Beşin kökü nasıl bulunur? Çok basamaklı bir sayının kökü nasıl çıkarılır

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında başarılı olmak ister misiniz? O zaman hızlı, doğru ve hesap makinesine ihtiyaç duymadan sayabilmeniz gerekir. Nihayet ana sebep Matematikte Birleşik Devlet Sınavında puan kaybı - hesaplama hataları.

Kurallara göre Birleşik Devlet Sınavını yürütmek Matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Fiyat çok yüksek olabilir - sınavdan çıkarılma.

Aslında matematikte Birleşik Devlet Sınavı için bir hesap makinesine ihtiyacınız yok. Bütün sorunlar onsuz çözülür. Önemli olan dikkat, doğruluk ve size anlatacağımız bazı gizli tekniklerdir.

Ana kuralla başlayalım. Bir hesaplama basitleştirilebiliyorsa basitleştirin.

Örneğin burada “şeytani denklem” var:

Mezunların yüzde yetmişi bunu doğrudan çözüyor. Formülü kullanarak diskriminantı hesaplıyorlar ve ardından hesap makinesi olmadan kökün çıkarılamayacağını söylüyorlar. Ancak denklemin sol ve sağ taraflarını ile bölebilirsiniz. İşe yarayacak

Hangi yol daha kolay? :-)

Pek çok okul çocuğu sütunlu çarpmayı sevmez. Dördüncü sınıfta kimse sıkıcı “örnekler” çözmekten hoşlanmazdı. Ancak çoğu durumda sayıları “sütun” olmadan art arda çarpmak mümkündür. Çok daha hızlı.

Lütfen daha küçük rakamlarla değil, daha büyük rakamlarla başladığımızı unutmayın. Uygun.

Şimdi - bölünme. “Bir sütunda” ifadesini ile bölmek kolay değildir. Ancak bölme işaretinin ve kesirli çubuğun aynı şey olduğunu unutmayın. Kesir olarak yazıp kesri azaltalım:

Başka bir örnek.

Hızlı ve herhangi bir sütun olmadan kare nasıl oluşturulur? iki basamaklı sayı? Kısaltılmış çarpma formüllerini uyguluyoruz:

Bazen başka bir formül kullanmak daha uygun olur:

, ile biten sayıların karesi anında alınır.

Diyelim ki bir sayının karesini bulmamız gerekiyor ( - mutlaka bir sayı değil, herhangi doğal sayı). Çarpıp sonuca ekliyoruz. Tüm!

Örneğin: (ve atfedilen).

(ve atfedilen).

(ve atfedilen).

Bu yöntem yalnızca kare almak için değil aynı zamanda ile biten sayıların karekökünü almak için de kullanışlıdır.

Onu nasıl çıkaracaksın? karekök hesap makinesi olmadan mı? Size iki yol göstereceğiz.

İlk yöntem radikal ifadeyi çarpanlara ayırmaktır.

Örneğin, bulalım
Bir sayı ile bölünebilir (çünkü rakamların toplamı ile bölünebilir). Çarpanlara ayıralım:

Hadi bulalım. Bu sayı ile bölünebilir. Ayrıca bölünür. Bunu çarpanlarına ayıralım.

Başka bir örnek.

İkinci bir yol daha var. Kökünü çıkarmanız gereken sayının çarpanlara ayrılamaması uygundur.

Örneğin bulmanız gerekiyor. Kökün altındaki sayı tektir, bölünemez, bölünemez, bölünemez... Neye bölünebildiğini aramaya devam edebilirsiniz veya daha kolay yapabilirsiniz - bu kökü seçerek bulun .

Açıkça, ve sayıları arasında olan iki basamaklı bir sayının karesi alınmıştır, çünkü , ve sayı bunların arasındadır. Cevabın ilk rakamını zaten biliyoruz, öyle.

Sayının son rakamı . O zamandan beri , , son rakam cevap ya ya da. Kontrol edelim:
. İşe yaradı!

Hadi bulalım.

Bu, cevaptaki ilk rakamın beş olduğu anlamına gelir.

Sayının son rakamı dokuzdur. , . Bu, yanıttaki son rakamın ya ya da olduğu anlamına gelir.

