Maxwell denklemlerinde ilerleyen dalgalar. Maxwell denklemleri

Herhangi salınım devresi enerji yayar. Değişen bir elektrik alanı, çevredeki alanda alternatif bir manyetik alanı harekete geçirir ve bunun tersi de geçerlidir. Matematiksel denklemler Manyetik ve elektrik alanlar arasındaki ilişkiyi açıklayan Maxwell tarafından türetilmiş ve onun adını taşımaktadır. Maxwell denklemlerini yazalım diferansiyel form elektrik yükünün olmadığı durum için () ve akımlar ( J= 0 ):

ve miktarları sırasıyla elektrik ve manyetik sabitlerdir ve ışığın boşluktaki hızıyla şu bağıntı ile ilişkilidir:

Sabitler, homojen ve izotropik olarak kabul edeceğimiz ortamın elektriksel ve manyetik özelliklerini karakterize eder.

Yüklerin ve akımların yokluğunda statik elektrik ve manyetik alanların varlığı imkansızdır. Bununla birlikte, alternatif bir elektrik alanı bir manyetik alanı harekete geçirir ve bunun tersi de alternatif bir manyetik alan, bir elektrik alanı yaratır. Bu nedenle, Maxwell denklemlerinin boşlukta, yüklerin ve akımların olmadığı, elektrik ve manyetik alanların ayrılmaz bir şekilde birbirine bağlı olduğu çözümler vardır. Maxwell'in teorisi bu ikisini birleştiren ilk teoriydi. temel etkileşimler, daha önce bağımsız kabul ediliyordu. Bu nedenle şimdi konuşuyoruz elektromanyetik alan.

Devredeki salınım sürecine, onu çevreleyen alanda bir değişiklik eşlik eder. Çevreleyen boşlukta meydana gelen değişiklikler noktadan noktaya belirli bir hızla yayılır, yani salınım devresi kendisini çevreleyen boşluğa elektrik enerjisi yayar. manyetik alan.

Ne zaman kesinlikle harmonik değişim zaman vektörleri ve elektromanyetik dalgaya monokromatik denir.

Maxwell denklemlerinden vektörler için dalga denklemlerini elde edelim ve .

Dalga denklemi elektromanyetik dalgalar

Kursun önceki bölümünde belirtildiği gibi rotor (çürük) ve farklılık (böl)- bunlar tarafından gerçekleştirilen bazı farklılaşma işlemleridir belirli kurallar vektörlerin üzerinde. Aşağıda bunlara daha yakından bakacağız.

Denklemin her iki tarafından da rotoru alalım

Bu durumda matematik dersinde kanıtlanmış formülü kullanacağız:

Yukarıda tanıtılan Laplace nerede? Başka bir Maxwell denklemi nedeniyle sağ taraftaki ilk terim sıfırdır:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Hadi ifade edelim çürüme B Maxwell denklemini kullanarak bir elektrik alanı aracılığıyla:

ve bu ifadeyi (2.93)'ün sağ tarafında kullanın. Sonuç olarak şu denkleme ulaşıyoruz:

Bağlantı göz önüne alındığında

ve giriyorum kırılma indisi çevre

Elektrik alan kuvveti vektörünün denklemini şu şekilde yazalım:

(2.69) ile karşılaştırdığımızda dalga denklemini elde ettiğimize inanıyoruz. v- faz hızı ortamdaki ışık:

Rotoru Maxwell denkleminin her iki tarafından almak

ve benzer şekilde hareket ederek manyetik alan için dalga denklemine ulaşırız:

Ortaya çıkan dalga denklemleri, elektromanyetik alanın, faz hızı şuna eşit olan elektromanyetik dalgalar biçiminde var olabileceği anlamına gelir:

Bir ortamın yokluğunda ('de), elektromanyetik dalgaların hızı, ışığın boşluktaki hızına denk gelir.

Elektromanyetik dalgaların temel özellikleri

Eksen boyunca yayılan bir düzlem monokromatik elektromanyetik dalgayı ele alalım. X:

Elde edilen dalga denklemlerinden bu tür çözümlerin var olma olasılığı anlaşılmaktadır. Ancak elektrik ve manyetik alan kuvvetleri birbirinden bağımsız değildir. Aralarındaki bağlantı, (2.99) çözümlerinin Maxwell denklemlerine yerleştirilmesiyle kurulabilir. Diferansiyel çalışma çürüme, bazı vektör alanlarına uygulandı A sembolik olarak bir determinant olarak yazılabilir:

Burada yalnızca koordinata bağlı olan ifadeleri (2.99) değiştirerek X, şunu buluyoruz:

Düzlem dalgaların zamana göre farklılaştırılması şunları sağlar:

Daha sonra Maxwell denklemlerinden şu sonuç çıkar:

Öncelikle elektrik ve manyetik alanların aynı fazda salındığı sonucu çıkar:

Başka bir deyişle ve izotropik ortam,

O zaman seçebilirsiniz koordinat eksenleri vektör eksen boyunca yönlendirilecek şekilde en(Şekil 2.27) :

Pirinç. 2.27. Düzlem elektromanyetik dalgada elektrik ve manyetik alanların salınımları

Bu durumda denklemler (2.103) şu şekli alır:

Bu, vektörün eksen boyunca yönlendirildiği anlamına gelir z:

Başka bir deyişle, elektrik ve manyetik alan vektörleri birbirine diktir ve her ikisi de dalga yayılma yönüne diktir. Bu gerçek dikkate alınarak denklemler (2.104) daha da basitleştirilmiştir:

Bu, dalga vektörü, frekans ve hız arasındaki olağan ilişkiye yol açar:

alan salınımlarının genlikleri arasındaki bağlantının yanı sıra:

Bağlantının (2.107) yalnızca aşağıdakiler için geçerli olmadığını unutmayın: maksimum değerler Dalganın elektrik ve manyetik alan kuvveti vektörlerinin büyüklüklerinin (genlikleri), aynı zamanda mevcut olanlar için de - herhangi bir zamanda.

