Matlab'da histogramları değiştirmek için bazı yöntemlerin uygulanması

Birçok kez belirtildiği gibi, bir görüntünün en önemli özelliklerinden biri, öğelerinin parlaklık dağılımının histogramıdır. Daha önce histogramları değiştirmenin teorik temellerini kısaca gözden geçirdik, bu nedenle bu çalışmada Matlab sisteminde histogramları dönüştürmeye yönelik bazı yöntemlerin uygulanmasının pratik yönlerine daha fazla dikkat edeceğiz. Aynı zamanda histogramları değiştirmenin görüntülerin görsel kalitesini iyileştirme yöntemlerinden biri olduğunu da not ediyoruz.

Adım 1: Orijinal görüntünün okunması.

Dosyadaki orijinal görüntüyü Matlab çalışma alanına okuyoruz ve monitör ekranında gösteriyoruz.

L=imread("lena.bmp");

şekil, göster(L);

İncelenmekte olan orijinal görüntü yarım ton olduğundan, çok boyutlu dizinin yalnızca bir bileşenini dikkate alacağız.

Pirinç. 1. Orijinal resim.

Çalışma histogram dönüştürme yöntemlerini dikkate aldığından orijinal görüntünün histogramını da oluşturacağız.

Şekil 2. Orijinal görüntünün histogramı.

Adım 2: Düzgün histogram dönüşümü.

Histogramın düzgün dönüşümü formüle göre gerçekleştirilir

nerede , - orijinal görüntünün yoğunluk dizisinin elemanlarının minimum ve maksimum değerleri;

Orijinal görüntünün dağılım histogramı ile tahmin edilen olasılık dağılım fonksiyonu . Başka bir deyişle, hakkında konuşuyoruz Bir görüntünün kümülatif histogramı hakkında.

Matlab'da bu aşağıdaki gibi uygulanabilir. Orijinal görüntünün kümülatif histogramını hesaplayın

CH=cumsum(H)./(N*M);

Orijinal görüntünün histogram değerlerinin vektörü ve , bu görüntünün boyut fonksiyonu kullanılarak belirlenen boyutlarıdır.

L1(i,j)=CH(tavan(255*L(i,j)+eps));

şekil, göster(L1);

Kümülatif histogram indekslerine sıfır değer atanmasını önlemek için eps değeri tavan fonksiyonu ile birlikte kullanılır. Düzgün histogram dönüşüm yönteminin uygulanmasının sonucu, Şekil 1'de sunulmaktadır. 3.

Pirinç. 3. Tek biçimli histogram dönüştürme yöntemiyle işlenen orijinal görüntü.

Formül (1)'e göre dönüştürülen görüntünün histogramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. Gerçekten dinamik aralığın neredeyse tamamını kaplar ve tekdüzedir.

Pirinç. 4. Şekil 2'de gösterilen görüntünün histogramı. 3.

Görüntü öğelerinin yoğunluk seviyelerinin tekdüze aktarımı, kümülatif histogramla da kanıtlanmaktadır (Şekil 5).

Şekil 5. Şekil 2'de gösterilen görüntünün kümülatif histogramı. 3.

Adım 3: Üstel histogram dönüşümü.

Histogramın üstel dönüşümü aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

üstel dönüşümün dikliğini karakterize eden belirli bir sabit nerede.

Matlab'da formül (2)'ye göre dönüşümler aşağıdaki gibi uygulanabilir.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

şekil, göster(L2);

Pirinç. 6. Üstel histogram dönüştürme yöntemi kullanılarak işlendikten sonraki orijinal görüntü.

Üstel dönüşüm yöntemiyle işlenen görüntünün histogramı Şekil 1'de gösterilmektedir. 7.

Pirinç. 7. Üstel dönüşüm yöntemiyle işlenmiş bir görüntünün histogramı.

Dönüşümlerin üstel doğası, en açık şekilde, Şekil 2'de sunulan işlenmiş görüntünün kümülatif histogramında ortaya çıkar. 8.

Pirinç. 8. Üstel dönüşüm yöntemi kullanılarak işlenen bir görüntünün kümülatif histogramı.

Adım 4: Rayleigh yasasını kullanarak histogramı dönüştürün.

Rayleigh yasasına göre histogram dönüşümü şu ifadeye göre gerçekleştirilir:

ortaya çıkan görüntünün elemanlarının yoğunluk dağılımının histogramını karakterize eden belirli bir sabit nerede.

Bu dönüşümlerin Matlab ortamında uygulamasını sunalım.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

şekil, göster(L3);

Pirinç. 9. Rayleigh kanununa göre histogram dönüştürme yöntemiyle işlenen orijinal görüntü.

Rayleigh kanunu dönüşüm yöntemiyle işlenen görüntünün histogramı Şekil 1'de gösterilmektedir. 10.

Pirinç. 10. Rayleigh yasası dönüştürme yöntemi kullanılarak işlenmiş bir görüntünün histogramı.

Rayleigh yasası dönüştürme yöntemiyle işlenen görüntünün kümülatif histogramı Şekil 1'de gösterilmektedir. 11.

Pirinç. 11. Rayleigh yasası dönüştürme yöntemi kullanılarak işlenmiş bir görüntünün kümülatif histogramı.

Adım 5: Kuvvet yasasını kullanarak histogramı dönüştürün.

Görüntü histogramının güç yasasına göre dönüştürülmesi ifadeye göre uygulanır.

