtime të ngjashme në një formë ose në një tjetër u shfaqën në matematikë shumë kohë më parë, në fizikë vlera e ideve të tilla u kuptua vetëm në vitet '70 të shekullit të 20-të. Pastaj libri i Mandelbrot "Gjeometria Fraktale e Natyrës" luajti një rol të rëndësishëm në përhapjen e ideve të gjeometrisë fraktal. bazë gjeometri e reështë ideja e ngjashmërisë së vetvetes. Ai shpreh faktin se parimi hierarkik i organizimit të strukturave fraktale nuk pëson ndryshime të rëndësishme kur shikohet përmes një mikroskopi me zmadhime të ndryshme. Si rezultat, këto struktura në shkallë të vogla duken, mesatarisht, të njëjta si në shkallë të mëdha. Kjo përcakton ndryshimin midis gjeometrisë Euklidiane, e cila merret ekskluzivisht me kthesat e lëmuara, dhe kthesat fraktalale pafundësisht të thyera, vetë të ngjashme. Elementet e kurbave te Euklidi janë gjithmonë të ngjashëm me veten, por në një mënyrë të parëndësishme: të gjitha kthesat janë lokalisht të drejta, dhe një vijë e drejtë është gjithmonë e vetëngjashme. Një kurbë fraktal, në mënyrë ideale, në çdo shkallë, madje edhe më e vogla, nuk zvogëlohet në një vijë të drejtë dhe është rast i përgjithshëm gjeometrikisht i parregullt, kaotik. Për të, në veçanti, nuk ekziston koncepti i një tangjente në një pikë, pasi funksionet që përshkruajnë këto kthesa janë, në rastin e përgjithshëm, të padiferencueshme.

Ndoshta argumenti më bindës për studimin e fraktaleve është bukuria e tyre mahnitëse.

Fraktalet kombinojnë në mënyrë të mahnitshme qasjen logjike dhe njohuritë e fenomeneve natyrore.

Shumë përparime të mëdha në gjeometrinë fraktal janë bërë të mundura me ardhjen e kompjuterëve modernë. Eksperimentet kompjuterike kanë bërë të mundur marrjen e një kuptimi mjaft të plotë të fraktaleve të ndryshme dhe arsyet e shfaqjes së tyre. Shpesh modelimi teorik i këtyre strukturave ishte ndonjëherë edhe përpara metodat eksperimentale studimi i objekteve reale natyrore me formë komplekse.

Me zhvillimin e gjeometrisë fraktal, u bë e qartë për shumë njerëz se format e gjeometrisë Euklidiane janë shumë inferiore ndaj shumicës së objekteve natyrore për shkak të mungesës së parregullsive, çrregullimeve dhe paparashikueshmërisë.

Aktualisht, mund të themi se gjeometria fraktal është gjerësisht e njohur dhe mjaft e rëndësishme. Kjo është për shkak se gjuha e gjeometrisë fraktal është e zbatueshme për të gjithë shkencën bota moderne përgjithësisht. Për shembull, në mjekësi për të ndërtuar një model sistemi i qarkullimit të gjakut njerëzit ose duke ekzaminuar sipërfaqet komplekse të membranave qelizore.

1. Koncepti i fraktaleve.

Fraktalet janë kudo rreth nesh, si në skicat e maleve ashtu edhe në vijën dredha-dredha të bregut të detit. Disa nga fraktalet ndryshojnë vazhdimisht, si retë lëvizëse ose flakët vezulluese, ndërsa të tjerët, si pemët ose sistemet vaskulare, ruajnë strukturën e fituar në procesin e evolucionit.
H. O. Peigen dhe P. H. Richter.

Gjeometria, të cilën e studiojmë në shkollë dhe e përdorim Jeta e përditshme, siç u tha më herët, daton që nga Euklidi (rreth 300 para Krishtit). Trekëndësha, katrorë, rrathë, paralelogramë, paralelopipedë, piramida, sfera, prizma - objekte tipike, konsideruar nga gjeometria klasike. Objektet e krijuara nga njeriu zakonisht përfshijnë këto figura ose fragmente të tyre. Sidoqoftë, në natyrë ato nuk gjenden shumë shpesh. Në të vërtetë, a janë, për shembull, bukuritë pyjore të bredhit të ngjashme me ndonjë nga artikujt e listuar apo kombinimin e tyre? Është e lehtë të shihet kjo, ndryshe nga format e Euklidit objekte natyrore nuk kanë butësi, skajet e tyre janë të thyera, të dhëmbëzuara, sipërfaqet janë të vrazhda, të gërryera nga çarjet, kalimet dhe vrimat.

"Pse shpesh quhet gjeometria e ftohtë dhe e thatë? Një arsye është paaftësia e saj për të përshkruar formën e një reje, një mali, një peme ose një breg deti. Retë nuk janë sfera, malet nuk janë kone, vijat bregdetare nuk janë rrathë dhe korja nuk është e lëmuar." , - këto fjalë fillojnë "Gjeometria Fraktale e Natyrës", shkruar nga Benoit Mandelbrot. fjalëfraktal rrjedh nga latinishtjafraktus dhe do të thotë përkthyeri fragmentuar . Ajo u propozua nga Benoit Mandelbrot në 1975 për t'iu referuar të parregullt pori vetëngjashëm strukturat ku ai ishte i përfshirë. Lindja e gjeometrisë fraktal zakonisht shoqërohet me botimin e librit të Mandelbrot në 1977.Gjeometria Fraktale e Natyrës" . Veprat e tij përdorin rezultatet shkencore shkencëtarë të tjerë që punuan në periudhën 1875 -1925 në të njëjtën fushë (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Por vetëm në kohën tonë ka qenë e mundur të kombinojmë punën e tyre në një sistem të vetëm.

Roli i fraktaleve në grafikën kompjuterike sot është mjaft i madh. Ata vijnë në shpëtim, për shembull, kur është e nevojshme, duke përdorur disa koeficientë, për të përcaktuar linjat dhe sipërfaqet e formave shumë komplekse. Nga pikëpamja grafika kompjuterike, gjeometria fraktale është e domosdoshme kur krijohen re artificiale, male dhe sipërfaqe deti. Në fakt u gjet mënyrë e lehtë paraqitjet e objekteve komplekse jo-Euklidiane, imazhet e të cilave janë shumë të ngjashme me ato natyrore.

Fraktalet janë objekte gjeometrike me veti mahnitëse: çdo pjesë e një fraktali përmban imazhin e tij të reduktuar. Domethënë, sado ta zmadhoni fraktalin, një kopje e vogël e tij do t'ju shikojë nga çdo pjesë e tij.

Përkufizimi i Mandelbrot për një fraktal është:"Një fraktal është një strukturë e përbërë nga pjesë që janë në njëfarë kuptimi të ngjashme me të tërën" . Karakteristikat e brendshme të fraktaleve janë të përshtatshmepërshkruajnë karakteristikë numerike, gjysmëqë i dha emrin dimension fraktal.Le të bëjmë një eksperiment të thjeshtë. Le ta marrimnjë fletë grafiku bosh dhe një skicëtim mbi të arbitrare drejtvizoresegmenti i linjës. Le të llogarisim sasinë e ngjitësitrrymë me gjatësi anësore 1 cm dhe numrin e ngjitësvepika me gjatësi anësore 1 mm, nëpër të cilatkalon këtë seksion. Sa herë njëa është numri më i madh se tjetri? Nëse eksperimenti ka të bëjë mevozitni me kujdes, pastaj mbuloni segmentinqelizat milimetra do të jenë dhjetë herëmë shumë se centimetra.

Gjeometria në natyrë nuk kufizohet në figura të tilla të thjeshta si një vijë, një rreth, seksion konik, shumëkëndëshi, sfera, sipërfaqja kuadratike, si dhe kombinimet e tyre. Për shembull, çfarë mund të jetë më e bukur se deklarata se planetët në tonë sistem diellor lëviz rreth diellit në orbita eliptike?

Megjithatë, shumë sisteme natyrore janë aq komplekse dhe të parregullta saqë përdorimi i vetëm objekteve të njohura të gjeometrisë klasike për t'i modeluar ato duket i pashpresë. Si, për shembull, mund të ndërtoni një model të një vargu malor ose një kurore peme për sa i përket gjeometrisë? Si të përshkruajmë shumëllojshmërinë e konfigurimeve biologjike që vërejmë në botën e bimëve dhe kafshëve? Imagjinoni kompleksitetin e sistemit të qarkullimit të gjakut, i përbërë nga shumë kapilarë dhe enë dhe që dërgon gjak në çdo qelizë Trupi i njeriut. Imagjinoni sa me zgjuarsi janë rregulluar mushkëritë dhe sythat, duke kujtuar në strukturën e pemëve me një kurorë të degëzuar.

Dinamika e jetës reale mund të jetë po aq komplekse dhe e parregullt. sistemet natyrore. Si t'i qasemi modelimit të ujëvarave kaskadë ose proceseve të turbullta që përcaktojnë motin?

Fraktalet dhe kaosi matematik janë mjete të përshtatshme për të eksploruar këto pyetje. Afatifraktal i referohet disa konfigurimeve gjeometrike statike, të tilla si një fotografi e një ujëvare.Kaos është një term dinamik që përdoret për të përshkruar fenomene të ngjashme me sjelljen e motit të turbullt. Shpesh ajo që vëzhgojmë në natyrë na intrigon me përsëritjen e pafund të të njëjtit model, të rritur ose ulur sa herë të dëshirojmë. Për shembull, një pemë ka degë. Në këto degë ka degë më të vogla etj. Teorikisht, elementi i degëzimit përsëritet pafundësisht shumë herë, duke u bërë gjithnjë e më i vogël. E njëjta gjë mund të shihet kur shikoni fotografinë. terren malor. Mundohuni të zmadhoni pak vargmalin - do t'i shihni përsëri malet. Kështu shfaqet vetia karakteristike e fraktalevevetëngjashmëria.

Shumë punë në fraktale përdor vetëngjashmërinë si një veti përcaktuese. Pas Benoit Madelbrot, ne pranojmë pikëpamjen se fraktale duhet të përkufizohen në termat e dimensionit fraktal (fraksional). Nga këtu vjen fjalafraktal (nga lat.fraktus - thyesore).

Koncepti i dimensionit fraksional është një koncept kompleks që paraqitet në disa faza. Një vijë e drejtë është një objekt njëdimensional, ndërsa një plan është një objekt dydimensional. Nëse e përdredhni mirë vijën e drejtë dhe rrafshin, mund të rrisni dimensionin e konfigurimit që rezulton; në këtë rast, dimensioni i ri zakonisht do të jetë i pjesshëm në njëfarë kuptimi, të cilin duhet ta sqarojmë. Lidhja midis dimensionit thyesor dhe vetëngjashmërisë është se me ndihmën e vetëngjashmërisë është e mundur të ndërtohet një grup dimensionesh thyesore në mënyrën më të thjeshtë. Edhe në rastin e fraktaleve shumë më komplekse, siç është kufiri i grupit Mandelbrot, ku nuk ka vetëngjashmëri të pastër, ka një përsëritje pothuajse të plotë të formës bazë në një formë gjithnjë e më të reduktuar.

Themeluesi i gjeometrisë fraktal.

Matematikanët e neglizhuan sfidën dhe

preferoi të arratisej nga natyra me shpikje

të gjitha llojet e teorive që nuk bëjnë

shpjegojmë atë që shohim ose ndjejmë.

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (frëngjisht: Benoit Mandelbrot; lindur më 20 nëntor 1924, Varshavë) është një matematikan francez.

Themelues dhe studiues kryesor në fushën e gjeometrisë fraktal. Laureat i Çmimit Wolf në Fizikë (1993).

Benoit Mandelbrot lindi në Varshavë në 1924 në një familje hebrenjsh lituanez. Por tashmë në vitin 1936, familja Benoit Mandelbrot emigroi në Francë, në Paris. Në Paris ai ra nën ndikimin e xhaxhait të tij Scholem Mandelbroit, një matematikan i famshëm parizian dhe anëtar i një grupi matematikanësh të njohur kolektivisht si "Nicolas Bourbaki".

Pas fillimit të luftës, Mandelbrotët u larguan në jug të Francës, të lirë nga pushtimi, në qytetin e Tulle. Benoit Mandelbrot shkoi në shkollë atje, por shpejt humbi interesin për studimet e tij. Prandaj, në moshën gjashtëmbëdhjetë vjeç, ai mezi e dinte alfabetin dhe tabelën e shumëzimit deri në pesë.