Dolayısıyla Maxwell denklemlerinden elektromanyetik dalgaların boşlukta ışık hızında yayıldığı sonucu çıkıyor. O zamanlar bu sonuç büyük bir etki yarattı. Sadece elektrik ve manyetizmanın olmadığı ortaya çıktı çeşitli belirtiler aynı etkileşim. Tüm ışık olayları, optikler de elektromanyetizma teorisinin konusu haline geldi. İnsanların elektromanyetik dalgaları algılamasındaki farklılıklar frekansları veya dalga boylarıyla ilgilidir.

Elektromanyetik dalga ölçeği, sürekli bir frekans (ve dalga boyları) dizisidir. elektromanyetik radyasyon. Maxwell'in elektromanyetik dalgalar teorisi, doğada çeşitli vibratörler (kaynaklar) tarafından oluşturulan çeşitli uzunluklarda elektromanyetik dalgaların bulunduğunu tespit etmemizi sağlar. Elektromanyetik dalgaların nasıl üretildiğine bağlı olarak çeşitli frekans aralıklarına (veya dalga boylarına) ayrılırlar.

Şek. Şekil 2.28 elektromanyetik dalgaların ölçeğini göstermektedir.

Pirinç. 2.28. Elektromanyetik dalga ölçeği

Dalga aralıklarının olduğu görülebilir. çeşitli türler birbiriyle örtüşür. Dolayısıyla bu uzunlukta dalgalar elde edilebilir çeşitli şekillerde. Hepsi salınan yüklü parçacıklar tarafından üretilen elektromanyetik dalgalar olduğundan aralarında temel bir fark yoktur.

Maxwell denklemleri de şu sonuca varıyor: çaprazlık Vakumdaki (ve izotropik bir ortamda) elektromanyetik dalgalar: elektrik ve manyetik alan kuvveti vektörleri birbirine ve dalga yayılma yönüne diktir.

Ek Bilgiler

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Dalga denklemi. Fiziksel Ansiklopediden materyal.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Maxwell denklemleri. Videolu dersler.

http://elementy.ru/trefil/24 – Maxwell denklemleri. "Elementler" den malzeme.

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Maxwell denklemleri hakkında çok kısaca.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Maxwell denklemleri ve fiziksel anlamları.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri hakkında kısaca.

Elektromanyetik dalgalar için Doppler etkisi

Biraz içeri girsin eylemsizlik sistemi geri sayım İLE Düzlem elektromanyetik dalga yayılır. Dalga fazı şu şekle sahiptir:

Başka bir eylemsiz çerçevede gözlemci İLE", ilkine göre bir hızda hareket ediyor V eksen boyunca X, bu dalgayı da gözlemliyor ancak farklı koordinatlar ve zaman kullanıyor: t",r". Referans sistemleri arasındaki bağlantı Lorentz dönüşümleri ile verilmektedir:

Bu ifadeleri faz ifadesinde yerine koyalım, aşamayı almak için Hareketli bir referans çerçevesindeki dalgalar:

Bu ifade şu şekilde yazılabilir:

Nerede ve - hareketli referans çerçevesine göre döngüsel frekans ve dalga vektörü. (2.110) ile karşılaştırıldığında frekans ve dalga vektörü için Lorentz dönüşümlerini buluruz:

Boşluktaki elektromanyetik dalga için

Dalga yayılma yönünün ilk referans çerçevesindeki eksenle açı yapmasına izin verin X:

Daha sonra hareketli referans çerçevesindeki dalganın frekansının ifadesi şu şekli alır:

işte bu Elektromanyetik dalgalar için Doppler formülü.

Eğer , gözlemci radyasyon kaynağından uzaklaşır ve algıladığı dalga frekansı azalır:

Eğer öyleyse, gözlemci kaynağa yaklaşır ve bunun için radyasyon frekansı artar:

Hızlarda V<< с paydalardaki karekökün birlikten sapmasını ihmal edebiliriz ve bir ses dalgasındaki Doppler etkisi için formüllere (2.85) benzer formüllere ulaşırız.

Elektromanyetik dalga için Doppler etkisinin önemli bir özelliğine dikkat çekelim. Hareketli referans çerçevesinin hızı burada gözlemcinin ve kaynağın göreceli hızının rolünü oynar. Ortaya çıkan formüller otomatik olarak Einstein'ın görelilik ilkesini karşılıyor ve deneyler yardımıyla tam olarak neyin hareket ettiğini (kaynak mı yoksa gözlemci mi) belirlemek imkansız. Bunun nedeni, elektromanyetik dalgalar için ses dalgası açısından hava ile aynı rolü oynayacak bir ortamın (eter) bulunmamasıdır.

Ayrıca elektromanyetik dalgalar için elimizde olduğunu unutmayın. enine Doppler etkisi. Radyasyon frekansı değiştiğinde:

ses dalgaları için ise dalganın yayılmasına dik yöndeki hareket frekans kaymasına yol açmadı. Bu etki, hareketli bir referans çerçevesindeki göreli zaman genişlemesiyle doğrudan ilişkilidir: Roket üzerindeki bir gözlemci radyasyon frekansında bir artış görür veya genel durum, Dünya'da meydana gelen tüm süreçlerin hızlanması.

Şimdi dalganın faz hızını bulalım.

hareketli bir referans çerçevesinde. Dalga vektörü için Lorentz dönüşümlerinden elimizde:

Buradaki oranı yerine koyalım:

Şunu elde ederiz:

Buradan hareketli referans çerçevesinde dalga hızını buluruz:

Hareketli referans çerçevesindeki dalganın hızının değişmediğini ve hala ışık hızına eşit olduğunu bulduk. İle. Ancak şunu da belirtelim ki, doğru hesaplamalarla bunun gerçekleşmesi kaçınılmazdır, çünkü boşluktaki ışık hızının (elektromanyetik dalgalar) değişmezliği, Lorentz dönüşümlerine zaten "dahil edilmiş" görelilik teorisinin ana varsayımıdır. koordinatlar ve zaman için kullandık (3.109).

Örnek 1. Foton roketi hızla hareket ediyor V = 0,9 sn optik aralıkta (dalga boyu) Dünya'dan gözlemlenen bir yıldıza doğru ilerliyor µm). Astronotların gözlemleyeceği radyasyonun dalga boyunu bulalım.

