Verilen metodolojik materyal yalnızca referans amaçlıdır ve atıfta bulunur geniş bir daireye konular Makale, temel temel fonksiyonların grafiklerine genel bir bakış sunuyor ve tartışıyor en önemli soru – bir grafiğin doğru ve HIZLI bir şekilde nasıl oluşturulacağı. Çalışma sırasında yüksek matematik Temel temel fonksiyonların grafiklerini bilmeden zor olacaktır, bu nedenle parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. grafiklerinin neye benzediğini hatırlamak ve bazı fonksiyon değerlerini hatırlamak çok önemlidir. Ayrıca ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz.

Materyallerin eksiksizliği ve bilimsel bütünlüğü iddiasında değilim; her şeyden önce uygulamaya - hangi şeylere - ağırlık verilecektir. Yüksek matematiğin herhangi bir konusunda kelimenin tam anlamıyla her adımda karşılaşılır. Aptallar için çizelgeler mi? Öyle söylenebilir.

Okuyuculardan gelen çok sayıda istek nedeniyle tıklanabilir içindekiler tablosu:

Ayrıca konuyla ilgili çok kısa bir özet var
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür grafikte ustalaşın!

Cidden altı, ben bile şaşırdım. Bu özet geliştirilmiş grafikler içerir ve cüzi bir ücret karşılığında sunulur; demo sürümünü görüntüleyebilirsiniz. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkür ederiz!

Ve hemen başlayalım:

Koordinat eksenleri doğru şekilde nasıl oluşturulur?

Uygulamada testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından kare şeklinde dizilmiş ayrı defterlerde tamamlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarda yapılabilir. Ve kafes sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.

Bir fonksiyon grafiğinin herhangi bir çizimi koordinat eksenleriyle başlar.

Çizimler iki boyutlu veya üç boyutlu olabilir.

İlk önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen dikdörtgen sistem koordinatlar:

1) Beraberlik koordinat eksenleri. Eksen denir x ekseni ve eksen y ekseni . Her zaman onları çizmeye çalışıyoruz düzgün ve çarpık değil. Okların da Papa Carlo'nun sakalına benzememesi gerekiyor.

2) Eksenleri etiketleyin büyük harflerle"X" ve "Y". Eksenleri etiketlemeyi unutmayın.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: bir sıfır ve iki bir çiz. Çizim yaparken en kullanışlı ve en sık kullanılan ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse ona sadık kalın. Ancak zaman zaman çizimin defter sayfasına sığmadığı durumlar olur - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadirdir, ancak bazen çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya arttırılması) gerekir.

“Makineli tüfeğe” GEREK YOKTUR…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….İçin koordinat düzlemi Descartes'a ait bir anıt değildir ve öğrenci de bir güvercin değildir. biz koyduk sıfır Ve eksenler boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, diğer değerleri "işaretlemek" uygundur, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" - ve bu sistem (0, 2 ve 3) aynı zamanda koordinat ızgarasını benzersiz bir şekilde tanımlayacaktır.

Çizimi oluşturmadan ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir. Yani, örneğin, eğer görev köşeleri olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa , , , o zaman popüler 1 birim = 2 hücre ölçeğinin işe yaramayacağı tamamen açıktır. Neden? Gelin şu noktaya bakalım - burada on beş santimetre aşağıyı ölçmeniz gerekecek ve açıkçası çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle hemen daha küçük bir ölçek seçiyoruz: 1 birim = 1 hücre.

Bu arada, yaklaşık santimetre ve dizüstü bilgisayar hücreleri. 30 defter hücresinin 15 santimetre içerdiği doğru mu? Eğlenmek için not defterinizde bir cetvelle 15 santimetreyi ölçün. SSCB'de bu doğru olabilir... Aynı santimetreyi yatay ve dikey olarak ölçerseniz sonuçların (hücrelerdeki) farklı olacağını belirtmek ilginçtir! Açıkçası, modern defterler kareli değil dikdörtgen şeklindedir. Bu saçma görünebilir, ancak bu gibi durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda yerli otomobil endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan enerji santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.

Kaliteden bahsetmişken veya kısa öneri kırtasiye için. Bugün satışta olan dizüstü bilgisayarların çoğu, en azından tam bir saçmalık. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmaları nedeniyle! Kağıt üzerinde tasarruf ediyorlar. Kayıt için testler Daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Kağıt Hamuru ve Kağıt Fabrikası'ndan (18 sayfa, ızgara) veya "Pyaterochka" defterlerini kullanmanızı öneririm. Bir jel kalem seçmeniz önerilir; en ucuz Çin jel dolumu bile, kağıdı lekeleyen veya yırtan tükenmez kalemden çok daha iyidir. Hatırlayabildiğim tek "rekabetçi" tükenmez kalem Erich Krause'dur. İster dolu ister neredeyse boş olsun, net, güzel ve tutarlı bir şekilde yazıyor.

