İki değişkenli eşitsizliklerin kanıtları. “Eşitsizlikleri kanıtlama yöntemleri” modülünün programı - Program

Kanguru Olimpiyatı koordinatörlerinin seminerinde Vyacheslav Andreevich Yasinsky, Olimpiyat simetrik eşitsizliklerinin nasıl kanıtlanacağına dair bir ders verdi. kendi yöntemi değişkenlerin farklılıkları.

Gerçekten de matematik olimpiyatları Genellikle eşitsizlikleri kanıtlamaya yönelik görevler vardır; örneğin: Uluslararası Olimpiyat matematik 2001'de: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b)(\sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c ^) 2+8ab))\geq 1$ (pozitif a,b,c için).

Genellikle bir Olimpiyat eşitsizliğini kanıtlamak için bunun temel eşitsizliklerden birine indirgenmesi gerekir: Cauchy, Cauchy-Bunyakovsky, Jensen, ortalamalar arasındaki eşitsizlik vb. Üstelik başarıya ulaşmadan önce sıklıkla temel eşitsizliğin farklı versiyonlarını denemeniz gerekir.

Ancak çoğu zaman Olimpiyat eşitsizliklerinin (yukarıdaki gibi) bir özelliği vardır. Değişkenleri yeniden düzenlediğinizde (örneğin, a'yı b ile, b'yi c ile ve c'yi a ile değiştirmek) değişmeyecektir.

Çok değişkenli bir fonksiyon herhangi bir yeniden düzenlemeyle değişmiyorsa buna simetrik denir. Simetrik bir fonksiyon için Füç değişkenden eşitliğin sağladığı:
F(x,y,z)= F(x,z,y)= F(y ,x ,z )= F(y ,z ,x )= F(z ,x ,y )= F(z,y,x)

Bir fonksiyon yalnızca değişkenler döngüsel olarak yeniden düzenlendiğinde değişmiyorsa buna döngüsel denir.
F(x,y,z)= F(y,z,x)= F(z,x,y)

Simetrik fonksiyonlar temelinde oluşturulan eşitsizlikler için Vyacheslav Andreevich evrensel bir ispat yöntemi geliştirdi.
Yöntem aşağıdaki adımlardan oluşur.
1. Eşitsizliği, solda simetrik bir polinom (bunu D olarak gösterelim) ve sağda 0 olacak şekilde dönüştürün.

2. a, b, c değişkenlerindeki simetrik polinom D'yi temel simetrik polinomlar cinsinden ifade edin.

Üç değişkende üç temel simetrik polinom vardır. Bu:
p = a+b+c - toplam;
q = ab+bc+ac - ikili çarpımların toplamı;
r = abc - çarpım.

Herhangi bir simetrik polinom, taban polinomları cinsinden ifade edilebilir.

3. D polinomu simetrik olduğundan, genelliği kaybetmeden a, b, c değişkenlerinin şu şekilde sıralandığını varsayabiliriz: $a\geq b\geq c$

4. Negatif olmayan iki sayı x ve y'yi tanıtıyoruz, böylece x = a-b, y = b-c.

5. p, q ve r'yi c ve x, y cinsinden ifade ederek D polinomunu yeniden dönüştürün. Bunu dikkate alıyoruz
b = y+c
a = (x+y)+c

Daha sonra
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3

X ve y içeren ifadelerde parantez açmadığımızı lütfen unutmayın.

6. Şimdi D polinomunu, katsayıları x ve y cinsinden ifade edilen c'deki polinom olarak ele alıyoruz. Katsayıların negatif olmaması dikkate alındığında eşitsizlik işaretinin herkes için korunacağını göstermenin kolay olduğu ortaya çıkıyor. kabul edilebilir değerlerİle.

Bu yöntemi örneklerle açıklayalım.
Örnek 1. Eşitsizliği kanıtlayın:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Kanıt
Eşitsizlik simetrik olduğundan (a, b, c değişkenlerinin herhangi bir permütasyonu ile değişmez), onu şu şekilde sunarız:
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$

Sol taraftaki polinomu temel simetrik terimlerle ifade edelim:
$p^2 - 3q\geq 0$

Polinom simetrik olduğundan, genelliği kaybetmeden $a\geq b\geq c$ ve $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$ olduğunu varsayabiliriz.

p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y

Benzerlerini getirdikten sonra hiç değişken içermeyen bir eşitsizlik elde ediyoruz
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$

Artık parantezleri açabilirsiniz
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - bu hem negatif x, y hem de herhangi biri için doğrudur.

Böylece eşitsizlik kanıtlanmıştır.

