Bugün şiirle söylenmeyi hak ediyor
Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.
Hangisi daha iyi, söyle bana, şöyle bir tutarlılık:
Kökleri çarptınız - ve kesir hazır
Payda İle, paydada A.
Ve kesrin köklerinin toplamı da eşittir
Bu kesir eksi olsa bile
Ne sorun
Paylarda V, paydada A.
(Okul folklorundan)
Epigrafta harika teorem François Vieta tamamen doğru bir şekilde verilmemiştir. Aslında kökü olmayan ikinci dereceden bir denklem yazıp, toplamını ve çarpımını yazabiliriz. Örneğin x 2 + 2x + 12 = 0 denkleminin gerçel kökleri yoktur. Ancak resmi bir yaklaşımla bunların çarpımını (x 1 · x 2 = 12) ve toplamını (x 1 + x 2 = -2) yazabiliriz. Bizim ayetler şu uyarıyla birlikte teoreme karşılık gelecektir: “eğer denklemin kökleri varsa” yani. D ≥ 0.
Birinci pratik kullanım Bu teorem kökleri verilmiş ikinci dereceden bir denklemin yapısıdır. İkincisi, birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak çözmenize olanak tanır. Okul ders kitapları öncelikle bu becerilerin geliştirilmesine odaklanmaktadır.
Burada daha fazlasını ele alacağız karmaşık görevler, Vieta teoremi kullanılarak çözüldü.
Örnek 1.
5x 2 – 12x + c = 0 denkleminin köklerinden biri ikincinin üç katıdır. Bul.
Çözüm.
İkinci kök x 2 olsun.
O halde ilk kök x1 = 3x 2.
Vieta teoremine göre köklerin toplamı 12/5 = 2,4'tür.
3x 2 + x 2 = 2,4 denklemini oluşturalım.
Dolayısıyla x 2 = 0,6. Bu nedenle x 1 = 1,8.
Cevap: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Örnek 2.
x 1 ve x 2'nin, x 2 – 8x + p = 0 denkleminin kökleri olduğu ve 3x 1 + 4x 2 = 29 olduğu bilinmektedir. p'yi bulun.
Çözüm.
Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = 8 ve 3x 1 + 4x 2 = 29 koşuluna göre.
Bu iki denklemin sistemini çözdükten sonra x 1 = 3, x 2 = 5 değerini buluyoruz.
Ve dolayısıyla p = 15.
Cevap: p = 15.
Örnek 3.
3x 2 + 8 x – 1 = 0 denkleminin köklerini hesaplamadan x 1 4 + x 2 4'ü bulun
Çözüm.
Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -8/3 ve x 1 x 2 = -1/3 olduğuna dikkat edin ve ifadeyi dönüştürün
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Cevap: 4898/9.
Örnek 4.
A parametresinin hangi değerlerinde en büyük ve en büyük arasındaki fark en küçük kökler denklemler
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 bunların çarpımına eşittir.
Çözüm.
Bu ikinci dereceden bir denklemdir. D > 0 ise 2 farklı kökü olacaktır. Başka bir deyişle (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 veya (a – 3) 2 > 0. Dolayısıyla her a için 2 kökümüz var, a = 3 hariç.
Kesinlik sağlamak için x 1 > x 2 olduğunu varsayacağız ve x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ve x 1 x 2 = (a – 1)/2 elde edeceğiz. Problemin koşullarına göre x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Her üç koşulun da aynı anda karşılanması gerekir. İlk ve son denklemleri bir sistem olarak ele alalım. Cebirsel toplama ile kolayca çözülebilir.
x 1 = a/2, x 2 = 1/2 elde ederiz. Ne olduğunu kontrol edelim A ikinci eşitlik sağlanacaktır: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Elde edilen değerleri yerine koyarsak: a/4 = (a – 1)/2 elde ederiz. O halde a = 2. Açıktır ki a = 2 ise tüm koşullar karşılanmıştır.
Cevap: a = 2 olduğunda.
Örnek 5.
Neye eşittir en küçük değer a, burada denklemin köklerinin toplamı
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0, köklerinin karelerinin toplamına eşittir.
Çözüm.