Dalga boyu titreşim frekansıyla ters orantılıdır. Işık kaynağına ve gözlemciye yaklaşma durumunda Doppler etkisi için formül (2.115)'ten dalga boyu dönüşümü yasasını buluyoruz:

buradan şu sonuç çıkıyor:

Şek. Şekil 2.28'de astronotlar için yıldızın radyasyonunun ultraviyole aralığına kaydığını tespit ediyoruz.

Elektromanyetik alanın enerjisi ve momentumu

Hacimsel enerji yoğunluğu w elektromanyetik dalga hacimsel elektrik yoğunluklarından oluşur ve manyetik alanlar.

Şimdi biraz matematik yapmakta fayda var; Maxwell denklemlerini daha basit bir biçimde yazacağız. Bunları karmaşık hale getirdiğimizi düşünebilirsiniz ama sabırlı olursanız çok basit olduklarını bir anda keşfedeceksiniz. Her ne kadar Maxwell denklemlerinin her birine oldukça alışmış olsanız da hâlâ bir araya getirilmesi gereken pek çok parça var. Biz de tam olarak bunu yapacağız.

En basit denklemlerle başlayalım. Bunun bir şeyin rotoru olduğunu ima ettiğini biliyoruz. Bu nedenle, eğer yazdıysanız

o zaman Maxwell denklemlerinden birini zaten çözdüğünüzü düşünün. (Bu arada, herhangi bir skaler alan olan if vektörü için bunun doğru kaldığını unutmayın, çünkü rotasyonel sıfırdır ve hala aynıdır. Bunun hakkında daha önce konuşmuştuk.)

Şimdi Faraday yasasına bakalım Çünkü herhangi bir akım veya yük içermez. Olarak yazarsak ve göre türev alırsak Faraday yasasını şu şekilde yeniden yazabiliriz:

.

Önce zamana ya da koordinatlara göre türev alabildiğimiz için bu denklemi şu şekilde de yazabiliriz:

. (18.17)

Bunun rotasyoneli sıfır olan bir vektör olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla böyle bir vektör bir şeyin gradyanıdır. Elektrostatik yaparken, bunun bir şeyin eğimi olduğuna karar verdik. Bu (teknik kolaylık açısından eksi) den bir gradyan olsun. Aynısını şunun için de yapacağız; inanıyoruz

. (18.18)

Aynı notasyonu kullanıyoruz, yani zamanla hiçbir şeyin değişmediği ve kaybolmadığı elektrostatik durumda, eski notasyonumuz olacak. Yani Faraday yasası şu şekilde temsil edilebilir:

. (18.19)

Maxwell denklemlerinden ikisini zaten çözdük ve elektromanyetik alanları tanımlamak için dört potansiyel fonksiyonun gerekli olduğunu bulduk: bir skaler potansiyel ve elbette üç fonksiyonu temsil eden bir vektör potansiyel.

Yani parçayı tıpkı . ile değiştirdiğimizde ne olur? Genel olarak özel önlemler alınmazsa değişmesi gerekecekti. Ancak her zaman değişirsek ve kurallara göre birlikte olursak, alanları etkilemeyecek şekilde ve (yani fiziği değiştirmeden) değiştiğini varsayabiliriz.

. (18.20)

O zaman ne , ne de denklem (18.19)'dan elde edilen değişmez.

Daha önce statik denklemleri bir şekilde basitleştirmeyi seçmiştik. Şimdi bunu yapmayacağız; farklı seçimler yapmak istiyoruz. Ancak bunun hangi seçim olduğunu söylemeden önce biraz bekleyin, çünkü daha sonra bu seçimin neden yapıldığı açıklığa kavuşacaktır.

Şimdi potansiyelleri ve kaynakları ilişkilendiren geri kalan iki Maxwell denklemine döneceğiz. Hem akımlardan hem de yüklerden belirleme yapabildiğimiz için, her zaman (18.16) ve (18.19) denklemlerinden elde edebiliriz ve Maxwell denklemlerinin farklı bir formuna sahip oluruz.

Denklemi (18.19) yerine koyarak başlayalım; aldık

;

bu aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:

. (18.21)

Bu, kaynaklara bağlanan ilk denklemdir.

Son denklemimiz en zoru olacak. Maxwell'in dördüncü denklemini yeniden yazarak başlayacağız:

,

ve sonra (18.16) ve (18.19) denklemlerini kullanarak bunu potansiyeller cinsinden ifade edin:

.

İlk terim cebirsel özdeşlik kullanılarak yeniden yazılabilir; aldık

. (18.22)

Çok basit değil!

Neyse ki artık keyfi olarak sapmayı seçme özgürlüğümüzü kullanabiliriz. Şimdi for ve for denklemlerinin ayrı fakat aynı forma sahip olmasını sağlayacak bir seçim yapacağız. Bunu seçerek yapabiliriz

. (18.23)

Bunu yaptığımızda (18.22) denklemindeki ikinci ve üçüncü terimler birbirini götürür ve çok daha basit hale gelir:

. (18.24)

Ve denklemimiz (18.21) aynı formu alır:

. (18.25)

Ne güzel denklemler! Her şeyden önce mükemmeller çünkü iyi ayrılmışlar - yük yoğunluğu ve akım. Sonra, sol taraf biraz saçma görünse de - Laplace ile birlikte, onu açtığımızda şunu buluyoruz:

. (18.26)

Bu denklem , , , 'de hoş bir simetriye sahiptir; burada elbette gerekli çünkü zaman ve koordinatlar farklı; farklı birimleri var.

Maxwell denklemleri bizi ve potansiyelleri için yeni bir denklem türüne götürdü, ancak bu denklem dört fonksiyonun tümü için aynı matematiksel formdaydı, ve. Bu denklemleri çözmeyi öğrendiğimize göre hem ve'den elde edebiliriz. Maxwell denklemlerine tam olarak eşdeğer olan başka bir elektromanyetik yasa biçimine ulaşıyoruz; çoğu durumda ele alınmaları çok daha kolaydır. Ve

Maxwell denklemleri yükün korunumu yasasını ifade eden bir süreklilik denklemi içerir. 3. Maxwell denklemleri raporun tüm eylemsiz sistemlerinde sağlanmaktadır. 4. Maxwell denklemleri simetriktir.