Matlab'da bu yöntem aşağıdaki gibi uygulanabilir.

L4(i,j)=(CH(tavan(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

şekil, göster(L4);

Pirinç. 12. Güç yasasına göre histogram dönüştürme yöntemiyle işlenen orijinal görüntü.

İşlenen görüntünün elemanlarının yoğunluk dağılımının histogramı Şekil 1'de sunulmaktadır. 13.

Pirinç. 13. Güç yasasına göre histogram dönüştürme yöntemiyle işlenmiş bir görüntünün histogramı.

Gri seviyelerin iletiminin doğasını en açık şekilde gösteren işlenmiş görüntünün kümülatif histogramı Şekil 1'de sunulmaktadır. 14.

Pirinç. 14. Güç yasası dönüştürme yöntemiyle işlenen bir görüntünün kümülatif histogramı.

Adım 6: Hiperbolik histogram dönüşümü.

Histogramın hiperbolik dönüşümü aşağıdaki formüle göre uygulanır:

histogramın hiperbolik dönüşümünün gerçekleştirildiği belirli bir sabit nerede. Aslında parametre, görüntü elemanlarının minimum yoğunluk değerine eşittir.

Matlab ortamında bu yöntem aşağıdaki gibi uygulanabilir.

L5(i,j)=.01^(CH(tavan(255*L(i,j)+eps))); %V bu durumda bir=0.01

şekil, göster(L5);

Pirinç. 15. Hiperbolik dönüşüm yöntemiyle işlenen orijinal görüntü.

Bu şekilde işlenen görüntünün elemanlarının yoğunluk dağılımının histogramı Şekil 1'de gösterilmektedir. 16.

Pirinç. 16. Hiperbolik dönüşüm yöntemiyle işlenmiş bir görüntünün histogramı.

Şekli gerçekleştirilen dönüşümlerin doğasına karşılık gelen kümülatif histogram, Şekil 2'de sunulmaktadır. 17.

Pirinç. 17. Hiperbolik dönüşüm yöntemiyle işlenmiş bir görüntünün kümülatif histogramı.

Bu çalışmada histogramları değiştirmek için bazı yöntemler dikkate alınmıştır. Her yöntemin uygulanmasının sonucu, işlenen görüntünün öğelerinin parlaklık dağılımının histogramının belirli bir şekil almasıdır. Bu tür bir dönüşüm, görüntülerin oluşum, iletim veya veri işleme aşamasında tabi tutulduğu nicemleme seviyelerinin iletimindeki bozulmaları ortadan kaldırmak için kullanılabilir.

Ayrıca dikkate alınan yöntemlerin yalnızca küresel olarak değil aynı zamanda kayan modda da uygulanabileceğini unutmayın. Bu, her seferinde histogramın analiz edilmesi gerekeceğinden hesaplamaları karmaşıklaştıracaktır. yerel bölge. Ancak diğer taraftan bu tür dönüşümler küresel uygulamanın aksine yerel alanların detaylandırılmasını da mümkün kılıyor.

RUSYA EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI

Federal Devlet Bütçe Eğitim Kurumu

yüksek mesleki eğitim

“Çuvaş Devlet Üniversitesi, I.N. Ulyanov"

Tasarım ve Bilgisayar Teknolojileri Fakültesi

Bilgisayar Teknolojileri Bölümü

“Otomatik kontrol sistemleri ve kontrol sistemlerinin güvenilirliği, ergonomisi ve kalitesi” disiplininde

"konusuyla ilgili Temel matematiksel modeller teoride kullanılangüvenilirlik»

Tamamlanmış:

öğrenci gr. ZDIKT-25-08

Lyusenkov I.V.

Kontrol edildi:

Grigoriev V.G.

Şaboksarı

giriiş

Güvenilirlik teorisinde kullanılan temel matematiksel modeller…….

Weibull dağıtımı……………………………………………………….

Üstel dağılım…………………………………………….

Rayleigh dağılımı……………………………………………………………… 5

Normal dağılım (Gauss dağılımı)………………………….. 5 Dağıtım kanununun tanımı……………………………………………. 6

Güvenilirlik göstergelerinin sayısının seçimi…………………………………….

Doğruluk ve güvenilirlik

istatistiksel değerlendirme

güvenilirlik göstergeleri... 10 Güvenilirlik programlarının özellikleri…………………………………………… 11 Edebiyat……………………………………………………………………………… 13

Güvenilirlik teorisinde kullanılan temel matematiksel modeller

Yukarıdaki matematiksel ilişkilerde olasılık yoğunluğu kavramı ve dağılım yasası sıklıkla kullanılmıştır.

Dağıtım yasası - olası değerler arasında belirli bir şekilde kurulan bağlantı

rastgele değişken ve bunlara karşılık gelen olasılıklar., δ > 0);

Dağıtım (olasılık) yoğunluğu, dağıtım yasasını tanımlamanın yaygın olarak kullanılan bir yoludur

Weibull dağılımı

Weibull dağılımı iki parametreli bir dağılımdır. Bu dağılıma göre arıza anının olasılık yoğunluğu

(2)

burada δ şekil parametresidir (işleme sonucunda seçimle belirlenir)

(3)

deneysel veriler

λ - ölçek parametresi,<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği büyük ölçüde şekil katsayısının değerine bağlıdır.

