N'inci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümü. Doğrusal diferansiyel

Doğrusal diferansiyel sistemler denklemler.

Diferansiyel denklem sistemine denir doğrusal, bilinmeyen fonksiyonlara ve türevlerine göre doğrusal ise. sistem N-1. dereceden doğrusal denklemler şu şekilde yazılmıştır:

Sistem katsayıları sabittir.

Bu sistemi şu şekilde yazmak uygundur: matris formu: ,

bir argümana bağlı olarak bilinmeyen fonksiyonların sütun vektörü nerede.

Bu fonksiyonların türevlerinin sütun vektörü.

Serbest üyelerin sütun vektörü.

Katsayı matrisi.

Teorem 1: Eğer tüm matris katsayıları A belirli aralıklarla ve sonra her m'nin bazı mahallelerinde süreklidir. TS&E koşulları karşılanmıştır. Sonuç olarak, bu tür her noktadan tek bir integral eğri geçer.

Aslında bu durumda sistemin sağ tarafları argümanlar kümesine göre süreklidir ve kapalı aralıktaki süreklilik nedeniyle (A matrisinin katsayılarına eşit) göre kısmi türevleri sınırlıdır.

SLD'leri çözme yöntemleri

1. Bir diferansiyel denklem sistemi, bilinmeyenleri ortadan kaldırarak tek bir denkleme indirgenebilir.

Örnek: Denklem sistemini çözün: (1)

Çözüm: hariç tutmak z bu denklemlerden. Elimizdeki ilk denklemden. İkinci denklemde yerine koyarsak, basitleştirmeden sonra şunu elde ederiz: .

Bu denklem sistemi (1) ikinci dereceden tek bir denkleme indirgenir. Bu denklemden bulduktan sonra sen, bulunmalı z, eşitliği kullanarak.

2. Bilinmeyenleri eleyerek bir denklem sistemini çözerken genellikle daha fazla denklem elde edilir. yüksek sipariş bu nedenle birçok durumda sistemi bularak çözmek daha uygundur. entegre kombinasyonlar.

Devamı 27b

Örnek: Sistemi çöz

Çözüm:

Haydi karar verelim bu sistem Euler'in yöntemi. Özelliği bulmak için determinantı yazalım.

denklem: , (sistem homojen olduğundan aşikar olmayan bir çözüme sahip olması için bu determinantın olması gerekir. sıfıra eşit). Karakteristik bir denklem elde ediyoruz ve köklerini buluyoruz:

Genel çözüm şudur: ;

- özvektör.

Çözümünü yazıyoruz: ;

- özvektör.

Çözümünü yazıyoruz: ;

Genel çözümü elde ediyoruz: .

Hadi kontrol edelim:

hadi : bulalım ve onu bu sistemin ilk denklemine koyalım, yani. .

Şunu elde ederiz:

- gerçek eşitlik.

Doğrusal diferansiyel. n'inci dereceden denklemler. Hakkında teorem genel karar heterojen Doğrusal Denklem n'inci sipariş.

N'inci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklem denir formun denklemi: (1)

Bu denklemin bir katsayısı varsa, ona bölerek denkleme ulaşırız: (2) .

Genellikle türden denklemler (2). Diyelim ki ur-i'de (2) tüm olasılıklar ve ayrıca f(x) belirli aralıklarla sürekli (a,b). Daha sonra TS&E'ye göre denklem (2) Var tek karar, başlangıç ​​koşullarını karşılayan: , , …, ile. Burada - aralıktaki herhangi bir nokta (a,b), ve her şey - herhangi biri verilen sayılar. Denklem (2) TC&E'yi karşılıyor , bu nedenle yok özel çözümler.

Def.: özel noktalar =0 olan noktalardır.

Doğrusal bir denklemin özellikleri:

1. Bağımsız değişkendeki herhangi bir değişiklik için doğrusal bir denklem aynı kalır.
2. İstenilen fonksiyonun herhangi bir doğrusal değişimi için doğrusal bir denklem aynı kalır.