Por Benoit Mandelbrot zbuloi një dhuratë të pazakontë matematikore, e cila e lejoi atë të bëhej student në Sorbonë menjëherë pas luftës. Doli se Benoit ka një imagjinatë të shkëlqyer hapësinore. Ai madje probleme algjebrike zgjidhur gjeometrikisht. Origjinaliteti i vendimeve të tij i lejoi Benoit Mandelbrot të hynte në universitet.

Pas diplomimit nga universiteti, Benoit Mandelbrot fillimisht u bë një "matematicien i pastër". Ai mori doktoraturën.

Në vitin 1958, ai u transferua në Shtetet e Bashkuara, ku filloi të punojë në qendrën kërkimore të IBM në Yorktown, pasi IBM në atë kohë punonte në fusha të matematikës që ishin interesante për Benoit Mandelbrot.

Ndërsa punonte në IBM, Benoit Mandelbrot u largua shumë nga pastërtia problemet e aplikuara kompanitë. Ai punoi në fushën e gjuhësisë, teorisë së lojërave, ekonomisë, aeronautikës, gjeografisë, fiziologjisë, astronomisë dhe fizikës. I pëlqente të kalonte nga një temë në tjetrën, të studionte drejtime të ndryshme.

Ndërsa studionte ekonominë, Benoit Mandelbrot zbuloi se luhatjet në dukje arbitrare të çmimeve mund të pasojnë një fshehtësi renditja matematikore në kohë, e cila nuk përshkruhet nga kthesat standarde.

Benoit Mandelbrot filloi të studionte statistikat e çmimeve të pambukut periudhë e gjatë kohë (më shumë se njëqind vjet). Luhatjet e çmimeve gjatë ditës dukeshin të rastësishme, por Mandelbrot ishte në gjendje të kuptonte trendin e ndryshimeve të tyre. Ai gjurmoi simetrinë në luhatjet afatgjata të çmimeve dhe luhatjet afatshkurtra. Ky zbulim erdhi si një surprizë për ekonomistët.

Në fakt, Benoit Mandelbrot përdori bazat e metodës së tij rekursive (fraktale) për të zgjidhur këtë problem.

Rreth qilimave.

Pak për kafshimin

Përdorimi praktik fraktale

Fraktalet po gjejnë gjithnjë e më shumë aplikim më të madh në shkencë. Arsyeja kryesore për këtë është se ata përshkruajnë botën reale ndonjëherë edhe më mirë se fizika apo matematika tradicionale. Ketu jane disa shembuj:

Sistemet kompjuterike

Shumica përdorim i dobishëm Fraktalet në shkencën kompjuterike janë kompresim i të dhënave fraktal. Ky lloj kompresimi bazohet në faktin se bota reale përshkruhet mirë nga gjeometria fraktale. Në të njëjtën kohë, imazhet kompresohen shumë më mirë sesa bëhet me metodat konvencionale (të tilla si jpeg ose gif). Një avantazh tjetër i kompresimit fraktal është se kur imazhi zmadhohet, nuk ka efekt pikselimi (duke rritur madhësinë e pikave në madhësi që shtrembërojnë imazhin). Me kompresimin fraktal, pas zmadhimit, fotografia shpesh duket edhe më e mirë se më parë.

Mekanika e lëngjeve

1. Studimi i turbulencës në prurje përshtatet shumë mirë me fraktale. Rrjedhat e turbullta janë kaotike dhe për këtë arsye të vështira për t'u modeluar me saktësi. Dhe këtu ndihmon kalimi në një përfaqësim fraktal, i cili lehtëson shumë punën e inxhinierëve dhe fizikantëve, duke i lejuar ata të kuptojnë më mirë dinamikën e rrjedhave komplekse.

2. Duke përdorur fraktale mund të simuloni edhe flakët.

3. Materialet poroze janë të përfaqësuara mirë në formë fraktale për faktin se kanë një gjeometri shumë komplekse. Përdoret në shkencën e naftës.

Telekomunikacioni

Për transmetimin e të dhënave në distanca, përdoren antena me forma fraktal, gjë që zvogëlon shumë madhësinë dhe peshën e tyre.

Fizika e sipërfaqeve

Fraktalet përdoren për të përshkruar lakimin e sipërfaqeve. Një sipërfaqe e pabarabartë karakterizohet nga një kombinim i dy fraktaleve të ndryshme.

Bar

1.Ndërveprimet biosensore.

2.Rrahje zemre

Biologjia

Modelimi i proceseve kaotike, veçanërisht kur përshkruhen modelet e popullsisë.

Aplikimi i fraktaleve në teknologjinë e antenave

Bazuar në idetë dhe algoritmet e diskutuara më parë në pjesën e parë, u propozua metodë e re metodat e përdorimit të elementeve fraktale në vargjet e antenave. Përdorimi i tij bën të mundur rritjen e densitetit të vendosjes dhe reduktimin e ndërlidhjeve ndërmjet elementeve. Përveç kësaj, bazuar në teorinë fraktal, u studiuan vetitë dhe lloji i rrezatimit të antenave të tilla. Përdorimi i teorisë fraktal bën të mundur marrjen e antenave që janë elektrikisht të gjata, por fizikisht kompakte dhe zënë një zonë të vogël. Falë kësaj veçorie, mund të arrihet miniaturizimi i antenës.

Antenat moderne kërkojnë saktësi të lartë dhe dimensione minimale. Komunikimet me radio kërkojnë sisteme që mund të funksionojnë në sa më shumë breza frekuencash. Sistemet e antenave ajrore kërkojnë që antenat të miniaturohen sa më shumë që të jetë e mundur. Për të arritur këto qëllime, u propozua metoda të ndryshme aplikimet e fraktaleve në teorinë e antenës. Le të tregojmë fushat e mundshme të aplikimit të fraktaleve në teknologjinë e antenave:

a) antenat me tela, antenat mikrostrip - këto antena kanë një strukturë fizike fraktal;

b) antenat me një model rrezatimi fraktal (DP), vargje me një shpërndarje të rrymës fraktal - antenat ndërtohen në bazë modelimi kompjuterik karakteristikat fraktale.

Le të japim një shembull të përdorimit të një strukture fraktal për një antenë unazore të thjeshtë.

Shërimi i rrjetës do të duket kështu:

R - total cikle; N =4 – numri i elementeve në një unazë; – faza (zhvendosja) e elementit,; – faktori fraktal i shkallës.

12.Përfundim

Fraktalet na rrethojnë kudo: pemë, male, re. Por, përveç kësaj, fraktale gjenden në objekte të padukshme për syrin e njeriut: këto janë qeliza të indeve të ndryshme të gjalla, çarje në koren e tokës dhe shumë më tepër. Grafikat fraktale mund të përdoren në shumë fusha të shkencave natyrore. Përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në ekonomi, gjeografi, astronomi, biologji, fizikë dhe madje edhe në letërsi. Fraktalet ndihmojnë gjeofizikanët të përcaktojnë formën dhe natyrën e plasaritjes kores së tokës dhe veçoritë e shpërndarjes në shtresat e saj të ndryshme elementet kimike, dhe astronomët mund të simulojnë formimin sistemet planetare dhe galaktikat, natyra e shpërndarjes së rrezeve dhe pluhurit kozmik.

Shkenca fraktale është shumë e re dhe ka një të ardhme të madhe përpara. Bukuria e fraktaleve nuk është e rraskapitur dhe do të na japë akoma mjaft kryevepra - ato që kënaqin syrin dhe ato që sjellin kënaqësi të vërtetë në mendje.

Puna ime nuk rendit të gjitha fushat e njohurive njerëzore ku teoria e fraktaleve ka gjetur aplikimin e saj. Dua të them vetëm se nuk ka kaluar më shumë se një e treta e një shekulli që nga lindja e teorisë, por gjatë kësaj kohe fraktalet u bënë një fenomen i papritur për shumë studiues. dritë të ndritshme në netët që ndriçonin fakte dhe modele të panjohura deri tani në fusha të veçanta të dhënash. Me ndihmën e teorisë së fraktaleve, ata filluan të shpjegojnë evolucionin e galaktikave dhe zhvillimin e qelizave, shfaqjen e maleve dhe formimin e reve, lëvizjen e çmimeve në bursë dhe zhvillimin e shoqërisë dhe familjes. Ndoshta, në fillim, ky pasion për fraktalet ishte edhe shumë intensiv dhe përpjekjet për të shpjeguar gjithçka duke përdorur teorinë e fraktaleve ishin të pajustifikuara. Por, pa dyshim, kjo teori ka të drejtë të ekzistojë.

Duke punuar në temën e kërkimit, thellova ndjeshëm njohuritë e mia për matematikën dhe zgjerova horizontet e mia matematikore.

Ndërsa studioja fraktale, zbulova se shumë prej tyre kanë veti të mahnitshme dhe përdoren gjerësisht në fusha të ndryshme shkencat.

Bazuar në rezultatet e hulumtimit tim, kam krijuar një prezantim kompjuterik me të cilin kushdo që është i interesuar mund të ketë një ide të qartë të llojeve dhe vetive të pazakonta të fraktaleve.

U binda se matematika është një shkencë unike dhe e mahnitshme, metodat e së cilës bëjnë të mundur përshkrimin e modeleve dhe strukturës së dukuri të pazakonta botën përreth. Përveç kësaj, modele fraktal me forma të çuditshme dinamike– një nga simbolet e unitetit të matematikës dhe artit. Krijuar kompjuterë modernë Fraktalet formojnë emocione të thella estetike që ngjallin respekt dhe interes për matematikën.

Unë besoj se puna që kam bërë në studimin e fraktaleve është shumë e dobishme për veten time dhe rezultatet e saj mund të përdoren me sukses në mësimet e matematikës dhe në aktivitetet jashtëshkollore. Sepse është vërtet interesante!

13.Pikat kryesore .

1. Teoria e fraktaleve është shumë e re. Ajo u shfaq në fund të viteve gjashtëdhjetë falë Benoit Mandelbrot.

2. Një fraktal është një strukturë e vetëngjashme, imazhi i së cilës nuk varet nga shkalla. Ky është një model rekurziv, secila pjesë e të cilit përsërit në zhvillimin e tij zhvillimin e të gjithë modelit në tërësi.

3. Fraktalet përdoren gjithnjë e më shumë në shkencë. Për shembull, në sistemet kompjuterike, mekanikën e lëngjeve, mjekësinë, biologjinë dhe të tjerët.

4. Ka shumë fraktale të ndryshme: Set Cantor, trekëndëshi i Sierpinskit, tapeti i Sierpinskit, kurba Koch, fjolla e borës Koch, dragoi Harter-Hathway dhe të tjerët.

6. Fraktalet e bëjnë shumë më të lehtë procese komplekse dhe objekte, gjë që është shumë e rëndësishme për modelim. Ato ju lejojnë të përshkruani sisteme dhe procese të paqëndrueshme dhe, më e rëndësishmja, të parashikoni të ardhmen e objekteve të tilla.

Shtojca 1

Fraktale dinamike dhe stokastike

Le të marrim një pikënisje z 0 në plan kompleks. Tani merrni parasysh një sekuencë të pafundme numrash në rrafshin kompleks, secila prej të cilave vijon nga ai i mëparshmi: z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ... z n+1 = f(z n ), Kuf( z) – çdo funksion i një ndryshoreje komplekse. Varet nga pikënisje z 0 një sekuencë e tillë mund të sillet ndryshe: priren në pafundësi si n → ∞; konvergojnë në një pikë fundore; të marrë në mënyrë ciklike një seri vlerash fikse; më shumë janë të mundshme opsione komplekse. Kur ngjyroset ngjyra të ndryshme Pikat në planin kompleks që sillen ndryshe shpesh rezultojnë në forma që kanë veti fraktale.

Kompleti Mandelbrot

Bashkësia Mandelbrot është bashkësia e pikave c në rrafshin kompleks për të cilin sekuenca (z n ), Kuz 0 =0,z n+1 = z n 2 + c, e fundme (d.m.th., nuk shkon në pafundësi).

Seti Mandelbrot është një nga fraktalet më të famshëm, edhe jashtë matematikës, për shkak të vizualizimeve të tij me ngjyra. Fragmentet e tij nuk janë rreptësisht të ngjashëm me grupin origjinal, por me zmadhimin e përsëritur, pjesë të caktuara bëhen gjithnjë e më shumë të ngjashme me njëra-tjetrën.

