İntegrali düşünün
F(y) =
görüş alanı için
Nerede F alanda tanımlanmış D(kapalı),X 1 (sen), X 2 (sen) üzerinde tanımlanan sürekli fonksiyonlar [ C, D].
Teorem. Eğer f, D üzerinde sürekli ise, x 1 (y), x 2 (y) üzerinde süreklidir, bu durumda F(y) üzerinde süreklidir.
Kanıt. İşlev F bunu bir dikdörtgen üzerinde tanımlayalım [ A, B] [ C, D] alanı içeren D resimde gösterildiği gibi, şu şekilde: koymak F(X, sen) = F(X 1 (sen), sen) sabit olarak sen [ C, D] Ve X [ A, X 1 (sen)], benzer şekilde alanın sağ tarafında F(X, sen) = F(X 2 (sen), sen) en sen [ C, D] Ve X [ X 2 (sen), B]. Ek olarak tanımlanan işlevi belirtmeye devam edeceğiz F(X, sen) . Bu fonksiyon şu süre boyunca sürekli olacaktır: [ A, B] [ C, D].
Sonraki |
F(sen+
sen) -
F(sen)| = 
=
+
+
M|
X 1
|+(B -
A)
+
M|
X 2
|.
Bu sınırlı işlevi kullanır F ve onun düzgün sürekliliği.
Tanım. Fonksiyona izin ver F(X, sen) tarihinde tanımlandı [ A, B] herkes içinsen e. Bunu söylüyorlar F(X, sen) düzgün bir şekilde yakınsar G(X) Açık [ A, B] ensen sen 0 Eğer
>0 >0xyU (y 0): |f(x,y) - g(x)|
Eğer kanıtlanabilirse F(X, sen) sürekli ve eşit olarak yakınsar G(X) Açık [ A, B] en sen sen 0 , o zaman fonksiyon G(X) sürekli açık [ A, B].
Kanıt. Eşitsizlikleri yazalım
| G(X)- G(X 0 )|=| G(X)- F(X, sen) + F(X, sen)- F(X 0 , sen)- G(X 0 )+ F(X 0 , sen)| | G(X)- F(X, sen)|+ | F(X, sen)- F(X 0 , sen)|+ | G(X 0 )- F(X 0 , sen)|. Belirli bir şey için ilk seç bir noktanın komşuluğu X 0 yani bu civarda | F(X, sen)- F(X 0 , sen)| herhangi biri için sen bir noktanın mahallesinden sen 0 . Bu, fonksiyonun düzgün sürekliliği nedeniyle yapılabilir. F(X, sen). Miktarlar | G(X)- F(X, sen)|, | G(X 0 )- F(X 0 , sen)| sen de aynısını yapabilirsin noktanın daha da küçük bir mahallesini seçmek sen 0 herkes için X düzgün yakınsama nedeniyle F(X, sen) İle G(X) .
Teorem. EğerF(X, sen) süreklidir ve düzgün bir şekilde yakınsarG(X) Açık [ A, B] en sen sen 0 , O
.
Kanıt. 
|
B -
A|
.
Entegrasyonparametreye bağlı integraller
|
F(y) =
|
 |
'de sürekli ise F(y) = 
ve tarafından farklılaştırılabilir 
.
Kanıt.
=
=
, 0
Daha sonra
.
Bu eşitsizlikten ve fonksiyonun düzgün sürekliliğinden gerekli açıklama aşağıdadır.
Şöyle bir bölge düşünün İÇİNDEşekilde ve fonksiyonda belirtilmiştir F , bir dikdörtgen üzerinde tanımlanmış [ A, B] [ C, D] , alanı içeren D.
Teorem. Eğer f ve türevi üzerinde süreklidir, x 1 (y), x 2 (y)'nin sürekli türevleri vardır, bu durumda F(y) ='nin de bir türevi vardır
+
-
.
Kanıt.İşlevi düşünün F(sen,
sen,
v) =
.
Bunun için sürekli kısmi türevler var 
(Fonksiyonun sürekli olduğu açık değildir 
). Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma F(sen) =
= Ф(sen,
X 1
(sen),
X 2
(sen))
Gerekli eşitliği elde ederiz. Fonksiyonun sürekliliği =
fonksiyonun düzgün sürekliliğinden kaynaklanır 
.
§2 . Hayır parametreye bağlı olarak uygun integraller
Bir parametrenin uygunsuz integralinin düzgün yakınsaklığı
(1)
, yY.
Bazıları için şunu varsayalım sen integral (1) mülkiyetinde değildir. Yani eğer ve bazıları için sen integral (1) tek özelliği var B, o zaman integralin yakınsaklığının koşulu (1) sınırlı bir sınır olacak
.
Eğer belirli bir şey için sen
integral yakınsarsa, o zaman herhangi biri için
[
A,
B)
integral
(kalan denir) mevcut olacaktır ve yakınsama koşulu şu şekilde yazılabilir: 
. Bu integralin ıraksaması durumunda, koşulun varsayılması doğaldır. tamamlanmadı. Böylece, yakınsama koşulu ayrıca formda yazılacaktır.
.
Tanım. Y üzerinde yakınsak olan bir integrale Y üzerinde düzgün yakınsak denir, eğer
>0 >0(b-,b)yY: 
(2. tür integral için)
>0M(M,+)yY: 
(1. tür integral için)
Düzgün yakınsaklık için Weierstrass testi (2. türden bir integral için)
Eğer g(x) ise sen
sen 0
, integral düzgün bir şekilde yakınsare, 
yakınsar. Daha sonra
.
Kanıt.
=
.
fonksiyonun düzgün yakınsaklığı nedeniyle keyfi olarak küçük yapılabilir F(X,
sen)
İle
G(X).
İntegral 
integralin düzgün yakınsaklığı nedeniyle keyfi olarak küçük yapılabilir
.
İntegral 
integralin yakınsaması nedeniyle keyfi olarak küçük yapılabilir
.
Düzgün yakınsaklık için Cauchy kriteri. İntegralin düzgün yakınsaklığı için için gerekli ve yeterli
>0>0 y Y,(b-,b): 
.
Yeterlilik. Koşul karşılandığında İçin
sen
e
,
(B-
,
B)
adresindeki sınıra gidebilirsiniz
B .
Sonra için
sen
e
(B-
,
B) : 
,
bu, integralin düzgün yakınsaklığı anlamına gelir .
Gereklilik. Sahibiz
>0
>0
sen
e
(B-
,
B): . sonra
,
(B-
,
B)
yapılacak .
Parametrenin integralinin sürekliliği
üzerinde düzgün yakınsaksa bu integral sürekli bir fonksiyondur.
Kanıt.
|(y+y) - (y)| = 
+
+.
İkinci ve üçüncü integraller belirtilenden daha küçük yapılabilir
seçenek
integralin düzgün yakınsaklığından dolayı .
Seçimden sonra
ilk integral belirtilenden daha küçük yapılabilir
fonksiyonun düzgün sürekliliği nedeniyle yeterince küçük bir bölüm seçerek.
Bir parametreye bağlı olarak integrallerin entegrasyonu
üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar, o zaman
=
=
.
Kanıt. Herkes için mantık dahilinde
=
. Bu, aşağıdakileri dikkate alarak gerekli beyanı ima eder: 
düzgün bir şekilde yakınsar [
C,
D]
İle 
en
B.
Bu teorem genelleştirilebilir
Teorem. Eğer f(x,y) fonksiyonu tanımlı ve üzerinde sürekli ise, integral 
üzerinde düzgün yakınsaktır ve aşağıdakilerden biri vardır: yinelenen integraller
, 
o zaman diğeri de vardır ve eşitlik sağlanır
=.
Kanıt yok.
Bir parametreye bağlı olarak integrallerin farklılaşması
herhangi bir dizinin koşuluna eşdeğerdir
N
Bseri yakınsak 
.
Benzer şekilde düzgün yakınsaklık için de.
Teorem. f(x,y) fonksiyonları olsun ve sürekli açık. Eğer hepiniz için birleşiyor 
üzerinde düzgün yakınsarsa (y) = fonksiyonu bu aralıkta sürekli türevlenebilir ve
.
Kanıt. İzin vermek N B . Lemmaya göre
(y) = =
, .
Örnek. Euler'in gama işlevi G(P) = 
,
P > 0.
Süreklilik açık (0, ).
İki integrali ele alalım 
, 
.
1)
,
P
[
, 1) .
Weierstrasse işareti.
- sahip olmak P
.
Weierstrasse işareti.
, p(0 , 1] .
Formülü kanıtlayalım
(1)
Bunu yapmak için bir değişiklik yapacağız X
xy .
(P) = =
=
.
2. Euler'in beta fonksiyonu B(p,q) = 
, p > 0, q >0.
Hadi bir değişiklik yapalım 
, dx =
.
B(p,q) = 
=
.
