Asymptotes du graphique d'une fonction

Asymptote du graphique d'une fonction y = f(x) est une ligne droite qui a la propriété que la distance entre le point (x, f(x)) et cette ligne droite tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.

Dans la figure 3.10. donné exemples graphiques verticale, horizontal Et incliné asymptote.

La recherche des asymptotes du graphique repose sur les trois théorèmes suivants.

Théorème de l'asymptote verticale. Soit la fonction y = f(x) définie dans un certain voisinage du point x 0 (en excluant éventuellement ce point lui-même) et au moins une des limites unilatérales de la fonction est égale à l'infini, c'est-à-dire Alors la droite x = x 0 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction y = f(x).

Évidemment, la droite x = x 0 ne peut pas être une asymptote verticale si la fonction est continue au point x 0, puisque dans ce cas . Ainsi, asymptotes verticales doit être recherchée aux points de discontinuité de la fonction ou aux extrémités de son domaine de définition.

Théorème sur l'asymptote horizontale. Laissez la fonction y = f(x) être définie pour x suffisamment grand et exister limite finale fonctions Alors la droite y = b est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction.

Commentaire. Si une seule des limites est finie, alors la fonction a donc : gaucher ou côté droit asymptote horizontale.

Dans le cas où , la fonction peut avoir une asymptote oblique.

Théorème de l'asymptote oblique. Laissez la fonction y = f(x) être définie pour x suffisamment grand et il y a des limites finies . Alors la droite y = kx + b est l'asymptote inclinée du graphique de la fonction.

Aucune preuve.

Une asymptote oblique, tout comme une asymptote horizontale, peut être droite ou gauche si la base des limites correspondantes est l'infini d'un certain signe.

L'étude des fonctions et la construction de leurs graphiques comprennent généralement les étapes suivantes :

1. Trouvez le domaine de définition de la fonction.

2. Examinez la fonction de parité paire-impaire.

3. Trouvez les asymptotes verticales en examinant les points de discontinuité et le comportement de la fonction aux limites du domaine de définition, s'ils sont finis.

4. Trouvez des asymptotes horizontales ou obliques en examinant le comportement de la fonction à l'infini.

Définition . Une asymptote du graphique d'une fonction est une ligne droite qui a la propriété que la distance d'un point du graphique d'une fonction à cette ligne droite tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine..

Selon les méthodes de recherche, on distingue trois types d'asymptotes : verticales, horizontales, obliques.

Évidemment, les horizontaux sont des cas particuliers d'inclinés (en ).

La recherche des asymptotes du graphique d'une fonction est basée sur les instructions suivantes.

Théorème 1 . Soit la fonction définie au moins dans un semi-voisinage d'un point et au moins une de ses limites unilatérales en ce point est infinie, c'est-à-dire égalisé. Alors la droite est l’asymptote verticale du graphique de la fonction.

Ainsi, les asymptotes verticales du graphe d'une fonction doivent être recherchées aux points de discontinuité de la fonction ou aux extrémités de son domaine de définition (s'il s'agit de nombres finis).

Théorème 2 . Laissez la fonction être définie pour des valeurs d'argument suffisamment grandes en valeur absolue, et il existe une limite finie de la fonction . Alors la droite est l’asymptote horizontale du graphique de la fonction.

Il peut arriver que , UN , et sont des nombres finis, alors le graphique a deux asymptotes horizontales différentes : gauche et droite. Si une seule des limites finies existe, alors le graphique a une asymptote horizontale soit à gauche, soit à droite.

Théorème 3 . Laissez la fonction être définie pour des valeurs de l'argument suffisamment grandes en valeur absolue, et il existe des limites finies Et . Alors la droite est l’asymptote oblique du graphique de la fonction.

Notez que si au moins une de ces limites est infinie, alors il n’y a pas d’asymptote oblique.

Une asymptote oblique, comme une asymptote horizontale, peut être unilatérale.

Exemple. Trouvez toutes les asymptotes du graphique de la fonction.

Solution.

La fonction est définie à . Trouvons ses limites unilatérales en certains points.

Parce que Et (les deux autres limites unilatérales risquent de ne plus être trouvées), alors les droites sont des asymptotes verticales du graphique de la fonction.

Calculons

(appliquer la règle de L'Hôpital) = .

Cela signifie que la ligne droite est une asymptote horizontale.

Puisque l’asymptote horizontale existe, on ne cherche plus les asymptotes inclinées (elles n’existent pas).