Është vërtetuar se i gjithë grupi ndodhet tërësisht brenda një rrethi me rreze 2 në aeroplan. Prandaj, do të supozojmë se nëse për një pikëc sekuenca e përsëritjeve të funksionitf c = z 2 + c me vlerë fillestarez = 0 pas një numri të madh të tyreN (të themi, 100) nuk shkoi përtej këtij rrethi, atëherë pika i përket grupit dhe është lyer me ngjyrë të zezë. Prandaj, nëse në një fazë më pakN , elementi i modulit të sekuencës bëhet më i madh se 2, atëherë pika nuk i përket grupit dhe mbetet e bardhë. Kështu, është e mundur të merret një imazh bardh e zi i grupit, i cili është marrë nga Mandelbrot. Për ta bërë atë me ngjyrë, për shembull, mund të lyeni çdo pikë jo nga grupi në një ngjyrë që korrespondon me numrin e përsëritjes në të cilin sekuenca e saj shkoi përtej rrethit.

set Julia

Çdo pikë z e planit kompleks ka sjelljen e vet (mbetet e fundme, priret në pafundësi, merr vlera fikse) gjatë përsëritjeve të funksionit f(z), dhe i gjithë rrafshi ndahet në pjesë. Për më tepër, grupet e pikave që kanë një lloj sjelljeje specifike shpesh kanë veti fraktale. Këto janë grupet Julia për funksionin f(z).

Duke shtuar perturbacione të rastësishme në formulat që përcaktojnë një fraktal, mund të përftohen fraktale stokastike që përfaqësojnë në mënyrë shumë të besueshme disa objekte reale.

Shtojca 2

Shembuj të fraktaleve dhe të tyre veti të mahnitshme

Variantet e flokeve të dëborës Koch

a) Floku i borës Koch "përkundrazi" fitohet nëse ndërtojmë kthesat e Koch brenda trekëndëshit barabrinjës origjinal.

b) Vijat Cesaro: në vend të trekëndëshave barabrinjës përdoren trekëndëshat dykëndësh me kënd bazë nga 60° deri në 90°. Në figurë, këndi është 88°.

c) Opsioni katror: katrorët janë plotësuar.

H -fraktale

E gjitha fillon me një figurë në formën e shkronjës H, në të cilën segmentet vertikale dhe horizontale janë të barabarta. Pastaj një kopje e saj, e zvogëluar përgjysmë, i bashkëngjitet secilit nga 4 skajet e figurës. Në çdo fund (janë tashmë 16 prej tyre) është bashkangjitur një kopje e shkronjës H, e reduktuar tashmë me 4 herë. Dhe kështu me radhë.

Në kufi, ju merrni një fraktal që mbush një katror të caktuar, kështuH-fraktali i referohet linjave që mbushin një pjesë të një plani, megjithatëgjatësia totale e të gjithë segmenteve që formohenH-fraktale, e pafundme.

Kjo pronë H-fraktale janë përdorur gjerësisht në prodhimin e mikroqarqeve elektronike: nëse është e nevojshme që një numër i madh elementësh në një qark kompleks të marrin të njëjtin sinjal në të njëjtën kohë, atëherë ato mund të vendosen në skajet e segmenteve të një përsëritjeje të përshtatshme të H-fraktali dhe i lidhur në përputhje me rrethanat.

Ka kthesa të tjera fraktal që mbushin një pjesë të aeroplanit. Një objekt i tillë u shfaq për herë të parë në një punim të matematikanit italian Giuseppe Peano në 1890. Peano u përpoq të gjente një shpjegim vizual të faktit që një segment dhe një katror janë me trashësi të barabartë (nëse i konsiderojmë si grupe pikash). Kjo teoremë u vërtetua më parë nga matematikani gjerman Georg Cantor në kuadrin e teorisë së grupeve që ai shpiku. Shembulli i Peanos ishte një konfirmim i mirë i korrektësisë së Cantor-it.

Ndonjëherë shprehja kurba Peano nuk i referohet shembull specifik, por për çdo kurbë që mbush një pjesë të një rrafshi ose hapësire.

Kurba e Hilbertit u përshkrua nga matematikani gjerman David Hilbert në 1891.

Një shembull tjetër është fraktali "Kryqi Grek":

Kurba Gosper, ose Flokë dëbore Gosper (përshkruar nga matematikani dhe programuesi amerikan Bill Gosper):

Pema e Pitagorës

Ky fraktal quhet kështu sepse secila treshe katrorësh që prekin çifte kufizojnë një trekëndësh dykëndësh të drejtë dhe rezultati është një pamje që përdoret shpesh për të ilustruar teoremën e Pitagorës, " Pantallona pitagoriane të barabartë në të gjitha drejtimet”.

Është qartë e dukshme se e gjithë pema është e kufizuar. Nëse katrori më i madh është njësi, atëherë pema do të përshtatet në një drejtkëndësh 6 × 4 Kjo do të thotë se sipërfaqja e saj nuk i kalon 24. Por nga ana tjetër, sa herë që shtohet dy herë më shumë treshe katrorë se në atë të mëparshmin, dhe dimensionet e tyre lineare janë herë më pak. Prandaj, në çdo hap, shtohet e njëjta zonë, e cila është e barabartë me sipërfaqen e konfigurimit fillestar, domethënë 2. Duket se atëherë sipërfaqja e pemës duhet të jetë e pafundme, por në fakt atje këtu nuk ka kontradiktë, sepse shumë shpejt sheshet fillojnë të mbivendosen, dhe zona rritet jo aq shpejt. Është ende e kufizuar, por ende vlerën e saktëështë i panjohur dhe është një çështje e hapur.

Nëse ndryshoni këndet në bazën e trekëndëshit në pemën e Pitagorës, do të merrni forma paksa të ndryshme të pemëve, të quajtura pemë të pitagorës së fryrë. Dhe në një kënd prej 60 °, të tre katrorët do të jenë të barabartë, dhe pema do të kthehet në një model periodik në aeroplan:

Kurba e Levit

Edhe pse ky objekt u studiua nga italiani Ernesto Cesaro në vitin 1906, vetëngjashmëria dhe vetitë e tij fraktale u hulumtuan në vitet 1930 nga francezi Paul Pierre Levy.

Për shkak të ngjashmërisë së saj me shkronjën "C", e shkruar me një font të lulëzuar, ajo quhet edhe kurba C e Lewy.

Nëse shikoni nga afër, do të vini re se kurba e Levy është e ngjashme me formën e kurorës së një peme pitagorase.

Variantet e kurbës së Levy

a) Një kurbë e anuar do të fitohet nëse, në vend të një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh, në çdo hap përdorim një trekëndësh tjetër kënddrejtë.

b) Një version tjetër i kurbës Levy C mund të ndërtohet nëse nuk filloni me një segment, por me shkronjën P. Hapi i parë tre, i teti dhe i njëmbëdhjetë i ndërtimit të kësaj lakore janë paraqitur më poshtë:

c) Nëse marrim një katror si bazë, marrim ishullin Levi:

Harter-Dragoi i autostradës

Besohet se fraktali e mori këtë emër për ngjashmërinë e tij me dragonjtë tradicionalë kinezë.

Dragon Fractal ka gjithashtu një veti interesante: nëse preni disa pllaka në formën e një fraktal dragoi, ato mund të vendosen pranë njëri-tjetrit në mënyrë të tillë që të mos ketë boshllëqe. Nëse ka shumë pllaka të tilla, atëherë mund të shtroni një pjesë të avionit me to:

Shtojca 3

Dimensionet fraktale dhe topologjike

Le të shqyrtojmë në mënyrë më të detajuar një nga vetitë e një grupi fraktal dhe të prezantojmë konceptet e dimensioneve topologjike dhe fraktale. Dimensioni topologjik është numri i koordinatave të nevojshme për të specifikuar pozicionin e një pike brenda një figure. Pra, çdo vijë (për shembull, një rreth ose vijë e drejtë) është njëdimensionale - mjafton vetëm një koordinatë për të treguar me saktësi një pikë, dhe rrafshi dhe sipërfaqja e topit janë dy-dimensionale. Tani le të shohim përkufizimin e dimensionit fraktal.Vini re se nëse marrim dy katrorë me brinjët 1 dhe 2, atëherë katrori i parë do të jetë 4 herë më i vogël se i dyti. Pra dimensioni i katrorit ështëD= 2, dhe

Kështu, dimensioni fraktal mund të përkufizohet gjithashtu si më poshtë: nëse, kur figura origjinale zvogëlohet nëNsapo ajo përshtatet në vetveteMherë, atëherë dimensioni i kësaj figure është numriD, Ku

Le të gjejmë dimensionin fraktal të kurbës Koch duke përdorur këtë përkufizim. Vini re se kurba Koch përbëhet nga 4 pjesë (njëra prej tyre është e theksuar në figurën më poshtë), secila prej të cilave është e ngjashme me të gjithë kurbën në tërësi, por secila prej këtyre pjesëve është 3 herë më e vogël se kurba:

Kjo është, në në këtë rast N = 3, M= 4. Zgjidhja e këtij ekuacioni:

ne e gjejmë atëD ≈ 1,261859...

Pra, meqenëse fraktali i diskutuar më sipër është një kurbë, dimensioni topologjik i tij është 1, dhe dimensioni fraktal është ≈ 1,261859... Kështu, dimensioni fraktal i kësaj figure është më i madh se ai topologjik dhe është i pjesshëm, siç thuhet në veti. .

Shtojca 4

Fraktale në natyrë dhe teknologji

Në ditët e sotme, teoria e fraktaleve përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme. veprimtaria njerëzore. Në fizikë, fraktalet lindin natyrshëm kur modelojnë procese jolineare, të tilla si rrjedha e lëngut turbulent, proceset komplekse të difuzionit dhe adsorbimit, flakët, retë, etj. Fraktalet përdoren në modelimin e materialeve poroze, për shembull, në petrokimikat. Në biologji, ato përdoren për të modeluar popullatat dhe për të përshkruar sistemet. organet e brendshme(sistemi i enëve të gjakut). Pas krijimit të kurbës Koch, u propozua përdorimi i saj në llogaritjen e gjatësisë së vijës bregdetare.

Fraktalet përdoren në teorinë e informacionit për të kompresuar të dhënat grafike (vetia e vetëngjashmërisë së fraktaleve përdoret kryesisht këtu - në fund të fundit, për të kujtuar një fragment të vogël të një fotografie dhe transformimet me të cilat mund të merrni pjesët e mbetura, aq më pak memoria është kërkohet sesa të ruhet i gjithë skedari). Fraktalet përdoren gjithashtu për të krijuar muzikë fraktal dhe për kriptim të të dhënave.

Në radio elektronike, në dekadën e fundit, filluan të prodhohen antena me formë fraktal. Duke zënë pak hapësirë, ato sigurojnë marrjen e sinjalit me cilësi të lartë.

Dhe ekonomistët përdorin fraktale për të përshkruar kurbat e luhatjes së kursit të monedhës (kjo pronë u zbulua nga Mandelbrot më shumë se 30 vjet më parë).

Por fraktalet përdoren më gjerësisht në pikturën kompjuterike, pasi fraktalet janë objekte gjeometrike jashtëzakonisht të bukura dhe misterioze që kombinojnë një gamë të pasur ngjyrash, shumëllojshmëri dhe përsëritshmëri të formave gjeometrike.

Shtojca 5

Lojëra me trekëndëshin dhe tapetin Sierpinski

Ne e konsiderojmë trekëndëshin e Sierpinskit si një nëngrup të planit kompleks dhe aplikojmë transformime të ndryshme të rrafshit kompleks në të. Për shembull, le të ndërtohet trekëndëshi i Sierpinskit segment njësi bosht real.

Dhe tani ne aplikojmë transformimin e përmbysjes në lidhje me qendrën e trekëndëshit në planin kompleks:. Pastaj marrim foton e mëposhtme.

Më poshtë janë fotot përShndërrimi i përmbysjes në raport me qendrën e tapetit ka formën Rezulton se trekëndëshi i Sierpinskit është marrë si rezultat i një prej varieteteve të ecjes së rastësishme të një pike në një aeroplan. Kjo metodë quhet "loja e kaosit". Me ndihmën e tij mund të ndërtoni disa fraktale të tjera.

