Kanunun anlamı büyük sayılar Chebyshev aşağıdaki gibidir. Bireysel bir rastgele değişken kendisinden çok uzak değerler alabilirken matematiksel beklenti Olasılığı birliğe yakın olan çok sayıda rastgele değişkenin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından çok az farklı bir değer alır.
Chebyshev'in büyük sayılar yasasının özel bir durumu. İzin vermek - ortaklaşa sınırlı varyansa sahip olan ikili bağımsız rastgele değişkenler dizisi;
ve aynı matematiksel beklentiler . O zaman ne olursa olsun , ilişki geçerlidir
Bu doğrudan formül ()'den gelir, çünkü 
Yorum. Rastgele bir değişken olduğunu söylüyorlar olasılıkta birleşir numaraya A Artan oranlarda keyfi olarak küçük eşitsizlik olasılığı için ise N sınırsız birliğe yaklaşır. Olasılıktaki yakınsama bu anlama gelmez. Gerçekten de ikinci durum eşitsizlik herkes için yeterince geçerli büyük değerler N. Olasılıktaki yakınsama durumunda, bireysel keyfi büyük değerler için bu eşitsizlik N Belki idam edilmedi. Ancak büyük değerler için eşitsizliğin sağlanamaması NÇok nadir (olası olmayan) bir olay var. Bunu dikkate alarak, özel durum Chebyshev'in büyük sayılar yasası aşağıdaki gibi formüle edilebilir.
Aritmetik ortalama 
ikili bağımsız rastgele değişkenler
ortaklaşa sınırlı varyanslara ve aynı matematiksel beklentilere sahip olan
, olasılık olarak bire yakınsar.
Chebyshev'in büyük sayılar yasasının özel durumunun anlamını açıklayalım. Diyelim ki gerçek değeri bulmak istiyoruz A bazı fiziksel miktar(örneğin, bir parçanın boyutu). Bunu yapmak için birbirinden bağımsız bir dizi ölçüm yapacağız. Her ölçüme bazı hatalar eşlik eder (). Bu nedenle mümkün olan her ölçüm sonucu rastgele bir değişkendir (indeks Ben- ölçüm numarası). Her boyutta hiçbir şeyin olmadığını varsayalım. sistematik hata yani sapmalar gerçek anlam AÖlçülen miktarın her iki yönde de eşit olması muhtemeldir. Bu durumda tüm rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri aynı ve ölçülen değere eşittir. A yani
Son olarak ölçümlerin garantili bir doğrulukla yapıldığını varsayalım. Bu, tüm ölçümler için anlamına gelir. Dolayısıyla, Chebyshev'in büyük sayılar yasası koşullarındayız ve bu nedenle, eğer boyutların sayısı yeterince büyükse, o zaman pratik kesinlikle şunu söyleyebiliriz: ne olursa olsun, ortalama aritmetik sonuçlarölçüm gerçek değerden farklı A daha az
Kursun başında zaten bundan bahsetmiştik. matematik yasaları olasılık teorileri, kütlesel rastgele olayların doğasında bulunan gerçek istatistiksel kalıpların soyutlanmasıyla elde edilir. Bu modellerin varlığı, tam olarak olayın kitlesel doğasıyla, yani gerçekleştirilen çok sayıda homojen deneyle veya bütünlükleri içinde bir rastgele değişkene tabi olan çok sayıda kümülatif rastgele etkilerle ilişkilidir. iyi tanımlanmış bir yasa. Kütlesel rastgele olayların kararlılık özelliği, eski çağlardan beri insanlık tarafından bilinmektedir. Hangi alanda kendini gösterirse göstersin, özü şu şekilde özetlenebilir: belirli özellikler her bir rastgele olgunun, kitlelerin ve bu tür olayların ortalama sonucu üzerinde neredeyse hiçbir etkisi yoktur; Her bir olguda kaçınılmaz olan ortalamadan rastgele sapmalar, kütle içinde karşılıklı olarak iptal edilir, dengelenir, dengelenir. Kelimenin geniş anlamıyla anlaşılan "büyük sayılar yasasının" fiziksel içeriğini temsil eden şey, ortalamaların bu kararlılığıdır: çok sayıda rastgele olayla, bunların ortalama sonuçları pratikte rastgele olmaktan çıkar ve tahmin edilebilir. yüksek derecede bir kesinlikle.
İÇİNDE dar anlamda Olasılık teorisinde “büyük sayılar kanunu” kelimesi bir dizi anlamına gelir matematik teoremleri, her birinde, belirli koşullar için, çok sayıda deneyin ortalama özelliklerinin belirli sabitlere yaklaştığı gerçeği belirlenir.