B(p,q) = 
(2)
3 . Euler fonksiyonlarının bazı özellikleri
Formülden (1) şu şekildedir
, 
. Bütünleşerek şunu elde ederiz. Nereden, kullanarak (2)
G
İÇİNDE(P,
Q) = Г 
G 
.
İÇİNDE(P,1-
P) = Г G 
=
=
.
Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).
Bu formülden, aralıktaki Gama fonksiyonunu bilmenin yeterli olduğu sonucuna varıldığına dikkat edin. (0, 1/2).
İntegral herhangi bir yerde düzgün bir şekilde yakınsar [
,
A ], 0
A.
Bu nedenle integral parametreye göre türevlenebilir. İntegrali düşünün 
.
Sıfır civarında |
içinde
X|
İçin
> 0
var
C 1
(
).
.
=
=
=
F(a,b) = 
+C(b)= 
+C(b).
ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = 
.
matematiksel analiz. 3. dönem. Loginov A.Ş. 2005 [e-posta korumalı]
sayfa 1
Parametre 1.1'e bağlı öz integraller. Parametreye bağlı integral kavramı ve sürekliliği Bir dikdörtgende f(x, y) değişkenli bir fonksiyon tanımlansın (Şekil 1). Herhangi bir sabit y e [c, d] değeri için bir integralin olduğunu varsayalım. Bu integralin y değişkeninin bir fonksiyonu olduğu açıktır. İntegrale (1) y parametresine bağlı bir integral denir. İntegralin sürekliliği ile ilgili aşağıdaki teorem parametreye bağlı olarak geçerlidir. Teorem 1. Eğer /(x, y) fonksiyonu Π dikdörtgeninde sürekli ise, o zaman (1) ilişkisi ile tanımlanan /(y) fonksiyonu [c, d\ aralığında süreklidir. karmaşık fonksiyon. O zaman toplam türev şu şekildedir: Türevlerin ifadelerini formül (7)'de yerine koyarsak, gerekli formülü (6) elde ederiz. Örnek 2. Bir parametreye göre türevi kullanarak, dikdörtgende sürekli olan integrali ve onun parametreye göre türevini hesaplayalım. Bu nedenle, integralin parametreye göre türevinin uygulanmasına ilişkin Teorem 2'yi uygulayalım. t'nin 0'dan integralini alırsak Buradan elde ederiz. a'nın sıfıra eğilim gösterdiğini ve /(0) = 0 olduğunu dikkate aldığımızda C = 0 elde ederiz. Dolayısıyla Örnek 3. Fonksiyonun türevini bulun Formül (b)'yi uygulayarak şunu elde ederiz: 1.3. İntegralin parametresi üzerinden integrali Teorem 3. Eğer f(x, y) fonksiyonu dikdörtgen içinde sürekli ise fonksiyon [c, d\ aralığında integrallenebilirdir ve eşitlikler Teorem 1'e göre geçerlidir. f(y) fonksiyonu [c, d) aralığında süreklidir ve dolayısıyla bu aralıkta integrallenebilir. Formül (8)'in geçerliliği, tekrarlanan integrallerin eşitliğinden kaynaklanır, Örnek 4. İntegrali y parametresi üzerinde 0 ila 1 aralığında integralleyin. Fonksiyon bir dikdörtgen içinde sürekli olduğundan, integralin integrali üzerine Teorem 3 parametrenin üzerinde geçerlidir. §2'miz var. Uygun olmayan integraller 2.1 parametresine bağlı olarak. Parametreye bağlı olarak birinci türden uygunsuz integral kavramı İki değişkenli f(x, y) fonksiyonu bir yarım şeritte tanımlansın (Şekil 3) ve her sabit integral için, aşağıdaki şekilde ifade edilen bir uygunsuz integral vardır: y'nin bir fonksiyonudur. Bu durumda fonksiyona, y parametresine bağlı olarak birinci türden uygunsuz bir integral denir. (c, d) aralığı sonsuz olabilir. Tanım 1. Uygun olmayan bir integral (1), eğer sonlu bir limit varsa, bir noktada yakınsak olarak adlandırılır; eğer herhangi bir e > O için, tüm B ^ B0 için eşitsizliği sağlayacak şekilde bir B0 sayısı varsa: Uygun olmayan integral (1), [c, d] bölümünün her noktasında yakınsarsa, bu durumda buna yakınsadığı söylenir. bu segment. İntegral (1)'in [с, d\ aralığında yakınsak olduğu söylenir. Bir parametreye bağlı olarak uygun integraller. Bir integralin bir parametreye göre integrali. Bir parametreye bağlı birinci türden uygun olmayan integral kavramı. Uygun olmayan bir integralin düzgün yakınsaklığı. Düzgün yakınsak olan uygun olmayan integrallerin parametreye bağlı özellikleri. Uygun olmayan bir integralin düzgün yakınsaklığı. Cauchy kriteri Tanım 2. Uygun olmayan bir integralin (1), [c, d) aralığındaki y parametresinde düzgün yakınsak olduğu söylenir, eğer bu aralıkta yakınsaksa ve herhangi bir e > 0 için bir A belirtmek mümkündür. ^ a, yalnızca e'ye bağlıdır, öyle ki tüm B > A ve [c, d\ aralığındaki tüm y'ler için eşitsizlik geçerlidir. Uygun olmayan integrallerin düzgün yakınsaklığı için parametreye bağlı olarak aşağıdaki Cauchy kriteri geçerlidir. Teorem 4. Uygun olmayan integralin (1) y parametresine göre [c, d\ aralığında düzgün yakınsaması için, herhangi bir e > 0 için bir A ^ sayısını belirtmenin mümkün olması gerekli ve yeterlidir. a yalnızca e'ye bağlıdır ve öyle ki A'dan büyük herhangi bir B ve C için ve [c, d] aralığındaki tüm y için eşitsizlik geçerlidir. Bu kriterin geçerliliği doğrudan düzgün yakınsaklığın tanımından kaynaklanır. Bir parametreye bağlı olarak uygunsuz integrallerin düzgün yakınsaklığı için yeterli bir kriter formüle edelim. Teorem 5 (Weierstrass testi). /(x, y) fonksiyonu pyupyos Poo'da tanımlansın ve her y için € | c, d] herhangi bir [a, A] aralığında x'e göre integrallenebilirdir. Ek olarak, Π^ yarım şeridinin tüm noktaları için eşitsizlik sağlansın. O zaman f g(x) dx integralinin yakınsamasından, uygun olmayan integralin [c, d] parçası boyunca düzgün yakınsak olduğu sonucu çıkar. Herhangi bir e > 0 için bir fonksiyonun integralinin yakınsaklığına ilişkin Cauchy kriteri sayesinde, tüm C > B ^ A için eşitsizliği sağlayacak şekilde bir A ^ a sayısı belirleyebiliriz. Eşitsizliği (4) kullanarak şunu elde ederiz: Bu, aralıktaki tüm y'ler için Böylece, integralin düzgün yakınsaklığı için Cauchy kriterinin karşılandığıdır. Citr 1. Isladova t düzgün yakınsaklık üzerinde uygunsuz ictral, burada i bir parametredir, Herhangi bir rastgele gerçek sayı için eşitsizlik geçerli olduğundan ve integral yakınsadığından, Weierstrass testi ile integral (5) tüm 2.3 için düzgün yakınsar. Düzgün yakınsak uygun olmayan integrallerin parametreye bağlı özellikleri Özellik 1. Uygun olmayan integralin parametreye göre sürekliliği. Eğer fonksiyon Poo alanında sürekli ise ve integral (c, dj) parçası üzerinde y'de düzgün yakınsaksa, o zaman 1(y) fonksiyonu Özellik 2'de süreklidir. Uygun olmayan bir integralin bir parametreye göre integrallenebilirliği. fonksiyon I" alanında süreklidir ve integral (6) y'de düzgün yakınsar, sonra Özellik 3. Uygun olmayan integralin parametreye göre diferansiyellenebilir™. f(x,y) fonksiyonu ve сс kısmi türevi olsun Pso bölgesinde sürekli, uygunsuz integral (6) yakınsar ve integral y'ye göre düzgün yakınsar. Sonra Örnek 2. $ parametresine bağlı olarak integrali hesaplayın. Örnek 1'de integralin düzgün yakınsaklığını kanıtladık. Herhangi bir aralıkta s parametresine göre integralin (9) herhangi bir aralıkta s parametresine göre de düzgün yakınsak olduğunu gösterelim. İntegral (9) ile integralin (5) düzgün yakınsak integralin (9) integrali olduğunu not ederek, parametreye göre uygun olmayan integralin türevlenebilir özelliğini kullanarak, 1($) elde ederiz. ) = (in), bunu parçalara göre integral alarak doğrulamak kolaydır), o zaman Örnek 3. Eşitliğin integralini almak. integrali bul İlk önce uygunsuz bir integrali gösterelim Bir parametreye bağlı uygun integraller Bir integralin bir parametreye göre türevlenmesi Bir integralin bir parametreye göre integrali Bir parametreye bağlı birinci türden uygunsuz integral kavramı Düzgün yakınsaklık uygunsuz integral Cauchy kriteri Düzgün yakınsak uygunsuz integrallerin özellikleri, y parametresine bağlı bir parametreye bağlı olarak, (a, 6) segmenti üzerinde düzgün yakınsar. Bu, Weyer-igtrass kriterinden kaynaklanmaktadır, çünkü y parametresi üzerinde a'dan 6'ya kadar bir aralıkta integral alıyoruz. Böylece bir Açıklamamız var. Şu ana kadar hos formundaki n adet uygun integrali ele aldık. Bunlar y parametresine bağlı olarak birinci türden uygun olmayan integrallerdir. Y parametresine bağlı olarak ikinci türden uygunsuz bir integrale formun integrali denir. Bir parametreye bağlı olarak ikinci türden uygunsuz integraller teorisi, birinci türden uygunsuz integraller için ele aldığımız teoriye benzer. Bir parametreye bağlı olarak.