Başarısızlık oranı şu ifadeyle belirlenir:

Belirtildiği gibi, hatasız çalışma olasılığının üstel dağılımı, şekil parametresi δ = 1 olduğunda Weibull dağılımının özel bir durumudur. Bu dağılım tek parametrelidir, yani hesaplanan ifadeyi yazmak için, bir parametre λ = const yeterlidir. Bu yasa için bunun tersi de doğrudur: Arıza oranı sabitse, zamanın bir fonksiyonu olarak hatasız çalışma olasılığı üstel yasaya uyar:

(4)

Arızasız aralığın üstel dağılım yasasıyla ortalama arızasız süre aşağıdaki formülle ifade edilir:

(5)

Böylece, üstel bir dağılım durumunda ortalama arızasız çalışma süresi T 1 (veya sabit arıza oranı λ) bilinerek, nesnenin parçalandığı andan itibaren zaman aralığı için hatasız çalışma olasılığını bulmak mümkündür. herhangi bir anda açılır.

Rayleigh dağılımı

Rayleigh kanunundaki olasılık yoğunluğu aşağıdaki forma sahiptir:

(6)

burada δ * Rayleigh dağılım parametresidir.

Başarısızlık oranı:

. (7)

Rayleigh dağılımının karakteristik bir özelliği, λ(t) grafiğinin orijinden başlayan düz çizgisidir.

Bu durumda nesnenin hatasız çalışma olasılığı ifadeyle belirlenir.

(8)

Normal dağılım (Gauss dağılımı)

Normal dağılım yasası, formun olasılık yoğunluğu ile karakterize edilir.

(9)

burada m x, σ x - sırasıyla matematiksel beklenti ve rastgele değişken X'in standart sapması.

RESI'nin güvenilirliğini rastgele bir değişken biçiminde analiz ederken, zamana ek olarak akım, elektrik voltajı ve diğer argümanların değerleri de sıklıkla ortaya çıkar. Normal yasa iki parametreli bir yasadır ve yazılması için m x ve s x'i bilmeniz gerekir.

Arızasız çalışma olasılığı formülle belirlenir

(10)

ve başarısızlık oranı formüle göredir

(11)

Bu kılavuz, bir rastgele değişkenin yalnızca en yaygın dağılım yasalarını göstermektedir. Güvenilirlik hesaplamalarında da kullanılan çok sayıda bilinen yasa vardır: gama dağılımı, χ2 dağılımı, Maxwell, Erlang dağılımı, vb.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Dağıtım işlevi

, x³ 0;

Nokta tahmini dağıtım kanunu parametresi

Erlang dağıtım yasası (gama dağılımı)

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Dağıtım işlevi

, x³ 0;

Dağıtım yasası parametrelerinin nokta tahmini:

ve k" ile k en yakın tamsayı olarak alınır (k=1, 2, 3,...); .

Weibull dağıtım yasası

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

dağıtım fonksiyonu

, x³ 0;

Dağıtım yasası parametrelerinin nokta tahmini

;

Öncelik gereksinimleri olan sistemlerde, göreceli öncelik (hizmet kesintisi olmadan) arasında bir ayrım yapılır; daha yüksek önceliğe sahip bir talep geldiğinde, daha düşük önceliğe sahip bir talebin daha önce başlatılan hizmeti tamamlandıktan sonra hizmet için kabul edilir ve Mutlak öncelik, kanalın gelen bir talebe daha yüksek önceliğe sahip hizmet vermek üzere hemen serbest bırakılmasıdır.

Öncelik ölçeği, hizmet sisteminin dışındaki bazı kriterlere veya hizmet sisteminin işleyişine ilişkin göstergelere dayalı olarak oluşturulabilir. Pratik önemi sahip olmak aşağıdaki türleröncelikler:

gereksinimlere verilen öncelik en az zaman hizmet. Bu önceliğin etkinliği şu şekilde gösterilebilir: aşağıdaki örnek. Sırasıyla 6,0 ve 1,0 saat hizmet süresine sahip iki talep geldi. Boş bir kanaldan geliş sırasına göre hizmete kabul edildiklerinde, 1. istek için kesinti süresi 6,0 saat, 6,0 + 1,0 = 7 saat olacaktır. ikinci gereksinim için 0,0 saat veya iki gereksinim için toplam 13,0 saat İkinci gereksinime öncelik verip önce onu servise kabul ederseniz onun kesinti süresi 1,0 saat, diğerinin kesinti süresi ise 1,0 + 6,0 = olur. 7,0 saat veya iki gereksinim için toplamda 8,0 saat Atanan öncelikten elde edilen kazanç, sistemdeki gereksinimlerin aksama süresinde 5,0 saat (13-8) azalma olacaktır;

Hizmet süresinin minimum oranda talep kaynağının gücüne (performansına), örneğin bir aracın taşıma kapasitesine oranı olan gereksinimlere öncelik verilir.

Hizmet mekanizması, bireysel hizmet kanallarının parametreleri, bir bütün olarak sistemin verimi ve hizmet gereksinimlerine ilişkin diğer verilerle karakterize edilir. Sistem kapasitesi, kanal (cihaz) sayısına ve her birinin performansına göre belirlenir.

45. Rastgele değişkenlerin güven aralıklarının belirlenmesi

Aralık tahmini Bir rastgele değişkenin dağılım parametresi, g olasılığı ile belirlenir.

abs(P – P m) ≤d,

burada P, parametrenin tam (gerçek) değeridir;

P m – örneğe dayalı parametre tahmini;

d – P parametresi tahmininin doğruluğu (hata).