Öncelikle denklemi şuna indirgeyelim: kanonik form: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 ise kökleri olacaktır. Dolayısıyla: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Veya (a – 1) 2 ≥ 0. Ve bu da herhangi bir a için geçerli koşul.
Vieta teoremini uygulayalım: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Hesaplayalım
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Veya x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2'yi değiştirdikten sonra. Geriye problemin koşullarına karşılık gelen bir eşitlik oluşturmak kalıyor: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Şunu elde ederiz: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Bu ikinci dereceden denklemin 2 kökü vardır: a 1 = 1 ve a 2 = 1/2. Bunlardan en küçüğü –1/2'dir.
Cevap: 1/2.
Örnek 6.
Köklerinin küplerinin toplamı bu köklerin karelerinin çarpımına eşitse, ax 2 + bx + c = 0 denkleminin katsayıları arasındaki ilişkiyi bulun.
Çözüm.
Gerçeklerden yola çıkacağız verilen denklem kökleri vardır ve bu nedenle Vieta teoremi ona uygulanabilir.
O zaman problemin koşulu şu şekilde yazılacaktır: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Veya: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
İkinci faktörün dönüştürülmesi gerekiyor. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
(x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 elde ederiz. Köklerin toplamlarını ve ürünlerini katsayılar aracılığıyla değiştirmeye devam ediyor.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Bu ifade kolaylıkla forma dönüştürülebilir b(3ac – b 2)/a = c 2.İlişki bulunmuştur.
Yorum. Ortaya çıkan ilişkinin ancak diğer ilişki sağlandıktan sonra dikkate alınmasının anlamlı olacağı dikkate alınmalıdır: D ≥ 0.
Örnek 7.
x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamının en büyük değer olduğu a değişkeninin değerini bulun.
Çözüm.
Bu denklemin kökleri x 1 ve x 2 ise, bunların toplamı x 1 + x 2 = -2a ve çarpım x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 olur.
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2'yi hesaplıyoruz (a – 3) 2 + 22.
Şimdi bu ifadenin geçerli olduğu açıktır. en yüksek değer a = 3'te.
Geriye orijinal ikinci dereceden denklemin köklerinin gerçekten a = 3'te olup olmadığını kontrol etmek kalır. Değiştirme yoluyla kontrol ederiz ve şunu elde ederiz: x 2 + 6x + 7 = 0 ve bunun için D = 36 – 28 > 0.
Bu nedenle cevap: a = 3 için.
Örnek 8.
2x 2 – 7x – 3 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2'dir. Kökleri X 1 = 1/x 1 ve X 2 = 1/x 2 sayıları olan verilen ikinci dereceden denklemin katsayılarının üç kat toplamını bulun. (*)
Çözüm.
Açıkçası, x 1 + x 2 = 7/2 ve x 1 x 2 = -3/2. İkinci denklemi köklerinden x 2 + px + q = 0 formunda oluşturalım. Bunu yapmak için Vieta teoreminin tersini kullanırız. Şunu elde ederiz: p = -(X 1 + X 2) ve q = X 1 · X 2.
Bu formüllerde (*) esas alınarak yerine koyma işlemi yapıldıktan sonra: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ve q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Gerekli denklem şu şekilde olacaktır: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Artık katsayılarının üç kat toplamını kolayca hesaplayabiliriz:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Cevap geldi.
Hala sorularınız mı var? Vieta teoremini nasıl kullanacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Belediye Eğitim kurumu
"Ochkurovskaya ikincil Kapsamlı okul»
Nikolayevski belediye bölgesi Volgograd bölgesi
Vieta teoremi
Tamamlayan: Kristina Onoprienko,
8. sınıf öğrencisi
MKOU "Oçkurovskaya Ortaokulu"
Nikolaevski bölgesi
Başkan: E.A.
İle. Oçkurovka
2015
İçindekiler
Giriş………………………………………………………………………………………… ……3
Ana bölüm
1.Tarihsel arka plan……………………………………………………….4
2. Vieta teoreminin ispatı…………………………………………………………..6
3. Vieta teoremi kullanılarak çözülmüş bir denklem bloğunun derlenmesi……………….8
4. Simülatörün yapımı………………………………………………………10
Çözüm
Projenin pratik önemi……………………………………... 12
Sonuçlar……………………………………………………………………………….13
Bilgi kaynaklarının listesi……………………….………………………...14
Başvuru……………………………………………………………………..15
Şiirde söylenmeye haklı olarak layık
Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.