Örnek 2(1999 Britanya Matematik Olimpiyatlarından)
$7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ olduğunu kanıtlayın (pozitif sayılar için, eğer a+b+c = 1 ise)

Kanıt
Her şeyi bir araya getirmeye başlamadan önce sol taraf Eşitsizliğin kısımlarının derecelerinin dengeli olmadığını belirtelim. Örnek 1'de eşitsizliğin her iki tarafı da ikinci dereceden polinomlar ise, o zaman burada ikinci derecenin polinomu sıfır ve üçüncü polinomların toplamı ile karşılaştırılır. Koşula göre a+b+c toplamının 1'e eşit olması gerçeğini kullanarak sol tarafı birle, sağ taraftaki ikisini bir küple çarpıyoruz.

$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$

Şimdi her şeyi sola taşıyalım ve sol tarafı a, b, c'nin simetrik bir polinomu olarak hayal edelim:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$

Sol tarafı temel simetrik polinomlar cinsinden ifade edelim:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$

Sol tarafı x, y ve c cinsinden ifade edelim ve c'ye göre bir polinom olarak gösterelim.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3

Önemli olan dönüşümleri dikkatli ve dikkatli bir şekilde gerçekleştirmektir. Vyacheslav Andreevich'in dediği gibi, eğer dönüşümler gerçekleştirirse ve birisi onun dikkatini dağıtırsa, formüllerin olduğu kağıdı atar ve yeniden başlar.

Son polinomda benzer olanları azaltmanın kolaylığı için bunlar farklı renklerle vurgulanmıştır.

c 3 olan tüm terimler yok edilecek: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
Aynı şey ikinci derecede de olacaktır: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0

Birinci dereceden terimleri şu şekilde dönüştürelim: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )c - bu ifade hiçbir zaman pozitif olmayacaktır.

VE ücretsiz üyeler: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - ve bu ifade de.

Böylece başlangıçtaki eşitsizlik her zaman sağlanacak ve ancak a=b=c durumunda eşitliğe dönüşecektir.

Vyacheslav Andreevich konferansında çok daha fazlasını tartıştı ilginç örnekler. Olimpiyat eşitsizliklerini kanıtlamak için bu yöntemi kullanmaya çalışın. Belki birkaç değerli puan kazanmanıza yardımcı olacaktır.

Kanguru Olimpiyatı koordinatörlerinin seminerinde Vyacheslav Andreevich Yasinsky, kendi değişken farklılıkları yöntemini kullanarak Olimpiyat simetrik eşitsizliklerinin nasıl kanıtlanacağına dair bir ders verdi.

Gerçekten de, matematik olimpiyatlarında sıklıkla eşitsizlikleri kanıtlamaya yönelik görevler vardır; örneğin 2001 Uluslararası Matematik Olimpiyatındaki şu görev gibi: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (pozitif a,b,c için).

Genellikle bir Olimpiyat eşitsizliğini kanıtlamak için bunun temel eşitsizliklerden birine indirgenmesi gerekir: Cauchy, Cauchy-Bunyakovsky, Jensen, ortalamalar arasındaki eşitsizlik vb. Üstelik başarıya ulaşmadan önce sıklıkla temel eşitsizliğin farklı versiyonlarını denemeniz gerekir.

Ancak çoğu zaman Olimpiyat eşitsizliklerinin (yukarıdaki gibi) bir özelliği vardır. Değişkenleri yeniden düzenlediğinizde (örneğin, a'yı b ile, b'yi c ile ve c'yi a ile değiştirmek) değişmeyecektir.

Çok değişkenli bir fonksiyon herhangi bir yeniden düzenlemeyle değişmiyorsa buna simetrik denir. Simetrik bir fonksiyon için Füç değişkenden eşitliğin sağladığı:
F(x,y,z)= F(x,z,y)= F(y ,x ,z )= F(y ,z ,x )= F(z ,x ,y )= F(z,y,x)

Bir fonksiyon yalnızca değişkenler döngüsel olarak yeniden düzenlendiğinde değişmiyorsa buna döngüsel denir.
F(x,y,z)= F(y,z,x)= F(z,x,y)

Simetrik fonksiyonlar temelinde oluşturulan eşitsizlikler için Vyacheslav Andreevich evrensel bir ispat yöntemi geliştirdi.
Yöntem aşağıdaki adımlardan oluşur.
1. Eşitsizliği, solda simetrik bir polinom (bunu D olarak gösterelim) ve sağda 0 olacak şekilde dönüştürün.

2. a, b, c değişkenlerindeki simetrik polinom D'yi temel simetrik polinomlar cinsinden ifade edin.

Üç değişkende üç temel simetrik polinom vardır. Bu:
p = a+b+c - toplam;
q = ab+bc+ac - ikili çarpımların toplamı;
r = abc - çarpım.