En yaygın olarak kabul edilen değerler 0,8 ila 0,99 arasındaki g'dir.

Güven aralığı parametre, parametre değerinin g olasılığı ile düştüğü aralıktır. Örneğin, bu temelde, g olasılığı ile d doğruluğunda matematiksel beklentinin bir tahminini sağlayan bir rastgele değişkenin gerekli örnek boyutu bulunur. Bağlantı türü rastgele değişkenin dağılım yasasına göre belirlenir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir [Х 1 , Х 2 ] aralığına düşme olasılığı, integral dağılım fonksiyonunun dikkate alınan F(Х 2)–F(Х 1) aralığındaki artışıyla belirlenir. Buna dayanarak ne zaman bilinen fonksiyon dağıtımda beklenen garantili minimum X gn'yi (x≥ X gn) veya maksimum değer X gv (x≤ X gv) rastgele değişken c verilen olasılık g (Şekil 2.15). Bunlardan ilki, g olasılığı ile rastgele değişkenin bu değerden büyük olacağı değer, ikincisi ise g olasılığı ile rastgele değişkenin bu değerden küçük olacağı değerdir. Garantili minimum değer F(x)= 1-g olduğunda g olasılıklı X gn ve F(x)=g'de maksimum X gy sağlanır. Böylece X gn ve X gv değerleri şu ifadelerle bulunur:

X gn = F-1 (1-g);

X gv = F -1 (g).

Örnek. Rastgele değişken, fonksiyonla üstel bir dağılıma sahiptir .

Rastgele değişkenin hangi X r ve X r değerlerini bulmak gerekir? X g=0,95 olasılıkla X gv'den fazla ve X gv'den küçüktür.

F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (önceki sonuca bakınız) ve α = 1-g = 0,05 olduğu gerçeğine dayanarak şunu elde ederiz:

X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,05)=-100 (-.0513)=5,13.

X gv α = g = 0,95 için benzer şekilde elimizde

X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,95)=-100 (-2,996)=299,6.

İçin normal hukuk X gv ve X gv değerlerinin dağılımları formüller kullanılarak hesaplanabilir

X g = x m + s U 1- g = x m - s U g;

X gv = x m + s U g,

burada xm bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisidir; s – rastgele bir değişkenin standart sapması; U g – g olasılığı ile normal dağılım yasasının tek taraflı yüzdelik dilimi.

Şekil 2.15 - X gn ve X gv tanımının grafiksel yorumu

46.Hizmet gereksinimleri akışının tanımı

Gelen akış, hizmet sistemine gelen bir gereksinimler (uygulamalar) dizisidir ve birim zaman başına gereksinimlerin alınma sıklığı (yoğunluk) ve akış yoğunluğunun dağılım yasası ile karakterize edilir. Gelen akış, isteklerin alınma anları arasındaki zaman aralıkları ve bu aralıkların dağıtım kanunu ile de tanımlanabilir.

Bir akıştaki istekler teker teker (sıradan akışlar) veya gruplar halinde (olağan olmayan akışlar) gelebilir.

Sıradan bir akışın özelliği, herhangi bir zamanda yalnızca bir isteğin gelebilmesidir. Başka bir deyişle özellik, kısa bir süre içinde birden fazla istek alma olasılığının sonsuz küçük bir değer olmasıdır.

İhtiyaçların grup olarak alınması durumunda, talep gruplarının alınma yoğunluğu ve dağıtım yasasının yanı sıra grupların büyüklüğü ve dağıtım yasası da belirtilir.

İhtiyaçların alınma yoğunluğu zamanla değişebilir (durağan olmayan akışlar) veya yalnızca yoğunluğu belirlemek için benimsenen zaman birimine (sabit akışlar) bağlıdır. Belirli bir zaman periyodunda (t 0 , t 0 + Δt) n isteğin ortaya çıkma olasılığı t 0'a bağlı değilse, yalnızca Δt'ye bağlıysa akışa durağan denir.

Kararsız bir akışta yoğunluk, periyodik olmayan bir şekilde zamanla değişir. periyodik desen(örneğin mevsimsel süreçler) ve ayrıca kısmi veya tam akış gecikmesine karşılık gelen dönemlere sahip olabilir.

Sisteme belirli bir noktadan önce ve sonra giren istek sayısı arasında bir bağlantı olup olmadığına bağlı olarak akışın sonradan etkisi olabilir veya hiç etkisi olmayabilir.

Hiçbir sonradan etkisi olmayan sıradan, durağan bir talep akışı en basiti.

47.Pearson ve Romanovsky anlaşma kriterleri

Sonraki bölümlerde birkaç tanesiyle tanışacağız. çeşitli türler rastgele değişkenler. Bu bölümde, sıklıkla ortaya çıkan bu yeni rastgele değişkenleri, bunların PDF'lerini, PDF'lerini ve anlarını listeliyoruz. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı olan binom dağılımıyla başlayacağız ve ardından bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılımını tanıtacağız.

Binom dağılımı.İki alan ayrık bir rastgele değişken olsun olası değerler, örneğin veya , olasılıkla ve sırasıyla. İlgili PDF, Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.1.6.

Pirinç. 2.1.6. Olasılık dağılım fonksiyonu

Şimdi varsayalım ki

burada , , istatistiksel olarak bağımsızdır ve Şekil 2'de gösterilen PDF ile aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerdir. 2.1.6. Dağıtım fonksiyonu nedir?

