İntegrasyon alanının bir düzlemde yer alan belirli bir eğrinin bir parçası olduğu durum için. Çizgi integralinin genel gösterimi aşağıdaki gibidir:
Nerede F(X, sen) iki değişkenin bir fonksiyonudur ve L- bir segment boyunca eğri AB hangi entegrasyon gerçekleşir? İntegral bire eşitse çizgi integrali uzunluğa eşit yay AB .
Her zaman olduğu gibi integral hesabı Eğrisel bir integral, çok büyük bir şeyin bazı çok küçük parçalarının integral toplamlarının limiti olarak anlaşılmaktadır. Eğrisel integraller durumunda neler özetlenir?
Uçakta bir bölüm olsun AB biraz eğri L ve iki değişkenli bir fonksiyon F(X, sen) eğrinin noktalarında tanımlanmış L. Eğrinin bu bölümüyle aşağıdaki algoritmayı uygulayalım.
- Bölünmüş eğri AB noktalı parçalara ayırın (aşağıdaki resimler).
- Her parçada bir noktayı serbestçe seçin M.
- Seçilen noktalardaki fonksiyonun değerini bulun.
- Fonksiyon değerleri şununla çarpılır:
- durumunda parçaların uzunlukları birinci türden eğrisel integral ;
- durumda parçaların koordinat eksenine projeksiyonları ikinci türden eğrisel integral .
- Tüm ürünlerin toplamını bulun.
- Eğrinin en uzun kısmının uzunluğunun sıfıra yaklaşması koşuluyla, bulunan integral toplamının limitini bulun.
Bahsedilen sınır mevcutsa, o zaman bu integral toplamının limitine fonksiyonun eğrisel integrali denir F(X, sen) eğri boyunca AB .
birinci tür
Eğrisel integral durumu
ikinci tür
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım.
MBen ( ζ Ben ; η Ben)- her sitede seçilen koordinatlara sahip bir nokta.
FBen ( ζ Ben ; η Ben)- fonksiyon değeri F(X, sen) seçilen noktada.
Δ SBen- bir eğri parçasının bir kısmının uzunluğu (birinci türden eğrisel integral durumunda).
Δ XBen- eğri parçasının bir kısmının eksene yansıtılması Öküz(ikinci türden eğrisel integral durumunda).
D= maksimumΔ S Ben- eğri parçasının en uzun kısmının uzunluğu.
Birinci türden eğrisel integraller
Yukarıdaki integral toplamlarının limiti ile ilgili bilgilere dayanarak, birinci türden bir eğrisel integral şu şekilde yazılır:
.
Birinci türden bir çizgi integrali sahip olduğu tüm özelliklere sahiptir. belirli integral. Ancak önemli bir fark var. Belirli bir integral için integralin sınırları değiştirildiğinde işaret ters yönde değişir:
Birinci türden eğrisel integral durumunda, eğrinin hangi noktasının önemi yoktur. AB (A veya B) segmentin başlangıcı olarak kabul edilir ve hangisi sondur, yani
.
İkinci türden eğrisel integraller
İntegral toplamlarının limiti hakkında söylenenlere dayanarak ikinci türden bir eğrisel integral şu şekilde yazılır:
.
İkinci türden bir eğrisel integral durumunda, bir eğri parçasının başı ve sonu yer değiştirdiğinde integralin işareti değişir:
.
İkinci türden eğrisel bir integralin integral toplamını derlerken, fonksiyonun değerleri FBen ( ζ Ben ; η Ben) bir eğri parçasının parçalarının eksene izdüşümüyle de çarpılabilir oy. Sonra integrali alıyoruz
.
Uygulamada genellikle ikinci türden eğrisel integrallerin birleşimi, yani iki fonksiyon kullanılır. F = P(X, sen) Ve F = Q(X, sen) ve integraller
,
ve bu integrallerin toplamı
isminde ikinci türden genel eğrisel integral .
