Bilime başlayın. En zarif matematiksel denklemler

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

GİRİİŞ

"Denklem tüm matematik susamlarını açan altın anahtardır"

S. Koval

Okulda alınan matematik eğitimi yaşamın çok önemli bir parçasıdır. modern adam. Bizi çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Birçoğunun çözümü pratik problemler denklemlerin çözümüne indirgenir çeşitli türler.

Denklemler en çok hacimli konu tüm cebir dersi. Geçmişte akademik yıl Cebir derslerinde ikinci dereceden denklemleri öğrendik. İkinci dereceden denklemler hem matematik alanında hem de fizik ve kimya alanında çeşitli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

İÇİNDE okul kursu temel matematik öğrenilir çözümlerİkinci dereceden denklemler. Ancak ikinci dereceden denklemleri çözmek için başka teknikler de vardır; bunlardan bazıları bunları hızlı ve rasyonel bir şekilde çözmenize olanak tanır.

8-9. sınıflardaki 84 öğrenciyle iki soru üzerine bir anket yaptık:

İkinci dereceden denklemleri çözmenin hangi yöntemlerini biliyorsunuz?

En sık hangilerini kullanıyorsunuz?

Anket sonuçlarına göre aşağıdaki sonuçlar elde edildi:

Elde edilen sonuçları analiz ettiğimizde çoğu öğrencinin ikinci dereceden denklemleri çözerken diskriminant kullanarak kök formülleri kullandığı ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceği konusunda yeterince bilgi sahibi olmadığı sonucuna vardık.

Bu nedenle seçtiğimiz konu konuyla alakalıdır.

Kendimizi belirledik hedef: ikinci dereceden denklemleri çözmenin alışılmadık yollarını keşfetmek, 8. ve 9. sınıflardaki öğrencilere Farklı yollar Karar verme, seçme yeteneğini geliştirme rasyonel yolİkinci dereceden bir denklemin çözümü.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri çözmeniz gerekir görevler:

İkinci dereceden denklemleri çözmenin farklı yolları hakkında bilgi toplamak,

Bulunan çözümlere hakim olun,

Excel'de ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir program oluşturmak,

Bir ders veya ders dışı etkinlik için didaktik materyal geliştirmek standart dışı yöntemler ikinci dereceden denklemlerin çözümü,

8 - 9. sınıf öğrencileriyle “İkinci dereceden denklemleri çözmenin alışılmadık yolları” dersini yürütün.

Çalışmanın amacı: ikinci dereceden denklemler.

Çalışmanın konusu: ikinci dereceden denklemleri çözmenin çeşitli yolları.

Çalışmanın pratik öneminin matematik derslerinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir dizi teknik ve yöntem kullanma olasılığında yattığına inanıyoruz. müfredat dışı etkinlikler ve ayrıca 8-9. Sınıflardaki öğrencileri bu materyalle tanıştırmak.

1. BÖLÜM DÖRTLÜ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE OLAĞANÜSTÜ YÖNTEMLER

1. 1. KATSAYILARIN ÖZELLİKLERİ (a,b,c)

Yöntem katsayıların özelliklerine dayanmaktadır. ABC:

Eğer a+b+c=0, o zaman = 1, =

Örnek:

-6x 2 + 2x +4=0, o zaman = 1, = = .

Eğer a - b+c=0, o zaman = -1, = -

Örnek:

2017x 2 + 2001х +16 =0, o zaman = -1, -.

1. 1. KATSAYILARIN BAĞIMLILIKLARI (a,b,c)

Katsayıların aşağıdaki bağımlılıkları geçerlidir: ABC:

Eğer b=a 2 +1, c=a ise x 1 =-a; x2 = - .

Eğer b=-(a 2 +1), a=c ise x 1 =a; x 2 =.

Eğer b=a 2 -1, c=-a ise x 1 =-a; x2 = .

Eğer b=-(a 2 -1), -a=c ise x 1 =a; x2 = - .

Aşağıdaki denklemleri çözelim:

5x 2 + 26x + 5 = 0

X 1 = -5

X 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

X 1 =13x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

X 1 = - 14x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

X 1 =10x 2 =-0,1.

1. 1. ANA KATSAYININ “TRANSFERİ”

Katsayı Açarpılır Ücretsiz Üye sanki ona "atılmış" gibi, bu yüzden buna "atma" yöntemi deniyor. Daha sonra kökler Vieta teoremi kullanılarak bulunur. Bulunan kökler önceden aktarılan katsayıya bölünür, bu sayede denklemin köklerini buluruz.

Örnek:

2 kere 2 - 3x + 1 = 0.

Serbest terime 2 katsayısını “atalım” ve sonuç olarak denklemi elde edelim

en 2 - 3у + 2 = 0.

Vieta teoremine göre

en 1 = 2, x 1 = 2/2 ,x 1 = 1,

en 2 = 1; X 2 = 1/2; X 2 = 0,5.

Cevap: 0,5; 1.

1. 1. GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ

Eğer denklemde ise X 2 + bx + c= 0 ikinci ve üçüncü terimleri şuraya taşıyın Sağ Taraf, sonra bir elde ederiz X 2 = -bx-C .

Bağımlılık grafikleri oluşturalım en= balta 2 ve en= -bx-C tek koordinat sisteminde.

Birinci bağımlılığın grafiği orijinden geçen bir paraboldür. İkinci bağımlılığın grafiği düzdür.

Aşağıdaki durumlar mümkündür:

düz bir çizgi ve bir parabol iki noktada kesişebilir, kesişme noktalarının apsisleri ikinci dereceden denklemin kökleridir;

Bir düz çizgi ve bir parabol birbirine dokunabilir (yalnızca bir ortak nokta), yani. denklemin bir çözümü var;

düz bir çizgi ve parabol yoktur ortak noktalar, yani ikinci dereceden bir denklemin kökleri yoktur.

Aşağıdaki denklemleri çözelim:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Bir koordinat sisteminde, y = x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve y = - 2x + 3 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız. Kesişme noktalarının apsislerini işaretleyerek cevaba ulaşıyoruz.

Cevap: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Bir koordinat sisteminde, y = x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve y = -6x - 9 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız. Teğet noktasının apsisini belirledikten sonra cevabı alacağız.

Cevap: x= - 3.

3) 2x2 + 4x +7=0

2x2 = - 4x - 7

Bir koordinat sisteminde y = 2x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve fonksiyonun bir grafiğini oluşturacağız

y = 2x 2 parabolünün ve y = - 4x - 7 düz çizgisinin ortak noktaları yoktur, dolayısıyla denklemin kökleri yoktur.