Bu soruyu cevaplamak için başlangıçta bunun 0'dan 0'a kadar bir tamsayı dizisi olduğuna dikkat edin. Olasılığı her şeyin olasılığına eşittir. İstatistiksel olarak bağımsız oldukları için

, olasılığı bir terimin olasılığına eşittir ve geri kalanı sıfıra eşittir. Bu olay meydana gelebileceği için çeşitli şekillerde,

(2.1.84)

sonuca götüren çeşitli kombinasyonlar elde ederiz

binom katsayısı nerede. Bu nedenle PDF şu şekilde ifade edilebilir:

, (2.1.87)

burada öyle en büyük tamsayı anlamına gelir .

IFR (2.1.87) şunları karakterize eder: binom dağılımı rastgele değişken.

İlk iki an eşittir

ve karakteristik fonksiyon

. (2.1.89)

Düzgün dağıtım. Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin PDF ve IDF'si Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.1.7.

Pirinç. 2.1.7. Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişken için PDF ve IFR grafikleri

İlk iki an eşittir

, (2.1.90)

ve karakteristik fonksiyon eşittir

(2.1.91)

Gauss dağılımı. Bir Gaussian veya normal olarak dağıtılan rastgele değişkenin PDF'si aşağıdaki formülle belirlenir:

, (2.1.92)

matematiksel beklenti nerede ve rastgele değişkenin varyansı. FMI eşittir

ifadeyle belirlenen hata fonksiyonu nerede

. (2.1.94)

PDF ve PFR Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.1.8.

Pirinç. 2.1.8. Gauss rastgele değişkeninin PDF (a) ve IDF (b) grafikleri

IGF ayrıca ek bir hata fonksiyonu cinsinden de ifade edilebilir;

. (2.1.95)

Dikkat , , Ve . Çünkü ek hata fonksiyonu Gauss PDF'sinin altındaki alanla orantılıdır. Büyük değerler için seri yoluyla ek bir hata fonksiyonuna yaklaşılabilir.

, (2.1.96)

ve yaklaşım hatası son tutulan terimden daha azdır.

Gaussian PDF'nin bölümünün altındaki alan için genellikle kullanılan fonksiyon şu şekilde gösterilir ve tanımlanır:

, . (2.1.97)

(2.1.95) ve (2.1.97)'yi karşılaştırırsak, şunu buluruz:

. (2.1.98)

Ortalama ve varyanslı bir Gauss rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu şuna eşittir:

Bir Gauss rastgele değişkeninin merkezi momentleri şuna eşittir:

(2.1.100)

ve sıradan anlar şu şekilde ifade edilebilir: merkezi noktalar

. (2.1.101)

Statik olarak bağımsız Gauss rastgele değişkenlerinin toplamı da bir Gauss rastgele değişkenidir. Bunu göstermek için varsayalım

burada , ortalama ve varyansları olan bağımsız rastgele değişkenlerdir. Sonucu (2.1.79) kullanarak karakteristik fonksiyonun şuna eşit olduğunu buluyoruz:

Bu nedenle, ortalaması ve varyansı olan bir Gauss rastgele değişkenidir.

Ki-kare dağılımı. Ki-kare dağılımına sahip bir rastgele değişken, Gauss rastgele değişkeni tarafından oluşturulur, bu anlamda, oluşumu ikincisinin bir dönüşümü olarak düşünülebilir. Spesifik olarak, Gauss rastgele değişkeninin nerede olduğunu gösterelim. Daha sonra ki-kare dağılımı vardır. İki tip ki-kare dağılımını birbirinden ayırıyoruz. Birincisi merkezi ki-kare dağılımı olarak adlandırılır ve ortalaması sıfır olduğunda elde edilir. İkincisi, merkezi olmayan ki-kare dağılımı olarak adlandırılır ve sıfırdan farklı bir ortalamaya sahip olduğunda elde edilir.

Öncelikle merkezi ki-kare dağılımını düşünün. Ortalaması ve varyansı sıfır olan bir Gauss rastgele değişkeni olsun. Çünkü sonuç, ve parametreleriyle fonksiyon (2.1.47) tarafından verilmektedir. Böylece PDF'yi formda elde ederiz.

, . (2.1.105)

kapalı bir biçimde ifade edilemez. Karakteristik fonksiyon ancak kapalı biçimde ifade edilebilir:

. (2.1.107)

Şimdi rastgele değişkenin şu şekilde tanımlandığını varsayalım:

burada , , istatistiksel olarak bağımsızdır ve sıfır ortalama ve varyansa sahip aynı şekilde dağıtılmış Gauss rastgele değişkenleridir. Dolayı istatistiksel bağımsızlık karakteristik fonksiyon

. (2.1.109)

Bu karakteristik fonksiyonun ters dönüşümü PDF'yi verir

, , (2.1.110)

gama fonksiyonu nerede olarak tanımlanır?

Tamsayı, , (2.1.111)

Bu PDF (2.1.105)'in bir genellemesidir ve serbestlik dereceli ki-kare (veya gama) PDF olarak adlandırılır. Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.1.9.

Eşit oldukları durum

İlk iki an eşittir

, (2.1.112)

FMI eşittir

, (2.1.113)

Pirinç. 2.1.9 Çeşitli serbestlik derecesi değerleri için ki-kare dağılımına sahip bir rastgele değişkenin PDF grafikleri

Bu integral, Pearson (1965) tarafından tablolaştırılan tamamlanmamış bir gama fonksiyonuna dönüştürülür.