Def: denklemde ise (2) koymak f(x)=0, sonra formun bir denklemini elde ederiz: (3) , buna denir homojen denklem nispeten değil homojen denklem (2).

Göz önünde bulundurarak tanıtalım doğrusal diferansiyelŞebeke: (4). Bu operatörü kullanarak onu yeniden yazabilirsiniz. kısa form denklemler (2) Ve (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Şebeke (4) aşağıdakiler var basit özellikler:

Bu iki özellikten bir sonuç çıkarılabilir: .

İşlev y=y(x) homojen olmayan denklemin bir çözümüdür (2), Eğer L(y(x))=f(x), Daha sonra f(x) denklemin çözümü denir. Yani denklemin çözümü (3) fonksiyon denir y(x), Eğer L(y(x))=0 dikkate alınan aralıklarla.

Dikkate almak homojen olmayan doğrusal denklem: , L(y)=f(x).

Bir şekilde belirli bir çözüm bulduğumuzu varsayalım.

Yeni bir bilinmeyen fonksiyon tanıtalım z formüle göre: , belirli bir çözüm nerede.

Bunu denklemde yerine koyalım: , parantezleri açalım ve şunu elde edelim.

Ortaya çıkan denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

Orijinal denklemin özel bir çözümü olduğundan, o zaman .

Böylece homojen bir denklem elde ettik. z. Bu homojen denklemin genel çözümü doğrusal bir kombinasyondur: burada - fonksiyonları temel sistem homojen bir denklemin çözümleri. Değiştirme z yerine koyma formülünden şunu elde ederiz: (*) fonksiyon için sen– orijinal denklemin bilinmeyen fonksiyonu. Orijinal denklemin tüm çözümleri (*) içinde yer alacaktır.

Böylece homojen olmayan doğrunun genel çözümü elde edilir. denklem, homojen bir doğrusal denklemin genel çözümünün ve homojen olmayan bir denklemin bazı özel çözümlerinin toplamı olarak temsil edilir.

(diğer tarafta devam)

30. Diferansiyel çözümünün varoluş teoremi ve tekliği. denklemler

Teorem: Denklemde ise. sağ kısım dikdörtgen şeklinde sürekli ve sınırlıdır ve aynı zamanda Lipschitz koşulunu da karşılamaktadır: , N=sabit, o zaman başlangıç ​​koşullarını karşılayan ve segment üzerinde tanımlanan benzersiz bir çözüm vardır , Nerede .

Kanıt:

Tamamını düşünelim metrik uzay İLE, noktalarının tümü aralıkta tanımlanan y(x) olası sürekli fonksiyonlardır grafikleri dikdörtgenin içinde yer alır ve mesafe eşitlikle belirlenir: . Bu uzay sıklıkla matematiksel analizde kullanılır ve denir. uzay düzgün yakınsama , çünkü bu uzayın metriğindeki yakınsaklık düzgündür.

Diferansiyeli değiştirelim. verilerle denklem başlangıç ​​koşulları eşdeğer bir integral denklemine: ve operatörü düşünün bir(y), bu denklemin sağ tarafına eşit: . Bu operatör her biriyle eşleşir sürekli fonksiyon

Lipschitz eşitsizliğini kullanarak mesafeyi yazabiliriz. Şimdi bunlardan birini seçelim aşağıdaki eşitsizlik: .

O halde öyle seçilmelidir. Böylece bunu gösterdik.

Büzülme eşlemeleri ilkesine göre, tek bir nokta veya aynı anlama gelen tek bir fonksiyon vardır; verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan bir diferansiyel denklemin çözümü.

N-inci sıra

Teorem. Eğer y 0- homojen bir denklemin çözümü L[y]=0, y 1- karşılık gelen homojen olmayan denklemin çözümü L[y] = f(x), o zaman toplam y 0 + y 1 bu homojen olmayan denklemin çözümüdür.

