Arazi, yüzlerce kilometre büyüklüğünden, milimetrenin çok küçük kesirlerine ve daha altına kadar her düzeyde özelliğe sahip olduğundan, büyüklük konusunda belirgin bir kısıtlama yoktur. en az özellikler ve bu nedenle açıkça tanımlanmış bir arazi çevresi sabit değildir. Belirli minimum boyut varsayımları altında çeşitli yaklaşımlar mevcuttur.

Bir paradoksun bir örneği, iyi bilinen İngiltere sahili. Birleşik Krallık kıyı şeridi 100 km (62 mil) uzunluğunda bir fraktal birim kullanılarak ölçülürse, kıyı şeridi yaklaşık 2.800 km (1.700 mil) uzunluğundadır. 50 km'lik (31 mil) bir birim ile, toplam uzunluk yaklaşık 3.400 km (2.100 mil), yaklaşık 600 km (370 mil) daha uzundur.

Matematiksel yönler

Temel uzunluk kavramı buradan gelir. Öklid mesafesi. bir arkadaşta Öklid geometrisi, düz çizgi temsil eder en kısa mesafe iki nokta arasında; bu çizginin yalnızca sonlu bir uzunluğu vardır. Bir kürenin yüzeyindeki jeodezik uzunluk, denir uzun uzunluk daire, yolun uç noktalarını ve kürenin merkezini içeren bir düzlemde bulunan bir eğrinin yüzeyi boyunca ölçülür. Ana eğrinin uzunluğu daha karmaşıktır ancak hesaplanabilir. Bir kişi bir cetvelle ölçüm yaparken, noktaları birleştiren düz çizgilerin toplamını ekleyerek bir eğrinin uzunluklarını yaklaşık olarak tahmin edebilir:

Eğrinin uzunluğunu tahmin etmek için birkaç düz çizgi kullanmak düşük bir tahmin üretecektir. Daha kısa ve daha kısa çizgilerin kullanılması, eğrinin gerçek uzunluğuna yaklaşan bir uzunluk toplamı üretecektir. Bu uzunluğun kesin değeri, sonsuz küçük mesafeleri hesaplamanıza izin veren bir matematik dalı olan hesap kullanılarak belirlenebilir. Aşağıdaki animasyon bu örneği göstermektedir:

Ancak tüm eğriler bu şekilde ölçülemez. Tanım gereği, ölçüm ölçeğinde karmaşık değişikliklere sahip bir eğri fraktal olarak kabul edilir. Düzgün bir eğrinin ölçüm hassasiyeti arttıkça aynı değere giderek yaklaştığı göz önüne alındığında, fraktalların ölçülen değeri önemli ölçüde değişebilir.

Uzunluk " gerçek fraktal" her zaman sonsuza yönelir. Ancak bu rakam, uzayın belirsizlik noktasına kadar bölünebileceği yani sınırsız olabileceği fikrine dayanmaktadır. Bu, Öklid geometrisinin temelini oluşturan ve günlük ölçümlerde kullanışlı bir model görevi gören bir fantezidir. Kıyı şeritleri, atom düzeyinde "uzay" ve "mesafe"nin değişen gerçeklerini neredeyse kesinlikle yansıtmaz; matematiksel fraktallardan farklıdır; yalnızca istatistiksel olarak desenler oluşturan çok sayıda küçük ayrıntıdan oluşurlar.

Pratik nedenlerden dolayı, sıra biriminin minimum boyutunun uygun seçimiyle ölçümü kullanabilirsiniz. Kıyı şeridi kilometre cinsinden ölçülürse, küçük değişiklikler bir kilometreden çok daha küçüktür ve kolayca göz ardı edilebilir. Kıyı şeridini santimetre cinsinden ölçmek için boyuttaki küçük değişiklikleri dikkate almak gerekir. Farklı ölçüm tekniklerini kullanarak farklı birimler ayrıca blokların kullanılarak dönüştürülebileceğine dair olağan inancı da kırıyor basit çarpma. Kenar Kılıfları kıyı şeritleri arasında Norveç, Şili ve Kuzey Amerika'nın Pasifik kıyılarının ağır kıyılarının paradoksal fiyortları bulunmaktadır.

1951'den kısa bir süre önce, Lewis Fry Richardson Sınır uzunluğunun savaş olasılığı üzerindeki olası etkisine ilişkin bir çalışmada, Portekizlilerin İspanya ile ölçülen sınırlarını 987 km uzunluğunda gösterdiğini, ancak İspanya'nın bunu 1.214 km olarak bildirdiğini kaydetti. Bu, hattın düzensizliği nedeniyle matematiksel olarak ölçülmesi zor olan kıyı şeridi probleminin başlangıcıydı. Bir sınırın (veya kıyı şeridinin) uzunluğunu tahmin etmenin baskın yöntemi, N miktarları empoze etmekti. eşit parçalar uzunluğu ℓ ile sınırlandırılmış, harita veya hava fotoğraflarında. Segmentin her bir ucu bir sınırda olmalıdır. Richardson, sınır tahminindeki tutarsızlıkları araştırarak şu anda Richardson etkisi olarak adlandırılan şeyi keşfetti: bölümlerin toplamı ters orantılıdır toplam uzunluk segmentler. Temel olarak cetvel ne kadar kısa olursa ölçülen sınır da o kadar büyük olur; İspanyol ve Portekizli coğrafyacılar sınırı farklı uzunlukta cetveller kullanarak ölçtüler. Sonuç olarak Richardson, belirli koşullar altında, ℓ cetvelinin uzunluğu sıfıra yaklaştığında kıyı şeridinin uzunluğunun da sonsuza doğru gitmesi gerçeğinden etkilendi. Richardson buna dayanarak inanıyor Öklid geometrisi, kıyı şeridinin sabit bir uzunluğa yaklaşacağı, düzenli geometrik şekillerin benzer tahminlerinin nasıl yapılacağı. Örneğin çevre düzenli çokgen Bir daire içine yazılan, kenar sayısı arttıkça (ve bir tarafın uzunluğu azaldıkça) daireye yaklaşır. İÇİNDE geometrik teori küçük düz parçaların yaklaşık olarak tahmin edilebildiği, daire gibi düzgün bir eğri ölçer. belli bir sınır doğrultulabilir eğri denir.

Richardson'un çalışmasını tamamlamasının üzerinden on yılı aşkın süre geçti. Benoit Mandelbrot gelişmiş yeni alan matematik, - fraktal geometri, doğadaki bu tür düzeltilemeyen kompleksleri sonsuz bir kıyı şeridi biçiminde tam olarak tanımlamak için. Araştırmasına temel oluşturan yeni bir figürün kendi tanımı: Latince sıfattan bir fraktal buldum. parçalanmış» Düzensiz parçalar oluşturmak için. Bu nedenle, "parçalanmış"ın yanı sıra...kırılmış"ın da "düzensiz" anlamına gelmesi mantıklıdır.

Bir fraktalın temel özelliği kendine benzerliktir, yani her ölçekte aynı genel konfigürasyon görünür. Kıyı şeridi burunlarla dönüşümlü koylar olarak algılanıyor. Varsayımsal bir durumda, belirli bir kıyı şeridi, kıyı şeridinin herhangi bir küçük bölümü ne kadar genişlemiş görünürse görünsün, kendi kendine benzerlik özelliğine sahiptir; kum tanesine kadar daha büyük koylar ve burunların üzerine bindirilmiş daha küçük koylar ve burunlardan oluşan benzer bir model. Aynı zamanda kıyı şeridinin ölçeği, küçük nesnelerden oluşan körfezlerin ve burunların rastgele düzenlenmesiyle potansiyel olarak sonsuz uzunlukta bir ipliğe anında dönüşüyor. Bu gibi durumlarda (düzgün eğrilerin aksine) Mandelbrot şunu savunuyor: "Kıyı şeridinin uzunluğu, onu anlamak isteyenlerin parmaklarının arasından kayıp giden, anlaşılması zor bir kavramdır." çeşitli türler fraktallar. Belirtilen parametrelere sahip kıyı şeridi “birinci fraktal kategorisinde, yani eğrilerde” yer almaktadır. fraktal boyut 1'den büyük." Bu son ifade, Mandelbrot'un Richardson'un düşüncesini genişletmesini temsil ediyor.