Répondre: Le graphique a deux asymptotes verticales et une horizontale.

Recherche de fonction généraleoui = f (x ).

L'étendue de la fonction. Trouver son domaine de définition D(f) . Si ce n'est pas trop difficile, il est utile de trouver aussi la portée E(f) . (Cependant, dans de nombreux cas, la question de savoir E(f) est reporté jusqu'à ce que les extrema de la fonction soient trouvés.)

Propriétés particulières de la fonction. Découvrir propriétés générales fonctions : paire, impaire, périodicité, etc. Toutes les fonctions n'ont pas des propriétés telles que paire ou impaire. Une fonction n'est évidemment ni paire ni impaire si son domaine de définition est asymétrique par rapport au point 0 de l'axe Bœuf.

De la même manière, pour toute fonction périodique, le domaine de définition consiste soit en l'ensemble de l'axe réel, soit en l'union de systèmes d'intervalles se répétant périodiquement. Asymptotes verticales. D(f Découvrez comment la fonction se comporte lorsque l'argument s'approche des points limites du domaine de définition

), si de tels points limites existent. Dans ce cas, des asymptotes verticales peuvent apparaître. Si une fonction a des points de discontinuité auxquels elle n'est pas définie, alors ces points doivent également être vérifiés pour la présence d'asymptotes verticales de la fonction. D(f Asymptotes obliques et horizontales. Si le domaine de définition : oui = ) inclut des rayons de la forme (a;+) ou (−;b), alors vous pouvez essayer de trouver des asymptotes obliques (ou des asymptotes horizontales) pour x+ ou x−, respectivement, c'est-à-dire trouvez limxf(x). + Asymptotes obliques kx b, : oui = Asymptotes obliques où k=limx+xf(x) et b=limx+(f(x)−x).

Les asymptotes sont horizontales où limxf(x)=b. Trouver les points d'intersection du graphique avec les axes. f Trouver le point d'intersection du graphique avec l'axe Bœuf Oy f(x.

Pour ce faire, vous devez calculer la valeur(0). Trouver aussi les points d'intersection du graphique avec l'axe, pourquoi trouver les racines de l'équation

) = 0 (ou assurez-vous qu'il n'y a pas de racines). L’équation ne peut souvent être résolue qu’approximativement, mais séparer les racines permet de mieux comprendre la structure du graphique. Ensuite, vous devez déterminer le signe de la fonction sur les intervalles entre les racines et les points d'arrêt.), auquel la dérivée seconde est égale à 0 ou n'existe pas, alors à ces points, il est également utile de calculer la valeur de la fonction. Après avoir trouvé f(x) nous résolvons l’inégalité f(x)0.

Sur chacun des intervalles de solution, la fonction sera convexe vers le bas. En résolvant l'inégalité inverse f(x)0, nous trouvons les intervalles sur lesquels la fonction est convexe vers le haut (c'est-à-dire concave). Nous définissons les points d'inflexion comme les points auxquels la fonction change de direction de convexité (et est continue). Une hyperbole s'appelle lieu

points, la différence des distances à deux points donnés, appelés foyers, est une valeur constante (cette constante doit être positive et inférieure à la distance entre les foyers). Notons cette constante par 2a, la distance entre les foyers par et choisissons les axes de coordonnées de la même manière qu'au § 3. Soit - point arbitraire

hyperbole.

Par définition de l'hyperbole

Sur le côté droit de l'égalité, vous devez sélectionner un signe plus si et un signe moins si

Puisque la dernière égalité peut s’écrire :

C'est l'équation de l'hyperbole dans le système de coordonnées choisi.

En s'affranchissant des radicaux dans cette équation (comme au § 3), on peut réduire l'équation à sa forme la plus simple. Transférer le premier radical à côté droit

égalité et mise au carré des deux côtés, après des transformations évidentes on obtient : Mettre une fois de plus au carré les deux côtés de l'égalité, rendant la réduction membres similaires et en divisant par membre gratuit

, on obtient :

Depuis , la valeur est positive. Le désignant par , c'est-à-dire en supposant nous obtenons point arbitraire

équation canonique

Explorons la forme d'une hyperbole.