Çift ise integral (2.11.113) kapalı biçimde ifade edilebilir.

Özellikle, burada bir tamsayı olsun. Daha sonra parçalara göre tekrarlı entegrasyon kullanarak şunu elde ederiz:

, . (2.1.114)

Şimdi bir Gauss rastgele değişkeninin sıfırdan farklı ortalamayla karesinin alınmasının sonucu olan merkezi olmayan ki-kare dağılımını düşünün. Ortalaması ve varyansı olan bir Gauss rastgele değişkeni ise, rastgele değişkenin PDF'si vardır.

, (2.1.115)

Bu sonuç, (2.1.92) dağılımına sahip bir Gauss PDF'si için (2.1.47) kullanılarak elde edilir. PDF için karakteristik fonksiyon

. (2.1.116)

Sonuçları genelleştirmek için, bunun (2.1.108) ile tanımlanan Gauss rastgele değişkenlerinin karelerinin toplamı olduğunu varsayalım. Tüm , , ortalama ve eşit varyanslarla istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayılır . O zaman (2.1.79) ilişkisini kullanarak (2.1.116)'dan elde edilen karakteristik fonksiyon şuna eşittir:

. (2.1.117)

Bu karakteristik fonksiyonun ters Fourier dönüşümü PDF'yi verir

atamanın tanıtıldığı yer

a, sonsuz bir seriyle temsil edilebilen, birinci türden değiştirilmiş bir Bessel fonksiyonudur.

, . (2.1.120)

(2.1.118) ile tanımlanan PDF'ye, serbestlik derecesine sahip merkezi olmayan ki-kare dağılımı denir. Bu parametreye dağıtım merkezi olmama parametresi adı verilir. Serbestlik derecesine sahip merkezi olmayan ki-kare dağılımı için IDF

Bu integral kapalı biçimde ifade edilmez. Bununla birlikte, eğer bir tamsayı ise, IDF şu şekilde tanımlanan genelleştirilmiş Marcum fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:

, (2.1.122)

, (2.1.123)

(1.2.121)'deki entegrasyon değişkenini , ve ile değiştirirsek ve bunu varsayarsak, o zaman kolayca bulabiliriz

. (2.1.124)

Sonuç olarak, rastgele değişkenlerin merkezi ki-kare dağılımının ilk iki momentinin şuna eşit olduğunu not ediyoruz:

Rayleigh dağılımı. Rayleigh dağılımı genellikle hücresel radyo iletişimleri gibi radyo kanalları üzerinden iletilen istatistiksel sinyaller için bir model olarak kullanılır. Bu dağılım merkezi ki-kare dağılımıyla yakından ilişkilidir. Bunu göstermek için, ve'nin istatistiksel olarak bağımsız, sıfır ortalamalı ve eşit varyanslı Gauss rastgele değişkenleri olduğunu varsayalım. Yukarıdan, iki serbestlik derecesine sahip bir ki-kare dağılımına sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle, PDF

, . (2.1.126)

Şimdi yeni bir rastgele değişken tanımladığımızı varsayalım.

. (2.1.127)

(2.1.126)'da basit dönüşümler gerçekleştirdikten sonra PDF için elde ederiz

, . (2.1.128)

Bu Rayleigh rastgele değişkeninin PDF'sidir. İlgili FMI şuna eşittir:

, . (2.1.129)

Dakikalar eşittir

, (2.1.130)

ve dağılım

. (2.1.131)

Rayleigh dağıtılmış rastgele değişken için karakteristik fonksiyon

. (2.1.132)

Bu integral şu şekilde ifade edilebilir:

dejenere hipergeometrik fonksiyon nerede olarak tanımlanır?

, … (2.1.134)

Bowley (1990) bunun şu şekilde ifade edilebileceğini gösterdi:

. (2.1.135)

Yukarıda elde edilen ifadelerin bir genellemesi olarak rastgele değişkeni düşünün.

burada , , istatistiksel olarak bağımsız, sıfır ortalamalı, aynı şekilde dağıtılmış Gauss rastgele değişkenleridir. Serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımına sahip olduğu açıktır. PDF'si formül (2.1.100) ile verilmiştir. Basit Dönüşümler(2.1.110)'daki değişken formdaki PDF'ye yol açar

, . (2.1.137)

Merkezi ki-kare dağılımı ile Rayleigh dağılımı arasındaki temel ilişkinin bir sonucu olarak, karşılık gelen IDF oldukça basittir. Dolayısıyla herhangi bir IFR için for, tamamlanmamış bir gama fonksiyonu biçiminde temsil edilebilir. Özel bir durumda, açık olduğunda, ör. FMI kapalı biçimde temsil edilebildiğinde

, . (2.1.138)

Sonuç olarak, şu anın formülünü sunuyoruz

, , (2.1.139)

herkes için adil.

Pirinç dağıtımı. Rayleigh dağılımı merkezi ki-kare dağılımıyla ilişkiliyken, Rice dağılımı merkezi olmayan ki-kare dağılımıyla ilişkilidir. Bu ilişkiyi göstermek için, ve'nin istatistiksel olarak bağımsız, ortalama ve aynı varyansa sahip Gauss rastgele değişkenlerini ayarlayalım. Önceki tartışmadan, merkezi olmayan bir ki-kare dağılımının bir sapma parametresine sahip olduğunu biliyoruz. PDF'si (2.1.118)'den elde edilir ve şunu buluruz:

, . (2.1.140)

Şimdi yeni bir değişken tanıtalım.