Cevap: Kök yok.

1. 1. DÖRTLÜ DENKLEMLERİN PUSUL VE CETVELLER KULLANILARAK ÇÖZÜLMESİ

Denklemiх 2 +bх+c=0 olarak çözelim:

Çemberin merkezi olan S(-b:2a,(a+c):2a) noktalarını ve A(0,1) noktasını oluşturalım.

SA yarıçaplı bir daire çizin.

Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleri orijinal denklemin kökleridir.

Bu durumda üç durum mümkündür:

1) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından daha büyüktür ( AS>SK, veya R>), daire eksenle kesişiyor Ah iki noktada..B( X 1 ; 0) ve D(x 2 ;0), burada X 1 Ve X 2 - ikinci dereceden denklemin kökleri Ah 2 + bx + c = 0.

2) Çemberin yarıçapı merkezin ordinatına eşittir ( AS = SВ, veya R=), daire eksene dokunuyor Ah B noktasında ( X 1 ; 0), nerede X 1 - ikinci dereceden bir denklemin kökü.

3) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından küçüktür ( GİBİ< SВ , veya R< ), dairenin x ekseniyle ortak noktası yoktur, bu durumda denklemin çözümü yoktur.

A) AS > SВ veya R>, B) AS = SВ veya R= V) GİBİ< SВ, veya R< .

İki çözüm X 1 Ve X 2 . Bir çözüm X 1.. Çözümü yok.

Örnek 1: 2x2 - 8x + 6 = 0.

Çözüm:

Yarıçaplı bir daire çizelim S.A. Nerede A (0;1).

Cevap: x 1 = 1, x 2 = 3.

Örnek 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Çözüm: S: x=3, y=5 koordinatlarını bulalım.

Cevap: x=3.

Örnek 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Çözüm: Daire merkezinin koordinatları: x= - 2 ve y = 3.

Cevap: Kök yok

1. 1. NOMOGRAM KULLANARAK ÇÖZÜM

Nomogram (Yunanca “nomos”tan - yasa ve gramdan), grafik gösterimi fonksiyonel bağımlılıkları hesaplama yapmadan keşfetmek için basit geometrik işlemlerin (örneğin bir cetvel uygulama) kullanılmasına olanak tanıyan çeşitli değişkenlerin fonksiyonları. Örneğin ikinci dereceden bir denklemi formül kullanmadan çözmek.

Bu, ikinci dereceden denklemleri çözmenin eski ve artık unutulmuş bir yöntemidir; koleksiyonun 83. sayfasında yer almaktadır: Bradis V.M. "Dört basamaklı matematiksel tablolar." - M., “Drofa”, 2000. Tablo XXII. Denklemi çözmek için nomogram z 2 + pz + q = 0(bkz. Ek 1).

Bu nomogram, ikinci dereceden bir denklemi çözmeden, denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye olanak tanır.

Nomogramın eğrisel ölçeği aşağıdaki formüllere göre oluşturulmuştur: doğum günü= , AB =

İnanmak OS = p, ED = q, OE = a(tümü cm cinsinden), üçgenlerin benzerliğinden SAN Ve CDF ikameler ve basitleştirmelerden sonra z 2 + pz + q = 0 denkleminin takip ettiği oranı elde ederiz ve z harfi, eğrisel ölçekte herhangi bir noktanın işareti anlamına gelir.

örnek 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

P ölçeğinde işareti -9'u ve q ölçeğinde işareti 8'i buluyoruz. Bu işaretler boyunca nomogramın kavisli ölçeğini 1 ve 8 işaretlerinde kesen düz bir çizgi çiziyoruz. Bu nedenle denklemin kökleri 1'dir. ve 8.

Cevap 1; 8.

83. sayfadaki Bradis tablosunda çözülen şey bu denklemdir (bkz. Ek 1).

Örnek 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu denklemin katsayılarını 2'ye bölerek denklemi elde ederiz:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogram kökleri verir z 1 = 4 Ve z 2 = 0,5.

Cevap: 4; 0,5.

Örnek 3:X 2 - 25x + 66 = 0

P ve q katsayıları ölçek dışıdır. Değiştirme işlemini gerçekleştirelim x = 5z denklemi elde ederiz:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

nomogram kullanarak çözüyoruz.

Z'yi elde ederiz 1 = 0,6 Ve z 2 = 4,4,

Neresi X 1 = 5z 1 = 3,0 Ve X 2 = 5z 2 = 22,0.

Cevap: 3; 22.

Örnek 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , A negatif kökçıkarma yaparak buluruz pozitif kök- p'den , onlar. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Cevap 1; -6.

Örnek 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram pozitif bir z kökü verir 1 =4, ve negatif z'ye eşittir 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Cevap: 4; -2.

2. BÖLÜM EXCEL KULLANARAK DÖRTLÜ BİR DENKLEMİN KÖK FORMÜLLERİYLE ÇÖZÜLMESİ

İkinci dereceden bir denklemi çözecek bir program oluşturmaya karar verdik. Excel'i kullanma- yaygın bilgisayar programı. Hesaplamalar yapmak, tabloları ve diyagramları derlemek, basit hesaplamalar yapmak ve karmaşık işlevler. Microsoft Office paketinin bir parçasıdır.

Çarşaf Excel programları formüllerin görüntülendiği yer:

Excel sayfası gösteriliyor spesifik örnek ikinci dereceden denklemlerin çözümleri X 2 - 14x - 15 = 0:

3. BÖLÜM DÖRTLÜ DENKLEM ÇÖZÜMÜNDEKİ FARKLI YOLLARIN KARŞILAŞTIRILMASI

“Bir cebir öğrencisi için aynı problemi üç veya dört farklı şekilde çözmek çoğu zaman daha faydalıdır. çeşitli görevler. Bir sorunu çözmek çeşitli metodlar Hangisinin daha kısa ve verimli olduğunu karşılaştırmalar yaparak öğrenebilirsiniz. Deneyim bu şekilde geliştirilir."

Walter Warwick Sawyer

Çalışma sırasında materyal topladık ve ikinci dereceden denklemleri çözmenin (köklerini bulmanın) yollarını inceledik. Denklemlerin farklı yöntemler kullanılarak çözülmesi Ek 2'de sunulmaktadır.