Birinci türden eğrisel integrallerin hesaplanması
Birinci türden eğrisel integrallerin hesaplanması, belirli integrallerin hesaplanmasına indirgenmiştir. İki durumu ele alalım.
Düzlemde bir eğri verilsin sen = sen(X) ve bir eğri parçası AB değişkendeki bir değişikliğe karşılık gelir X itibaren A ile B. Daha sonra eğrinin noktalarında integral fonksiyonu F(X, sen) = F(X, sen(X)) ("Y", "X" ile ifade edilmelidir) ve yayın diferansiyeli ve çizgi integrali aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir
.
Eğer integralin integrali daha kolaysa sen, o zaman ifade etmemiz gereken eğrinin denkleminden X = X(sen) (“x” ila “y”), burada integrali aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
.
Örnek 1.
Nerede AB- noktalar arasındaki düz çizgi parçası A(1; −1) ve B(2; 1) .
Çözüm. Düz bir çizginin denklemini yapalım AB formülü kullanarak (belirli iki noktadan geçen bir çizginin denklemi A(X1 ; sen 1 ) Ve B(X2 ; sen 2 ) ):
İfade ettiğimiz düz çizgi denkleminden sen başından sonuna kadar X :
O zaman ve şimdi integrali hesaplayabiliriz çünkü elimizde yalnızca “X”ler kaldı:
Uzayda bir eğri verilsin
Daha sonra eğrinin noktalarında fonksiyon parametre aracılığıyla ifade edilmelidir. T() ve ark diferansiyeli , bu nedenle eğrisel integral aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir
Benzer şekilde düzlemde bir eğri verilmişse
,
daha sonra eğrisel integral aşağıdaki formülle hesaplanır
.
Örnek 2.Çizgi integralini hesapla
Nerede L- bir daire çizgisinin parçası
birinci oktantta yer alır.
Çözüm. Bu eğri, düzlemde bulunan bir daire çizgisinin dörtte biridir z= 3 . Parametre değerlerine karşılık gelir. Çünkü
daha sonra ark diferansiyeli
İntegrand fonksiyonunu parametre aracılığıyla ifade edelim. T :
Artık her şeyin bir parametreyle ifade edildiğine göre T Bu eğrisel integralin hesaplamasını belirli bir integrale indirgeyebiliriz:
İkinci türden eğrisel integrallerin hesaplanması
Birinci türden eğrisel integrallerde olduğu gibi, ikinci tür integrallerin hesaplanması da belirli integrallerin hesaplanmasına indirgenir.
Eğri Kartezyen dikdörtgen koordinatlarda verilmiştir.
Düzlemdeki bir eğrinin “X” ile ifade edilen “Y” fonksiyonunun denklemi ile verilebileceğini varsayalım: sen = sen(X) ve eğrinin yayı AB değişime karşılık gelir X itibaren A ile B. Daha sonra "y" ile "x" arasındaki ifadeyi integralin yerine koyarız ve "y"nin bu ifadesinin "x"e göre diferansiyelini belirleriz: . Artık her şey “x” cinsinden ifade edildiğine göre, ikinci türden çizgi integrali belirli bir integral olarak hesaplanır:
İkinci türden bir eğrisel integral, eğri "y" ile ifade edilen "x" fonksiyonunun denklemi ile verildiğinde benzer şekilde hesaplanır: X = X(sen) , . Bu durumda integrali hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:
Örnek 3.Çizgi integralini hesapla
, Eğer
A) L- düz bölüm O.A., Nerede HAKKINDA(0; 0) , A(1; −1) ;
B) L- parabol yayı sen = X² itibaren HAKKINDA(0; 0) ila A(1; −1) .
a) Düz bir doğru parçası (şekilde mavi) üzerinde eğrisel integrali hesaplayalım. Doğrunun denklemini yazalım ve “Y”yi “X”e kadar ifade edelim:
.