Mandelbrot Richardson Etkisi Açıklaması:

Burada kıyı şeridinin uzunluğu olan L, ölçü birimi ε'nun bir fonksiyonudur ve Denklem ile yaklaşık olarak hesaplanır. F bir sabittir ve D Richardson parametresidir. Teorik bir açıklama yapmadı ancak Mandelbrot D'yi tam sayı olmayan bir formla tanımladı. Hausdorff boyutları, daha sonra - fraktal boyut. Yeniden toplandıktan sağ taraf elde ettiğimiz ifadeler:

burada Fε-D, L'yi elde etmek için gereken ε birim sayısı olmalıdır. Fraktal boyut- bir fraktalı tahmin etmek için kullanılan fraktal boyutların sayısı: bir nokta için 0, bir çizgi için 1, bir alan için 2. İfadede D 1 ile 2 arasındadır, sahil için genellikle 1,5'ten küçüktür. Kıyının kırık boyutu tek yönde uzanmayıp bir alanı temsil etmemekte, orta düzeydedir. Bu, 2ε genişliğinde kalın çizgiler veya şeritler olarak yorumlanabilir. Daha fazla kırık kıyı şeridi, aynı ε için daha büyük D'ye ve dolayısıyla daha büyük L'ye sahiptir. Mandelbrot, D'nin ε'ya bağlı olmadığını gösterdi.

Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Tercüme: Dmitry Shakhov

Kıyı şeridi uzunluğu

Ölçülebilir mi?
Ders kitaplarında uzunluk verme hakkımız var mı?
kıyı şeridi ve utanmayacak mıyız,
Öğrencilerden bu rakamı mı soruyorsunuz?

K.S. LAZAREVİÇ

Coğrafya derslerinde birçok istatistiksel göstergeyle çalışıyoruz. Çoğu çok basit ve net görünüyor: o kadar çok ki milyon insan, şu kadar milyonlarca ton kömür, şu kadar kilometre. Ama eğer bunu düşünmüyorsan durum böyle. Ancak herhangi bir sayıyı daha derine inmeniz gerekir ve bu net olmaktan çıkar. Bazen toz haline gelir. İşte örnekler.
Yakın zamanda satışa çıkan Dünya Atlası'nın açılışını yapıyoruz (M.: Federal State Unitary Enterprise Cartography Production Association, 2003). “Dünyanın eyaletleri ve bölgeleri” tablosunda şunları buluyoruz: “Fransa'nın başkenti Paris'tir (2.125,2 bin nüfuslu). Bir öğrenci sınavda böyle bir rakam verirse sınav görevlisi tatmin olur mu? Sonuçta Paris bunlardan biri en büyük merkezler Avrupa ve St. Petersburg'dan daha az değil. Ancak verilen rakamda bir hata yok: Burası Paris. idari sınırlar Paris şehri. Ve gerçekten yerleşik bir kentsel kümelenmenin sınırları içinde, on milyon dolarlık bir şehir.
Çoğu şey nasıl saydığınıza bağlıdır.
Ama kilometrelerce gibi görünüyordu. Afrika'da da bir kilometre bir kilometredir. Peki kilometrelerle ölçülen şey sorgulanabilir mi? Ancak uzunlukları kilometre cinsinden verirken bile ders kitabının yazarının öncelikle düşünmesi gerektiği ortaya çıktı. Ders kitabı kullanan bir öğretmen, öğrencilere yayınlamadan ve onlardan ezberlemelerini istemeden önce bir şekli eleştirel analize tabi tutmalıdır. 10. sınıfa yönelik bir ders kitabı okuyoruz: “Kanada'nın üç okyanusu var ve kıyı şeridinin toplam uzunluğu (yaklaşık 250 bin km) dünyada eşi benzeri yok.” Kıyı şeridi nasıl ölçüldü, ne ölçüldü, nasıl ölçüldü, ne ile ölçüldü? Bir kıyı şeridini nasıl ölçebilirsiniz?

Bir haritadaki düzensiz eğriler bir eğrilik ölçer kullanılarak ölçülebilir; bu cihazın tekerleği eğri boyunca yuvarlanır ve her bir eğriyi dikkatle kaydeder. Ancak kıyı şeridinin kıvrımlılığı genellikle o kadar fazladır ki, bunu bir eğrimetreyle takip etmek imkansızdır. Bir ölçüm pusulası ile eğri boyunca yürümek zorundasınız. En rahat adım uzunluğu 2 mm'dir. Farklı ölçeklerde bu adım elbette farklı mesafelere karşılık gelir; böyle bir ölçüm asla kesin bir uzunluk vermez, çünkü her adım eğriyi küçük bir bölüm üzerinde düzeltir, ancak bağıl hata az çok korunmuştur.
Örnek olması açısından Chukotka Özerk Okrugu'nun kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmeye çalışalım. Rusya Coğrafyası Okul Atlası'ndan bir harita alalım (ölçek 1: 22.000.000) ve iki milimetrelik pusula adımlarıyla (44 km) tüm Çukçi sahilini yürüyelim. Sonuç 4300 km olacaktır (pusulanın 98 adımı). Ölçek haritasını kullanarak aynı ölçümü yapalım
1: 7.500.000. Burada zaten 345 iki milimetrelik (15 km) adım sayacağız, yani
5.200 km. Ölçümlerde daha büyük ölçekli bir harita kullanılması durumunda ölçülen kıyı şeridinin daha da genişleyeceğini varsaymak mantıklı olacaktır.
Bir deney daha yapalım. Leningrad bölgesinin kıyı şeridinin uzunluğu. haritada
1: 22.000.000 - 300 km, haritaya göre 1: 2.500.000 - 555 km, haritaya göre topografik harita
1: 500.000 - 670 km. Aynı zamanda, topografik bir haritadan ölçülen, yalnızca Vyborg Körfezi'nin (kıyıların özellikle koylar ve koylarla girintili çıkıntılı olduğu) kıyı şeridinin uzunluğu 338 km'dir. okul atlası- 65 km (fark daha fazla)
5 kez!).
Böylece ölçülen kıyı şeridinin uzunluğunda ölçek arttıkça doğal bir artış söz konusudur. Bunun nedeni yalnızca pusulanın iki milimetrelik adımının yerde giderek daha küçük bir değere karşılık gelmesi değil, aynı zamanda esas olarak çizginin kendisinin, kilometre cinsinden ölçeğe göre çok doğru bir şekilde ölçülse ve dönüştürülse bile gerçekte şu şekilde olmasıdır: daha uzun (Şek. 1) . Leningrad bölgesinin kıyısına yakın Rusya haritasında. Yalnızca Vyborg Körfezi, Neva Körfezi ve Finlandiya Körfezi'nin güney kıyısının küçük kıvrımları görülebilmektedir. 1: 2.500.000 ölçekli bir haritada, Vyborg Körfezi'nin ana hatları zaten oldukça karmaşıktır ve güneyde Koporskaya ve Luga koyları açıkça görülmektedir. Yarım milyon yıllık haritada Vyborg Körfezi'nde başka birçok küçük koy da var; bunlardan bazıları özel isimler(Baltiets Körfezi, Klyuchevskaya Körfezi) ve sadece güney sahili Finlandiya Körfezi önceki ölçeğe göre çok az değişmiş görünüyor; oradaki kıyı şeridi çok daha az engebeli.

Kıyı şeridinin tam uzunluğu nasıl belirlenir?
İngiliz meteorolog Richardson, memleketi Büyük Britanya'yı test alanı olarak seçerek bu hedefi kendine belirledi. Kıyı şeridi uzunluğunun, bu uzunluğun ölçüldüğü haritanın ölçeği arttıkça arttığı sonucuna varmıştır (Şekil 2). Bu artışın bir sınırı var mı? Zorlu. Denize doğru uzanan her küçük kum kabarcığı, küçücük bir koy oluşturan her oyuk, suyun çevresinden akan her çakıl taşı kıyı şeridinin uzunluğunu artırır. En büyük ölçekli haritada bile görünmüyorlar ama gerçekte kıyı şeridindeki tüm bu düzensizlikler mevcut.