Ek olarak: Dikdörtgen koordinat sistemini gözle görme analitik geometri makalede ele alınan Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli, detaylı bilgi Koordinat bölgeleri hakkında dersin ikinci paragrafında bulunabilir Doğrusal eşitsizlikler.

3D kasa

Burada da hemen hemen aynı.

1) Koordinat eksenlerini çizin. Standart: eksen uygulaması – yukarıya doğru, eksen – sağa doğru, eksen – aşağıya sola doğru kesinlikle 45 derecelik bir açıyla.

2) Eksenleri etiketleyin.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçek diğer eksenler boyunca olan ölçekten iki kat daha küçüktür. Ayrıca sağdaki çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "çentik" kullandığımı da unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim açımdan bu daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramaya ve koordinatların kökenine yakın bir birimi "şekillendirmeye" gerek yok.

3 boyutlu çizim yaparken yine ölçeğe öncelik verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).

Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek için yapılmıştır. Şimdi yapacağım şey bu. Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri bakış açısından yanlış görünecek doğru tasarım. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak Excel bunları daha doğru çizme konusunda isteksiz olduğundan bunları çizmek aslında korkutucu.

Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri

Doğrusal fonksiyon denklem ile verilmektedir. Doğrusal fonksiyonların grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizebilmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.

Örnek 1

Fonksiyonun grafiğini oluşturun. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.

Eğer öyleyse

Başka bir noktayı ele alalım, örneğin 1.

Eğer öyleyse

Görevleri tamamlarken noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:

Ve değerlerin kendisi sözlü olarak veya bir taslakta, bir hesap makinesinde hesaplanır.

İki nokta bulundu, çizimi yapalım:

Çizim hazırlarken mutlaka grafikleri imzalarız.

Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak faydalı olacaktır:

İmzaları nasıl attığıma dikkat edin. imzalar çizimi incelerken tutarsızlıklara izin vermemelidir. İÇİNDE bu durumdaÇizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.

1) () formunun doğrusal bir fonksiyonuna doğru orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizgi oluşturmak basitleştirilmiştir - yalnızca bir noktayı bulmak yeterlidir.

2) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulunmadan hemen oluşturulur. Yani giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman -4'e eşittir."

3) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen çizilir. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."

Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırladınız?! Bu böyledir, belki de öyledir, ancak yıllar süren pratik boyunca veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında şaşkına dönen bir düzine öğrenciyle tanıştım.

Düz bir çizgi oluşturmak, çizim yaparken en yaygın eylemdir.

Düz çizgi analitik geometri dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır ve ilgilenenler bu makaleye başvurabilirler. Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

İkinci dereceden, kübik bir fonksiyonun grafiği, bir polinomun grafiği

Parabol. Takvim ikinci dereceden fonksiyon () bir parabolü temsil eder. düşünelim ünlü olay:

Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.

Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğunu türev hakkındaki teorik makalede ve fonksiyonun ekstremumlarına ilişkin derste bulabilirsiniz. Bu arada karşılık gelen “Y” değerini de hesaplayalım:

Böylece tepe noktası bu noktadadır

Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon – bile değil, ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.

Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:

Bu algoritma Anfisa Chekhova ile yapılar mecazi olarak “mekik” veya “ileri geri” prensibi olarak adlandırılabilir.

Çizimi yapalım:

İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:

İkinci dereceden bir fonksiyon için () aşağıdakiler doğrudur:

Eğer öyleyse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.

Eğer öyleyse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.

Eğri hakkında derinlemesine bilgi Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.

Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:

Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim

Bir fonksiyonun grafiği

Bir parabolün dallarından birini temsil eder. Çizimi yapalım:

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu durumda eksen dikey asimptot 'deki bir hiperbolün grafiği için.

Bir çizimi çizerken dikkatsizce grafiğin bir asimptotla kesişmesine izin verirseniz, bu BÜYÜK bir hata olur.

Ayrıca tek taraflı limitler bize hiperbolün yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Fonksiyonu sonsuzda inceleyelim: yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” düzenli bir adım olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.

Yani eksen yatay asimptot Bir fonksiyonun grafiği için, eğer “x” artı veya eksi sonsuza eğilimliyse.