Homojen olmayan denklemin genel çözümünün yapısı aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Eğer e- denklemin özel çözümü L[y] = f(x)İle sürekli katsayılar, - karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü L[y] = 0, daha sonra bu homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:

Yorum. Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü yazmak için, bu denkleme özel bir çözüm ve karşılık gelen homojen denklemin genel bir çözümünü bulmak gerekir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler N

Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-inci dereceden sabit katsayılı

Nerede 1, bir 2, …, BİR - gerçek sayılar. Karşılık gelen homojen denklemi yazalım

Homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:

Homojen bir denklemin genel çözümü y 0özel bir çözüm bulabiliriz e tarafından bulunabilir belirsiz katsayılar aşağıdaki basit durumlarda:

İÇİNDE Genel dava Rastgele sabitleri değiştirme yöntemi kullanılır.

Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi

Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-değişken katsayılı sıra

Bu denkleme özel bir çözüm bulmak zor çıkıyorsa ancak karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü biliniyorsa, homojen olmayan denklemin genel çözümü bulunabilir. keyfi sabitlerin değişimi yöntemi.

Karşılık gelen homojen denklem olsun

genel bir çözümü var

Formdaki homojen olmayan denklem için genel bir çözüm arayacağız.

Nerede y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) genel çözümüne dahil edilen homojen bir denklemin doğrusal olarak bağımsız çözümleridir ve C1(x), C2(x), …, Cn(x)- bilinmeyen işlevler. Bu fonksiyonları bulmak için onları bazı koşullara tabi tutalım.

Türevini bulalım

İkinci parantez içindeki toplamın sıfıra eşit olmasını istiyoruz, yani

İkinci türevi bulalım

ve bunu talep edeceğiz

Benzer bir işlemi sürdürerek şunu elde ederiz:

Bu durumda ikinci parantez içindeki toplamın sıfırlanması istenemez çünkü fonksiyonlar C1(x), C2(x), …, Cn(x) zaten tabi n-1 koşullar, ancak yine de orijinal homojen olmayan denklemi karşılamanız gerekir.

Diferansiyel denklemlerN-inci sipariş.

Denklem en yüksek türevine göre çözülebilirse (1) formuna sahiptir. N'inci dereceden bir denklem aynı zamanda n adet birinci dereceden denklem sistemi olarak da temsil edilebilir.

(3)

N'inci dereceden bir denklem için, sistemin varlığı ve tekliği teoreminin koşulları (1)~(2)~(3)'ten beri sağlanmaktadır.

Sipariş azaltmanın en basit durumları.

Denklem gerekli fonksiyonu ve mertebeye kadar türevini içermiyor k -1 dahil , yani

Bu durumda sipariş azaltılabilir.
yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir. P.

Örnek.
.

Bilinmeyen değişken içermeyen denklem

(5)

Bu durumda emir, ikame yoluyla birer birer düşürülebilir.

Örnek.
.

Denklemin sol tarafı

(6)

bazı diferansiyel ifadelerin türevidir ( N -1)'inci sıra .
. Eğer
- dolayısıyla son denklemin bir çözümü mevcuttur. Denklemin (6) birinci integralini elde ettik ve denklemin çözülme derecesini bir azalttık.

Yorum. Bazen (6)'nın sol tarafı, ancak (n-1)'inci mertebeden bir diferansiyel denklemin türevi olur ancak
bu nedenle burada gereksiz çözümler ortaya çıkabilir (geri alma sıfıra) ya da çözümü kaybedebiliriz süreksiz fonksiyon.

Örnek.

Denklem

(7)

göre homojen ve türevleri .

Veya gösterge nerede
homojenlik koşullarından belirlenir.

Bu denklemin sırası aşağıdaki şekilde değiştirilerek bir azaltılabilir: .

Bu ilişkileri (7)'de yerine koyarsak ve fonksiyonun homojenliğini hesaba katarsak F , sonunda şunu elde ederiz: .

Örnek.
.

İkinci dereceden diferansiyel denklemler,

sıranın azaltılmasına olanak tanır.

ikame
.

Denklem (8) en yüksek türeve göre çözülebiliyorsa Denk.
değişken üzerinde iki kez entegre X.