6.3.4. Elektromanyetik dalgalar

Maxwell denklemlerinden, elektromanyetik alanın bağımsız olarak var olabileceği sonucu çıkar. elektrik ücretleri ve akımlar. Değişen elektromanyetik alan dalga karakterine sahiptir ve boşlukta elektromanyetik dalgalar şeklinde ışık hızında yayılır.

Elektromanyetik dalgaların varlığı, vektörler için dalga denklemleriyle tanımlanan Maxwell denklemlerinden kaynaklanır ve sırasıyla:

, (5.19)

Manyetik alanın zamanındaki bir değişiklik, alternatif bir elektrik alanını harekete geçirir ve bunun tersine, bir elektrik alanının zamanındaki bir değişiklik, alternatif bir manyetik alanı harekete geçirir. Alternatif manyetik alan tarafından indüklenen girdap elektrik alanı , vektörlü formlar solak sistem (Şekil 7.2) ve elektrik alanı tarafından indüklenen girdap manyetik alanı , vektörlü formlar sağ vida sistemi (Şekil 5.2).

Sürekli olarak birbirleriyle dönüşümleri meydana gelir, bu da bunu mümkün kılar

yüklerin ve akımların yokluğunda uzay ve zamanda var olur ve yayılır.

Böylece Maxwell'in teorisi yalnızca elektromanyetik dalgaların varlığını öngörmekle kalmadı, aynı zamanda onların en önemli özelliklerini de ortaya koydu:

Nötr, iletken olmayan ve ferromanyetik olmayan bir ortamda elektromanyetik dalganın yayılma hızı

(5.20)

burada c ışığın boşluktaki hızıdır.

Pirinç. 5.3 Şek. 5.4

bir bağlantı var, yani: E = vB veya
. (5.21)

Elektromanyetik dalgaların varlığı Maxwell'in ışığın dalga doğasını açıklamasına olanak sağladı. Işık elektromanyetik dalgalardır.

6.3.5. Elektromanyetik alan enerjisinin akışı

Elektromanyetik dalgalar uzay ve zamanda yayıldıkça enerjiyi de beraberlerinde taşırlar. Karşılıklı olarak dönüşen elektrik ve manyetik alanlarda bulunur.

Hacimsel elektrik alan enerji yoğunluğu

, (5.22)

burada E elektrik alan kuvvetidir.

Hacimsel manyetik alan enerji yoğunluğu

, (5.23)

burada B manyetik alan indüksiyonudur.

Sonuç olarak, elektromanyetik dalganın zamanda keyfi bir anda bulunduğu uzay bölgesindeki elektromanyetik alanın hacimsel enerji yoğunluğu,

K= w e + w m =
. (5.24)

Veya E = cB olduğu gerçeğini dikkate alarak ve
, sahibiz

w =  o E 2 , (5.25)

veya
. (5.26)

Bir elektromanyetik dalganın birim zamanda birim alandan aktardığı enerjiye elektromanyetik enerji akısı yoğunluğu denir. Elektromanyetik enerji akışı yoğunluk vektörüne Poynting vektörü denir.

Poynting vektör yönü elektromanyetik dalganın yayılma yönüne, yani enerji aktarım yönüne denk gelir. Enerji aktarım hızı bu dalganın faz hızına eşittir.

Bir elektromanyetik dalga yayılırken yayılma yönüne dik, örneğin X ekseni boyunca belirli bir S alanından geçerse, o zaman belirli bir dt süresi içinde dalga dx = cdt mesafesini kat edecektir; burada c dalganın yayılma hızıdır.

Bir elektromanyetik dalganın hacimsel enerji yoğunluğundan beri

daha sonra hacimde bulunan elektromanyetik dalganın toplam enerjisi dW

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

Sonuç olarak, dt süresi boyunca S alanından geçen elektromanyetik enerjinin akı yoğunluğu Poynting vektörü elektromanyetik dalganın yayılma hızına dik olan yönde çakışır. Ve

. (5.29)

yani

Klasik elektrodinamiğin temel denklemleri (Maxwell'in denklem sistemi) haklı olarak genel kabul görmüş denklemlerdir ve fizik, radyofizik ve elektronikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu denklemler genel fizik yasalarından elde edilmemişti, bu da onların mutlak olarak doğru kabul edilmesine izin vermiyordu ve onlarla çeşitli manipülasyonlara izin veriyordu. Ancak bu denklemler kesindir ve fiziğin genel prensiplerinden ve vektör cebirinin temellerinden türetilmiştir. 1. Yasanın sonuçlanması elektromanyetik indüksiyon

Faraday

Faraday'ın elektromanyetik indüksiyon yasası, bir nokta elektrik yüküne etki eden elektromanyetik kuvvetlerin denkleminden elde edilebilir:

Bu durum, yüksek frekanslı elektrik akımına sahip bir iletkende, birincil elektrik alanından bir elektrona etki eden kuvvet, elektronların eylemsizlik kuvveti ile antifazda olacak kadar hızlı değiştiğinde meydana gelir.

Eşitlik (2)'de yükü azaltalım ve bu eşitliğin her iki tarafına da “rotor” işlemini uygulayalım: Örneğin eksen olsun z B eksenel vektörün yönü ile çakışır , yarıçap vektörü şöyle görünecektir: R =x Ben J +y =x , Nerede J – koordinat eksenleri yönünde birim vektörler X, Nerede sen, sırasıyla. Radyal vektör , yarıçap vektörü şöyle görünecektir: eksen boyunca üçüncü bir bileşeni yoktur Örneğin eksen olsun dolayısıyla (3)'teki ikinci terim –2(∂)'ye eşittir. B /∂t). Denklem (3)'teki ilk terim ∂'ye eşittir B /∂t. Sonuç olarak, son eşitliğin sağ tarafını dönüştürdükten sonra şunu elde ederiz:

Yani, elektromanyetik kuvvet denkleminden (1), manyetik alandan elektrona etki eden kuvvetin, elektrik alanından gelen kuvvetle tamamen dengelendiği durumda, Faraday'ın elektromanyetik indüksiyon yasası (4) aşağıdaki temel yasalardan birini takip eder: elektrodinamik denklemleri.