Nasıl kullanılacağına dair birçok örnek var matematiksel yöntemler coğrafi araştırmayı daha ikna edici, daha güvenilir hale getirmenizi sağlar. Burada tam tersi oldu: coğrafi araştırma - kıyı şeridinin uzunluğunun incelenmesi - yeni bir türün ortaya çıkmasına katkıda bulundu matematiksel kavram. Bu kavramın İngilizce adı fraktaldır, ancak Rusça'da henüz tam olarak çözülmemiştir ve üç versiyonu bulunmaktadır: fraktal(genitif ve enstrümantal vakalar irade fraktal, fraktal), fraktal erkeksi cinsiyette ( fraktal, fraktal) Ve fraktal kadınsı cinsiyette ( fraktallar, fraktal); için son zamanlarda doğru eğiliyor gibi görünüyor.
Fraktal, her bir parçası sonsuz derecede karmaşık hale gelen, her parçanın uzunluğu ve tüm çizginin sürekli arttığı bir çizgidir. Bir örnek, genellikle Koch kar tanesi olarak adlandırılan figürdür, ancak bu isim yanlıştır: bu kar tanesi yirminci yüzyılın başında inşa edilmiştir. Helga von Koch ve soyadı reddedilmemeli.
Hadi alalım eşkenar üçgen. Her bir kenarı üç eşit parçaya bölelim ve her bir kenarın orta kısmına bir eşkenar üçgen oluşturalım. Sıradan altı köşeli bir yıldız alacaksınız, altı köşeli bir şekil. dışbükey köşeler ve altısı geliyor. Her bir kenarını (ve bu kenarlardan 12 tane var) üç eşit parçaya bölelim ve her bir kenarın orta kısmına yine bir eşkenar üçgen oluşturalım. Sonuç, 18 dışbükey ve 30 tekrarlayan açıya sahip 48 kenarlı bir şekil olacaktır. Bu işlemi sonsuz sayıda tekrarlayarak (bu elbette sadece zihinsel olarak yapılabilir), alanı sürekli artan, ancak giderek daha yavaş, yavaş yavaş belirli bir sınıra yaklaşan bir rakam elde edeceğiz (Şekil 3). Bu şeklin çevresi süresiz olarak artar, çünkü ne kadar küçük olursa olsun şeklin kenarına yeni bir eşkenar üçgen oluşturduğumuzda, bu tarafın üç eşit parçasının yerini dört eşit parça alır ve dolayısıyla her birinin uzunluğu kenar (ve dolayısıyla tüm çevre) 4/3 kat artar ve kuvveti sonsuza eşit olan birden büyük herhangi bir sayı (ve inşaatı sonsuz sayıda yaparız) sonsuza yönelir.

Kar tanesinin sınırı, tüm alanı kaplayan geniş, tüylü bir çizgiye benzer bir şey olacaktır. sınır bölgesi bu rakam. Klasik matematik açısından saçma görünen (çizginin genişliği yoktur ve yüzeyin kalınlığı yoktur) "geniş çizgi", "kalın yüzey" kavramları, fraktal teorisinin gelişmesiyle vatandaşlık hakları kazanmıştır. . Bir çizginin tek boyutlu olduğuna, yalnızca bir uzunluğa sahip olduğuna, üzerindeki bir noktanın konumunun bir koordinat tarafından belirlendiğine inanılıyor; yüzey iki boyutludur, bir alanı vardır, üzerindeki bir noktanın konumu iki koordinatla belirlenir; vücut üç boyutludur, hacmi vardır, üç koordinata ihtiyaç vardır. Ve fraktal teorisi kesirli boyut kavramını ortaya koyuyor: çizgi iki boyutlu olmadı, ancak tek boyutlu olmaktan çıktı.
Hazırlıksız bir kişinin bunu anlaması oldukça zordur (bir buçuk kez hapşıramazsınız), ancak kıyı şeridinin nasıl davrandığını hatırlarsak - sadece haritada değil, doğada da, baktığınızda nasıl değiştiğini çömelerek, sonra ayağa kalkarak, sonra bir dağa tırmanarak, sonra bir uçağa veya uzay gemisine binerek, bu çizginin ne kadar karmaşık bir sistemi temsil ettiğini pek anlayamayacağız; Onun için bir özellik kesinlikle yeterli değil - uzunluk. Ve coğrafi araştırmalardan doğan fraktallar teorisi coğrafyanın yardımına koşuyor. Rölyefi fraktal olarak incelemek için bir yöntem henüz geliştirilmedi, ancak kesinlikle umut vaat ediyor. İçindeki rahatlamaya baktığımızda genel görünüm
Küçük ölçekli bir harita üzerinde çizdiğimizde sıradağları, yaylaları, derin vadileri görüyoruz. Ortalama ölçekte tepeler, küçük vadiler ve vadiler şimdiden görülmeye başlandı. Daha da büyük; kumdaki tümsekleri ve rüzgar dalgalarını görebilirsiniz. Ancak bu sınır değil: bireysel çakıl taşları ve kum taneleri var. Pratik açıdan tüm bunlar önemlidir çünkü farklı ölçeklerdeki haritalarda tasvir edilecek nesnelerin nasıl doğru şekilde seçileceğini öğrenmeniz gerekir; Harita derleyicilerinin ana hatalarından biri, haritanın içeriği ile ölçeği arasındaki tutarsızlıktır; harita ya az yüklenmiştir ya da aşırı yüklenmiştir.
Peki kıyı şeridinin uzunluğuyla ne yapmalı? Ölçülemez olduğu için ölçmeyi reddediyor musunuz? Hayır, bu bir seçenek değil. Basitçe, kıyı şeridinin uzunluğunu verirken mutlaka hangi ölçekli haritalarda ve ne şekilde ölçüldüğünü belirtmelisiniz. Dünya Gerçek kitabı". Burada her ülke ve okyanus için kıyı şeridi verileri veriliyor ancak ölçüm yöntemi belirtilmemiş. Sonuç olarak, Kanada'nın kıyı şeridinin 200 bin km'den fazla, Arktik Okyanusu'nun - 45,4 bin km, Atlantik Okyanusu'nun - 111,9 bin km'den fazla olduğu ortaya çıkıyor (veriler -yanlış düşünmeyin! - en yakın kilometre). Kanada'nın adalar dikkate alınarak değerlendirildiği kesin; Okyanusların nasıl değerlendirildiği bilinmiyor, ancak Kanada'yı çevreleyen üç okyanustan ikisinin kıyı şeridinin toplamı, yalnızca Kanada'nın kıyı şeridinden daha azdır. Norveç için bu rakam 21.925 km olup şu not verilmektedir: “Anakara 3419 km, büyük adalar 2413 km, uzun fiyortlar, çok sayıda küçük ada ve küçük virajlar çentikler] kıyı şeridi 16.093 km.” Toplam, kıyı şeridinin tam olarak belirtilen toplam uzunluğunun toplamıdır. Ama neden fiyortların kıyıları anakara kıyı şeridinin bir parçası değil, neden pürüzlü kenarların uzunluğu, hangi adaların büyük olduğu düşünülen anakara kıyı şeridinin uzunluğuna ekleniyor - tüm bunları ancak tahmin edebiliriz. Bu tablodaki kesinlikle tartışılmaz veriler yalnızca Andorra, Avusturya, Botsvana, Macaristan, Svaziland ve denize erişimi olmayan benzeri ülkeler için verilmiştir - "0 km" yazılmıştır.

Fraktallar geometrik nesnelerdir: son derece sağlam bir şekle sahip olan ve kendine benzerlik özelliğine sahip yüzey çizgileri, uzaysal cisimler. Fraktal kelimesi fraktus kelimesinden gelir ve kesirli, kırık olarak tercüme edilir. Temel bir özellik olarak kendine benzerlik, geniş bir ölçek aralığında az çok tekdüze olarak düzenlenmesi anlamına gelir. Böylece, büyütüldüğünde bir fraktalın küçük parçalarının büyük parçalara çok benzediği ortaya çıkar. İÇİNDE ideal olarak Bu tür bir kendi kendine benzerlik, fraktal nesnenin uzantılar altında değişmez olduğu ortaya çıkmasına yol açar; genişleme simetrisine sahip olduğu söylenir. Temelin değişmezliğini varsayar geometrik özelliklerÖlçeği değiştirirken fraktal.

Tabii ki, gerçek bir doğal fraktal için belirli bir minimum uzunluk ölçeği vardır, öyle ki mesafelerde ana özelliği - kendine benzerlik - ortadan kalkar. Ek olarak, nesnelerin karakteristik geometrik boyutunun olduğu yeterince büyük uzunluk ölçeklerinde, bu kendi kendine benzerlik özelliği de ihlal edilir. Bu nedenle doğal fraktalların özellikleri yalnızca ölçeklerde dikkate alınır. ben, oranı tatmin edici . Bu tür kısıtlamalar oldukça doğaldır, çünkü örnek olarak bir fraktal (Brown parçacığının kırık, düzgün olmayan bir yörüngesi) verdiğimizde, görüntünün bariz bir idealleştirme olduğunu anlıyoruz. Mesele şu ki, küçük ölçekler çarpışma süresinin sınırlılığından etkileniyor. Bu koşullar dikkate alındığında Brownian parçacığının yörüngesi düzgün bir eğri haline gelir.