Hangisi daha iyi, söyleyin bana, şöyle bir tutarlılık:
Kökleri çarptığınızda kesir hazır!
Pay c, payda a'dır.
Ve kesrin köklerinin toplamı da eşittir.
Eksi kesirle bile ne sorun!
Payda
B
, paydada a.
giriiş
Proje konusunun alaka düzeyi: Vieta teoreminin uygulanması, çözüm için benzersiz bir tekniktir. ikinci dereceden denklemler sözlü olarak. Ders kitabında Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek çok az ikinci dereceden denklem vardır. Sınıf arkadaşlarım ve ben hata yaparız.
Nesne araştırma cebir derslerinde ikinci dereceden denklemleri çözmenin ayrılmaz bir parçası olarak Vieta teoremidir.
Çalışma konusu – İkinci dereceden denklemleri çözme becerisini güçlendirmek için Vieta teoremi ve bir denklem bloğu derlemek.
Hipotez: Bir simülatör kullanarak Vieta teoremini kullanarak denklemleri doğru şekilde çözmeyi öğrenebileceğinizi önerdim.
Projenin amacı : Vieta teoremi kullanılarak çözülen denklemlerin bir simülatörü oluşturun.
Görevler:
Vieta teoreminin keşfinin tarihini öğrenmek;
kare katsayılarının bağımlılığı üzerine bir çalışma yürütmek
denklem ve çarpım ve köklerinin toplamı.
Vieta teoremini kanıtlamayı öğrenin;
Vieta teoremini kullanarak çözülebilecek denklemleri bağımsız olarak oluşturun
kağıt üzerinde bir denklem bloğu çizin ve elektronik biçimde bir simülatör oluşturun
sınıf arkadaşlarınıza Vieta teoremini kullanarak denklem çözmeleri için bir simülatör sunun
Yöntemler :
sonuçların karşılaştırılması bağımsız iş proje öncesi ve eğitim sonrasında ikinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi
çalışma ve analiz elektronik kaynaklar ve edebiyat
bir denklem bloğu ve bir simülatör derleme konusunda bağımsız çalışma
1.Tarihsel bilgi
Francois Viet, 1540 yılında Fransa'nın güneyindeki küçük Fanteney-le-Comte kasabasında doğdu.
Viet'in babası bir savcıydı. Oğul babasının mesleğini seçti ve avukat oldu ve Poitou'daki üniversiteden mezun oldu. 1560 yılında yirmi yaşında bir avukat kariyerine başladı. memleket ancak üç yıl sonra asil Huguenot ailesi de Parthenay'da hizmet etmeye gitti. Evin sahibinin sekreteri ve on iki yaşındaki kızı Catherine'in öğretmeni oldu. Genç avukatın matematiğe olan ilgisini uyandıran şey öğretmenlikti.
Öğrenci büyüyüp evlendiğinde Viet ailesinden ayrılmadı ve onunla birlikte Avrupa'nın önde gelen matematikçilerinin başarılarını öğrenmesinin daha kolay olduğu Paris'e taşındı. Sorbonne'un önde gelen profesörü Ramus ile iletişim kurdu ve İtalya'nın en büyük matematikçisi Raphael Bombelli ile dostane yazışmalar sürdürdü.
1571'de Vietnam'a geçti kamu hizmeti, parlamentonun danışmanı ve ardından Fransa Kralı III. Henry'nin danışmanı oldu.
1580'de Henry III Viet'i, ona ülkedeki emirlerin uygulanmasını kontrol etme ve büyük feodal beylerin emirlerini askıya alma hakkı veren önemli bir haraççı görevine atadı.
1584'te Guise'lerin ısrarı üzerine Vieta görevden alındı ve Paris'ten ihraç edildi. Huzur ve rahatlama bulan bilim adamı, her türlü problemi çözmesine olanak sağlayacak kapsamlı matematik yaratmayı hedef olarak belirledi.