1) Symétries d'une hyperbole. Puisque l'équation (3) ne contient que les carrés des coordonnées actuelles, les axes de coordonnées sont les axes de symétrie de l'hyperbole (voir une affirmation similaire pour l'ellipse). L'axe de symétrie de l'hyperbole sur laquelle se situent les foyers est appelé axe focal. Le point d'intersection des axes de symétrie - le centre de symétrie - est appelé centre de l'hyperbole. Pour l'hyperbole donnée par l'équation (3), l'axe focal coïncide avec l'axe Ox et le centre est l'origine.

2) Points d'intersection avec les axes de symétrie. Trouvons les points d'intersection de l'hyperbole avec les axes de symétrie - les sommets de l'hyperbole. En supposant dans l'équation, on retrouve les abscisses des points d'intersection de l'hyperbole avec l'axe

Par conséquent, les points sont les sommets de l'hyperbole (Fig. 51) ; la distance entre eux est de 2a. Pour trouver les points d'intersection avec l'axe Oy, on met dans l'équation. Pour déterminer les ordonnées de ces points, on obtient l'équation.

Conformément à cela, l'axe de symétrie coupant l'hyperbole est appelé axe réel symétrie (axe focal), l'axe de symétrie qui ne coupe pas l'hyperbole est appelé axe de symétrie imaginaire. Pour une hyperbole donnée par l'équation (3), l'axe de symétrie réel est l'axe, l'axe de symétrie imaginaire est l'axe. Le segment reliant les sommets de l'hyperbole, ainsi que sa longueur 2a, sont appelés l'axe réel de. l'hyperbole. Si sur l'axe imaginaire de symétrie d'une hyperbole on trace les segments OB et de longueur b de part et d'autre de son centre O, alors le segment et sa longueur sont appelés l'axe imaginaire de l'hyperbole. Les quantités a et b sont appelées respectivement les demi-axes réel et imaginaire de l'hyperbole.

3) Forme d'hyperbole. Lorsqu'on étudie la forme d'une hyperbole, il suffit de considérer valeurs positives x et y, car la courbe est située symétriquement par rapport aux axes de coordonnées.

Puisqu'il résulte de l'équation (3) que 1, alors peut changer de a à Quand augmente de a à alors Y augmente également de 0 à La courbe a la forme représentée sur la Fig. 51. Elle est située en dehors de la bande délimitée par des lignes droites et est constituée de deux branches distinctes. Pour tout point M d'une de ces branches (branche droite), pour tout point M d'une autre branche (branche gauche).

4) Asymptotes d'une hyperbole. Pour imaginer plus clairement le type d'hyperbole, considérons deux lignes droites qui lui sont étroitement liées - les soi-disant asymptotes.

En supposant que x et y sont positifs, nous résolvons l'équation (3) de l'hyperbole par rapport à l'ordonnée y :

Comparons l'équation avec l'équation d'une droite, en appelant correspondant deux points situés respectivement sur cette droite et sur l'hyperbole et ayant la même abscisse (Fig. 51). Évidemment, la différence Y - y des ordonnées des points correspondants exprime la distance qui les sépare, c'est-à-dire

Montrons qu'avec un accroissement illimité, la distance MN, tuant, tend vers zéro. En fait,

Après simplification on obtient :

De la dernière formule on voit qu'avec une augmentation illimitée de l'abscisse, la distance MN diminue et tend vers zéro. Il s'ensuit que lorsque le point M, se déplaçant le long de l'hyperbole dans le premier quadrant, se déplace vers l'infini, alors sa distance à la droite diminue et tend vers zéro. La même circonstance se produira lorsque le point M se déplacera le long d'une hyperbole dans le troisième quadrant (en raison de la symétrie par rapport à l'origine O).

Enfin, du fait de la symétrie de l'hyperbole par rapport à l'axe Oy, on obtiendra une deuxième droite située symétriquement à la droite dont le point M se rapprochera également indéfiniment en se déplaçant le long de l'hyperbole et en s'éloignant vers l'infini (dans le deuxième et quatrième quadrants).

Ces deux droites sont appelées asymptotes d’une hyperbole, et, comme nous l’avons vu, elles ont pour équations :

Évidemment, les asymptotes de l'hyperbole sont situées le long des diagonales d'un rectangle dont un côté est parallèle à l'axe Ox et est égal à 2a, l'autre est parallèle à l'axe Oy et est égal à et le centre se situe au origine des coordonnées (voir Fig. 51).

Lorsque vous dessinez une hyperbole à l’aide de son équation, il est recommandé de commencer par construire ses asymptotes.

