Paralelyüzün zıt yüzleri hangi özelliklere sahiptir? Ders: Küboid

Paralel boru, 6 yüzü de paralelkenar olan geometrik bir şekildir.

Bu paralelkenarların türüne bağlı olarak, aşağıdaki paralel boru türleri ayırt edilir:

• doğrudan;
• eğimli;
• dikdörtgen.

Sağ paralel yüzlü, kenarları taban düzlemi ile 90° açı yapan dörtgen bir prizmadır.

Dikdörtgen paralel yüzlü, tüm yüzleri dikdörtgen olan dörtgen bir prizmadır. Küp çeşitlidir dörtgen prizma, tüm yüzlerin ve kenarların birbirine eşit olduğu.

Bir figürün özellikleri onun özelliklerini önceden belirler. Bunlar aşağıdaki 4 ifadeyi içerir:

Verilen tüm özellikleri hatırlamak kolaydır, anlaşılması kolaydır ve tür ve özelliklere göre mantıksal olarak türetilmiştir. geometrik gövde. Ancak basit ifadeler karar vermede inanılmaz derecede yardımcı olabilir. tipik görevler Birleşik Devlet Sınavı, testi geçmek için gereken zamandan tasarruf etmenizi sağlar.

Paralel borulu formüller

Sorunun cevabını bulmak için sadece şeklin özelliklerini bilmek yeterli değildir. Geometrik bir cismin alanını ve hacmini bulmak için bazı formüllere de ihtiyacınız olabilir.

Tabanların alanı, paralelkenarın veya dikdörtgenin karşılık gelen göstergesiyle aynı şekilde bulunur. Paralelkenarın tabanını kendiniz seçebilirsiniz. Kural olarak, problemleri çözerken tabanı dikdörtgen olan bir prizma ile çalışmak daha kolaydır.

Paralel borunun yan yüzeyini bulma formülüne test görevlerinde de ihtiyaç duyulabilir.

Tipik Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözme örnekleri

Görev 1.

Verilen: 3, 4 ve 12 cm boyutlarında dikdörtgen paralel yüzlü.
GerekliŞeklin ana köşegenlerinden birinin uzunluğunu bulun.
Çözüm: Herhangi bir çözüm geometrik problemÜzerinde "verilen" ve istenen değerin gösterileceği doğru ve net bir çizimin yapımıyla başlamalıdır. Aşağıdaki resimde bir örnek gösterilmektedir doğru tasarım görev koşulları.

Yapılan çizimi inceledikten ve geometrik cismin tüm özelliklerini hatırlayarak tek sonuca geliyoruz. doğru yolçözümler. Paralelyüzün 4. özelliğini uygulayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Basit hesaplamalardan sonra b2=169, dolayısıyla b=13 ifadesini elde ederiz. Görevin cevabı bulundu; onu aramak ve çizmek için 5 dakikadan fazla zaman harcamanıza gerek yok.

Geometride anahtar kavramlar düzlem, nokta, doğru ve açıdır. Bu terimleri kullanarak herhangi bir geometrik şekli tanımlayabilirsiniz. Çokyüzlüler genellikle daha fazla terimle tanımlanır. basit rakamlar Aynı düzlemde bulunan daire, üçgen, kare, dikdörtgen vb. gibi. Bu yazıda paralelyüzün ne olduğuna bakacağız, paralelyüz türlerini, özelliklerini, hangi unsurlardan oluştuğunu açıklayacağız ve ayrıca vereceğiz. temel formüller Her bir paralelyüz tipinin alanını ve hacmini hesaplamak için.

Tanım

Paralel borulu üç boyutlu uzay tüm kenarları paralelkenar olan bir prizmadır. Buna göre yalnızca üç çift paralel paralelkenar veya altı yüze sahip olabilir.

Paralel boruyu görselleştirmek için sıradan bir standart tuğla hayal edin. Tuğla - iyi örnek bir çocuğun bile hayal edebileceği dikdörtgen bir paralel yüzlü. Diğer örnekler arasında çok katlı panel evler, dolaplar, saklama kapları sayılabilir. gıda ürünleri uygun form vb.

Şekil çeşitleri

Yalnızca iki tür paralelyüz vardır:

1. Dikdörtgen, hepsi yan yüzler tabana 90° açı yapan ve dikdörtgen şeklinde olanlardır.
2. Yan kenarları altta bulunan eğimli belirli açıÜsse.

Bu rakam hangi unsurlara ayrılabilir?