2.3'te bu teoremlerin en basitini, J. Bernoulli'nin teoremini zaten formüle etmiştik. Çok sayıda deneyle, bir olayın sıklığının bu olayın olasılığına yaklaştığını (daha doğrusu olasılık açısından yakınsadığını) iddia ediyor. Başkalarıyla daha fazla genel formlar Bu bölümde büyük sayılar yasasını tanıtacağız. Hepsi, belirli rastgele değişkenlerin sabit, rastgele olmayan değişkenlere olasılığındaki yakınsama olgusunu ve koşullarını ortaya koyar.
Büyük sayılar kanunu önemli bir rol oynar. pratik uygulamalar olasılık teorisi. Rastgele değişkenlerin belirli koşullar altında neredeyse rastgele olmayanlar gibi davranma özelliği, kişinin bu niceliklerle güvenle çalışmasına ve kütlesel rastgele olayların sonuçlarını neredeyse tam bir kesinlikle tahmin etmesine olanak tanır.
Kütle rastgele fenomeni alanındaki bu tür tahminlerin olanakları, rastgele değişkenlerin sınırlayıcı değerleri ile değil, dağıtımın sınırlayıcı yasalarıyla ilgili başka bir grup sınır teoreminin varlığıyla daha da genişletilir. bu yaklaşık"Merkezi limit teoremi" olarak bilinen bir grup teorem hakkında. Yeterince fazla sayıda rastgele değişken toplandığında, toplamın dağılım yasasının belirli koşullara bağlı olarak süresiz olarak normale yaklaştığını söylemiştik. Matematiksel olarak çeşitli yollarla - az ya da çok genel bir biçimde - formüle edilebilen bu koşullar, esas olarak, bireysel terimlerin toplamı üzerindeki etkinin eşit derecede küçük olması, yani toplamın aşağıdaki üyeleri içermemesi gerekliliğine indirgenir. miktarın dağılımı üzerindeki etkilerine göre bütünlüğe açıkça hakimdirler. Merkezi limit teoreminin çeşitli biçimleri, rastgele değişkenlerin toplamının bu sınırlayıcı özelliğinin oluşturulduğu koşullar altında birbirinden farklılık gösterir.
Büyük sayılar yasasının çeşitli biçimleri ve çeşitli formlar Merkezi limit teoremi olasılık teorisinin limit teoremleri olarak adlandırılan bir dizi oluşturur. Limit teoremleri, yalnızca rastgele olaylar alanında bilimsel tahminler yapmayı değil, aynı zamanda bu tahminlerin doğruluğunu da değerlendirmeyi mümkün kılar.
Bu bölümde sadece en çok bazılarını ele alacağız. basit şekiller sınır teoremleri. Öncelikle “büyük sayılar kanunu” grubuna ait teoremleri, ardından “merkezi limit teoremi” grubuna ait teoremleri ele alacağız.
Olasılık teorisindeki "büyük sayılar kanunu", her biri belirli koşullar altında, çok sayıda deneyin ortalama özelliklerinin belirli sabitlere yaklaştığı gerçeğini ortaya koyan bir dizi matematik teoremi olarak anlaşılır.
Chebyshev eşitsizliğine dayanmaktadır:
Bir X rastgele değişkeninin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının daha az olma olasılığı pozitif sayıε, en az:
Ayrık ve sürekli r.v. için geçerlidir.
53. Chebyshev teoremi.
Sonsuz sayıda bağımsız rastgele değişken dizisi olsun 
aynı matematiksel beklenti ve aynı C sabitiyle sınırlı varyanslarla:
O halde pozitif sayı ne olursa olsun olayın olasılığı bire doğru yönelir.
54. Bernoulli teoremi.
N üretilsin bağımsız testler Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşittir.
55. Lyapunov'un merkezi limit teoremi kavramı.
Çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının çok genel koşullar altında dağılımı normal dağılıma yakındır.
Normal dağılıma sahip rastgele değişkenlerin pratikte geniş dağılım gösterdiği bilinmektedir. Bunun için bir açıklama merkezde A.M. Lyapunov tarafından yapıldı. limit teoremi: Bir rastgele değişken, her birinin toplamın tamamı üzerindeki etkisi ihmal edilebilecek kadar çok sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin toplamıysa, bu durumda normale yakın bir dağılıma sahiptir.
56. Genel popülasyon ve örneklem: temel tanımlar ve kavramlar.
Matematiksel istatistik, rastgele kütle olaylarının modellerini incelemek amacıyla deneysel verileri elde etmek, tanımlamak ve işlemek için yöntemlerin geliştirilmesiyle ilgilenen bir bilimdir.
Matematiksel istatistik sorunları:
Bilinmeyen bir dağılım fonksiyonunun ölçüm sonuçlarına göre tahmini.
Seviye bilinmeyen parametreler dağıtımlar.
Statik hipotez testi.
Bazı niceliksel karakteristik x'i inceleyelim.