Thelbi i "lojës" është ky. Një trekëndësh i rregullt është i fiksuar në një aeroplanA 1 A 2 A 3 . Shënoni çdo pikënisjeB 0 . Pastaj zgjidhni rastësisht një nga tre kulmet e trekëndëshit dhe shënoni pikënB 1 - mesi i një segmenti me skajet në këtë kulm dhe nëB 0 (në foton në të djathtë, kulmi u zgjodh aksidentalishtA 1 ). E njëjta gjë përsëritet me një pikëB 1 , Për të marrëB 2 . Pastaj ata marrin pikëtB 3 , B 4 , etj. Është e rëndësishme që pika të “kërcejë” në mënyrë të rastësishme, domethënë që çdo herë kulmi i trekëndëshit të zgjidhet rastësisht, pavarësisht se çfarë është zgjedhur në hapat e mëparshëm. Është e mahnitshme që nëse shënoni pika nga një sekuencëB i , atëherë së shpejti do të fillojë të shfaqet trekëndëshi i Sierpinskit. Më poshtë është se çfarë ndodh kur shënohen 100, 500 dhe 2500 pikë.

Shtojca 6.

Riprodhimi i zhvillimeve të matematikanit Sierpinski në shtëpi

Bukuria e matematikës ka një natyrë unike dhe nuk është e lehtë për një laik të papërgatitur ta vlerësojë atë. Por është e mundur - për shembull, duke përdorur shembullin spektakolar dhe vizualisht të dukshëm të fraktaleve, me të cilat ushtruan një grup njerëzish. Këta shokë të gëzuar transferuan figura gjeometrike të përbëra me vetinë e vetëngjashmërisë në shtëpi, duke përfshirë kuzhinën.

Ata huazuan dy fraktale të famshme me emrin e shpikësit: trekëndëshin Sierpinski dhe tapetin Sierpinski. Duke përfituar nga fakti se ndërtimi i tyre bazohet në forma të thjeshta dhe në një metodë të kuptueshme, duart e shkathëta të entuziastëve morën argjilën dhe brumin. Rezultati ishte dy produkte: skulptura balte dhe biskota me çokollatë - të gjitha me udhëzime hap pas hapi Lloji "Bëje vetë".

Siç mund ta shihni, në këtë rast, trekëndëshi i Sierpinskit është derdhur nga balta me dy ngjyra. Asgjë nuk ju pengon të përdorni plastelinë më të përballueshme, si dhe të rritni numrin e ngjyrave. Gjëja kryesore është të matni me kujdes gjithçka me një sundimtar dhe të jeni të kujdesshëm. Dhe metoda është e arritshme për të kuptuar fëmijën, sepse konsiston në përsëritjen e të njëjtave operacione. Teorikisht, procesi është i pafund, por në një ushtrim me argjilë rekomandohet të kufizoheni në gjashtë përsëritje: në këtë mënyrë kontrasti mbetet ende i fortë dhe modeli bëhet mbresëlënës.

Sa i përket tapetit Sierpinski, parimi i krijimit të tij është i ngjashëm me ndërtimin e trekëndëshit të treguar më lart, por për zbatimin në shtëpi është edhe më pak i ndërlikuar. Prandaj, një amvise e qëllimshme dhe kureshtare mund të bëjë një fraktal të tillë jo vetëm për bukurinë, por edhe për ushqimin - për shembull, duke përdorur dy lloje brumi.

Bibliografi

A. D. Morozov "Hyrje në teorinë e fraktaleve". Moskë, 2002.

E. Feder “Fractals”. "Bota", 1997.

R. M. Kronover "Fractalet dhe zaos në sistemet dinamike". Moskë, 2000

A. I. Azevich "Fraktalet: gjeometria dhe arti" // "Matematika në shkollë". – 2005. – Nr.4.

Bozhogin S.V. Fraktale dhe multifraktale.

Shlyk V.A. Nëpërmjet Gjeometrisë Fraktal në një perceptim të ri të botës.

Mandelbrot B.B. "Gjeometria Fraktale e natyrës".

Interneti global.

Në kapitullin 6, marrim në konsideratë kthesat e rrafshët të Koch me dimension , të cilat nuk përmbajnë pika të dyfishta, në mënyrë që ato të quhen të kryqëzuara ose të padegëzuara. Dhe kapitulli 7 i kushtohet kthesave Peano, kufiri i pashmangshëm i të cilave është dyfish i dendur kudo. Në këtë kapitull ne synojmë të bëjmë hapin tjetër dhe të eksplorojmë disa shembuj të figurave të ngjashme të degëzuara qëllimisht: kthesat e rrafshët (), kurbat e hapësirës () dhe sipërfaqet (). Numri i pikave të dyfishta në një kurbë të degëzuar të vetë-ngjashme tenton në pafundësi.

Aparati matematik i përdorur në këtë kapitull nuk është i ri (edhe pse i njohur për shumë pak specialistë) - ajo që është e re është aplikimi im i tij për të përshkruar Natyrën.

Peceta e Sierpinskit - NJË PËRNDËR TJETËR

Unë propozova termin pecetë Sierpinski për t'iu referuar figurës së treguar në Fig. 205. Në fig. 207 tregon një version hapësinor të së njëjtës figurë. Procedurat për ndërtimin e tyre janë përshkruar në legjendat e figurave.

Në Khan lexojmë: "Një pikë në një kurbë quhet pikë dege nëse kufiri i lagjes së saj arbitrarisht të vogël përmban më shumë se dy pika, që i përkasin asajështë e shtrembër... Mendje e shëndoshë, me sa duket, këmbëngul se asnjë kurbë thjesht nuk mund të përbëhet nga vetëm... pika degëzimi. Ky besim i qartë përgënjeshtrohet nga kurba e Sierpinskit, të gjitha pikat e së cilës janë pika degë."

KULLA EIFEL: FORCË DHE HIRË

Dhe përsëri Khan është në gabim me pikëpamjet e tij, megjithëse duhet pranuar se zgjedhja e tij jokarakteristike e fjalëve ("me sa duket") rezulton të jetë shumë e mençur. Kundërargumenti im i parë është huazuar nga arritjet e inxhinierisë. (Para se të filloja diskutimin tim për strukturat kompjuterike në fund të kapitullit 12, unë tashmë thashë se nuk shihja asgjë të palogjikshme në përfshirjen e sistemet artificiale me një strukturë komplekse në një vepër reale kushtuar fenomeneve të Natyrës.)

Unë argumentoj se (shumë përpara Koch, Peano dhe Sierpinski) kulla e ndërtuar nga Gustave Eiffel në Paris mishëroi me vetëdije idenë e një kurbë fraktal që përmban shumë pika dege.

Në një përafrim të parë, Kulla Eifel përbëhet nga katër elementë në formë A. Sipas legjendës, Eiffel zgjodhi shkronjën A për të shprehur fjalën Amour në kullën e tij. Të katër elementët në formë A kanë një kulm të përbashkët, dhe elementët fqinjë në formë A kanë një skaj të përbashkët. Përveç kësaj, një tjetër kullë e drejtë ngrihet në majë.

Vini re se si pjesët A ashtu edhe kulla e sipërme nuk janë bërë nga trarë të fortë, por nga trarë kolosale. Një trung është një grup lidhjesh të ndërlidhura të lidhura në mënyrë të ngurtë, secila prej të cilave nuk mund të deformohet pa deformuar të paktën një nga lidhjet fqinje. Me të njëjtën forcë, trarët janë shumë më të lehtë se trarët cilindrikë të fortë. Dhe Eifel kuptoi se fermat, lidhjet e të cilave janë vetë ferma, janë edhe më të lehta.

Buckminster Fuller hapi sytë e botës për faktin se sekreti i forcës fshihet në pikat e degëzimit, por ndërtuesit me përvojë të katedraleve gotike e dinin këtë shumë përpara tij. Sa më tej shkojmë në zbatimin e këtij parimi, aq më shumë i afrohemi idealit të Sierpinskit! Ish student Besikovich Freeman Dyson, në kërkim të strukturave të forta dhe të lehta për ndërtesat e tij ndërplanetare, një herë përshkroi Kullën Eifel të ekstrapoluar pafundësisht (, f. 646).

GRUPET KRITIKE PERKOLLIMORE

Le t'i kthehemi përsëri natyrës, ose më saktë, imazhit të natyrës së përshkruar fizika statistikore. Unë besoj se kur studiojmë perkolimin përmes grilave, thjesht nuk mund të bëjmë pa një nga të afërmit e pecetës Sierpinski. Në kapitullin 13, i cili hapi diskutimin e këtij precedenti, u argumentua se grupimet e perkolimit janë fraktale. Tani do të shkoj më tej dhe do të them se struktura e degëzuar e një pecete Sierpinski përfaqëson një model shumë premtues për strukturën e grupimeve të shtyllës kurrizore.

Fizikanët do ta vlerësojnë këtë model kryesisht për faktin se funksionon dhe funksionon shpejt: punimi tregon se me një model të tillë është e mundur të kryhen me saktësi llogaritjet rutinë. Detajet janë shumë teknike për t'u përfshirë në këtë ese, por arsyet pse arrita në këto përfundime mund të jenë interesante. Fillimisht mendova për këtë kur vura re ngjashmërinë midis pecetës Sierpinski dhe shtyllave kurrizore të grupit të paraqitur në figurën e mëposhtme:

Arsyeja më e dukshme qëndron në tre të mbetura bosh pas heqjes së lidhjeve të varura (të formuara pasi grupi u reduktua në një shtyllë kurrizore) dhe grupimet e përfshira tërësisht brenda grupit që më interesuan. Arsyeja e dytë: në kapitullin 13 treguam se vetëngjashmëria është shkallën më të lartë një veti e dëshirueshme për një model gjeometrik të një grupi depërtimi, dhe degëzimi i fshirjes Sierpinski është pikërisht i ngjashëm. Dhe së fundi, dimensionet e këtyre dy strukturave janë aq të afërta sa që vështirë se mund të jetë thjesht një rastësi! Sipas vlerësimit të S. Kirkpatrick, një grup i sheshtë ka një dimension që është çuditërisht afër dimensionit të një pecete Sierpinski! Dimensioni i grupit hapësinor pothuajse përkon me dimensionin fraktal të rrjetës asimetrike në Fig. 207. Përveç kësaj, tregohet se identiteti i dimensionit të autostradës dhe dimensioni i pecetës së përgjithësuar ruhet në . Një argument tjetër në favor të modelit të pecetës do të paraqesim pak më vonë në formën e aplikimit të fundit të degëzimit.

QILIM TRINITY SIERPINSKI

Le të kalojmë nga grilat trekëndore në ato drejtkëndore. Ato demonstrojnë një shumëllojshmëri të gjerë të modeleve të mundshme - kthesa në aeroplan dhe në hapësirë ​​dhe sipërfaqe në hapësirë. Sa i përket kthesave, pavarësisht ngjashmërisë së jashtme me pecetën Sierpinski, ato ndryshojnë shumë prej saj nga pikëpamja themelore e degëzimit, të cilës do t'i kthehemi pas përcaktimit të këtyre kthesave.

Zgjerimi fjalë për fjalë i metodës Cantor për heqjen e të tretave të mesme në rrafsh përshkruhet në shpjegimin e Fig. 205; Iniciatori i një ndërtimi të tillë është sheshi. Fraktali i përftuar duke përsëritur pafundësisht këtë proces njihet gjerësisht nën emrin e thjeshtë të tapetit tresh Sierpinski. Dimensioni i saj.

QILIMET FRAKTALE JO TRINITY

Për të ndërtuar një "qilim me një medaljon të madh në qendër", ne shkruajmë, si zakonisht, , ku është një numër i plotë më i madh se 3; Le të marrim një katror si iniciator, një katror me një anë me qendër në të njëjtën pikë me një tremë dhe një unazë të ngushtë katrorësh me një anë si gjenerator. Dimensioni i një tapeti të tillë është . Nëse marrim një numër të plotë tek, një nën katror me anën r dhe qendër në të njëjtën pikë me qendrën e iniciatorit dhe një unazë të gjerë katrorësh të vegjël si gjenerator, marrim një "qilim me një medaljon të vogël në qendër". Dimensioni i një tapeti të tillë është . Kështu, në tapetet me qendër është e mundur të merret një përafrim arbitrar i afërt me çdo vlerë në rangun nga 1 në 2.