Herhangi bir simetrik polinom, taban polinomları cinsinden ifade edilebilir.

3. D polinomu simetrik olduğundan, genelliği kaybetmeden a, b, c değişkenlerinin şu şekilde sıralandığını varsayabiliriz: $a\geq b\geq c$

4. Negatif olmayan iki sayı x ve y'yi tanıtıyoruz, böylece x = a-b, y = b-c.

5. p, q ve r'yi c ve x, y cinsinden ifade ederek D polinomunu yeniden dönüştürün. Bunu dikkate alıyoruz
b = y+c
a = (x+y)+c

Daha sonra
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3

X ve y içeren ifadelerde parantez açmadığımızı lütfen unutmayın.

6. Şimdi D polinomunu, katsayıları x ve y cinsinden ifade edilen c'deki polinom olarak ele alıyoruz. Katsayıların negatif olmaması dikkate alındığında, c'nin kabul edilebilir tüm değerleri için eşitsizlik işaretinin korunacağını göstermenin kolay olduğu ortaya çıkıyor.

Bu yöntemi örneklerle açıklayalım.
Örnek 1. Eşitsizliği kanıtlayın:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Kanıt
Eşitsizlik simetrik olduğundan (a, b, c değişkenlerinin herhangi bir permütasyonu ile değişmez), onu şu şekilde sunarız:
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$

Sol taraftaki polinomu temel simetrik terimlerle ifade edelim:
$p^2 - 3q\geq 0$

Polinom simetrik olduğundan, genelliği kaybetmeden $a\geq b\geq c$ ve $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$ olduğunu varsayabiliriz.

p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y

Benzerlerini getirdikten sonra hiç değişken içermeyen bir eşitsizlik elde ediyoruz
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$

Artık parantezleri açabilirsiniz
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - bu hem negatif x, y hem de herhangi biri için doğrudur.

Böylece eşitsizlik kanıtlanmıştır.

Örnek 2(1999 Britanya Matematik Olimpiyatlarından)
$7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ olduğunu kanıtlayın (pozitif sayılar için, eğer a+b+c = 1 ise)

Kanıt
Her şeyi sol tarafa indirgemeye başlamadan önce eşitsizliğin parçalarının derecelerinin dengeli olmadığını belirtelim. Örnek 1'de eşitsizliğin her iki tarafı da ikinci dereceden polinomlar ise, o zaman burada ikinci derecenin polinomu sıfır ve üçüncü polinomların toplamı ile karşılaştırılır. Koşula göre a+b+c toplamının 1'e eşit olması gerçeğini kullanarak sol tarafı birle, sağ taraftaki ikisini bir küple çarpıyoruz.

$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$

Şimdi her şeyi sola taşıyalım ve sol tarafı a, b, c'nin simetrik bir polinomu olarak hayal edelim:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$

Sol tarafı temel simetrik polinomlar cinsinden ifade edelim:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$

Sol tarafı x, y ve c cinsinden ifade edelim ve c'ye göre bir polinom olarak gösterelim.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3

Önemli olan dönüşümleri dikkatli ve dikkatli bir şekilde gerçekleştirmektir. Vyacheslav Andreevich'in dediği gibi, eğer dönüşümler gerçekleştirirse ve birisi onun dikkatini dağıtırsa, formüllerin olduğu kağıdı atar ve yeniden başlar.

Son polinomda benzer olanları azaltmanın kolaylığı için bunlar farklı renklerle vurgulanmıştır.

c 3 olan tüm terimler yok edilecek: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
Aynı şey ikinci derecede de olacaktır: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0

Birinci dereceden terimleri şu şekilde dönüştürelim: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )c - bu ifade hiçbir zaman pozitif olmayacaktır.

Ve serbest terimler: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - ve bu ifade de.

Böylece başlangıçtaki eşitsizlik her zaman sağlanacak ve ancak a=b=c durumunda eşitliğe dönüşecektir.

Vyacheslav Andreevich konferansında daha birçok ilginç örneği tartıştı. Olimpiyat eşitsizliklerini kanıtlamak için bu yöntemi kullanmaya çalışın. Belki birkaç değerli puan kazanmanıza yardımcı olacaktır.

Burada koordinat doğrusu üzerinde gösterilen "büyüktür" ve "küçüktür" ilişkilerinin cebirsel yorumunu tanıtıyoruz ve bunun eşitsizlikleri kanıtlamak için uygulanması ele alınıyor. Burada öğrencilere bu bölümde incelenen eşitsizliklerin özelliklerini cebirsel olarak nasıl kanıtlayacakları gösterilmektedir; bunlar daha önce geometrik olarak gerekçelendirilmişti.

