Matematik problemleri uygulamalarını birçok bilimde bulurlar. Bunlar sadece fizik, kimya, teknoloji ve ekonomiyi değil aynı zamanda tıp, ekoloji ve diğer disiplinleri de içermektedir. Biri önemli kavramlarÖnemli ikilemlere çözüm bulmak için uzmanlaşılması gereken , bir fonksiyonun türevidir. Fiziksel anlamını açıklamak, konunun özü hakkında bilgi sahibi olmayanlara göründüğü kadar zor değil. Bunun için uygun örnekleri bulmak yeterlidir. gerçek hayat ve sıradan günlük durumlar. Aslında, herhangi bir sürücü her gün hız göstergesine baktığında benzer bir görevle baş eder ve arabasının hızını belirli bir sabit zamanda belirler. Sonuçta, türevin fiziksel anlamının özünü içeren tam olarak bu parametredir.
Hız nasıl bulunur?
Herhangi bir beşinci sınıf öğrencisi, kat edilen mesafeyi ve seyahat süresini bilerek, bir kişinin yoldaki hızını kolayca belirleyebilir. Bunu yapmak için ilki aşağıdaki gibidir verilen değerler saniyeye bölün. Ancak her genç matematikçi bunu bilmez. şu an Bir fonksiyonun artışlarının ve argümanının oranını bulur. Aslında, hareketi ordinat ekseni boyunca yolu ve apsis boyunca zamanı gösteren bir grafik şeklinde hayal ederseniz, tam olarak böyle olacaktır.
Ancak hareketin tek biçimli olduğunu düşünerek yolun geniş bir bölümünde belirlediğimiz bir yayanın veya herhangi bir nesnenin hızı pekâlâ değişebilir. Fizikte bilinen birçok hareket şekli vardır. Bu sadece ile yapılabilir Sabit hızlanma ancak keyfi bir şekilde yavaşlar ve artar. Şunu belirtmek gerekir ki bu durumda hareketi tanımlayan çizgi artık düz bir çizgi olmayacaktır. Grafiksel olarak en karmaşık konfigürasyonları üstlenebilir. Ancak grafikteki herhangi bir nokta için her zaman şu şekilde temsil edilen teğeti çizebiliriz: doğrusal fonksiyon.
Zamana bağlı olarak yer değiştirmedeki değişim parametresini açıklığa kavuşturmak için ölçülen bölümleri kısaltmak gerekir. Sonsuz küçük olduklarında hesaplanan hız anlık olacaktır. Bu deneyim türevi tanımlamamıza yardımcı olur. Fiziksel anlamı da mantıksal olarak bu tür bir akıl yürütmeden kaynaklanır.
Geometri açısından
Vücudun hızı ne kadar büyük olursa, yer değiştirmenin zamana bağımlılığı grafiğinin ve dolayısıyla belirli bir noktada teğetin grafiğe eğim açısının da o kadar dik olduğu bilinmektedir. Bu tür değişikliklerin bir göstergesi apsis ekseni ile teğet çizgisi arasındaki açının teğeti olabilir. Türevin değerini belirleyen ve zıt uzunlukların oranıyla hesaplanan tam olarak budur. bitişik bacak V dik üçgen apsis eksenine belirli bir noktadan bırakılan dikmenin oluşturduğu.
Bu geometrik anlamı birinci türev. Fiziksel olan, bizim durumumuzda karşı tarafın değerinin kat edilen mesafeyi, bitişik tarafın ise zamanı temsil etmesiyle ortaya çıkıyor. Bu durumda bunların oranı hızdır. Bir kez daha şu sonuca varıyoruz anlık hız, her iki aralığın da sonsuz küçüklüğe yöneldiği zaman belirlenir ve ona işaret etmenin özüdür. fiziksel anlam. Bu örnekteki ikinci türev vücudun ivmesidir ve bu da hızdaki değişimin derecesini gösterir.
Fizikte türevleri bulma örnekleri
Türev, herhangi bir fonksiyonun değişim oranının bir göstergesidir, hatta hareketten söz etmiyorsak bile. gerçekten kelimeler. Bunu açıkça göstermek için, işte birkaçı spesifik örnekler. Akım gücünün zamana bağlı olarak değiştiğini varsayalım. sonraki yasa: BEN= 0,4t2 .İşlemin 8. saniyesi sonunda bu parametrenin değiştiği hızın değerini bulmak gerekmektedir. Denklemden de anlaşılabileceği gibi istenen değerin sürekli arttığına dikkat edin.