Tapetet pa qendër janë përcaktuar në . Për shembull, kur dhe mund të vendosni një trima të përbërë nga një nënshesh në nënsheshin e sipërm djathtas. Kufiri përkatës rezulton të jetë një pecetë Sierpinski, e ndërtuar nga një trekëndësh që formon gjysmën e poshtme të majtë të katrorit.

SHKUME FRAKTALE TRINITY

Përhapja e mirëfilltë e tapetit tresh në hapësirë ​​fillon me heqjen e nënkubit të mesëm (pjesa e 27-të e vëllimit të kubit origjinal) nga kubi si trema, pas së cilës mbetet një "guaskë" prej 26 nënkubesh. Unë propozoj që fraktalin e marrë përmes kësaj procedure ta quajmë shkumë fraktale treshe. Dimensioni i saj.

Çdo tremë këtu është e rrethuar nga të gjitha anët nga një kufi i vazhdueshëm, i ndarë në një numër të pafund shtresash pafundësisht të holla. dendësi e pafundme. Për të kaluar nga një pikë e vendosur në një treshe në një pikë të vendosur në një treshe tjetër, duhet të kaloni nëpër një numër të pafund shtresash. Kjo të kujton "shkumën hapësirë-kohë" që, sipas J. A. Wheeler dhe J. W. Hawking, përbën strukturën më të mirë të materies. Megjithatë, jam i detyruar të pranoj se nuk e njoh mjaftueshëm këtë temë, ndaj nuk guxoj ta diskutoj këtu.

TRINITY FRACTAL MENGER SPONGE

Carl Menger propozon një figurë tjetër si trem: një kryq, nga qendra e të cilit del një zgjatim nga përpara dhe mbrapa. Në këtë rast, kubi mbetet i lidhur me njëri-tjetrin nga nënkube me një anë prej 1/3. Nga këto nënkube, dymbëdhjetë formojnë "shifare" ose litarë, dhe tetë të tjerët janë nyje ose lidhës. Dimensioni i grupit limit (shih Fig. 208) është . Unë e quaj këtë strukturë një sfungjer sepse këtu si gjiza dhe hirra janë të lidhura. Ju mund të imagjinoni se si uji rrjedh lirshëm midis dy pikave në zonën e serumit.

Për të marrë një kombinim të litarëve dhe çarçafëve, merrni si trembje një kryq triniteti me vetëm një zgjatje - përpara. Dhe nëse në të njëjtën kohë ndryshoni drejtimin e zgjatjes herë pas here, atëherë fletët në strukturën përfundimtare do të rezultojnë të jenë plot vrima. Ndoshta ia vlen të përmendet këtu se po mendoja për të gjitha këto forma kur kërkoja modele për të përshkruar ndërprerjen e turbullt - edhe para se të lexoja për to në Menger.

SPONGËT DHE SHKUMË JO TRINITETI

Për të përftuar sfungjerë të gjeneralizuar Menger me një bazë jo treshe, trema duhet të jetë një kombinim i tre cilindrave me baza katrore që i nënshtrohen kushteve të mëposhtme: boshti i çdo cilindri duhet të përkojë me një nga boshtet e kubit të njësisë, gjatësia prej çdo cilindër duhet të jetë i barabartë me 1, dhe anët e bazës së tij duhet të jenë paralele me boshtet e tjera të kubit. Sa më e gjatë të jetë ana e bazës, aq më "i lehtë" është sfungjeri që rezulton. Gjatësia më e madhe e mundshme e anës së bazës për kasë është , gjeneratori në këtë rast ka formën e një kombinimi kubesh me anë . Prandaj dimensioni. Në mënyrë të ngjashme, marrim një sfungjer "të dendur" (vetëm për rastësi) - gjatësia e anës së bazës së cilindrit në këtë rast është e barabartë me . Kur gjeneratori duket si një kombinim i kubeve me anë . Dhe dimensioni tani është i barabartë .

Shkumet fraktale përgjithësohen në mënyrë të ngjashme. Me shkume “të trasha” japin dimension , dhe "i rrallë" - . Nëse zbrazëtitë janë të mëdha dhe dimensioni është afër 2, atëherë shkuma duket si djathë Emmental tepër sfungjer; me boshllëqe të vogla, shkuma i ngjan gjithashtu një djathi tjetër gustator - Appenzell.

SHPËRNDARJA E MADHËSISË TË VOFSHME

Treshat e sfungjerëve bashkohen në një tërësi, ndërsa treshet e qilimave dhe shkumave janë boshllëqe të izoluara nga njëra-tjetra, si pauza në pluhurin e Cantorit (shih kapitullin 8). Shpërndarja e shkallës së tyre lineare i bindet rregullit

,

ku është një konstante. Ne e dimë mirë këtë rregull nga diskutimi ynë i zbrazëtirave në pluhurin Cantor, si dhe ishujve dhe grupimeve në Kapitullin 13.

KONCEPTI I NJË RRJETI FRAKTAL. GRATES

Në gjeometrinë standarde, një grilë është një grup vijash paralele që kufizojnë katrorë, trekëndësha ose figura të tjera të rregullta identike. I njëjti term, me sa duket, zbatohet për fraktale të rregullta, dy pika të të cilave mund të lidhen me njëra-tjetrën nga dy shtigje të ndryshme që nuk kryqëzohen askund tjetër. Në rastin e një fraktal të parregullt - për shembull, të rastësishëm - unë zëvendësoj rrjetën me një rrjet.

Një krahasim më i afërt i grilave standarde dhe fraktale zbulon dallime shumë domethënëse. E para është se grilat standarde janë të pandryshueshme përkthimi, por jo të pandryshueshme në shkallë, ndërsa e kundërta është e vërtetë për grilat fraktale. Dallimi i dytë: kur madhësia e qelizës së një rrjete standarde zvogëlohet, rrjeta përfundimisht konvergon në një plan. Për më tepër, disa rrjeta standarde mund të interpolohen duke vendosur linja shtesë në mes të linjave ekzistuese dhe duke vazhduar këtë proces deri në pafundësi. Në këtë rast, rrjeta gjithashtu konvergon në një plan. Në mënyrë të ngjashme, nëse është e mundur interpolimi i një rrjete standarde hapësinore, atëherë e gjithë hapësira bëhet kufiri i saj. Kjo do të thotë, kufiri i një grilë standarde nuk është një grilë. Në rastin e fraktaleve, situata është saktësisht e kundërta: kufiri i një rrjete të përafërt fraktal është rrjeta fraktal.

Termi vlen edhe për shkumat fraktale - ato mund të konsiderohen grila fraktale të degëzuara.

DIMENSIONET FRAKTALE TË SEKSIONET

Rregulli bazë. Në shumë raste, kur studioni fraktale, është e rëndësishme të njihni dimensionet e seksioneve lineare dhe plane. Vëzhgimi kryesor këtu (e kemi përdorur në Kapitullin 10 për të treguar se dimensioni i turbulencës) ka të bëjë me seksionin e një figure fraktal të rrafshët me një interval "të pavarur nga fraktali". Rezulton se nëse një seksion nuk është bosh, atëherë dimensioni i tij është "pothuajse me siguri" i barabartë me .

Vlera përkatëse për rastin hapësinor është .

Përjashtimet. Fatkeqësisht, ky rezultat është shumë i vështirë për t'u ilustruar kur kemi të bëjmë me fraktale jo të rastësishme që kanë boshte simetrie. Intervalet të cilave ne fillimisht i kushtojmë vëmendje janë paralele me këto boshte dhe, për rrjedhojë, janë atipike, dhe pothuajse çdo seksion i thjeshtë nga një interval tjetër i përket grupit të jashtëzakonshëm të cilit rregull i përgjithshëm nuk aplikohet.

Merrni, për shembull, tapetin Sierpinski, sfungjerin tresh Menger dhe shkumën treshe. Një vlerë që pothuajse me siguri duhet të jetë dimensioni i seksionit figurë e sheshtë segmenti, në përputhje me rrethanat, do të jetë i barabartë me:

Le të shënojmë me x abshisën e intervalit paralel me boshtin y të tapetit të Sierpinskit. Nëse një numër i shkruar në sistemin tresh të numrave përfundon në një sekuencë të pafundme zero dhe dyshe, atëherë vetë seksionet përfaqësojnë intervale, që do të thotë se ato janë më të mëdha nga sa prisnim. Nëse x përfundon në një sekuencë të pafundme njësh, atëherë seksionet janë grupe Cantor me pluhur me dimension , i cili është shumë i vogël. Dhe nëse përfundon me një sekuencë periodike periodash, duke përfshirë njësitë dhe zero ose dy, atëherë dimensioni i seksioneve ka formën . Vlera e pritur merret vetëm në .< То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . Таким образом, мы получаем три различных размерности - наибольшую, наименьшую и среднюю.

Rezultate shumë të ngjashme janë marrë në rastin hapësinor.

Sa i përket pecetës Sierpinski, madhësia e saj më e mundshme është , megjithatë, vlerat e dimensionit të seksioneve "natyrore" ndryshojnë nga 1 në 0. Për shembull, nëse një interval i shkurtër që kalon në mes të njërës prej anëve të pecetës është mjaft afër pingules, atëherë kryqëzimi i tij me pecetë do të jetë një pikë e vetme (dimensioni i seksionit).

Shumëllojshmëria e këtyre pjesëve të veçanta shpjegohet pjesërisht nga rregullsia e figurave origjinale. Nga ana tjetër, seksioni më ekonomik (dhe jo domosdoshmërisht një vijë e drejtë) është në mënyrë të pashmangshme baza e koncepteve të dimensionit topologjik dhe shkallës së degëzimit, të cilave ne i drejtohemi tani.

FRAKTALET E DEGËZUARA SI KURBA DHE SIPËRFAQJE

Siç e kemi vërejtur tashmë, termi "kurbë" përdoret në këtë ese si ekuivalent me shprehjen "një figurë e lidhur me dimension topologjik". Në përgjithësi, një matematikan do ta gjejë një formulim të tillë jo plotësisht të kënaqshëm, por shprehjet e sakta për këtë koncept janë shumë delikate. Për fat të mirë, në kapitullin 6, për të shpjeguar pse çdo kurbë Koch me një iniciator meriton titullin e kurbës, mjaftoi një konsideratë e thjeshtë: si vetë intervali, kurba Koch është e lidhur, por shkëputet kur hiqni çdo pikë që i përket. ajo përveç 0 dhe 1 Dhe kufiri i një fjollë dëbore është i ngjashëm në këtë drejtim me një rreth - ai është i lidhur, por shkëputet nëse hiqen dy nga pikat e tij.

Për ta thënë më pedantisht (siç duhet tani), dimensioni topologjik përcaktohet në mënyrë rekursive. Për një grup bosh. Për çdo grup tjetër, vlera është një më e madhe se dimensioni më i vogël i "seksionit" që ndan grupin. Dimensioni i grupeve të pluhurit të fundëm dhe Cantor është , pasi për t'i ndarë ato është e nevojshme të hiqni grupin bosh. Kompletet e mëposhtme të lidhura shkëputen kur hiqet një "seksion" me dimension: rrethi, intervali, kufiri i një flok dëbore Koch, pecetë dhe tapeti Sierpinski, sfungjerët Menger. (Në tre rastet e fundit, mjafton të shmangen seksionet e veçanta që përfshijnë intervale.) Për rrjedhojë, dimensioni i të gjitha grupeve të listuara është .

Bazuar në të njëjtat konsiderata, shkuma fraktal është një sipërfaqe me dimension .

Le të shqyrtojmë një version tjetër të provës se për një pecetë, të gjithë tapetet dhe të gjithë sfungjerët me dimension topologjik. Meqenëse ekziston një numër i plotë, nga pabarazia del se ai duhet të jetë i barabartë ose me 0 ose me 1. Por grupet në shqyrtim janë të lidhura, që do të thotë se dimensioni nuk mund të jetë më i vogël se 1. Zgjidhja e vetme është: .

SHKALLA E DEGËZIMIT TË KORVE

Dimensioni topologjik dhe konceptet përkatëse të pluhurit, kurbës dhe sipërfaqes na japin vetëm një klasifikim të nivelit të parë.

Në fakt, dy grupe të fundme, që përmbajnë përkatësisht pika, kanë të njëjtin dimension por ndryshojnë topologjikisht. Dhe pluhuri i Cantorit është i ndryshëm nga çdo pluhur i kufizuar.