Değişken değiştirilerek (2.1.140)'tan PDF elde edilir.

, . (2.1.141)

Fonksiyona (2.1.141) Rice dağılımı denir.

Bölüm'de gösterileceği gibi. Şekil 5'te, bu PDF, dar bant Gauss gürültüsüne maruz kalan harmonik bir sinyalin zarfının istatistiklerini karakterize etmektedir. Ayrıca bazı radyo kanalları aracılığıyla iletilen sinyalin istatistikleri için de kullanılır. için IFR'yi (2.1.124)'ten bulmak kolaydır. Bu verir

, , (2.1.142)

burada (2.1.123) ile tanımlanır.

Yukarıdaki sonucu genelleştirmek için, (2.1.136) ile tanımlanmasına izin verin; burada , ortalama ve aynı varyanslara sahip istatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenlerdir. Rastgele değişken, (2.1.119) ile tanımlanan, merkezi olmayan serbestlik derecesi parametresi ile merkezi olmayan bir ki-kare dağılımına sahiptir. PDF'si (2.1.118) ile belirlenir, dolayısıyla PDF'si şuna eşittir:

, , (2.1.143)

ve ilgili FMI

burada (2.1.121) ile tanımlanır. Bir tamsayı olduğunda özel durumda, elimizde

, , (2.1.145)

(2.1.124)'ten çıkan sonuç. Sonuç olarak, şunu not ediyoruz:

, , (2.1.146)

dejenere hipergeometrik fonksiyon nerede.

-Nakagami dağıtımı. Hem Rayleigh hem de Rice dağılımları sıklıkla sönümlü çok yollu bir kanalın çıkışındaki sinyal dalgalanmalarının istatistiklerini tanımlamak için kullanılır. Bu kanal modeli Bölüm 2'de tartışılmaktadır. 14. Çok yollu sönümlemeli kanallar üzerinden iletilen istatistiksel sinyalleri karakterize etmek için sıklıkla kullanılan diğer bir dağılım Nakagami dağılımıdır. Bu dağıtımın PDF'si Nakagami (1960) tarafından verilmiştir.

, , (2.1.147)

nerede olarak tanımlanır

ve parametre, momentlerin oranı olarak tanımlanır ve sönümleme parametresi olarak adlandırılır:

, . (2.1.149)

(2.1.147)'nin normalleştirilmiş bir versiyonu, başka bir rastgele değişkenin eklenmesiyle elde edilebilir (bkz. Problem 2.15). itibaren inci an eşittir

(2.1.147)'nin Rayleigh dağılımına yol açtığı görülebilir. Koşulu karşılayan değerler için Rayleigh dağılımına göre daha uzun kuyruklara sahip bir PDF elde ederiz. Değerlerde Nakagami dağılımının PDF'sinin kuyrukları Rayleigh dağılımına göre daha hızlı azalır. Şekil 2.1.10, PDF'yi göstermektedir. farklı anlamlar.

Çok değişkenli Gauss dağılımı. Tanımlanabilecek birçok çok değişkenli veya çok değişkenli dağılımdan çok değişkenli Gauss dağılımı en önemlisi ve pratikte en yaygın kullanılanıdır. Bu dağılımı tanıtalım ve temel özelliklerini ele alalım.

Ortalamaları, varyansları ve kovaryansları olan Gauss rastgele değişkenleri olduğunu varsayalım. Açıktır ki, . Elemanlarla boyutun kovaryans matrisi olsun. Rastgele değişkenlerin sütun vektörünü tanımlayalım ve ortalama değerlerin sütun vektörünü gösterelim. Gauss rastgele değişkenlerinin ortak PDF'si aşağıdaki gibi tanımlanır. Gauss rastgele değişkenlerinin korelasyonlu olmaması halinde istatistiksel olarak da bağımsız olduklarını görüyoruz. korelasyonsuzdur ve bu nedenle istatistiksel olarak bağımsızdır. formda diyagonaldir. Bu nedenle özvektörleri elde etmemizi talep etmeliyiz.

Buradan,

Köşegen elemanların ve'ye eşit olduğu durumda ve'yi göstermek kolaydır.

Federal kurum eğitim yoluyla

Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Ural Devlet Teknik Üniversitesi-UPI, Rusya'nın ilk Cumhurbaşkanı B.N. Yeltsin"

Radyo Mühendisliğinin Teorik Temelleri Bölümü

RAYLEIGH DAĞITIMI

"Olasılıksal Modeller" disiplininde

Grup: R-37072

Öğrenci: Reshetnikova N.E.

Öğretmen: Trukhin M.P.

Ekaterinburg, 2009

Köken hikayesi 3

Olasılık yoğunluk fonksiyonu 4

Kümülatif dağılım fonksiyonu 6

Merkezi ve mutlak anlar 8

Karakteristik fonksiyon 10

Kümülantlar (yarı değişmezler) 11

Uygulama alanı 12

Referanslar 13

Görünüm tarihi

12 Kasım 1842'de İngiliz fizikçi Lord John William Rayleigh, Langford Grove'da (Essex) doğdu. Nobel ödüllü. Evde eğitim aldı. Cambridge Üniversitesi Trinity College'dan mezun oldu ve 1871'e kadar orada çalıştı. 1873'te Terlin Place'deki aile mülkünde bir laboratuvar kurdu. 1879'da Cambridge Üniversitesi'nde deneysel fizik profesörü oldu, 1884'te Londra Bilimler Akademisi'nin sekreteri oldu. Kraliyet Cemiyeti. 1887-1905'te. - Kraliyet Derneği Profesörü, 1905'ten beri - Londra Kraliyet Cemiyeti Başkanı, 1908'den beri - Cambridge Üniversitesi Başkanı.