Ders çalışıyor Farklı yollarİkinci dereceden denklemleri çözerken, her denklem için kökleri bulmak için en etkili ve rasyonel seçeneği seçebileceğiniz sonucuna vardık. Her çözüm belirli durumlarda benzersiz ve kullanışlıdır. Bazı çözüm yöntemleri, OGE'deki görevleri çözerken önemli olan zamandan tasarruf etmenize olanak tanır, diğerleri ise çok büyük katsayılı bir denklemin çözülmesine yardımcı olur. Her yöntemin artılarını ve eksilerini yansıtan bir tablo derleyerek farklı çözüm yöntemlerini karşılaştırmaya çalıştık.

Geliştirdik Bildiri. Ek 3'te konuyla ilgili görev bankası hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Kullanma Microsoft Excel derledik elektronik tablo kök formüllerini kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini otomatik olarak hesaplamanıza olanak tanır.

konusunda bir ders gerçekleştirdik. alışılmadık şekillerde 9. sınıf öğrencileri için ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Öğrenciler yöntemleri gerçekten beğendiler; kazanılan bilgilerin kendilerine faydalı olacağını belirttiler; ileri eğitim. Dersin sonucu, ikinci dereceden denklemleri çözmek için çeşitli seçenekler sundukları öğrencilerin çalışmalarıydı (bkz. Ek 4).

Çalışma materyali hem matematiği sevenler hem de matematik hakkında daha fazla bilgi edinmek isteyenler tarafından kullanılabilir.

EDEBİYAT

Bradis V. M. “Dört basamaklı matematiksel tablolar lise", M .: Bustard, 2000.

Vilenkin N.Ya. “8. sınıf için cebir”, M.: Prosveshchenie, 2000.

Galitsky M.L. “Cebirde problemlerin toplanması”, M .: Prosveshchenie 2002.

Glazer G. I. “Okulda matematik tarihi”, M .: Prosveshchenie, 1982.

Zvavich L.I. “Cebir 8. sınıf”, M.: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. “Cebir 8. sınıf”, M.: Prosveshchenie, 2015.

Pluzhnikov I. “İkinci dereceden denklemleri çözmenin 10 yolu” // Okulda matematik. - 2000.- Sayı 40.

Presman A.A. “Pergel ve cetvel kullanarak ikinci dereceden bir denklemin çözülmesi”//M., Kvant, No. 4/72, s.34.

Savin A.P. " ansiklopedik sözlük genç matematikçi"

M.: Pedagoji, 1989.

İnternet kaynakları:

http://revolution.allbest.ru/

EK 1

“BRADIS V.M. KOLEKSİYONU”

EK 2

“DENKLEMİN HER YOLLA ÇÖZÜLMESİ”

Orijinal denklem:4x 2 +3x -1 = 0.

1. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için diskriminant D'yi kullanan formül

4x 2 +3x -1 = 0

d= B 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => Denklemin iki kökü var

X 1,2 =

X 1 ==

X 2 ==-1

2. Vieta teoremi

4x 2 +3x -1 = 0, Denklemi 4'e bölün ki azaltılsın

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Tam kareyi seçme yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 =x 2 = -1

4. Gruplandırma yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,çarpanlardan biri =0 olduğunda çarpım =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 =x 2 = -1

5. Katsayıların özellikleri

4x 2 +3x -1 = 0

a - b+c=0 ise = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Ana katsayıyı “atma” yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

sen 2 +3y - 4 = 0

Vieta'nın teoremi:

sen 1 = -4

sen 2 = 1

Bulunan kökleri ana katsayıya bölerek denklemimizin köklerini elde edelim:

X 1 = -1

X 2 =

7. İkinci dereceden denklemleri pusula ve cetvel kullanarak çözme yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

Formülleri kullanarak dairenin merkez noktasının koordinatlarını belirleyelim:

X 1 = -1

X 2 =

8. Grafiksel çözüm

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Bir koordinat sisteminde fonksiyonun grafiğini oluşturacağız y = 4x 2 ve fonksiyonun grafiği

y = - 3x+1. Kesişme noktalarının apsislerini belirledikten sonra şu cevabı alıyoruz:

X 1 = -1

9. Nomogram kullanmak

4x 2 +3x -1 = 0, Denklemin katsayılarını 1/4'e bölersek denklemi elde ederiz

X 2 +x -= 0.

Nomogram pozitif bir kök verir = ,

ve pozitif kökü - p'den çıkararak negatif kökü buluyoruz , onlar.

X 2 = - p -=- -= -1.

10. Çözüm verilen denklem EXCEL'de

EK 3

"KONU İÇİN DİDAKTSEL MATERYAL

“DÖRTLÜ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1,5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0,2

2 kere 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2 kere 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

EK 4

"ÖĞRENCİ ÇALIŞMASI"

Genellikle, denklemler belirli bir miktarı bulmanız gereken problemlerde ortaya çıkar. Denklem, problemi cebir dilinde formüle etmenize olanak sağlar. Denklemi çözdükten sonra bilinmeyen denilen istenilen miktarın değerini elde ederiz. “Andrey'in cüzdanında birkaç ruble var. Bu sayıyı 2 ile çarpıp 5’i çıkarırsanız 10 elde edersiniz. Andrey’in ne kadar parası var?” Bilinmeyen para miktarını x olarak gösterip denklemi yazalım: 2x-5=10.

Hakkında konuşmak denklemleri çözme yolları, öncelikle temel kavramları tanımlamanız ve genel kabul görmüş gösterimlere aşina olmanız gerekir. İçin farklı şekiller denklemleri çözmek için çeşitli algoritmalar vardır. Denklemleri çözmenin en kolay yolu birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir. Birçok kişi ikinci dereceden denklemleri çözme formülüne okuldan aşinadır. Teknikler yüksek Matematik denklemlerin çözülmesine daha fazla yardımcı olacak yüksek sipariş. Bir denklemin tanımlandığı sayılar kümesi, onun çözümleriyle yakından ilişkilidir. Denklemler ve fonksiyon grafikleri arasındaki ilişki de ilginçtir, çünkü denklemleri grafiksel olarak temsil etmek onları çözmede çok yardımcı olur.

Tanım. Denklem, bir veya daha fazla bilinmeyen niceliğe sahip matematiksel bir eşitliktir; örneğin 2x+3y=0.