Denklemler (2) – (4), uzayın belirli bir noktasında bir elektronun mevcut olup olmamasına bağlı değildir. Elektrik ve manyetik alanların elektrik yükünden bağımsızlığının bir sonucu olarak, denklem (4), tek bir elektromanyetik alan olarak temsil edilen, değişen alanların uzay-zamansal özelliklerini yansıtır. Üstelik Faraday yasası (4) yalnızca elektromanyetik indüksiyon yasasını temsil etmekle kalmaz, aynı zamanda elektromanyetik alanın ayrılmaz bir özelliği olan elektrik ve manyetik alanların karşılıklı dönüşümünün temel yasasıdır.

2. Maxwell denkleminin türetilmesi

Maxwell denkleminin türetilmesine geçmeden önce vektör cebirinin başka bir vektör operatörüyle desteklenmesi gerekir.

2.1. Diferansiyel vektör operatörü “rotor”un vektör dönüşümünün ters eylemini gerçekleştiren bir vektör operatörünün tanımı

Diferansiyel vektör operatörü “rotor”, vektörlerin uzayda dönüştürülmesi işlemini ve farklılaşma işlemini gerçekleştirir, yani iki tür eylemi aynı anda gerçekleştiren karmaşık bir operatördür. Bu doğrudan tanımından kaynaklanmaktadır:

,

Nerede A – vektör, =x , J , k – dikdörtgen (Kartezyen) koordinat sisteminin eksenleri yönünde birim vektörler X, sen, Nerede Örneğin eksen olsun, sırasıyla. Bu durumda, "rotor" operatörünün tersi operatör, vektör analizinde tanımlanmaz, ancak gerçekleştirdiği dönüşümlerin her biri prensipte tersinirdir.

Geometrik vektör mekansal dönüşüm illüstrasyonu A vektöre çürük( A) “Rotor” operatörü tarafından gerçekleştirilen, Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.

Pirinç. 1. Bir vektörün geometrik gösterimi A ve “rotor” operatörü tarafından oluşturulan vektör alanı.

2.2. Tanım 1. Vektörlerle temsil edilen birbiriyle ilişkili iki vektör alanı varsa A , Nerede B , uzaysal değişkenlere göre türevleri vardır X, sen, Örneğin eksen olsun(gibi çürüme A Ve çürüme B ) ve zamana göre türevleri, ¶ A /¶ T Ve ¶ B /¶ T ve vektörün türevi A vektörün uzaysal değişkenlerine göre türevlere zaman açısından diktir B ve bunun tersi, vektörün zamana göre türevi B vektörün uzaysal değişkenlerine göre türevlere dik A , o zaman türev alma işlemini etkilemeden vektör alanının uzaysal dönüşümünü gerçekleştiren, geleneksel olarak "operatör" diyeceğimiz bir vektör operatörü vardır. eski haline döndürmek", (ters yönde bükülmüş veya "tersine çevrilebilir rotor") şöyle ki:

, Nerede ; (5)

, Nerede . (5*)

2.3. “Tersine çevrilebilir” vektör operatörünün özellikleri rotor"

2.3.1. "Ters çevrilebilir rotor" vektör operatörü yalnızca bir vektörün türevlerine etki eder.

2.3.2. "Ters çevrilebilir rotor" vektör operatörü, etki ettiği vektörün türevinin önünde bulunur.

2.3.3. Vektör türevlerine ilişkin sabitler ve sayısal katsayılar, vektör operatörlerinin kapsamı dışına çıkarılabilir:

Nerede C- devamlı.

2.3.4. "Tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörü, vektör türevlerinin toplamını içeren denklemin terimlerinin her birine etki eder:

Nerede C, Nerede D- sabitler.

2.3.5. “Ters çevrilebilir rotor” vektör operatörünün sıfır üzerindeki eyleminin sonucu sıfırdır:

Bu durumda, "tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörünün, paragraf 2.3.1'e göre vektör de dahil olmak üzere diğer sabitler üzerindeki etkisinin sonucu tanımlanmamıştır.

2.4. “Ters çevrilebilir rotor” operatörünün kullanımına bir örnek

“Ters çevrilebilir rotor” operatörünü birbirine bağlı vektörler içeren bir denkleme uygulayalım A , Nerede B :

Şimdi “tersinir rotor” operatörünü yeni oluşturulan eşitliğe (**) tekrar uygularsak, şunu elde ederiz:

veya

veya son olarak:

Ters rotor operatörünün ardışık çift (veya herhangi bir çift) uygulaması, orijinal eşitlikle sonuçlanır. Böylece, “tersinir rotor” vektör operatörü, yalnızca birbirine bağlı vektör alanlarının diferansiyel denklemlerinin karşılıklı dönüşümünü gerçekleştirmekle kalmaz, aynı zamanda bu denklemlerin denkliğini de kurar.

Geometrik olarak buna benziyor. "Rotor" operatörü, doğrusal bir vektör alanını farklılaştırır ve bir bakıma bükerek onu orijinal vektör alanına girdap ve dik hale getirir. "Ters çevrilebilir rotor" vektör operatörü, "rotor" operatörü tarafından bükülen girdap alanını, vektörün türeviyle temsil edilen, değişen girdap olmayan bir alana dönüştüren bir vektör dönüşümü gerçekleştirir. zaman. İntegral yapılmadığından vektörün zamana göre türevi, vektörün büyüklüğündeki değişime karşılık gelir. Sonuç olarak, büyüklüğü tek yönde değişen, “rotor” operatörünün uzaysal değişkenlerine dik olan vektörde bir değişiklik elde ederiz. Tersine, "tersine dönen rotor" vektör operatörü, vektörün zaman türevi tarafından temsil edilen girdapsız değişmeyen vektör alanını döndürerek, onu vektörün orijinal zaman türevine dik bir girdap uzamsal vektör alanına dönüştürür. “Tersine çevrilebilir rotor” operatörünün “burulma” yönü, “rotor” operatörünün gerçekleştirdiği dönüş yönünün tersi olduğundan, yeni oluşan girdap alanının işareti zıt (negatif) olacak şekilde seçilmiştir. Yani, "tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörü, "rotor" operatörünün türev vektör alanlarının tüm "uzayı" üzerindeki uzamsal dönüşümünün ters eylemini gerçekleştirir. Aynı zamanda, “tersinir rotor” vektör operatörü, türevine etki ettiği vektörün türevini kendisi almaz. Bu, özdeş bir tersinir vektör dönüşümüyle sonuçlanır.