Viet araştırma programının ana hatlarını çizdi ve ortak bir kavramla birleştirilen ve farklı dillerde yazılmış incelemeleri listeledi. matematik dili 1591 yılında yayınlanan ünlü “Analitik Sanata Giriş”te yeni harf cebiri. Viet, yaklaşımının temelini tür lojistiği olarak adlandırdı; sayılar, miktarlar ve ilişkiler arasında açıkça ayrım yaparak bunları belirli bir "tür" sistemi altında topladı. Bu sistem, örneğin değişkenleri, bunların köklerini, kareleri, küpleri, kare-kareleri vb. içeriyordu. Bu türler için Viet, onları adlandırarak özel sembolizm verdi. büyük harflerle Latin alfabesi. Bilinmeyen miktarlar için ünlüler, değişkenler için ise ünsüzler kullanıldı.
Viète, simgelerle işlem yaparak karşılık gelen herhangi bir niceliğe uygulanabilecek bir sonuç elde edilebileceğini, yani problemi çözebileceğimizi gösterdi. Genel görünüm. Bu, cebirin gelişiminde radikal bir değişimin başlangıcını işaret ediyordu: Gerçek hesaplama mümkün hale geldi.
Bir polinomun katsayıları ile kökleri arasındaki bağlantıyı kuran ünlü teorem 1591'de yayımlandı. Şimdi Vieta adını taşıyor ve yazarın kendisi bunu şu şekilde formüle etti: "Eğer B + D çarpı A eksi A'nın karesi BD'ye eşitse, o zaman A eşittir B ve eşittir D."
"Geometriye İlaveler" adlı incelemesinde, üçüncü ve dördüncü derece denklemleri çözmek için geometrik yöntemler kullanarak bir tür geometrik cebir yaratmaya çalıştı. Viet, üçüncü ve dördüncü dereceden herhangi bir denklemin çözülebileceğini savundu. geometrik yöntem bir açının üçe bölünmesi veya iki ortalama orantılı açının oluşturulması yoluyla.
Yüzyıllar boyunca matematikçiler astronomi, mimari ve jeodezinin ihtiyaçlarının gerektirdiği şekilde üçgenlerin çözümü sorunuyla ilgilendiler. Viet açıkça formüle eden ilk kişiydi. sözlü biçim kosinüs teoremi, ancak eşdeğerleri MÖ 1. yüzyıldan beri ara sıra kullanılıyor. Daha önce zorluğuyla bilinen, verilen iki kenarı ve karşıt açılardan birini kullanarak bir üçgeni çözme durumu, Vieta'dan kapsamlı bir analiz aldı. Derin cebir bilgisi Vieta'ya kazandırdı büyük faydalar. Üstelik cebire olan ilgisi başlangıçta trigonometri ve astronomiye yönelik uygulamalardan kaynaklandı. Cebirin her yeni uygulaması trigonometri alanında yeni araştırmalara ivme kazandırdığı gibi, elde edilen trigonometrik sonuçlar da kaynak olmuştur. önemli başarılar cebir. Özellikle Vieta, sinüsler (veya akorlar) ve çoklu yayların kosinüsleri için ifadelerin türetilmesinden sorumludur.
Fransa'nın bazı saray mensuplarının anılarında, Viet'in evli olduğuna, mülkün tek varisi olan bir kızı olduğuna ve ardından Viet'e Seigneur de la Bigautier denildiğine dair bir gösterge var. Mahkeme haberlerinde Letual Markisi şunları yazdı: “... 14 Şubat 1603 Bay Viet, haraççı, büyük zekaya ve muhakemeye sahip bir adam ve en iyilerden biri bilim adamları matematikçiler yüzyıl Paris'te öldü. Altmış yaşını geçmişti."
2. Vieta teoreminin kanıtı
3. Bir denklem bloğunun ve elektronik simülatörün derlenmesi
Kaynakça
Cebir 8. sınıf: ders kitabı Eğitim Kurumları. G.V.Dorofeev, S.B.
8. sınıf için cebir üzerine didaktik materyaller. V.I.Zhokhov, Yu.N.Makarychev, N.G Mindyuk. M.: Eğitim, 2000.