Bir parametre ekleyebilir ve denklemi (8) parametrik gösterimiyle değiştirebilirsiniz:
. Diferansiyeller için ilişkinin kullanılması:
, şunu elde ederiz: ve

II .
(9)

Parametrik gösterimi kullanalım:

III.
. (10)

Aşağıdakileri değiştirerek siparişi azaltabilirsiniz:
.

Denklem (10) en yüksek türeve göre çözülebilirse
, sonra doğru olanı çarpın ve Sol Taraf Açık
. Şunu elde ederiz: Bu, ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:
.

Denklem (10) parametrik gösterimi ile değiştirilebilir: . Diferansiyelin özelliklerini kullanalım:.

Örnek.
.

Doğrusal diferansiyel denklemlerN-inci sipariş.

Tanım. Doğrusal diferansiyel denklemler N -inci sıra formdaki denklemler denir:
. (1)

Eğer olasılıklar için sürekli
, o zaman herhangi bir mahallede başlangıç ​​değerleri mesela: nerede aralığa aitse, bu başlangıç ​​değerlerinin yakınında koşullar sağlanır varlık ve teklik teoremleri. Denklemin (1) doğrusallığı ve homojenliği herhangi bir dönüşüm altında korunur
, Nerede keyfi bir ntimes türevlenebilir fonksiyondur. Dahası
. Bilinmeyen fonksiyon doğrusal ve homojen olarak dönüştürüldüğünde doğrusallık ve homojenlik korunur.

Doğrusal bir diferansiyel operatör tanıtalım: o zaman (1) şu şekilde yazılabilir:
. Wronski'nin determinantı
gibi görünecek:

, Nerede - denklemin (1) doğrusal bağımsız çözümleri.

Teorem 1. Doğrusal bağımsız fonksiyonlar ise
sürekli olan doğrusal homojen bir denklemin (1) bir çözümüdür
katsayılar
, sonra Wronski determinantı
segmentin hiçbir noktasında kaybolmaz
.

Teorem 2. Sürekli doğrusal homojen denklemin (1) genel çözümü
katsayılar
çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olacak , yani
(2), nerede
segmentten doğrusal olarak bağımsız
özel çözümler (1).

(Doğrusal diferansiyel denklem sistemi durumuna benzer şekilde kanıtlanmıştır)

Sonuçlar. Maksimum sayı doğrusaldır bağımsız kararlar(1) sırasına eşittir.

Denklemin (1) önemsiz olmayan özel bir çözümünü bilmek -
, bir değişiklik yapabilirsiniz
ve doğrusallığını ve heterojenliğini korurken denklemin sırasını düşürün. Genellikle bu ikame ikiye ayrılır. Bu doğrusal olarak homojen bir gösterim olduğundan, (1)'in doğrusallığını ve homojenliğini korur, bu da (1)'in forma indirgenmesi gerektiği anlamına gelir. Karar
sayesinde
çözüme karşılık gelir
, ve bu nedenle
. Bir değiştirme yaptıktan
, sırayla bir denklem elde ederiz
.

Lemma. (3)

Qi ve Pi'nin ortak bir temel çözüm sistemine sahip sürekli fonksiyonlar olduğu (3) ve (4) formundaki iki denklem çakışır, yani. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Lemmaya dayanarak, y 1 y 2 …y n temel çözüm sisteminin doğrusal homojen denklemi (3) tamamen belirlediği sonucuna varabiliriz.

Temel çözüm sistemi y 1 y 2 …y n olan denklemin (3) biçimini bulalım. Herhangi bir çözüm sen(X) denklem (3) temel çözüm sistemine doğrusal olarak bağlıdır, bu da W=0 anlamına gelir. Wronski determinantını W son sütuna genişletelim.

Denklem (5), belirli bir temel çözüm sistemine sahip istenen doğrusal diferansiyel denklemdir. (5)'i W'ye bölebiliriz çünkü sıfıra eşit değildir x. Daha sonra:

(*)

Determinantın türevi kuralına göre determinantın türevi i=1,2...n determinantların toplamına eşittir ve her birinin i'inci satırı i-'nin türevine eşittir. orijinal determinantın inci satırı. Bu toplamda, sonuncusu dışındaki tüm determinantlar sıfıra eşittir (iki özdeş doğruya sahip oldukları için), sonuncusu ise (*)'a eşittir. Böylece şunu elde ederiz:

, Daha sonra:
(6)

(7)

Tanım. Formüller (6) ve (7) denir Ostrogradsky-Liouville formülleri.