Çözmek için fiziksel anlamı daha önce tartışılan ilk türevi bulmak gerekir. Burada dI/ dt = 0,8 T. Sonra onu bulacağız T=8 , mevcut değişikliklerin meydana gelme hızının şuna eşit olduğunu buluyoruz: 6,4 A/ C. Burada akım gücünün amper cinsinden ve buna göre zamanın saniye cinsinden ölçüldüğü düşünülmektedir.
Her şey değiştirilebilir
Görünür Dünya Maddeden oluşan, sürekli değişime uğrayan, hareket halinde olan ve içinde akan çeşitli süreçler. Bunları tanımlamak için en çok kullanabilirsiniz farklı parametreler. Bir bağımlılıkla birleşiyorlarsa, matematiksel olarak değişikliklerini açıkça gösteren bir fonksiyon biçiminde yazılırlar. Ve hareketin olduğu yerde (hangi biçimde ifade edilirse edilsin), şu anda fiziksel anlamını ele aldığımız bir türev de vardır.
Bu vesileyle sonraki örnek. Diyelim ki kanuna göre vücut ısısı değişiyor T=0,2 T 2 . 10. saniyenin sonunda ısınma oranını bulmalısınız. Sorun, önceki durumda anlatılana benzer bir şekilde çözülür. Yani türevi bulup değeri yerine koyarız. T= 10 , alıyoruz T= 0,4 T= 4. Bu, nihai cevabın saniyede 4 derece olduğu anlamına gelir, yani derece cinsinden ölçülen ısınma işlemi ve sıcaklık değişimi tam olarak bu hızda gerçekleşir.
Pratik sorunları çözme
Tabii ki, gerçek hayatta her şey olduğundan çok daha karmaşıktır. teorik problemler. Pratikte niceliklerin değeri genellikle bir deney sırasında belirlenir. Bu durumda ölçümler sırasında belirli bir hatayla okuma veren aletler kullanılır. Bu nedenle, hesaplama yaparken parametrelerin yaklaşık değerleriyle uğraşmanız ve uygunsuz sayıların yuvarlanmasına ve diğer basitleştirmelere başvurmanız gerekir. Bunu dikkate aldıktan sonra, türevin fiziksel anlamı ile ilgili problemlere, bunların sadece belirli olduğunu dikkate alarak devam edelim. matematiksel model Doğada meydana gelen karmaşık süreçler.
Patlama
Bir volkanın patladığını hayal edelim. Ne kadar tehlikeli olabilir? Bu konuyu açıklığa kavuşturmak için birçok faktörün dikkate alınması gerekir. Bunlardan birini dikkate almaya çalışacağız.
“Ateş canavarı”nın ağzından taşlar, çıktıkları andan itibaren bir başlangıç hızına sahip olacak şekilde dikey olarak yukarıya doğru fırlatılır.
İstenilen değeri bulmak için metre cinsinden ölçülen H yüksekliğinin diğer değerlere bağımlılığı için bir denklem hazırlayacağız. Bunlar başlangıç hızını ve süresini içerir. İvme değerinin bilindiğini ve yaklaşık olarak 10 m/s 2'ye eşit olduğunu düşünüyoruz.
Kısmi türev
Şimdi bir fonksiyonun türevinin fiziksel anlamını biraz farklı bir açıdan ele alalım, çünkü denklemin kendisi bir değil birden fazla değişken içerebilir. Örneğin, önceki görev Bir volkanın kraterinden atılan taşların yükseliş yüksekliğinin bağımlılığı yalnızca zaman özelliklerindeki bir değişiklikle değil aynı zamanda değerle de belirlendi. Başlangıç hızı. İkincisi sabit, sabit bir değer olarak kabul edildi. Ancak tamamen farklı koşullara sahip diğer problemlerde her şey farklı olabilir. Bağlı olduğu miktarlar ise karmaşık fonksiyon, birkaç hesaplama aşağıdaki formüllere göre yapılır.
Sık türevin fiziksel anlamı olağan durumda olduğu gibi belirlenmelidir. Bu, değişkenin parametresi arttıkça belirli bir noktada bir fonksiyonun değişim hızıdır. Diğer tüm bileşenler sabit olarak alınacak, yalnızca biri değişken olarak kabul edilecek şekilde hesaplanır. Sonra her şey olağan kurallara göre olur.