Hyperbole équilatérale. Dans le cas d'une hyperbole, elle est dite équilatérale ; son équation est obtenue à partir de (3) et a la forme :

Évidemment, les coefficients angulaires des asymptotes d'une hyperbole équilatérale seront. Par conséquent, les asymptotes d'une hyperbole équilatérale sont perpendiculaires les unes aux autres et coupent en deux les angles entre ses axes de symétrie.

Asymptotes du graphique d'une fonction

Le fantôme de l'asymptote erre depuis longtemps sur le site pour enfin se matérialiser dans un article séparé et faire le bonheur particulier des lecteurs perplexes. étude complète de la fonction. Trouver les asymptotes d'un graphique est l'une des rares parties de cette tâche abordée dans cours scolaire seulement en aperçu, puisque les événements tournent autour du calcul limites de fonction, mais ils se rapportent toujours à mathématiques supérieures. Pour les visiteurs qui ont peu de connaissances en analyse mathématique, je pense que l'indice est clair ;-) ...arrête, arrête, où vas-tu ? Limites- c'est facile !

Des exemples d'asymptotes ont été rencontrés immédiatement dans la première leçon sur graphiques de fonctions élémentaires, et le sujet fait actuellement l’objet d’un examen approfondi.

Alors, qu’est-ce qu’une asymptote ?

Imaginer point variable, qui « voyage » le long du graphe de la fonction. L'asymptote est droit, à laquelle indéfiniment fermer le graphique d'une fonction se rapproche lorsque vous la supprimez point variableà l'infini.

Note : la définition a du sens si vous avez besoin d'une formulation en notation analyse mathématique, veuillez vous référer au tutoriel.

Dans l'avion, les asymptotes sont classées selon leur localisation naturelle :

1) Asymptotes verticales, qui sont donnés par une équation de la forme , où « alpha » est nombre réel. Un représentant populaire définit lui-même l'axe des ordonnées,
avec une légère sensation de nausée on se souvient de l'hyperbole.

2) Asymptotes obliquesécrit traditionnellement équation d'une droite Avec pente. Parfois groupe séparé allouer cas particulier – asymptotes horizontales. Par exemple, la même hyperbole avec asymptote.

Allons-y vite, abordons le sujet avec une courte rafale de mitrailleuse :

Combien d’asymptotes le graphe d’une fonction peut-il avoir ?

Pas un, un, deux, trois... ou une infinité. Nous n’irons pas loin pour des exemples, rappelons-le fonctions élémentaires. Une parabole, une parabole cubique et une onde sinusoïdale n'ont pas du tout d'asymptote. graphique exponentiel, fonction logarithmique a une asymptote unique. L'arctangente et l'arccotangente en ont deux, et la tangente et la cotangente en ont une infinité. Il n’est pas rare qu’un graphique présente des asymptotes horizontales et verticales. Hyperbole, je t'aimerai toujours.

Qu'est-ce que ça veut dire?

Asymptotes verticales du graphique d'une fonction

L'asymptote verticale du graphique est généralement située au point de discontinuité infinie fonctions. C'est simple : si une fonction a une discontinuité infinie en un point, alors la droite donné par l'équation est l'asymptote verticale du graphique.

Note : Veuillez noter que la notation est utilisée pour désigner deux complètement différentes notions. Le fait qu'un point soit implicite ou une équation d'une droite dépend du contexte.

Ainsi, pour établir la présence d'une asymptote verticale en un point, il suffit de montrer que au moins unà partir de limites unilatérales infini. Le plus souvent, c'est le point où le dénominateur de la fonction égal à zéro. Essentiellement, nous avons déjà trouvé des asymptotes verticales dans exemples récents leçon sur la continuité d'une fonction. Mais dans certains cas, il n'y a qu'une seule limite unilatérale, et si elle est infinie, alors encore une fois, aimez et favorisez l'asymptote verticale. L'illustration la plus simple : et l'axe des ordonnées (voir. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires).

De ce qui précède, il résulte également fait évident: si la fonction est continue, alors il n'y a pas d'asymptote verticale. Pour une raison quelconque, une parabole m'est venue à l'esprit. Vraiment, où peut-on « coller » une ligne droite ici ? ...oui... je comprends... Les disciples de l'oncle Freud étaient hystériques =)

La déclaration inverse dans cas général incorrect : ainsi, la fonction n'est pas définie sur toute la droite numérique, mais est complètement dépourvue d'asymptotes.

