Düzlem denklemi nedir d. Bir düzlemin denklemi, bir düzlemin denklem türleri

1. Boşluk verilirse ifadenin ispatı mümkündür dikdörtgen sistem OXYZ koordinatları, ardından üç ile birinci derecenin herhangi bir denklemi bilinmeyen x,y,z bu sisteme göre belirli bir düzlemi gerekli ve yeterince tanımlar R. Bu denkleme düzlemin genel denklemi denir ve aşağıdaki forma sahiptir:

A X+ B en+ C z+ D= 0 (17)

(z = 0'da bundan çıkan ve düzlemi tanımlayan bir düzlem üzerindeki düz çizginin genel denklemiyle (15) karşılaştırın) R, vektöre dik(ABC).

Stok Fotoğraf - uçağın normal vektörü R.

Denklem (17) aşağıdaki denklemlere eşdeğerdir.

2. İçinden geçen bir düzlemin denklemi bu nokta M( x 0, y 0, z 0):

A( X- X 0) + B( en-en 0) + Ç( z-z 0) = 0.

3. Parçalardaki bir düzlemin denklemi

,

Nerede ; ; .

4. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen düzlemin denklemi determinant olarak yazılmıştır.

,

Nerede ( X 1 , sen 1 , z 1), (X 2 , sen 2 , z 2), (X 3 , sen 3 , z 3) - verilen noktaların koordinatları.

İki düzlem arasındaki açı, normal vektörleri arasındaki açı olarak tanımlanır N 1 ve N 2. Dolayısıyla paralel düzlemlerin durumu

R 1 ve R 2:

ve iki düzlemin diklik durumu:

A 1 A 2 + B 1 İÇİNDE 2 + C 1 İLE 2 = 0 .

Örnek 29. Nokta yoluyla İLE(1, -3, 2) vektörlere paralel bir düzlem çizin

bir =(1, 2, -3) ve b =(2,-1,-1) .

Çözüm. M olsun ( X, en, z) – istenilen düzlemin rastgele bir noktası. Vektör

KM = (X- 1, en+ 3, z- 2) bu düzlemde yer alır ve vektörler A Ve B buna paralel. Bu nedenle vektörler KM , a ve b eş düzlemlidir. Daha sonra onların karma çalışma sıfıra eşittir:

.

Dolayısıyla -(x –1) - (y + 3) – 5(z – 2) = 0 veya x+ 7sen + 5z + 10 = 0. Bu, düzlemin istenen denklemidir.

Uzayda bir çizginin çeşitli denklem türleri

Uzaydaki düz bir çizgi şu şekilde belirtilebilir:

1) çakışmayan ve paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi R 1 ve R 2:

;

2) belirli bir noktadan geçen bir çizginin denklemleri M(X 0 , en 0 , z 0) vektör tarafından belirtilen yönde L = (m, n, p):

,

buna denir çizginin kanonik denklemi boşlukta;

3) verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemleri M(X 1 , en 1 , z 1)

Ve M(X 2 , sen 2 , z 2):

;

4) parametrik denklemler:

.

Örnek 30. Kanonik duruma düşürün ve parametrik görünümler bir çizginin denklemi

.

Çözüm. Düz bir çizgi, iki düzlemin kesişme çizgisi olarak tanımlanır. Bu düzlemlerin normal vektörleri N 1 = (3,1,-2) ve N 2 = (4,-7,-1) istenilen doğruya dik olduğundan vektör çarpımı [N 1 , N 2 ] = L buna paralel olan vektör [ N 1 , N 2 ] (veya herhangi bir doğrusal) yön vektörü olarak alınabilir L İstenilen düz çizgi.

[N 1 , N 2 ] =
.

olarak kabul edelim L = 3Ben + J + 5k. Belirli bir çizgide bir nokta bulmak için kalır. Bunun için örneğin z = 0 koyarız.

.