Eşitsizlikleri kanıtlamak öğrenciler için oldukça zor bir materyal olduğundan sınıfın düzeyine göre dikkate alınmalıdır. değişen derecelerde bütünlük.

Eşitsizlikleri kanıtlayan problemlerin özel bir özelliği onları çözme olasılığıdır çeşitli şekillerde. Bu nedenle öğrencilerin problem çözme becerilerini geliştirmek amacıyla eşitsizliklerin kanıtlanması için çeşitli seçeneklerin gösterilmesi tavsiye edilir.

Eşitsizlikleri kanıtlamanın iki ana yolu vardır:

• 1) eşitsizliğin sağ ve sol tarafları arasındaki farkın derlenmesine ve daha sonra bu farkın sıfırla karşılaştırılmasına dayalı;
• 2) eşitsizliklerin özelliklerine bağlı olarak bir eşitsizlikten ona eşdeğer diğerine geçiş.

Her iki yol da eşittir. Ancak her iki durumda da kayıtlarınızın doğruluğundan emin olmanız gerekir. İlk çözüm yolunun seçilmesi durumunda farklar derlendikten sonra “=” işaretli zincir şeklinde yazılabilen bu ifadenin dönüşümlerinin gerçekleştirileceğini öğrencilere anlatmak gerekir. Ortaya çıkan ifade sıfırla karşılaştırılır ve buna dayanarak orijinal eşitsizlik hakkında bir sonuca varılır. İkinci yol seçilirse, eşdeğer eşitsizlikler dizisi yazılır (bir eşitsizliği çözerken olduğu gibi) ve sonuncusu hakkında - doğru olsun ya da olmasın - bir sonuca varılır. Örneğin, bir alıştırmanın çözümünün tasarımı her iki durumda da şöyle görünebilir.

a2 + b2 + 2 2 (a + b) eşitsizliğini kanıtlayın.

Farkı telafi edelim 2'yi (a + b) sola taşıyın

Eşitsizliğin sol ve sağ tarafları:

eşitsizlikler: a2 + b2 + 2 - 2 (a + b) 0;

a2 + b2 + 2 - 2 (a + b) =a2 + b2 + 2 2a - 2b 0;

A2 + b2 + 2 - 2a - 2b == (a2 - 2a + 1) +

= (a2 - 2a + 1) ++ (b2 - 2b + 1) 0;

+ (b2 - 2b + 1) =(a - 1)2 + (b - 1)2 0 ​​​​-

= (a - 1)2 + (b - 1)2 .doğru dolayısıyla,

(a - 1)2 + (b - 1)2 0, orijinal eşitsizlik de doğrudur:

dolayısıyla a2 + b2 + 2 2 (a + b) .

eşitsizlik kanıtlandı:

a2 + b2 + 2 2 (a + b) .

“Zorunlu Asgari İçerik”in eşitsizliklerin kanıtını içermediğini unutmayın. Bu nedenle, karşılık gelen beceriler, öğrenmenin nihai sonucu değil, konuya hakim olmanın bir sonucu olarak değerlendirilebilir. Bu bakımdan eşitsizliklerin kanıtlanmasına ilişkin görevler sınavda yer almadığı gibi diğer final testlerinde de yer almamalıdır.

Pozitif p ve q sayıları için şunu kanıtlayın: p4 + q4 p3q + pq3.

Çözüm. Farkı dönüştürelim

p4 + q4 - (p3q + pq3).

p4 + q4 - p3q - pq3 = p3 (p - q) + a3 (q - p) =

= (p - q) (p3 - q3) = (p - q)2 (p2 + pq + q2).

p 0, q 0 olduğundan pq 0, p2 + pq + q2 0, ayrıca (p - q)2 0.

Negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatif değildir, yani. söz konusu fark sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu nedenle, p 0 için, q 0 p4 + q4 p3q + pq3.

Kanıtlamak farklı şekillerde a b 0 ise a2 + a b2 + b olur.

Çözüm. Eşitsizliği ikinci şekilde kanıtlarken,

Örnekte kanıtlanmış eşitsizliği kullanalım: eğer a ve b - pozitif sayılar ve a b, sonra a2 b2. Ve sonra a2 b2 eşitsizliğini ve a b eşitsizliğini terim terim topladığımızda ihtiyacımız olanı elde ederiz.

3. Hangi durumda bir turist aynı mesafeyi daha hızlı katedecektir: eğer yatay bir yol boyunca yürürse sabit hız ya da yolun yarısı yatay bir yolda hızından 1 km/saat daha düşük bir hızla yokuş yukarı ve yolun yarısı da yatay bir yolda olduğundan 1 km/saat daha yüksek bir hızla dağdan aşağı gidiyorsa?