Le të shohim se si mund të zbatojmë një dallim paralel me kthesat bazuar në numrin e pikave të përfshira në një grup (< его «мощности» ), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике - любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

Koncepti i shkallës së degëzimit përfshin një seksion të një grupi që përmban numrin më të vogël të pikave që duhet të hiqen për të ndarë grupin. Për më tepër, ai përfshin lagjet e të gjitha pikave që i përkasin grupit.

Rretho. Për një kalim të qetë nga gjeometria standarde në fraktale, le të fillojmë duke e quajtur një rreth me rreze 1 një grup Një rreth me qendër në një pikë kryqëzohet në pika, përveç rasteve kur rrezja është më e madhe se 2 - në këtë rast. Një disk i kufizuar nga një rreth quhet fqinjësi e një pike. Kështu, çdo pikë shtrihet në një lagje të vogël arbitrarisht, kufiri i së cilës kryqëzohet në pika. Kjo është e gjitha: nëse është kufiri i një lagjeje të përgjithshme të një pike, jo domosdoshmërisht e rrumbullakët, por "jo shumë e madhe", atëherë është e barabartë me të paktën 2. Fjalët "jo shumë e madhe" në fjalinë e mëparshme pa dyshim mund të shkaktojnë konfuzion, megjithatë , për fat të keq, nuk është e mundur t'i shmangësh ato. Vlera quhet shkalla e degëzimit të rrethit. Vini re se për të gjitha pikat e rrethit kjo vlerë është konstante.

Pecetë. Le të supozojmë tani se kompleti është një pecetë Sierpinski e ndërtuar duke përdorur tre. Këtu nuk është më njësoj për të gjitha pikat. Më lejoni të përdor arsyetimin e Sierpinskit për të treguar se në të gjitha pikat në grup, përveç kulmeve të iniciatorit, vlera mund të jetë ose ose.

Vlera i referohet kulmeve të çdo përafrimi të fundëm për përdorimin e trekëndëshave. Kulmi për përafrimin e rendit është kulmi i zakonshëm për dy trekëndësha me gjatësi brinjë 2. Qarqet me qendër në pikën dhe rreze (në ) ndërpresin grupin në 4 pika dhe lidhin lagje të vogla arbitrare të pikës. Dhe nëse kufizon një lagje "mjaftueshëm të vogël" të një pike (duke pasur parasysh që kulmet e iniciatorit shtrihen jashtë ), atëherë mund të tregohet se ajo kryqëzohet të paktën 4 pika.

Vlera karakterizon çdo pikë në bashkësinë që është kufiri i një sekuence të pafund trekëndëshash, secila prej të cilave gjendet brenda trekëndëshit që i paraprin dhe ka kulme të ndryshme nga kulmet e paraardhësit. Rrathët e përshkruar rreth këtyre trekëndëshave kryqëzojnë grupin në 3 pika, duke kufizuar në mënyrë arbitrare lagje të vogla të pikës. Në këtë rast, nëse kufizon një lagje mjaft të vogël të pikës (kulmet e iniciatorit gjithashtu duhet të shtrihen jashtë), atëherë mund të tregohet se ajo kryqëzohet në të paktën 3 pika.

Tapete. Kur një grup është një tapet Sierpinski, ne marrim një rezultat rrënjësisht të ndryshëm. Kryqëzimi i kufirit të çdo lagjeje mjaft të vogël përfaqëson një grup pikash të pafundme të panumërta, pavarësisht nga parametrat , ose .

Komentoni. Në këtë dikotomi të fundme/të pafundme, pecetat ndryshojnë pak nga kthesat standarde, ndërsa qilimat nuk dallohen nga rrafshet.

Uniformiteti. Unike. Duke treguar me vlerat më të vogla dhe më të mëdha që mund të arrihen në një pikë që i përket grupit, Uryson vërteton se . Degëzimi quhet homogjen nëse plotësohet barazia, kjo ndodh kur , si në kurbat e thjeshta të mbyllura, ose kur .

Për grilat e tjera, ku , unë propozoj termin kuazihomogjen. Shembulli më i thjeshtë dhe më i njohur i grilave të tilla është peceta e vetë-ngjashme Sierpinski. Shembuj të tjerë jo të rastësishëm përfshihen në koleksionin e mbledhur nga Uryson (shih) dhe nuk janë të ngjashëm. Kështu, kushtet e kuazi-homogjenitetit dhe vetë-ngjashmërisë plotësohen njëkohësisht nga vetëm një grup i njohur - peceta Sierpinski. A është e mundur të konfirmohet rreptësisht kjo, me sa duket, unike?

Grila standarde. Këtu, shkalla e degëzimit varion nga një vlerë minimale prej 2 për të gjitha pikat e rrjetës me përjashtim të nyjeve, deri në një vlerë maksimale përfundimtare të ndryshueshme të arritur në nyjet e rrjetës: 4 (grilë katrore), 6 (grilë trekëndore ose kubike) ose 3 (grilë gjashtëkëndore ). Megjithatë, ndërsa madhësia e qelizës së një rrjete standarde të çdo lloji zvogëlohet, ajo shndërrohet nga një kurbë në një rajon të rrafshët dhe shkalla e degëzimit të saj priret në pafundësi.

Kjo e fundit bëhet më e dukshme nëse zëvendësojmë infinitimalen me pafundësisht të madhen në një rrjetë me një madhësi qelize fikse. Për të izoluar një zonë gjithnjë në rritje të grilës, do të duhet të kalohet një numër i pacaktuar i madh pikash.

Përkufizimi formal. < См. и , с. 442.

APLIKIMET PRAKTIKE TË DEGËZIMIT

Le t'i bëjmë vetes pyetjen e zakonshme. Sado që figurat e Sierpinskit, Mengerit dhe të ngjashme mund t'i interesojnë matematikanët, a nuk është e qartë se për një person që studion Natyrën, shkalla e degëzimit nuk mund të jetë me interes? Përgjigja është po aq e njohur - për ju dhe mua! - si pyetja. Shkalla e degëzimit bëhet e rëndësishme tashmë në " bota reale» përafrime të fundme të marra duke ndaluar interpolimin që çon në fraktal në një prag të brendshëm pozitiv të fundëm.

Në fakt, nëse jepet një përafrim i pecetës Sierpinski të përbërë nga trekëndësha të mbushur me gjatësi anësore , atëherë mund të ndahet rajoni shkallë lineare e cila tejkalon , thjesht duke hequr tre ose katër pika, secila prej të cilave i përket kufirit midis dy zbrazëtirave ngjitur. Ky numër (3 ose 4) nuk ndryshon ndërsa përafrimi përmirësohet. Prandaj, nga pikëpamja e degëzimit, të gjitha përafrimet e pecetave mund të konsiderohen kthesa.

Të gjithë qilimat, përkundrazi, kanë një pronë të përbashkët: asnjë palë boshllëqe nuk ka një kufi të përbashkët. Për të ndarë përafrimin e fundëm të një figure të tillë, kur e konsiderojmë të cilën ne injorojmë zbrazëtitë më të vogla se , është e nevojshme të hiqen intervale të tëra. Dhe numri i këtyre intervaleve rritet sa . Wyburn tregoi se të gjitha kthesat fraktal që kanë këtë veti janë topologjikisht identike (< гомеоморфны ) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

Duke pasur parasysh vërejtjet e mëparshme, nuk është për t'u habitur që fundi i degëzimit gjen fusha të tilla të dukshme dhe të përcaktuara mirë zbatimi në ato raste kur gjeometria fraktal është e detyruar të përcaktojë në detaje proporcionin në të cilin një kurbë fractal planare kombinon dy kufijtë standardë: të drejtë dhe të rrafshët. Për ta përmbledhur, mund të themi se njohja e dimensionit fraktal të një lakore nuk është aspak e mjaftueshme. Për shembull, kur studionin fenomene kritike për modelet Ising në një rrjetë fraktal, autorët e punës zbuluan se rezultatet më të rëndësishme (< будь то при нулевой или при положительной температуре ) непосредственно зависят от конечности величины .

Tani ka ardhur koha të japim një shpjegim për të cilin më parë nuk ishim gati. Arsyeja pse shtylla kurrizore e grupit në perkolimin kritik të Bernulit është modeluar më mirë nga një pecetë Sierpinski sesa një qilim, sqarohet nga zbulimi i radhës i Kirkpatrick. Edhe në grilat jashtëzakonisht të mëdha, linja kritike mund të shkëputet duke hequr një numër të caktuar, në thelb të pandryshuar, të vogël lidhjesh (vlera të rendit 2). Edhe duke marrë parasysh të gjitha devijimet e mundshme, ky zbulim më duket provë shumë bindëse se .

FORMA ALTERNATIVE E DEGIMIT

Ekzistojnë dy variante të fjollës së dëborës Koch që arrijnë degëzim pa formuar sythe. E para është një kurbë e sheshtë, iniciatori i së cilës është një katror dhe gjeneratori duket si ky:

Siç mund ta shihni nga figura, kurba që rezulton nuk i ngjan aspak një flok dëbore:

Një shembull tjetër është një sipërfaqe me vëllim zero, sipërfaqe të pafundme dhe dimension të barabartë me . Iniciatori është një tetraedron i rregullt. Në çerekun e mesit të secilës faqe (d.m.th., në një trekëndësh, kulmet e të cilit janë mesi i skajeve që kufizojnë faqen) është ngjitur një katërkëndësh tjetër, dimensionet lineare të të cilit janë përgjysmuar. Procedura përsëritet me secilën faqe të fytyrës së rregullt (asimetrike dhe jokonvekse) me 24 anë që rezulton, dhe pastaj përsëri dhe përsëri deri në pafundësi. Duke filluar nga faza e dytë e ndërtimit, katërkëndëshat e shtuar prekin njëri-tjetrin me faqet e tyre pa vetëkryqëzime. Përfundimisht ata mbushin të gjithë sipërfaqen e iniciatorit. Le ta quajmë çdo të katërtën e kësaj strukture, të rritur në një nga fytyrat e iniciatorit, një piramidë Koch.

SEKRETET E PIRAMIDES KOCH

Piramida e Koch është vërtet e mrekullueshme - kur shikohet nga lart, forma e saj është shumë e thjeshtë, por përmban shumë pasazhe dhe dhoma sekrete që do të mahnitin edhe imagjinatën më të egër.

Kur shihet nga lart, piramida Koch është një katërkëndësh baza e të cilit është një trekëndësh barabrinjës. Për sa i përket tre fytyrave të tjera, ato janë trekëndësha të drejtë dykëndësh të lidhur me kulme në kënde të drejta. Nëse aplikojmë tre piramida Koch në tre fytyra tetraedron i rregullt, atëherë ju merrni një kub të thjeshtë.

Tani le të ngremë piramidën tonë dhe të shkundim rërën e shkretëtirës. Duke parë bazën e saj nga një distancë e caktuar, shohim se ajo është e ndarë në katër trekëndësha barabrinjës të barabartë. Sidoqoftë, në vend të trekëndëshit të mesëm ka një vrimë që çon në një "dhomë të rendit të parë", e cila ka formën e një katërkëndëshi të rregullt, kulmi i katërt i të cilit përkon me majën e piramidës. Duke u afruar dhe duke pasur mundësinë të shohim detaje më të vogla, zbulojmë se si trekëndëshat e rregullt të vendosur në cepat e bazës dhe skajet e sipërme Dhomat e rendit të parë gjithashtu nuk janë sipërfaqe të lëmuara. Butësia e tyre prishet nga dhomat tetraedrale të rendit të dytë. Në mënyrë të ngjashme, kur shqyrtojmë dhomat e rendit të dytë, shohim se në mes të çdo muri trekëndor ka një vrimë trekëndore që çon në dhomën e rendit të tretë. Sa më thellë të zhytemi në piramidë, aq më të vogla hapen dhomat për sytë tanë dhe nuk duket fundi.

Shuma e vëllimeve të të gjitha dhomave është saktësisht e barabartë me vëllimin e të gjithë piramidës Koch. Nga ana tjetër, nëse supozojmë se bazat e dhomave janë pjesë e këtyre dhomave, dhe tre faqet e tjera jo, atëherë rezulton se dhomat nuk kryqëzohen në asnjë pikë. Nëse ndërtuesit e piramidës sonë do t'u duhej të hapnin dhoma në trashësinë e shkëmbit, ata do të duhej të hiqnin të gjithë shkëmbin, duke lënë vetëm një guaskë të hollë. Kurba me të cilën mbështetet piramida e Koch-it në aeroplan dhe "muret" e dhomave janë pecetat e Sierpinskit.