Bu sistemi çözdükten sonra şunu buluruz: X = 1, en= - 2. Dolayısıyla nokta İLE(1, -2, 0) belirli bir doğruya aittir ve kanonik denklemi şu şekildedir:

1. Düzlemdeki düz bir çizginin denklem türleri

2. Uzayda düz bir çizgi üzerindeki temel problemler

3. Uzayda düzlem denklem türleri

4. Uzaydaki bir uçaktaki temel problemler

5. Uzayda düz bir çizginin denklem türleri

6. Uzayda düz bir çizgi üzerindeki temel problemler

7. Düzlem ve uzaydaki doğru ile ilgili temel problemler

8. İkinci dereceden eğriler

9. İkinci dereceden yüzeyler

Bu modülde öğrenci önerilen konu ile ilgili teorik materyali incelemelidir. eğitim unsurları. (santimetre. Teorik materyalİle yüksek Matematik: Eğitim materyali bir öğrenci için. Bölüm I. Derleyen: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. - Tolyatti: TSU, 2005 ve ek. edebiyat)

Tablo 7, “Analitik Geometri” modülündeki teorik materyalin incelenmesine yönelik bir program sunmaktadır.

Tablo 7

Herhangi bir sorunuz varsa, eğitim portalı forumunda sorular sorarak bir akademik danışmanla iletişime geçin.

Öğrencinin ayrıca kendisini tanıması gerekir. tipik görevler ve IPD sürümünüzü tamamlamak için modül alıştırmaları (bkz. Sorun çözme kılavuzu: öğretim yardımıöğrenciler için Bölüm I. Derleyen: Nikitina M.G., Pavlova E.S., - Tolyatti: TSU, 2008.)

Tablo 8 çalışma programını göstermektedir pratik konular modül "Analitik Geometri"

Tablo 8

Sorularınız için eğitim portalı forumunda veya mesai saatleri içerisinde sorularınızı sorarak bir akademik danışmanla iletişime geçin. bireysel istişareler(bireysel istişarelerin programı şu adreste sunulmaktadır: eğitim portalı).

Öğrenci seçeneğini tamamlamalıdır Ev ödevi(bkz. 30/70 teknolojisinde okuyan öğrenciler için bireysel ödev. Bölüm I. Derleyen: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. ., - Tolyatti: TSU, 2005).

Uygulama takvimi IDZ tarafından Tablo 9'da sunulmaktadır.

Tablo 9

12. haftanın sonunda IDD'yi bir akademik danışmana iletin ve eğitim portalındaki testlere kabul alın

Açık on üçüncü hafta Eğitim sırasında öğrenciler programda belirtilen modül testine tabi tutulurlar.

Ayarlayabilirsiniz Farklı yollar(bir nokta ve bir vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta, vb.). Düzlemin denklemi bunu akılda tutarak olabilir. Farklı türde. Ayrıca belirli koşullara bağlı olarak düzlemler paralel, dik, kesişen vb. olabilir. Bu yazımızda bunun hakkında konuşacağız. Bir düzlemin genel denklemini ve daha fazlasını nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz.

Normal denklem biçimi

Diyelim ki dikdörtgen XYZ koordinat sistemine sahip bir R3 uzayı var. Serbest bırakılacak α vektörünü tanımlayalım. başlangıç ​​noktası O. α vektörünün sonuna doğru ona dik olacak bir P düzlemi çiziyoruz.

P üzerinde keyfi bir noktayı Q = (x, y, z) olarak gösterelim. Q noktasının yarıçap vektörünü p harfiyle işaretleyelim. Bu durumda α vektörünün uzunluğu р=IαI ve ɲ=(cosα,cosβ,cosγ)'ya eşittir.

Bu birim vektörα vektörü gibi yana doğru yönlendirilmiş. α, β ve γ, sırasıyla Ʋ vektörü ile uzay eksenleri x, y, z'nin pozitif yönleri arasında oluşan açılardır. Herhangi bir QϵП noktasının Ʋ vektörüne izdüşümü sabit değer, p'ye eşittir: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yukarıdaki denklem p=0 olduğunda anlamlıdır. Tek şey, bu durumda P düzleminin koordinatların orijini olan O (α=0) noktasıyla kesişmesi ve O noktasından serbest bırakılan Ʋ birim vektörünün yönüne rağmen P'ye dik olmasıdır. Ʋ vektörünün işarete göre doğru olarak belirlendiği anlamına gelir. Önceki denklem P düzlemimizin vektör formunda ifade edilen denklemidir. Ancak koordinatlarda şöyle görünecek:

Burada P 0'dan büyük veya eşittir. Uzaydaki düzlemin denklemini normal formda bulduk.

Genel denklem

Koordinatlardaki denklemi sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıyla çarparsak, buna eşdeğer, o düzlemi tanımlayan bir denklem elde ederiz. Bunun gibi görünecek:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklı olan sayılardır. Bu denkleme genel düzlem denklemi denir.