Matematik.8. sınıf: didaktik materyaller“Matematik 8. Cebir” ders kitabına / ed. G. V. Dorofeeva. – M.: Bustard, 2012\
Durum Final Sınavı. 9. sınıf. Matematik. Tematik test görevleri./L.D. Lappo, MA Popov/-M.: Sınav Yayınevi, 2011
Planlanan sonuç
1. Bilgilendirici
Bilgilerin toplanması, analizi
Literatür Çalışması
Projenin teorik kısmı için materyal
2. Organizasyonel
Analiz, genelleme
Bir denklem bloğunun geliştirilmesi
İş için malzeme
3. Teknolojik aşama
Denklemlerin seçimi
Simülatör oluşturma
Eğitim aparatı
4. Son
Deneyimin genelleştirilmesi
Yapılan işle ilgili sonuçlar, projenin tasarımı
Proje. Koleksiyon tasarımı. Usta sınıfı. Yarışmaya katılım.
X 2 + 17x - 38 = 0,
X 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
X 2 + 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
X 2 - 7x + 10 = 0,
X 2 - 2x - 3= 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
2 kere 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2 kere 2 - 7x + 3 = 0,
X 2 + 17x - 18 = 0,
X 2 - 17x - 18 = 0,
X 2 - 11x + 18 = 0,
X 2 + 7x - 38 = 0,
X 2 - 9x + 18 = 0,
X 2 - 13x + 36 = 0,
X 2 - 15x + 36 = 0,
X 2 - 5x - 36 = 0.
X 2 + x – 2 = 0
X 2 + 2x – 3 =0
X 2 - 3x + 2 =0
X 2 - x – 2 = 0
X 2 - 2x – 3 =0
X 2 - 3x – 4 = 0
X 2 +17 X -18=0
X 2 + 23 X – 24=0
X 2 – 39x-40 =0
X 2 – 37x – 38=0
X 2 – 3x – 10 = 0
X 2 – 5x + 3 = 0
X 2 + 8 x – 11 = 0
X 2 + 6x + 5 = 0
X 2 – X – 12 = 0
X 2 + 5 X + 6 = 0
X 2 + 3 X – 10 = 0
X 2 – 8 X– 9 = 0
X 2 + x – 56 = 0
X 2 – 19x + 88 = 0
X 2 – 4x – 4 = 0
X 2 -15x+14=0
X 2 +8x+7=0
X 2 +9x+20=0
X 2 +18x -11 = 0
X 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
X 2 +18x -11 = 0
X 2 +27x – 24 = 0
4x-21=0
4x-21=0
X 2 -15x+56=0
X 2 -4x-60=0
X 2 +5x+6=0
2x-3=0
X 2 +18x+81=0
X-20=0
X 2 +4x+21=0
X 2 -10x-24=0
X 2 + x-56=0
X 2 -x-56=0
X 2 +3x+2=0
X 2 +5x-6=0
X 2 -18x+81=0
X 2 -9x+20=0
X 2 -5 X +6=0
X 2 -4x-21=0
X 2 - 7x+6=0
X 2 -15x+56=0
X 2 – 3x + 2 = 0
X 2 – 4x + 3 = 0
X 2 – 2x + 4 = 0
X 2 – 2x + 5 = 0
X 2 – 2x + 6 = 0
X 2 – 11x + 24 = 0
X 2 + 11x – 30 = 0
X 2 + x – 12 = 0
X 2 – 6x + 8 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 4 x -21 =0
X 2 + x – 42 =0
X 2 – x – 20 =0
X 2 + 4 x -32=0
X 2 - 2x – 35 =0
X 2 + x - 20 =0
X 2 + 7 x + 10 =0
X 2 - x - 6=0
X 2 + 2x+0 =0
X 2 + 6x+0 =0
X 2 + 3x - 18=0
X 2 + 5 x -24=0
X 2 - 2 x - 24=0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 8x + 7 =0
X 2 + 9x – 20=0
X 2 – 6x – 7 = 0
X 2
4.