Kendine benzerlik özelliğinin yalnızca düzenli fraktalların karakteristiği olduğuna dikkat edin. Eğer, deterministik bir inşa yöntemi yerine, bunların oluşturulması için algoritmaya bir miktar rastgelelik unsuru dahil edilirse (örneğin, kümelerin yayılma büyümesine ilişkin birçok süreçte olduğu gibi, elektrik arızası vb.), o zaman rastgele fraktallar denilen şey ortaya çıkar. Normal olanlardan temel farkı, kendine benzerlik özelliklerinin ancak nesnenin tüm istatistiksel olarak bağımsız gerçekleşmeleri üzerinden uygun ortalamanın alınmasından sonra geçerli olmasıdır. Bu durumda fraktalın büyütülmüş kısmı orijinal fragmanla tam olarak aynı değildir ancak istatistiksel özellikler kibrit. Ancak incelediğimiz fraktal, klasik fraktallardan biridir ve dolayısıyla düzenlidir.

Kıyı şeridi uzunluğu

Başlangıçta fraktal kavramı fizikte kıyı şeridi bulma problemiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Bölgenin mevcut haritasını kullanarak ölçüm yaparken ilginç bir ayrıntı ortaya çıktı: Harita ne kadar büyük ölçekli alınırsa bu kıyı şeridi o kadar uzun çıkıyor.

Şekil 1 - Kıyı şeridi haritası

Örneğin kıyı şeridinde bulunan noktalar arasındaki düz bir çizgideki mesafeyi varsayalım. A Ve B eşittir R(bkz. Şekil 1). Daha sonra bu noktalar arasındaki kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmek için kıyı boyunca birbirine sıkı bir şekilde bağlı direkler yerleştireceğiz, böylece bitişik kutuplar arasındaki mesafe örneğin: l=10km. Noktalar arasındaki kilometre cinsinden kıyı şeridi uzunluğu A Ve B daha sonra bunu kilometre taşı sayısından bir eksi on ile çarpımına eşit olarak alacağız. Bu uzunluğun bir sonraki ölçümünü de benzer şekilde yapacağız ancak bitişik kutuplar arasındaki mesafeyi eşit yapacağız l=1km.

Bu ölçümlerin sonuçlarının farklı olacağı ortaya çıktı. Uzaklaştırıldığında ben giderek daha büyük uzunluklara ulaşacağız. Düzgün bir eğrinin aksine, deniz kıyısı çizgisi çoğu zaman o kadar girintili ki (en küçük ölçeğe kadar) segmentte bir azalma ile ortaya çıkıyor ben büyüklük L- kıyı şeridinin uzunluğu - eğilimi yok sonlu sınır ve kademeli bir yasaya göre artar

Nerede D- kıyı şeridinin fraktal boyutu olarak adlandırılan belirli bir üs. Değer ne kadar büyükse D Bu kıyı şeridi ne kadar engebeli olursa. Bağımlılığın kökeni (1) sezgiseldir: kullandığımız ölçek ne kadar küçük olursa, kıyı şeridi ayrıntıları da o kadar küçük dikkate alınacak ve ölçülen uzunluğa katkıda bulunacaktır. Tam tersine ölçeği büyüterek kıyıyı düzleştiriyoruz, uzunluğu azaltıyoruz L.

Böylece kıyı şeridinin uzunluğunun belirlenmesi gerektiği açıktır. L sert ölçek kullanma ben(örneğin, sabit çözümü olan bir pusula kullanarak), yapmanız gerekenler N=L/l adımlar ve boyut L c'yi değiştirir ben Bu yüzden N bağlıdır ben Hukuk. Sonuç olarak ölçek küçüldükçe kıyı şeridinin uzunluğu sınırsız olarak artmaktadır. Bu durum, fraktal bir eğriyi, yaklaşık kesikli çizginin uzunluğunun sınırı olan sıradan bir düzgün eğriden (daire, elips gibi) keskin bir şekilde ayırır. L bağlantısının uzunluğu sıfıra yaklaştıkça ben sonlu. Sonuç olarak düzgün bir eğrinin fraktal boyutu şu şekildedir: D=1 yani topolojik olanla örtüşür.

Fraktal boyutların değerlerini sunalım D farklı kıyı şeritleri için. Örneğin Britanya Adaları için D? 1.3 ve Norveç için D? 1.5. Avustralya kıyısının fraktal boyutu D ? 1. 1. Diğer kıyıların fraktal boyutları da bire yakın çıkıyor.

Yukarıda kıyı şeridinin fraktal boyutu kavramı tanıtıldı. verelim artık genel tanım bu değer. İzin vermek D- fraktal nesnemizin bulunduğu uzayın olağan Öklid boyutu ( d=1- astar, d=2- uçak, d=3- düzenli üç boyutlu uzay). Şimdi bu nesneyi tamamen ele alalım D yarıçapın boyutlu "topları" ben. Bunun için en azına ihtiyacımız olduğunu varsayalım. N(l) toplar. Daha sonra yeterince küçükse ben büyüklük N(l) bir güç yasasına göre değişir:

O D- bu nesnenin Hausdorff veya fraktal boyutu olarak adlandırılır.

İlk tür fraktallarla (yani fraktal boyutu 1'i aşan eğrilerle) tanışmadan önce, bazı kıyıların tipik bir bölümünü ele alalım. Açıkçası uzunluğu, başlangıç ​​ve bitiş noktaları arasındaki düz çizgi mesafesinden daha az olamaz. Ancak kural olarak kıyı şeridinde düzensiz şekil- kıvrımlı ve kırıktırlar ve uzunlukları şüphesiz, düz bir çizgide ölçülen uç noktaları arasındaki mesafeleri önemli ölçüde aşmaktadır.

Bir kıyı şeridinin uzunluğunu daha doğru tahmin etmenin birçok yolu vardır ve bu bölümde bunlardan bazılarını analiz edeceğiz. Sonunda çok dikkat çekici bir sonuca ulaşacağız: Sahil şeridinin uzunluğu çok kaygan bir kavramdır ve bunu çıplak elle kavrayamazsınız. Hangi ölçüm yöntemini kullanırsak kullanalım sonuç her zaman aynıdır: Tipik bir kıyı şeridinin uzunluğu çok uzundur ve o kadar kötü tanımlanmıştır ki, onu sonsuz olarak kabul etmek en uygunudur. Sonuç olarak, eğer biri farklı kıyıları uzunlukları açısından karşılaştırmaya karar verirse, uzunluk kavramının yerini alacak bir şey bulması gerekecektir. bu dava uygulanamaz.

Bu bölümde uygun bir yedek arayışına başlayacağız ve arama sürecinde onu tanımaktan kaçınamayız. çeşitli formlar Fraktal boyut, ölçü ve eğri kavramları.

ALTERNATİF ÖLÇÜM YÖNTEMLERİ

Yöntem A. Ölçüm pusulasının açıklığını adım uzunluğu dediğimiz belirli bir uzunluğa ayarlayalım ve her yeni adıma bir öncekinin bittiği noktadan başlayarak bu pusula ile ilgimizi çeken kıyı şeridi boyunca yürüyelim. Adım sayısı ile uzunluk e'nin çarpımı bize bankanın yaklaşık uzunluğunu verecektir. Okuldan biliyoruz ki, bu işlemi her seferinde pusulanın açıklığını azaltarak tekrarlarsak, o zaman değerin hızla gerçek uzunluk adı verilen çok özel bir değere ulaşmasını bekleyebiliriz. Ancak gerçekte yaşananlar beklentilerimizle örtüşmüyor. Tipik bir durumda, gözlemlenen uzunluk sınırsız bir şekilde artma eğilimindedir.

Bu davranışın nedeni açıktır: 1/100.000 ve 1/10.000 ölçekli haritalarda bir yarımadaya veya körfeze bakarsanız, o zaman son harita ilkinde göremediğimiz daha küçük yarımadaları ve koyları net bir şekilde ayırt edebiliyoruz. Aynı bölgenin 1/1000 ölçekli haritası bize daha da küçük yarımadalar, koylar vb. gösterecektir. Her yeni detay bankanın toplam uzunluğunu arttırır.