Deşifre metni
1 Dersin Konusu: BİR PARAMETREYE BAĞLI UYGUN OLMAYAN İNTEGRALLER. Ders 7. Bir parametreye bağlı uygunsuz integraller. Bu türden uygunsuz bir integralin düzgün yakınsaklığı. Cauchy kriteri. Weierstrass, Dirichlet ve Abel işaretleri. Bir parametreye ve fonksiyonel seriye bağlı olarak -th türünden uygunsuz integrallerin teorileri arasındaki bağlantı. 2. türden uygun olmayan bir integralin düzgün yakınsaklığı. Weierstrasse işareti. Bir parametreye bağlı uygunsuz integraller. Tanım. Bir f fonksiyonu için herhangi bir Y için herhangi bir I = integrali için mevcut olsun, parametreye bağlı olarak buna f, d adını vereceğiz. Türden uygunsuz bir integral, I = f, d=lim f, d. Aslında, daha önce olduğu gibi bu, uygunsuz integrallerin parametrik bir ailesidir. İntegralin yakınsadığı parametreler kümesine yakınsaklık bölgesi denir. Bu tür bir integralin düzgün yakınsaklığı. Burada ve aşağıda, Y kümesinin yakınsama tanım kümesine dahil edilmesine izin verin. Tanım. B B, Y f, d'nin integrali Y, f, d kümesinde düzgün yakınsaktır. Aşağıda kısmi integraller için F, = f, d gösterimini kullanacağız. Cauchy kriteri. Kısmi integraller F, I ailesinin Y parametrelerine göre düzgün yakınsak olması için, tekdüze yakınsaklığın kendisi gerekli ve yeterlidir: B B, Y f, d. Weierstrasse işareti. Y ve yeterince büyük x için f, g olsun ve bazı gd integralleri için yakınsak olsun, o zaman I integrali mutlak ve düzgün yakınsar.
2 Kanıt. Uygunsuz integraller için ilk karşılaştırma kriterine göre, belirtilen integral mutlak olarak yakınsar. Y'de f, dgd tahmini gerçekleştiğinden, Cauchy kriterine göre integral düzgün yakınsar. Örnek. f, d, integralini bir toplam olarak düşünün: f,. Çünkü p her yerde aynıdır. = Günah f, =, p, p. Hayal edelim. Bir f fonksiyonu için, d p yönündeki tahmin doğrudur, o zaman orijinal integral mutlak olarak yakınsar ve Örnek. I = f, d, f, =e sin,'yi düşünün. f, e ve e d integrali olduğundan, integral [,) ışınında mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar. Bu nedenle yarı eksende mutlak yakınsar. Parçalara göre iki kere integral alarak sin os e I = 2 = = = 2 sonucunu elde ederiz. Örnek. Düzgün yakınsaklık için M = e ln d integralini inceleyin. Çünkü ln için, f, =e ln e =g tahmini integral için geçerlidir. İntegral gd yakınsak olduğundan orijinal integral Weierstrass kriterine göre mutlak ve düzgün yakınsar. Dirichlet testi. I = f, g, d, Y integralini ele alacağız. f fonksiyonunun kısmi integrallerini F, = f t, dt olarak göstereceğiz. F fonksiyon ailesinin düzgün sınırlılığı, bir K f, Y, d.b sabitinin varlığı anlamına gelir. Teorem. F, g fonksiyonları Y'de tanımlansın ve yürütülsün aşağıdaki koşullar:. f fonksiyonu süreklidir, F fonksiyonları ailesi düzgün sınırlıdır; 2. d.b için işarette sürekli ve sabit olan bir g kısmi türevi vardır. Y parametrelerine göre düzgün bir g fonksiyonları ailesi. Bu durumda I integrali Y kümesi üzerinde düzgün yakınsar.
3 Kanıt. G'ye izin ver. f t fonksiyonu t'de sürekli olduğundan F, = f, olur. Son olarak g koşulundan keyfi bir durum için d.b. ve Y eşitsizliği g, 4 K'yi tutar. I integrali için Cauchy kriterinin düzgün yakınsaklık koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. O halde, Y olsun. Daha sonra integral formülünü kısmi olarak uygulayarak fgd'yi elde ederiz. = g F d = gf Fg d. Gf modülünü değerlendirelim. gf = g f t, dt g K 4, sonra gf gf, gf, 2. Fg d F g d K g d= Kg K g, g, 2. Yani sonunda şu fgd'ye sahibiz, Cauchy kriterine göre, I integrali yakınsar eşit olarak. Yorum. Dirichlet testinin f, g d, f g, d formundaki integrallere uygulanabileceği açıktır. İlk durumda, g türevinin sürekliliği ve sabit işareti ve g koşulu gerekli olacaktır ve ikinci durumda, kısmi integraller kümesinin sınırlılığı gerekli olacaktır. sürekli fonksiyon F = f t dt. günah Örnek. I = d, 2 integralini düşünün. f, = sin, g = olsun. Fonksiyon 2 f'nin kısmi integrallerini tahmin edelim: sin t dt = os t t = t = = os 2 2 fonksiyon g, g. Dirichlet kriterine göre integral düzgün yakınsaktır. Abel'ın işareti. Teorem. f, g fonksiyonları Y'de tanımlansın ve aşağıdaki koşullar sağlansın:. f fonksiyonu süreklidir, f, d integrali Y kümesi üzerinde düzgün yakınsaktır; 2. g fonksiyonları ailesi düzgün sınırlıdır, g'nin sürekli bir kısmi türevi vardır ve Y ve d.b için sabit bir işaret vardır. Bu durumda I integrali Y kümesi üzerinde düzgün yakınsar. İspat. F'nin gösterimi olan K g sabitini tanıtalım, yukarıya bakın. Y olsun. İntegralin parçasını tekrar parçalar halinde entegre edelim:, fgd= g F d= gf Fg d ()
4 Ortalama değer teoremine göre, biri sabit işaretli olan sürekli fonksiyonların çarpımının belirli bir integrali için, Fg d=f, g, d=f, g, g integralini verecek bir nokta vardır, . O zaman eşitliğin () sağ tarafı için şunu yazabiliriz: fgd=g, F, F, g, F, F, Teoremin koşullarına göre kısmi integraller ailesi F, = f t, dt ft t, dt için parametrelere göre düzgün yakınsaksa, bir fonksiyonlar ailesinin düzgün yakınsaklığı için Cauchy kriterine göre, F fonksiyonları ailesi kendi içinde düzgün yakınsar: F h, F, d.b için 2 K Bu, belirli bir integral için şu anlama gelir: şu tahmin geçerli olacaktır: fgd g, F, F, g, F , F, K 2 K K 2 K =. Yorum. Abel testinin f, g d, f g, d formundaki integrallere uygulanabileceği açıktır. İlk durumda, g fonksiyonunun sınırlı olması ve adi türevinin sürekli ve sabit işaretli olması gerekir. İkincisinde f fonksiyonu süreklidir ve f d integrali yakınsar. Örnek. I = e sin sin d için düzgün yakınsaklık integralini inceleyin. F ='yi sürekli genişlemeyle sıfırda bir ile, g, =e ile gösterelim. f fonksiyonunun integrali yakınsar. Değişkenlerin negatif olmamasından, fonksiyonlar ailesi olan g'nin sınırlı olduğu sonucu çıkar. Kısmi türev g = e sabit işaretli ve süreklidir. Abel'in kriterine göre, I integrali düzgün bir şekilde yakınsar. Bir parametreye bağlı olarak -th türünden uygunsuz integral teorileri ile fonksiyonel seriler arasındaki ilişki. Bu bağlantıyı bilmek, parametreye bağlı olarak uygunsuz integrallerle ilgili diğer ifadelerin kanıtını büyük ölçüde basitleştirir ve bunları bilinen gerçekler fonksiyonel seriler teorisi. F, = f, d'yi göstereceğiz. O halde I = lim F, integrali. Heine'nin tanımına göre tüm dizilerin durumlarını incelemek yeterlidir: n, n, = (2) n = n n f, d (3) notasyonunu tanıtalım.