Çözüm. Bir turistin yatay yoldaki hızını x harfiyle gösterelim ve mesafeyi 1 olarak alalım. Sorun ifadelerin karşılaştırılmasında ortaya çıkıyor

1 ve ___1___ + ___1___

x 2(x-1) 2(x+1).

Hadi onların farkını yaratalım ve dönüştürelim, anladık

yani bu koşullar altında yatay bir yolda seyahat süresi, inişli çıkışlı bir yola göre daha azdır.

Bir Olimpiyatın eşitsizliğin kanıtlanmasını gerektirecek kadar sorunsuz geçmesi nadirdir. Cebirsel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanır çeşitli yöntemler sayısal eşitsizliklerin eşdeğer dönüşümlerine ve özelliklerine dayanan:

1) a – b > 0 ise a > b; eğer a – b

2) eğer a > b ise b a;

3) eğer bir

4) eğer bir

5) 0 ise ac

6) eğer bir bc ise; a/c > b/c ;

7) eğer 1 ise

8) eğer 0 ise

Biraz hatırlayalım eşitsizlikleri destekleyin genellikle diğer eşitsizlikleri kanıtlamak için kullanılır:

1) a 2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, a > 0 için, b 2 – 4ac

3) x + 1 / x x > 0 için > 2 ve x için x + 1 / x –2

4) |a + b| |bir| + |b|, |a – b|

> |a| – |b|;

5) a > b > 0 ise 1/a

6) a > b > 0 ve x > 0 ise, o zaman a x > b x, özellikle doğal n > 2 için a 2 > b 2 ve n √ a > n √;

B

7) eğer a > b > 0 ve x ise 8) eğer x > 0 ise, o zaman günah

X

• Sadece eşitsizlikler değil, Olimpiyat düzeyindeki pek çok sorun, okul öğrencilerinin genellikle aşina olmadığı bazı özel eşitsizlikler kullanılarak etkili bir şekilde çözülür. Bunlar, her şeyden önce şunları içerir:

• pozitif sayıların aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki eşitsizlik (Cauchy eşitsizliği):

Bernoulli eşitsizliği:

• (1 + α) n ≥ 1 + nα, burada α > -1, n – doğal sayı;

Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . + b n 2 );

• Eşitsizlikleri kanıtlamak için en "popüler" yöntemler şunları içerir:
• tanıma dayalı eşitsizliklerin kanıtı;
• kare seçim yöntemi;
• sıralı değerlendirme yöntemi; yöntem;
• matematiksel tümevarım
• özel ve klasik eşitsizliklerin kullanımı;
• matematiksel analiz unsurlarının kullanımı;
• geometrik hususların kullanımı;

güçlendirme fikri vb.

Çözümlerle ilgili sorunlar

1. Eşitsizliği kanıtlayın:

a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c); b) a 2 + b 2 + 1

> ab + a + b;

c) x > 0, y > 0 için x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0.

a) Bizde

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

ki bu çok açık.

b) Her iki tarafın 2 ile çarpılması sonucu ortaya çıkan eşitsizlik şu şekli alır: 2a 2 + 2b 2 + 2

> 2ab + 2a + 2b,

veya

> 2ab + 2a + 2b,

(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0, (a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

Eşitlik yalnızca a = b = 1 olduğunda ortaya çıkar.

c) Bizde

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.

a) Elimizde:

B ) Bu eşitsizliğin kanıtı basitçe aşağıdaki tahminden kaynaklanmaktadır:

Eşkenar üçgende eşitlik sağlanır.

c) Elimizde:

karşılıklı olarak pozitif olan iki şeyin toplamı olduğundan karşılıklı sayılar 2'den büyük veya eşittir.

3. a + b = 1 ise a 8 + b 8 > 1/128 eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayın.

a + b = 1 koşulundan şu sonuç çıkar:

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Bu eşitliği bariz eşitsizliğe ekleyelim

a 2 – 2ab + b2 > 0.

Şunu elde ederiz:

2a 2 + 2b 2 > 1 veya 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

şunu elde ederiz:

8a 4 + 8b 4 > 1, dolayısıyla 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Bu eşitsizliği bariz eşitsizliğe eklemek

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

şunu elde ederiz:

128a 8 + 128 b 8 > 1 veya a 8 + b 8 > 1/128.

4. Dahası e e · π π veya e 2π?

İşlevi düşünün f(x) = x – π ln x . Çünkü f'(x) = 1 – π/x , ve noktanın solunda X = π f’(x) 0 , ve sağda - f’(x) > 0, O f(x) sahip olmak en küçük değer bu noktada X = π . Böylece f(е) > f(π) yani

e – π ln e = e – π > π – π ln π

> 2ab + 2a + 2b,

e + π ln π > 2π .