Düzlem denklemleri. Özel durumlar

Denklem Genel görünüm mevcutsa değiştirilebilir ek koşullar. Bunlardan bazılarına bakalım.

A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu şu anlama gelir: Verilen uçak verilen eksene paralel Ox. Bu durumda denklemin formu değişecektir: Ву+Cz+D=0.

Benzer şekilde denklemin formu aşağıdaki koşullar altında değişecektir:

• Öncelikle B = 0 ise denklem Ax + Cz + D = 0 olarak değişecektir, bu da Oy eksenine paralelliği gösterecektir.
• İkinci olarak, eğer C=0 ise denklem Ax+By+D=0'a dönüştürülecektir, bu da verilen Oz eksenine paralelliği gösterecektir.
• Üçüncüsü, eğer D=0 ise denklem Ax+By+Cz=0 gibi görünecektir, bu da düzlemin O (orijin) ile kesiştiği anlamına gelir.
• Dördüncüsü, eğer A=B=0 ise denklem Cz+D=0 olarak değişecektir ve bu da Oxy'ye paralel olacaktır.
• Beşinci olarak, eğer B=C=0 ise denklem Ax+D=0 olur, bu da Oyz düzleminin paralel olduğu anlamına gelir.
• Altıncısı, eğer A=C=0 ise denklem Ву+D=0 formunu alacaktır, yani Oxz'ye paralellik bildirecektir.

Segmentlerdeki denklem türü

A, B, C, D sayılarının sıfırdan farklı olması durumunda denklemin (0) formu aşağıdaki gibi olabilir:

x/a + y/b + z/c = 1,

burada a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Sonuç olarak şunu elde ediyoruz: Bu düzlemin Ox eksenini (a,0,0), Oy - (0,b,0) ve Oz - (0,0,c) koordinatlarında keseceğini belirtmekte fayda var. ).

x/a + y/b + z/c = 1 denklemi dikkate alındığında, düzlemin belirli bir koordinat sistemine göre yerleşimini görsel olarak hayal etmek zor değildir.

Normal vektör koordinatları

P düzlemine normal vektör n'nin katsayı olan koordinatları vardır genel denklem belirli bir düzlemin, yani n (A, B, C).

Normal n'nin koordinatlarını belirlemek için belirli bir düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.

x/a + y/b + z/c = 1 formundaki segmentler halinde bir denklem kullanırken ve ayrıca genel bir denklem kullanırken, belirli bir düzlemin herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını yazabilirsiniz: (1 /a + 1/b + 1/ İle).

Normal vektörün çeşitli sorunların çözülmesine yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var. En yaygın olanları, düzlemlerin dikliğini veya paralelliğini kanıtlamayı içeren problemleri, düzlemler arasındaki açıları veya düzlemler ile düz çizgiler arasındaki açıları bulma problemlerini içerir.

Noktanın koordinatlarına ve normal vektöre göre düzlem denklemi türü

Belirli bir düzleme dik sıfırdan farklı bir n vektörüne, belirli bir düzlem için normal denir.

Koordinat uzayında (dikdörtgen) olduğunu varsayalım. koordinat sistemi) Verilen Oxyz:

• koordinatları olan Mₒ noktası (xₒ,yₒ,zₒ);
• sıfır vektörü n=A*i+B*j+C*k.

N normaline dik Mₒ noktasından geçecek bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Uzayda herhangi bir rastgele noktayı seçiyoruz ve onu M (x y, z) olarak gösteriyoruz. Herhangi bir M (x,y,z) noktasının yarıçap vektörü r=x*i+y*j+z*k olsun ve Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* noktasının yarıçap vektörü olsun i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektörü n vektörüne dik ise M noktası belirli bir düzleme ait olacaktır. Diklik koşulunu skaler çarpımı kullanarak yazalım:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ olduğundan düzlemin vektör denklemi şöyle görünecektir:

Bu denklemin başka bir formu da olabilir. Bunu yapmak için skaler çarpımın özellikleri kullanılır ve dönüşüm yapılır. Sol taraftaki denklemler = - . Bunu c olarak gösterirsek, şunu elde ederiz: aşağıdaki denklem: - c = 0 veya = c, düzleme ait belirli noktaların yarıçap vektörlerinin normal vektörüne izdüşümlerinin sabitliğini ifade eder.