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin integralini almak için (7)'yi kullanırız. Ve denklem (8)'in y 1 çözümlerinden birini bize bildirin.

(7)’ye göre herhangi bir çözüm (8) aşağıdaki ilişkiyi sağlamalıdır:

(9)

İntegral faktör yöntemini kullanalım.

Doğrusal homojen denklemler

sabit katsayılar.

Doğrusal homojen bir denklemde tüm katsayılar sabitse,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

bu durumda özel çözümler (1) şu şekilde tanımlanabilir: y=e kx, burada k bir sabittir.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Tanım. (3) - karakteristik denklem.

Çözümün türü (1), karakteristik denklemin (3) kökleriyle belirlenir.

1). Tüm kökler gerçek ve farklıdır , Daha sonra:

2). Tüm katsayılar gerçekse, kökler karmaşık eşlenik olabilir .

k 1 =+ik 2 =-i

O zaman çözümler şu şekildedir:

Teoreme göre: Eğer gerçek katsayılı bir operatörün karmaşık eşlenik çözümleri varsa, o zaman bunların gerçek ve sanal kısımları da çözümdür. Daha sonra:

Örnek.

Çözümü formda sunalım
, o zaman karakteristik denklem şu şekildedir:

, iki çözüm elde ederiz:

o zaman gerekli fonksiyon şudur:

3). Birden fazla kök var: k Ben çoklukla  Ben . Bu durumda farklı çözümlerin sayısı
daha küçük olacaktır, bu nedenle eksik doğrusal bağımsız çözümleri farklı bir biçimde aramanız gerekir. Örneğin:

Kanıt:

Diyelim ki k i =0, eğer onu (3)'ün yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

- özel çözümler (3).

k i 0 olsun, yerine koyma işlemini yapalım
(6)

(6)'yı (1)'de değiştirerek, z'ye göre sabit katsayılı (7) n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklem elde ederiz.

Kökler (3), karakteristik denklemin (7) köklerinden k terimiyle farklılık gösterir.

(8)

Eğer k=k i ise bu k, denklem (7)'nin p=0 kökü ile çözümüne karşılık gelir, yani. z= formunun çözümlerine karşılık gelir
y= denklem (1)'in çözümüdür. Ve genel çözüm şuna benziyor:

ki için çözüm



Euler denklemi.

Tanım. Formun denklemi:

a i sabit katsayılardır, buna denir Euler denklemi.

Euler denklemi x=e t yerine konularak sabit katsayılı doğrusal homojen bir denkleme indirgenir.

Çözümleri y=xk formunda arayabilirsiniz, sonra şu forma sahip olurlar:

Doğrusal homojen olmayan denklemler.

Eğer 0 (x)0 ise denklem (1)'i bu katsayıya bölersek şunu elde ederiz:

.

Eğer i ve f b üzerinde sürekli ise, o zaman (2)'nin karşılık gelen başlangıç ​​koşullarını sağlayan tek bir çözümü vardır. (2)'den en yüksek türevleri açıkça ifade edersek, sağ tarafı varlık ve teklik teoremini karşılayan bir denklem elde ederiz. L operatörü doğrusal olduğundan, (2) için aşağıdakilerin geçerli olduğu anlamına gelir:

1).
- çözüm (2), eğer - homojen olmayan denklemin (2) çözümü ve - karşılık gelen homojen denklemin çözümü.

2). Eğer - çözümler
, O
denklemin çözümü
.

Özellik 2 süperpozisyon ilkesidir, şu durumlarda geçerlidir:
, eğer seri
- yakınlaşır ve kabul eder M-Birden fazla terimden terime farklılaşma.