TRIMET DHE GRELAT SFERIKE

Autorët e veprës padashur dhanë një kontribut të rëndësishëm në gjeometrinë fraktal duke u përpjekur të mbushnin me topa, rrezja e secilit prej të cilave ka formën , ku ; numri i topave me rreze për njësi vëllimi ka formën) e kështu me radhë. Ky dizajn nënkupton kufijtë e sipërm të mëposhtëm të vlerës

NJOFTIM: LACUNARITY

Edhe pasi shtojmë shkallën e degëzimit në dimensione, fraktali mbetet në shumë aspekte i keqpërcaktuar. Rëndësi të veçantë ka një tjetër pronë shtesë, të cilën e quajta lacunaritet. Boshllëqet në një fraktal shumë lakunar kanë shumë madhësia e madhe, dhe anasjelltas. Këtu mund të jepen përkufizimet bazë, por më duket më e përshtatshme ta shtyj këtë deri në kapitullin 34.

Oriz. 205. Shigjeta SIERPINSKI (DIMENSIONI KUFITAR D ~1.5849)

Në Sierpinski, ai ndërton një kurbë, iniciatori i së cilës është intervali, dhe gjeneratori dhe teragoni i dytë duken kështu:

Fazat pasuese të ndërtimit janë si më poshtë:

Si do të duket kjo kurbë në njërën prej fazat e mëvonshme ndërtimi, mund të merrni një ide duke parë skicën e "vijës bregdetare" në krye të Fig. 205 (mbi trekëndëshin më të madh të zi).

Vetë-prekëse. Përafrimet e fundme të një lakore nuk kanë pika vetëtangjenciale (si në kapitullin 6), por kurba kufi përmban një numër të pafund pikash të tilla.

Shigjeta që mbushin aeroplanin. Shigjeta në Fig. 205 (nëse e shtrini në anën e tij, do të duket më shumë si një peshk tropikal) përkufizohet si seksioni i kurbës Sierpinski midis dy kthimeve të njëpasnjëshme në pikën e vetë-prekjes - në këtë rast, në mes të intervalit. Shigjeta të tilla mund të mbushin një aeroplan; ndërsa shigjetat ngjitur janë të lidhura me njëra-tjetrën në një lloj ekstrapolimi të çmendur të mbërthyesit Velcro. (Ose, për t'u rikthyer te metafora e mëparshme, pendët e një peshku përshtaten saktësisht midis pendëve të dy peshqve të tjerë.) Për më tepër, duke shkrirë së bashku katër shigjeta ngjitur të zgjedhura siç duhet, marrim saktësisht të njëjtën shigjetë, dy herë më të madhe.

Tre peceta Sierpinski. Unë e quaj lakoren e pecetës Sierpinski sipas një mënyre alternative të ndërtimit të saj, e cila bazohet në prerjen e "tre" - një metodë e përdorur gjerësisht në kapitujt 8 dhe 31-35 Ne e marrim pecetën Sierpinski duke pasur si iniciator: një gjenerator dhe dy faza të mëvonshme të ndërtimit grupe të mbyllura:

Ky gjenerator trema përmban gjeneratorin linear të mësipërm si nënbashkësi të tij.

Pellgu ujëmbledhës. Hera e parë që takova shigjetën e Sierpinskit - megjithëse nuk dija për Sierpinskin në atë kohë - ishte duke studiuar formën e një pellgu ujëmbledhës.

Oriz. 207. RRJETA FRAKTALE ASIMETRIKE (DIMENSION)

Kjo rrjetë fitohet duke ndërtuar në mënyrë rekursive një katërkëndësh të mbyllur (iniciator) dhe një grup prej katër tetraedrash më të vegjël (që shërbejnë si gjenerator).

Dimensioni i saj. Le të përpiqemi ta projektojmë atë përgjatë vijës që lidh mesin e çdo çifti skajesh të kundërta. Projeksioni i katërkëndëshit iniciator do të jetë një katror, ​​të cilin do ta quajmë fillestar. Çdo tetraedron i gjeneratës së dytë është projektuar në një nën-katror, ​​gjatësia anësore e të cilit është 1/4 e gjatësisë anësore të katrorit origjinal, etj. Kështu, e gjithë rrjeta projektohet në katrorin origjinal. Kufijtë e nënshesheve mbivendosen.

Oriz. 208. QILIM SIERPINSKI (DIMENSION) DHE SPUNGJER MENGER (DIMENSION)

Tapeti Sierpinski. Sierpinski ndërton një kurbë, iniciatori i së cilës është një katror i ngurtë, dhe gjeneratori dhe dy teragonët e ardhshëm janë paraqitur më poshtë:

Zona e një tapeti të tillë zhduket dhe perimetri i përgjithshëm i zbrazëtirave të tij tenton në pafundësi.

Oriz. 208. Sfungjeri i Mengerit. Parimi i ndërtimit është i qartë. Duke vazhduar ndërtimin ad infinitum, marrim një mbetje të caktuar të quajtur sfungjer Menger. Më vjen keq që në esetë e mia të mëparshme gabimisht ia atribuova autorësinë e saj Sierpinskit. (Figura është riprodhuar nga libri Studime gjeometrike nga Leonard M. Blumenthal dhe Carl Menger me lejen e mirëfilltë të botuesve të tij, W. H. Freeman & Co. © 1970.) Kryqëzimet e sfungjerit me median ose diagonalet e kubit origjinal janë grupe Cantor treshe.

Ishujt e bashkuar. Si tapeti ashtu edhe peceta Sierpinski mund të merren në një mënyrë tjetër - një përgjithësim tjetër i rekursionit Koch, duke lejuar vetë-mbivendosje, e cila, megjithatë, merret parasysh vetëm një herë.

Për të marrë një pecetë, iniciatori duhet të marrë një trekëndësh të rregullt, dhe gjeneratori duhet të marrë figurën e treguar në të majtë në figurën më poshtë. Për të marrë një qilim, ne do të marrim një katror si iniciator dhe figura e treguar në të djathtë do të shërbejë si gjenerator.

Këtu ndeshemi sërish me dy dukuri të njohura për ne nga kapitulli 13: vija bregdetare e çdo ishulli është e korrigjueshme, pra dimensioni i tij është 1, ndërsa dimensioni i një pecete ose tapeti shpreh shkallën e copëtimit të tokës (d.m.th., shkallën e ndarjes së saj në ishuj) në vend të shkallës së parregullsisë së vijave bregdetare të ishujve.

Përndryshe rezultati është krejtësisht i ri: në kapitullin 13 deti është një grup i lidhur, i cili duket si një interpretim i duhur topologjik i hapësirës së hapur detare. Është i hapur edhe në kuptimin e topologjisë së bashkësive, pra kufiri i tij nuk i përket. Risia e paraqitur nga ky ndërtim qëndron në faktin se ishujt Koch tani mund të "bashkohen" në mënyrë asimptotike në një lloj super-ishulli të vazhdueshëm, por një kontinent nuk del prej tij, dhe vijat bregdetare formojnë një grilë në kombinim.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. , с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности.

Oriz. 210. NDARJA NË DOMAT E DORËS (DIMENSIONI D ~1,8687)

Shumë kohë më parë, në një vend të largët, në dhomat e bukura të dëborës, Sundimtari i Madh u ul me shoqëruesit e tij. Megjithatë, një ndarje ndodhi midis subjekteve të tij, e ndjekur nga një luftë në të cilën asnjëra palë nuk fitoi dorën e sipërme. Dhe pastaj Pleqtë e Urtë tërhoqën një kufi që ndante Dhomat në dysh, në mënyrë që të dy përfaqësuesit e Veriut dhe përfaqësuesit e Jugut të mund të hynin atje pa frikë se do të hynin në territorin armiqësor.

Misteret e labirintit. Kush e kontrollon Dhomën e Madhe dhe si mund të hyhet në të nga jashtë? Pse disa dhoma të vogla nuk janë të orientuara në asnjë anë të botës? Një e dhënë mund të gjendet në pemën e majmunit në Fig. 55.

Së pari, le të flasim për problemet paradoksale që lidhen me qilimat.

Detyra e parë quhet "pak rreth kafshimit".

Imagjinoni që keni stërvitur minjtë - ata kanë mësuar të kafshojnë saktësisht gjysmën e djathit të disponueshëm. Nëse i lëshoni në djathë jo si një tufë e tërë, por një nga një, atëherë çdo mi i radhës do të kafshojë gjysmën e asaj që ka mbetur, dhe pjesa e mbetur do të ulet dhe zvogëlohet me çdo miu që kafshon djathin. Por nëse keni numër i pafund minjtë, atëherë në fund (tingëllon qesharake në raport me pafundësinë, por sinqerisht) nuk do të mbetet asgjë nga djathi. Në të vërtetë, i pari ha gjysmën e djathit, i dyti - një të katërtën, d.m.th. gjysma e gjysmës, një e treta - një e teta, d.m.th. gjysma nga gjysma nga gjysma. Çdo gjë që hahet konsiderohet si më poshtë: .

që do të thotë se deri në fund të pafundësisë minjtë do të hanë të gjithë djathin që ju u keni dhënë.

Por nëse i trajnoni brejtësit që të kafshojnë një të tretën e parave totale, gjithçka do të jetë pak më e ndërlikuar. I pari do të hajë një të tretën. Por e dyta nuk është një e nënta. Pse?

Shpjegimi është mjaft i thjeshtë. Pasi hëngri miu i parë pjesën e tij, mbeti djathë, që do të thotë se miu i dytë do të hajë nga, d.m.th. . E treta, siç mund të llogaritet, do të hajë nga d.m.th. , e katërta - nga, d.m.th. A e kuptoni parimin? Në fund të fundit, nuk do të mbetet asgjë nga djathi.

Tani imagjinoni që ju e ndatë djathin në gjysmë, dhe një nga pjesët (gjysma, por minjtë nuk e dinë për këtë) u shpall e ndaluar - për shembull, e spërkatur me helm - dhe minjtë u lejuan të kafshonin gjysmën e e dyta. Siç e keni marrë me mend, asgjë nuk do të mbetet nga gjysma e lejuar dhe e gjithë gjysma e ndaluar do të mbetet.

Veçanërisht interesant është ky lloj trajnimi i minjve, në të cilin nuk spërkatni helm në asnjë gjysmë djathi, por megjithatë merrni diçka (kjo është që të mos helmoheni). Për ta bërë këtë, për shembull, mund t'i mësoni minjtë të kafshojnë një sasi fillestare djathi. Në fund të drekës së pafund, minjtë do t'ju lënë 1/3 e djathit - kjo llogaritet si më poshtë:

Në rastin tonë, ju duhet të zbrisni dy nga pesë, merrni tre, dhe nëse ndani një me tre, merrni vetëm një të tretën.

Nëse për ndonjë arsye e keni humbur këtë numër, atëherë do të ktheheni tek ai brenda disa minutash. Ose vite. Ose pasi të keni lexuar postimin. Ose me lexim dytësor. Ose në jetën tjetër. Në fund të fundit, një person arrin përsosmërinë vetëm kur në një nga jetët e tij të kaluara ishte matematikan.

Por edhe nëse i ktheheni numrave vetëm në jetën tuaj të ardhshme, në mënyrë të pashmangshme do ta mbani mend këtë: .

Detyra e dytë quhet "Pak për ndarjen".

Imagjinoni që vendosni të varni një pjatë në mur. Nuk ka ngjitës ose shirit në shtëpi - vetëm thonj. Ju përpiqeni të gozhdoni një pjatë dhe, natyrisht, ajo ndahet në një numër pjesësh. Përveç kësaj, në vendin ku keni goditur gozhdën, një pjesë e pllakës u shkërmoq plotësisht.

Por ju jeni këmbëngulës. Dhe ju përpiqeni të gozhdoni çdo copë pjate në mur. Ndoshta merrni thonj më të vegjël. Sigurisht, secila prej fragmenteve shkërmoqet në fragmentet e veta më të vogla, dhe në mes të fragmenteve të mëparshme diçka shkërmoqet në mënyrë të pakthyeshme. Epo, le.