Eşittir işaretinin her iki tarafındaki ifadelere denir Denklemin sol ve sağ tarafları. Edebiyat Latin alfabesi bilinmeyenler belirtilir. Herhangi bir sayıda bilinmeyen olabilmesine rağmen, aşağıda yalnızca x ile göstereceğimiz bir bilinmeyenli denklemlerden bahsedeceğiz.

Güç denklemi- Bu maksimum derece bilinmeyenin yükseldiği yer. Örneğin,
$3x^4+6x-1=0$ dördüncü dereceden bir denklemdir, $x-4x^2+6x=8$ ikinci dereceden bir denklemdir.

Bilinmeyenlerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar. Önceki örnekte dördüncü kuvvete kadar bilinmeyenin katsayısı 3'tür. Eğer x'i bu sayıyla değiştirirken verilen eşitlik sağlanıyorsa, bu sayının denklemi sağladığı söylenir. Buna denir denklemi çözme veya onun kökü. Örneğin 3, 2x+8=14 denkleminin kökü veya çözümüdür, çünkü 2*3+8=6+8=14.

Denklemleri çözme. Diyelim ki 2x+5=11 denklemini çözmek istiyoruz.

Bunun içine bir x değeri koyabilirsiniz, örneğin x=2. X'i 2 ile değiştirin ve şunu elde edin: 2*2+5=4+5=9.

Burada bir yanlışlık var çünkü denklemin sağ tarafında 11 elde etmemiz gerekirdi. x=3'ü deneyelim: 2*3+5=6+5=11.

Cevap doğru. Bilinmeyen 3 değerini alırsa o zaman ortaya çıkıyor eşitlik sağlandı. Dolayısıyla 3 sayısının denklemin çözümü olduğunu göstermiş olduk.

Bu denklemi çözmek için kullandığımız yöntemin adı seçim yöntemi. Açıkçası kullanımı sakıncalıdır. Üstelik buna yöntem bile denemez. Bunu doğrulamak için bunu $x^4-5x^2+16=2365$ biçimindeki bir denkleme uygulamayı deneyin.

Çözüm yöntemleri. Kendinizi alıştırmanız için yararlı olacak sözde "oyun kuralları" vardır. Amacımız denklemi sağlayan bilinmeyenin değerini belirlemektir. Bu nedenle bilinmeyeni bir şekilde tespit etmek gerekir. Bunu yapmak için denklemin terimlerini bir bölümden diğerine aktarmak gerekir. Denklem çözmenin ilk kuralı...

1. Bir denklemin bir elemanını bir kısımdan diğerine taşırken işareti ters yönde değişir: artı eksiye dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir. Örnek olarak 2x+5=11 denklemini düşünün. 5'i sol taraftan sağa kaydıralım: 2x=11-5. Denklem 2x=6 olacaktır.

Gelelim ikinci kurala.
2. Denklemin her iki tarafı da bir sayıyla çarpılıp bölünebilir. sıfıra eşit. Bu kuralı denklemimize uygulayalım: $x=\frac62=3$. Eşitliğin sol tarafında sadece bilinmeyen x kalıyor, dolayısıyla değerini bulduk ve denklemi çözdük.

Az önce en basit soruna baktık - bir bilinmeyenli doğrusal denklem. Bu tür denklemlerin her zaman bir çözümü vardır ve her zaman en basit işlemlerle çözülebilirler: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Ne yazık ki, tüm denklemler o kadar basit değil. Üstelik karmaşıklık dereceleri çok hızlı bir şekilde artıyor. Örneğin, ikinci derecedeki denklemler herhangi bir lise öğrencisi tarafından kolayca çözülebilir, ancak doğrusal denklem sistemlerini veya daha yüksek dereceli denklemleri çözme yöntemleri yalnızca lisede incelenir.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

• Her şey hakkındaki bilgiyi özetleyin denklem türleri Denklem çözümünde kullanılan tüm yöntemlerin önemini vurgular.
• Derste çeşitli tekniklerle öğrencilerin çalışmalarını yoğunlaştırmak.
• Denklem çözmede teorik ve pratik becerileri test edin.
• Bir denklemin çeşitli yollarla çözülebileceği gerçeğine odaklanın

Eğitici:

• BİT kullanımı yoluyla öğrencilerin konuya olan ilgisini artırın.
• Öğrencileri konuyla ilgili tarihi materyallerle tanıştırın.
• Gelişim zihinsel aktivite Denklemin türünü ve çözme yöntemlerini belirlerken.

Eğitici:

• Sınıfta disiplini aşılayın.
• Kendisindeki, başka bir insandaki ve çevremizdeki dünyadaki güzelliği algılama yeteneğinin geliştirilmesi.

Ders türü:

• Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.

Ders türü:

• Kombine.

Malzeme ve teknik ekipman:

• Bilgisayar
• Ekran
• Projektör
• Konunun sunumunu içeren disk

Yöntem ve teknikler:

• Sunum kullanma
• Ön konuşma
• Sözlü çalışma
• Oyun anları
• Çiftler halinde çalışın
• Yönetim kurulunda çalışmak
• Not defterlerinde çalışın

Ders planı:

1. Organizasyon anı (1 dakika)
2. Dersin konusunun çözülmesi (3 dakika)
3. Dersin konusunun ve amacının açıklanması (1 dakika)
4. Teorik ısınma (3 dakika)
5. Tarihi gezi (3 dakika)
6. Oyun “Fazlalığı giderin” (2 dakika)
7. Yaratıcı iş(2 dakika)
8. Görev “Hatayı bul” (2 dakika)
9. Bir denklemi birkaç yolla çözme (slaytta) (3 dakika)
10. Bir denklemi birkaç yolla çözme (tahtada) (24 dakika)
11. İkili olarak bağımsız çalışma ve ardından açıklama (5 dakika)
12. Bireysel ödev (1 dakika)
13. Ders özeti yansıması (1 dakika)

Ders epigrafı:

“Ancak eğlenerek öğrenebilirsiniz; bilgiyi sindirmek için onu iştahla özümsemeniz gerekir.”
A.Fransa

Ders özeti

Organizasyon kısmı

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edip, derse gelmeyenleri işaretliyorum. Arkadaşlar, 19. yüzyıl Fransız yazarı A. France şöyle demişti: "Bilgiyi ancak eğlenerek öğrenebilirsiniz; bilgiyi sindirmek için onu iştahla özümsemeniz gerekir." O halde dersimizde yazarın tavsiyelerine uyalım ve bilgiyi büyük bir iştahla sindirelim, çünkü hayatımıza faydası olacaktır.