Buradan şunu anlıyoruz

e e + π ln π > e 2π,

o· e π ln π > e 2 π ,

e e · π π > e 2π.

5. Bunu kanıtlayın

Logaritmanın özelliklerini kullanarak azaltmak kolaydır bu eşitsizlik eşdeğer eşitsizliğe:

(n + 1) n > n!,

nerede n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-faktöriyel). Ek olarak, bariz bir eşitsizlik sistemi vardır:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n,

bunları terim terimle çarptıktan sonra doğrudan (n + 1) n > n! sonucunu elde ederiz.

6. 2013 2015 · 2015 2013'ün olduğunu kanıtlayın

Sahibiz:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 – 1) 2013 (2014 + 1) 2013

Açıkçası, genel bir ifade de elde edebiliriz: herhangi bir doğal sayı için eşitsizlik

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Herhangi bir n doğal sayısı için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu kanıtlayın:

Eşitsizliğin sol tarafını tahmin edelim:

Q.E.D.

8. a 1 2, a 2 2, a 3 2 olsun. . . ve n 2 n farklı karelerdir doğal sayılar. Bunu kanıtla

Bu sayıların en büyüğü m olsun. Daha sonra

o zamandan beri sağ taraf 1'den küçük çarpanlar eklendi.Her parantezi çarpanlara ayırarak sağ tarafı hesaplayalım:

: Eşitsizliklerin kanıtlanması alanında bilginizi genişletin. Cauchy eşitsizliği hakkında bilgi edinin. Eşitsizlikleri kanıtlamak için öğrenilen yöntemleri uygulamayı öğrenin.

İndirmek:

Önizleme:

Devlet bütçeli eğitim kurumu

ortalama ortaokul №655

St.Petersburg'un Primorsky bölgesi

“Eşitsizliklerin kanıtı. Cauchy eşitsizliği"

2014

Li Nina Yurievna

8. sınıf

Özet………………………………………………………………………………….3

Giriş…………………………………………………………………………………….. 4

Tarihsel arka plan……………………………………………………………………………………….4

Cauchy eşitsizliği…………………………………………………………………………………………5

Eşitsizliklerin kanıtı………………………………………………………………..7

Araştırmanın sonuçları…………………………………………………………………………………..10

Referanslar………………………………………………………………………………………11

Li Nina

St. Petersburg, GBOU ortaokul No. 655, 8. sınıf

“Eşitsizliklerin kanıtı. Cauchy'nin eşitsizliği".

danışman: Yulia Vladimirovna Moroz, matematik öğretmeni

Hedef bilimsel çalışma: Eşitsizliklerin kanıtlanması alanında bilginizi genişletin. Cauchy eşitsizliği hakkında bilgi edinin. Eşitsizlikleri kanıtlamak için öğrenilen yöntemleri uygulamayı öğrenin.

GİRİİŞ

“...matematiğin ana sonuçları çoğunlukla eşitliklerle değil eşitsizliklerle ifade edilir.”

E. Beckenbach

Okul dersi boyunca eşitsizlikleri çözmeye çalışıyoruz. Eşitsizlikler grafiksel olarak çözülebilir ve analitik olarak. Herhangi bir eşitsizliği çözmek için var özel algoritma bu nedenle eylem bu görev daha ziyade yaratıcı bir yaklaşım gerektirmeyen mekanik bir eylemdir.

Tam tersine eşitsizlikleri kanıtlamak resmi olmayan, değişken bir yaklaşım gerektirir. Bu nedenle eşitsizliklerin kanıtı en ilginç olanıdır.

Ancak, okul kursu Matematikte eşitsizliklerin ispatına çok az önem verilmektedir. Eşitsizliklerin kanıtı tek bir şeye varıyor: kabul-değerlendirme eşitsizliğin parçaları arasındaki farklar.Bu arada, matematik olimpiyatlarında eşitsizliklerin diğer yöntem ve teknikler kullanılarak (eşitsizliklerin desteklenmesi, tahmin yöntemi) kanıtlanması konusunda sıklıkla sorunlar yaşanmaktadır.Matematikte okul çocukları için olimpiyatlarda, öğrencilerin yeteneklerini ve yeteneklerini, derecelerini daha iyi ortaya koyan eşitsizlikler de sıklıkla önerilmektedir. entelektüel gelişim. Ayrıca birçok görev artan karmaşıklık(matematiğin çeşitli dallarından) eşitsizlikler kullanılarak etkili bir şekilde çözülür.