Nëse jeni pafundësisht këmbëngulës dhe përpiqeni të gozhdoni fragmentet që rezultojnë nga një numër i pafund përpjekjesh, nuk do të mbetet asnjë copë pjatë që nuk është shpuar nga një gozhdë dhe nuk ka një vrimë të thërrmuar. Por, siç mund ta merrni me mend tashmë, nuk është aspak e nevojshme që të mos mbetet asgjë nga pjata. E gjitha varet nga mënyra se si i keni trajnuar thonjtë tuaj. Nëse ata nuk heqin shumë nga pjata, atëherë sipërfaqja totale e pllakës së copëtuar mund të jetë më e vogël se sipërfaqja e fragmenteve të mbetura. Ose ndoshta më shumë - gjëja kryesore është se ajo do më pak sipërfaqe gjithë pjatën e mëparshme.

Shkencëtari polak Waclaw Sierpinski (1882-1969) nuk stërviti minjtë apo thyente pjatat. Ai ishte një matematikan. Dhe veprimi i tij më i famshëm surrealist-matematikor ishte gdhendja në peceta dhe qilima.

Figura 1. “Pecetë” Figura 2. Tapet

Dy më figura të famshme, e shpikur nga Sierpinski - një "pecetë" (një trekëndësh nga i cili priten me radhë trekëndëshat me madhësi më të vogla dhe më të vogla, secili me një sipërfaqe katër herë më të vogël se ai i mëparshmi) dhe një qilim (një katror me një prerje katrorësh, secili katror me një sipërfaqe nëntë herë më të vogël se ajo e mëparshme).

Zona e figurës që rezulton pas një numri të pafund prerjesh - si pecetë ashtu edhe tapeti - është zero. Dhe këto nuk janë saktësisht shifra. Këtu duhet të ndalemi dhe të formulojmë ndryshimin midis një figure dhe një rreshti. Nga njëra anë, figura duket se ka sipërfaqe, por linja jo. Euklidi shkroi gjithashtu se një vijë është gjatësi pa gjerësi, dhe çfarë është zona pa gjerësi? Pa liri! Por matematikanët nuk ishin të kënaqur me këtë, dhe ata vendosën të sqarojnë se çfarë do të thotë "pa gjerësi". Dhe ne ramë dakord: nëse zgjedhim një pikë në diçka dhe përshkruajmë një rreth pa kufi rreth kësaj pike (matematicienët e quajnë atë fjalën e fshatit "lagje"), dhe pastaj fillojmë ta zvogëlojmë atë, atëherë nëse herët a vonë e gjithë lagjja bie brenda kjo diçka, atëherë, pra ishte një figurë. Dhe nëse ka gjithmonë pika "të huaja" në afërsi, atëherë ishte një linjë e diçkaje.

Pra ja ku është. Meqenëse qilimat dhe pecetat e Sierpinskit janë copëtuar, si pjata jonë, më e vogël e më e vogël, dhe në qendër të çdo fragmenti ka një zonë "të shkërmoqur", me copëtime dhe çarje të pafundme, "zbrazëtitë" do të bien në afërsi të çdo pike të ruajtur të figura e Sierpinskit. Pra, kjo është një linjë. Epo, po, gjithçka është ashtu siç duhet: kjo është një vijë e ngatërruar me zgjuarsi, dhe zona e vijës është zero.

Por nëse preni katrorë të një zone pak më të vogël nga tapeti, mund të rezultojë se pjesa e mbetur do të ketë një sipërfaqe më të madhe se zero. Le të themi, nëse fillimisht hidhni një të njëzet e pestën (një katror me anë pesë herë më të vogël se ai origjinal), atëherë tetë katrorë, njëzet e pesë herë më i vogël se ai i prerë në hapin e parë, pastaj gjashtëdhjetë e katër më të voglat pesë herë më të vogla... me një fjalë, mbani mend atë që ju sugjerova që të mbani mend dhe sigurohuni që të jetë prerë vetëm 1/17 e një tapeti të tillë. Dhe 16/17 do të mbetet. Por në afërsi të çdo pike të asaj që mbetet, do të ketë ende vrima. Kjo është linja me sipërfaqen.

Por ju mund të prisni katrorë edhe më të vegjël! Dhe nuk duhet të jetë katror, ​​do të ketë një rregull të përcaktuar qartë sipas të cilit ne presim vrimat dhe ndajmë atë që ka mbetur në copa të reja. Një vrimë duhet të shfaqet në secilën pjesë - ky është i gjithë sekreti i krijimit të linjave nga forma. Dhe madhësia e vrimave përcakton nëse linjat do të kenë një zonë ose do të mbeten "gjatësi pa gjerësi".

Figurat e Sierpinskit janë ndoshta fraktalet më të thjeshta dhe më të bukura që njoh.

Tapeti Sierpinski (sheshi Sierpinski) është një fraktal, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor, i propozuar nga matematikani polak Waclaw Sierpinski në 1915.

Figura 3. Tapeti Figura 4. Tapeti

Ndërtimi i një tapeti Sierpinski merret nga një shesh duke prerë me radhë katrorët e mesit. Domethënë, ne ndajmë katror i dhënë nga nëntë katrorë të barabartë dhe prerë katrorin e mesëm. Ne marrim një katror me një vrimë. Për tetë katrorët e mbetur, përsërisni këtë procedurë. Ndani secilën prej tyre në nëntë katrorë të barabartë dhe prisni katrorët e mesëm. Duke e përsëritur këtë procedurë, ne do të marrim një figurë gjithnjë e më të zbehtë. Ajo që mbetet pas të gjitha prerjeve do të jetë tapeti i dëshiruar Sierpinski.

Figura 5. Mënyra e duhur për të prerë katrorë në një qilim Sierpinski

Meqenëse kuadratet e prera shpërndahen gjithnjë e më shpesh, si rezultat nuk do të ketë asnjë katror të vetëm në tapetin Sierpinski, qoftë edhe më i vogli, pa vrimë.

Le të llogarisim sipërfaqen e tapetit Sierpinski, duke e konsideruar katrorin origjinal si njësi. Për ta bërë këtë, mjafton të llogarisni sipërfaqen e katrorëve të prerë. Në hapin e parë, pritet një katror i sipërfaqes. Në hapin e dytë priten tetë katrorë, secila prej të cilave ka një sipërfaqe prej.

Në çdo hap pasues, numri i katrorëve të prerë rritet tetë herë, dhe sipërfaqja e secilit prej tyre zvogëlohet nëntë herë. Kështu, sipërfaqja totale e katrorëve të prerë është shuma e progresioneve gjeometrike me anëtar fillestar dhe emëruesi. Duke përdorur formulën për shumën e një progresion gjeometrik, gjejmë se ky numër është i barabartë me një, d.m.th., sipërfaqja e tapetit Sierpinski është zero.

Tani merrni një katror me një sipërfaqe të barabartë me dy dhe prisni një katror me të njëjtën qendër me një sipërfaqe prej 2. Le të imagjinojmë pjesën e mbetur në formën e tetë drejtkëndëshave dhe në secilin prej tyre presim një katror me të njëjtën qendër të zonës. . Kështu, sipërfaqja totale e katrorëve të vegjël do të jetë e barabartë me . Duke përsëritur këtë procedurë, do të përftojmë një figurë gjithnjë e më të vrimës, e cila quhet edhe tapeti Sierpinski.

Gjithashtu, si më parë, në këtë tapet të Sierpinskit nuk do të ketë asnjë katror të vetëm, qoftë edhe më të vogël, pa vrimë. Megjithatë, ndryshe nga një qilim i zakonshëm Sierpinski, zona e tij është jo zero. Në të vërtetë, zona e katrorëve të prerë është shuma e një progresion gjeometrik me termin fillestar dhe emëruesin, d.m.th., i barabartë me 1. Prandaj, sipërfaqja e pjesës së mbetur është e barabartë me unitetin.

Ne mund të konsiderojmë një trekëndësh dhe një qilim Sierpinski në rrafshin kompleks dhe të aplikojmë transformime të ndryshme të planit kompleks në të. Për shembull, le të ndërtohet trekëndëshi i Sierpinskit në një segment njësi të boshtit real.

Dhe tani ne aplikojmë transformimin e përmbysjes në lidhje me qendrën e trekëndëshit në planin kompleks: . Pastaj marrim foton e mëposhtme (Figura 6).

Figura 6. Inversion rreth qendrës

Më poshtë janë fotot për.

Figura 7. Modeli për

E njëjta gjë mund të bëhet me tapetin Sierpinski. Le të ndërtohet në një katror njësi.

Shndërrimi i përmbysjes në raport me qendrën e tapetit ka formën .

Figura 8. Transformimi në lidhje me qendrën e tapetit

Ju gjithashtu mund të aplikoni përmbysjen në lidhje me këndin ose katrorin e tij.

Figura 10. Inversioni në lidhje me këndin

Bibliografi:

1. Weinberg, M.M. Analiza funksionale [Burimi elektronik]/ M.M. Weinberg Kurs special për institutet pedagogjike. Arsimi, 1979. 128 fq. http://rgho.st/49518130 (data e hyrjes 05/12/2018)
2. Kolmogorov, A.N. Elementet e teorisë së funksioneve dhe analiza funksionale [Teksti]/ A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, M.: Shkencë. 1981
3. Makarov, I.P. Kapituj shtesë analiza matematikore[tekst]/ I.P. Makarov. Libër mësuesi për studentët e departamenteve të fizikës dhe matematikës. Iluminizmi, M.: 1968
4. Morozov, A.D. Hyrje në teorinë e fraktaleve [Tekst]/ A.D. Morozov, M.: "Instituti i Kërkimeve Kompjuterike", 2002.
5. Sadovnichy, V. A. Teoria e operatorëve [Tekst] / V. A. Sadovnichy 5th ed. Bustard, 2004. 384 fq. ISBN 5-7107-8699-3.

Figurë e ngjashme me makinën, shpikur Matematikani polak W. Sierpinski, thirri Tapeti Sierpinski.

Ndërtimi i një tapeti Sierpinski

Përftohet nga një katror duke prerë me radhë katrorët e mesit. Domethënë, këtë katror e ndajmë në nëntë katrorë të barabartë dhe e presim katrorin e mesit. Ne marrim një katror me një vrimë.

Për tetë katrorët e mbetur, përsërisni këtë procedurë. Ndani secilën prej tyre në nëntë katrorë të barabartë dhe prisni katrorët e mesëm. Duke e përsëritur këtë procedurë, ne do të marrim një figurë gjithnjë e më të zbehtë. Ajo që mbetet pas të gjitha prerjeve do të jetë ajo që kërkoni Tapeti Sierpinski.

Meqenëse sheshet e prera rregullohen gjithnjë e më shpesh, si rezultat, në tapetin Sierpiski nuk do të ketë asnjë katror të vetëm, qoftë edhe më të voglin, pa vrimë.

Zona e tapetit Sierpinski

Në hapin e dytë, priten tetë katrorë, secili me një sipërfaqe prej 1/81. Në çdo hap pasues, numri i katrorëve të prerë rritet tetë herë, dhe sipërfaqja e secilit prej tyre zvogëlohet nëntë herë.

Kështu, sipërfaqja totale e katrorëve të prerë është shuma e një progresion gjeometrik me një term fillestar 1/9 dhe një emërues 8/9. Duke përdorur formulën për shumën e një progresion gjeometrik, gjejmë se ky numër është i barabartë me një, d.m.th. Sipërfaqja e tapetit të Sierpinskit është zero.

Tani merrni një katror me një sipërfaqe prej 2 dhe prisni një katror me të njëjtën qendër me një sipërfaqe prej 1/2. Le të imagjinojmë pjesën e mbetur në formën e tetë drejtkëndëshave dhe në secilin prej tyre presim një katror me të njëjtën qendër të sipërfaqes 1/32.

Kështu, sipërfaqja totale e katrorëve të vegjël do të jetë e barabartë me 1/4. Duke e përsëritur këtë procedurë, ne do të marrim një figurë gjithnjë e më të zbehtë. Zona e këtij tapeti Sierpinski do të jetë jo zero .

Sipërfaqja e katrorëve të prerë është shuma e një progresion gjeometrik me një term fillestar 1/2 dhe një emërues 1/2, d.m.th. është e barabartë me 1.

Duke filluar jo me një shesh, por me trekëndëshi i rregullt, dhe duke prerë trekëndëshat qendrorë, ne marrim një figurë të ngjashme, të ngjashme me tapetin Sierpinski dhe të quajtur Pecetë Sierpinski.