İşlev garip ve bu nedenle hiperbol orijine göre simetriktir. Bu gerçekÇizimden açıkça anlaşılmaktadır, ayrıca analitik olarak da kolayca doğrulanabilir: .

() formundaki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.

Eğer ise hiperbol birinci ve üçüncü koordinat çeyreğinde bulunur(yukarıdaki resme bakın).

Eğer ise hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinde bulunur.

Belirtilen hiperbol yerleşim modelinin grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından analiz edilmesi kolaydır.

Örnek 3

Hiperbolün sağ dalını oluşturun

Noktasal inşa yöntemini kullanıyoruz ve değerleri bir bütüne bölünebilecek şekilde seçmek avantajlıdır:

Çizimi yapalım:

Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak; fonksiyonun tuhaflığı burada yardımcı olacaktır. Kabaca söylemek gerekirse, tabloda nokta nokta inşaat Her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekleyin, karşılık gelen noktaları koyun ve ikinci dalı çizin.

Ayrıntılı geometrik bilgi dikkate alınan çizgi hakkında Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Bu bölümde hemen üstel fonksiyonu ele alacağım çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların %95'inde karşılaşılan üstel fonksiyondur.

Bunun irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım: Aslında törensiz yapacağım bir grafik oluştururken bu gerekecek. Üç puan, belki bu yeterlidir:

Şimdilik fonksiyonun grafiğini burada bırakalım, daha sonra buna daha fazla değinelim.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Fonksiyon grafikleri vb. temelde aynı görünür.

İkinci durumun pratikte daha az sıklıkta yaşandığını söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu yazıya dahil etmeyi gerekli gördüm.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği

Doğal logaritmalı bir fonksiyonu düşünün.
Nokta nokta bir çizim yapalım:

Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız lütfen okul ders kitaplarınıza bakın.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Tanım alanı:

Değer aralığı: .

İşlev yukarıdan sınırlı değildir: Yavaş da olsa logaritmanın dalı sonsuza kadar gider.
Sağdaki fonksiyonun sıfıra yakın davranışını inceleyelim: . Yani eksen dikey asimptot “x” gibi bir fonksiyonun grafiği sağdan sıfıra doğru yönelir.

Logaritmanın tipik değerini bilmek ve hatırlamak zorunludur: .

Tabandaki logaritmanın grafiği temelde aynı görünüyor: , , ( ondalık logaritma 10 tabanına) vb. Aynı zamanda daha daha büyük taban grafik ne kadar düz olursa.

Davayı dikkate almayacağız, ne zaman olduğunu hatırlamıyorum son kez Bu temelde bir grafik oluşturdum. Ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir görülen bir misafir gibi görünüyor.

Bu paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyon– bunlar karşılıklı olarak ters iki fonksiyondur. Logaritmanın grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumda olduğunu görebilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Okulda trigonometrik işkence nerede başlar? Sağ. sinüsten

Fonksiyonun grafiğini çizelim

Bu satır isminde sinüzoid.

“Pi”nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride gözlerinizi kamaştırdığını hatırlatayım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu işlevöyle periyodik dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Bölüme bakalım. Solunda ve sağında grafiğin tam olarak aynı parçası sonsuza kadar tekrarlanıyor.

Tanım alanı: yani her “x” değeri için bir sinüs değeri vardır.

Değer aralığı: . İşlev sınırlı: , yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alıyor.
Bu olmuyor, daha doğrusu oluyor ama bu denklemlerin çözümü yok.

1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.

Bir fonksiyonun tanım kümesi tüm geçerli olanların kümesidir. gerçek değerler argüman X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli. Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.

İÇİNDE ilköğretim matematik fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.

2) Fonksiyon sıfırları.

Sıfır işlevi bağımsız değişken değeri fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu nokta.

3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları, fonksiyon değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu argüman değerleri kümesidir.

4) Fonksiyonun monotonluğu.

Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bunun için bir fonksiyondur. daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.

Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük değerinin karşılık geldiği bir fonksiyondur daha düşük değer işlevler.

5) Çift (tek) işlevi.

Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için bir fonksiyondur. X tanım alanından eşitlik f(-x) = f(x). Takvim eşit işlev

ordinat eksenine göre simetriktir. X Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x ). Takvim

tek işlev.

orijine göre simetriktir. 6) Sınırlı ve sınırsız işlevler Eğer böyle bir fonksiyon varsa, fonksiyona sınırlı denir.

pozitif sayı.

M öyle ki |f(x)| X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.