3) Operatör denklemi verilsin
, burada L katsayıları olan bir operatördür , Tüm - gerçek. U ve V fonksiyonları da gerçektir. O halde, eğer bu denklemin bir çözümü varsa
O zaman aynı denklemin çözümü hem sanal hem de gerçek kısımlar olacaktır:
Ve
. Üstelik her biri çözüme karşılık geliyor.

Teorem. Homojen olmayan denklemin genel çözümüN- hakkında
segmentte [A, B] tüm katsayıların sağlanması koşuluyla
ve sağ taraf
- sürekli fonksiyonlar, karşılık gelen genel çözümün toplamı olarak temsil edilebilir homojen sistem
ve heterojen olana özel bir çözüm -
.

Onlar. çözüm
.

Homojen olmayan bir sistemin belirli çözümlerini açıkça seçmek mümkün değilse, o zaman yöntemi kullanabilirsiniz. sabit varyasyonları . Şu formda bir çözüm arayacağız:

(3)

Nerede
homojen bir sistemin çözümleri,
- bilinmeyen işlevler.

Toplam bilinmeyen işlevler
- N.

Y(x) ifadesini denklem (2)'de yerine koyarsak, yalnızca bir bilinmeyen fonksiyonu belirlemek için koşullar elde ederiz. Kalan (n-1)-kuyu fonksiyonlarını belirlemek için bir (n-1)-ama ek koşul gereklidir; bunlar keyfi olarak seçilebilir. Bunları (2) - y(x) çözümü aynı formda olacak şekilde seçelim.
sabitlerdi.

,

Çünkü
sabitler gibi davranın, o zaman
, yani
.

O. denklem (1)'e ek olarak (n-1)-but koşulunu elde ederiz. Türevlerin ifadesini denklem (1)'de değiştirirsek ve elde edilen tüm koşulları ve y i'nin karşılık gelen homojen sistemin çözümü olduğu gerçeğini hesaba katarsak, o zaman son koşulu elde ederiz.
.

Gelelim sisteme:

(3)

Sistem (3)'ün determinantı (W)'dir Vronsky'nin determinantı, ve çünkü i homojen bir sistemin çözümleriyim, o halde W0 açık.

Örnek. Homojen olmayan denklem

karşılık gelen homojen denklem

Formda bir çözüm arıyoruzsen= e kx . Karakteristik denklemk 2 +1=0, yanik 1,2 =  Ben

sen= e ix = çünkü X + Ben günah X, ortak karar -

Sabit değişim yöntemini kullanalım:

Koşullar
:

, yazmaya eşdeğerdir:

Buradan:

Doğrudan entegrasyonla çözülen denklemler

Aşağıdaki diferansiyel denklemi göz önünde bulundurun:
.
N kere integral alıyoruz.
;
;
ve benzeri. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz:
.
Santimetre. Doğrudan çözülebilen diferansiyel denklemler entegrasyon > > >

Bağımlı değişken y'yi açıkça içermeyen denklemler

Değiştirme denklemin sırasını bir azaltır. İşte .
Santimetre. Açık formda bir fonksiyon içermeyen yüksek mertebeden diferansiyel denklemler > > >

Bağımsız değişken x'i açıkça içermeyen denklemler

.
'nin bir fonksiyonu olduğunu düşünüyoruz. Daha sonra
.
Benzer şekilde diğer türevler için de. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.
Santimetre. Açık bir değişken içermeyen yüksek mertebeden diferansiyel denklemler > > >

Y, y′, y′′, ...'ye göre homojen denklemler

Bu denklemi çözmek için yerine koyma işlemini yaparız
,
'nin bir fonksiyonu nerede? Daha sonra
.
Benzer şekilde türevleri vb. dönüştürüyoruz. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.
Santimetre. Bir fonksiyona ve onun türevlerine göre homojen olan yüksek mertebeden diferansiyel denklemler > > >

Yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler

Hadi düşünelim n'inci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem:
(1) ,
bağımsız değişkenin fonksiyonları nerede. Bu denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü olsun. O halde denklem (1)'in genel çözümü şu şekildedir:
(2) ,
keyfi sabitler nerede. Fonksiyonların kendisi temel bir çözüm sistemi oluşturur.
Temel çözüm sistemi n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü vardır.