Asymptotes inclinées du graphique d'une fonction

Des asymptotes obliques (comme cas particulier - horizontales) peuvent être dessinées si l'argument de la fonction tend vers « plus l'infini » ou vers « moins l'infini ». C'est pourquoi le graphique d'une fonction ne peut pas avoir plus de deux asymptotes obliques. Par exemple, le graphique d'une fonction exponentielle n'a qu'un seul asymptote horizontaleà , et le graphique de l'arctangente à – deux de ces asymptotes, et différentes en plus.

Lorsque le graphique aux deux endroits se rapproche d’une seule asymptote oblique, alors les « infinis » sont généralement combinés sous entrée unique. Par exemple, ...vous avez bien deviné : .

Général règle générale :

S'il y en a deux final limite , alors la droite est l'asymptote oblique du graphique de la fonction en . Si au moins un des limites énumérées est infinie, alors il n'y a pas d'asymptote oblique.

Note : les formules restent valables si « x » tend uniquement vers « plus l'infini » ou uniquement vers « moins l'infini ».

Montrons que la parabole n'a pas d'asymptote oblique :

La limite est infinie, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’asymptote oblique. Notez qu'en trouvant la limite le besoin a disparu puisque la réponse a déjà été reçue.

Note : Si vous avez (ou aurez) des difficultés à comprendre les signes plus-moins, moins-plus, merci de consulter l'aide en début de leçon
sur les fonctions infinitésimales, où je vous ai expliqué comment interpréter correctement ces signes.

Évidemment, pour toute quadratique, fonction cubique, polynôme 4ème et diplômes supérieurs il n'y a pas non plus d'asymptotes obliques.

Assurons-nous maintenant que le graphique n’a pas non plus d’asymptote oblique. Pour révéler l'incertitude, nous utilisons La règle de l'Hôpital:
, c'est ce qui devait être vérifié.

Lorsque la fonction grandit indéfiniment, mais qu'il n'y a pas de ligne droite à laquelle son graphique se rapprocherait infiniment proche.

Passons à la partie pratique de la leçon :

Comment trouver les asymptotes du graphe d’une fonction ?

C'est exactement ainsi qu'il est formulé tâche typique, et cela implique de trouver TOUTES les asymptotes du graphique (verticales, inclinées/horizontales). Bien que, pour être plus précis en posant la question, nous parlons de recherche de la présence d'asymptotes (après tout, il se peut qu'il n'y en ait pas du tout). Commençons par quelque chose de simple :

Exemple 1

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution Il est pratique de le décomposer en deux points :

1) Nous vérifions d’abord s’il existe des asymptotes verticales. Le dénominateur tend vers zéro en , et il est immédiatement clair qu'à ce stade la fonction souffre écart sans fin, et la droite donnée par l'équation est l'asymptote verticale du graphique de la fonction. Mais avant de tirer une telle conclusion, il est nécessaire de trouver des limites unilatérales :

Je vous rappelle la technique de calcul sur laquelle je me suis également concentré dans l'article Continuité de fonction. Points de rupture. Dans l'expression sous le signe limite, nous substituons . Il n'y a rien d'intéressant au numérateur :
.

Mais au dénominateur, il s'avère infinitésimal nombre négatif :
, il détermine le sort de la limite.

La limite de gauche est infinie et, en principe, il est déjà possible de se prononcer sur la présence d'une asymptote verticale. Mais des limites unilatérales ne sont pas seulement nécessaires pour cela : elles AIDENT À COMPRENDRE COMMENT localiser le graphique de la fonction et construire-le CORRECTEMENT. Par conséquent, nous devons également calculer la limite à droite :

Conclusion: les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que la droite est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

Première limite fini, ce qui signifie qu'il faut « continuer la conversation » et trouver la deuxième limite :

La deuxième limite aussi fini.

Ainsi, notre asymptote est :

Conclusion: la droite donnée par l'équation est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Pour trouver l'asymptote horizontale
vous pouvez utiliser une formule simplifiée:

Si existe fini limite, alors la droite est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Il est facile de voir que le numérateur et le dénominateur de la fonction même ordre de croissance, ce qui signifie que la limite recherchée sera finie :

Répondre:

Selon la condition, vous n'avez pas besoin de terminer le dessin, mais s'il bat son plein étude de fonction, puis sur le brouillon on fait immédiatement un croquis :

Sur la base des trois limites trouvées, essayez de déterminer par vous-même comment le graphique de la fonction pourrait être localisé. Est-ce vraiment difficile ? Trouvez 5-6-7-8 points et marquez-les sur le dessin. Cependant, le graphique de cette fonction est construit en utilisant transformations du graphe d'une fonction élémentaire, et les lecteurs qui ont soigneusement examiné l'exemple 21 de l'article ci-dessus peuvent facilement deviner de quel type de courbe il s'agit.