Aldık ölmek = dx. Bu eğrisel integrali çözüyoruz:
b) eğer L- parabol yayı sen = X², şunu elde ederiz ölmek = 2xdx. İntegrali hesaplıyoruz:
Az önce çözülen örnekte iki durumda aynı sonucu elde ettik. Ve bu bir tesadüf değil, bir örüntünün sonucudur, çünkü bu integral aşağıdaki teoremin koşullarını karşılamaktadır.
Teorem. Eğer işlevler P(X,sen) , Q(X,sen) ve bunların kısmi türevleri bölgede süreklidir D fonksiyonlar ve bu bölgedeki noktalarda kısmi türevler eşittir, bu durumda eğrisel integral çizgi boyunca entegrasyon yoluna bağlı değildir L bölgede bulunan D .
Eğri parametrik biçimde verilmiştir
Uzayda bir eğri verilsin
.
ve yerine koyduğumuz integrallere
bu fonksiyonları bir parametre aracılığıyla ifade etmek T. Eğrisel integrali hesaplamak için formülü elde ederiz:
Örnek 4.Çizgi integralini hesapla
,
Eğer L- bir elipsin parçası
koşulu karşılamak sen ≥ 0 .
Çözüm. Bu eğri elipsin düzlemde bulunan kısmıdır z= 2 . Parametre değerine karşılık gelir.
eğrisel integrali belirli bir integral biçiminde temsil edebilir ve hesaplayabiliriz:
Bir eğri integrali verilirse ve L kapalı bir çizgi ise böyle bir integrale kapalı döngü integrali denir ve kullanılarak hesaplanması daha kolaydır. Green'in formülü .
Çizgi integrallerinin hesaplanmasına ilişkin daha fazla örnek
Örnek 5.Çizgi integralini hesapla
Nerede L- Koordinat eksenleriyle kesiştiği noktalar arasında düz bir çizgi parçası.
Çözüm. Doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını belirleyelim. Denklemin içine düz bir çizgi koymak sen= 0, elde ederiz. Değiştirme X= 0, elde ederiz. Böylece eksenle kesişme noktası Öküz - A(2; 0) , eksenli oy - B(0; −3) .
İfade ettiğimiz düz çizgi denkleminden sen :
.
, .
Artık çizgi integralini belirli bir integral olarak temsil edebilir ve hesaplamaya başlayabiliriz:
İntegralde faktörü seçeriz ve onu integral işaretinin dışına taşırız. Ortaya çıkan integralde kullandığımız diferansiyel işaretine abone olmak ve sonunda anlıyoruz.
Parametrik denklemlerle tanımlanan bir AB eğrisine, eğer fonksiyonlar ve parça üzerinde sürekli türevleri varsa ve parça üzerinde sonlu sayıda noktada bu türevler mevcut değilse veya aynı anda yok oluyorsa, o zaman eğri parçalı düzgün olarak adlandırılır. AB düz bir eğri, düzgün veya parçalı düzgün olsun. f(M) AB eğrisi üzerinde veya bu eğriyi içeren bazı D bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. A B eğrisinin noktalara göre parçalara bölünmesini düşünelim (Şekil 1). Yayların her birinde A^At+i'yi seçiyoruz keyfi nokta Mk'yi bulun ve Alt'ın yayın uzunluğu olduğu bir toplam yapın ve buna f(M) fonksiyonunun eğri yayının uzunluğu boyunca integral toplamı adını verin. Kısmi yayların uzunluklarının en büyüğü D / olsun, yani Uzay eğrileri için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler Tanımlar Arası İlişki. İntegral toplamında (I) varsa son sınır AB eğrisini parçalara ayırma yöntemine veya bölümün yaylarının her birindeki noktaların seçimine bağlı olmayan bu limite, f( fonksiyonunun \'inci türünün eğrisel integrali denir. M) AB eğrisi boyunca (eğrinin yayının uzunluğu boyunca integral) ve sembolüyle gösterilir. Bu