Artık kaydın koordinat görünümünü alabilirsiniz vektör denklemi düzlemimiz = 0. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ve n = A*i+B*j+C*k olduğundan, biz sahibiz:

Normal n'ye dik bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemimiz olduğu ortaya çıktı:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

İki noktanın koordinatlarına ve düzleme eşdoğrusal bir vektöre göre düzlem denklemi türü

İki keyfi M′ (x′,y′,z′) ve M″ (x″,y″,z″) noktasının yanı sıra bir a (a′,a″,a‴) vektörünü tanımlayalım.

Şimdi mevcut M′ ve M″ noktalarından ve ayrıca (x, y, z) koordinatlarına paralel olan herhangi bir M noktasından geçecek belirli bir düzlem için bir denklem oluşturabiliriz. verilen vektör A.

Bu durumda, M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ve M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektörleri vektörle aynı düzlemde olmalıdır a=(a′,a″,a‴), bunun anlamı (M′M, M″M, a)=0'dır.

Yani uzaydaki düzlem denklemimiz şöyle görünecek:

Üç noktayı kesen bir düzlemin denklem türü

Diyelim ki aynı doğruya ait olmayan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) üç noktamız var. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazmak gerekir. Geometri teorisi bu tür bir düzlemin gerçekten var olduğunu iddia eder, ancak bu tek ve benzersizdir. Bu düzlem (x′,y′,z′) noktasını kestiği için denkleminin formu aşağıdaki gibi olacaktır:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklıdır. Ayrıca verilen düzlem iki noktayı daha kesiyor: (x″,y″,z″) ve (x‴,y‴,z‴). Bu bağlamda aşağıdaki şartların yerine getirilmesi gerekmektedir:

Artık beste yapabiliriz homojen sistem bilinmeyen u, v, w ile:

bizim durum x,y veya z çıkıntı yapar keyfi nokta, denklem (1)'i karşılar. Denklem (1) ve denklem sistemi (2) ve (3) verildiğinde, yukarıdaki şekilde gösterilen denklem sistemi önemsiz olmayan N (A,B,C) vektörü tarafından karşılanır. Bu sistemin determinantının sıfıra eşit olmasının nedeni budur.

Elde ettiğimiz denklem (1) düzlemin denklemidir. Tam olarak 3 noktadan geçer ve bunu kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için determinantımızı ilk satırdaki öğelere genişletmemiz gerekiyor. Determinantın mevcut özelliklerinden, düzlemimizin başlangıçta verilen üç noktayı (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) aynı anda kestiği sonucu çıkar. . Yani bize verilen görevi çözdük.

Düzlemler arasındaki dihedral açı

Bir dihedral açı uzaysal bir açıyı temsil eder geometrik şekil bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemden oluşur. Yani uzayın bu yarım düzlemlerle sınırlanan kısmı burasıdır.

Diyelim ki aşağıdaki denklemlere sahip iki düzlemimiz var:

N=(A,B,C) ve N¹=(A¹,B¹,C¹) vektörlerinin şuna göre dik olduğunu biliyoruz: verilen uçaklar. Bu bakımdan N ve N¹ vektörleri arasındaki φ açısı, bu düzlemler arasında bulunan açıya (dihedral) eşittir. Skaler çarpımşu forma sahiptir:

NN¹=|N||N¹|çünkü φ,

tam olarak çünkü

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π olduğunu dikkate almak yeterlidir.

Aslında kesişen iki düzlem iki açı (dihedral) oluşturur: φ 1 ve φ 2. Toplamları π'ye eşittir (φ 1 + φ 2 = π). Kosinüslerine gelince, mutlak değerleri eşittir, ancak işaret bakımından farklılık gösterirler, yani cos φ 1 = -cos φ 2. Eğer denklem (0)'da A, B ve C'yi sırasıyla -A, -B ve -C sayılarıyla değiştirirsek, elde ettiğimiz denklem aynı düzlemi, tek düzlemi, φ açısını belirleyecektir. çünkü denklemφ=NN 1 /|N||N 1 | π-φ ile değiştirilecektir.

Dik bir düzlemin denklemi

Aralarındaki açı 90 derece olan düzlemlere dik denir. Yukarıda sunulan materyali kullanarak diğerine dik bir düzlemin denklemini bulabiliriz. Diyelim ki iki düzlemimiz var: Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 ise dik olacaklarını söyleyebiliriz. Bu, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 anlamına gelir.

Paralel düzlem denklemi

Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel denir.