Dersin konusunun kodunun çözülmesi

Daha karmaşık bir göreve geçmek için basit görevlerle beynimizi çalıştıralım. Dersimizin konusu şifrelenmiştir; her cevabın kendine ait bir harfi olduğunu bilerek sözlü görevleri çözüp cevabını bularak dersin konusunu ortaya çıkaracağız. Sunum slaytı 3

Dersin konusunu ve amacını aktarma

Bugünkü dersin konusunu kendiniz belirlediniz

“Denklem türleri ve bunları çözme yöntemleri.” Sunum slaytı 4

Amaç: Her türlü denklemi ve bunları çözmek için kullanılan yöntemleri hatırlayın ve genelleştirin. Tüm yöntemleri kullanarak bir denklemi çözün. Sunum slaydı 5 Einstein'ın ifadesini okuyun Sunum slaydı 5

Teorik ısınma

Sorular Sunum slaytı 7

Yanıtlar

1. Eşitlik içeren değişken değer, bir harfle belirlenmiş.
2. Bu, onun tüm köklerini bulmak ya da hiçbir kökün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.
3. Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.
4. Bu tanımdan sonra denklemle ilgili bir şiir okuyun. Sunum slaytı 12,13,14.

Son 2 sorunun cevapları Sunum slaytı 9,10,11

Tarihi gezi

“Denklemi kim ve ne zaman icat etti” ile ilgili tarihsel bilgiler Sunum slaytı 15

Farz edelim ki... isimli ilkel bir anne, muhtemelen ismi bile yoktu, 4 çocuğuna vermek üzere bir ağaçtan 12 elma topladı. Muhtemelen sadece 12'ye kadar değil, dörde kadar saymayı da bilmiyordu ve 12'yi 4'e nasıl böleceğini de kesinlikle bilmiyordu. Ve muhtemelen elmaları şu şekilde bölmüştü: önce her çocuğa bir elma, sonra bir elma daha verdi. , sonra bir tane daha yalnız ve sonra elmaların kalmadığını ve çocukların mutlu olduğunu gördüm. Bu eylemleri modern matematik diliyle yazarsak x4=12 elde ederiz, yani annem denklem kurma problemini çözmüştür. Görünüşe göre yukarıda sorulan soruya cevap vermek imkansız. Denklem çözmeye yol açan problemler, insanoğlunun insan olduğu günden bu yana sağduyulu bir şekilde çözülmüştür. Milattan önce 3-4 bin yıllarında bile Mısırlılar ve Babilliler, şekli ve çözüm yöntemleri modern olanlara benzemeyen en basit denklemleri çözebildiler. Yunanlılar Mısırlıların bilgilerini miras aldılar ve yollarına devam ettiler. İyi şanslar Denklem doktrininin gelişimi, hakkında yazdıkları Yunan bilim adamı Diophantus (III. Yüzyıl) tarafından gerçekleştirildi:

Pek çok sorunu çözdü.
Kokuları ve duşları tahmin etti.
Gerçekten onun bilgisi muhteşemdir.

Orta Asyalı matematikçi Muhammed el-Khorezmi (9. yüzyıl) denklemlerin çözümüne büyük katkı sağladı. Ünlü kitabı El-Harezmi denklemlerin çözümüne ayrılmıştır. Buna “Kitab al-jabr wal-mukabala” yani “Tamamlama ve Muhalefet Kitabı” denir. Bu kitap Avrupalılar tarafından tanındı ve başlığındaki "al-jabr" kelimesinden matematiğin ana bölümlerinden birinin adı olan "cebir" kelimesi geldi. Daha sonra birçok matematikçi denklem problemleri üzerinde çalıştı. Genel kuralİkinci dereceden denklemlerin x2+in=0 formuna indirgenmiş çözümleri, 15. yüzyılda yaşamış Alman matematikçi Stiefel tarafından formüle edildi. Hollandalı matematikçi Girard'ın (16. yüzyıl) yanı sıra Descartes ve Newton'un çalışmalarından sonra çözüm yöntemi modern bir forma kavuştu. Bir denklemin köklerinin katsayılarına bağımlılığını ifade eden formüller Vieth tarafından tanıtıldı. François Viet 16. yüzyılda yaşadı. Matematik ve astronomideki çeşitli problemlerin incelenmesine büyük katkılarda bulundu; özellikle denklemin katsayıları için harf tanımlarını tanıttı. Şimdi hayatından ilginç bir bölümle tanışalım. Viet, Fransa-İspanya Savaşı sırasında Kral III. Henry döneminde büyük ün kazandı. İspanyol engizisyoncular, İspanyolların düşmanlarıyla yazışmasını sağlayan çok karmaşık bir gizli yazı icat etti. Henry III Fransa'nın kendisinde bile.

Fransızlar boşuna kodun anahtarını bulmaya çalıştılar ve sonra kral Vieta'ya döndü. Viet'in iki haftalık sürekli çalışma sonucunda kodun anahtarını bulduğunu ve ardından İspanya için beklenmedik bir şekilde Fransa'nın birbiri ardına savaşlar kazanmaya başladığını söylüyorlar. Kodun çözülemeyeceğine inanan İspanyollar, Viet'i şeytanla bağlantısı olmakla suçladılar ve onu kazığa bağlanarak yakılmaya mahkum ettiler. Neyse ki Engizisyona iade edilmedi ve büyük bir matematikçi olarak tarihe geçti.

Oyun "Fazlalığı kaldır"

Oyunun amacı Denklem türlerinde yönelim.

Bize üç tane verildi denklem sütunu, Her biri için denklemler bazı kriterlere göre tanımlanır, ancak bunlardan biri gereksizdir; sizin göreviniz onu bulmak ve karakterize etmektir. Sunum slaytı 16

Yaratıcı iş

Bu görevin amacı: Matematiksel konuşmayı dinlediğini anlama, çocukları denklem türlerine yönlendirme.

Ekranda 9 denklem görüyorsunuz. Her denklemin kendi numarası vardır, bu denklemin tipini isimlendireceğim ve bu tipte bir denklem bulmalı ve sadece altına göründüğü sayıyı koymalısınız, sonuç olarak 9 basamaklı bir sayı elde edeceksiniz Sunum slaytı 17

1. Azaltılmış ikinci dereceden denklem.
2. Kesirli rasyonel denklem
3. kübik denklem
4. Logaritmik denklem
5. Doğrusal Denklem
6. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem
7. Üstel denklem
8. İrrasyonel denklem
9. Trigonometrik denklem

Görev "Hatayı bul"

Bir öğrenci denklemleri çözdü ama tüm sınıf güldü, her denklemde bir hata yaptı, senin görevin onu bulup düzeltmek. Sunum slaytı 18

Bir denklemi birkaç yolla çözme

Şimdi sınıfta zaman kazanmak için bir denklemi mümkün olan tüm yollarla çözelim, ekranda bir denklem. Şimdi bu denklemin türünü adlandıracak ve bu denklemi çözmek için hangi yöntemin kullanıldığını açıklayacaksınız. Sunum slaytları 19-27.