Kontrol edelim:

Karekökünü çıkarmanız gereken sayı veya ile bitiyorsa, bunun karekökü irrasyonel bir sayı olacaktır. Çünkü hiçbir tamsayı karesi veya ile bitmez. Bunu görevler bölümünde unutmayın Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte cevap tam sayı veya sonlu sayı olarak yazılmalıdır ondalık yani rasyonel bir sayı olmalıdır.

İkinci dereceden denklemlerle Birleşik Devlet Sınavı'nın problemlerinde ve varyantlarında ve ayrıca kısımlarda karşılaşıyoruz. Ayrımcıyı saymaları ve ardından kökü çıkarmaları gerekiyor. Ve kökleri aramak hiç de gerekli değil beş haneli sayılar. Çoğu durumda, diskriminant çarpanlara ayrılabilir.

Örneğin, Denklem.

Kök altındaki ifadenin çarpanlarına ayrılabileceği diğer bir durum ise problemden alınır.

Hipotenüs dik üçgen ayaklardan biri eşittir, ikinci ayağı bulun.

Pisagor teoremine göre eşittir. Uzun süre bir sütunda sayabilirsiniz ancak kısaltılmış çarpma formülünü kullanmak daha kolaydır.

Ve şimdi size en ilginç şeyi anlatacağız: mezunlar neden Birleşik Devlet Sınavında değerli puanlar kaybediyorlar? Sonuçta hesaplamalardaki hatalar öylece gerçekleşmez.

1 . Doğru yol Puan kaybetmek - bir şeyin düzeltildiği, üzerinin çizildiği, bir sayının diğerinin üzerine yazıldığı özensiz hesaplamalar. Taslaklarınıza bakın. Belki de aynı görünüyorlar? :-)

Okunaklı bir şekilde yazın! Kağıttan tasarruf etmeyin. Bir sorun varsa, bir sayıyı diğeriyle düzeltmeyin, tekrar yazmak daha iyidir.

2. Bazı nedenlerden dolayı, birçok okul çocuğu bir sütunda sayarken bunu 1) çok çok hızlı bir şekilde, 2) çok küçük sayılarla, defterlerinin köşesinde ve 3) bir kalemle yapmaya çalışır. Sonuç şudur:

Bir şeyi ortaya çıkarmak imkansız. Peki Birleşik Devlet Sınavı puanının beklenenden düşük olması sürpriz mi?

3. Birçok okul çocuğu ifadelerde parantezleri göz ardı etmeye alışkındır. Bazen bu olur:

Eşittir işaretinin herhangi bir yere değil, yalnızca aralara yerleştirildiğini unutmayın. eşit miktarlar. Taslak biçiminde bile yetkin bir şekilde yazın.

4 . Çok büyük sayı kesirlerle ilgili hesaplama hataları. Bir kesri bir kesre bölüyorsanız, şunu kullanın:
Buraya bir “hamburger” çizilir, yani çok katlı kesir. Bu yöntemi kullanarak doğru cevaba ulaşmak son derece zordur.

Özetleyelim.

İlk bölümün görevlerini kontrol etme profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte - otomatik. Burada “neredeyse doğru” bir cevap yok. Ya doğrudur ya da değildir. Bir hesaplama hatası - ve merhaba, görev sayılmaz. Bu nedenle hızlı, doğru ve hesap makinesi olmadan saymayı öğrenmek sizin yararınıza olacaktır.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinin ikinci bölümünün görevleri bir uzman tarafından kontrol edilir. Ona iyi bak! Hem el yazınızı hem de kararın mantığını anlasın.

Daire, bir sütunda karekökleri nasıl çıkarabileceğinizi gösterdi. Kökü keyfi bir hassasiyetle hesaplayabilir, içinde istediğiniz sayıda rakam bulabilirsiniz. ondalık gösterim mantıksız olduğu ortaya çıksa bile. Algoritma hatırlandı ancak sorular kaldı. Yöntemin nereden geldiği ve neden doğru sonuç verdiği belli değildi. Kitaplarda yoktu ya da belki de yanlış kitaplara bakıyordum. Sonunda, bugün bildiğim ve yapabildiğim çoğu şey gibi, bunu da kendim buldum. Bilgilerimi burada paylaşıyorum. Bu arada, algoritmanın mantığının nerede verildiğini hala bilmiyorum)))

Bu yüzden önce size “sistemin nasıl çalıştığını” bir örnekle anlatacağım, sonra aslında neden çalıştığını açıklayacağım.