Projenin pratik önemi
8.sınıf cebir derslerinde ve OGE final tekrarında uygulama Sonuçlar:
Çalışmamın sonucu, Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek ikinci dereceden denklemlerden oluşan bir bloktur. Kendimi işe kaptırdım; en kolay yol, serbest terimin çarpım tablosuna göre bulunduğu ikinci dereceden denklemler oluşturmaktı. Artık sadece Vieta teoremini kullanarak bir denklemin köklerini doğru bir şekilde bulmakla kalmıyorum, aynı zamanda bunu ikinci dereceden herhangi bir denklemin çözümünü kontrol ederken de uyguluyorum. Simülatörü kullanarak sınıf arkadaşlarım ve ben ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmeyi öğrendik. Bilgi kaynaklarının listesi:
“Tamamlanmamış İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür” - Çözme Becerileri. Kostroma. Yaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreyeviç. Denklemi çözelim. Eşitlik. Sözlü çalışma. Kazan. Hareket nesnesi. Şifreleme tablosu. Nijniy Novgorod. Lyapunov Alexander Mihayloviç. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Hız. Otobüs. Hareket görevleri.
“Matematik “İkinci Dereceden Denklemler” - f) Denklemin hangi a değerinde tek kökü vardır? İkinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemi sözlü olarak çözün. Denklemi harf katsayılarıyla çözün. Zihninize mümkün olduğu kadar çok yiyecek vermeye çalışın. Hedef: görmeyi öğrenmek rasyonel yolİkinci dereceden denklemlerin çözümü. M.V. Lomonosov. Egzersiz yapmak.
“François Viète ve teoremi” - İki polinom tamamen eşittir. Matematik öğretimi. Matematiksel keşifler. Vieta'nın formülleri. François Viet. Öğretmenler. Şuradan öğrenin: çeşitli kaynaklar François Viet kimdir? Ayrımcı. Vieta teoremi herhangi bir dereceden polinomlara genelleştirilebilir. İkinci dereceden denklemler için Viethe tarafından türetilen formüller.
“İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma” - Denklemin kökleri yoktur. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Denklem katsayılarının özellikleri. Formülü kullanarak denklemleri çözme. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden bir denklemin kök sayısının belirlenmesi. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulma. Diskriminantın bulunması. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.
“Kareköklü denklemlerin çözümü” - Ek. Çizim. Denklemin "atma" yöntemini kullanarak çözülmesi. Grafik çözümüİkinci dereceden denklemler. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri. Faktorizasyon. Seçim yöntemi tam kare. Denklem. Katsayı. Katsayıların toplamı. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. Ücretsiz Üye.
“Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme” - Sorunu çözme. Gerçeklerin birikmesi. Bu denklemleri 4 gruba dağıtın. Akran değerlendirmesi. Çalışılan materyalin temel olarak anlaşılması ve uygulanması. Ders konusu. Hiçbir şey öğrenmediğiniz günü veya saati talihsiz bir gün olarak düşünün. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Soru. Bir öğrenme görevi ayarlama.
Konuda toplam 34 sunum bulunmaktadır.
François Viet, 1540 yılında Fransa'nın Fontenay-le-Comte'sinde doğdu. Eğitim almış bir avukat. Avukatlıkla yoğun bir şekilde ilgilendi ve 1571'den 1584'e kadar Kral George III ve George IV'ün danışmanıydı. Ama her şey senin boş zaman tüm boş zamanlarını matematik ve astronomiye adadı. 1584 yılında görevden alınmasından sonra özellikle matematik alanında yoğun bir şekilde çalışmaya başladı. Kraliyet Mahkemesi. Viet, hem eski hem de çağdaş matematikçilerin çalışmalarını ayrıntılı olarak inceledi.
François Viète esasen yeni bir cebir yarattı. Alfabetik sembolizmi buna dahil etti. Ana fikirleri “Analitik Sanata Giriş” çalışmasında sunulmaktadır. Şöyle yazdı: "Tüm matematikçiler cebir ve almukabalalarının altında eşsiz hazinelerin saklı olduğunu biliyorlardı, ancak onları nasıl bulacaklarını bilmiyorlardı: En zor olduğunu düşündükleri problemler, sanatımızın yardımıyla tamamen kolayca çözülüyor."