• Diğer herhangi bir geometrik şekilde olduğu gibi, paralel uçlu bir ortak kenarlı herhangi 2 yüze bitişik denir ve buna sahip olmayanlar paraleldir (çift paralel olan bir paralelkenarın özelliğine dayanarak). zıt taraflar).
• Bir paralel yüzün aynı yüzde yer almayan köşelerine zıt denir.
• Bu tür köşeleri birleştiren bölüm bir köşegendir.
• Bir küboidin bir tepe noktasında buluşan üç kenarının uzunlukları onun boyutlarıdır (yani uzunluğu, genişliği ve yüksekliği).

Şekil Özellikleri

1. Her zaman köşegenin ortasına göre simetrik olarak inşa edilir.
2. Tüm köşegenlerin kesişme noktası, her köşegeni iki eşit parçaya böler.
3. Zıt yüzler uzunlukları eşit ve paralel doğrular üzerinde yer almaktadır.
4. Paralel borunun tüm boyutlarının karelerini toplarsanız, elde edilen değer köşegen uzunluğunun karesine eşit olacaktır.

Hesaplama formülleri

Paralel borunun her özel durumu için formüller farklı olacaktır.

Rastgele bir paralelyüzlü için hacminin eşit olduğu doğrudur mutlak değerüçlü nokta çarpım bir tepe noktasından çıkan üç kenarın vektörleri. Bununla birlikte, rastgele bir paralelyüzün hacmini hesaplamak için bir formül yoktur.

Dikdörtgen paralel yüzlü için aşağıdaki formüller geçerlidir:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - şeklin hacmi;
• Sb - yan yüzey alanı;
• Sp alanı tam yüzey;
• a - uzunluk;
• b - genişlik;
• c - yükseklik.

Tüm kenarları kare olan paralelyüzlülerin bir başka özel durumu da küptür. Karenin kenarlarından herhangi biri a harfi ile belirtilmişse, bu şeklin yüzey alanı ve hacmi için aşağıdaki formüller kullanılabilir:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- şeklin alanı,
• V şeklin hacmidir,
• a, figürün yüzünün uzunluğudur.

Düşündüğümüz son paralel yüzlü tip düz paralel yüzlüdür. Sağ paralel yüzlü ile küboid arasındaki farkın ne olduğunu soruyorsunuz. Gerçek şu ki, dikdörtgen bir paralel yüzün tabanı herhangi bir paralelkenar olabilir, ancak düz bir paralel yüzün tabanı yalnızca bir dikdörtgen olabilir. Tüm kenarların uzunluklarının toplamına eşit olan tabanın çevresini Po, yüksekliğini ise h harfi ile belirtirsek, şunu kullanma hakkımız olur: aşağıdaki formüller Tam ve yan yüzeylerin hacmini ve alanlarını hesaplamak.

Bu derste herkes “konusunu çalışabilecek” Dikdörtgen paralel yüzlü" Dersin başında rastgele ve düz paralelyüzlerin ne olduğunu tekrarlayacağız, karşıt yüzlerinin özelliklerini ve paralelyüzün köşegenlerini hatırlayacağız. Daha sonra küpün ne olduğuna bakacağız ve temel özelliklerini tartışacağız.

Konu: Doğruların ve düzlemlerin dikliği

Ders: Küboid

İki eşit paralelkenar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 ile dört paralelkenar ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1'den oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü(Şekil 1).

Pirinç. 1 Paralel borulu

Yani: iki eşit ABCD paralelkenarımız ve A 1 B 1 C 1 D 1 (tabanlarımız) var, bunlar paralel düzlemler Bu yüzden yan kaburgalar AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paraleldir. Bu nedenle paralelkenarlardan oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü.

Böylece, bir paralelyüzün yüzeyi, paralelkenarı oluşturan tüm paralelkenarların toplamıdır.

1. Paralel borunun zıt yüzleri paralel ve eşittir.

(Şekiller eşittir yani üst üste bindirilerek birleştirilebilirler)

Örneğin:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( eşit paralelkenarlar tanımı gereği),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ve DD 1 C 1 C'den beri - Zıt yüzler paralelyüzlü),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (çünkü AA 1 D 1 D ve BB 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleridir).

2. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür.

Paralel uçlu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B'nin köşegenleri bir O noktasında kesişir ve her köşegen bu noktaya göre ikiye bölünür (Şekil 2).

Pirinç. 2 Paralel borunun köşegenleri kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

3. Paralel borunun dörtlü eşit ve paralel kenarları vardır: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CС 1, DD 1.