Bir sayı alalım (sayı birdenbire alınmış, aklıma geldi).

1. Sayılarını çiftlere ayırıyoruz: solundakiler ondalık nokta, ikisini sağdan sola, sağdakileri ise soldan sağa olmak üzere gruplandırıyoruz. Anlıyoruz.

2. Soldaki ilk sayı grubundan karekökü çıkarıyoruz - bizim durumumuzda bu (tam kökün çıkarılamayacağı açıktır, karesi, sayının oluşturduğu sayıya mümkün olduğunca yakın olan bir sayı alıyoruz) ilk grup sayılar, ancak onu aşmaz). Bizim durumumuzda bu bir sayı olacaktır. Cevabı yazıyoruz - bu, kökün en önemli basamağıdır.

3. Zaten cevapta bulunan sayının karesini alırız - bu - ve onu soldaki ilk sayı grubundan - sayıdan çıkarırız. Bizim durumumuzda kalır.

4. Aşağıdaki iki sayıdan oluşan grubu sağa atarız: . Zaten cevapta bulunan sayıyı ile çarparız ve elde ederiz.

5. Şimdi dikkatlice izleyin. Sağdaki sayıya bir rakam verip, sayıyı aynı atanan rakamla çarpmamız gerekiyor. Sonuç mümkün olduğunca bu sayıya yakın olmalı, ancak yine de bu sayıyı aşmamalıdır. Bizim durumumuzda bu sayı olacak, sağ taraftaki cevaba yazıyoruz. Bu, karekökümüzün ondalık gösterimindeki bir sonraki rakamdır.

6. Çarpımı çıkardığımızdan şunu elde ederiz.

7. Daha sonra, tanıdık işlemleri tekrarlıyoruz: aşağıdaki rakam grubunu sağa atarız, elde edilen sayıyı ile çarparız > sağa bir rakam atarız, öyle ki onunla çarpıldığında 'den küçük ama ona en yakın sayıyı elde ederiz. ona göre - bu, ondalık kök gösterimindeki bir sonraki rakamdır.

Hesaplamalar şu şekilde yazılacaktır:

Ve şimdi vaat edilen açıklama. Algoritma formüle dayanmaktadır

Yorumlar: 50

1. 2 Anton:

   Fazla kaotik ve kafa karıştırıcı. Her şeyi nokta nokta düzenleyin ve numaralandırın. Artı: Her eylemde nerede değişiklik yaptığımızı açıklayın gerekli değerler. Daha önce hiç kök kökü hesaplamamıştım; bunu bulmakta zorlandım.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 yaşında şu anda sağda yazılı, bunlar cevapta kökün zaten elde edilmiş ilk iki rakamıdır (solda). Algoritmaya göre 2 ile çarpın. 4. maddede açıklanan adımları tekrarlıyoruz.

4. 7zz:

   “6. 167'den 43 * 3 = 123 (129 nada) çarpımını çıkarırsak 38 elde ederiz.”
   Ondalık noktadan sonra nasıl 08 çıktığını anlamıyorum...

5. 9 Fedotov İskender:

   Ve hatta hesap makinesi öncesi çağda bile, okulda bize sadece kare değil aynı zamanda da öğretildi. küp kökü bir sütunda özetleyin, ancak bu daha sıkıcı ve özenli bir iştir. Bradis tablolarını kullanmak daha kolay olurdu veya sürgülü hesap cetveli lisede zaten okuduk.

6. 10 :

   Alexander, haklısın, onu bir sütuna ve köklere çıkartabilirsin daha yüksek dereceler. Küp kökünün nasıl bulunacağını yazacağım.