Aslında hepimiz örneğin ikinci dereceden denklemleri çözmenin ne kadar kolay olduğunu biliyoruz. Bunları çözmek için hazır formüller var. F. Vieta'dan önce, her ikinci dereceden denklemin çözümü, çok uzun sözlü argümanlar ve açıklamalar şeklinde, oldukça hantal eylemler şeklinde kendi kurallarına göre gerçekleştiriliyordu. Denklemin kendisi bile modern biçim bunu yazamadım. Bu aynı zamanda oldukça uzun ve karmaşık bir süreç gerektiriyordu. sözlü açıklama. Denklem çözme tekniklerinde uzmanlaşmak yıllar aldı. Genel kurallar modern olanlara benzer ve hatta daha da önemlisi denklemleri çözmek için formüller yoktu. Sabit oranlar harflerle gösterilmemiştir. Yalnızca belirli sayısal katsayılara sahip ifadeler dikkate alındı.
Viet cebire harf sembollerini dahil etti. Vieta'nın yeniliğinden sonra kuralları formüller halinde yazmak mümkün hale geldi. Doğru, Viet hala kelimelerle üsleri gösteriyordu ve bu, bazı sorunların çözümünde bazı zorluklar yarattı. Vieta'nın zamanında sayıların temini hâlâ sınırlıydı. François Viète, çalışmalarında birinci dereceden dördüncü dereceye kadar denklem çözme teorisini çok detaylı bir şekilde özetledi.
Vieta'nın en büyük başarısı, keyfi bir denklemin indirgenmiş formunun denklem katsayıları ve kökleri arasındaki ilişkinin keşfiydi. doğal derece. Vieta'nın indirgenmiş ikinci dereceden denklem için ünlü teoremini çok iyi biliyoruz: "İndirgenmiş ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir." zıt işaret ve bu denklemin köklerinin çarpımı eşittir Ücretsiz Üye" Bu teorem, ikinci dereceden denklemlerin çözümünün doğruluğunu sözlü olarak kontrol etmenize ve en basit durumlarda denklemlerin köklerini bulmanıza olanak tanır.
Ayrıca Viète'in Avrupa'da π sayısının ilk analitik (bir formül kullanarak) temsilini verdiğini unutmayın.
Viet 1603'te 63 yaşında öldü.
Vieta'nın teoremi.
Köklerin toplamı ikinci dereceden üç terimli x2 + px + q, zıt işaretli ikinci katsayısı p'ye eşittir ve çarpım, serbest terim q'ya eşittir.
Kanıt.
x1 ve x2 ikinci dereceden üç terimli x2 + px + q'nun farklı kökleri olsun. Vieta teoremi aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğunu belirtir: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Bunu kanıtlamak için, köklerin her birini ikinci dereceden üç terimli ifadenin yerine koyalım. İki doğru sayısal eşitlik elde ederiz: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Bu eşitlikleri birbirinden çıkaralım. x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 elde ederiz
Kareler farkını genişletelim ve aynı zamanda ikinci terimi sağ tarafa taşıyalım:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Koşul gereği x1 ve x2 kökleri farklı olduğundan x1 – x2 ≠ 0 olur ve eşitliği x1 – x2'ye bölebiliriz. Teoremin ilk eşitliğini elde ederiz: x1 + x2 = –p
İkinciyi kanıtlamak için p katsayısı yerine yukarıda yazılan eşitliklerden birine (örneğin birincisine) eşit bir sayı – (x1 + x2) koyalım: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Dönüştürme Sol Taraf, şunu elde ederiz: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, kanıtlanması gereken de budur.
İndirgenmemiş ikinci dereceden denklem durumunda ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
Teorem Vieta teoreminin tersidir.
Eğer x1+x2 = ve x1x2 = eşitlikleri sağlanırsa, x1 ve x2 sayıları ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri olur.
Kanıt.
x1+x2 = ve x1x2 = eşitliğinden x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 sonucu çıkar.
Ama x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) ve dolayısıyla x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
Buradan x1 ve x2'nin x2 + x + = 0 denkleminin kökleri olduğu ve dolayısıyla ax2 + bx + c = 0 denklemlerinin olduğu sonucu çıkar.
Vieta teoreminin uygulanması.
Vieta teoremi 8. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılıyor. Bu teoremin kullanım kapsamını, örneğin 9-11. Sınıflardaki denklem sistemlerini çözmek ve ikinci dereceden denklemlerin ve köklerinin incelenmesiyle ilgili problemleri çözmek için genişletebilirsiniz. Bu, zamanı azaltır ve sistemin çözümünü kolaylaştırır.