Tanım. Yan kenarları tabanlara dik ise paralel uçluya düz denir.

AA 1'in yan kenarının tabana dik olmasına izin verin (Şek. 3). Bu, AA 1 düz çizgisinin, taban düzleminde yer alan AD ve AB düz çizgilerine dik olduğu anlamına gelir. Bu, yan yüzlerin dikdörtgenler içerdiği anlamına gelir. Ve tabanlar keyfi paralelkenarlar içeriyor. ∠BAD = φ diyelim, φ açısı herhangi bir olabilir.

Pirinç. 3 Sağ paralel yüzlü

Dolayısıyla, sağ paralel boru, yan kenarların paralel borunun tabanlarına dik olduğu bir paralel borudur.

Tanım. Paralel boruya dikdörtgen denir, yan kenarları tabana dik ise. Tabanlar dikdörtgendir.

Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 aşağıdaki durumlarda dikdörtgendir (Şekil 4):

1. AA 1 ⊥ ABCD (taban düzlemine dik yan kenar, yani düz bir paralel yüzlü).

2. ∠BAD = 90°, yani taban bir dikdörtgendir.

Pirinç. 4 Dikdörtgen paralel yüzlü

Dikdörtgen bir paralel boru, keyfi bir paralel borunun tüm özelliklerine sahiptir. Ancak küboidin tanımından türetilen ek özellikler de vardır.

Bu yüzden, küboid yan kenarları tabana dik olan bir paralelyüzdür. Küboidin tabanı bir dikdörtgendir.

1. Dikdörtgen bir paralelyüzde altı yüzün tümü dikdörtgendir.

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 tanım gereği dikdörtgenlerdir.

2. Yan kaburgalar tabana diktir. Bu, dikdörtgen bir paralel yüzün tüm yan yüzlerinin dikdörtgen olduğu anlamına gelir.

3. Dikdörtgen paralel borunun tüm dihedral açıları diktir.

Örneğin, AB kenarı olan dikdörtgen paralel yüzlü bir dikdörtgenin dihedral açısını, yani ABC 1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açıyı ele alalım.

AB bir kenardır, A 1 noktası bir düzlemde - ABB 1 düzleminde ve D noktası diğerinde - A 1 B 1 C 1 D 1 düzleminde yer alır. O zaman söz konusu dihedral açı şu şekilde de gösterilebilir: ∠A 1 ABD.

AB kenarı üzerinde A noktasını alalım. AA 1 - АВВ-1 düzleminde AB kenarına dik, AD AB kenarına dik ABC düzlemi. Yani, ∠A 1 AD - doğrusal açı verilen dihedral açı. ∠A 1 AD = 90°, bu AB kenarındaki dihedral açının 90° olduğu anlamına gelir.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Benzer şekilde, dikdörtgen bir paralelyüzün herhangi bir dihedral açısının dik olduğu kanıtlanmıştır.

Bir küpün kare köşegeni toplamına eşitüç boyutunun kareleri.

Not. Bir küboidin bir köşesinden çıkan üç kenarın uzunlukları küboidin ölçümleridir. Bazen uzunluk, genişlik, yükseklik olarak da adlandırılırlar.

Verilen: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - dikdörtgen paralel yüzlü (Şekil 5).

Kanıtlamak: .

Pirinç. 5 Dikdörtgen paralel yüzlü

Kanıt:

CC1 düz çizgisi ABC düzlemine ve dolayısıyla AC düz çizgisine diktir. Bu, CC 1 A üçgeninin dik açılı olduğu anlamına gelir. Pisagor teoremine göre:

düşünelim dik üçgen ABC. Pisagor teoremine göre:

Ancak BC ve AD dikdörtgenin karşıt kenarlarıdır. Yani BC = MS. Daha sonra:

Çünkü , A , O. CC 1 = AA 1 olduğundan kanıtlanması gereken şey budur.

Dikdörtgen paralel borunun köşegenleri eşittir.

Paralel borulu ABC'nin boyutlarını a, b, c olarak gösterelim (bkz. Şekil 6), o zaman AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Veya (eşdeğer olarak) altı yüzü olan ve her biri - paralelkenar.

Paralel boru türleri

Birkaç tür paralelyüz vardır:

• Küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan paralel yüzlü bir cisimdir.
• Sağ paralel yüzlü, dikdörtgen olan 4 yan yüze sahip bir paralel yüzlüdür.
• Eğimli bir paralel boru, yan yüzleri tabanlara dik olmayan bir paralel borudur.