Türevin fiziksel anlamının anlaşılması, kafa karıştırıcı çözüm örnekleri ve karmaşık problemler Bu tür bilgilerin bulunabileceği cevabı vermek zor değildir. Aracın hızına bağlı olarak yakıt tüketimini açıklayan bir fonksiyonumuz varsa, benzin tüketiminin hangi parametrelerde en az olacağını hesaplayabiliriz.
Tıpta bir kişinin nasıl tepki vereceğini tahmin etmek mümkündür insan vücudu doktor tarafından reçete edilen bir ilaçla. İlacın alınması çeşitli fizyolojik göstergeleri etkiler. Bunlar değişiklikleri içerir tansiyon, nabız, vücut ısısı ve çok daha fazlası. Hepsi alınan doza bağlıdır ilaç. Bu hesaplamalar, hem olumlu belirtilerde hem de hastanın vücudundaki değişiklikleri ölümcül şekilde etkileyebilecek istenmeyen kazalarda tedavinin gidişatını tahmin etmeye yardımcı olur.
Kuşkusuz elektrik mühendisliği, elektronik, tasarım ve inşaat başta olmak üzere teknik konularda türevin fiziksel anlamını anlamak önemlidir.
Fren mesafeleri
Bir sonraki problemi ele alalım. Birlikte hareket etmek sabit hız Köprüye yaklaşan otomobil, sürücünün fark etmesi üzerine girişe 10 saniye kala fren yapmak zorunda kaldı. yol işareti 36 km/s'yi aşan hızlarda hareketi yasaklıyor. Fren mesafesi S = 26t - t2 formülüyle tanımlanabiliyorsa sürücü kuralları çiğnedi mi?
İlk türevi hesapladıktan sonra hız için bir formül buluyoruz ve v = 28 - 2t elde ediyoruz. Daha sonra yerine koyarız belirtilen ifade değer t=10.
Bu değer saniye cinsinden ifade edildiği için hız 8 m/s yani 28,8 km/saat çıkmaktadır. Bu, sürücünün zamanında fren yapmaya başladığını ve trafik kurallarını ihlal etmediğini, dolayısıyla tabelada belirtilen hız sınırını anlamayı mümkün kılar.
Bu da türevin fiziksel anlamının önemini kanıtlar. Bu sorunu çözmenin bir örneği, bu kavramın yaşamın çeşitli alanlarındaki kullanımının genişliğini göstermektedir. Günlük durumlar dahil.
Ekonomide türev
19. yüzyıla kadar iktisatçılar, ister emek verimliliği ister üretilen ürünlerin fiyatı olsun, çoğunlukla ortalamalarla çalışıyordu. Ancak bir noktadan sonra bu alanda etkili tahminler yapabilmek için sınır değerler daha da gerekli hale geldi. Bunlar marjinal faydayı, geliri veya maliyetleri içerebilir. Bunu anlamak, tamamen yeni bir aracın yaratılmasına ivme kazandırdı. ekonomik araştırma Yüz yıldan fazla bir süredir var olan ve gelişen.
Minimum ve maksimum gibi kavramların hakim olduğu bu tür hesaplamaları yapmak için türevin geometrik ve fiziksel anlamını anlamak yeterlidir. Yaratıcılar arasında teorik temel Bu disiplinler arasında W. S. Jevons, K. Menger ve diğerleri gibi önde gelen İngiliz ve Avusturyalı iktisatçılar bulunmaktadır. Elbette ekonomik hesaplamalarda sınır değerlerin kullanılması her zaman uygun değildir. Ve örneğin, üç aylık raporlar mutlaka mevcut şemaya uymayabilir, ancak yine de böyle bir teorinin uygulanması birçok durumda yararlı ve etkilidir.
Avogadro yasası: saat sabit basınç Sıcaklık ve sıcaklıkta eşit hacimdeki gazlar aynı sayıda molekül içerir.
İzotermal süreç
6.Avogadro yasasının temel sonuçlarını formüle edin. Hangi koşullar normal kabul edilir ve bu koşullar altında gazın molar hacmi nedir?
Avogadro yasasının bir sonucu: Aynı koşullar altında herhangi bir gazın bir molü aynı hacmi kaplar. Özellikle ne zaman normal koşullar, yani 0°C (273 K) ve 101,3 kPa'da 1 mol gazın hacmi 22,4 litredir. Bu hacme gazın molar hacmi Vm denir.