Vektör analizine, vektörün türevini değil, vektörün kendisini vektörün rotorundan geri yükleyen bir integral vektör operatörünü dahil edersek (geleneksel olarak böyle bir operatöre ters rotor diyelim veya " çürüme-1 "), o zaman böyle bir operatör, ters vektör dönüşümüyle birlikte entegrasyon işlemini aynı anda gerçekleştirmelidir.

Ancak matematiksel entegrasyon işleminin belirsizliği nedeniyle operatör “rotorun” tamamen tersidir. çürüme-1 benzersiz bir ters vektör dönüşümü gerçekleştirmez.

2.5. "Tersine çevrilebilir" vektör operatörünün uygulanması rotor"u fiziksel alanlara

“Tersine çevrilebilir rotor” vektör operatörünü fiziksel vektör alanlarına uygularken, değişkenlerin permütasyonu nedeniyle denklemin sağ ve sol taraflarının boyutunda meydana gelen değişikliğin dikkate alınması gerekir. X, sen, Örneğin eksen olsun, Nerede T dönüştürürken. Koordinatların boyutunu belirtelim – metre ( L) ve zaman ikincidir ( T).

Tanım 2. Fiziksel vektör alanları için "tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörü aşağıdaki şekilde tanımlanır:

Ve ;

(6)

, Nerede . (6*)

Boyutsal ilişkiyi belirtme L/T, sabit olarak v hız boyutuna sahip [m/s], denklemler (6.4) ve (6.4*) şu şekilde temsil edilebilir:

, Nerede ;

(7)

, Nerede .

(7*)

2.6. “Ters çevrilebilir rotor” operatörünün fiziksel alanlara uygulanması

Gerçek fiziksel alanları birbirine bağlayarak, denklem (7), (7*) ile tanımlanan "tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörünü denklem (4)'e uygulayalım. e , Nerede B elektrodinamikte:

;

şu forma dönüşür:

Elektrodinamik sabit " v» alanların büyüklüğüne veya değişim hızına bağlı değildir ve dalga denkleminden de anlaşılacağı gibi dalga yayılma hızına karşılık gelir elektromanyetik etkileşim, C" 2,99792458H 10 8 m/s, buna ışığın boşluktaki hızı da denir.

Yani, Faraday'ın elektromanyetik indüksiyon yasası olan denklem (4)'ten "tersine çevrilebilir rotor" vektör dönüşümü yardımıyla, elektrodinamiğin temel denklemlerinden biri doğal olarak takip eder - Maxwell denklemi (8), her ikisini de takip etmez deneyden veya bilinen fiziksel yasalardan. Denklemler (4) ve (8) birbiriyle ilişkilidir ve fiziksel eşdeğerliklerine karşılık gelen bir vektör dönüşümü kullanılarak birbirine dönüştürülebilir. Bu nedenle, formda oluşturulan bu denklemlerden birinin geçerliliği fizik kanunu(V bu durumda- bu Faraday’ın elektromanyetik indüksiyon yasasıdır (4)) yeterli koşul ikinci denklemin (Maxwell denklemi (8)) eşdeğer bir fizik yasası olarak geçerliliğini ileri sürmek.

2.7. Vektör alanlarının dönüşümü

"Rotor" operatörünün tanımından devam edersek, "ters rotor" vektör operatörünün eylemi, öyle görünüyor ki, Şekil 2'de gösterilen biçimde temsil edilebilir. Şekil 2'de, diferansiyel vektör operatörü "rotor" tarafından vektör dönüşümünden önce ve sonra vektör alanlarının bazı özdeşlikleri varsayılmaktadır.

Bu varsayımı kontrol edelim. Denkleme “Ters çevrilebilir rotor” operatörünü uygulayalım:

, buradan şu sonuç çıkıyor:

Ortaya çıkan eşitlik, diferansiyel vektör operatörü "rotor"un orijinal tanımındaki vektörlerin yönünü değiştirir ki bu kabul edilemez.

Bu yüzden .

“Tersine çevrilebilir rotor” vektör operatörünün aynı vektör alanının türevlerine uygulanması, uygulamadan önceki vektör alanı ile “rotor” operatörünün uygulanmasından sonraki vektör alanı arasındaki temel farkı gösterir. Bu, vektör alanını temsil etme ihtiyacı anlamına gelir A ve vektör alanı çürük( A) birbirine dönüşebilir ama farklı vektör alanları.

Vektör tarafından temsil edilen orijinal vektör alanı A , birincil (neden) dikkate alacağız ve "rotor" operatörünün vektör dönüşümüyle oluşturulan alan, ikincil bir alan ("rotor" operatörünün eyleminin bir sonucu) olarak kabul edilecek ve onu bir alan olarak belirteceğiz. vektörler B .

Pirinç. 2. “Rotor” vektör dönüşümünden önce ve sonra vektör alanlarının tanımlanmasının sonucu. Alanların yönü, Şekil 2'de gösterilen rotor operatörünün orijinal tanımına karşılık gelmemektedir. 1, “sağ vida” “sol vidaya” dönüşür.

Daha sonra ters dönüşüm Bu şekilde tanıtılan gösterimde türev alma işlemini etkilemeyen vektör alanları, Şekil 2'de gösterilen forma sahip olacaktır. 3.