Yukarıdaki prosedür, kıyı şeridinin şeklinin, uzunluğu doğrudan referans kitaplarında bulunabilecek basit geometrik eğrilerin uzunluklarının toplamı olarak temsil edilemeyecek kadar düzensiz olduğunu varsaymaktadır. Yani, Yöntem A kıyı şeridinin yerini, uzunluğunu belirleyebileceğimiz düz bölümlerden oluşan bir dizi kesikli çizgi alır.

Yöntem B. Aynı "pürüzsüzleştirme" başka yollarla da sağlanabilir. Kıyı boyunca yürüyen bir adam hayal edin en kısa rota Yörüngesi hiçbir zaman sudan daha fazla ayrılmayan, belirtilen mesafe. Bitiş noktasına ulaştıktan sonra değeri biraz düşürerek geri döner. Sonra tekrar tekrar, ta ki en sonunda değer örneğin 50 cm'ye ulaşana kadar. Kişi daha detaylı bir yörüngeyi takip edemeyecek kadar iri ve beceriksiz olduğu için bunu daha da azaltmak mümkün değildir. Bana bu ulaşılamayan küçük ayrıntıların, öncelikle insanları doğrudan ilgilendirmediği ve ikinci olarak, yılın zamanına ve gelgitin yüksekliğine bağlı olarak o kadar önemli değişikliklere maruz kaldıkları ve ayrıntılı kayıtlarının genellikle kaybolduğu yönünde itiraz edilebilir. hepsi anlam. Bu itirazlardan ilkini bu bölümün ilerleyen kısımlarında ele alacağız. İkinci itiraza gelince, kendimizi gelgitin çekildiği kayalık bir kıyıyı ve sakin suyu düşünmekle sınırlandırarak etkisiz hale getirebiliriz. Prensip olarak, bir kişi kendisine yardım etmesi için bir fareyi, ardından bir karıncayı vb. çağırarak daha ayrıntılı yaklaşık eğrileri izleyebilir. Ve yine yürüyüşçümüz suya yaklaştıkça kat etmesi gereken mesafe sonsuza kadar artar.

Yöntem C. Yöntem B, su ile kıyı arasında belirli bir asimetriyi ima eder. Bu asimetriyi önlemek için Kantor, kıyı şeridini sanki odaklanmamış bir mercekten bakıyormuş gibi görmeyi önerdi, bunun sonucunda her nokta yarıçaplı yuvarlak bir noktaya dönüştü. Başka bir deyişle Cantor, hem karada hem de denizde, kıyı şeridine olan mesafenin 0,100'ü aşmadığı tüm noktaları dikkate alır. Bu noktalar bir tür sosis veya genişlik şeridi oluşturur (böyle bir "sosis" örneği - farklı bir bağlamda da olsa - Şekil 56'da gösterilmektedir). Ortaya çıkan bandın alanını ölçüp bölelim. Kıyı şeridi düz olsaydı, şerit bir dikdörtgen olurdu ve yukarıda anlatılan şekilde bulunan değer, kıyının gerçek uzunluğu olurdu. Gerçek kıyı şeritleriyle uğraşırken, sınırsız olarak artan uzunluğun kaba bir tahminini elde ederiz.

YöntemD. Noktacı sanatçılar tarzında yapılmış, yani kıtaların ve okyanusların yarıçaplı renkli yuvarlak noktalarla tasvir edildiği bir harita hayal edin. Noktaların merkezlerini Yöntem C'deki gibi kıyı şeridine ait noktalar olarak kabul etmek yerine, çizgiyi tamamen gizleyen noktaların sayısının en küçük olmasını isteyeceğiz. Sonuç olarak, burunların yakınındaki noktalar çoğunlukla karada, körfezlerin yakınındaki noktalar ise denizde yer alacak. Buradaki kıyı şeridinin uzunluğunun tahmini, noktaların kapladığı alanın 1'e bölünmesiyle elde edilecektir. Bu değerlendirmenin "davranışı" da arzulanan çok şey bırakıyor.

ÖLÇÜM SONUÇLARININ RASGELE

Önceki bölümü özetlersek, dört yöntemden herhangi birini kullanmanın sonucunun her zaman aynı olduğunu görüyoruz. e azaldıkça eğrinin yaklaşık uzunluğu sonsuza doğru yönelir.

Bu gerçeğin önemini tam olarak anlayabilmek için herhangi bir sıradan Öklid eğrisinin uzunluğunun benzer bir ölçümünü yapalım. Örneğin, bir düz çizgi bölümünde, yaklaşık tahmini ölçüm verileri temel olarak çakışır ve gerekli uzunluğu belirler. Bir daire durumunda yaklaşık değer uzunluk artar, ancak oldukça hızlı bir şekilde belirli bir sınıra doğru koşar. Uzunluğu bu şekilde belirlenebilen eğrilere doğrultulabilir eğriler denir.

İnsanoğlunun evcilleştirdiği bazı kıyı şeritlerinin uzunluğunu ölçmeye çalışmak, örneğin bugün görünen Chelsea yakınlarındaki kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmeye çalışmak daha da öğretici olacaktır. İnsanlar hala arazinin çok büyük kıvrımlarını değiştirmeden bıraktığı için pusulamıza çok büyük bir çözüm yerleştireceğiz ve bunu yavaş yavaş azaltacağız. Beklenildiği gibi kıyı şeridinin uzunluğu artacak.

Ancak bir tane var ilginç özellik: Daha fazla azalmayla kendimizi kaçınılmaz olarak uzunluğun neredeyse değişmeden kaldığı bir ara bölgede buluyoruz. Bu bölge yaklaşık 20 m'den 20 cm'ye (çok yaklaşık olarak) kadar uzanır. 20 cm'nin altına düştüğünde uzunluk tekrar artmaya başlar; artık tek tek taşlar ölçüm sonucunu etkilemektedir. Bu nedenle, değerdeki değişimin bir grafiğini bir fonksiyonu olarak çizerseniz, o zaman şüphesiz, benzer grafiklerde 20 m ila 20 cm aralığında e değerlerine sahip düz bir alan bulacaksınız. doğal “vahşi” kıyılarda bu tür düz alanlar gözlenmez.

Bu düz bölgede yapılan ölçümlerin çok büyük pratik değere sahip olduğu açıktır. Çünkü farklılar arasındaki sınırlar bilimsel disiplinler esas olarak bilim adamları arasında işbölümü konusunda yapılan bir anlaşmanın sonucudur, örneğin ölçeği 20 m'yi aşan, yani insanın henüz ulaşmadığı tüm olguları coğrafya bölümüne aktarabiliriz. Böyle bir sınırlama bize çok spesifik bir coğrafi uzunluk verecektir. Sahil Güvenlik aynı değeri "vahşi" kıyılarla başa çıkmak için başarıyla kullanabilir ve ansiklopediler ve almanaklar herkese karşılık gelen uzunluğu anlatacaktır.

Öte yandan, herhangi bir ülkenin, hatta ilgili tüm devlet kurumlarının kendi aralarında tek bir anlam kullanmak konusunda anlaşacağını hayal etmek benim için zor ve bunun dünyanın tüm ülkeleri tarafından benimsenmesini hayal etmek tamamen imkansız. Richardson şu örneği veriyor: İspanyol ve Portekiz ansiklopedileri farklı uzunluklar veriyor kara sınırı bu ülkeler arasında %20'lik bir farkla (Belçika ile Hollanda arasındaki sınırda da aynı durum geçerlidir). Bu tutarsızlık kısmen farklı seçimlerle açıklanmalıdır. Birazdan tartışacağımız ampirik kanıtlar, böyle bir farklılığın ortaya çıkması için bir değerin diğerinden yalnızca iki kat farklı olmasının yeterli olduğunu göstermektedir; Üstelik küçük bir ülkenin (Portekiz) sınırlarının uzunluğunu büyük komşusuna göre daha dikkatli ölçmesi şaşırtıcı değil.

Keyfi seçime karşı ikinci ve daha önemli argüman felsefi ve genel bilimsel niteliktedir. Doğa insandan bağımsız olarak vardır ve herhangi bir özel anlama veya şeye çok fazla önem veren herkes, Doğayı anlama sürecindeki belirleyici halkanın, genel kabul görmüş standartları veya çok değişken teknik araçları olan insan olduğunu varsayar. Eğer kıyı şeritleri bir gün obje haline gelecekse bilimsel araştırma uzunluklarına ilişkin gözlemlenen belirsizliği yasaklayacak bir yasa çıkarmamız pek olası değildir. Ancak coğrafi uzunluk kavramı ilk bakışta göründüğü kadar zararsız değildir. Tamamen “objektif” değildir, çünkü uzunluğu bu şekilde belirlerken gözlemcinin etkisi kaçınılmazdır.