7. 12 Sergey Valentinoviç:

   Sevgili Elizaveta Aleksandrovna! 70'lerin sonlarında, kuadranın otomatik olarak (yani seçimle değil) hesaplanması için bir şema geliştirdim. Felix ekleme makinesinde kök. Eğer ilgilenirseniz size bir açıklama gönderebilirim.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Sütunun karekökünün çıkarılması)))
   Bilgisayar bilimlerinde incelenen ancak matematikte de yararlı olan 2. sayı sistemini kullanırsanız algoritma basitleşir. BİR. Kolmogorov popüler dersler Bu algoritmayı okul çocukları için verdim. Makalesi “Chebyshev Koleksiyonu”nda bulunabilir (Matematik Dergisi, internette bir bağlantı arayın)
   Bu arada şunu söyle:
   G. Leibniz bir zamanlar basitliği ve yeni başlayanlar için erişilebilirliği nedeniyle 10'uncu sayı sisteminden ikili sayı sistemine geçme fikrini düşünüyordu ( genç okul çocukları). Ancak yerleşik gelenekleri çiğnemek, alnınızla bir kale kapısını kırmak gibidir: bu mümkündür, ancak faydası yoktur. Yani en çok alıntı yapılanlara göre ortaya çıkıyor eski zamanlar sakallı filozofa göre: tüm ölü nesillerin gelenekleri, yaşayanların bilincini bastırıyor.

   Bir dahaki sefere kadar.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, evet ilgileniyorum...((

   Bunun, ardışık yaklaşımlar yöntemini kullanarak kare atı çıkarmaya yönelik Babil yönteminin "Felix"inin bir varyasyonu olduğuna bahse girerim. Bu algoritma Newton'un yöntemi (teğet yöntemi) kapsamındaydı.

   Bakalım tahminlerimde yanılmış mıyım?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Evet, ikili algoritmanın daha basit olması gerekir, bu oldukça açık.

    Newton'un yöntemi hakkında. Belki bu doğrudur ama yine de ilginç

11. 20 Kiril:

    Çok teşekkürler. Ama hala bir algoritma yok, nereden geldiğini kimse bilmiyor ama sonuç doğru. ÇOK TEŞEKKÜRLER! Uzun zamandır bunu arıyordum)

12. 21 İskender:

    Soldan sağa ikinci grubun çok küçük olduğu bir sayının kökünü nasıl çıkaracaksınız? örneğin herkesin favori numarası 4.398.046.511.104'tür. İlk çıkarma işleminden sonra her şeye algoritmaya göre devam etmek mümkün değildir. Lütfen açıklayın.

13. 22 Alexey:

    Evet bu yöntemi biliyorum. Bunu eski bir baskının “Cebir” kitabında okuduğumu hatırlıyorum. Daha sonra, benzetme yoluyla, bir sütundaki küp kökünün nasıl çıkarılacağını kendisi çıkardı. Ancak orada durum zaten daha karmaşık: her rakam bir rakamla değil (kare için olduğu gibi), iki çıkarmayla belirlenir ve orada bile her seferinde uzun sayıları çarpmanız gerekir.

14. 23 Artem:

    56789.321'in karekökünün çıkarılması örneğinde yazım hataları var. 32 sayı grubunda 145 ve 243 sayıları iki kez atanır, 2388025 sayısında ikinci 8 yerine 3 yazılmalıdır. Daha sonra son çıkarma işlemi şu şekilde yazılmalıdır: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Ek olarak, kalanı cevabın iki katına böldüğümüzde (virgül göz ardı edilerek), ek miktarı elde ederiz. önemli rakamlar(47975/(2*238305) = 0,100658819...), cevaba eklenmesi gereken (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Algoritmanın Isaac Newton'un "Genel Aritmetik veya aritmetik sentez ve analiz üzerine bir kitap" kitabından geldiği anlaşılıyor. İşte ondan bir alıntı:

    KÖKLERİN ÇIKARILMASI HAKKINDA

    Bir sayının karekökünü çıkarmak için önce sayının rakamlarının üzerine, birlerden başlayarak bir nokta koymalısınız. Daha sonra karesi ilk noktadan önceki sayılara veya sayılara eşit veya dezavantajlı olarak en yakın olan sayıyı bölüm veya radikale yazmalısınız. Bu kareyi çıkardıktan sonra, kökün kalan rakamları, kalanın kökün önceden çıkarılmış kısmının değerinin iki katına bölünmesi ve her seferinde karenin geri kalanından son bulunan rakam ve on katı çarpımının çıkarılmasıyla sırayla bulunacaktır. adı geçen bölen

16. 25 Sergey:

    Lütfen “Genel Aritmetik veya aritmetik sentez ve analizle ilgili bir kitap” kitabının başlığını da düzeltin.