Hadi düşünelim n'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem:
.
Bu denklemin belirli (herhangi) bir çözümü olsun. O halde genel çözüm şu şekildedir:
,
homojen denklemin (1) genel çözümü nerede?

Sabit katsayılı ve bunlara indirgenebilen doğrusal diferansiyel denklemler

Sabit katsayılı doğrusal homojen denklemler

Bunlar formun denklemleridir:
(3) .
İşte gerçek sayılar. Bu denkleme genel bir çözüm bulmak için, temel bir çözüm sistemi oluşturan n adet doğrusal bağımsız çözüm bulmamız gerekir. Daha sonra genel çözüm formül (2) ile belirlenir:
(2) .

Formda bir çözüm arıyoruz. Aldık karakteristik denklem:
(4) .

Bu denklem varsa çeşitli kökler, o zaman temel çözüm sistemi şu şekildedir:
.

Mümkün ise karmaşık kök
,
o zaman ayrıca karmaşık bir eşlenik kök de vardır. Bu iki kök, çözümlere karşılık gelir ve bunun yerine temel sisteme dahil ederiz. Entegre çözümler Ve .

Çoklu köklerçokluklar doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir: .

Katlar karmaşık kökler çokluklar ve bunların karmaşık eşlenik değerleri doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir:
.

Özel bir homojen olmayan kısmı olan doğrusal homojen olmayan denklemler

Formun bir denklemini düşünün
,
s derece polinomları nerede 1 ve s 2 ; - kalıcı.

Öncelikle homojen denklemin (3) genel bir çözümünü arıyoruz. Karakteristik denklem (4) ise kök içermiyor sonra şu formda belirli bir çözüm ararız:
,
Nerede
;
;
s - s'nin en büyüğü 1 ve s 2 .

Karakteristik denklem (4) ise bir kökü varçokluk varsa, o zaman şu biçimde özel bir çözüm ararız:
.

Bundan sonra genel çözüme ulaşıyoruz:
.

Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan denklemler

Burada üç olası çözüm var.

1) Bernoulli yöntemi.
Öncelikle homojen denklemin sıfırdan farklı bir çözümünü buluyoruz
.
Daha sonra oyuncu değişikliğini yapıyoruz
,
x değişkeninin bir fonksiyonu nerede? u için yalnızca u'nun x'e göre türevlerini içeren bir diferansiyel denklem elde ederiz. İkame işlemini gerçekleştirerek n denklemini elde ederiz. - 1 - sipariş.

2) Yöntem doğrusal ikame .
Bir değişiklik yapalım
,
köklerden biri nerede karakteristik denklem(4). Sonuç olarak, sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal homojen olmayan bir denklem elde ederiz. Bu ikameyi tutarlı bir şekilde uygulayarak şunu elde ederiz: orijinal denklem birinci dereceden bir denklem.

3) Lagrange sabitlerinin değişimi yöntemi.
Bu yöntemde öncelikle homojen denklemi (3) çözüyoruz. Onun çözümü şuna benziyor:
(2) .
Ayrıca sabitlerin x değişkeninin fonksiyonları olduğunu varsayıyoruz. O halde orijinal denklemin çözümü şu şekildedir:
,
bilinmeyen işlevler nerede. Orijinal denklemi yerine koyarak ve bazı kısıtlamalar getirerek, fonksiyon türlerini bulabileceğimiz denklemler elde ederiz.

Euler denklemi

Yerine koyma yoluyla sabit katsayılı doğrusal bir denkleme indirgenir:
.
Ancak Euler denklemini çözmek için böyle bir ikame yapılmasına gerek yoktur. Formdaki homojen denklemin çözümünü hemen arayabilirsiniz.
.
Sonuç olarak, değişken yerine yerine koymanız gereken sabit katsayılı bir denklemle aynı kuralları elde ederiz.

Referanslar:
V.V. Stepanov, Kurs diferansiyel denklemler, "LKİ", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sorunların toplanması yüksek Matematik, "Lan", 2003.