Bir denklemi birkaç yolla çözme (tahtada)

Örneğe baktık ve şimdi denklemi tahtada mümkün olan her şekilde çözelim.

X-2 - irrasyonel denklem

Denklemin her iki tarafının karesini alalım.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Bu denklemi tahtada 9 şekilde çözüyoruz.

Çiftler halinde bağımsız çalışma ve ardından kurulda açıklama

Ve şimdi ikili olarak çalışacaksınız, masanıza bir denklem veriyorum, göreviniz denklemin türünü belirlemek, bu denklemi çözmenin tüm yollarını listelemek, 1-2'yi sizin için en rasyonel yollarla çözmek. (2 dakika)

Çiftler halinde çalışmaya yönelik görevler

Denklemi çözün

Sonrasında bağımsız işÇiftler halinde bir temsilci tahtaya gelir, denklemini sunar ve tek yönlü çözer.

Bireysel ödev(diferansiyellenebilir)

Denklemi çözün

(denklemin türünü belirleyin, her şekilde ayrı bir sayfada çözün)

Yansıma dersi özeti.

Dersi özetliyorum, bir denklemin birçok şekilde çözülebileceğine dikkat çekiyorum, puan veriyorum, kimin aktif olduğu ve kimin daha aktif olması gerektiği konusunda bir sonuç çıkarıyorum. Kalinin’in açıklamasını okudum Sunum slaytı 28

Bugünkü ders için belirlediğimiz hedeflere dikkatlice bakın:

• Sizce ne yapmayı başardık?
• Ne bu kadar iyi gitmedi?
• Özellikle neyi beğendiniz ve hatırladınız?
• Bugün yeni bir şey öğrendim...
• Bilgilerim ders sırasında işe yaradı...
• Benim için zordu...
• Dersi beğendim...

Edebiyat.

1. Dorofeev G.V. “Lise dersi için matematikte yazılı sınav yapmak için görevlerin toplanması” - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Matematik bulmacaları ve eğlence.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktik materyaller 10. sınıf, 11. sınıf cebir ve analizin başlangıcı. M.: Aydınlanma. 2002.

Biliyorum okul matematikÇocuk “denklem” terimini ilk kez duyar. Bu nedir, birlikte anlamaya çalışalım. Bu yazımızda çözüm türlerine ve yöntemlerine bakacağız.

Matematik. Denklemler

Başlangıç ​​olarak kavramın kendisini anlamanızı öneririz, nedir bu? Pek çok matematik ders kitabının söylediği gibi bir denklem, aralarında eşit işareti bulunması gereken bazı ifadelerdir. Bu ifadeler, değeri bulunması gereken, değişken adı verilen harfleri içerir.

Bu, değerini değiştiren bir sistem özelliğidir. Açık bir örnek değişkenler şunlardır:

• hava sıcaklığı;
• çocuğun boyu;
• ağırlık vb.

Matematikte bunlar harflerle gösterilir, örneğin x, a, b, c... Genellikle bir matematik görevi şu şekilde gider: denklemin değerini bulun. Bu, bu değişkenlerin değerini bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir.

Çeşitler

Denklem (önceki paragrafta ne olduğunu tartıştık) aşağıdaki biçimde olabilir:

• doğrusal;
• kare;
• kübik;
• cebirsel;
• transandantal.

Daha fazlası için detaylı tanışma tüm türlerle, her birini ayrı ayrı ele alalım.

Doğrusal Denklem

Bu, okul çocuklarının tanıtıldığı ilk türdür. Oldukça hızlı ve basit bir şekilde çözülürler. Peki doğrusal denklem nedir? Bu şu formun bir ifadesidir: ah=c. Pek net değil o yüzden birkaç örnek verelim: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Denklem örneklerine bakalım. Bunu yapabilmek için bilinen tüm verileri bir tarafta, bilinmeyenleri ise diğer tarafta toplamamız gerekiyor: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Burada kullanıldı temel kurallar matematik: a*c=e, bundan c=e/a; a=e/c. Denklemin çözümünü tamamlamak için bir işlem yapıyoruz (bizim durumumuzda bölme) x = 13; x=8; x=5. Bunlar çarpma örnekleriydi, şimdi çıkarma ve toplama işlemlerine bakalım: x+3=9; 10x-5=15. Bilinen verileri tek yönde aktarıyoruz: x=9-3; x=20/10. Son eylemi gerçekleştirin: x=6; x=2.

Birden fazla değişkenin kullanıldığı doğrusal denklemlerin çeşitleri de mümkündür: 2x-2y=4. Çözmek için her parçaya 2y eklemek gerekiyor, fark ettiğimiz gibi 2x-2y + 2y = 4-2y elde ediyoruz. Sol Taraf-2y ve +2y eşit işaretleri iptal edilir ve elimizde: 2x=4-2y kalır. Son adım, her parçayı ikiye bölmektir, cevabı elde ederiz: x eşittir iki eksi y.

Denklemlerle ilgili problemlere Ahmes papirüsünde bile rastlanıyor. İşte problemlerden biri: Bir sayı ile onun dördüncü kısmının toplamı 15'tir. Bunu çözmek için şunu yazıyoruz: aşağıdaki denklem: X artı dörtte bir X eşittir on beş. Çözümün sonucuna göre başka bir örnek görüyoruz, cevabı alıyoruz: x=12. Ancak bu sorun başka bir şekilde, yani Mısır yöntemiyle veya farklı adıyla varsayım yöntemiyle çözülebilir. Papirüste kullanılır sonraki çözüm: dört ve dördüncü kısmını, yani birini alın. Toplamda beş veriyorlar, şimdi onbeşin toplama bölünmesi gerekiyor, üç alıyoruz, son adım üçü dörtle çarpmak. Cevabını alıyoruz: 12. Çözümde neden on beşi beşe bölüyoruz? Yani kaç kere on beş yani almamız gereken sonucun beşten az olduğunu buluyoruz. Orta Çağ'da sorunlar bu şekilde çözülüyordu; bu yöntem, yanlış konum yöntemi olarak anılmaya başlandı.