17. 26 İskender:

    için teşekkürler ilginç malzeme. Ancak bu yöntem bana, örneğin bir okul çocuğu için ihtiyaç duyulandan biraz daha karmaşık görünüyor. Ayrıştırma temelli daha basit bir yöntem kullanıyorum ikinci dereceden fonksiyon ilk iki türevi kullanarak. Formülü:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, burada
    A1, karesi x'e en yakın olan tam sayıdır;
    A2 bir kesirdir, pay x-A1, payda 2*A1'dir.
    Bulunan çoğu sayı için okul kursu, bu, sonucun yüzde birine kadar doğru olması için yeterlidir.
    Daha doğru bir sonuca ihtiyacınız varsa,
    A3 bir kesirdir, pay A2'nin karesidir, payda 2*A1+1'dir.
    Tabii ki, onu kullanmak için tam sayıların karelerinden oluşan bir tabloya ihtiyacınız var, ancak bu okulda bir sorun değil. Bu formülü hatırlamak oldukça basittir.
    Ancak A3'ü deneyler sonucunda deneysel olarak elde etmem kafamı karıştırdı. elektronik tablo ve bu üyenin neden böyle göründüğünü tam olarak anlamıyorum. Belki bana biraz tavsiye verebilirsin?

18. 27 İskender:

    Evet, bunları ben de düşündüm ama şeytan ayrıntıda gizlidir. Sen yaz:
    “çünkü a2 ve b oldukça az farklılık gösteriyor.” Soru tam olarak ne kadar az olduğudur.
    Bu formül ikinci ondaki sayılar üzerinde iyi çalışır ve ilk ondaki sayılar üzerinde çok daha kötü (yüzde birlere kadar değil, yalnızca onda birlere kadar) işe yarar. Türevler kullanılmadan bunun neden olduğunu anlamak zordur.

19. 28 İskender:

    Önerdiğim formülün avantajı olarak gördüklerimi açıklığa kavuşturacağım. Sayıların tamamen doğal olmayan rakam çiftlerine bölünmesini gerektirmez; bu, deneyimlerin gösterdiği gibi, çoğu zaman hatalarla gerçekleştirilir. Anlamı açıktır, ancak analize aşina bir kişi için önemsizdir. Okulda en sık karşılaşılan sayılar olan 100'den 1000'e kadar sayılar üzerinde iyi çalışır.

20. 29 İskender:

    Bu arada, biraz araştırma yaptım ve formülümde A3'ün tam ifadesini buldum:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Günümüzde kullanımı yaygın bilgisayar teknolojisi Bir sayıdan kare at çıkarma sorunu pratik açıdan buna değmez. Ancak matematik severler için bu sorunu çözmek için çeşitli seçenekler şüphesiz ilgi çekici olacaktır. İÇİNDE okul müfredatı yol bu hesaplamanın katılım olmadan ek fonlarçarpma ve uzun bölme işlemleriyle aynı düzeyde gerçekleşmelidir. Hesaplama algoritması sadece ezberlenmemeli, aynı zamanda anlaşılabilir olmalıdır. Klasik yöntem Bu materyalde özün açıklanmasıyla birlikte tartışılmak üzere sağlanan, yukarıdaki kriterlere tamamen uygundur.
    Alexander tarafından önerilen yöntemin önemli bir dezavantajı, tam sayıların karelerinden oluşan bir tablonun kullanılmasıdır. Yazar, okul kurslarında karşılaşılan sayıların çoğunluğu konusunda sessiz kalıyor. Formüle gelince, genel olarak hesaplamanın nispeten yüksek doğruluğu nedeniyle hoşuma gidiyor.

22. 31 İskender:

    30 vasil stryzhak için
    Hiçbir şeyi gizli tutmadım. Kareler tablosunun 1000'e kadar olması gerekiyordu. Benim okuldayken bunu ezberlediler ve tüm matematik ders kitaplarında vardı. Bu aralığı açıkça adlandırdım.
    Bilgisayar teknolojisine gelince, hesap makinesi kullanma konusu özel olarak tartışılmadıkça, esas olarak matematik derslerinde kullanılmaz. Hesap makineleri artık Birleşik Devlet Sınavında kullanılması yasak olan cihazlara yerleştirilmiştir.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, açıklama için teşekkürler! Önerilen yöntem için teorik olarak tüm iki basamaklı sayıların kareler tablosunu hatırlamanın veya kullanmanın gerekli olduğunu düşündüm. radikal sayılar 100 ila 10000 aralığına dahil edilmemişse, bunları artırma veya azaltma tekniğini kullanabilirsiniz. gerekli miktar virgül transfer emirleri.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 İskender:

    SOVYET MAKİNASI “ISKRA 555″ ÜZERİNDEKİ “IAMB” DİLİNDEKİ İLK PROGRAMIM, SÜTUN ÇIKARMA ALGORİTMASINI KULLANARAK BİR SAYININ KARE KÖKÜNÜ ÇIKARMAK İÇİN YAZILDI! ve şimdi bunu manuel olarak nasıl çıkaracağımı unuttum!

Kökün çıkarılması büyük sayı. Sevgili dostlar!Bu yazıda size büyük bir sayının kökünün hesap makinesi olmadan nasıl çıkarılacağını göstereceğiz. Bu yalnızca belirli türleri çözmek için gerekli değildir Birleşik Devlet Sınavı sorunları(bazıları var - hareket için), ama aynı zamanda genel için matematiksel gelişim Bu analitik teknik Bilmeniz arzu edilir.

Görünüşe göre her şey basit: onu faktörlere ayırın ve çıkarın. Sorun değil. Örneğin, 291600 sayısı genişletildiğinde şu sonucu verecektir:

Hesaplıyoruz:

Bir tane var AMA! 2, 3, 4 vb. bölenlerin kolayca belirlenmesi durumunda yöntem iyidir. Kökünü çıkardığımız sayı bir çarpım ise ne yapmalıyız? asal sayılar? Örneğin 152881, 17, 17, 23, 23 sayılarının çarpımıdır. Bu bölenleri hemen bulmaya çalışın.

Düşündüğümüz yöntemin özü- Bu saf analiz. Geliştirilmiş beceriyle kök hızla bulunabilir. Beceri uygulanmadıysa ancak yaklaşım basitçe anlaşıldıysa, o zaman biraz daha yavaş ama yine de kararlıdır.

190969'un kökünü alalım.

Öncelikle sonucumuzun hangi sayılar (yüzün katları) arasında olduğunu belirleyelim.

Açıkçası, kökün sonucu verilen numara 400 ila 500 aralığında yer alır,Çünkü

400 2 =160000 ve 500 2 =250000

Gerçekten mi:

ortada, 160.000'e mi yoksa 250.000'e mi yakın?

190969 sayısı yaklaşık olarak ortada ama yine de 160000'e yakın. Kökümüzün sonucunun 450'den küçük olacağı sonucuna varabiliriz. Kontrol edelim:

Aslında 190.969'dan beri 450'den az.< 202 500.

Şimdi 440 sayısını kontrol edelim:

Bu, sonucumuzun 440'tan az olduğu anlamına gelir, çünkü 190 969 < 193 600.

430 sayısını kontrol ediyorum:

Sonuç olarak şunu bulduk verilen kök 430 ila 440 aralığında yer almaktadır.

Sonunda 1 veya 9 olan sayıların çarpımı, sonunda 1 olan sayıyı verir. Örneğin, 21'e 21, 441'e eşittir.

Sonunda 2 veya 8 olan sayıların çarpımı, sonunda 4 olan sayıyı verir. Örneğin 18'e 18, 324'e eşittir.

Sonunda 5 olan sayıların çarpımı, sonunda 5 olan bir sayıyı verir. Örneğin 25'e 25, 625'e eşittir.

Sonunda 4 veya 6 olan sayıların çarpımı, sonunda 6 olan sayıyı verir. Örneğin 26'ya 26, 676'ya eşittir.

Sonunda 3 veya 7 olan sayıların çarpımı sonunda 9 olan sayıyı verir. Örneğin 17'ye 17, 289'a eşittir.

190969 sayısı 9 ile bittiği için 433 ya da 437 sayısının çarpımıdır.

*Sadece kareleri alındığında sonda 9 verebilirler.

Kontrol ediyoruz:

Bu, kökün sonucunun 437 olacağı anlamına gelir.

Yani doğru cevabı “bulmuş” gibiyiz.

Gördüğünüz gibi gereken maksimum değer bir sütunda 5 eylem gerçekleştirmektir. Belki hemen hedefi vuracaksınız ya da sadece üç adım atacaksınız. Her şey tam olarak nasıl yaptığınıza bağlı ilk tahmin sayılar.