Daha sonra altında genel nüfus olası tüm anlamlarının kümesi anlaşılmıştır.
Özellikleri incelemek bu özelliğin Genel popülasyondan öğelerin bir kısmı, bir örnek popülasyon veya örnek oluşturan Xi varyantları tarafından rastgele seçilir.
Bir koleksiyonun eleman sayısına nesnesi n denir.
Örnekleme: 1) seçilen nesnenin (bir sonrakini seçmeden önce) genel popülasyona döndürüldüğü tekrarlanan örnekleme.
2) seçilen nesnenin genel popülasyona iade edildiği tekrarlanmayan örnekleme.
Bizi ilgilendiren genel popülasyonun özellikleri hakkında yeterli güvenle yargıya varmak amacıyla örnek verileri kullanmak için, örneğin temsili olması gerekir)
Büyük sayılar kanunu uyarınca, eğer rastgele yapılırsa bir numunenin temsili olacağı ileri sürülebilir: popülasyondaki her nesnenin numuneye dahil edilme olasılığı aynı olmalıdır.
Popülasyon nesnesi yeterince büyükse ve örnek bu popülasyonun yalnızca küçük bir bölümünü oluşturuyorsa tekrarlanan ve tekrarlanmayan örnekler arasındaki ayrım silinir.
Artan sırada düzenlenen seçenekler listesine varyasyon serisi denir.
Belirli bir seçeneğin gözlem sayısına frekansı ni denir ve frekansı ni'nin örnek nesneye oranına n-göreceli frekans wi denir.
Eğer istikrar olgusu ortalama gerçekte gerçekleşir, sonra matematiksel model birlikte çalıştığımız rastgele olaylar Bu gerçeği yansıtan bir teoremin olması gerekir.
Bu teoremin koşulları altında rastgele değişkenlere kısıtlamalar getiriyoruz X 1 , X 2 , …, Xn:
a) her rastgele değişken Şi matematiksel bir beklentisi var
M(Şi) = A;
b) her birinin varyansı rastgele değişken sonludur veya varyansların yukarıdan aynı sayıyla sınırlandığını söyleyebiliriz, örneğin İLE yani
D(Şi) < C, i = 1, 2, …, N;
c) rastgele değişkenler ikili olarak bağımsızdır, yani herhangi iki X ben Ve Xj en Ben¹ J bağımsız.
O zaman açıkçası
D(X 1 + X 2 + … + Xn)=D(X 1) +D(X 2) + ... + D(Xn).
Büyük sayılar yasasını Chebyshev formunda formüle edelim.
Chebyshev'in teoremi: sınırsız sayıda artışla N bağımsız testler " rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, olasılık açısından matematiksel beklentisine yakınsar ", yani herhangi bir olumlu durum için ε
R(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)
İfadenin anlamı "aritmetik ortalama = olasılık olarak a'ya yakınsar bu olasılık mı mümkün olduğu kadar az farklılık gösterecek A, sayı arttıkça sınırsız olarak 1'e yaklaşır N.
Kanıt.İçin sonlu sayı N bağımsız testler için Chebyshev eşitsizliğini rastgele değişkene uyguluyoruz = :
R(|– M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)
a – b kısıtlamalarını dikkate alarak hesaplıyoruz M( ) Ve D( ):
M( ) = = = = = = A;
D(
) = = 
= = = = .
Değiştirme M( ) Ve D( ) eşitsizliği (4.1.2)'ye dönüştürürsek, şunu elde ederiz:
R(| –a| < ε )≥1 – .
Eşitsizlikte (4.1.2) keyfi olarak küçük alırsak ε >0i N® ¥, o zaman şunu elde ederiz:
= 1,
bu Chebyshev'in teoremini kanıtlıyor.
Ele alınan teoremden önemli bir sonuç çıkar pratik sonuç: Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin bilinmeyen değerini ortalamayla değiştirme hakkına sahibiz aritmetik değer yeterli sayıda elde edilen çok sayıda deneyler. Üstelik hesaplanacak deney sayısı arttıkça, daha muhtemel(güvenilirlik) bu değiştirmeyle ilgili hatanın ( - A) belirtilen değeri aşmayacaktır ε .
Ayrıca diğerlerini de çözebilirsiniz pratik problemler. Örneğin olasılık (güvenilirlik) değerlerine göre R=R(| – a|< ε ) ve izin verilen maksimum hata ε gerekli deney sayısını belirlemek N; İle R Ve N tanımlamak ε; İle ε Ve N bir olayın olasılık sınırını belirlemek | – bir |< ε.