durumda, /(M) fonksiyonuna ABU eğrisi boyunca integrallenebilir olduğu söylenir; A B eğrisine kontur denir; İntegral, A başlangıç noktası, B ise integralin bitiş noktasıdır. Dolayısıyla, tanım gereği, Örnek 1. Değişken doğrusal yoğunluğa sahip J(M) bir kütlenin düzgün bir L eğrisi boyunca dağıtıldığını varsayalım. L eğrisinin m kütlesini bulun. (2) L eğrisini n adet isteğe bağlı parçaya bölelim ve her parçanın yoğunluğunun sabit ve herhangi bir noktadaki yoğunluğa eşit olduğunu varsayarak her parçanın kütlesini yaklaşık olarak hesaplayalım. , örneğin en sol noktada /(Af*). Bu durumda, D/d'nin D'inci kısmın uzunluğu olduğu toplam ksh, m kütlesinin yaklaşık bir değeri olacaktır. L eğrisinin bölümü ne kadar küçük olursa, kesin değeri de o kadar küçük elde edeceğimiz açıktır. L eğrisinin tamamının kütlesi, yani. Ancak sağdaki limit 1. türden eğrisel bir integraldir. Yani 1.1. 1. türden eğrisel bir integralin varlığı AB eğrisi üzerinde A başlangıç noktasından ölçülen I yayının uzunluğunu parametre olarak alalım (Şekil 2). Daha sonra AB eğrisi, L'nin AB eğrisinin uzunluğu olduğu denklemler (3) ile tanımlanabilir. Denklemlere (3) AB eğrisinin doğal denklemleri denir. Doğal denklemlere geçerken, AB eğrisi üzerinde tanımlanan f(x) y) fonksiyonu, I: / (x(1)) y(1)) değişkeninin bir fonksiyonuna indirgenecektir. Mku noktasına karşılık gelen I parametresinin değerini göstererek, integral toplamını (I) şu şekilde yeniden yazıyoruz: Bu, şuna karşılık gelen integral toplamıdır: İntegral toplamları (1) ve (4) birbirine eşit olduğundan karşılık gelen integraller de eşittir. Böylece, (5) Teorem 1. Eğer /(M) fonksiyonu düzgün bir AB eğrisi boyunca sürekli ise, o zaman eğrisel bir integral vardır (çünkü bu koşullar altında sağda eşitlikte (5) belirli bir integral vardır. 1.2. 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri 1. İntegral toplamının (1) formundan şu sonuç çıkar: 1. türden eğrisel bir integralin değeri, entegrasyonun yönüne bağlı değildir. 2. Doğrusallık. Eğer /() fonksiyonlarının her biri için ABt eğrisi boyunca bir eğrisel integral varsa, o zaman a ve /3'ün herhangi bir sabit olduğu a/ fonksiyonu için AB> ve 3 eğrisi boyunca bir eğrisel integral de vardır. . AB eğrisi iki parçadan oluşuyorsa ve /(M) fonksiyonu için ABU üzerinde eğrisel bir integral varsa, o zaman 4'lü integraller vardır. AB eğrisi üzerinde 0 ise o zaman 5. Eğer fonksiyon AB eğrisi üzerinde integrallenebilirse , ardından || işlevi aynı zamanda A B üzerinde integrallenebilir ve aynı zamanda b'dir. Ortalama formül. Eğer / fonksiyonu AB eğrisi boyunca sürekli ise, bu eğri üzerinde L'nin AB eğrisinin uzunluğu olduğu bir Mc noktası vardır. 1.3. 