5 Teorem. İntegral I'in yakınsaması (düzgün yakınsaklık) için, tüm diziler (2) için n= n serisinin yakınsaklığı (düzgün yakınsaklık) gerekli ve yeterlidir ve integral toplamına eşit sıra. Herkesin önünde ve d.b. f ise, serinin herhangi bir dizi (2) için yakınsaması (düzgün yakınsaklığı) yeterlidir. İfadenin ispatı, “İnci türden uygunsuz integrallerin teorileri ile sayı serileri arasındaki ilişki” konusunda verilenlere benzer şekilde gerçekleştirilir. Bir parametreye bağlı olarak inci türden uygunsuz integrallerin özellikleri. F, g at olsun. I = f, d g d ise integral işaretinin altındaki limite geçme ihtimalinden bahsederler. Teorem. f fonksiyonu yarım şeritte tanımlı ve sürekli olsun [, ;,d ]; herhangi biri için, f, g for fonksiyon ailesi her bir parça üzerinde aynı şekilde görecelidir [,]; f, d integrali [, d ] parametresine göre düzgün yakınsar. Daha sonra integral gd yakınsar ve integral işaretinin altındaki limite gidebiliriz. Kanıt. n g d integralinin yakınsaması için (2), (3) ve n = n dizilerini ve niceliklerini tanıtalım. I = g d (veya I = f, d integralinin düzgün yakınsaması) bir dizi sayının yakınsaması n gerekli ve yeterlidir ve bir dizi fonksiyon n'nin düzgün yakınsaması) ve I = n, I = n. Bir parametreye bağlı olarak belirli bir integral için limite geçiş teoremine göre lim n = n. Fonksiyonel seriler için benzer bir teoreme göre, n sayıları serisi yakınsar ve lim n n = n n. Teorem 2. f fonksiyonu tanımlı ve yarım şeritte sürekli olsun [, ;, d ]; f, d integrali [, d ] parametresine göre düzgün yakınsar. O halde I integrali süreklidir. Kanıt. Teorem 2'ye göre, belirli bir integral için n fonksiyonları süreklidir. Teorem 2'ye göre bir fonksiyonel seri için I toplamı süreklidir. Tanım gereği, eğer d d f, d= d d f, d ise tekrarlanan integralin sırasını değiştirebilirsiniz. Teorem 3. Teorem 2'nin koşulları karşılanırsa tekrarlanan integrasyonun sırası değiştirilebilir. İfadenin kanıtı, bir parametreye ve bir fonksiyonel seriye bağlı olarak belirli bir integralin entegrasyonuna ilişkin teoremlere dayanmaktadır. Seri işareti altında farklılaşma olasılığı d d f, d= f, d anlamına gelir. (veya
6 Teorem 4. f fonksiyonu tanımlı ve yarım şeritte sürekli olsun [, ;, d ] ; f'nin kısmi türevi süreklidir; integral f, d yakınsar; f, d integrali düzgün yakınsar. Daha sonra integral işareti altında entegrasyon mümkündür. Kanıt, belirli bir integralin bir parametreye ve bir fonksiyonel seriye bağlı olarak türevinin alınmasına ilişkin teoremlere dayanmaktadır. Teorem 2-4, özellikle parametreye bağlı olan ve olmayan belirli ve uygunsuz integrallerin hesaplanmasında kullanılır. Örnek. I = e sin d, integralini bulun. Çözüm. İntegrali doğrudan bulmak oldukça zor olduğundan türevini bulmaya çalışalım. Bunu yapmak için [,d ], d segmentine isteğe bağlı olarak sabit bir parametre yerleştiririz. Teorem 4'ün koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İntegral işareti altında f fonksiyonu süreklidir ( = f, = noktasında sürekli olarak tanımlanır. f = e sin türevi süreklidir. Keyfi bir değer için parametresi, f, = f ilişkisinden, kısmi türevin her yerde sürekli olduğu sonucunu çıkarır. Daha önce, I integralinin yakınsaklığı ve e sin d=, 2 integralinin düzgün yakınsaklığı kanıtlanmıştı. o zaman I =C rtg,. Orijinal integral için I, o zaman I, C= 2. Son olarak I = 2. rtg,. Sonuç olarak, 2. türden uygunsuz bir integralin davranışı hakkında çeşitli ifadeler sunuyoruz. Tanım: Eğer f, d tekil noktasına sahip bir integral Y kümesi üzerinde düzgün yakınsaktır: Y f, d yakınsaklığı ise:, 2'dir. Tekil f, d ile 2, Y 2 f, d. Yeterli Weierstrass testi Y, f, g için g d integrali, o zaman f, d, Y üzerinde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar. -'inci türden integrallere gelince, analoglar Dirichlet, Abel teoremleri ve özellikler (süreklilik, türevlenebilirlik, integrallenebilirlik) ile ilgili -4 teoremleri bu integraller için formüle edilebilir.
16. Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığı 16.1. Rastgele bir X kümesini ve X üzerinde tanımlı bir f fonksiyonları dizisini düşünün. f dizisinin noktasal yakınsak olduğu söylenir
V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Kuvvet serisi. Yakınsama yarıçapı ve yakınsama aralığı. Yakınsamanın doğası. Entegrasyon ve farklılaşma. 1.1 Yakınsama yarıçapı ve yakınsama aralığı. Fonksiyonel aralık
5 Bölüm ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR Uzay R n Çok sayıda değişkenli fonksiyon kavramı Değişken Tanımı N'nin gerçel sayı olduğu tüm sıralı kümelerin (,n) kümesine n boyutlu denir
1. Matematiksel analiz, Birinci Dönem Sınav Soru Listesi 1.1. Tanımlar (2006-2007, 1. yarıyıl 1. Sınırlı kümenin tanımını formüle edin) gerçek sayılar. 2. Bir tanım formüle edin
4 Riemann belirli integrali. Tanım, genelleştirilmiş ortalama değer teoremi, değişkenli integral üst sınır, değişken değişim formülü, parçalara göre entegrasyon, bazı eşitsizlikler. 4.1
1. Riemann integralinin tanımı ve temel özellikleri Bir bölümün tanımı [, b] bölümünün bir bölümü, = x 1 noktalarından oluşan bir kümedir< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Ders Fourier dönüşümü İntegral dönüşümü kavramı İntegral dönüşümleri yöntemi aşağıdakilerden biridir: güçlü yöntemler matematiksel fizik güçlü bir çözümdür
8 Barrow Isaac (Brow Is) -77 İngiliz matematikçi, filolog, ilahiyatçı. Profesör Cambridge Üniversitesi. Optik ve geometri üzerine derslerin yazarı (9-7). Teoremden belirli integralin olduğu sonucu çıkar
FONKSİYONEL A.N.'NİN VARYASYONU VE EXTREMUMU İntegral denklemler ve varyasyonlar hesabı Ders Fonksiyonel V = V , y(x) M E verilsin. y (x) M fonksiyonunu sabitleyelim. Daha sonra herhangi bir fonksiyon.
Bölüm Kuvvet serisi a a a a a a a a () formundaki bir seriye kuvvet serisi denir; burada, a, serinin katsayıları olarak adlandırılan sabitlerdir. Bazen bir kuvvet serisi daha fazla kabul edilir. genel görünüm: a a(a) a(a) a(a) (), burada
Bir fonksiyonun (Riemann'a göre) ve belirli bir integralin integrallenebilirliği Problem çözme örnekleri 1. Sabit fonksiyon f(x) = C üzerinde integrallenebilir, çünkü herhangi bir bölüm ve herhangi bir ξ i noktası seçimi için integral
8. Belirli integral 8.. f olsun sınırlı işlev, [, b] R parçası üzerinde tanımlıdır. [, b] parçasının bir bölümü, τ = (x, x,..., x n, x n) [, b] noktalarının bir kümesidir, öyle ki = x< x < < x n < x n =
Ders 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange ve L'Hopital Teoremleri Özet: Tüm bu teoremler ispatlanmış ve L'Hopital kuralına göre belirsizlikleri ortaya çıkarma örnekleri verilmiştir. Tanım y=f() fonksiyonuna ulaşır.
ÖNSÖZ Kılavuz bir devam niteliğindedir. Matematiksel analiz üzerine iyi bilinen ders kitapları temel alınarak oluşturulmuştur [6]. Birkaç kez okunan V.V.'nin derslerine dayanmaktadır.
RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Nizhny Novgorod devlet üniversitesi adını NI Lobachevsky'den alıyor Yönergeler parametreli integrallerle ilgili problemleri çözmek Eğitimsel ve metodolojik el kitabı
Çift katlı integral Çift katlı integralin tanımı ve özellikleri Alan problemi nasıl hesaplanır kavisli yamuk tek değişkenli bir fonksiyonun belirli bir integraline yol açar, dolayısıyla benzer bir problem
S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Ders Fonksiyonların sunumu güç serisi Giriş Fonksiyonların kuvvet serileri ile temsili aşağıdaki problemlerin çözümünde faydalıdır: - fonksiyonların integrali
Sonsuz integral sınırına sahip uygun olmayan integraller. Tanım. Özellikler. Yakınsama işaretleri. Çözümlü örnekler. Tanım f() fonksiyonunun tüm a'lar için tanımlı ve herhangi bir düzlemde integrallenebilir olmasına izin verin.