148996'nın kökünü kendiniz çıkarın

Problemde böyle bir diskriminant elde ediliyor:

Motorlu gemi, nehir boyunca 336 km yol kat ederek varış noktasına ulaşıyor ve durduktan sonra hareket noktasına geri dönüyor. Mevcut hız 5 km/saat ise, kalış süresi 10 saat sürüyorsa ve gemi kalkıştan 48 saat sonra hareket noktasına geri dönüyorsa, geminin durgun sudaki hızını bulunuz. Cevabınızı km/saat cinsinden verin.

Çözümü görüntüle

Kökün sonucu 300 ile 400 sayıları arasındadır:

300 2 =90000 400 2 =160000

Aslında 90000<148996<160000.

Daha fazla akıl yürütmenin özü, 148996 sayısının bu sayılara göre nasıl yerleştirildiğini (mesafeli) belirlemekten ibarettir.

Farkları hesaplayalım 148996 - 90000=58996 ve 160000 - 148996=11004.

148996'nın 160000'e yakın (çok daha yakın) olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle kök sonucu kesinlikle 350'den, hatta 360'tan büyük olacaktır.

Sonucumuzun 370'den büyük olduğu sonucuna varabiliriz. Ayrıca şu da açık: 148996 sayısı 6 sayısıyla bittiği için bu, sonu 4 veya 6 ile biten bir sayının karesini almamız gerektiği anlamına gelir. *Yalnızca bu sayıların karesi alındığında 6 sonu verilir. .

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Matematikte bir kökün nasıl çıkarılacağı sorusu nispeten basit kabul edilir. Doğal serideki sayıların karesini alırsak: 1, 2, 3, 4, 5...n, o zaman şu kareler serisini elde ederiz: 1, 4, 9, 16...n 2. Kareler dizisi sonsuzdur ve eğer ona yakından bakarsanız içinde çok fazla tam sayı olmadığını göreceksiniz. Bunun neden böyle olduğu biraz sonra açıklanacak.

Bir sayının kökü: hesaplama kuralları ve örnekler

Yani 2 sayısının karesini aldık yani kendisiyle çarptık ve 4 elde ettik. 4 sayısının kökü nasıl çıkarılır? Hemen köklerin kare, kübik ve herhangi bir dereceden sonsuza kadar olabileceğini söyleyelim.

Kökün derecesi her zaman bir doğal sayıdır, yani aşağıdaki denklemi çözmek imkansızdır: n'nin 3,6 kuvvetine sahip bir kök.

Karekök

4'ün karekökü nasıl çıkarılır sorusuna dönelim. 2 sayısının karesini aldığımıza göre karekökünü de çıkaracağız. 4'ün kökünü doğru bir şekilde çıkarmak için, karesi alındığında 4 sayısını verecek doğru sayıyı seçmeniz yeterlidir. Ve bu elbette 2'dir. Örneğe bakın:

• 2 2 =4
• 4'ün kökü = 2

Bu örnek oldukça basittir. 64'ün karekökünü çıkarmaya çalışalım. Hangi sayı kendisiyle çarpıldığında 64 verir? Açıkçası 8'di.

• 8 2 =64
• 64=8'in kökü

Küp kökü

Yukarıda da söylediğimiz gibi kökler sadece kare değildir; bir örnek kullanarak küp kökün veya üçüncü dereceden kökün nasıl çıkarılacağını daha net açıklamaya çalışacağız. Küp kök çıkarma ilkesi karekök çıkarma ilkesiyle aynıdır, tek fark istenen sayının başlangıçta kendisiyle bir değil iki kez çarpılmasıdır. Yani aşağıdaki örneği aldığımızı varsayalım:

• 3x3x3=27
• Doğal olarak 27'nin küp kökü üçtür:
• 27'nin kök 3'ü = 3

Diyelim ki 64'ün küpkökünü bulmanız gerekiyor. Bu denklemi çözmek için üçüncü kuvvetine yükseltildiğinde 64 verecek bir sayı bulmanız yeterli.