Eşitsizliklerin çoğu bölümde temel bir rol oynaması nedeniyle “Eşitsizliklerin kanıtı” konusunun önemi yadsınamaz. modern matematik ne fizik, ne astronomi, ne de kimya onlarsız yapamaz. Olasılık teorisi, matematiksel istatistik, finansal matematik, ekonomi - tüm bu birbiriyle bağlantılı ve genelleyici bilimler, hem temel yasalarının formülasyonunda hem de bunları elde etme yöntemlerinde ve uygulamalarda sürekli olarak eşitsizliklerden yararlanır.

Eşitsizlik kanıtları, eşitsizlikleri kanıtlamaya yönelik teknikleri anlama ve uygulama becerisinin geliştirilmesine yardımcı olur; gerçekleştirirken bunları uygulama yeteneği çeşitli görevler; analiz etme, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneği; düşünceleri mantıksal olarak ifade etmek; işinde yaratıcıdır.

Bu çalışmanın amacı eşitsizlikleri kanıtlamaya yönelik yöntem ve teknikler alanındaki bilgiyi genişletmektir.

Bu araştırma hedefine ulaşmak için kendimize aşağıdaki görevleri belirledik:

• den bilgi toplamak çeşitli kaynaklar eşitsizlikleri kanıtlamaya yönelik teknik ve yöntemler hakkında;
• Cauchy eşitsizliğiyle tanışın;
• Daha karmaşık eşitsizlikleri kanıtlamak için destekleyici eşitsizlikleri uygulamayı öğrenin.

TARİHSEL GEÇMİŞ

"Eşitlik" kavramıyla birlikte "daha fazla" ve "daha az" kavramları, nesneleri sayma ve karşılaştırma ihtiyacıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. çeşitli miktarlar. Eşitsizlik kavramı eski Yunanlılar tarafından kullanılmıştır. Arşimet (MÖ 3. yüzyıl), çevreyi hesaplarken "herhangi bir dairenin çevresinin çapın üç katına eşit olduğunu ve fazlalığın çapın yedide birinden az, ancak on yetmiş birden fazla olduğunu" tespit etti. Başka bir deyişle Arşimet π sayısının sınırlarını gösteriyordu.

1557'de Robert Record eşittir işaretini ilk kez tanıttığında, yeniliğini şu şekilde motive etti: Hiçbir iki nesne birbirine iki nesneden daha eşit olamaz. segmente paralel. Başka bir İngiliz bilim adamı Harriot, Record'un eşittir işaretini temel alarak bugün hala kullanılan eşitsizlik işaretlerini ortaya koydu ve yeniliği şu şekilde gerekçelendirdi: iki miktar eşit değilse, o zaman eşittir işaretinde görünen bölümler artık paralel değil, kesişiyor. Kesişme sağda (>) veya solda (

Eşitsizlik işaretleri, Record'un önerdiği eşittir işaretinden 74 yıl sonra önerilmiş olmasına rağmen, eşitsizlik işaretlerinden çok daha önce kullanıma girmiştir. Bu olgunun nedenlerinden biri o dönemde matbaaların eşitsizlik işareti olarak zaten sahip oldukları Latin harflerini kullanmasıdır. V, oysa dizgide eşittir işareti (=) yoktu ve bunu yapmak o zamanlar kolay değildi.

≤ ve ≥ işaretleri girildi Fransız matematikçi P. Bouguet.

CAUCHY'NİN EŞİTSİZLİĞİ

Eşitsizlikleri kanıtlamak için kullanılan fikirler neredeyse eşitsizliklerin kendisi kadar çeşitlidir. İÇİNDE özel durumlar yaygın yöntemler çoğu zaman çirkin çözümlere yol açar. Ancak sadece birkaçı çeşitli “temel” eşitsizlikleri bariz olmayan bir şekilde birleştirmeyi başarıyor. Ayrıca, hiçbir şey bizi her özel durumda daha uygun bir yol aramaktan alıkoyamaz. en iyi çözüm, alınandan genel yöntem. Bu nedenle eşitsizliklerin kanıtı çoğu zaman sanatın alanına havale ediliyor. Ve her sanatta olduğu gibi burada da teknik teknikler var, bunların kapsamı çok geniş ve hepsine hakim olmak çok zor.

Bu "temel" eşitsizliklerden biri, iki ortalama değer (aritmetik ortalama ve geometrik ortalama) arasındaki ilişkiyi gösteren Cauchy eşitsizliğidir. Aritmetik ortalama beşinci sınıf okul dersinde incelenir ve şöyle görünürGeometrik ortalama ilk olarak sekizinci sınıf geometri dersinde karşımıza çıkıyor.. İÇİNDE dik üçgenÜç bölüm bu özelliğe sahiptir: iki bacak ve tepe noktasından dikey olarak düşen dik açı hipotenüse.