1. tür eğrisel integralin hesaplanması AB eğrisinin, A noktası t = ila değerine ve B noktası değere karşılık gelecek şekilde parametrik denklemlerle verilsin. Fonksiyonların türevleriyle birlikte sürekli olduğunu ve eşitsizliğin sağlandığını varsayacağız. Daha sonra, özellikle AB eğrisi açık bir denklemle veriliyorsa, eğrinin yayının diferansiyeli hesaplanır. [a, b] üzerinde türevlenebilir ve A noktası x = a değerine ve B noktası - değer x = 6'ya karşılık gelir, o zaman x'i parametre olarak alarak 1.4 elde ederiz. Uzaysal eğriler için 1. tür eğrisel integraller Yukarıda bir düzlem eğri için formüle edilen 1. türden eğrisel integralin tanımı, f(M) fonksiyonunun bir AB uzaysal eğrisi boyunca verildiği duruma tam anlamıyla aktarılır. AB eğrisi parametrik denklemlerle verilsin Uzamsal eğriler için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler Arasındaki İlişki Daha sonra bu eğri boyunca alınan eğrisel integral aşağıdaki formül kullanılarak belirli bir integrale indirgenebilir: aşağıdaki formülü kullanın: Örnek 2. L'nin, köşeleri bir noktada olan bir üçgenin konturu olduğu eğrisel integrali hesaplayın* (Şekil 3). Toplanabilirlik özelliği sayesinde her bir integrali ayrı ayrı hesaplayalım. OA segmentinde elimizde: , sonra AN segmentinde elimizde var, burada ve sonra Şekil 1. Son olarak, Bu nedenle, Not. İntegralleri hesaplarken, buna göre özellik 1'i kullandık. 2. türden eğrisel integraller A B, xOy düzleminde düzgün veya parçalı düzgün yönelimli bir eğri olsun ve AB eğrisini içeren bir D alanında tanımlanan bir vektör fonksiyonu olsun. AB eğrisini koordinatlarını sırasıyla ile gösterdiğimiz noktalara sahip parçalara bölelim (Şekil 4). AkAk+\ temel yaylarının her birinde rastgele bir nokta alıp toplamını alıyoruz. Yayların en büyüğünün uzunluğu D/ olsun. Toplamda (1), AB eğrisini bölme yöntemine veya temel yaylar üzerindeki rjk) noktalarının seçimine bağlı olmayan sonlu bir limite sahipse, bu limite vektörün 2-kenarının eğrisel integrali denir. AB eğrisi boyunca fonksiyondur ve tanımı gereği So sembolü ile gösterilir. Teorem 2. AB eğrisini içeren bazı D bölgesinde fonksiyonlar sürekli ise, bu durumda 2-kentin eğrisel integrali mevcuttur. M(x, y) noktasının yarıçap vektörü olsun. Daha sonra formül (2)'deki integral şu şekilde temsil edilebilir: belirli integral F(M) ve dr vektörleri. Yani bir vektör fonksiyonunun 2. tür AB eğrisi boyunca integrali kısaca şu şekilde yazılabilir: 2.1. 2. tür eğrisel integralin hesaplanması AB eğrisinin parametrik denklemlerle tanımlanmasına izin verin; burada fonksiyonlar segment üzerindeki türevlerle birlikte süreklidir ve t parametresindeki t0'dan t\'ye bir değişiklik bir hareketine karşılık gelir. A noktasının AB eğrisi boyunca B noktasına kadar olan noktadan B noktasına kadar. AB eğrisini içeren bir D bölgesinde fonksiyonlar sürekli ise, o zaman 2. türden eğrisel integral aşağıdaki belirli integrale indirgenir: Böylece, 2. tür eğrisel integral de belirli integralin hesaplanmasına indirgenebilir. О) Örnek 1. Noktaları birleştiren düz bir çizgi parçası boyunca integrali hesaplayın 2) aynı noktaları birleştiren bir parabol boyunca) Bir çizgi parametresinin denklemi, buradan So 2) AB çizgisinin denklemi: Dolayısıyla, dikkate alınan örnek, 2. türden bir eğri integrali genel anlamda integrasyon yolunun şekline bağlıdır. 2.2. 2. tür eğrisel integralin özellikleri 1. Doğrusallık. Uzay eğrileri için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri varsa 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler O zaman herhangi bir gerçek a ve /5 için bir integral vardır, burada 2. Additenost. AB eğrisi AC ve SB kısımlarına bölünmüşse ve bir eğrisel integral mevcutsa, o zaman integraller de vardır. 