Temel unsurlar

Paralel borunun ortak kenarı olmayan iki yüzüne karşıt, ortak kenarı olanlara ise bitişik denir. Bir paralel yüzün aynı yüze ait olmayan iki köşesine zıt denir. Bağlanan bir segment zıt köşeler, paralelyüzün köşegeni olarak adlandırılır. Üç uzunluk Dikdörtgen paralel yüzlü kenarların ortak üst, buna ölçümler diyoruz.

Özellikler

• Paralel boru, köşegeninin ortası civarında simetriktir.
• Uçları paralel borunun yüzeyine ait olan ve köşegeninin ortasından geçen herhangi bir bölüm ikiye bölünür; özellikle, bir paralelyüzün tüm köşegenleri bir noktada kesişir ve onun tarafından ikiye bölünür.
• Paralel borunun zıt yüzleri paralel ve eşittir.
• Dikdörtgen bir paralel borunun köşegen uzunluğunun karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.

Temel formüller

Sağ paralel yüzlü

Yan yüzey alanı S b =P o *h, burada P o tabanın çevresi, h ise yüksekliktir

Toplam yüzey alanı S p =S b +2S o, burada S o taban alanıdır

Hacim V=S o *h

Dikdörtgen paralel yüzlü

Yan yüzey alanı S b =2c(a+b), burada a, b tabanın kenarlarıdır, c dikdörtgen paralel yüzlünün yan kenarıdır

Toplam yüzey alanı S p =2(ab+bc+ac)

Hacim V=abc, burada a, b, c dikdörtgen bir paralelyüzün boyutlarıdır.

Küp

Yüzey alanı: $S=6a^2$
Hacim: $V=a^3$, Nerede $A$- bir küpün kenarı.

Herhangi bir paralelyüzlü

Hacim ve oranlar eğimli paralel yüzlü genellikle vektör cebiri kullanılarak tanımlanır. Paralel borunun hacmi, karışık ürünün mutlak değerine eşittir üç vektör, bir tepe noktasından çıkan paralel yüzün üç tarafıyla tanımlanır. Bir paralel yüzün kenarlarının uzunlukları ile aralarındaki açılar arasındaki ilişki, belirtilen üç vektörün Gram determinantının şu ifadeyi verir: kareye eşit onların karışık ürün :215 .

Matematiksel analizde

İÇİNDE matematiksel analiz n boyutlu bir küpün altında $B$ birçok noktayı anlayın $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ tür $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"Paralel borulu" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Bağlantılar

Paralel Boruluyu karakterize eden bir alıntı

Tanım

Çokyüzlüçokgenlerden oluşan ve uzayın belirli bir bölümünü sınırlayan kapalı yüzeye diyeceğiz.

Bu çokgenlerin kenarları olan parçalara denir. kaburgaçokyüzlü ve çokgenlerin kendileri kenarlar. Çokgenlerin köşelerine çokyüzlü köşeler denir.

Yalnızca dışbükey çokyüzlüyü ele alacağız (bu, yüzünü içeren her düzlemin bir tarafında bulunan bir çokyüzlüdür).

Bir çokyüzlüyü oluşturan çokgenler onun yüzeyini oluşturur. Belirli bir çokgen tarafından sınırlanan uzayın kısmına iç kısım denir.

Tanım: prizma

İki tane düşünelim eşit çokgen\(A_1A_2A_3...A_n\) ve \(B_1B_2B_3...B_n\) paralel düzlemlerde yer alacak şekilde bölümler \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralel. \(A_1A_2A_3...A_n\) ve \(B_1B_2B_3...B_n\) çokgenlerinin yanı sıra paralelkenarlardan oluşan bir çokyüzlü \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), (\(n\)-gonal) olarak adlandırılır prizma.

\(A_1A_2A_3...A_n\) ve \(B_1B_2B_3...B_n\) çokgenlerine prizma tabanları, paralelkenarlar denir \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– yan yüzler, bölümler \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- yan kaburgalar.
Böylece prizmanın yan kenarları birbirine paralel ve eşittir.

Bir örneğe bakalım - bir prizma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\) tabanında dışbükey bir beşgen bulunur.

Yükseklik Prizmalar, bir tabanın herhangi bir noktasından diğer tabanın düzlemine dik olarak bırakılanlardır.

Yan kenarlar tabana dik değilse böyle bir prizma denir. eğimli(Şekil 1), aksi halde – doğrudan. Düz bir prizmada yan kenarların yüksekliği ve yan yüzlerin eşit dikdörtgenleri vardır.