Pirinç. 3. Vektör dönüşümünün tanımı, ters işlem Farklılaşmanın çalışmasını etkilemeyen "rotor". Vektör alanlarının bölünmesi neden-sonuç ilişkileri temelinde gerçekleştirilir. Orijinal alan vektör ile temsil edilir A (neden) ve “rotor” işlemi tarafından oluşturulan alan, vektör ile temsil edilir. B (sonuçlar).

Elektrodinamikte, en basit durumların bazılarında, dönmenin kaybolduğu dönen bir referans çerçevesine geçiş, manyetik alandan gelen kuvvetlerin yokluğuna yol açar ve kuvvet etkisi yalnızca elektrik alanından gelen kuvvetle temsil edilebilir. Ancak bu, hiçbir şekilde manyetik alanın olmadığı veya bunun yerini her zaman bir elektrik alanın alabileceği sonucuna varmaz. Özel durum ayrı olarak alınan vektör alanı izole sistem referans, yalnızca bir elektrik yükünün hareketinin serbestlik derecesiyle sınırlı olduğu bu seçilmiş sistemle ilgilidir.

Uzayda hem doğrusal vektör alanları hem de dönen kapalı vektör alanları mevcut olduğundan ve aynı anda iki referans sisteminde olmak imkansız olduğundan, genel durumda bir koordinat sistemi seçerek bir alanı diğerine indirgemek imkansızdır. Bu alanların tek bir kaynağı vardır; elektrik yükleri. Elektrik yükleri kendi etrafında bir elektrik alanı (çok yönlü vektör alanı) oluşturur ve elektrik yüklerinin hareketi bir manyetik alan (kapalı dairesel vektör alanı) oluşturur. Aynı zamanda doğal olarak düz hareket elektrik yükleri etraflarında dairesel bir manyetik alan oluşturur ve Döner kavşak elektrik yükleri (ve ayrıca elektrik yüklü parçacıkların etrafında dönmesi) kendi ekseni) uzayda, dönme yarıçapı ile sınırlı bir hacimde bulunan, doğrusal bir manyetik alan oluşturur.

2.8. Elektromanyetik etkileşimin yayılma hızı

Vektör alanlarının birbirine dönüşüm hızı, alanların büyüklüğüne veya değişim hızlarına bağlı değildir ve dalga denkleminden de anlaşılacağı gibi, bir elektromanyetik etkileşim dalgasının boş uzayda yayılma hızına karşılık gelir. (vakum), C" 2,99792458Х 10 8 m/s'dir ve bu değere haklı olarak elektrodinamik sabit denir.

Böylece elektrik ve manyetik alanlardaki değişim üç boyutlu uzay, vektörlerin karşılıklı dönüşüm özelliğine sahiptir ve elektrodinamikteki bu özellik Faraday'ın elektromanyetik indüksiyon yasası ile gerçekleştirilir. Böyle bir dönüşümün doğrudan olduğunu düşünürsek, vektör alanlarının ters dönüşümü Maxwell tarafından sezgisel olarak elde edilen ve "tersine çevrilebilir rotor" vektör operatörü kullanılarak elde edilebilen denklem kullanılarak gerçekleştirilir. Elektrik yükü kaynakları olmadan gerçekleştirilen elektrik ve manyetik alanların karşılıklı dönüşümü, aşağıdakilerden biridir. özel türler dalga hareketi - elektromanyetik enerjiyi boş uzayda aktaran enine elektromanyetik dalga mutlak hız alan dönüşümleri. Ancak aynı zamanda, bir elektromanyetik dalganın enerji kaynağı her zaman hızlandırılmış hareketli elektrik yükleridir.

3. Elektromanyetik alan kaynaklarının denklemleri.

Maxwell denklem sisteminin dört temel denkleminden geri kalan ikisi, yalnızca bir elektrik alanı yaratan elektrik yüklerinin doğasında var olduğu gerçeğini ortaya koyar (doğrudan Coulomb yasasından çıkan Gauss teoremi):

ve doğada manyetik yük bulunmadığı gerçeği:

Edebiyat

1. Sokol-Kutilovsky O.L. Yerçekimi ve elektromanyetik kuvvetler. Ekaterinburg, 2005.
2. Sokol-Kutilovsky O.L. Rus fiziği. Ekaterinburg, 2006.
3. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Mühendisler ve teknik kolej öğrencileri için matematik el kitabı (düzenleyen: G. Groshe ve V. Ziegler), M., “Nauka”, 1980.

Sokol-Kutilovsky O.L., Elektrodinamiğin temel denklemlerinin türetilmesi // “Üçlülük Akademisi”, M., El No. 77-6567, 13648, 08/11/2006.

Bir grup diferansiyel denklem. Diferansiyel denklemler Alan vektörlerinin her birinin ayrı ayrı sağlaması gereken , kalan vektörler hariç tutularak elde edilebilir. içermeyen bir alan alanı için ücretsiz masraflar ve akımlar ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), $\overrightarrow(B)$ ve $\overrightarrow(E)$ vektörlerine ilişkin denklemler şu biçimdedir:

Denklemler (1) ve (2), dalga hareketinin sıradan denklemleridir; ışık dalgaları ortamda şuna eşit bir hızla ($v$) yayılır:

Not 1

Elektromanyetik dalganın hızı kavramının yalnızca dalgalarla bağlantılı olarak belirli bir anlam taşıdığı unutulmamalıdır. basit tipörneğin düz. Bu durumda $v$ hızı dalga yayılma hızı değildir. keyfi karar denklemler (1) ve (2), çünkü bu denklemler duran dalga formundaki çözümleri kabul ediyor.

Her zaman dalga teorisiışık temel bir süreç olarak kabul edilir harmonik dalga uzayda ve zamanda. Bu dalganın frekansı $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1) aralığında yer alıyorsa ) (c)$, böyle bir dalga kişide belirli bir rengin fizyolojik hissine neden olur.

İçin şeffaf maddeler dielektrik sabiti $\varepsilon $ genellikle birden büyüktür, $\mu $ ortamının manyetik geçirgenliği neredeyse birliğe eşittir, denklem (3)'e göre $v$ hızının şundan daha az olduğu ortaya çıkar: ışığın boşluktaki hızı. Bilim insanları tarafından ışığın suda yayılması durumunda ilk kez deneysel olarak gösterilen şey Foucault, Nerede Fizeau.