7) Fonksiyonun periyodikliği Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayıya fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller). 19. Temel

temel işlevler

, özellikleri ve grafikleri. Fonksiyonların ekonomide uygulanması.

Temel temel işlevler. Özellikleri ve grafikleri 1. Doğrusal fonksiyon.

Doğrusal fonksiyon x bir değişken, a ve b ise gerçel sayılar olmak üzere formun bir fonksiyonu olarak adlandırılır. Sayı A isminde eğim düz, o

teğete eşit

bu düz çizginin x ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısı. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. İki nokta ile tanımlanır.

Doğrusal Fonksiyonun Özellikleri

1. Tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi: D(y)=R

2. Değerler kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir: E(y)=R

3. Fonksiyon veya olduğunda sıfır değerini alır.

4. Fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar (azalır).

X'in bir değişken olduğu ve a, b, c katsayılarının gerçel sayılar olduğu formdaki bir fonksiyona denir ikinci dereceden

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç fonksiyonları. Özellikler. Grafikler"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Güç fonksiyonları, tanım alanı.

Örnek. Denklemi çözün: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Çözüm. $y=x^(\frac(4)(3))$ fonksiyonunun grafiği artar ve $y=24-x$ fonksiyonunun grafiği azalır. Arkadaşlar, siz ve ben biliyoruz: eğer bir fonksiyon artarken diğeri azalırsa, o zaman bunlar yalnızca bir noktada kesişir, yani tek bir çözümümüz olur.
Not:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Yani, $x=8$ ile $16=16$ doğru eşitliğini elde ettik, denklemimizin çözümü budur.
Cevap: $x=8$.

Örnek.
Fonksiyonun grafiğini çizin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun grafiği, $y=x^(\frac(3)(4))$ fonksiyonunun grafiğinden 3 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılarak elde edilir.

Örnek. $y=x^(-\frac(4)(5))$ doğrusuna $x=1$ noktasındaki teğet için bir denklem yazın.
Çözüm. Teğet denklemi bildiğimiz formülle belirlenir:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizim durumumuzda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Türevini bulalım:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Hesaplayalım:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Teğet denklemini bulalım:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Cevap: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Dikkate alınan aşağıdaki sorular: tanım alanı, değerler dizisi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, genişleme güç serisi ve karmaşık sayılar kullanılarak temsil.

Tanım

Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = balta.
Burada a sabittir gerçek sayı buna denir üstel fonksiyonun temeli.
Tabanı a olan üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.

Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,... üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Sıfır ve negatif değerler tamsayılar, üstel fonksiyon formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Şu tarihte: kesirli değerler x = m/n rasyonel sayılar, , formül (1.11) ile belirlenir. Gerçekler için üstel fonksiyon şu şekilde tanımlanır: dizi sınırı:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon tümü için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.

Sıkı matematiksel formülasyonÜstel bir fonksiyonun tanımları ve özelliklerinin kanıtı “Üstel bir fonksiyonun tanımı ve özelliklerinin kanıtı” sayfasında verilmiştir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel fonksiyon y = a x'in değeri aşağıdaki özellikler gerçek sayılar kümesinde ():
(1.1) tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(1.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üstel tabana sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:

b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:

Özel değerler

, , , , .

Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = balta
dört değer için derece üsleri: bir = 2 , bir = 8 , bir = 1/2 ve bir = 1/8 . 1 > için görüldüğü gibi 0 < a < 1 üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyükse, büyüme o kadar güçlü olur. Şu tarihte: üstel fonksiyon monoton olarak azalır. Nasıl daha az gösterge

a derecesi, azalma o kadar güçlü olur.

Artan, azalan

y =

Ters fonksiyon

Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.
.
Eğer öyleyse
.

Eğer öyleyse

Üstel bir fonksiyonun türevi Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve türev kuralını uygulamalıdır..

karmaşık fonksiyon
Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
.

ve türev tablosundaki formül:
.
Üstel bir fonksiyon verilsin:

Onu e üssüne getiriyoruz:

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Daha sonra
.
Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:

.
Üstel bir fonksiyonun türevi
.
N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > >

Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = Bir fonksiyonun türevini bulun

3 5x

Çözüm
Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın
.
3 = e ln 3
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Bir değişken girin
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz: Çünkü 5ln3
.
bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:

Cevap

İntegral

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler İşlevi düşünün karmaşık sayı:
z F
(z) = az 2 = - 1 .
burada z = x + iy;
Ben
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın


.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. İÇİNDE genel görünüm
φ = φ 0 + 2 πn,
burada n bir tam sayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu (z) da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.

Seri genişletme

.

Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.