Düz prizmanın tabanı ise düzenli çokgen, o zaman prizma denir doğru.

Tanım: hacim kavramı

Hacim ölçüm birimi bir birim küptür (\(1\times1\times1\) birim\(^3\ ölçen bir küp; burada birim belirli bir ölçüm birimidir).

Bir çokyüzlünün hacminin, bu çokyüzlünün sınırladığı alan miktarı olduğunu söyleyebiliriz. Aksi takdirde: miktar budur sayısal değer bu, bir birim küpün ve parçalarının belirli bir çokyüzlüye kaç kez sığdığını gösterir.

Hacim alanla aynı özelliklere sahiptir:

1. Eşit sayıların hacimleri eşittir.

2. Bir çokyüzlü birden fazla kesişmeyen çokyüzlüden oluşuyorsa, hacmi bu çokyüzlülerin hacimlerinin toplamına eşittir.

3. Hacim negatif olmayan bir miktardır.

4. Hacim cm\(^3\) cinsinden ölçülür ( santimetreküp), m\(^3\) ( metreküp), vesaire.

Teorem

1. Prizmanın yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Yan yüzey alanı prizmanın yan yüzlerinin alanlarının toplamıdır.

2. Prizma hacmi ürüne eşit Prizma yüksekliği başına taban alanı: \

tanım: paralelyüzlü

Paralel borulu tabanında paralelkenar bulunan bir prizmadır.

Paralel borunun tüm yüzleri (\(6\) : \(4\) yan yüzler ve \(2\) tabanlar vardır) paralelkenardır ve karşıt yüzler (birbirine paralel) eşit paralelkenardır (Şekil 2) .

Paralel borunun köşegeni aynı yüzde yer almayan bir paralel yüzün iki köşesini birleştiren bir segmenttir (bunlardan \(8\) vardır: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) vesaire.).

Dikdörtgen paralel yüzlü tabanında bir dikdörtgen bulunan sağ paralel yüzlüdür.
Çünkü Bu bir dik paralel yüzlü olduğundan yan yüzler dikdörtgendir. Bu, genel olarak dikdörtgen bir paralel yüzün tüm yüzlerinin dikdörtgen olduğu anlamına gelir.

Dikdörtgen bir paralel borunun tüm köşegenleri eşittir (bu, üçgenlerin eşitliğinden kaynaklanır) \(\üçgen ACC_1=\üçgen AA_1C=\üçgen BDD_1=\üçgen BB_1D\) vesaire.).

Yorum

Dolayısıyla paralel yüzlü bir prizmanın tüm özelliklerine sahiptir.

Teorem

Dikdörtgen bir paralel borunun yan yüzey alanı \

Dikdörtgen bir paralel borunun toplam yüzey alanı \

Teorem

Bir küboidin hacmi, bir tepe noktasından çıkan üç kenarının çarpımına eşittir (küboidin üç boyutu): \

Kanıt

Çünkü Dikdörtgen bir paralel boruda, yan kenarlar tabana diktir, o zaman bunlar aynı zamanda yüksekliğidir, yani \(h=AA_1=c\) Çünkü taban bir dikdörtgendir, o zaman \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Bu formül buradan geliyor.

Teorem

Dikdörtgen bir paralelyüzün köşegeni \(d\) şu formül kullanılarak bulunur (burada \(a,b,c\) paralelyüzün boyutlarıdır) \

Kanıt

Şekil 2'ye bakalım. 3. Çünkü taban bir dikdörtgense \(\triangle ABD\) dikdörtgendir, dolayısıyla Pisagor teoremine göre \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Çünkü tüm yan kenarlar tabanlara diktir, o zaman \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) bu düzlemdeki herhangi bir düz çizgiye dik, yani \(BB_1\perp BD\) . Bu, \(\triangle BB_1D\)'nin dikdörtgen olduğu anlamına gelir. O zaman Pisagor teoremine göre \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

tanım: küp

Küp tüm yüzleri eşit kare olan dikdörtgen paralel yüzlüdür.

Böylece üç boyut birbirine eşittir: \(a=b=c\) . Yani aşağıdakiler doğrudur

Teoremler

1. Kenarı \(a\) olan bir küpün hacmi \(V_(\text(cube))=a^3\) değerine eşittir.

2. Küpün köşegeni \(d=a\sqrt3\) formülü kullanılarak bulunur.

3. Bir küpün toplam yüzey alanı \(S_(\text(dolu küp))=6a^2\).