İkinci dereceden denklemler

Daha önce tartışılan örneklere ek olarak başkaları da var. Tam olarak hangileri? İkinci dereceden denklem, nedir bu? Ax 2 +bx+c=0'a benziyorlar. Bunları çözmek için bazı kavram ve kurallara aşina olmanız gerekir.

Öncelikle şu formülü kullanarak diskriminantı bulmanız gerekir: b 2 -4ac. Kararın üç olası sonucu vardır:

• ayrımcı Sıfırın üstünde;
• Sıfırdan daha az;
• sıfıra eşittir.

Birinci seçenekte, diskriminantın -b+-kökünün birinci katsayının iki katına yani 2a formülüne göre bulunan iki kökten cevabı alabiliriz.

İkinci durumda denklemin kökleri yoktur. Üçüncü durumda, kök şu formül kullanılarak bulunur: -b/2a.

Daha ayrıntılı bir giriş için ikinci dereceden denklem örneğine bakalım: üç x kare eksi on dört x eksi beş eşittir sıfır. Başlangıçta, daha önce yazıldığı gibi, bir diskriminant arıyoruz, bizim durumumuzda 256'ya eşit. Ortaya çıkan sayının sıfırdan büyük olduğuna dikkat edin, bu nedenle iki kökten oluşan bir cevap almalıyız. Ortaya çıkan diskriminantı kökleri bulma formülüne koyarız. Sonuç olarak elimizde: x eşittir beş ve eksi üçte bir.

İkinci dereceden denklemlerde özel durumlar

Bunlar bazı değerlerin sıfır (a, b veya c) ve muhtemelen birden fazla olduğu örneklerdir.

Örneğin ikinci dereceden olan aşağıdaki denklemi ele alalım: iki x kare sıfıra eşittir, burada b ve c'nin sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. Bunu çözmeye çalışalım, bunu yapmak için denklemin her iki tarafını da ikiye böleriz, elde ederiz: x 2 =0. Sonuç olarak x=0 elde ederiz.

Diğer bir durum ise 16x 2 -9=0'dır. Burada sadece b=0. Denklemi çözelim, serbest katsayıyı sağ tarafa aktaralım: 16x 2 = 9, şimdi her parçayı on altıya bölüyoruz: x 2 = on altıda dokuz. Elimizde x kare olduğu için 9/16'nın kökü negatif ya da pozitif olabilir. Cevabı şu şekilde yazıyoruz: x eşittir artı/eksi dörtte üç.

Bir başka olası cevap da denklemin hiçbir kökü olmadığıdır. Şu örneğe bakalım: 5x 2 +80=0, burada b=0. Çözmek için ücretsiz üyeyi içine atın Sağ Taraf Bu işlemlerden sonra şunu elde ederiz: 5x 2 = -80, şimdi her parçayı beşe bölüyoruz: x 2 = eksi on altı. Herhangi bir sayının karesi alınırsa olumsuz anlam alamayacağız. Bu nedenle cevabımız şudur: Denklemin kökleri yoktur.

Üç terimli genişleme

İkinci dereceden denklemlerle ilgili bir görev de kulağa şu şekilde gelebilir: genişlet ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre. Bu kullanılarak yapılabilir aşağıdaki formül: a(x-x 1)(x-x 2). Bunu yapmak için, görevin diğer versiyonunda olduğu gibi, bir diskriminant bulmak gerekir.

Hadi düşünelim sonraki örnek: 3x 2 -14x-5, üç terimliyi çarpanlara ayırın. Diskriminantı zaten bildiğimiz formülü kullanarak buluyoruz; 256'ya eşit olduğu ortaya çıkıyor. 256'nın sıfırdan büyük olduğunu hemen not ediyoruz, bu nedenle denklemin iki kökü olacaktır. Önceki paragrafta olduğu gibi bunları bulursak: x = beş ve eksi üçte bir. Üçlü sayıyı çarpanlarına ayırmak için şu formülü kullanalım: 3(x-5)(x+1/3). İkinci parantez içinde eşittir işareti var, çünkü formül bir eksi işareti içeriyor ve kök de negatif, temel matematik bilgisini kullanarak toplamda bir artı işaretimiz var. Basitleştirmek için, kesirden kurtulmak için denklemin birinci ve üçüncü terimlerini çarpalım: (x-5)(x+1).

İkinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler

Bu noktada daha fazlasını nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz karmaşık denklemler. Hemen bir örnekle başlayalım:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Yinelenen öğeleri fark edebiliriz: (x 2 - 2x), bunu çözmek için onu başka bir değişkenle değiştirmek bizim için uygundur ve sonra Her zamanki ikinci dereceden denklemi hemen çözün. Böyle bir görevde dört kök alacağımızı not ediyoruz, bu sizi korkutmamalı. a değişkeninin tekrarını gösteriyoruz. Şunu elde ederiz: a 2 -2a-3=0. Bir sonraki adımımız yeni denklemin diskriminantını bulmaktır. 16 alıyoruz, iki kök buluyoruz: eksi bir ve üç. Yerine koyma işlemi yaptığımızı hatırlıyoruz, bu değerleri yerine koyalım ve sonuç olarak şu denklemleri elde edelim: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. İlk cevapta bunları çözüyoruz: x bire eşit, ikincisinde: x eksi bir ve üçe eşittir. Cevabı şu şekilde yazıyoruz: artı/eksi bir ve üç. Kural olarak cevap artan sırada yazılır.

Kübik denklemler

Bir tanesine daha bakalım olası değişken. Kübik denklemlerden bahsedeceğiz. Şöyle görünürler: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Aşağıda denklem örneklerine bakacağız, ancak önce küçük bir teori. Üç kökleri olabilir ve kübik bir denklemin diskriminantını bulmak için bir formül de vardır.

Bir örneğe bakalım: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Nasıl çözeceksin? Bunu yapmak için x'i parantezlerin dışına çıkarırız: x(3x 2 +4x+2)=0. Tek yapmamız gereken parantez içindeki denklemin köklerini hesaplamak. Parantez içindeki ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfırdan küçüktür, buna göre ifadenin bir kökü vardır: x=0.