Genellikle belirlenen hız değerinin kendisi değil ($v$), ancak kullandıkları $\frac(v)(c)$ oranıdır. kırılma kanunu . Bu yasaya göre, bir düzlem elektromanyetik dalga iki bölgeyi ayıran bir düzlem sınırına düştüğünde homojen ortam gelme açısının sinüsünün $(\theta )_1$ kırılma açısının sinüsüne oranı $(\theta )_2$ (Şekil 1) sabittir ve dalga hızlarının oranına eşittir iki ortamda yayılma ($v_1\ ve (\v)_2$):

(4) ifadesinin sabit oranının değeri genellikle $n_(12)$ olarak gösterilir. $n_(12)$'ın, dalga cephesinin (dalga) birinci ortamdan ikinciye geçerken deneyimlediği, ikinci maddenin birinciye göre göreceli kırılma indisi olduğunu söylüyorlar.

Şekil 1.

Tanım 1

Mutlak kırılma indisi$n$ ortamının (basitçe kırılma indisi), bir maddenin boşluğa göre kırılma indisidir:

Olan bir madde daha yüksek oran kırılma optik olarak daha yoğundur. Göreli gösterge iki maddenin ($n_(12)$) kırılması onların mutlak anlamda($n_1,n_2$) şunun gibi:

Maxwell'in formülü

Tanım 2

Maxwell, bir ortamın kırılma indisinin dielektrik ve manyetik özellikler. Işığın yayılma hızının yerine denklem (3)'teki ifadeyi formül (5)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

\ \

İfade (7) denir Maxwell'in formülü. Optikte dikkate alınan manyetik olmayan şeffaf maddelerin çoğu için, maddenin manyetik geçirgenliği yaklaşık olarak düşünülebilir. bire eşit bu nedenle eşitlik (7) sıklıkla şu biçimde kullanılır:

Genellikle $\varepsilon$ olduğu varsayılır sabit değer. Ancak Newton'un ışığın ayrışması üzerine prizma ile yaptığı deneyleri çok iyi biliyoruz; bu deneyler sonucunda kırılma indisinin ışığın frekansına bağlı olduğu ortaya çıkıyor. Dolayısıyla Maxwell formülünün geçerli olduğunu varsayarsak şunu kabul etmeliyiz: geçirgenlik Madde alanın frekansına bağlıdır. $\varepsilon$ ile alan frekansı arasındaki bağlantı ancak dikkate alınırsa açıklanabilir atom yapısı maddeler.

Bununla birlikte, bir maddenin sabit dielektrik sabitine sahip Maxwell formülünün bazı durumlarda iyi bir yaklaşım olarak kullanılabileceği söylenmelidir. Bir örnek basit gazlar olabilir kimyasal yapıönemli bir ışık dağılımının olmadığı, bu da optik özelliklerin renge zayıf bir bağımlılığı anlamına gelir. Formül (8) ayrıca sıvı hidrokarbonlar için de iyi çalışır. Öte yandan çoğunluk katılarörneğin cam ve çoğu sıvı, $\varepsilon$ sabitini düşünürsek formül (8)'den güçlü bir sapma sergiler.

Örnek 1

Egzersiz yapmak: Konsantrasyon nedir serbest elektronlarİyonosferde, $\nu$ frekansına sahip radyo dalgalarının kırılma indisinin $n$'a eşit olduğu biliniyorsa.

Çözüm:

Sorunu çözmek için Maxwell formülünü temel alalım:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\left(1.2\right),\]

burada $\varkappa$ dielektrik duyarlılığı, P ise anlık polarizasyon değeridir. (1.1) ve (1.2)'den şu sonuç çıkar:

İyonosferdeki atomların konsantrasyonu $n_0,$'a eşitse, o zaman anlık polarizasyon değeri şuna eşittir:

(1.3) ve (1.4) ifadelerinden şunu elde ederiz:

burada $\omega $ döngüsel frekanstır. Direnç kuvveti dikkate alınmadan bir elektronun zorlanmış salınımlarının denklemi şu şekilde yazılabilir:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\right),\]

burada $m_e$ elektronun kütlesidir, $q_e$ elektronun yüküdür. Denklemin (1.7) çözümü şu ifadedir:

\ \

Radyo dalgalarının frekansını bildiğimiz için döngüsel frekansı bulabiliriz:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

(1.5)'te yerine koyalım sağ taraf$x_(max)$ yerine ifade (1.9)'u kullanır ve (1.10)'u kullanırsak şunu elde ederiz:

Cevap:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\left(1-n^2\right).$

Örnek 2

Egzersiz yapmak: Maxwell formülünün neden bazı deneysel verilerle çeliştiğini açıklayın.

Çözüm:

Klasikten elektromanyetik teori Maxwell'e göre ortamın kırılma indisi şu şekilde ifade edilebilir:

burada çoğu madde için spektrumun optik bölgesinde $\mu \yaklaşık 1$ olduğunu varsayabiliriz. $\varepsilon $ - ortamın dielektrik sabiti sabit olduğundan, bir maddenin kırılma indisinin sabit bir değer olması gerektiği ortaya çıktı. Oysa deney, kırılma indisinin frekansa bağlı olduğunu göstermektedir. Maxwell'in teorisinden önce ortaya çıkan zorluklar bu sorun, ortadan kaldırır elektron teorisi Lorenz. Lorentz, ışığın dağılımını, elektromanyetik dalgaların maddenin bir parçası olan ve performans sergileyen yüklü parçacıklarla etkileşiminin bir sonucu olarak değerlendirdi. zorunlu salınımlar Alternatif bir elektromanyetik alandaki ışık dalgaları. Lorentz, hipotezini kullanarak kırılma indisini bir elektromanyetik dalganın frekansıyla ilişkilendiren bir formül elde etti (bkz. örnek 1).

Cevap: Maxwell teorisinin sorunu makroskobik olması ve maddenin yapısını dikkate almamasıdır.