ÖLÇÜMLERİN KEYFİ SONUÇLARININ TANIMASI VE ÖNEMİ

Kuşkusuz pek çok kişi kıyı şeritlerinin indirgenemez eğriler olduğu görüşündedir ve bu nedenle başka türlü düşünen kimseyi hatırlamıyorum. Ancak bu görüşü destekleyen yazılı kanıt arayışım neredeyse tamamen başarısız oldu. İkinci bölümde Perrin'den yapılan alıntılara ek olarak Steinhaus'un makalesinde de şu gözlem var: “Vistula'nın sol yakasının uzunluğunu artan doğrulukla ölçerek onlarca, yüzlerce ve hatta binlerce değer elde edilebilir. okul haritasının verdiğinden kat kat daha büyük.. Şu ifade gerçeğe çok yakın görünüyor: Doğada bulunan yayların çoğu düzeltilemez. Bu ifade, düzeltilemeyen yayların matematiksel bir kurgu olduğu ve doğada tüm yayların düzeltilebilir olduğu gerçeğine indirgenen popüler inanışla çelişmektedir. Görünüşe göre bu iki çelişkili ifadeden ilkinin doğru olduğu kabul edilmeli.” Ancak ne Perrin ne de Steinhaus tahminlerini daha ayrıntılı bir şekilde geliştirip mantıksal sonuçlarına ulaştırma zahmetine girmediler.

K. Fadiman ilginç bir hikaye anlatıyor. Arkadaşı Edward Kasner bu deneyi birkaç kez gerçekleştirdi: “Küçük çocuklara Amerika Birleşik Devletleri kıyılarının toplam uzunluğunun ne olduğunu sordu. Çocuklardan biri oldukça "makul" bir tahminde bulunduktan sonra,... Kasner... onları, tüm burunların ve körfezlerin çevresini çok dikkatli bir şekilde ölçtükleri ve ardından aynı şekilde dikkatlice takip ettikleri takdirde bu rakamın ne kadar artırılabileceğini düşünmeye davet etti. bu burunların her birinde ve bu koyların her birinde daha küçük burunlar ve koylar var, sonra kıyı şeridini oluşturan her çakıl taşını ve her kum tanesini, her molekülü, her atomu vb. ölçün. Kıyının sizin kadar uzun olabileceği ortaya çıktı. beğenmek . Çocuklar bunu hemen anladı ama Kasner'in yetişkinlerle sorunları vardı.” Hikaye elbette çok güzel ama arayışımla bir ilgisi olması pek mümkün değil. Kasner'ın gerçekliğin daha fazla çalışmaya değer bazı yönlerini vurgulamaya çalışmadığı açık.

Dolayısıyla elinizde tuttuğunuz makalenin ve kitabın aslında bu konuya ayrılmış ilk çalışmaları temsil ettiğini söyleyebiliriz.

William James, The Will to Believe (İnanma İradesi) adlı kitabında1 şöyle yazıyor: “Sınıflandırma çerçevesine uymayan şey... her zaman büyük keşifler için zengin bir alandır. Herhangi bir bilimde, genel kabul görmüş ve düzenli gerçeklerin etrafında, kurallara ilişkin tozlu bir istisna bulutu her zaman daire çizer - incelikli, tutarsız, nadiren karşılaşılan fenomenler, göz ardı edilmesi düşünmekten daha kolay olan fenomenler. Her bilim bunun için çabalar mükemmel durum kapalı ve katı bir hakikatler sistemi... Sistem içerisinde sınıflandırılamayan olaylar, paradoksal saçmalıklar olarak kabul edilir ve kesinlikle doğru değildir. Bilimsel vicdanın en iyi niyetlerine dayanarak ihmal ediliyorlar ve reddediliyorlar... Düzensiz olayları ciddi bir şekilde inceleyen herkes yaratabilecektir. yeni bilim eskisinin temelinde. Bu sürecin sonunda güncellenen bilimin kuralları büyük oranda dünün istisnaları haline gelecektir.”

Mütevazı amacı Doğa geometrisinin tamamen yenilenmesi olan bu makale, sınıflandırılması mümkün olmayan ve ancak sansürün izniyle onlardan bahsetmenin mümkün olduğu olguları tanımlamaktadır. Bir sonraki bölümde bu olayların ilkiyle karşılaşacaksınız.

RICHARDSON ETKİSİ

Yöntem A kullanılarak elde edilen yaklaşık uzunluktaki değişime ilişkin ampirik bir çalışma, Richardson'un makalesinde anlatılıyor; bağlantı şans eseri (veya kaçınılmaz) gözüme çarptı. Buna dikkat etmemin tek nedeni Lewis Fry Richardson'un özgün düşünce yapısı tuhaflığa benzeyen olağanüstü bir bilim adamı olduğunu çok duymuş olmamdı (bkz. Bölüm 40). 10. Bölüm'de göreceğimiz gibi, insanlık türbülansın doğasına ilişkin en derin ve kalıcı fikirlerinden bazılarını borçludur: özel ilgi Bunlardan hak eden, türbülansın kendine benzer bir kademenin ortaya çıkmasını öngördüğü durumdur. Başkaları üzerinde de çalıştı karmaşık problemler- örneğin devletler arasındaki silahlı çatışmanın niteliği gibi. Deneyleri klasik basitliğin örnekleriydi ancak ihtiyaç duyulduğunda daha karmaşık kavramları kullanmaktan çekinmedi.

Şekil 2'de gösterilmiştir. Richardson'un ölümünden sonra makaleleri arasında keşfedilen 57 grafik, neredeyse gizli olan (ve bu tür yayınlar için tamamen uygun olmayan) "Yearbook on ortak sistemler" Bu grafikleri inceledikten sonra, iki sabitin olduğu sonucuna varıyoruz (bunlara ve diyelim) - öyle ki, kıyı şeridinin uzunluğunu, buna yaklaşan kesikli bir çizgi oluşturarak belirlemek için, yaklaşık uzunluk aralıklarını alıp yazmak gerekir. aşağıdaki formül:

Göstergenin değeri, görünüşe göre ölçülen kıyı şeridinin doğasına bağlıdır ve bu hattın farklı bölümleri ayrı ayrı ele alındığında farklı değerler verebilir. Richardson'a göre büyüklük, herhangi bir özel anlamı olmayan, yalnızca kullanışlı bir göstergeydi. Ancak bu göstergenin değeri kıyı şeridi uzunluğunu tahmin etmek için seçilen yönteme bağlı görünmüyor. Bu onun en yakın ilgiyi hak ettiği anlamına gelir.

KIYI ŞERİTİNİN FRAKTAL BOYUTU

Richardson'un çalışmasını inceledikten sonra, üssün bir tam sayı olmasa da bir boyut olarak, daha doğrusu fraktal bir boyut olarak anlaşılabileceğini ve anlaşılması gerektiğini öne sürdüm. Elbette, yukarıdaki ölçüm yöntemlerinin tamamının, saf matematikte zaten kullanılan standart dışı genelleştirilmiş boyut tanımlarına dayandığının tamamen farkındaydım. Kıyı şeridi kapsamına dayalı uzunluk tespiti en küçük sayı Kaplamanın boyutunu belirlemek için kullanılan yarıçap noktaları. Kıyı şeridinin genişlikte bir şeritle kaplanmasına dayanan uzunluğun belirlenmesi, Cantor ve Minkowski'nin fikrini somutlaştırmaktadır (bkz. Şekil 56) ve buna karşılık gelen boyutu Bouligan'a borçluyuz. Ancak bu iki örnek, matematiğin oldukça uzmanlaşmış çeşitli alanlarında öne çıkan (çoğu yalnızca birkaç uzman tarafından bilinen) birçok boyutun varlığına yalnızca ipucu veriyor. Bu boyutlardan bazılarını Bölüm 39'da daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Matematikçiler neden bu farklı boyut bolluğunu ortaya koyma ihtiyacı duydular? Daha sonra bazı durumlarda alırlar farklı anlamlar. Neyse ki bu yazıda bu tür durumlarla karşılaşmayacaksınız, dolayısıyla olası alternatif boyutların listesi gönül rahatlığıyla ikiye indirilebilir, ancak bunlardan henüz bahsetmedim. Listemizdeki en eski ve en kapsamlı şekilde incelenen boyut Hausdorff'a kadar uzanır ve fraktal boyutu tanımlamaya yarar; bununla çok yakında ilgileneceğiz. Daha basit olan ikinci boyuta benzerlik boyutu denir: aynı değildir genel karakter Ancak ilk boyut olarak birçok durumda fazlasıyla yeterli olduğu ortaya çıkıyor - bunu bir sonraki bölümde ele alacağız.