BİLET 1 “3” Terstürev “3”ün tanımı Teorem 12 (integrallenebilirlik hakkında) monoton fonksiyon) “3” Teorem 4 (seriler için karşılaştırma teoremi) TICKET 2 “3” Genelleştirilmiş antiderivatifin tanımı “3” Teorem 16
1 Fonksiyonlar bir aralıkta süreklidir (Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor teoremleri). Kompaktta işlevsellik süreklidir. 1.1 Ara değerlere ilişkin teorem Teorem 1. (Bolzano-Cauchy) f fonksiyonunun aralıkta sürekli olmasını ve f(a) f(b) olmasını sağlayın. O halde f(a) ile f(b) arasında bulunan herhangi bir C sayısı için, f(γ) = C olacak şekilde bir γ(a, b) noktası vardır. İspat. Örneğin f(a) = A olsun< B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) >0. Teoremi kanıtlamak için, g(γ) = 0 olacak şekilde bir γ(a, b) noktasının var olduğunu göstermek yeterlidir. Parçayı x 0 noktasına göre eşit uzunlukta iki parçaya bölün, sonra g (x 0) = 0 ve bu, istenen noktanın γ = x 0 bulunduğu veya g(x 0) 0 olduğu anlamına gelir ve daha sonra ortaya çıkan aralıklardan birinin sonunda g fonksiyonu farklı işaretlerin değerlerini alır , daha doğrusu, sol uçtaki değer sıfırdan az, sağda - daha fazlası. Bu parçayı belirleyelim ve onu tekrar eşit uzunlukta iki parçaya bölelim, vb. Sonuç olarak, ya sonlu sayıda adımdan sonra, g(γ) = 0 olan istenilen γ noktasına ulaşırız ya da uzunluk boyunca sıfıra doğru giden ve g(a n) olacak şekilde iç içe geçmiş parçaların bir dizisini elde ederiz.< 0 < g(b n) (1) Пусть γ - ortak nokta tüm bölümlerin , n = 1, 2,... O halde γ = lim a n = lim b n. Bu nedenle g fonksiyonunun sürekliliği nedeniyle (1)'den g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) (2) ve (3)'ten g(γ) sonucunu buluruz. ) = 0 lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Sonuç 1. Bir fonksiyon bir doğru parçası üzerinde sürekliyse ve uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alıyorsa, bu durumda bunun üzerinde en az bir nokta vardır fonksiyonun kaybolduğu segment. 1.2 Birinci ve ikinci Weierstrass teoremleri Bir E kümesi üzerinde tanımlanan bir f fonksiyonunun, eğer bir x 0 E noktası varsa, bu küme üzerinde üst (alt) sınırına β = sup E f (α = inf E f) ulaştığını söyleyeceğiz: f( x 0) = β (f(x 0) = α). 1
Ders 3 Bir skaler denklemin çözümünün varlığı ve tekliği için teorem Problemin açıklaması Ana sonuç Cauchy problemini düşünün d f () d =, () = f (,) fonksiyonu düzlemin G bölgesinde verilmiştir ( ,
Moskova Devlet Üniversitesi teknik üniversite adını N.E. Bauman Fakültesi" Temel Bilimler" Departman " Matematiksel modelleme» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
178 4 Belirli integralin temel özellikleri Belirli integralin temel özelliklerini ele alalım. 1) İntegralin alt ve üst limitleri eşitse (=), o zaman integral sıfıra eşit f () d = 0 Verilen
4. Konsept sayı serisi. Bir sayı serisinin yakınsaması için Cauchy kriteri. Matematiksel analizde "seri" kelimesi toplam anlamına gelir sonsuz sayışartlar. Rastgele bir sayı dizisi düşünün
DERSLER 8A 9A Uzay D, devamı 5 Değişkenin doğrusal değişimi Doğrusal bir işlemi tanıtmak (daha doğrusu, afin ikamesi değişken, daha önce olduğu gibi, bir düzenli kümenin devamı ilkesini kullanacağız
“Matematiksel Analiz” Uygulamalı Matematik Disiplininde final sınavına yönelik SORULAR VE MODEL SORUNLARI sözlü sınavöğrenci iki tane alır teorik konular ve iki problem Yılda toplam 66 soru
Matematiksel analiz I yarıyılında sınava yönelik sorular ve görevler, - Konu Sayı setleri ve diziler Tanımlar Bir tanım formüle edin: sınırlı bir gerçek sayılar kümesi sınırlı
Ben yıl, görev. Riemann fonksiyonunun, eğer 0, m m R(), if, m, m 0 ve kesir indirgenemez ise, 0, eğer irrasyonelse, her rasyonel noktada süreksiz ve her irrasyonel noktada sürekli olduğunu kanıtlayın. Çözüm.
Ders 6 Riemann'ın belirli integrali Özet: Riemann integralinin yanı sıra başka integrallerin de olduğu belirtilmektedir. Belirli integralin özellikleri dikkate alınır.
Dersin Konusu: PARAMETRE BAĞIMLI İNTEGRALLER TEORİSİNİN BAZI UYGUN OLMAYAN İNTEGRALLERİN HESAPLANMASINA UYGULANMASI EULER İNTEGRALLERİ Ders 8 Euler-Poisson integrali Laplace integrali Fresnel integrali
Ders 7 ZAYIF VE GÜÇLÜ TÜREVLER 1. Zayıf Türev Tanım 1. v(x) L p loc () fonksiyonuna u(x) L p loc () fonksiyonunun zayıf türevi x α denir ve v(x) yazarız. = α u(x) , eğer herhangi bir fonksiyon içinse
MATEMATİKSEL ANALİZE GİRİŞ Konu: Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği Ders 6 Limit sayı dizisiİÇİNDEKİLER: Eşitsizliklerde sınıra geçiş Temel Diziler
58 Belirli integral () fonksiyonu aralıkta verilsin. Zorunlu olmasa da fonksiyonu sürekli kabul edeceğiz. Aralıkta seçim yapalım keyfi sayılar, 3, n-, koşulu karşılıyor:
SA Lavrenchenko wwwlwrncnkoru Pratik ders 9 Uygun olmayan integraller Standart hesaplamalar, Bu türden uygun olmayan integraller Bu türden uygun olmayan bir integral aşağıdaki şekilde gösterilir ve tanımlanır:
Mth'in Chir'i. Analiz, SPb. Stte Üniversitesi. A.V. Poteun, Uygunsuz integrallerin yakınsaklığının incelenmesi Sorunların çözümü için metodolojik talimatlar A. V. Poteun Bilindiği gibi (bkz. Bölüm III, 7), eğer
BELARUS DEVLET ÜNİVERSİTESİ UYGULAMALI MATEMATİK VE BİLGİ BİLİMİ FAKÜLTESİ YÜKSEK MATEMATİK BÖLÜMÜ ÖNEMLİ İNTEGRALLER Uygulamalı Matematik Fakültesi öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik el kitabı
Fonksiyonlar bir aralıkta süreklidir (Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor teoremleri). Fonksiyonellerin kompakt bir küme üzerinde sürekli olması Ara değerler teoremi. (Bolzano-Cauchy) f fonksiyonu sürekli olsun
Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu Federal kurum Eğitime göre eyalet eğitim kurumu daha yüksek mesleki eğitim ROSTOV DEVLET ÜNİVERSİTESİ
RF BİLİM VE EĞİTİM BAKANLIĞI MOSKOVA DEVLET AÇIK ÜNİVERSİTESİ VS Chernomyrdin KOLOMENSKY ENSTİTÜSÜ YÜKSEK MATEMATİK VE FİZİK BÖLÜMÜ EF KALINICHENKO ÖZEL HESAPLANMASINA İLİŞKİN DERSLER
DERS KONUSU Uygun olmayan integraller ve özellikleri Koşullu ve mutlak yakınsama Yakınsama belirtileri Belirli bir integralin tanımı, özellikleri ve entegrasyon yöntemleri varsayım altında ele alınmıştır.
Bölüm 7. FONKSİYONLARIN DÜZENLİ SÜREKLİLİĞİ Bir f () x fonksiyonuna, eğer > δδ () > () () x x X x x ise, bir X kümesi üzerinde düzgün sürekli denir.