Denklem sistemini çözün:
Köklerinin toplamı 5 ve çarpımlarının 6 olduğu ikinci dereceden bir denklemin x ve y köklerinin olduğunu varsayarsak, iki sistemden oluşan bir küme elde ederiz.
Cevap: (2;3), (3;2).
Öğrenciler bu çözme yöntemine hızla hakim olurlar ve bunu zevkle kullanırlar. Ayrıca sistemleri karmaşıklaştırabilir ve çalışırken bu tekniği kullanabilirsiniz. Çeşitli konular 10-11.sınıflarda.
Denklem sistemini çözün:
x > 0 y > 0 koşulu altında şunu elde ederiz:
ve bazı indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin kökleri olsun, o zaman bu sistem iki sistemin birleşimine eşdeğerdir
Popülasyonun ikinci sisteminin çözümü yoktur; birincinin çözümü x=9,y=4 çiftidir.
Cevap: (9;4).
Aşağıda Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek denklem sistemleri bulunmaktadır.
Cevap: (65;3),(5;63).
Cevap: (23;11),(7;27).
Cevap: (4;729),(81;4096).
Cevap: (2;2).
5. x + y =12 Cevap: (8;4),(4;8).
Cevap: (9;4),(4;9).
Benzer denklem sistemleri öğretmenin kendisi tarafından derlenebilir veya buna öğrenciler de dahil edilebilir, bu da konuya olan ilginin gelişmesine katkıda bulunur.
Sözlü çözüm görevleri.
İkinci dereceden denklemleri çözmeden köklerini bulun.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Cevap: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Cevap: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Cevap: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Cevap: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Cevap: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Cevap: -2,5;-1.
Vieta teoreminin kullanıldığı problemleri ele alalım.
9x²+18x-8=0 denklemini çözmeden, x1³+x2³'yi bulun; burada x1,x2 onun kökleridir.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) Ayırıcı Sıfırın üstünde, D>0, yani x1,x2 gerçek köklerdir.
Vieta teoremine göre şu şekildedir: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) x1³+x2³ ifadesini dönüştürün: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
Ortaya çıkan formülde bildiğimiz değerleri yerine koyalım ve cevaba ulaşalım:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 denkleminde k'nin hangi değeri.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
Vieta teoremine göre: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), iki denklemden oluşan bir sistem elde ettik ve x2 yerine 2x1 koyduk.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Ortaya çıkan denklemleri karşılaştıralım:
İkinci dereceden denklemi çözelim ve k'yi bulalım:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Cevap: k1=-1 ve k2=2 ile.
x1;x2 ikinci dereceden x²+13x-17=0 denkleminin kökleri olsun. Kökleri 2-x1 ve 2-x2 sayıları olacak bir denklem oluşturun.
x²+13x-17=0 denklemini düşünün.
1) Diskriminant D>0, yani x1; x2 gerçek köklerdir.
Vieta teoremine göre: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) 2-x2 ve 2-x2 sayılarını bu sistemde yerine koyun.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Dolayısıyla Vieta teoremi uygulandığında istenen denklem x²-17x+13=0 olur.
Cevap: x²-17x+13=0.
İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x2>x1,x1>0,x2 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?
x2 x1 olduğundan b>0,c sonucu çıkar
Cevap: b>0,с
6) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0,x2>0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?
Vieta teoremine göre: x1+x2=-b x1∙x2=c
x1>0, x2>0 ve x2>x1 olduğundan b 0 sonucu çıkar.
Bağımsız çözüm için görevler.
1) 2x²-3x-11=0 denklemini çözmeden +'yı bulun; burada x1;x2 kökleridir.
2) + ifadesinin değerini bulun; burada x1;x2, x²-18x+11=0 trinomialinin kökleridir.
3) x²-7x-46=0 ikinci dereceden denklemin kökleri x1;x2 olsun.
Kökleri sayı olan ikinci dereceden bir denklem yazın
2x1 +x2 ve 2x2 +x1.
Cevap: 9x2-21x-481=0
4) k'nin hangi tamsayı değerinde denklemin köklerinden biri olduğu
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 saniyenin üç katından az mı?
Cevap: k=2.
5) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?