Exemple 2

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Permettez-moi de vous rappeler que le processus est commodément divisé en deux points : les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. Dans l’exemple de solution, l’asymptote horizontale est trouvée à l’aide d’un schéma simplifié.

En pratique, les fonctions fractionnaires-rationnelles sont le plus souvent rencontrées, et après un entraînement aux hyperboles, nous compliquerons la tâche :

Exemple 3

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution: Un, deux et c'est fait :

1) Les asymptotes verticales sont localisées aux points de discontinuité infinie, vous devez donc vérifier si le dénominateur va à zéro. Décidons équation quadratique:

Le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines réelles, et le travail est significativement augmenté =)

Afin de trouver davantage de limites unilatérales trinôme quadratique pratique pour factoriser:
(pour une notation compacte, le « moins » était inclus dans la première parenthèse). Par mesure de sécurité, vérifions en ouvrant les parenthèses mentalement ou sur un brouillon.

Réécrivons la fonction sous la forme

Trouvons des limites unilatérales au point :

Et au point :

Ainsi, les droites sont des asymptotes verticales du graphique de la fonction en question.

2) Si vous regardez la fonction , alors il est bien évident que la limite sera finie et nous avons une asymptote horizontale. Montrons sa présence de manière brève :

Ainsi, la droite (axe des abscisses) est l'asymptote horizontale du graphique de cette fonction.

Répondre:

Les limites et asymptotes trouvées fournissent de nombreuses informations sur le graphique de la fonction. Essayez d'imaginer mentalement le dessin en tenant compte des faits suivants :

Esquissez votre version du graphique sur votre brouillon.

Bien entendu, les limites trouvées ne déterminent pas clairement l'apparence du graphique, et vous pouvez vous tromper, mais l'exercice lui-même vous apportera une aide précieuse lors de étude de fonction complète. La bonne image se trouve à la fin de la leçon.

Exemple 4

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Exemple 5

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ce sont des tâches pour une solution indépendante. Les deux graphiques présentent à nouveau des asymptotes horizontales, qui sont immédiatement détectées par les signes suivants: dans l'exemple 4 ordre de croissance dénominateur plus, que l'ordre de croissance du numérateur, et dans l'exemple 5 le numérateur et le dénominateur même ordre de croissance. Dans l'exemple de solution, la première fonction est examinée pour la présence d'asymptotes obliques dans leur intégralité, et la seconde – à travers la limite.

Les asymptotes horizontales, selon mon impression subjective, sont nettement plus courantes que celles qui sont « véritablement inclinées ». Le cas général tant attendu :

Exemple 6

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution: classique du genre :

1) Puisque le dénominateur est positif, alors la fonction continu tout au long de la droite numérique, et il n’y a pas d’asymptote verticale. ...Est-ce que c'est bon ? Ce n'est pas le bon mot - excellent ! Le point n°1 est clos.

2) Vérifions la présence d'asymptotes obliques :

Première limite fini, alors passons à autre chose. Lors du calcul de la deuxième limite à éliminer incertitude "infini moins infini" on réduit l'expression à dénominateur commun:

La deuxième limite aussi fini, donc le graphique de la fonction en question a une asymptote oblique :

Conclusion:

Ainsi, lorsque le graphique de la fonction infiniment proche se rapproche d'une ligne droite :

Notez qu'il coupe son asymptote oblique à l'origine, et de tels points d'intersection sont tout à fait acceptables - il est important que « tout soit normal » à l'infini (en fait, c'est là que nous parlons d'asymptote).

Exemple 7

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution: Il n’y a rien de particulier à commenter, donc je vais l’officialiser échantillon approximatif solution finale :

1) Asymptotes verticales. Explorons le point.

La ligne droite est l'asymptote verticale du graphique en .

2) Asymptotes obliques :

La ligne droite est l’asymptote inclinée du graphique en .