2. türden bir eğrisel integralin fiziksel yorumunun son özelliği işe yarar. kuvvet alanı Belirli bir yol boyunca F: Bir eğri boyunca hareketin yönü değiştiğinde, bu eğri boyunca kuvvet alanının işi ters yönde işaret değiştirir. 2.3. 1. ve 2. türden eğrisel integraller arasındaki ilişki Yönlendirilmiş AB (A -) eğrisinin bulunduğu 2. türden eğrisel bir integrali düşünün. başlangıç noktası, İÇİNDE - bitiş noktası) vektör denklemiyle verilir (burada I, AB eğrisinin yönlendirildiği yönde ölçülen eğrinin uzunluğudur) (Şekil 6). O halde dr veya burada r = m(1) - birim vektör AB eğrisine M(1) noktasında teğettir. O zaman bu formüldeki son integralin 1. türden eğrisel bir integral olduğuna dikkat edin. AB eğrisinin yönü değiştiğinde, r teğetinin birim vektörü, işaretinde bir değişiklik gerektiren karşıt vektör (-r) ile değiştirilir. integrand ve dolayısıyla integralin işareti.
Eğri kütle problemi. Parçalı düzgün L:(AB) malzeme eğrisinin her noktasında yoğunluğu belirtilsin. Eğrinin kütlesini belirleyin.
Düz bir bölgenin kütlesini belirlerken yaptığımız gibi aynı şekilde ilerleyelim ( çift katlı integral) ve uzaysal bir cisim (üçlü integral).
1. Alan yayı L'nin elemanlara (temel yaylar) bölünmesini düzenliyoruz bu elemanların ortak olmaması için iç noktalar Ve
(koşul A
)
2. Bölümün elemanları üzerindeki “işaretli noktaları” M i işaretleyelim ve içlerindeki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım.
3. İntegral toplamını oluşturalım
, Nerede - yay uzunluğu (genellikle yay ve uzunluğu için aynı gösterimler kullanılır). Bu, eğrinin kütlesi için yaklaşık bir değerdir. Basitleştirme, yay yoğunluğunun her elemanda sabit olduğunu varsaymamız ve sonlu sayıda eleman almamızdır.
Sağlanan sınıra doğru hareket etme
(koşul B
), integral toplamlarının limiti olarak birinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:
.
Varlık teoremi 10 .
Fonksiyona izin ver
parçalı düzgün bir yay L 11 üzerinde süreklidir. O zaman integral toplamlarının limiti olarak birinci türden bir çizgi integrali vardır.
Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:
A koşulu karşılandığı sürece bölüm seçme yöntemi
bölüm elemanları üzerinde “işaretli noktaların” seçilmesi,
B koşulu karşılandığı sürece bölmeyi iyileştirme yöntemi
Birinci türden eğrisel bir integralin özellikleri.
1. Doğrusallık a) süperpozisyon özelliği
b) homojenlik özelliği
.
Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. İntegral toplamının sonlu sayıda terimi olduğundan, eşitliğin sağ tarafları için integral toplamlarına geçiyoruz. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.
2.
Toplanabilirlik. Eğer
,
O
=
+
Kanıt. L bölgesinin bir bölümünü seçelim, böylece bölümün elemanlarından hiçbiri (başlangıçta ve bölümü geliştirirken) aynı anda hem L 1 elemanlarını hem de L 2 elemanlarını içermez. Bu, varlık teoremi kullanılarak yapılabilir (teoreme açıklama). Daha sonra ispat, paragraf 1'de olduğu gibi integral toplamlar aracılığıyla gerçekleştirilir.
3.
.Burada – yay uzunluğu .