Bilim adamlarının incelediği bu iki büyüklük arasında şaşırtıcı bir ilişki var. Fransız matematikçi O. Cauchy, aritmetik ortalamanın n olduğu sonucuna vardı. Negatif olmayan sayılar her zaman bu sayıların geometrik ortalamasından az değildir.

Cauchy eşitsizliğinin yanı sıra onun sonuçlarını da bilmek faydalıdır:

Eşitlik a = b olduğunda sağlanır.

a > 0, b > 0 koşulları karşılanırsa eşitsizlikler doğrudur.

Bu eşitsizliğin cebirsel kanıtı oldukça basittir:

(a – c)² ≥ 0;

“Farkın karesi” formülünü uygulayalım:

a² - 2av + b² ≥0;

Eşitsizliğin her iki tarafına da ekleyelim 4av:

a² + 2av + b² ≥4av;

“Toplamın karesi” formülünü uygulayalım:

(a + b)² ≥4av;

Eşitsizliğin her iki tarafını da şuna bölelim: 4 :

a ve b'den beri koşula göre pozitifse, eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü çıkarırız:

İstenilen ifadeyi elde ettik.

Geometrik kanıtı düşünün:

Verilenler: ABCD – dikdörtgen, AD = a, AB = b, AK – BAD açısının açıortay.

Kanıtlamak:

Kanıt:

1. AK bir açıortaydır, dolayısıyla VAL = LAD. Delikanlı ve BLA – paralel BC ve AD ve sekant AL ile iç çapraz açılar, yani BLA = LAD.
2. B = 90°, dolayısıyla BAL = LAD = 45°, ancak BLA = LAD, yani ∆ ABL – ikizkenar, BL = AB = b.
3. ∆AKD – ikizkenar, KD'den beri┴AD, DAL = 45°, yani AD = KD = a.

Açıkça görülüyor ki eşitlik şu şekilde sağlanır:

a = b yani ABCD bir karedir.

eşitsizliği yerine koyalım a²'ye m, b²'ye n, şunu elde ederiz

Veya ,

yani geometrik ortalama aritmetik ortalamadan büyük değildir.

EŞİTSİZLİKLERİN KANITI

Sentez yöntemi.

Bu, destek (temel) eşitsizliklerden (haklılaştırılması gereken) bir eşitsizliğin elde edilmesine (sentezlenmesine) ve bunları oluşturma yöntemlerine dayanan bir yöntemdir.

Sentez yöntemini kullanarak sorunu çözelim

Problem 1. Negatif olmayan herhangi bir değer için bunu kanıtlayın a, b, c eşitsizlik doğrudur

Çözüm. Negatif olmayan iki sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki ilişkiyi kuran üç eşitsizliği yazalım.

Ortaya çıkan eşitsizlikleri terim terimle çarpalım, çünkü sağ ve sol tarafları negatif değildir.

Problem 2. Bu eşitsizliği kanıtlamak için Cauchy eşitsizliğini uygulayalım:

Kimlikleri kullanma yöntemi.

Yöntemin özü, bu eşitsizliğin eşdeğer dönüşümler açık bir kimliğe yol açar.

Bu yöntemi kullanarak sorunu çözmeyi düşünelim.

Görev. Herhangi bir gerçek sayı için bunu kanıtlayın a ve b eşitsizlik doğrudur.

Çözüm. Eşitsizliğin sol tarafında bir tam kare seçelim

Herhangi bir geçerli için a ve b bu ifade negatif değildir, yani bu eşitsizlik de karşılanabilir, yani.

ÇÖZÜM

Bu araştırma çalışması aşağıdaki sorunları çözmeyi amaçladı:

• eşitsizlikleri kanıtlamak için bilgi toplamak ve çeşitli yöntem ve teknikleri incelemek;
• dikkate değer Cauchy eşitsizliği ile ilgili bilgi ve bunun cebirsel ve geometrik biçimde ispatı;
• eşitsizlikleri kanıtlamak için edinilen bilgilerin uygulanması;
• Verilen problemlerin çözümünde kimliklerin sentezi ve kullanımı yöntemine aşinalık.

Sorunları çözme sürecinde hedefimize ulaştık araştırma çalışması– optimalin bulunması etkili yöntem eşitsizliklerin kanıtları.

REFERANSLAR

1. Cebir. 8. sınıf: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için kurum/ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, I.E.

1. Cebir. 8. sınıf. Didaktik materyaller. Metodik öneriler/ I.E. Feoktistov.-3. baskı, ster.-M.: Mnemosyne, 2013.-173 s.

1. Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, silindi. – M.: Mnemosyne, 2008. – 215 s., C 185-200.

1. Berkolaiko S.T. Cauchy eşitsizliğinin problem çözümünde kullanılması - M.: Kvant, 1975. - No. 4.