Répondre:

Les limites unilatérales et les asymptotes trouvées nous permettent de prédire avec une grande confiance à quoi ressemble le graphique de cette fonction. Dessin correct à la fin de la leçon.

Exemple 8

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; pour faciliter le calcul de certaines limites, vous pouvez diviser le numérateur par le dénominateur terme par terme. Encore une fois, lorsque vous analysez vos résultats, essayez de tracer un graphique de cette fonction.

Évidemment, les propriétaires des « vraies » asymptotes obliques sont les graphiques de celles-ci. fonctions rationnelles fractionnaires, qui ont un degré plus élevé du numérateur un de plus le plus haut degré du dénominateur. Si c'est plus, il n'y aura plus d'asymptote oblique (par exemple ).

Mais d’autres miracles se produisent dans la vie :

Exemple 9

Exemple 11

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Solution: il est évident que , on ne considère donc que le demi-plan droit, où se trouve un graphique de la fonction.

Ainsi, la droite (axe des ordonnées) est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

2) Une étude sur l'asymptote oblique peut être réalisée en utilisant schéma complet, mais dans l'article Le règlement de L'Hôpital nous avons découvert que fonction linéaire plus ordre élevé croissance que logarithmique, donc : (Voir Exemple 1 de la même leçon).

Conclusion : l'axe des x est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Répondre:
, Si ;
, Si .

Dessin pour plus de clarté :

Il est intéressant de noter qu'une fonction apparemment similaire n'a aucune asymptote (ceux qui le souhaitent peuvent le vérifier).

Deux exemples finaux Pour auto-apprentissage:

Exemple 12

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Combien d’asymptotes le graphe d’une fonction peut-il avoir ?

Pas un, un, deux, trois... ou une infinité. Nous n’irons pas loin pour des exemples, rappelons-le fonctions élémentaires. Une parabole, une parabole cubique et une onde sinusoïdale n'ont pas du tout d'asymptote. Le graphique d’une fonction logarithmique exponentielle a une seule asymptote. L'arctangente et l'arccotangente en ont deux, et la tangente et la cotangente en ont une infinité. Il n’est pas rare qu’un graphique présente des asymptotes horizontales et verticales. Hyperbole, je t'aimerai toujours.

Que signifie trouver les asymptotes du graphique d'une fonction ?

Cela signifie comprendre leurs équations et tracer des lignes droites si le problème l’exige. Le processus consiste à trouver les limites d’une fonction.

Asymptotes verticales du graphique d'une fonction

En règle générale, l'asymptote verticale du graphique est située au point de discontinuité infinie de la fonction. C'est simple : si en un point la fonction subit une discontinuité infinie, alors la droite spécifiée par l'équation est l'asymptote verticale du graphique.

Remarque : Veuillez noter que l'entrée est utilisée pour faire référence à deux concepts complètement différents. Le fait qu'un point soit implicite ou une équation d'une droite dépend du contexte.

Ainsi, pour établir la présence d'une asymptote verticale en un point, il suffit de montrer qu'au moins une des limites unilatérales est infinie. Le plus souvent, c'est le point où le dénominateur de la fonction est zéro. Pour l'essentiel, nous avons déjà trouvé des asymptotes verticales dans les derniers exemples de la leçon sur la continuité d'une fonction. Mais dans certains cas, il n'y a qu'une seule limite unilatérale, et si elle est infinie, alors encore une fois, aimez et favorisez l'asymptote verticale. L'illustration la plus simple : et l'axe des ordonnées.

De ce qui précède, un fait évident découle également : si la fonction est continue, alors il n'y a pas d'asymptote verticale. Pour une raison quelconque, une parabole m'est venue à l'esprit. Vraiment, où peut-on « coller » une ligne droite ici ? ...oui... je comprends... Les disciples de l'oncle Freud étaient hystériques =)

L'affirmation inverse est généralement fausse : par exemple, la fonction n'est pas définie sur toute la droite numérique, mais est complètement dépourvue d'asymptotes.

Asymptotes inclinées du graphique d'une fonction

Des asymptotes obliques (comme cas particulier - horizontales) peuvent être dessinées si l'argument de la fonction tend vers « plus l'infini » ou vers « moins l'infini ». Par conséquent, le graphique d’une fonction ne peut pas avoir plus de 2 asymptotes inclinées. Par exemple, le graphique d'une fonction exponentielle a une seule asymptote horizontale à, et le graphique de l'arctangente à a deux de ces asymptotes, et différentes en plus.