Cebir. Denklemler

Bir sonraki görünüme geçelim. Şimdi cebirsel denklemlere kısaca bakacağız. Görevlerden biri şu şekildedir: çarpan 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. En çok uygun bir şekildeşu gruplandırma olacaktır: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). İlk ifadede 8x 2'yi 3x 2 ve 5x 2'nin toplamı olarak temsil ettiğimize dikkat edin. Şimdi her parantezden çıkarıyoruz ortak çarpan 3x 2 (x2+1)+2x(x 2 +1)+5(x 2 +1). Ortak bir çarpanımız olduğunu görüyoruz: x kare artı bir, bunu parantezlerden çıkarıyoruz: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Her iki denklemin de negatif bir diskriminantı olduğundan daha fazla genişleme mümkün değildir.

Aşkın denklemler

halletmenizi öneririz aşağıdaki tür. Bunlar aşkın fonksiyonlar içeren denklemlerdir, yani logaritmik, trigonometrik veya üstel. Örnekler: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 vb. Trigonometri dersinde bunların nasıl çözüldüğünü öğreneceksiniz.

İşlev

Son adım, bir fonksiyonun denklemi kavramını dikkate almaktır. Önceki seçeneklerden farklı olarak, bu tipçözülmez, ancak buna göre bir program oluşturulur. Bunu yapmak için denklemi iyi analiz etmeye, her şeyi bulmaya değer. gerekli noktalar minimum ve maksimum puanları oluşturmak, hesaplamak.

Genel Bakanlık ve mesleki Eğitim RF

Belediye eğitim kurumu

12 Numaralı Spor Salonu

kompozisyon

konuyla ilgili: Denklemler ve bunları çözme yöntemleri

Tamamlayan: 10 "A" sınıfı öğrencisi

Krutko Evgeniy

Kontrol eden: matematik öğretmeni İskhakova Gülsum Akramovna

Tümen 2001

Plan................................................. .................................................. ...... ................................................ 1

Giriiş................................................. ....... ................................................... ................................................. 2

Ana bölüm................................................ .................................................. ........................ 3

Çözüm................................................. .................................................. ...... .................... 25

Başvuru................................................. .................................................. ...... ................ 26

Kullanılan literatür listesi................................................. ....................................... 29

Plan.

Giriiş.

Tarihsel referans.

Denklemler. Cebirsel denklemler.

a) Temel tanımlar.

b) Doğrusal denklem ve çözme yöntemi.

c) İkinci dereceden denklemler ve bunları çözme yöntemleri.

d) Binom denklemleri ve bunların çözümü.

D) Kübik denklemler ve bunu çözmenin yolları.

e) Biquadratic denklem ve bunu çözmenin bir yolu.

g) Dördüncü dereceden denklemler ve çözüm yöntemleri.

g) Denklemler yüksek dereceler ve çözümden elde edilen yöntemler.

h) Rasyonel cebirsel denklem ve bunu yapmanın yolu

Ve) İrrasyonel denklemler ve bunu çözmenin yolları.

j) Bir işaret altında bilinmeyen içeren denklemler.

Mutlak değer ve bunu çözme yöntemi.

Aşkın denklemler.

A) Üstel denklemler ve bunları çözmenin bir yolu.

B) Logaritmik denklemler ve bunları çözmenin bir yolu.

giriiş

Alınan matematik eğitimi ortaokul, dır-dir temel bileşen Genel Eğitim Ve Genel Kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizik, teknoloji ve Bilişim teknolojisi gelecekte de durumun aynı kalacağından şüpheniz olmasın. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, nasıl çözüleceğini öğrenmeniz gereken çeşitli denklem türlerinin çözülmesine bağlıdır.

Bu çalışma, yukarıdaki konuyla ilgili çalışılan materyali özetleme ve sistematik hale getirme girişimidir. Malzemeyi en basitinden başlayarak zorluk sırasına göre düzenledim. Hem okul cebir dersinden bildiğimiz denklem türlerini hem de ek malzeme. Aynı zamanda okul dersinde işlenmeyen ancak yüksek öğrenime girerken bilgisine ihtiyaç duyulabilecek denklem türlerini göstermeye çalıştım. Eğitim kurumu. Çalışmamda denklem çözerken kendimi sadece bunlarla sınırlamadım. geçerli çözüm, ama aynı zamanda karmaşık olduğunu da belirtti, çünkü aksi takdirde denklemin çözülemeyeceğini düşünüyorum. Sonuçta bir denklemin reel kökleri yoksa bu onun çözümlerinin olmadığı anlamına gelmez. Maalesef zaman yetersizliğinden dolayı elimdeki tüm materyali sunamadım, ancak burada sunulan materyalle bile birçok soru ortaya çıkabilir. Umarım bilgim çoğu soruyu cevaplamaya yeterlidir. Böylece materyali sunmaya başlıyorum.

Matematik... düzeni ortaya çıkarır,

simetri ve kesinlik,

ve bunlar güzelliğin en önemli türleridir.

Aristo.

Tarihsel referans

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. MÖ 2. binyılda Mısırlı yazar Ahmes, "Üçte iki, yarım ve yedide birle birlikte 37 yapan bir yığın arıyoruz..." diye öğretmişti. Antik çağlarda matematik problemleri Mezopotamya, Hindistan, Çin, Yunanistan, bilinmeyen miktarlar bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğa sayısını, mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin bütünlüğünü ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitimli katipler, yetkililer ve inisiyeler gizli bilgi Rahipler bu tür görevlerle oldukça başarılı bir şekilde başa çıktılar.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs değil, tek bir tane bile kil tablet bu tekniklere ilişkin herhangi bir açıklama verilmemiştir. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.

Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi, zamanla çok iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el- Khwarizmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişiminde başlangıç ​​noktasını oluşturdu.

denklemler Cebirsel denklemler

Temel tanımlar

Cebirde iki tür eşitlik dikkate alınır: özdeşlikler ve denklemler.

Kimlik içerdiği harflerin tüm (kabul edilebilir) değerleri için geçerli olan bir eşitliktir). Bir işaretle birlikte bir kimliği kaydetmek için

Denklem içerisinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Denklemde yer alan harfler problemin koşullarına göre eşit olmayabilir; bazıları her şeyi kabul edebilir. geçerli değerler(arandılar parametreler veya katsayılar denklemler ve genellikle Latin alfabesinin ilk harfleriyle gösterilir:

İÇİNDE Genel görünüm denklem şu şekilde yazılabilir:

Sayıya bağlı olarak bilinmeyen denklem bir, iki vb. bilinmeyenli denklem denir.