Özel durum. izin ver N gözlemlenen testler N rastgele değişken değerleri X, matematiksel bir beklentiye sahip olmak M(X) ve varyans D(X). Elde edilen değerler rastgele değişkenler olarak kabul edilebilir X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn,. Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: bir dizi N testler tekrar tekrar yapılıyor ve sonuç olarak Ben-inci test Ben= l, 2, 3, ..., N, her test serisinde rastgele değişkenin bir veya başka değeri görünecektir X, önceden bilinmiyor. Buradan, Ben-e değeri x ben elde edilen rastgele değişken Ben-th testi, bir test serisinden diğerine geçtiğinizde rastgele değişir. Yani her değer x ben rastgele bir değişken olarak kabul edilebilir Xi.
Testlerin aşağıdaki gereksinimleri karşıladığını varsayalım:
1. Testler bağımsızdır. Bu şu anlama gelir: sonuçlar X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., Xn testler – bağımsız rastgele değişkenler.
2. Testler aynı koşullar altında gerçekleştirilir - olasılık teorisi açısından bu, rastgele değişkenlerin her birinin X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn orijinal değerle aynı dağıtım yasasına sahiptir X, Bu yüzden M(X ben) = M(X)Ve D(X ben) = D(X), Ben = 1, 2, .... P.
Yukarıdaki koşulları dikkate alarak şunu elde ederiz:
R(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)
Örnek 4.1.1. X 4'e eşittir. En az 0,9 olasılıkla bu rastgele değişkenin aritmetik ortalama değerinin matematiksel beklentiden 0,5'ten daha az farklı olmasını bekleyebilmek için kaç bağımsız deney gereklidir?
Çözüm.Problemin koşullarına göre ε = 0,5; R(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Rastgele değişken için formül (4.1.3)'ün uygulanması X, alıyoruz
P(|– M(X)| < ε ) ≥ 1 – .
ilişkiden
1 – = 0,9
hadi tanımlayalım
N= = = 160.
Cevap: 160 bağımsız deney gereklidir.
Aritmetik ortalamanın olduğunu varsayarsak normal dağılırsa şunu elde ederiz:
R(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.
Buradan Laplace fonksiyonunun tablosunu kullanarak şunu elde ederiz: ≥
≥
1,645 veya ≥ 6,58, yani N ≥49.
Örnek 4.1.2. Rastgele bir değişkenin varyansı X eşittir D( X) = 5. 100 bağımsız deney gerçekleştirildi ve buradan hesaplandı . Matematiksel beklentinin bilinmeyen değeri yerine A kabul edildi . En az 0,8 olasılıkla izin verilen maksimum hata değerini belirleyin.
Çözüm. Sorunun koşullarına göre N= 100, R(| –a|< ε ) ≥0,8. Formül (4.1.3)'ü uygulayalım.
R(| –a|< ε ) ≥1 – .
ilişkiden
1 – = 0,8
hadi tanımlayalım ε :
ε 2 = = = 0,25.
Buradan, ε = 0,5.
Cevap: maksimum hata değeri ε = 0,5.
4.2. Bernoulli formunda büyük sayılar kanunu
Tüm istatistiksel çıkarımların temeli olasılık kavramı olmasına rağmen, bir olayın olasılığını doğrudan belirleyebildiğimiz yalnızca birkaç durum vardır. Bazen bu olasılık simetri, fırsat eşitliği vb. hususlara dayalı olarak belirlenebilir, ancak keyfi bir olay için olasılığının belirtilmesine izin verecek evrensel bir yöntem yoktur. Bernoulli teoremi bizi ilgilendiren bir olayın olasılığını tahmin etmeyi mümkün kılar A tekrarlanan bağımsız testler gerçekleştirilebilir. Üretilsin N her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının belirlendiği bağımsız denemeler A sabit ve eşittir R.
Bernoulli teoremi. Bağımsız testlerin sayısında sınırsız artış ile N Bir olayın göreceli görülme sıklığı A olasılıkta olasılığa yakınlaşır P bir olayın meydana gelmesi A,T. e.
P(½ - P½≤ ε) = 1, (4.2.1)
Nerede ε – keyfi olarak küçük bir pozitif sayı.
Final için Nşartıyla 
, bir rastgele değişken için Chebyshev eşitsizliği şu şekilde olacaktır:
P(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)
Kanıt. Chebyshev teoremini uygulayalım. İzin vermek X ben– olayın gerçekleşme sayısı A V Ben-inci test, Ben= 1, 2, . . . , N. Her bir miktar X ben yalnızca iki değer alabilir:
X ben= 1 (olay A meydana geldi) olasılıkla P,
X ben= 0 (olay A gerçekleşmedi) büyük olasılıkla Q= 1-P.
İzin vermek Yn= . Toplam X 1 + X 2 + … + Xn sayıya eşit M olayın meydana gelişleri A V N testler (0 M N), yani Yn= – olayın meydana gelme sıklığı A V N testler. Beklenti ve varyans X ben sırasıyla eşittir:
M( ) = 1∙P + 0∙Q = P,