Dipnot çalışma programı disiplinler B.2.B.1 matematiksel analiz Eğitim yönü: 080100.62 “Ekonomi” Profili: “Ekonomi ve bilgi ve matematiksel yönetim” 1. Disiplinin amaç ve hedefleri
1. Belirli integral 1.1. F, [, b] R parçası üzerinde tanımlanan sınırlı bir fonksiyon olsun. [, b] parçasının bir bölümü, τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b noktalarından oluşan bir kümedir. ] öyle ki = x< x 1 < < x n 1
İçindekiler Bölüm Öklid uzayı m-boyutlu Öklid uzayı kavramı m-boyutlu Öklid uzayının nokta kümeleri 4 m Uzaydaki nokta dizileri R 5 4 m değişkenli bir fonksiyonun limiti
13. Yüksek mertebeden kısmi türevler = olsun ve D O üzerinde tanımlıdır. Ve fonksiyonlarına aynı zamanda bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri veya bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri de denir. ve genel olarak
Penza Eyaleti pedagoji üniversitesi Adını VGBelinsky'den alıyor OGNIKITIN RÜTESİ öğretici Penza Penza Eyaleti Pedagoji Yazı İşleri ve Yayın Kurulu kararıyla yayınlandı.
Ders 7 Karmaşık sayılar, bunların düzlemde gösterimi Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler Karmaşık eşlenik Modül ve argüman karmaşık sayı Cebirsel ve trigonometrik formlar
LABORATUVAR ÇALIŞMASI 5 LEBESGUE İNTEGRALİNİN İŞARETİ ALTINDA LİMİTE GEÇİŞ I. Temel kavramlar ve teoremler X bir küme olsun, bir X kümesinin alt kümelerinin bir -cebiri olsun ve bir -toplam tamlaması verilmiş olsun
11. Türev (devam); sürekli fonksiyonlar Geçen derste fonksiyonların çarpımının türevini alma kuralını türetmiştik; Şimdi bölümlerin farklılaşmasını ele alacağız. Öncelikle şunu belirtelim
6 Türev kavramına yol açan problemler Let maddi nokta s f(t) yasasına göre tek yönde düz bir çizgide hareket eder; burada t zaman ve s yoldur, noktaya göre geçilebilir t süresi boyunca Belirli bir anı not edelim
Seminer 3 Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti O. D, R m uzayındaki bazı noktalar kümesi olsun: D R m. Her M(x, x, x m) D noktasının belirli bir u R sayısıyla ilişkilendirilmesine izin verin. Sonra şöyle derler:
GİRİŞ Çalışırken sabit süreçlerçeşitli fiziksel doğa(salınımlar, termal iletkenlik, difüzyon vb. genellikle eliptik tip denklemlere gelir. En yaygın denklem
Ders 24 Euler integralleri (Γ ve B fonksiyonları) Matematiksel analiz, uygulamalı matematik, 3. dönem Gama fonksiyonu ve beta fonksiyonunun tanımları: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 ( 1 t) y 1 dt D 3841 Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın
Anlatım 19 TÜREV VE UYGULAMALARI. TÜREVİN TANIMI. Belirli bir aralıkta tanımlanan bir y=f(x) fonksiyonumuz olsun. Bu aralıktaki x argümanının her değeri için y=f(x) fonksiyonu
Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi SAYISAL VE FONKSİYONEL SERİLER FOURIER SERİSİ Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Fizik ve Matematik Bilimleri Hakem Adayı
Matematik ve Bilişim Bölümü Matematiksel Analiz Eğitimsel ve metodolojik kompleks kullanarak öğrenim gören yüksek öğrenim öğrencileri için uzak teknolojiler Modül 4 Türev Uygulamaları Derleyen: Doçent
Ders 6 9 Büzülme haritalamalarının ilkesi Teoremler sabit nokta D genel anlamda bir Banach uzayı B'den kendisine etki eden doğrusal olmayan bir operatör olsun. Tanım Bir Banach uzayından etki eden D operatörü.
KONU V FOURIER SERİSİ DERS 6 Ayrıştırma periyodik fonksiyon Fourier serisinde Doğada ve teknolojide meydana gelen birçok süreç, belirli zaman aralıklarında kendini tekrarlama özelliğine sahiptir.
Fonlar Disiplindeki değerlendirme araçları fonları B.2.1 Yürütmek için “Matematiksel analiz” akım kontrolü akademik performans ve ara sertifikasyon 080100.62 “Ekonomi” Konuları yönündeki öğrenciler
Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU "SARATOV DEVLET ÜNİVERSİTESİ ADINI ADINI ALDI"
DERS N Tam diferansiyel, kısmi türevler ve yüksek mertebeden diferansiyeller Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Yüksek mertebeden kısmi türevler Yüksek mertebeden diferansiyeller 4Türevler
Matematiksel analiz Bölüm: Analize giriş Konu: Bir fonksiyonun limiti ve özellikleri, sonsuz harika özellikler ve özellikleri Öğr. Gör. Januszczyk OV 215 g 3 Bir fonksiyonun limiti 1 Limitin tanımı
LAB 6 FOURIER DÖNÜŞÜMÜ I TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER Tanım L'den bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, d eşitliği ile tanımlanan bir fonksiyondur F Operatörü: denir
Moskova Devlet Üniversitesi M.V. Lomonosova V.A. İlyin, V.A. Sadovnichy, Bl.Kh. Sendov MATEMATİK ANALİZ DERS KİTABI 2 bölüm halinde Bölüm 2 2. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş Düzenleyen
џ. Sayı serisi kavramı. a, a 2,..., a,.... sayılarından oluşan bir dizi verilsin. Sayı serisi a = a + a 2 +... + a +... (.) ifadesi denir. a, a 2,..., a,... sayılarına a serisinin terimleri denir.
Fonksiyonel analizde çözümlü problemlerin listesi Doğrusal normlu bir uzay olsun. Norm aksiyomlarından gelen eşitsizliğin herhangi bir öğe için geçerli olduğunu kanıtlayın: Bu uzayda mümkün mü?
İntegrali parametreye bağlı olarak tanımlamak için fonksiyonu tanıtıyoruz. Bu fonksiyon belirli bir küme üzerinde tanımlansın, burada ve , yani sonuç küme olacaktır. Eğer fonksiyon sürekli ise D o zaman integral anlamlı olur, burada X sonlu veya sonsuz bir aralığa aittir, bu da integralin uygunsuz olabileceği anlamına gelir.
Buna dayanarak parametreye bağlı olarak bir integralin tanımını verebiliriz.
Tanım.
İntegral 
Herhangi bir sabit aralıkta integrallenebiliyorsa parametreye bağlı integral denir.
Dolayısıyla aralıkta tanımlanan bir değişkenin (parametrenin) bir fonksiyonudur. İntegralin bir sabit için var olması da mümkündür, o zaman aralıkta tanımlanan bir değişkenin (parametrenin) bir fonksiyonu olacaktır. Bu şekilde belirlenmiş, yani 
.
Asıl görev, fonksiyonun özelliklerini bilerek, fonksiyonun özellikleri hakkında bilgi edinmek olacaktır. Bu özelliklerin, özellikle uygunsuz integrallerin hesaplanmasında birçok uygulaması vardır.
Örnek. Fonksiyonun integralini bulun,
İşlev 
herhangi bir sabit için aralıkta süreklidir, yani integrallenebilirdir. Daha sonra
.
Nokta 2. İntegral işaretinin altındaki limite geçiş. Bir parametrenin fonksiyonu olarak integralin sürekliliği
Tanım.
Aşağıdaki koşullar yerine getirilirse, kümenin sınır noktası olsun, bir fonksiyonun değişkendeki bir fonksiyona düzgün yakınsadığı söylenir:
1. için sonlu bir limit fonksiyonu vardır 
;
Not 1.
Zincirde (1) yalnızca bağlıdır ve bağlı değildir ve eşitsizlik 
herhangi biri için aynı anda gerçekleştirilir.
Not 2.
Eğer ise, o zaman (1) zincirindeki eşitsizlik () ile değiştirilmelidir.
Teorem 1 (yakınsama testi). Kümede bir fonksiyon tanımlanmışsa, bu fonksiyonun bir limit fonksiyonuna sahip olması ve ona düzgün yakınsak olması için zincirin gerekli ve yeterli olması gerekir.
Teoremi şu şekilde kanıtlayalım.
gereklilik. Fonksiyonun düzgün yakınsak olmasına izin verin. Tanımı ile değiştirirsek ve buna göre seçim yaparsak ve ardından iki değer alırsak ve koşulları karşılanırsa. Sonuç olarak elde ederiz 
Ve 
zincirdeki son eşitsizlik buradan gelir 
.
Yeterlilik. Şimdi bir limit fonksiyonu olsun. Fonksiyonun limit fonksiyonuna düzgün yakınsaklığının kanıtlanması gerekir. Bunu yapmak için eşitsizliğin limitine gidelim , ortaya çıktı 
. Bu da fonksiyona düzgün yakınsaklığı doğruluyor.
Teorem 2 (limit fonksiyonunun sürekliliği hakkında). Herhangi bir sabit değere ait bir fonksiyon açıkta sürekli ise ve değişkene göre bir limit fonksiyonuna düzgün yakınsaksa, o zaman fonksiyon da açıkta süreklidir.