Koşul (denklemleri önceki paragraftakiyle aynıdır), kendilerine dik olan N ve N¹ vektörlerinin eşdoğrusal olmasıdır. Bu da onların yerine getirildiği anlamına gelir aşağıdaki koşullar orantılılık:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Orantılılık koşulları genişletilirse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu, bu düzlemlerin çakıştığını gösterir. Bu, Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 denklemlerinin bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.

Noktadan düzleme uzaklık

Diyelim ki (0) denklemiyle verilen bir P düzlemimiz var. Koordinatları (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ olan bir noktadan ona olan mesafeyi bulmak gerekir. Bunu yapmak için P düzleminin denklemini normal forma getirmeniz gerekir:

(ρ,v)=р (р≥0).

İÇİNDE bu durumdaρ (x,y,z), P üzerinde yer alan Q noktamızın yarıçap vektörüdür, p, P'den serbest bırakılan P dikeyinin uzunluğudur. sıfır noktası, v, a yönünde yer alan birim vektördür.

P'ye ait bir Q = (x, y, z) noktasının ρ-ρº yarıçap vektörü farkı ve ayrıca belirli bir Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) noktasının yarıçap vektörü böyle bir vektördür, mutlak değer v üzerindeki izdüşümü, Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)'den P'ye bulunması gereken d mesafesine eşittir:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ancak

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Yani ortaya çıkıyor

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Yani bulacağız mutlak değer ortaya çıkan ifade, yani istenen d.

Parametre dilini kullanarak şunu açıkça görüyoruz:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Eğer ayar noktası Q 0, koordinatların orijini gibi P düzleminin diğer tarafındadır, dolayısıyla ρ-ρ 0 vektörü ile v arasında bulunur:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Q 0 noktasının koordinatların kökeni ile birlikte P'nin aynı tarafında olması durumunda, oluşturulan açı dardır, yani:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Sonuç olarak, ilk durumda (ρ 0 ,v)>р, ikinci durumda (ρ 0 ,v) olduğu ortaya çıktı.<р.

Teğet düzlem ve denklemi

M° temas noktasında yüzeye teğet düzlem, yüzeyde bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm teğetleri içeren bir düzlemdir.

Bu tür yüzey denklemi F(x,y,z)=0 ile, M°(x°,y°,z°) teğet noktasındaki teğet düzlemin denklemi şöyle görünecektir:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

Yüzeyi açıkça z=f (x,y) biçiminde belirtirseniz, teğet düzlem aşağıdaki denklemle tanımlanacaktır:

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).

İki düzlemin kesişimi

Koordinat sisteminde (dikdörtgen) Oxyz bulunur, kesişen ve çakışmayan iki П′ ve П″ düzlemi verilmiştir. Dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan herhangi bir düzlem genel bir denklemle belirlendiğinden, P' ve P″'nin A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x denklemleriyle verildiğini varsayacağız. +B″y+ С″z+D″=0. Bu durumda, P' düzleminin normal n' (A',B',C')'sine ve P" düzleminin normal n″'sine (A",B",C") sahibiz. Düzlemlerimiz paralel olmadığından ve çakışmadığından bu vektörler eşdoğrusal değildir. Matematik dilini kullanarak bu koşulu şu şekilde yazabiliriz: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P' ve P″'nin kesiştiği noktada bulunan düz çizginin a harfiyle gösterilmesine izin verin, bu durumda a = P′ ∩ P″.

a, (ortak) P′ ve P″ düzlemlerinin tüm noktalarının kümesinden oluşan düz bir çizgidir. Bu, a doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatlarının aynı anda A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x+B″y+C″z+D″=0 denklemlerini karşılaması gerektiği anlamına gelir. . Bu, noktanın koordinatlarının aşağıdaki denklem sisteminin kısmi çözümü olacağı anlamına gelir:

Sonuç olarak, bu denklem sisteminin (genel) çözümünün, P' ve P″'nin kesişme noktası görevi görecek çizginin noktalarının her birinin koordinatlarını belirleyeceği ve düz çizgiyi belirleyeceği ortaya çıktı. a uzaydaki Oxyz (dikdörtgen) koordinat sisteminde.

Düzlem denklemi, düzlem denklem türleri.

Uzaydaki kesit düzleminde düzlemi geometri perspektifinden inceledik. Bu yazımızda düzleme cebir perspektifinden bakacağız yani düzlem denklemini kullanarak düzlemi tanımlamaya geçeceğiz.

Öncelikle şu soruya bakalım: “Düzlemin denklemi nedir?” Bundan sonra dikdörtgen koordinat sistemindeki ana düzlem denklem türlerini ele alacağız. Oksizüç boyutlu düzlem.