Kapsamlı bilgili bir doğa bilimci olarak kendisini bilimin birçok dalında öne çıkardı: titreşim teorisi, optik, akustik, termal radyasyon teorisi, moleküler fizik, hidrodinamik, elektrik ve fiziğin diğer alanları. Akustik titreşimleri (tellerin, çubukların, plakaların vb. titreşimleri) araştırarak, titreşimlerin doğrusal teorisinin bir dizi temel teoremini formüle etti (1873), salınımlı sistemlerin doğal frekansları hakkında niteliksel sonuçlara varılmasına izin verdi ve bir model geliştirdi. doğal frekansları bulmak için niceliksel pertürbasyon yöntemi salınım sistemi. Rayleigh, periyodik dış etki olmadan sönümsüz salınımlar gerçekleştirebilen doğrusal olmayan sistemlerin özgüllüğüne ve daha sonra öz salınımlar olarak adlandırılan bu salınımların özel doğasına dikkat çeken ilk kişiydi.

Grupla arasındaki farkı anlattı faz hızları ve grup hızı için bir formül elde etti (Rayleigh formülü).

Rayleigh dağılımı, 1880'de, ortaya çıkan genlik için bir dağılım fonksiyonu elde ettiği, rastgele fazlara sahip bir dizi salınım ekleme probleminin dikkate alınmasının bir sonucu olarak ortaya çıktı. Rayleigh'in uzun süredir geliştirdiği yöntem, rastgele süreçler teorisinin daha da gelişmesini belirledi.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Dağıtım fonksiyonu türü:

σ-parametresi.

Böylece σ parametresine bağlı olarak dağılımın sadece genliği değil aynı zamanda dağılımı da değişir. σ azaldıkça genlik artar ve grafik "daralır" ve σ arttıkça saçılma artar ve genlik azalır.

Kümülatif dağılım fonksiyonu

Tanım gereği olasılık yoğunluğunun integraline eşit olan kümülatif dağılım fonksiyonu şuna eşittir:

Çeşitli parametreler σ için integral dağılım fonksiyonunun grafiği:

σ'ya bağlı olarak dağılım fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

Böylece σ parametresi değiştiğinde grafik değişir. σ azaldıkça grafik daha dik hale gelir ve σ arttıkça daha düz hale gelir:

Merkezi ve mutlak anlar

Dağıtım yasaları tamamen rastgele bir değişkeni tanımlar Xİle olasılık noktası vizyon (rastgele değişken hakkında tam bilgi içerir). Pratikte buna çoğu zaman gerek yoktur tam açıklama rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının belirli özelliklerini belirleyen bireysel parametrelerin (sayısal özellikler) değerlerini belirtmek yeterlidir.

Sayısal özellikler arasında matematiksel beklenti en önemli rolü oynamakta ve uygulama sonucu olarak değerlendirilmektedir. ortalama işlemleri rastgele bir değişkene X, olarak gösterilir
.

Başlangıç anıS – ilk sipariş rastgele değişken X matematiksel beklenti denir S – bu miktarın inci kuvveti:

Sürekli bir rastgele değişken için:

Rayleigh yasasına göre dağıtılan bir değerin matematiksel beklentisi:

σ parametresinin farklı değerleri için matematiksel beklentinin değeri:

Merkezi rastgele değişken X matematiksel beklentiden sapmasına denir
.

Merkezi an S – ilk sipariş rastgele değişken X matematiksel beklenti denir S– merkezlenen miktarın derecesi
:

Sürekli bir rastgele değişken için

İkinci merkezi nokta. Dağılım Orada saçılma özelliği matematiksel beklentisiyle ilgili rastgele değişken

Rayleigh yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişken için dağılım (ikinci merkezi moment) şuna eşittir:

Karakteristik fonksiyon

Bir rastgele değişken X'in karakteristik fonksiyonu, fonksiyondur

- bu fonksiyon bazı karmaşık rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini temsil eder
Bu, X rastgele değişkeninin bir fonksiyonudur. Birçok problemi çözerken, dağılım kanunu yerine karakteristik fonksiyonu kullanmak daha uygundur.

Dağıtım yasasını bilerek karakteristik fonksiyonu aşağıdaki formülü kullanarak bulabilirsiniz:

Gördüğümüz gibi, bu formül dağılım yoğunluk fonksiyonunun ters Fourier dönüşümünden başka bir şey değildir. Açıkçası, yardımla doğrudan dönüşüm Fourier dağıtım yasasını bulmak için karakteristik fonksiyonu kullanabilir.

Rayleigh yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu:

Nerede
- karmaşık bir argümanın olasılığının integrali.

Kümülantlar (yarı değişmezler)

İşlev
X rastgele değişkeninin kümülant fonksiyonu olarak adlandırılır. Kümülant fonksiyonu, tıpkı rastgele değişkenin tam bir olasılıksal özelliğidir. Kümülant fonksiyonunu tanıtmanın amacı, bu fonksiyonun çoğu zaman tüm olasılıksal özellikler arasında en basit olanı olduğu ortaya çıkmasıdır.