7. Bir gazın diğer bir gaza göre göreceli yoğunluğunu ne karakterize eder? Gaz yoğunluğu nasıl hesaplanır ve fiziksel anlamı nedir?
Kütle oranı eşit hacimler Aynı koşullar altındaki iki gaza, bir gazın diğerine göre yoğunluğu denir;
8.Boyle-Mariotte ve Gay-Lussac yasalarını formüle edip matematiksel ifadelerini yazınız.
Boyle-Mariotte yasası, sabit sıcaklıkta belirli bir miktarda gazın basıncı p ile hacmi V arasındaki ilişkiyi yansıtır: sabit sıcaklıkta, belirli bir gaz kütlesi tarafından üretilen basınç, gazın hacmiyle ters orantılıdır: pV = sabit. Başka bir deyişle, bir gaz p 1 ve V 1 parametrelerine sahip bir durumdan p 2 ve V 2 parametrelerine sahip bir duruma (T, n = sabit) geçtiğinde, aşağıdaki koşul karşılanır: p 1 V 1 = p 2 V2.
Hesaplamalarda bu oran kullanılır.
Gay-Lussac yasası, V gazının hacmini T sıcaklığına (p = sabitte) bağlar: sabit basınçta, gazın hacmi mutlak sıcaklıkla doğru orantılı olarak değişir:
P 
Hesaplamalarda ilişki genellikle kullanılır
9. Kombine bir formül oluşturun gaz kanunu ve matematiksel ifadesini yazınız. Hangi hesaplamalarda kullanılır?
Boyle-Mariotte, Gay-Lussac ve Avogadro prensiplerine dayanarak birleşik gaz uzaklaştırılır:
= sabit Hesaplamalar için aşağıdaki oran kullanılır: . Yasanın fiziksel anlamı şu şekildedir: Durum 1'den durum 2'ye geçiş sırasında p, V, T parametrelerinden herhangi birinde meydana gelen bir değişiklik, diğer parametrelerde de bir değişikliğe yol açar, ancak ilişki 
- değer sabittir. T = const'ta (T 1 = T 2) Boyle-Mariotte yasasını (p 1 V 1 = p 2 V 2) ve p = const'ta (p 1 = p 2) - Gay'i elde ettiğimiz görülebilir. -Lussac-Charles yasası 
yani bu yasalar birleşik gaz yasasının özel bir durumudur. Birleşik değer, bir durumdan diğerine geçiş sırasında gaz parametrelerini hesaplamak için kullanılır ve çoğu zaman bu durumlardan biri standart koşullara karşılık gelir. Standart koşullar 101325 Pa (1 atm) basınç ve 273,15 K (0 °C) sıcaklık olarak alınmıştır. Hesaplamalar için genellikle yaklaşık değerler kullanılır: 1 10 s Pa ve 273 K.
10.Clayperon-Mendeleev denklemini yazın. Evrensel gaz sabitinin fiziksel anlamı nedir? Hangi değerleri alabilir ve değeri neye bağlıdır?
Birleşik gaz kanunu herhangi bir gaz miktarı için geçerlidir. İçin Ideal gaz miktar 1 mol oranı 
R ile gösterilir. Bu miktar temel bir fiziksel sabittir ve evrensel (molar) gaz sabiti olarak adlandırılır. 1 mol gaz için pV m = RT ve n mol için pV = nRT. N dikkate alındığında ortaya çıkan denklem şu şekli alır:
pV = 
RT.
Son denklem Mendeleev-Clapeyron denklemi olarak bilinir ve çoğunlukla hesaplamalarda kullanılır. Bir maddenin basıncı, hacmi, sıcaklığı ve miktarı arasındaki ilişkiyi kurar. Mendeleev-Clapeyron denklemi ideal bir gaz için geçerlidir, ancak gerçek gazların parametrelerinin normale yaklaşan fiziksel koşullar altında veya daha kesin olarak çok yüksek olmayan basınçlarda ve çok düşük sıcaklıklarda hesaplanmasına izin verir.
R=8,32*Pa*m3 /mol*K
Bir fonksiyonun türevi parlak fikirdir diferansiyel hesap Newton ve Leibniz'in, eğer daha derinlemesine bakarsanız, çok belirgin bir fiziksel anlamı vardır.