4. Bir yay üzerindeyse eşitsizlik sağlanırsa, o zaman
Kanıt. İntegral toplamlarının eşitsizliğini yazıp limite geçelim.
Özellikle bunun mümkün olduğunu unutmayın.
5. Tahmin teoremi.
Sabitler mevcutsa
, bir şey
Kanıt. Eşitsizliği entegre etmek
(özellik 4), şunu elde ederiz
. Sabitin 1. özelliğine göre
integrallerin altından çıkarılabilir. Özellik 3'ü kullanarak istenen sonucu elde ederiz.
6. Ortalama değer teoremi(integralin değeri).
Bir nokta var
, Ne
Kanıt. Fonksiyondan beri
kapalı olarak sürekli sınırlı set, o zaman var alt kenar
ve üst kenar
. Eşitsizlik tatmin oldu. Her iki tarafı da L'ye bölersek şunu elde ederiz:
. Ama sayı
fonksiyonun alt ve üst sınırları arasına alınır. Fonksiyondan beri
kapalı sınırlı bir L kümesi üzerinde süreklidir ve bir noktada
fonksiyonun bu değeri kabul etmesi gerekir. Buradan,
.
Ders 5 1. ve 2. tür eğrisel integraller, özellikleri.
Eğri kütle problemi. 1. türden eğrisel integral.
Eğri kütle problemi. Parçalı düzgün L:(AB) malzeme eğrisinin her noktasında yoğunluğu belirtilsin. Eğrinin kütlesini belirleyin.
Düz bir bölgenin (çift katlı integral) ve uzaysal bir cismin kütlesini belirlerken yaptığımız gibi aynı şekilde ilerleyelim ( üçlü integral).
1. L yay bölgesinin elemanlarına (temel yaylar) bölünmesini düzenliyoruz, böylece bu elemanların ortak iç noktaları olmaz ve( koşul A )
3. Yayın uzunluğunu gösteren integral toplamını oluşturun (genellikle yay ve uzunluğu için aynı gösterim kullanılır). Bu - yaklaşık değer kütle eğrisi. Basitleştirme, yay yoğunluğunun her elemanda sabit olduğunu varsaymamız ve sonlu sayıda eleman almamızdır.
Sağlanan sınıra doğru hareket etme (koşul B ), integral toplamlarının limiti olarak birinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:
.
Varlık teoremi.
Fonksiyonun parçalı düzgün bir L yayı üzerinde sürekli olmasına izin verin. Bu durumda, integral toplamlarının limiti olarak birinci türden bir çizgi integrali mevcuttur.
Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:
Birinci türden eğrisel bir integralin özellikleri.
1. Doğrusallık
a) süperpozisyon özelliği
b) homojenlik özelliği .
Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. İntegral toplamının sonlu sayıda terimi olduğundan, eşitliğin sağ tarafları için integral toplamlarına geçiyoruz. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.
2. Toplanabilirlik.
Eğer ,
O =
+
3. Burada yay uzunluğu verilmiştir.
4. Yay üzerinde eşitsizlik sağlanıyorsa, o zaman
Kanıt. İntegral toplamlarının eşitsizliğini yazıp limite geçelim.
Özellikle bunun mümkün olduğunu unutmayın.
5. Tahmin teoremi.
Eğer sabitler varsa, o zaman
Kanıt. Eşitsizliği entegre etmek (özellik 4), şunu elde ederiz . Özellik 1 ile sabitler integrallerden çıkarılabilir. Özellik 3'ü kullanarak istenen sonucu elde ederiz.
6. Ortalama değer teoremi(integralin değeri).
Bir nokta var , Ne
Kanıt. Fonksiyon kapalı sınırlı bir kümede sürekli olduğundan, onun infimumu mevcuttur ve üst kenar . Eşitsizlik tatmin oldu. Her iki tarafı da L'ye bölersek şunu elde ederiz: . Ama sayı fonksiyonun alt ve üst sınırları arasına alınır. Fonksiyon kapalı sınırlı bir L kümesi üzerinde sürekli olduğundan, bir noktada fonksiyonun bu değeri alması gerekir. Buradan, .