• 4 3 =64
• 64'ün kök 3'ü = 4

Hesap makinesinde bir sayının kökünü çıkarma

Elbette en iyisi kare, küp ve diğer kökleri çıkarmayı pratik yaparak, birçok örnek çözerek ve küçük sayıların kare ve küp tablolarını ezberleyerek öğrenmektir. Gelecekte bu, denklemleri çözmek için gereken süreyi büyük ölçüde kolaylaştıracak ve azaltacaktır. Bununla birlikte, bazen o kadar büyük bir sayının kökünü çıkarmanız gerekebileceğini ve mümkünse doğru kareli sayıyı seçmenin çok fazla çalışmaya mal olacağını unutmamak gerekir. Karekökün çıkarılmasında sıradan bir hesap makinesi kurtarmaya gelecektir. Hesap makinesinde kök nasıl çıkarılır? Sonucu bulmak istediğiniz sayıyı girmeniz çok basit. Şimdi hesap makinesi düğmelerine yakından bakın. En basitinin bile kök simgeli bir anahtarı vardır. Üzerine tıkladığınızda, bitmiş sonucu hemen alacaksınız.

Her sayının tam kökü olamaz; aşağıdaki örneği düşünün:

1859'un kökü = 43.116122…

Bu örneği aynı anda bir hesap makinesinde çözmeyi deneyebilirsiniz. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan sayı bir tam sayı değildir; üstelik virgülden sonraki rakamlar da sonlu değildir. Özel mühendislik hesap makineleri daha doğru bir sonuç verebilir, ancak tam sonuç sıradan hesap makinelerinin ekranına uymuyor. Ve daha önce başladığınız kareler dizisine devam ederseniz, 1859 sayısını tam olarak bulamazsınız çünkü onu elde etmek için karesi alınan sayı bir tam sayı değildir.

Basit bir hesap makinesinde üçüncü kökü çıkarmanız gerekiyorsa, kök işaretli düğmeye çift tıklamanız gerekir. Örneğin, yukarıda kullanılan 1859 sayısını alın ve bunun küp kökünü alın:

1859'un kök 3'ü = 6,5662867…

Yani 6,5662867... sayısının üçüncü üssüne yükseltilirse yaklaşık 1859 elde ederiz. Dolayısıyla sayılardan kök çıkarmak zor değil, sadece yukarıdaki algoritmaları hatırlamanız gerekiyor.

Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. karekök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını yeniden çözmeye başlar. Hiçbir durumda bunu yapmamalısınız! Bunun iki nedeni var:

1. Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metin olanlarda;
2. Bu köklerin neredeyse sözlü olarak hesaplandığı bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz karşı güçlü bir silaha sahip olacaksınız. karekökler.

Yani algoritma:

1. Gerekli olan üst ve alt kök sayısını 10'un katları olan sayılarla sınırlayın. Böylece arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
2. Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
3. Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmayı uygulamaya koymadan önce her adıma tek tek bakalım.

Kök sınırlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katları olması oldukça arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne anlatıyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Resmin başlığı]

Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Arama alanını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çarpmadan elde ettik. Devam etme zamanı geldi.

İster inanın ister inanmayın, artık aday sayısını ikiye indireceğiz - yine karmaşık hesaplamalara gerek kalmadan! Özel kuralı bilmeniz yeterlidir. İşte:

Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakın, orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Son sıraya gelebilecek sadece 10 rakam var. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu, örneğin 3364'ün kökünün mutlaka 2 veya 8 ile biteceği anlamına gelir. Öte yandan, önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök, 50 ile 60 arasında yer alır ve bu aralıkta yalnızca 2 ve 8 ile biten iki sayı bulunur:

İşte bu! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek bir aday olacaktır!

Son hesaplamalar

Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıyı veren kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

İşte bu! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede sayıları bir sütuna çarpmama bile gerek kalmadı! Bu, hesaplama optimizasyonunun başka bir düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök hesaplama örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama pratikte kontrol edelim.

[Resmin başlığı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:

Geriye kalan tek şey her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmaktır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son rakama bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Karesini alın:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son rakama bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Karesini alın:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son rakama bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenilen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyi değil. Sebeplerine bakalım. Bunlardan iki tane var:

• Matematikteki herhangi bir normal sınavda, ister Devlet Sınavı ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, hesap makinelerinin kullanılması yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi getirirseniz sınavdan kolaylıkla atılabilirsiniz.
• Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Köklere benzemeyenler iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.