Dini teoremi kolayca genelleştirilebilir: Eğer bir fonksiyon herhangi bir sabit nokta için sürekliyse ve fonksiyon arttıkça, monoton olarak artıyorsa, limit fonksiyonuna yönelir, o zaman düzgün yakınsar.
Teorem 3 (integral işareti altındaki parametreye göre limite geçiş). Eğer fonksiyon sürekli ise sabit değer ve değişkende limit fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsarsa eşitlik sağlanır
(2)
Kanıt.
Süreklilik Teorem 2'den kaynaklanır, bu da aralıkta integrallenebilir olduğu anlamına gelir. Düzgün yakınsaklık nedeniyle k geçerlidir. Sonra aynı şekilde elimizde:
Nereden geliyor? 
bu da formül (2)'yi kanıtlar.
Not 3.
Eşitlik (2) başka bir biçimde yazılabilir
. (2`)
Sonuç 1.
Bir fonksiyon sabit olarak sürekli ise ve arttıkça monoton olarak artarak sürekli bir limit fonksiyonuna doğru eğilim gösteriyorsa, (2) ve (2`) formülleri geçerlidir.
Bölgenin sonlu bir aralık olduğunu varsayarak fonksiyonun sürekliliği sorununu düşünün.
Örnek(No. 3713 (c)). Bulmak 
.
1. işlev 
sürekli fonksiyon açık. ve fonksiyonları da süreklidir.
2. aralıkta sürekli fonksiyon (v.4 ve sl.2), yani 
Teorem 4 (parametrenin bir fonksiyonu olarak integralin sürekliliği hakkında). Fonksiyon dikdörtgen içinde tanımlı ve sürekli olsun 
, o zaman integral 
aralıktaki parametrenin sürekli bir fonksiyonu olacaktır.
Kanıt.
Sürekli olduğu için kapalı küme, o zaman Cantor teoremine göre belirli bir dikdörtgen üzerinde düzgün süreklidir. Herhangi birini alıp düzeltelim. O zaman değerimiz eşitsizliklerden ve 'ye ait herhangi iki nokta için takip edecek şekilde karşılık gelecektir. , , nerede , herhangi biri ve , nerede olsun. Sonra alırız
Bu, fonksiyonun düzgün bir şekilde eğiliminde olduğu anlamına gelir. Bu durumda Teorem 3'e göre 
ve bundan eşitlik çıkar 
yani fonksiyonumuz süreklidir.
Not 4. için teorem , Nerede .
Sonuç 2. Bir dikdörtgen üzerinde sürekli ise .
Örnek. Bulmak 
.
1. 
sürekli açık
2. sonra Teorem 4. ve Sonuç 2'den şunu elde ederiz:
Nokta 3. İntegral işareti altında farklılaşma
Bir fonksiyonun özelliklerini incelerken önemli Bir parametreye göre türevi hakkında bir sorusu var. Formülü kullanarak türevi hesaplayabilirsiniz. 
1697'de Leibniz tarafından türetilmiştir. Bu formülün uygulanabilirliği için basit yeterli koşulları belirleyen bir teoremi ele alalım.
Teorem (bir parametreye bağlı olarak bir integralin türevi hakkında). Fonksiyon dikdörtgen içinde tanımlı ve sürekli olsun ve orada sürekli bir kısmi türevi olsun. İzin vermek , . Daha sonra:
1. fonksiyonun aralıkta bir türevi vardır;
2. yani 
, .
Kanıt.
Herhangi bir noktayı alıp düzeltelim. Bir artış ve bir nokta ekleyelim 
. Daha sonra 
, 
,
(1)
Lagrange teoremine göre. Buradan,
. (2)
İntegral işareti altında limite geçmenin kabul edilebilirliğine ilişkin teoremi dikkate alarak (2)'deki limite geçerek şunu elde ederiz:
Bundan var olduğu sonucu çıkar ve 
. Çünkü - herhangi biri, o zaman herhangi biri için var olur ve 
.
Örnek. Bir fonksiyonun türevini bulun 
.
1. 
sürekli açık
2. 
. Bu fonksiyon aynı zamanda süreklidir.
4. 
Nokta 4. İntegral işareti altındaki bir parametre üzerinden integral alma
Fonksiyon parametresi üzerinden entegrasyon sorununu ele alalım . İntegrallenebilirse, integral şu şekilde olacaktır: 
. Aşağıdaki teorem iki yinelenen integralin eşitliği için yeterli bir koşul sağlar.
Teorem. Her ikisinde de sürekli ise değişken fonksiyon bir dikdörtgen üzerinde , O aralıkta integrallenebilir fonksiyon ve eşitlik geçerlidir 
yani 
.
Yinelenen integraller kullanılarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir: 
.
Daha genel bir eşitliği kanıtlayalım.
herkes için. (1)
Solda ve doğru parçalar eşitlik (1) parametresinin iki fonksiyonu var T. Türevlerini şu şekilde hesaplayalım: T. O zamandan beri (t.4 s.2) ve dolayısıyla sürekli bir fonksiyonun değişken üst limitli bir integrali vardır. O halde Barrow teoremine göre:
, . (2)
Sağ tarafta bir integral var, burada 
. Aslında fonksiyon Teorem 3'ün koşullarını karşılamaktadır, ayrıca Teorem 4, Bölüm 2'ye göre süreklidir. Türevi bulabiliriz 
iki değişkenin fonksiyonu olarak sürekli olacaktır.
Daha sonra, integral işareti altındaki bir parametreye göre türev alma teoremi ile
, . (3)
(1) eşitliğinin sol ve sağ taraflarının aralıkta çakışan türevlere sahip olduğunu görüyoruz (bkz. (2) ve (3)). Bu, bu aralıkta yalnızca şu şekilde farklılık gösterdikleri anlamına gelir: sabit değer yani .
. (4)
Yerleştirme (4) T = C, alacağız. Bu, (4) yerine herhangi bir değere sahip olacağımız anlamına gelir.
. (5)
İçeri gir (5) T = D, alıyoruz
.
Almamız gereken şey buydu.
Bölüm 2. Bir parametreye bağlı uygunsuz integraller
Nokta 1. Bir parametreye bağlı olarak uygunsuz integrallerin düzgün yakınsaklığı
Uygun olmayan integraller durumunda bir parametreye bağlı integral teorisi dikkate alındığında özel rol düzgün yakınsaklık kavramını oynar. Bu kavramı ilk önce birinci türden uygunsuz integraller (NIIP-1), ardından ikinci türden integraller (NIIP-2) için açıklığa kavuşturalım.
Bir fonksiyonun belirli bir dikdörtgen üzerinde tanımlı ve sürekli olduğunu varsayalım ve herhangi bir sabit değer için, bu fonksiyonun herhangi bir aralıkta parametresine bağlı olarak uygun olmayan bir integrali vardır. Daha sonra integral yakınsar ve eşittir
.
Bu durumda buna birinci türden uygunsuz integral (IIP-1) denir.
Her biri için yakınsayan ifade şu anlama gelir: her sabit için
.
Buradan,
veya 
.
Bu, her biri için, herhangi biri için, şöyle bir sayı belirtebileceğiniz anlamına gelir: if , ardından 
. Her ikisine de bağlı olduğunu belirtmek önemlidir: 
. Herhangi biri için yalnızca 'ye bağlı bir sayı belirtebilirseniz, öyle ki çünkü bu durumda buna denir parametresine göre düzgün yakınsaktır.
Şimdi durumumuz için düzgün yakınsaklık için Cauchy kriterini şu şekilde formüle ediyoruz:
Teorem 1. (NISP-1 için tek tip yakınsama için Cauchy kriteri).İntegralin aralıktaki değişken üzerinde düzgün yakınsaması için zincirin gerekli ve yeterli olması gerekir.
, .
düşünelim yeterli endikasyonlar düzgün yakınsama.
Teorem 2. (NISP-1'in düzgün yakınsaması için Weierstrass testi). Fonksiyon dikdörtgen üzerinde tanımlı ve sürekli olsun 
ve şu koşulları karşılıyor:
1. değişkene göre sürekli,
2. şöyle bir fonksiyon var:
3. - yakınsar.
Buradan düzgün bir şekilde yakınlaştığı sonucu çıkar.
Kanıt.
Tek değişkenli bir fonksiyonun 1. tür uygunsuz integrallerinin yakınsamasına ilişkin Cauchy kriterinin 3) koşuluna uygun olarak, elimizde:
(1)
Daha sonra zincirdekiyle aynı şeyi elde ederiz.
.
Ve buradan Teorem 1'e göre integral düzgün yakınsaktır.
Yorum.
Teorem 2'nin koşulları karşılandığında, fonksiyonun integrallenebilir bir majorantı olduğunu veya integralin yakınsak bir integral tarafından majorize edildiğini söyleriz.
Sonuçlar.