Tabii ki burada vermeyeceğim matematiksel kanıt Richardson üssünün bir boyut olduğu. Dürüst olmak gerekirse, böyle bir kanıtın herhangi bir çerçevede nasıl gerçekleştirilebileceğini hayal edemiyorum. doğa bilimi. Uzunluk kavramının bizim için kavramsal bir sorun oluşturduğuna, göstergenin kullanışlı ve şık bir çözüm sunduğuna okuyucunun dikkatini çekmek istiyorum. Artık fraktal boyut kıyı şeridi çalışmalarında yerini aldığına göre, herhangi bir özel nedenden dolayı düşüncesizce ve safça inandığımız o zamanlara geri dönmek istememiz pek olası değil. Hâlâ inanan herkes, haklı olduğunu kanıtlamak istiyorsa artık denemek zorunda kalacak.

Bir sonraki adımı (kıyı şeritlerinin şeklini açıklamak ve diğer, daha temel hususlardan anlam çıkarmak) 28. Bölüme ertelemeyi öneriyorum. Bu aşamada, ilk yaklaşım olarak şunu söylemek yeterlidir. Bu değer gerçekleri doğru bir şekilde tanımlamak için çok büyük, ancak kıyı şeridinin boyutunun eğri için olağan Öklid değerini aştığına inanmanın mümkün, olması gereken ve doğal olduğunu söylemek bizim için fazlasıyla yeterli.

HAUSDORFF'UN FRAKTAL BOYUTU

Farklı doğal kıyı şeritlerinin sonsuz uzunlukta olduğunu ve ayrıca antropometrik değere dayalı uzunluk değerinin gerçek durum hakkında yalnızca kısmi bir fikir verdiğini kabul edersek, farklı kıyı şeritleri birbirleriyle nasıl karşılaştırılabilir? Sonsuz, sonsuzun dörtle çarpımından farklı olmadığına göre, herhangi bir bankanın uzunluğunun, dörtte birinin uzunluğundan dört kat daha büyük olduğunu söylemenin bize ne faydası olur? Gerekli en iyi yol Bir eğrinin bir "ölçüsü" olması gerektiği ve eğrinin tamamı için bu ölçünün, herhangi bir çeyreği için aynı ölçüden dört kat daha büyük olması gerektiği şeklindeki oldukça makul fikri ifade etmek.

Bu hedefe ulaşmak için son derece ustaca bir yöntem Felix Hausdorff tarafından önerildi. Onun yöntemi, bir çokgenin doğrusal ölçüsünün, herhangi bir dönüşüm olmaksızın kenarlarının uzunluklarının eklenmesiyle hesaplanmasına dayanmaktadır. Bu kenar uzunluklarının, doğrunun Öklid boyutuna eşit bir kuvvete yükseltildiği varsayılabilir (bu varsayımın nedeni yakında açıklığa kavuşacaktır). Kapalı bir çokgenin iç bölgesinin yüzeyinin ölçüsü de benzer şekilde hesaplanır - onu karelerle kaplayarak, bu karelerin kenar uzunluklarının toplamını bularak ve bunu bir kuvvete yükselterek (düzlemin Öklid boyutu) ). Hesaplamalarda “yanlış” dereceyi kullanırsak, bu hesaplamaların sonucu bize herhangi bir yararlı bilgi vermeyecektir: herhangi bir kapalı çokgenin alanı sıfıra eşit ve iç bölgesinin uzunluğu sonsuz olacaktır.

Bu tür konumlardan, küçük uzunluk aralıklarından oluşan bir kıyı şeridinin çokgen (parçalı doğrusal) yaklaşımını ele alalım. Aralığın uzunluğunu bir kuvvete yükseltip bunu aralık sayısıyla çarparak, geçici olarak "boyut olarak yaklaşık uzunluk" olarak adlandırılabilecek belirli bir değer elde ederiz. Richardson'a göre kenar sayısı eşit olduğundan yaklaşık kapsamımız şu değeri alır: .. Yani kıyı şeridinin yaklaşık büyüklüğü ancak ve ancak şu durumda ihtiyatlı davranış sergiler.

BİR EĞRİN FRAKTAL BOYUTU BİRİMDEN BÜYÜK OLABİLİR; FRAKTAL EĞRİLER

Hausdorff boyutu, yaratıcısının amaçladığı gibi sıradan bir boyutun görevlerini korur ve ölçüyü belirlemede bir üs görevi görür.

Ancak öte yandan, boyut oldukça sıra dışıdır; kesir olarak ifade edilir! Üstelik eğrilerin “doğal” boyutu olan birlikten daha büyüktür (topolojik boyutlarının da birliğe eşit olduğu kesin olarak kanıtlanabilir).

Fraktal boyutu topolojik boyutunu aşan eğrilere 1 fraktal eğriler adını vermeyi öneriyorum. Bu bölümün kısa bir özetini sunabilirim. sonraki ifade: Coğrafi ölçeklerde kıyı şeritleri fraktal eğriler kullanılarak modellenebilir. Kıyı şeritleri fraktal yapıdadır.

Pirinç. 55. MAYMUN AĞACI

Bu aşamada bu küçük çizimi sadece dekoratif bir unsur olarak düşünmek gerekir, sadece bir boşluğu doldurur.

Ancak Bölüm 14'ü okuduktan sonra okuyucu burada Şekil 2'deki "mimari" bilmeceyi çözmeye yönelik bir ipucu bulabilecektir. 210. Aşağıdaki jeneratör daha ciddi bir ipucu sağlıyor:

Bir matematikçinin özellikle düzensiz bir eğriyi "evcilleştirmesi" gerekiyorsa, aşağıdaki standart prosedürü kullanabilir: belirli bir değer seçilir ve eğrinin her noktasının etrafına yarıçaplı bir daire oluşturulur. En azından Hermann Minkowski'ye ve hatta bizzat Georg Cantor'a kadar uzanan bu prosedür biraz kaba ama çok etkilidir. (Doğrulanmamış söylentilere göre sosis teriminin kökeni, bir şekilde Norbert Wiener'in bu prosedürü Brown eğrilerine uygulamasıyla bağlantılıdır.)

Burada yayınlanan resimlerde, yukarıda açıklanan yumuşatma gerçek kıyılara değil, sürekli olarak daha fazla ince ayrıntı ekleyerek biraz sonra oluşturacağımız (bkz. Şekil 79) teorik bir eğriye uygulanır. Sağda gösterilen sosis parçasını üstte yer alan sosisin sağ ucuyla karşılaştırdığımızda, eğrinin oluşumundaki kritik aşamanın, eğrinin 'den küçük parçalar içermeye başlamasıyla meydana geldiğini görüyoruz. Daha fazlası için sonraki aşamalar sosis önemli ölçüde değişmez.

Pirinç. 57. KIYI ŞERİDİ UZUNLUKLARININ BÜYÜME HIZINA İLİŞKİN RICHARDSON'UN AMPİRİK VERİLERİ

Bu şekil, kenar uzunluğu azalan eşkenar çokgenler kullanılarak çeşitli eğriler üzerinde yapılan eğri uzunluğu ölçümlerinin deneysel sonuçlarını göstermektedir. Beklendiği gibi, daire söz konusu olduğunda hassasiyeti artan ölçümler, çok hızlı bir şekilde çok spesifik bir değer etrafında sabitlenen bir değer verir.

Kıyı şeritlerinde ise yaklaşık uzunluk değerleri tam tersine hiç stabil değildir. Adım uzunluğu sıfıra yaklaştıkça, çift logaritmik koordinat sisteminde çizilen uzunluk yaklaşımları negatif eğimli bir düz çizgi oluşturur. Aynı şey ülkeler arasındaki kara sınırları için de geçerlidir. Richardson'un çeşitli ansiklopediler üzerinde yaptığı araştırmalar, ilgili ülkelerin haritacıları tarafından ortak sınırın uzunluğunun belirlenmesinde önemli farklılıklar olduğunu ortaya çıkardı: örneğin, İspanya ile Portekiz arasındaki sınırın uzunluğu İspanyolların bakış açısından 987 km ve 1214 km'dir. Portekizlilerin bakış açısından km; Hollanda ile Belçika arasındaki sınır (380 ve 449 km) de benzer şekilde etkilendi. Karşılık gelen çizgilerin eğimi -0,25 olduğundan, ölçümler arasındaki yüzde yirmilik bir fark, bu ölçümler için kabul edilen değerler arasında iki kat fark anlamına gelir ki bu o kadar da inanılmaz bir varsayım değildir.