Sayfada gezinme.

• Düzlem denklemi - tanım.
• Düzlemin genel denklemi.
• Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.
• Normal düzlem denklemi.

Düzlem denklemi - tanım.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminin üç boyutlu uzayda sabitlenmesine izin verin Oksiz ve bir uçak verilir.

Diğer geometrik şekiller gibi bir düzlem de noktalardan oluşur. Dikdörtgen koordinat sisteminde Oksiz Her nokta, sıralı bir üçlü sayıya (noktanın koordinatlarına) karşılık gelir. Düzlem denklemi adı verilen bir denklem kullanılarak düzlemdeki her noktanın koordinatları arasında bir ilişki kurulabilir.

Düzlem denklemi dikdörtgen koordinat sisteminde Oksizüç boyutlu uzayda üç değişkenli bir denklemdir X, sen Ve z Belirli bir düzlemdeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanan ve verilen düzlemin dışında bulunan noktaların koordinatları tarafından karşılanmayan.

Böylece düzlemin denklemi, düzlemin herhangi bir noktasının koordinatları yerine konulduğunda bir özdeşlik haline gelir. Bu düzlemde olmayan bir noktanın koordinatlarını bir düzlemin denklemine koyarsanız hatalı bir eşitliğe dönüşür.

Düzlemin denkleminin hangi şekle sahip olduğunu bulmak için kalır. Bu sorunun cevabı bu makalenin bir sonraki paragrafında yer almaktadır. İleriye baktığımızda, düzlem denkleminin farklı şekillerde yazılabileceğini görüyoruz. Farklı türde düzlem denklemlerinin varlığı, çözülen problemlerin özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Sayfanın başı

Düzlemin genel denklemi.

Bize düzlem denkleminin formunu veren teoremin formülasyonunu sunalım.

Teorem.

Formun herhangi bir denklemi, burada A, B, C Ve D– bazı gerçek sayılar ve A, İÇİNDE Ve C aynı anda sıfıra eşit değildir, dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlemi tanımlar Oksizüç boyutlu uzayda ve dikdörtgen koordinat sistemindeki her düzlemde Oksizüç boyutlu uzayda formun bir denklemi ile verilebilir.

Denklem denir genel düzlem denklemi boşlukta. Numaraları eklemezseniz A, İÇİNDE, İLE Ve D belirli değerler varsa, düzlemin genel denklemi denir genel formda düzlem denklemi.

Eşitlikler eşdeğer olduğundan, sıfır dışında bir gerçek sayının olduğu formdaki bir denklemin aynı düzlemi tanımlayacağına dikkat edilmelidir. Örneğin düzlemin genel denklemleri ve üç boyutlu uzayda aynı noktaların koordinatları tarafından karşılandığından aynı düzlemi belirtin.

Belirtilen teoremin anlamını biraz açıklayalım. Dikdörtgen koordinat sisteminde Oksiz her düzlem kendi genel denklemine karşılık gelir ve her denklem, üç boyutlu uzayın belirli bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzleme karşılık gelir. Başka bir deyişle düzlem ve onun genel denklemi birbirinden ayrılamaz.

Eğer tüm katsayılar A, İÇİNDE, İLE Ve D genel denklemde düzlemler sıfırdan farklıysa buna denir tamamlamak. Aksi halde düzlemin genel denklemine denir. tamamlanmamış.

Eksik denklemler, koordinat eksenlerine paralel, koordinat eksenlerinden geçen, koordinat düzlemlerine paralel, koordinat düzlemlerine dik, koordinat düzlemleriyle çakışan düzlemlerin yanı sıra koordinatların orijininden geçen düzlemleri belirtir.

Örneğin uçak x eksenine paralel ve koordinat düzlemine dik Oyz, denklem z = 0 koordinat düzlemini tanımlar Oksi ve genel düzlem denklemi şu şekildedir: orijinden geçen düzleme karşılık gelir.

Ayrıca katsayıların A, B Ve C genel denklemde düzlemler, düzlemin normal vektörünün koordinatlarını temsil eder.

Aşağıdaki paragraflarda tartışılacak olan düzlemin tüm denklemleri, düzlemin genel denkleminden elde edilebileceği gibi, düzlemin genel denklemine de indirgenebilir. Dolayısıyla bir düzlemin denkleminden bahsettiklerinde, aksi belirtilmedikçe, bir düzlemin genel denklemini kastediyorlar.

Sayfanın başı