Aşağıdaki koşulların karşılanmasına izin verin:
1. fonksiyon tanımlı ve süreklidir;
2. işlev bir dikdörtgenle sınırlıdır;
3. integral yakınsaksa şu sonuç çıkar 
içinde düzgün bir şekilde yakınsar.
ile belirtelim 
ve olarak ve bir fonksiyon olarak alalım 
. Daha sonra Teorem 2'ye dayanarak zincir (1) elde ederiz.
İkinci türden uygunsuz integrallerin (NIIP-2) düzgün yakınsaklığı kavramı tamamen benzer şekilde tanıtılmıştır.
Fonksiyon tanım kümesinde tanımlansın (a,b,c – sonlu sayılar). Uygun olmayan integralin yakınsamasına izin verin. Bu durumda aralıkta tanımlanan bir değişkenin (parametrenin) bir fonksiyonu olacaktır. Uygunsuz integralin 'de yakınsak olduğu ifadesi şu anlama gelir. Her sabit integral için
(Burada ). Bu, herhangi bir kişi tarafından her biri için, koşula bağlı olarak şunu belirtebileceğiniz anlamına gelir: 
. Numaranın tarafından seçildiğini ve herkes için farklı olacağını, başka bir deyişle hem , hem de:'ye bağlı olduğunu unutmamak önemlidir. Yalnızca 'ye bağlı olan bir şeyi belirtmek mümkünse, koşul sağlandığında doğru olacaktır. hepsi bir arada, uygunsuz integral denir parametreye göre düzgün yakınsaktır. Kısaca, eğer bir integral bir değişkende düzgün yakınsaksa ve zinciri tutuyorsa ona düzgün yakınsak denildiğini söylüyorlar: 
.
NISP-2 için t.1 ve t.2'ye benzer teoremler geçerlidir.
Teorem 3. (NISP-2'nin düzgün yakınsaması için Cauchy kriteri). NISP-2'nin eşit şekilde yakınsaması için aşağıdakiler gerekli ve yeterlidir:
, .
Teorem 4. Bir fonksiyonun bir etki alanında tanımlanmasına ve aşağıdaki koşulları sağlamasına izin verin:
1. fonksiyon , için süreklidir;
2. öyle bir fonksiyon var ki 
, Ve .
3. - yakınsar
NISP-2 
içinde düzgün bir şekilde yakınsar.
İspat Teorem 2'nin ispatına benzer.
Örnek. Düzgün yakınsaklık için integrali inceleyin 
.
Düzgün yakınsaklığı belirlemek için Teorem 2'nin tüm koşullarının karşılandığını kontrol etmek gerekir.
1. 
bölgede tanımlı ve sürekli;
2. bir fonksiyon var, 
, herhangi biri için;
3. 
yani yakınsar.
Tüm koşullar yerine getirildiği için integral herhangi bir aralığa göre düzgün yakınsar.
Nokta 2. NILP'nin sürekliliği, integral işareti altında limite geçiş.
Bu bölümde integralin işareti altındaki limite geçişi ele alacağız. sonsuz sınır ve parametrenin bir fonksiyonu olarak integralin sürekliliği. Sınıra geçişin kabul edilebilirliği için yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile verilmektedir:
Teorem 1. Fonksiyonun dikdörtgen üzerinde tanımlı olmasına izin verin , koşulları karşılıyor:
1. aralıkta işlev;
2. eşit olarak for eğilimi gösterir;
3. integral 'de düzgün yakınsaktır.
Sonuç olarak eşitlik doğrudur
(1)
Kanıt.
Fonksiyon sürekli olacaktır. Düzgün yakınsama koşuluna göre, herhangi biri için öyle bir şey var ki 
, için , ancak yalnızca . İntegral işaretinin altındaki limite geçerek şunu elde ederiz: 
. Bu, sonsuz bir aralıkta integrallenebilen bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. O zaman , aralıkta sürekli ve integrallenebilirdir - bu herhangi bir sabittir, o zaman formül geçerlidir Çoğu zaman böyle bir permütasyonun yapılması zordur. , integral. Bu eşitlik şunun için kurulmuştur: 
(*) formülünün karşılandığı anlamına gelir.
Bir parametreye göre türev alma bazen integralleri değerlendirmek için kullanılabilir.
Örnek 5 . Hesapla A> 1 .
Çözüm . İntegralin parametreye göre türevini bulalım A. Teorem 4'ün gerekliliklerinin karşılandığını kontrol etmek kolaydır, bu nedenle
.
Yer değiştirmeyi uygulayalım T= tgx. Daha sonra 
, 
,
. Eğer X®
0
,O T®
0
eğer öyleyse T®
¥
. Hesaplamaya devam ediyoruz:
.
Şimdi integrali hesapladığımızda şunu elde ederiz:
.
Devamlı İLE bulmak kolay çünkü
.
Buradan: PIn2+C= 0 ,T. e. İLE= –PIn2. Sonunda şunu elde ederiz:
Şimdi sadece integrand fonksiyonunun değil aynı zamanda integrasyon limitlerinin de parametreye bağlı olduğu durumlarda türevlerin nasıl hesaplanacağını öğrenelim.
Teorem 5 . İzin vermek f(x,e), dikdörtgen içinde sürekli D= ´ ; izin fonksiyonları A(y), B(y) en senÎ türevlenebilir ve A£ A(y)£ B,A£ B(y)£ B. Daha sonra
Kanıt
. Rastgele bir noktayı ele alalım y 0Î
ve tanım gereği hesaplayın: 
. Ama önce integralin toplamsallığını kullanarak şunu yazıyoruz:
2. terimin türevi Teorem 4 kullanılarak hesaplanır:
.
3. terimin türevini bulalım:
Ortalama değer teoremini şunun için kullandık: belirli integral ve daha sonra süreklilik yoluyla f(x,e) ve türevlenebilirlik B(y). 1. terimin türevi tamamen aynı şekilde hesaplanır:
.
3 terimin tamamını ekleyerek gerekli formülü elde ederiz (içinde keyfi nokta y 0Î ).
Örnek 6
. Bir fonksiyonun türevini bulun 
Çözüm . Burada integralin parametreye göre türevini almamız gerekir. X. Teorem 5'in formülüne göre hareket ediyoruz:
16 .1 .3 Bir parametre üzerinden entegrasyon.
Teorem 6
. İzin vermek f(x,e) dikdörtgen şeklinde sürekli D=
´
. düşünelim 
. Daha sonra
.
Veya aynı şey nedir?
.
Kanıt . Daha fazlasını kanıtlayacağız genel oran. İzin vermek T– segmentin keyfi noktası . Hadi bunu kanıtlayalım
.
(*)
göre türevini bulalım. T bu eşitliğin her bir kısmından. Teorem 5'i (veya değişken üst limitli integrale ilişkin iyi bilinen teoremi) uygulayarak şunu elde ederiz:
.
Eşitliğin sağ tarafında (*) parametreye bağlı bir integral bulunmaktadır T. Teorem 4'ü kullanarak bunu ayırt ediyoruz:
.
Aynı sonuçlar, eşitliğin (*) sol ve sağ taraflarındaki fonksiyonların yalnızca bir sabit kadar farklı olduğunu göstermektedir: 
. Bu doğru "
TÎ
. Özellikle ne zaman T= Cşunu elde ederiz: 0
= 0
+ İLE yani İLE= 0
ve eşitlik kanıtlanmıştır. Eğer bunu ne zaman uygularsanız T= D teoremin ifadesini elde ederiz.
Örnek 7
. İntegrali hesapla 
.
Çözüm . Entegrasyon belirtilen sıraya göre zor:
Teorem 6'yı kullanarak integralin sırasını değiştirelim.
İntegral hesaplandı. Bu süreçte aşağıdaki ilişki elde edildi:
.
İntegral fonksiyonunun sürekliliği ihlal edilirse integrasyon sırasının değiştirilmesinin farklı bir sonuca yol açabileceğini gösteren bir örnek verelim.
Örnek 8 . İntegrali hesaplayalım:
Farklı bir sırayla hesaplama yaparken, integral fonksiyonunun işaretini değiştirirseniz, zaten dikkate alınan integrali elde ettiğinizi fark edebilirsiniz:
.
Farklı cevaplar - bu noktada integralin fonksiyonu nedeniyle (0 , 0) bir boşluğu var.
16. 2 Parametreli uygun olmayan integraller
Bir parametreye bağlı olan uygunsuz integralleri incelemeye geçelim. Böyle bir integralin en basit gösterimi hala
, ama burada da B= ¥
veya işlev f(x, e) noktanın yakınında sınırlı değildir X= B. Kısaca, integralin şunu söyleyeceğiz: tuhaflık
bu noktada X= B. Değişken sen aralıktaki değerleri alır
(veya sınırsız bir aralıkta, örneğin,
, Eğer "
senÎ
integral 
yakınsar, yani sonlu bir şey var 
.
Diyelim ki 
yakınsar eşit olarak
Açık
, Eğer