Richardson hiçbir şey vermedi teorik yorumlama düz çizgilerinin farklı eğimleri. Kıyı şeritlerini fraktal eğrilere yaklaşımlar olarak yorumlamayı amaçlıyoruz ve yamaçlar farkın yaklaşık değerleri olarak karşılık gelen düz çizgiler, fraktal boyuttur.

Bir paradoks örneği: Birleşik Krallık kıyı şeridi 100 km'lik bölümler halinde ölçülürse uzunluğu yaklaşık 2.800 km olur. 50 km'lik bölümler kullanıldığında uzunluk yaklaşık 3.400 km, yani 600 km daha uzundur.

Kıyı şeridinin uzunluğu nasıl ölçüldüğüne bağlıdır. Bir kara kütlesi, yüzlerce kilometreden milimetrenin kesirlerine veya daha azına kadar her büyüklükteki kıvrımlarla karakterize edilebildiğinden, ölçüm için alınması gereken en küçük elemanın boyutunu seçmenin açık bir yolu yoktur. Sonuç olarak, bu alanın çevresini kesin olarak belirlemek imkansızdır. Bu problemin çözümü için çeşitli matematiksel yaklaşımlar mevcuttur.

Bir sınırın veya kıyı şeridinin uzunluğunu tahmin etmenin ana yöntemi, N eşit uzunlukta bölümler ben pusula kullanarak bir harita veya hava fotoğrafı üzerinde. Segmentin her bir ucu ölçülen sınıra ait olmalıdır. Richardson, sınır değerlendirmesindeki tutarsızlıkları inceleyerek şu anda adı verilen şeyi keşfetti. Richardson etkisi: Ölçüm ölçeği tüm bölümlerin toplam uzunluğu ile ters orantılıdır. Yani kullanılan cetvel ne kadar kısa olursa ölçülen sınır da o kadar uzun olur. Böylece İspanyol ve Portekizli coğrafyacılar farklı ölçeklerdeki ölçümlerle yönlendirildiler.

Richardson için en çarpıcı olan şey, değerin ne zaman olduğuydu. ben sıfıra doğru eğilim gösterirken, sahilin uzunluğu sonsuza doğru yönelir. Richardson başlangıçta Öklid geometrisine dayanarak bu uzunluğun, normal uzunluklarda olduğu gibi sabit bir değere ulaşacağına inanıyordu. geometrik şekiller. Örneğin, bir daire içine yazılan normal bir çokgenin çevresi, kenar sayısı arttıkça (ve her bir kenarın uzunluğu azaldıkça) dairenin uzunluğuna yaklaşır. Geometrik ölçümler teorisinde, belirli bir limitle yaklaşık olarak küçük parçalar şeklinde temsil edilebilen daire gibi düzgün bir eğriye doğrultulabilir eğri adı verilir.

Richardson'ın çalışmasını tamamlamasından on yıldan fazla bir süre sonra Mandelbrot, sonsuz kıyı şeridi gibi doğada var olan düzeltilemez kompleksleri tanımlamak için matematiğin yeni bir dalı olan fraktal geometriyi geliştirdi. Onun kendi tanımı Araştırmasının temeli olan fraktal şu ​​şekildedir:

Bir kelime uydurdum fraktal Latince sıfatı temel alarak kırık. Karşılık gelen Latince fiil Fransız araç kırmak: Düzensiz parçalar oluşturun. Bu nedenle, "parçalı" olmanın yanı sıra, makuldür: kırık aynı zamanda "düzensiz" anlamına da gelmelidir.

Fraktalların temel özelliği, aynı şeyin tezahüründen oluşan kendi kendine benzerliktir. genel rakam herhangi bir ölçekte. Kıyı şeridi, koyların ve burunların bir alternatifi olarak algılanıyor. Varsayımsal olarak, eğer belirli bir kıyı şeridi kendi kendine benzerlik özelliğine sahipse, o zaman bir veya başka bir kısım ne kadar ölçeklenirse ölçeklensin, daha büyük koylar ve burunların üzerine bindirilmiş daha küçük koylar ve burunlardan oluşan benzer bir desen, daha küçük koylar ve burunlar olacaktır. kum. Bu ölçeklerde kıyı şeridi, körfezlerin ve burunların stokastik düzenlemesiyle anında değişen, potansiyel olarak sonsuz bir şerit gibi görünüyor. Bu gibi durumlarda (düzgün eğrilerin aksine) Mandelbrot şunu belirtiyor: "Kıyı şeridinin uzunluğu anlaşılması zor bir kavramdır ve onu anlamaya çalışanların parmaklarının arasından kayıp gider."

burada kıyı şeridi uzunluğu L, ε biriminin bir fonksiyonudur ve sağ taraftaki ifadeyle yaklaşık olarak hesaplanır. F bir sabittir, D ise kıyı şeridinin kendisine bağlı olan Richardson parametresidir (Richardson şunu vermemiştir: teorik açıklama ancak Mandelbrot, D'yi Hausdorff boyutunun, daha sonra fraktal boyutun tamsayı olmayan bir formu olarak tanımladı. Başka bir deyişle D, “pürüzlülüğün” pratik olarak ölçülen değeridir. Yeniden toplandıktan sağ taraf ifadelerden şunu elde ederiz:

burada Fε -D, L'yi elde etmek için gereken ε birim sayısı olmalıdır. Fraktal boyut, bir fraktalı tahmin etmek için kullanılan bir nesnenin boyutlarının sayısıdır: bir nokta için 0, bir çizgi için 1, alan şekilleri için 2. Çünkü kırık çizgi Sahilin uzunluğunu ölçen, tek yönde uzanmayan ve aynı zamanda bir alanı temsil etmeyen ifadedeki D değeri; ara konum 1 ile 2 arasında (sahil için genellikle 1,5'tan az). Kalın bir çizgi veya 2ε genişliğinde şerit olarak yorumlanabilir. Daha fazla “kırık” kıyı var daha yüksek değer D ve dolayısıyla L'nin aynı ε için daha uzun olduğu ortaya çıkar. Mandelbrot, D'nin ε'ya bağlı olmadığını gösterdi.

Genel olarak kıyı şeritleri matematiksel fraktallardan farklıdır çünkü bunlar yalnızca istatistiksel olarak desen oluşturan çok sayıda küçük ayrıntı kullanılarak oluşturulmuştur.

Gerçekte kıyı şeritlerinde 1 cm'den küçük detaylar bulunmamaktadır. ] . Bunun nedeni erozyon ve diğer deniz olaylarıdır. Çoğu yerde minimum boyut çok daha yüksektir. Bu nedenle sonsuz fraktal model kıyı şeridi için uygun değildir.

Pratik nedenlerden dolayı, ölçü birimleri sırasına eşit minimum parça boyutunu seçin. Bu nedenle, kıyı şeridi kilometre cinsinden ölçülürse, hatlarda bir kilometreden çok daha az olan küçük değişiklikler dikkate alınmaz. Kıyı şeridini santimetre cinsinden ölçmek için yaklaşık bir santimetrelik tüm küçük değişiklikler dikkate alınmalıdır. Ancak santimetre düzeyindeki ölçeklerde, örneğin halicin denizle birleştiği yerde veya ölçümlerin geniş watt'ta yapılması gereken yerlerde çeşitli keyfi fraktal olmayan varsayımların yapılması gerekir. Ayrıca kullanım çeşitli yöntemler Farklı ölçü birimleri için ölçümler, bu birimlerin basit çarpma işlemi kullanılarak dönüştürülmesine izin vermez.

Eyalet karasularını belirlemek için, Kanada'nın Britanya Kolumbiyası eyaletinin kıyılarının sözde kıvrımları inşa edilir; Kanada kıyı şeridinin uzunluğunun% 10'undan fazlasını oluştururlar (Kanada Arktik takımadalarının tüm adaları dikkate alınarak) - Yalnızca 965 km doğrusal mesafede 243.042 km'nin 25.725 km'si