Birinci türden eğrisel integralin hesaplanması.
L yayını parametreleştirelim: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0'ın A noktasına ve t 1'in B noktasına karşılık gelmesine izin verin. Daha sonra birinci türden çizgi integrali belirli bir integrale ( - yay uzunluğunun diferansiyelini hesaplamak için 1. yarıyıldan beri bilinen formül):
Örnek. Homojen (yoğunluğu k'ya eşit) bir sarmalın bir turunun kütlesini hesaplayın: .
2. tür eğrisel integral.
Kuvvet çalışması sorunu.
Kuvvet ne kadar iş üretir?F(M) bir noktayı hareket ettirirkenMbir yay boyuncaAB? AB yayı düz bir çizgi parçası olsaydı ve M noktasını AB yayı boyunca hareket ettirirken kuvvetin büyüklüğü ve yönü sabit olsaydı, iş, vektörler arasındaki açı olan formül kullanılarak hesaplanabilirdi. İÇİNDE genel durum bu formül, yeterince küçük uzunluktaki bir yayın elemanı üzerinde sabit bir kuvvet olduğu varsayılarak integral toplamını oluşturmak için kullanılabilir. Yayın küçük elemanının uzunluğu yerine, onu daraltan kirişin uzunluğunu alabilirsiniz, çünkü bu miktarlar koşul altında (ilk dönem) eşdeğer sonsuz küçük miktarlardır. |
1. AB yayı bölgesinin elemanlara - temel yaylara bölünmesini düzenliyoruz, böylece bu elemanların ortak iç noktaları olmaz ve( koşul A )
2. Bölümün elemanları üzerindeki “işaretli noktaları” M i işaretleyelim ve içlerindeki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım.
3. İntegral toplamını oluşturalım , -arc'ın altındaki akor boyunca yönlendirilen vektör nerede.
4. Sağlanan limite gitmek (koşul B ), integral toplamlarının (ve kuvvet işinin) limiti olarak ikinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:
. Genellikle belirtilir
Varlık teoremi.
Vektör fonksiyonu parçalı düzgün bir L yayı üzerinde sürekli olsun. Bu durumda, integral toplamlarının limiti olarak ikinci türden bir eğrisel integral mevcuttur.
.
Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:
A koşulu karşılandığı sürece bölüm seçme yöntemi
Partition elemanları üzerinde “işaretli noktaların” seçilmesi,
B koşulu karşılandığı sürece bölmeyi iyileştirmek için bir yöntem
2. tür eğrisel integralin özellikleri.
1. Doğrusallık
a) süperpozisyon özelliği
b) homojenlik özelliği .
Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. Bir integral toplamındaki terim sayısı sonlu olduğundan, skaler çarpım özelliğini kullanarak eşitliğin sağ taraflarının integral toplamlarına geçiyoruz. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.
2. Toplanabilirlik.
Eğer ,
O =
+
.
Kanıt. L bölgesinin bir bölümünü seçelim ki, bölüm elemanlarından hiçbiri (başlangıçta ve bölüm iyileştirildiğinde) aynı anda hem L 1 hem de L 2 öğelerini içersin. Bu, varlık teoremi kullanılarak yapılabilir (teoreme açıklama). Daha sonra ispat, paragraf 1'de olduğu gibi integral toplamlar aracılığıyla gerçekleştirilir.
3. Yönlendirilebilirlik.
= -
Kanıt. –L yayı üzerinde integral, yani. V olumsuz yön Yayın çapraz geçişi, () olan terimlerdeki integral toplamların sınırıdır. Skaler çarpımdan ve toplamdan “eksi”yi çıkarmak sonlu sayı terimleri limite geçerek gerekli sonucu elde ederiz.